北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2.2 基本不等式及不等式的应用
考点 基本不等式
1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f( ),q=f(a+b),r=1(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的
√ab
2 2
是( )
A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q
a+b 1 a+b a+b
答案 C 由题意得p=ln√ab,q=ln ,r= (ln a+ln b)=ln√ab=p,∵0<a<b,∴ >√ab,∴ln >ln
2 2 2 2
√ab,∴p=r<q.
x y
2.(2015福建理,5,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
a b
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C 因为直线x+y=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1+1=1.所以a+b=(a+b)·(1 1)=2+a+b≥2+2
+
a b a b a b b a
√a b
· =4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
b a
1 2
3.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足 + =√ab,则ab的最小值为( )
a b
A.√2 B.2 C.2√2 D.4
1 2 √ 2 2√2 1 2 1 2
答案 C 依题意知a>0,b>0,则 + ≥2 = ,当且仅当 = ,即b=2a时,“=”成立.因为 + =
a b ab √ab a b a b
2√2
√ab,所以√ab≥ ,即ab≥2√2,所以ab的最小值为2√2,故选C.
√ab
4.(2014重庆文,9,5分)若log(3a+4b)=log√ab,则a+b的最小值是( )
4 2
A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3
答案 D 由log(3a+4b)=log√ab,
4 2
得3a+4b=ab,且a>0,b>0,
4b
∴a= ,由a>0,得b>3.
b−3
4b 4(b−3)+12 12
∴a+b=b+ =b+ =(b-3)+ +7≥2√12+7=4√3+7,即a+b的最小值为7+4√3.
b−3 b−3 b−3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
5.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方
米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
答案 C 设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,
80+20(a+b)≥80+40√ab=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.
6.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
(x+ y) 2 3 1
答案 BC 因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤ ,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2- (x+y)2= (x+y)2,故
4 4 4
x2+ y2
(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤ 得1=x2+y2-xy≥x2+y2-
2
x2+ y2
,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC.
2
7.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )
1 1
A.a2+b2≥ B.2a−b>
2 2
C.loga+logb≥-2 D.√a+√b≤√2
2 2
答案 ABD ∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.
ab≤(a+b) 2 1.
=
2 4
对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2( 1) 2 1 1,当且仅当a=b=1时,取等号,A正确;
a− + ≥
2 2 2 2
1 1
对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴ <22a-1<2,∴2a-b> 成立,B正确;
2 2
1
对于C选项,∵0<ab≤ ,a>0,b>0,
4
1
∴loga+logb=log(ab)≤log =-2,C不正确;
2 2 2 2
4
对于D选项,∵(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+a+b=2,∴√a+√b≤√2成立,D正确.
(x+1)(2y+1)
8.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则 的最小值为 .
xy北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9
答案
2
解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学
生的推理、运算能力.
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+5 5
= = =2+ .
xy xy xy xy
1 1
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2√x·2y,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时 ≥ ,∴2+
xy 2
5 5 9 (x+1)(2y+1) 9
≥2+ = ,故 的最小值为 .
xy 2 2 xy 2
5
思路分析 首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+ ,注意到x与2y的和为定值,用
xy
基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二
定、三相等”,注意等号是否成立.
9.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,
且BD=1,则4a+c的最小值为 .
答案 9
解析 本题考查基本不等式及其应用.
依题意画出图形,如图所示.
易知S +S =S ,
△ABD △BCD △ABC
1 1 1
即 csin 60°+ asin 60°= acsin 120°,
2 2 2
1 1
∴a+c=ac,∴ + =1,
a c
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,
+
a c a c
c 4a 3
当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.
a c 2
一题多解1 作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
BA AD c
∴ = = ,
BC DC a
AD AE DE c
∵DE∥CB,∴ = = = ,
AC AB BC a+c
a c
∴⃗BE= ⃗BA,⃗ED= ⃗BC.
a+c a+c
a c
∴⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC.
a+c a+c
∴ ⃗BD2 =( a ⃗BA+ c ⃗BC ) 2 ,
a+c a+c
∴1=( a ⃗BA ) 2 +( c ⃗BC ) 2 +2· a · c | ⃗BA |·| ⃗BC |×( − 1),
a+c a+c a+c a+c 2
∴1= (ac) 2 ,∴ac=a+c,∴ 1+1=1,
(a+c) 2 a c
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,当且仅当c=4a,即a=3,c=3时取“=”.
+
a c a c a c 2
一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A(c √3 ),C(a √3 ).
, c ,− a
2 2 2 2
∵A,D,C三点共线,∴⃗AD∥⃗DC,
∴( c)( √3 )+√3c(a )=0,
1− − a −1
2 2 2 2
1 1
∴ac=a+c,∴ + =1,
a c北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
∴4a+c=(4a+c)(1 1)=5+c+4a≥9,当且仅当c=4a,即a=3,c=3时取“=”.
+
a c a c a c 2
x y
10.(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
a b
答案 8
1 2
解析 由题设可得 + =1,∵a>0,b>0,
a b
∴2a+b=(2a+b)(1 2)=2+b+4a+2≥4+2√b 4a=8
+ ·
a b a b a b
( b 4a ).
当且仅当 = ,即b=2a时,等号成立
a b
故2a+b的最小值为8.
11.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为 .
答案 3√2
解析 解法一:令t=√a+1+√b+3,
则t2=(√a+1+√b+3)2=a+1+b+3+2√a+1·√b+3≤9+a+1+b+3=18,
当且仅当√a+1=√b+3,
7 3
即a= ,b= 时,等号成立.
2 2
即t的最大值为3√2.
解法二:设√a+1=m,√b+3=n,则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤ · ,
√2 √m2+n2
所以√a+1+√b+3≤√2·√a+1+b+3=3√2,
当且仅当√a+1=√b+3,
7 3
即a= ,b= 时,“=”成立,所以所求最大值为3√2.
2 2
