文档内容
2.2 基本不等式（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 基本不等式常考形式
【例1-1】（2022·河北石家庄·高三阶段练习）（多选）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最小值是1 B． 的最小值是
C． 的最小值是4 D． 的最小值是5
【答案】BC
【解析】由已知，得 ，则 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值是 ，
所以选项A错误；
，当且仅当 ， 时取等号，所以 的最小值是 ，
所以选项B正确；
，当且仅当 时取等号，所以 的最小值是4，所以选项C正确；
，当且仅当 时取等号，所以 的最小值是 ，
所以选项D错误．故选：BC．【例1-2】（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．40 B． C．42 D．
【答案】D
【解析】
，
又 ，当且仅当 时取“=”，则 ，
所以当 时， 的最大值为 .故选：D
【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B． C．10 D．无最小值
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 ，故选：A
【例1-4】（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ，满足 ，若不等式
对任意的正实数 恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，当 时， ，所以函数 在 上为增函数，
∵ ∴ ，即 ，又 ，
∴ ，∴
当且仅当 时等号成立，∵不等式 对任意的正实数 恒成立，∴ ，故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·海南）（多选）已知 ， 是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 有最小值2 B．若 ，则 有最大值5
C．若 ，则 有最大值 D． 有最小值
【答案】AC
【解析】对于A， ， ， ，
，当且仅当 ，即 时取等号，则 有最小值2，故A正确；
对于B， ， ， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，则 有最大值4，故B错误；
对于C， ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，则则 有最大值 ，故C正确；对于D，当 时， ，故D错误；故选：AC
2．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，则 的最大值为 ．故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数 在 上单调递增，则
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在 上单调递增， 恒成立，
， ， ， ， ，
令 ，设 ，
则 ，， ， （当且仅当 ，即 时取等号），
，即 的最小值为 .故选： .
4．（2022·全国·高三专题练习）若两个正实数 ， 满足 且存在这样的 ， 使不等式
有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 知， ，
当且仅当 时，等号成立，则使不等式 有解，只需满足 即可，
解得 故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则 的最大值为________.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
设 ，其中 .
则 ，从而 ，
记 ，则 ，不妨设 ，则 ,
当且仅当 ，即 时取等号，即最大值为 .故答案为： .
考点二 基本不等式与其他知识综合
【例2-1】（2022·河南许昌）若直线 被圆 截得的弦长为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，若直线被截得弦长为 ，说明圆
心在直线： 上，即 ，即 ，∴
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．故选：D.
【例2-2】．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则函数 的最大值为___________．
【答案】
【解析】因为 ， ，
函数 ，当且仅当 等号
成立．故最大值为 ．【例2-3】（2022·山东·广饶一中）直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 、
在过点 的直线上，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 为常数 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 、 的值可以为 ，
【答案】B
【解析】如下图所示：
由 ，可得 ， ，
若 ， ， ，则 ， ， ，
、 、 三点共线， ， ，故A正确；
所以 ， 时，也满足 ，则D选项正确；
，当且仅当 时，等号成立，C成立；
，当且仅当 时，即 ，
时等号成立，故B选项错误.故选：B【一隅三反】
1．（2022·江西·临川一中）已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则 的最小值
为（ ）
A． B．9 C． D．2
【答案】B
【解析】由函数 的图象经过 ，则 ，即 ．
，当且仅当 时取到等号．
故选：B．
2．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列 中， ，前三项的和为7，若存在m， 使
得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为q，
前三项的和为7，则 ，即 ，解得 或 （舍去），
又由 ，得 ，即 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，且m， ，
故选：B
3．（2022·安徽省舒城中学）如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点 的直线分
别交直线 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可得 ，
∵ ∴ ，
因为 三点共线，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，则 ；
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值是 ；故选：C．
4．（2022·广东·广州六中高一期末）己知第二象限角 的终边上有异于原点的两点 ， ，且
，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
又第二象限角 的终边上有异于原点的两点 ， ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故选：B5．（2021·江苏·扬州大学附属中学）不等式 的解集为 ，则 的最大值为
____________.
【答案】
【解析】当 时，即不等式 的解集为 ，则 ， ，
要使得 有意义，此时 ，则 ；
当 时，若不等式 的解集为 ，则 ，即 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
当 时，则 ，此时 ；
当 时，则 ，令 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立.综上所述， 的最大值为 .故答案为： .
6．（2022·安徽·合肥一中）已知圆 的半径为3， ， 为该圆的两条切线， 为切点，则 的
最小值为___________.
【答案】
【解析】如图所示，设 （ ）， ，
则 ， ， ，，
当且仅当 即 时等号成立，
∴ 的最小值是 .
故答案为： ．
7．（2021·四川达州·一模（文））定义在 上的函数 满足 ，当 时，
.设 在 上最小值为 ，则 ___________.
【答案】
【解析】当 时，
因为 ，所以
当且仅当 ，即 时，取等号；所以当 时， ；又 所以 ；
当 时，则 ，所以 ；
又 在 上最小值为 ，所以
当 时，则 所以
即 ，所以
所以数列 是以 为首项，3为公差的等差数列，即 所以 .故答案为： .
考点三 连用两次基本不等式
【例3】（2021·广东河源·模拟预测）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 （当且仅当 ，即 时等号成立），
（当且仅当 ，即 时等号成立）.
两个等号可以同时成立， 的最小值为 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）若a， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】 ，当且仅当 时，等号成立；又 ，当且仅当 时，即 ，等号成立；
，解得 ， ，
所以 的最大值为
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得： ，
又由 ，即有 ，
，
当 ， 分别取 时，等号成立，即 的最小值为-5，故选：D
3.若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
