文档文本内容
第二章 不等式
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
新高考 ꎬ 基本不等式 利用基本不等式求最值 数学原理习得 数学运算 综合性 数学运算
２０２２ Ⅱ １２
不等式的概念和 数学运算
新高考 ꎬ 比较大小 数学运算学习 综合性 数学运算
２０２０ Ⅰ １１ 性质 逻辑推理
数学运算
浙江ꎬ 不等式的解法 求解不等式的解集 数学推理学习 运算求解 综合性
２０２０ ９ 逻辑推理
数学运算
天津ꎬ 基本不等式 利用基本不等式求最小值 数学推理学习 逻辑推理 基础性
２０２０ １４ 逻辑推理
2
命题规律与备考策略
本章内容在高考题中多作为载体考查其他知识 例如 结合不等 本章考题以中低档题为主 主要以选择题或填空题的形式出现 分
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
式的解法考查集合间的关系与运算 函数的定义域与值域的求解 函 值为 分.对于不等式及其性质内容的复习 需要结合函数的图象
、 、 ５ ꎬ
数零点的应用等 或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题. 与性质 三角函数 数列等知识综合掌握.
ꎻ 、 、
第
二
章
不
等
式
９2.1 不等式及其解法
考点清单
学生用书P4 知识结构化 考点清单化
考点一 不等式的概念和性质 续表
判别式
１.不等式的性质
Δ Δ Δ
Δ ｂ２ ａｃ >０ ＝０ <０
性质 性质内容 注意 ＝ －４
对称性 ａ ｂ ｂ ａꎻａ ｂ ｂ ａ 可逆
一元二次方程ａｘ２ 有两个相异实 有两个相等实根
> ⇔ < < ⇔ > ｂｘ ｃ （ａ ） 根ｘ ꎬｘ ｂ 没有实根
传递性 ａ > ｂꎬｂ > ｃ ⇒ ａ > ｃꎻ 同向 的 ＋ 根 ＋ ＝０ >０ (ｘ １ ｘ ) ２ ｘ １＝ ｘ ２＝－ ａ
ａ ｂꎬｂ ｃ ａ ｃ １< ２ ２
可加性 ａ
<
ｂ
<
ａ
⇒
ｃ ｂ
<
ｃ 可逆
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
>０
（ａ
>
{ｘ
｜
ｘ
<
ｘ
１
或ｘ
>
{
ｘ ｘ
ｂ }
Ｒ
> ⇔ ＋ > ＋ ）的解集 ｘ } ≠－ ａ
ａ ｂꎬｃ ａｃ ｂｃꎻ ｃ的 ０ ２ ２
可乘性
ａ
>
ｂꎬｃ
>０⇒
ａｃ
>
ｂｃ 符号
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
<０
（ａ
> {ｘ ｘ ｘ ｘ }
> <０⇒ < ）的解集 ｜ １< < ２ ⌀ ⌀
移项法则 ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ 可逆 ０
＋ > ⇔ > －
在不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 中 若二次项系数ａ 则可
同向可加性 ａ ｂꎬｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ 同向 ＋ ＋ >０( ≠０) ꎬ <０ꎬ
> > ⇒ ＋ > ＋ 先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解.
同向同正 同向 ꎬ ꎬ
ａ ｂ ꎬｃ ｄ ａｃ ｂｄ 可乘性 > >０ > >０⇒ > 同正
可乘方性 ａ
>
ｂ
>０
ꎬｎ
∈
Ｎ
⇒
ａｎ
>
ｂｎ 同正
可开方性 ａ ｂ ｎａ ｎｂ(ｎ Ｎꎬｎ ) 同正
> >０⇒ > ∈ ≥２
２.不等式的倒数和分数性质
倒数性质
(１)
ａ ｂ ａｂ １ １
① > ꎬ >０⇒ ａ < ｂ ꎻ
ａ ｂ １ １ .
② <０< ⇒ ａ < ｂ
分数性质
(２)
若ａ ｂ ｍ 则
> >０ꎬ >０ꎬ
ｂ ｂ ｍ ｂ ｂ ｍ
真分数性质 ＋ － ｂ ｍ ① : ａ <ａ ｍꎻ ａ >ａ ｍ( － >０)ꎻ
＋ －
ａ ａ ｍ ａ ａ ｍ
假分数性质 ＋ － ｂ ｍ .
② : ｂ >ｂ ｍꎻ ｂ <ｂ ｍ( － >０)
＋ －
考点二 不等式的解法
１.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
如表.
判别式
Δ Δ Δ
Δ ｂ２ ａｃ >０ ＝０ <０
＝ －４
二次函数ｙ ａｘ２
＝ ＋
ｂｘ ｃ（ａ ）的
年 ＋ >０
图象
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１０
规律总结 ( )一元二次不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 对任意实数ｘ
１ ＋ ＋ >０
{ａ ꎬ
恒成立 >０
⇔ ｂ２ ａｃ .
－４ <０
( )一元二次不等式 ａｘ２ ｂｘ ｃ 对任意实数 ｘ 恒成立
２ ＋ ＋ <０
{ａ ꎬ
<０
⇔ ｂ２ ａｃ .
－４ <０
( )ａｘ２ ｂｘ ｃ ( )(ａ )在闭区间上恒成立 设ｆ(ｘ)
３ ＋ ＋ >０ <０ ≠０ ⇔①
ａｘ２ ｂｘ ｃꎬ利用二次函数的图象建立不等式(组)求解ꎻ
＝ ＋ ＋
分离参数ꎬ转化为求函数的最值问题.
②
２.分式不等式的解法
ｆ ｘ
( ) ｆ ｘ ｇ ｘ
(１)ｇ ｘ >０(<０)⇔( ) ( )>０(<０)ꎻ
( ) ｆ ｘ {ｆ ｘ ｇ ｘ
( ) ( ) ( )≥０(≤０)ꎬ
(２)ｇ ｘ ≥０(≤０)⇔ ｇ ｘ .
( ) ( )≠０
题型方法
学生用书P5 题型经典 方法实用
求解不等式恒成立问题的常用方法 ２.分离参数法
１.不等式解集法 若不等式ｆ ｘ λ ｘ Ｄ λ为实参数 恒成立 将ｆ ｘ λ
( ꎬ )≥０( ∈ ꎬ ) ꎬ ( ꎬ )≥
不等式ｆ ｘ 在集合 Ａ 中恒成立等价于集合 Ａ 是不等式 转化为λ ｇ ｘ 或λ ｇ ｘ ｘ Ｄ 恒成立 进而转化为λ
( )≥０ ０ ≥ ( ) ≤ ( )( ∈ ) ꎬ ≥
ｆ ｘ 的解集Ｂ的子集 通过求不等式的解集 并研究集合 ｇ ｘ 或λ ｇ ｘ 求ｇ ｘ ｘ Ｄ 的最值即可.
( )≥０ ꎬ ꎬ ( )ｍａｘ ≤ ( )ｍｉｎꎬ ( )( ∈ )
间的关系可以求出参数的取值范围. 该方法适用于参数与变量能分离 函数最值易求的题目.
ꎬ
３.主参换位法 则对于方程 ｆ ｔ 有 Δ ｍ ２ ｍ
( ) ＝ ０ ＝ (－ ) － ４ ( ＋ １) < ０
变换思维角度 即把变元与参数变换位置 构造以参数为变量 ìΔ
ꎬ ꎬ ï ≥０ꎬ
的函数 根据原变量的取值范围列式求解.一般地 条件给出谁 ïｍ
ꎬ ꎬ 或í
的范围 就看成有关谁的函数 利用函数单调性求解. ï ≤１ꎬ
ꎬ ꎬ ï２
４.数形结合法 îｆ ｍ ｍ
(１)＝１－ ＋ ＋１≥０ꎬ
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴 区间端点的函 解得ｍ .
、 <２＋２ ２
数值或函数图象的位置 相对于ｘ轴 关系求解. ｘ ｘ
( ) 解法二 由 ｘ ｍ ｘ ｍ 得ｍ ９ ＋１ 令ｆ ｘ ９ ＋１
此外 若涉及的不等式能转化为一元二次不等式 则可结合相 : ９ － ３ ＋ ＋１>０ < ｘ ꎬ ( )＝ ｘ ꎬ
ꎬ ꎬ ３ －１ ３ －１
应一元二次方程根的分布解决问题. 因为ｘ
∈(０ꎬ＋∞)ꎬ
例 已知ｘ 不等式 ｘ ｍ ｘ ｍ 恒成立 则ｍ 所以 ｘ ｘ
∈(０ꎬ＋∞)ꎬ ９ － ３ ＋ ＋１>０ ꎬ ３ >１ꎬ３ －１>０ꎬ
的取值范围是 ｘ
( ) 所以ｆ ｘ ９ ＋１ ｘ ２ 当且仅当 ｘ
( )＝ ｘ ＝３ －１＋ ｘ ＋２≥２ ２＋２( ３ ＝１＋ ２
Ａ.(２－２ ２ꎬ２＋２ ２) Ｂ.(－∞ꎬ２) ３ －１ ３ －１
时取
“＝”)ꎬ
Ｃ.(－∞ꎬ２＋２ ２) Ｄ.[２＋２ ２ꎬ＋∞)
解析 解法一
:
令ｔ
＝３
ｘ
(
ｔ
>１)ꎬ
则由已知得
ꎬ
函数ｆ
(
ｔ
)＝
ｔ２
－
所以ｍ
<２＋２ ２
.
ｍｔ ｍ 在ｔ 上的图象恒在ｘ轴的上方 答案 Ｃ
＋ ＋１ ∈(１ꎬ＋∞) ꎬ
第
二
章
不
等
式
１１
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 不等式的概念和性质 销前总价的七折 则ｘ的最大值为 .
学生用书P122 ꎬ
答案
１.(２０２２全国甲理ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)已知ａ ３１ ｂ １ ｃ ①１３０ ②１５
＝ ꎬ ＝ｃｏｓ ꎬ ＝ 考点二 不等式的解法
３２ ４ 学生用书P122
ｘ
１ 则 １.(２０１２重庆ꎬ２ꎬ５分ꎬ基础性)不等式 －１ 的解集为
４ｓｉｎ ꎬ ( ) ｘ ≤０
４ ２ ＋１
ｃ ｂ ａ ｂ ａ ｃ
Ａ. > > Ｂ. > > ( )
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ( ]
Ｃ. > > Ｄ. > > １
答案 Ａ Ａ. － ꎬ１
２
２.(２０１４四川ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)若ａ ｂ ｃ ｄ 则一定有 [ ]
> >０ꎬ < <０ꎬ １
Ｂ. － ꎬ１
( ) ２
ａ ｂ ａ ｂ ( )
１
Ａ. ｃ > ｄ Ｂ. ｃ < ｄ Ｃ. －∞ꎬ－ ∪[１ꎬ＋∞)
２
( ]
ａ ｂ ａ ｂ
１
Ｃ. ｄ > ｃ Ｄ. ｄ < ｃ Ｄ. －∞ꎬ－ ∪[１ꎬ＋∞)
２
答案 Ｄ 答案 Ａ
３.(２０１４山东ꎬ５ꎬ５分ꎬ综合性)已知实数ｘ ｙ满足ａｘ ａｙ ａ ２.(２０１１江西ꎬ４ꎬ５分ꎬ综合性)若ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ 则ｆ ′ ｘ
ꎬ < (０< < ( )＝ －２ －４ｌｎ ꎬ ( )
则下列关系式恒成立的是 的解集为
１)ꎬ ( ) >０ ( )
１ １ ｘ２ ｙ２ Ａ.(０ꎬ＋∞)
Ａ.ｘ２
＋１
>ｙ２
＋１
Ｂ.ｌｎ( ＋１)>ｌｎ( ＋１)
Ｂ.(－１ꎬ０)∪(２ꎬ＋∞)
Ｃ.ｓｉｎ
ｘ
>ｓｉｎ
ｙ
Ｄ.
ｘ３
>
ｙ３
Ｃ.(２ꎬ＋∞)
答案 Ｄ
Ｄ.(－１ꎬ０)
４.(２０１１全国ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)下面四个条件中 使ａ ｂ成立的 答案 Ｃ
ꎬ >
充分而不必要的条件是 ３.(２０１４浙江ꎬ６ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ｘ３ ａｘ２ ｂｘ ｃ
( ) ( )＝ ＋ ＋ ＋ ꎬ
Ａ.
ａ
>
ｂ
＋１ Ｂ.
ａ
>
ｂ
－１ Ｃ.
ａ２
>
ｂ２
Ｄ.
ａ３
>
ｂ３ 且
０<
ｆ
(－１)＝
ｆ
(－２)＝
ｆ
(－３)≤３ꎬ
则
( )
答案 Ａ ｃ ｃ
Ａ. ≤３ Ｂ.３< ≤６
５.(２０１９北京理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ应用性)李明自主创业 在网上经营 ｃ ｃ
ꎬ Ｃ.６< ≤９ Ｄ. >９
一家水果店 销售的水果中有草莓 京白梨 西瓜 桃 价格依次 答案 Ｃ
ꎬ 、 、 、 ꎬ
为 元/盒 元/盒 元/盒 元/盒.为增加销量 李明对
４.(２０１３陕西ꎬ９ꎬ５分ꎬ应用性)在如图所示的锐角三角形空地
６０ 、６５ 、８０ 、９０ ꎬ
这四种水果进行促销 一次购买水果的总价达到 元 顾客 中 欲建一个面积不小于 ２的内接矩形花园 阴影部分
: １２０ ꎬ ꎬ ３００ ｍ ( )ꎬ
就少付ｘ元.每笔订单顾客网上支付成功后 李明会得到支付 则其边长ｘ 单位 的取值范围是
ꎬ ( :ｍ) ( )
款的 ％.
８０
当ｘ 时 顾客一次购买草莓和西瓜各 盒 需要支付
① ＝１０ ꎬ １ ꎬ
元
ꎻ
在促销活动中 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促
② ꎬ
ａ ａ
Ａ. <０ Ｂ. >０
ｂ ｂ
Ｃ. <０ Ｄ. >０
答案 Ｃ
６.(２０１９天津文ꎬ１０ꎬ５分ꎬ基础性)设ｘ Ｒ 使不等式 ｘ２ ｘ
∈ ꎬ ３ ＋ －２
成立的ｘ的取值范围为 .
<０
( )
答案 ꎬ２
－１
Ａ.[１５ꎬ２０] Ｂ.[１２ꎬ２５] ３
７.(２０１３ 广东ꎬ９ꎬ５ 分ꎬ基础性)不等式 ｘ２ ｘ 的解
Ｃ.[１０ꎬ３０] Ｄ.[２０ꎬ３０]
＋ －２<０
答案 Ｃ 集为 .
５.(２０２０浙江ꎬ９ꎬ４分ꎬ综合性)已知ａ ꎬ ｂ ∈ Ｒ且ａｂ ≠０ꎬ 对于任 答案 {ｘ ｜－２< ｘ <１ }
意ｘ 均有 ｘ ａ ｘ ｂ ｘ ａ ｂ 则
≥０ ( － )( － )( －２ － )≥０ꎬ ( )
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１２
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P123
考点一 不等式的概念和性质 答案 Ｂ
５.(多选)(２０２２山东菏泽一模ꎬ１１)下列结论正确的有
１.(２０２２福州一模ꎬ４) “０< ａ < ｂ ” 是 “ ａ － １ ａ < ｂ － １ ｂ ” 的 ( ) 若 ａ２ ｂ２ 则 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ( )
Ａ. ｌｎ >ｌｎ ꎬ ２ >２
充分不必要条件 必要不充分条件 ａ ｂ
Ａ. Ｂ. 若｜ ｜ ｜ ｜ 则 ａ ｂ
充分必要条件 既不充分也不必要条件 Ｂ. ａ２ > ｂ２ ꎬ ２ <２
Ｃ. Ｄ.
答案 Ａ 若ｂ ａ 为自然对数的底数 则ａｂ ｂａ
Ｃ. > >ｅ(ｅ )ꎬ <
２.(２０２２重庆市育才中学３月月考ꎬ３)已知ａ ｂ 则下列不等式 ｂ
> ꎬ 若 ａ ｂ ａ２ 则 ａ
中一定成立的是 Ｄ. ０<２ < <３－ ꎬ ｓｉｎ <ｓｉｎ
２
( )
答案 ＡＤ
Ａ. １ ａ < １ ｂ Ｂ. ａ２ > ｂ２ Ｃ.ｌｎ ａ >ｌｎ ｂ Ｄ.２ ａ － ｂ >１ 考点 二 不等式的解法
答案 Ｄ
１.(２０２１石家庄一模ꎬ４) ａ 是 ａ ２ 的
３.(多选)(２０２２广东湛江、肇庆三模ꎬ９)若ａ ｂ 则下列不等式 “ >２” “ ＋ ａ >３” ( )
> ꎬ
中正确的有 充要条件 必要不充分条件
( ) Ａ. Ｂ.
ａ ｂ ａ ｂ 充分不必要条件 既不充分也不必要条件
Ａ. － >０ Ｂ.２ >２ Ｃ. Ｄ.
ａｃ ｂｃ ａ２ ｂ２ 答案 Ｃ
Ｃ. > Ｄ. >
答案 ＡＢ ２.(２０２２福建三明期末ꎬ１３)已知命题ｐ
:∃
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ
ｘ２
－
ａｘ
＋
ａ
<０ꎬ
４.(２０２１上海杨浦一模ꎬ１３)设ａ ｂ ｃ 则下列不等式恒成 若命题ｐ为假命题 则实数ａ的取值范围是 .
> >０ꎬ ≠０ꎬ ꎬ
立的是 答案 [ ꎬ ]
( ) ０ ４
ｃ ｃ
１ １ ａｃ２ ｂｃ２ ａｃ ｂｃ
Ａ. ａ > ｂ Ｂ. > Ｃ. > Ｄ. ａ < ｂ
B组 综合应用题组 学生用书P124
10分钟 20分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) 则下列不等式一定成立的是
( )
１.(２０２２山东潍坊一模ꎬ２) ａ ｂ 是 ａｂ 的
“ >１ꎬ >１” “ >１” ( ) ｂ ａ ｂ ａ １ ｂ １
充分不必要条件 必要不充分条件 Ａ.｜ － ｜> Ｂ. ＋ ａ > ＋ ｂ
Ａ. Ｂ.
充要条件 既不充分也不必要条件 ｂ ｂ
Ｃ. Ｄ. ＋１ ｅ ａ ｂ ｂ ａ
答案 Ａ Ｃ.ａ < ａ Ｄ. ＋ｌｎ < ＋ｌｎ
－１ ｌｎ
答案 Ｃ
２.(２０２２广东汕头金山中学期末ꎬ４)已知 １ １ 则下列结
ａ < ｂ <０ꎬ 二、多项选择题(共５分)
论一定正确的是 ４.(２０２２江苏泰州二调ꎬ１０)若ａ ｂ ｃ 则
( ) > >０> ꎬ ( )
ｂ ａ ｃ ｃ ｂ ｃ ｂ
ａ２ ｂ２ －
Ａ. > Ｂ. ａ ＋ ｂ <２ Ａ. ａ > ｂ Ｂ.ａ ｃ> ａ
－
ａ ａ ａ ｂ ａ２ ａｂ ａｃ ｂｃ ａ ｃ ｂｃ
Ｃ.｜ ｜ <｜ ｜ Ｄ.ｌｇ <ｌｇ( ) Ｃ. > Ｄ. － >２ －
答案 Ｄ 答案 ＡＢＤ
３.(２０２２江苏苏州学业质量阳光指标调研ꎬ７)已知ａ ｂ
> ＋１>１ꎬ
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P124
１.(２０２２ ５３ 原创题)已知 ｆ ｘ 是定义在 Ｒ 上的奇函数 ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
( ) ꎬ Ｃ. ( )＝２ Ｄ. ( )＝ｓｉｎ
( ) ｆ ｘ 答案 Ｂ
ｆ ′ ｘ 是ｆ ｘ 的导函数 ｆ １ 且ｆ ′ ｘ ｘ ( )
( ) ( ) ꎬ ≠０ꎬ ( )ｌｎ(２ )＋ ｘ <０ꎬ ３.(多选)(２０２２ ５３原创题)已知函数ｆ ｘ 满足对任意实数
２ ( )
则不等式 ( ｘ２ －４) ｆ ( ｘ )>０ 的解集是 ( ) ｘ ꎬ 不等式 ４ ｘ ≤ ｆ ( ｘ )≤( ｘ ＋１) ２ 恒成立 ꎬ 则 ( )
存在ｆ ｘ ａｘ ａ 且ａ 满足题意
Ａ.(２ꎬ＋∞) Ｂ.(－１ꎬ０) Ａ. ( )＝ ( >０ ≠１)
ｆ 恒成立
Ｃ.(－１ꎬ０)∪(２ꎬ＋∞) Ｄ.(－∞ꎬ－２)∪(０ꎬ２) Ｂ. (１)＝４
答案 Ｄ 存在实数ｂ ｃ使函数ｆ ｘ ｘ２ ｂｘ ｃ满足题意
Ｃ. ꎬ ( )＝２ ＋ ＋
２.(２０２２５３原创题)下列函数中使得不等式ｆ２ ｘ ｆ ｘ
( )＋６( )＋８ 若函数ｆ ｘ １ ｘ２ ｂｘ ｃ满足题意 则ｃ １
的解集不是空集的是 Ｄ. ( )＝ ＋ ＋ ꎬ ＝
<０ ( ) ２ ２
ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ｘ 答案 ＢＤ
Ａ. ( )＝ －２ Ｂ. ( )＝ｌｎ
第
二
章
不
等
式
１３
