北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§2.3 基本不等式与不等式的综合应用
【5 年高考】
考点一 基本不等式及其应用
1.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
4
答案
5
1 1 8
2.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为 .
2a 2b a+b
答案 4
(x+1)(2y+1)
3.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则 的最小值为 .
√xy
答案 4√3
1
4.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .
8b
1
答案
4
a4+4b4+1
5.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则 的最小值为 .
ab
答案 4
考点二 不等式的综合应用
6.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格
依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总
价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
答案 ①130 ②15
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 基本不等式
1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f( ),q=f(a+b), r=1(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确(
√ab
2 2
)
A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q
a+b 1 a+b a+b
答案 C 由题意得p=ln√ab,q=ln ,r= (ln a+ln b)=ln√ab=p,∵0<a<b,∴ >√ab,∴ln >ln
2 2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
√ab,∴p=r<q.
x y
2.(2015福建理,5,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于 ( )
a b
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C 因为直线x+y=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1+1=1.所以a+b=(a+b)·(1 1)=2+a+b≥2+2
+
a b a b a b b a
√a b
· =4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
b a
1 2
3.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足 + =√ab,则ab的最小值为 ( )
a b
A.√2 B.2 C.2√2 D.4
1 2 √ 2 2√2 1 2 1 2
答案 C 依题意知a>0,b>0,则 + ≥2 = ,当且仅当 = ,即b=2a时,“=”成立.因为 + =
a b ab √ab a b a b
2√2
√ab,所以√ab≥ ,即ab≥2√2,所以ab的最小值为2√2,故选C.
√ab
4.(2014重庆文,9,5分)若log(3a+4b)=log√ab,则a+b的最小值是 ( )
4 2
A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3
答案 D 由log(3a+4b)=log√ab,
4 2
得3a+4b=ab,且a>0,b>0,
4b
∴a= ,由a>0,得b>3.
b-3
4b 4(b-3)+12 12
∴a+b=b+ =b+ =(b-3)+ +7≥2√12+7=4√3+7,即a+b的最小值为7+4√3.
b-3 b-3 b-3
考点二 不等式综合应用
1.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米
20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ( )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
答案 C 设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,
80+20(a+b)≥80+40√ab=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.
2.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且
BD=1,则4a+c的最小值为 .
答案 9
解析 本题考查基本不等式及其应用.
依题意画出图形,如图所示.
易知S +S =S ,
△ABD △BCD △ABC
1 1 1
即 csin 60°+ asin 60°= acsin 120°,
2 2 2
1 1
∴a+c=ac,∴ + =1,
a c北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,
+
a c a c
c 4a 3
当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.
a c 2
一题多解1 作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,
BA AD c
∴ = = ,
BC DC a
AD AE DE c
∵DE∥CB,∴ = = = ,
AC AB BC a+c
a c
∴⃗BE= ⃗BA,⃗ED= ⃗BC.
a+c a+c
a c
∴⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC.
a+c a+c
∴ ⃗BD2 =( a ⃗BA+ c ⃗BC ) 2 ,
a+c a+c
∴1=( a ⃗BA ) 2 +( c ⃗BC ) 2 +2· a · c | ⃗BA |·| ⃗BC |×( - 1),
a+c a+c a+c a+c 2
∴1=(ac)2 ,∴ac=a+c,∴1+1=1,
(a+c)2 a c
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,当且仅当c=4a,即a=3,c=3时取“=”.
+
a c a c a c 2
一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A(c √3 ),C(a √3 ).
, c ,- a
2 2 2 2
∵A,D,C三点共线,∴⃗AD∥⃗DC,
∴(
1-
c)(
-
√3
a
)+√3c(a
-1
)=0,
2 2 2 2
1 1
∴ac=a+c,∴ + =1,
a c北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,当且仅当c=4a,即a=3,c=3时取“=”.
+
a c a c a c 2
3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为
4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
答案 30
解析 设总费用为y万元,
则y=600×6+4x=4( 900)≥240.
x+
x x
900
当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.
x
易错警示 1.a+b≥2√ab(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.
2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.
x y
4.(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
a b
答案 8
1 2
解析 由题设可得 + =1,∵a>0,b>0,
a b
∴2a+b=(2a+b)(1 2)=2+b+4a+2≥4+2√b 4a=8
+ ·
a b a b a b
( b 4a ).
当且仅当 = ,即b=2a时,等号成立
a b
故2a+b的最小值为8.
(x+1)(2y+1)
5.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则 的最小值为 .
xy
9
答案
2
解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学
生的推理、运算能力.
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+5 5
= = =2+ .
xy xy xy xy
1 1
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2√x·2y,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时 ≥ ,∴2+
xy 2
5 5 9 (x+1)(2y+1) 9
≥2+ = ,故 的最小值为 .
xy 2 2 xy 2
5
思路分析 首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+ ,注意到x与2y的和为定值,用
xy
基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二
定、三相等”,注意等号是否成立.
6.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为 .
答案 3√2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 解法一:令t=√a+1+√b+3,
则t2=(√a+1+√b+3)2=a+1+b+3+2√a+1·√b+3≤9+a+1+b+3=18,
当且仅当√a+1=√b+3,
7 3
即a= ,b= 时,等号成立.
2 2
即t的最大值为3√2.
解法二:设√a+1=m,√b+3=n,
则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤ · ,
√2 √m2+n2
所以√a+1+√b+3≤√2·√a+1+b+3=3√2,
当且仅当√a+1=√b+3,
7 3
即a= ,b= 时,“=”成立,
2 2
所以所求最大值为3√2.
【3 年模拟】
时间:35分钟 分值:60分
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1.(2021届陕西咸阳第三次质量检测,5)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(1) x -m,若∀x
1
∈[0,3],∃x
2
∈[1,2],使得
2
f(x)≥g(x),则实数m的取值范围是 ( )
1 2
A.[1 ) B.( 1] C.[1 ) D.( 1]
,+∞ -∞, ,+∞ -∞,-
4 4 2 2
答案 A
1 2a
2.(2021届江苏苏州四市五区期初调研,8)设a>0,b>0,且2a+b=1,则 + ( )
a a+b
A.有最小值4 B.有最小值2√2+1
14
C.有最小值 D.无最小值
3
答案 B
1 1 2
3.(2020山东百师联盟测试二,6)已知x,y均为正数,且 , , 成等差数列,则x+y的最小值为 ( )
x 2 y
A.4 B.3 C.2√2 D.3+2√2
答案 D
1 9
4.(2020湖北华师一附中、黄冈中学等八校第一次联考,5)已知x>0,y>0,且 + =1,则x+y的最小值为 (
x y
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A.12 B.16 C.20 D.24
答案 B
5.(2019广东惠州三调,10)在△ABC中,点D是AC上一点,且⃗AC=4⃗AD,P为BD上一点,向量⃗AP=λ⃗AB+μ
4 1
⃗AC(λ>0,μ>0),则 + 的最小值为 ( )
λ μ
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 A
二、多项选择题(每题5分,共25分)
6.(2021届广东佛山顺德第二次教学质量检测,16)已知a>b>0,且a+b=1,则 ( )
2 1
A.logb>loga B. + >6
a b
a b
C.ab<ba D.2a-2b>2-b-2-a
答案 AD
1 4
7.(2021届山东潍坊四中“十一”假期检测,10)已知a>1,b>0,且 + =1,则下列命题正确的是 ( )
a-1 b
A.a>2 B.ab-b的最小值为16
1 9
C.a+b的最小值为9 D. + 的最小值为2
a-2 b
答案 ABD
8.(2021届山东济宁鱼台第一中学第一次月考,11)给出下面四个推断,其中正确的为( )
b a
A.若a,b∈(0,+∞),则 + ≥2
a b
B.若x,y∈(0,+∞)则lg x+lg y≥2√lgx·lg y
4
C.若a∈R,a≠0,则 +a≥4
a
x y
D.若x,y∈R,xy<0,则 + ≤-2
y x
答案 AD
9.(2021届山东青岛期初调研,11)若a>0,b>0,a+b=2,则 ( )
1 1
A.ab≤1 B.√a+√b≤√2 C.a2+b2≥2 D. + ≥2
a b
答案 ACD
10.(2021届广东云浮9月月考,9)已知a>0,b>0,a+b=1,则下列结论中一定成立的是 ( )
1
A.a2+b2的最小值是
2
1
B.ab+ 的最小值是2
ab
C.√a+√b的最大值是√2
4 9
D. + 的最小值是25
a b
答案 ACD
三、填空题(每题5分,共10分)北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 4
11.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,6)已知x,y为正数,且 + =1,则x+y的最小值为 .
2+x y
答案 7
12.(2021届广东云浮9月月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意的x∈[1,2],都存在x∈[-1,2],
1 2
使得f(x)<g(x)成立,则实数a的取值范围是 .
1 2
答案 ( 1)∪(2,+∞)
0,
4
