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考点 06 基本不等式及应用
【命题解读】
基本不等式及其应用等，一般有两种命题方式：一是运用基本不等式研究函数的最值问题；二是以工
具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.
【基础知识回顾】
1、基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2) 等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b.
2、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
4、基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
5、几个重要的结论
(1)≥2.
(2)＋≥2(ab>0)．
(3)≤≤ (a>0，b>0)．
1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2＋ )>lgx(x>0) B．sinx＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)
C． D． >1(x∈R)2、若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.3
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
b a
A．若a,b(0,)，则 �2；
a b
x,y(0,) lgxlg y�2 lgxlg y
B．若 则 ；
4
C．若 ， ，则 a�4；
aR a0 a
x y
2
D．若x,yR，xy0，则 y x .
4、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
5、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为
________m时菜园面积最大．
6、(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若 ，则 的最小值为
（ ）
A．6 B． C．3 D．
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知 ， ，若不等式 恒成
立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9变式2、 (1)已知01)的最小值为________．
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一
正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的
条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然
后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中1的运用
例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数 在R上单调,若正实数 满足
则 的最小值是( )
A．1 B． C．9 D．18
变式1、若正实数 满足 ，则 的最小值是 ▲ ．
变式2、 已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则
2a＋3b的最小值为________．
变式3、已知正实数a，b满足a＋b＝1，则 的最小值为 ．
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒
数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知
条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
变式1：（徐州、宿迁三检）若 ，且 ，则 的最小值为 ．
变式2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
变式3、已知正数 x，y满足 ，求 的最小值．
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和
为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考向四 运用基本不等式解决含参问题
例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为
_________．
变式1、已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为________．
变式2、（1）已知函数 ，若对于任意 ， 恒成立，则 的取值范
围是________．
(2)已知正数 满足 恒成立，则实数 的最小值为________．方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
考点五、运用基本不等式解决实际问题
考向五 运用基本不等式解决实际问题
例5、某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足
80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为
0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
变式1、小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年
都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出
后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为 万元(国家规定大货
车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总
支出)
变式2、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元
满足P＝(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6万元(不含促销费用)，产品的销售
价格定为元/件．
(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
方法总结：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解
1、（2019年高考浙江卷）若 ，则“ ”是 “ ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
2、（2020·山东月考）已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．12
3、（2020年高考江苏）已知 ，则 的最小值是 ▲ ．
4、（2019年高考天津卷理数）设 ，则 的最小值为__________．
5、（2018年高考天津卷理数）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
6、（2020年高考天津）已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
7、（2020·泰安市泰山国际学校高三月考）求下列最值：
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）设 求函数 的最大值.8、运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶 千米，按交通法规限制 (单位：千米/时)．假
设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋ )升，司机的工资是每小时 元．
(1)求这次行车总费用 关于 的表达式；
(2)当 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
