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2.2 基本不等式及不等式的应用
基础篇
考点 一 基本不等式及其应用 ａ２ ｂ２
≤ ＋ ａ ｂ
( >０ꎬ >０)
1.
基本不等式 ２
上述链条中的任意两个中有将 和式 转化
“ ”
不等式成立的 等号成立的
基本不等式 为 积式 或将 积式 转化为 和式 的放缩
条件 条件 “ ” “ ” “ ”
功能 并且有很多不同的变形 如 ａ２ ｂ２
ꎬ ꎬ : ＋ ≥
ａ ｂ
ａｂ ＋ ａ ꎬｂ ａ ｂ
≤ >０ >０ ＝ ａ ｂ ａ２ ｂ２ ｂ ａ
２ ａｂ ＋ ＋ ２ ａｂ
２ ꎬ ≤ ꎬ ≤ ꎬ ａ ＋ ｂ ≥２
２ ２ １ １
ａ ｂ
ａ＋ｂ
其中 ＋ 为正数 ａ ｂ 的算术平均数 ａｂ为正数
ꎬ ꎬ
２ ａｂ 等 所以利用基本不等式及其变式求
( >０) ꎬ
ａ ｂ 的几何平均数 基本不等式可叙述为 两个
ꎬ ꎬ : 最值 或证明不等式 既方便又具有很强的
( )
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
技巧性.
2.
几个重要不等式
考点 二 应用基本不等式求解最值
ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ Ｒ 当且仅当 ａ ｂ 时取
１) ＋ ≥２ ( ꎬ ∈ )ꎬ ＝
已知 ｘ ｙ
等号.
>０ꎬ >０ꎬ
如果积 ｘｙ 是定值 ｐ 那么当且仅当 ｘ ｙ 时 ｘ
ａ ｂ ａｂ ａ ｂ 当且仅当 ａ ｂ 时取 １) ꎬ ＝ ꎬ
２) ＋ ≥２ ( >０ꎬ >０)ꎬ ＝
ｙ 有最小值 ｐ 简记 积定和最小 .
等号. ＋ ２ ( : )
如果 ｘ ｙ 是定值 ｓ 那么当且仅当 ｘ ｙ 时 ｘｙ
æａ ｂö
２ ２) ＋ ꎬ ＝ ꎬ
ａｂ ç ＋ ÷ ａ ｂ Ｒ 当且仅当 ａ ｂ 时取
３) ≤è ø ( ꎬ ∈ )ꎬ ＝ ｓ２
２ 有最大值 简记 和定积最大 .
( : )
等号.
４
注意
ａ １ ａ 当且仅当 ａ 时取等号 ａ
４) ＋ａ≥２( >０)ꎬ ＝１ ꎻ ＋
.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓
１
“一正”是指两数均为正数ꎬ“二定”是指应用基本不等
１ ａ 当且仅当 ａ 时取等号.
ａ≤－２( <０)ꎬ ＝－１
式求最值时ꎬ和或积为定值ꎬ“三相等”是指必须满足等
号成立的条件.
注意
.连续使用基本不等式时ꎬ等号要同时成立.
运用基本不等式及其变形时ꎬ一定要验证等号是否成 ２
立.另外ꎬ等号成立仅用来验证最值是否能取到ꎬ不能用
来求值.
ａ ｂ
3.
一个重要的不等式链条： ２ ≤ ａｂ≤ ＋
１ １ ２
ａ＋ｂ
专
题
二
不
等
式
２２７
综合篇
考法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等 ｘ
解析 对任意 ｘ ꎬ有 １
问题的解题策略
>０ ｘ２
＋５
ｘ
＋１
＝ｘ２
＋５
ｘ
＋１
＝
ｘ
1.
恒成立问题 若 ｆ ｘ 在区间 Ｄ 上存在最小
: ( )
１ １ １ꎬ当且仅当ｘ １ꎬ即ｘ
值 则不等式ｆ ｘ Ａ 在区间 Ｄ 上恒成立 ≤ ＝ ＝ ｘ
ꎬ ( )> ⇔ ｘ １ ｘ１ ７
ｆ ｘ Ａ ｘ Ｄ ＋ｘ ＋５ ２ ｘ ＋５
( )ｍｉｎ> ( ∈ )ꎻ
若 ｆ ｘ 在区间 Ｄ 上存在最大值 则不等式 ｘ
( ) ꎬ 时ꎬ等号成立ꎬ即 的最大值为 １ ﹒
ｆ ｘ Ｂ在区间 Ｄ 上恒成立 ｆ ｘ Ｂ ｘ ＝１ ｘ２ ｘ
( )< ⇔ ( )ｍａｘ< ( ∈ ＋５ ＋１ ７
Ｄ . ｘ
) 由对任意 ｘ ꎬ ａ 恒成立ꎬ ａ １ꎬ
2. 能成立问题 若 ｆ ｘ 在区间 Ｄ 上存在最大 >０ ｘ２ ｘ ≤ ∴ ≥
＋５ ＋１ ７
: ( )
é ö
值 则在区间 Ｄ 上存在实数 ｘ 使不等式 ｆ ｘ ê
ꎬ ( ) 即 ａ 的取值范围是 ê １ꎬ ÷.故选
ë ＋∞ø Ｂ.
Ａ 成立 ｆ ｘ Ａ ｘ Ｄ ７
> ⇔ ( )ｍａｘ> ( ∈ )ꎻ
答案
若 ｆ ｘ 在区间 Ｄ 上存在最小值 则在区间 Ｄ Ｂ
( ) ꎬ
例2 ( 江苏苏州新草桥中学月考ꎬ )已
上存在实数 ｘ 使不等式 ｆ ｘ Ｂ 成立 ２０２１ １３
( ) < ⇔
ｘ
ｆ ｘ Ｂ ｘ Ｄ . 知函数 ｆ (ｘ) ꎬ设 ｂ ꎬ若存在 ｘ
3.
( )ｍｉｎ< ( ∈ )
＝ ｘ２ ｂ > ０ ∈
恰成立问题 不等式 ｆ ｘ Ａ 恰在区间 Ｄ 上 ＋
: ( )>
é ù
成立 ｆ ｘ Ａ 的解集为 Ｄ 不等式 ｆ ｘ Ｂ ê １ꎬ３ ú ꎬ使 ｆ(ｘ) ꎬ则 ｂ 的取值范围是 .
ê ú
⇔ ( )> ꎻ ( )< ë û ≥１
恰在区间 Ｄ 上成立 ｆ ｘ Ｂ 的解集为 Ｄ. ４ ４
⇔ ( )< é ù
4. 双变量的恒成立与存在性问题 解析 若存在 ｘ ê ê １ꎬ３ ú ú ꎬ使 ｆ(ｘ) ꎬｆ(ｘ)
∈ë û ≥１
４ ４
若 ｘ Ｉ ｘ Ｉ ｆ ｘ ｇ ｘ 恒成
１) ∀ １∈ １、∀ ２∈ ２ꎬ ( １)>(≥) ( ２) ｘ ｘ
立 则 ｆ ｘ ｇ ｘ .
ꎬ则 ꎬ由 ｂ 得 ｂ ｘ ｘ２ꎬ即 ｂ
ꎬ ( )ｍｉｎ>(≥) ( )ｍａｘ
＝ ｘ２
＋
ｂ ｘ２
＋
ｂ≥１ >０ ≤ － ≤
若 ｘ Ｉ ｘ Ｉ 使得 ｆ ｘ
æ ö é ù
２)
ｇ ｘ
∀ １
则
∈
ｆ
１ꎬ
ｘ
∃ ２ ∈ ２ꎬ
ｇ ｘ
(
.
１) >(≥) (ｘ
－
ｘ２)
ｍａｘ
ꎬ
∵
ｘ
－
ｘ２
＝－è
çｘ
－
１
ø
÷ ２
＋
１ꎬｘ
∈ë
ê
ê
１ꎬ３
û
ú
ú
ꎬ
( ２)ꎬ ( )ｍｉｎ>(≥) ( )ｍｉｎ ２ ４ ４ ４
若 ｘ Ｉ ｘ Ｉ 使得 ｆ ｘ
３) ∃ １ ∈ １ꎬ∀ ２ ∈ ２ꎬ ( １) >(≥) ｘ １时ꎬ(ｘ ｘ２) １ꎬ则 ｂ １.故 ｂ １.
ｇ ｘ 则 ｆ ｘ ｇ ｘ . ∴ ＝ － ｍａｘ ＝ ≤ ０< ≤
( ２)ꎬ ( )ｍａｘ>(≥) ( )ｍａｘ ２ ４ ４ ４
若 ｘ Ｉ ｘ Ｉ 使得 ｆ ｘ
４) ∃ １ ∈ １ꎬ∃ ２ ∈ ２ꎬ ( １) >(≥) 答案 ｂ １
０< ≤
ｇ ｘ 则 ｆ ｘ ｇ ｘ .
４
( ２)ꎬ ( )ｍａｘ>(≥) ( )ｍｉｎ
æ öｘ
５)
已知 ｆ
(
ｘ
)
在区间 Ｉ
１
上的值域为 Ａ
ꎬ
ｇ
(
ｘ
)
在区 例3 已知函数 ｆ(ｘ)
＝
ｘ２ꎬｇ(ｘ)
＝ è
ç １
ø
÷
－
ｍꎬ若
间 Ｉ 上的值域为 Ｂ 若 ｘ Ｉ ｘ Ｉ 使 ２
２ ꎬ ∀ １∈ １ꎬ∃ ２∈ ２ꎬ 对任意 ｘ [ ꎬ ]ꎬ都有 ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)ꎬ则实数 ｍ
5 得 ｆ ｘ ｇ ｘ 成立 则 Ａ Ｂ. ∈ １ ２ ≥
年
高
( １)＝ ( ２) ꎬ ⊆
的取值范围是 .
ｘ
考 例1 若对任意 ｘ ꎬ ａ 恒成立ꎬ则
年
3 >０ ｘ２
＋５
ｘ
＋１
≤ 解析 对任意的 ｘ
∈
[
１
ꎬ
２
]ꎬ都有 ｆ(ｘ)
≥
模 æ öｘ
实数 ａ 的取值范围是 ( )
拟 ｇ(ｘ)ꎬ 转 化 为 ｍ ç１ ÷ ｘ２ꎬ 则 ｍ
≥ è ø － ≥
A é ê ö é ê ö ２
版 ê １ꎬ ÷ ê １ꎬ ÷ éæ öｘ ù æ öｘ
Ａ.ë ＋∞ø Ｂ.ë ＋∞ø ê ú
高 ５ ７ ë ê è ç１ ø ÷ － ｘ２ û ú ꎬ令ｈ(ｘ) ＝ è ç １ ø ÷ － ｘ２ꎬ易证ｈ(ｘ)在
考 æ ö æ ù ú ２ ｍａｘ ２
数 学 Ｃ.è ç ０ ꎬ１ ø ÷ Ｄ.è ç ０ ꎬ１ û ú ｘ [ ꎬ ]上为减函数ꎬ故 ｈ (ｘ) ｈ( )
５ ７ ∈ １ ２ ｍａｘ ＝ １ ＝
２２８
é ö 值域是[ ａ ꎬ ａ ].对任意的 ｘ [ ꎬ ]ꎬ
ê
１ꎬ故 ｍ
ê
１ꎬ ÷. － ＋２ ２ ＋２ １∈ －１ ２
－ ∈ë－ ＋∞ø
存在 ｘ [ ꎬ ]ꎬ使得 ｇ(ｘ ) ｆ(ｘ )ꎬ则 ｆ(ｘ)
２ ２
２∈ －１ ２ １ ＝ ２
é ö
ê 的值域包含 ｇ(ｘ)的值域ꎬ即[ ａ ꎬ ａ ]
答案 １ꎬ ÷
ê － ＋２ ２ ＋２ ⊆
ë－ ＋∞ø
２ [ ꎬ ]ꎬ则 ａ ａ ꎬ解得 ａ
例4 已知 ｆ(ｘ) ｘ２ ｘꎬｇ(ｘ) ａｘ (ａ )ꎬ －１ ３ －１≤－ ＋２<２ ＋２≤３ ０< ≤
＝ －２ ＝ ＋２ >０ æ ù
ú
１ꎬ故 ａ ç ꎬ１ .
对任意的 ｘ [ ꎬ ]ꎬ存在 ｘ [ ꎬ ]ꎬ使得 ú
∈è０ û
１∈ －１ ２ ２∈ －１ ２
２ ２
ｇ(ｘ ) ｆ(ｘ )ꎬ则 ａ 的取值范围是 . æ ù
１ ＝ ２ 答案 ç ꎬ１ ú
ú
解析 由 ｘ [ ꎬ ]ꎬｆ(ｘ) ｘ２ ｘꎬｇ(ｘ) ａｘ è０ û
∈ －１ ２ ＝ －２ ＝ ２
(ａ )可得 ｆ(ｘ)的值域为[ ꎬ ]ꎬｇ(ｘ)的
＋２ >０ －１ ３
专
题
二
不
等
式
２２９
