北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题二 不等式
2.1 不等式及其解法
基础篇 固本夯基
考点一 不等式的概念与性质
1.(2022届南京十三中月考,5)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式一定成立的是( )
A.ab2>bc2 B.ab2>b2c
C.(ab-ac)(b-c)>0 D.(ac-bc)(a-c)>0
答案 C
2.(2021上海杨浦一模,13)设a>b>0,c≠0,则下列不等式恒成立的是( )
1 1 c c
A. > B.ac2>bc2 C.ac>bc D. <
a b a b
答案 B
3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是( )
1 1
A.若a<b<0,则 <
a b
B.若a>b>0,则ac2>bc2
a b
C.若c>a>b>0,则 <
c-a c-b
a a+c
D.若a>b>c>0,则 >
b b+c
答案 D
4.(多选)(2022届湖南岳阳一中入学考,9)若b<a<0,则下列不等式正确的是( )
1 1
A. < B.|a|+b>0
a+b ab
1 1
C.a- >b- D.ln a2>ln b2
a b
答案 AC
5.(多选)(2022届福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是( )
1 1
A.若 > ,则x<y
x y
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x y
B.若xy>0,则 + ≥2
y x
y y+c
C.若x>y>0,c>0,则 <
x x+c
D.若xy+1>x+y,则x>1,y>1
答案 BC
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
1 1
A.a2+b2≥ B.2a-b>
2 2
C.loga+logb≥-2 D.√a+√b≤√2
2 2
答案 ABD
7.(多选)(2021广东深圳实验学校月考,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是( )
1 1
A. < B.ac2>bc2
a b
C.(1) a <(1) b D.lg a2>lg(ab)
2 2
答案 ACD
8.(2018天津文,5,5分)已知a=log
3
7,b=(1)
3
1 ,c=lo
g
1 ,则a,b,c的大小关系为( )
2 4 1 5
3
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
9.(多选)(2020山东滨州三校联考,4)设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是( )
1 1 1 1
A. < B. > C.a>b2 D.a2>b2
a b a b
答案 CD
1 1
10.(2021济南一模)能够说明“若a>b,则 < ”是假命题的一组非零实数a,b的值依次为
a+√3 a b+√3 b
.
答案 1,-1(答案不唯一)
考点二 不等式的解法
1.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,1)不等式x2-2x-8≤0的解集为( )
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A.{x|-4≤x≤2} B.{x|-2≤x≤4}
C.{x|x≥4或x≤-2} D.{x|x≥2或x≤-4}
答案 B
2.(2022届山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为{ 1},则函数y=cx2-x-a的图象可以
x|-1<x<
2
为( )
A B
C D
答案 C
3.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax
的解集为( )
A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|0<x<3}
答案 C
4.(2020北京昌平高考模拟,5)已知关于x的不等式ax-b≤0的解集是[2,+∞),则关于x的不等式ax2+(3a-
b)x-3b<0的解集是( )
A.(-∞,-3)∪(2,+∞) B.(-3,2)
C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-2,3)
答案 A
5.(2020浙江,9,4分)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则( )
A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0
答案 C
6.(多选)(2022届长沙长郡中学月考一,10)已知不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},则下列四个结论中正
确的是( )
A.a2=4b
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1
B.a2+ ≥4
b
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x,x),则xx>0
1 2 1 2
D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x,x),且|x-x|=4,则c=4
1 2 1 2
答案 ABD
7.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
7.答案 ( 2)
-1,
3
8.(2022届湖北九师联盟11月质量检测,17)已知f(x)=ax2+b(4-b)x-3.
(1)若不等式f(x)>0的解集为(1,3),求实数a,b的值;
(2)解关于b的不等式f(1)-ab<0(a∈R).
解析 (1)因为ax2+b(4-b)x-3>0的解集为(1,3),
所以1,3是关于x的方程ax2+b(4-b)x-3=0的两根,且a<0,
{
b(4-b)
1+3=- ,
所以 a 解得{a=-1,
-3 b=2.
1×3= ,
a
(2)由题意知f(1)-ab=a+b(4-b)-3-ab<0,
所以b2+(a-4)b+3-a>0,
方程b2+(a-4)b+3-a=0的两根分别为1,3-a.
①当1=3-a,即a=2时,解得b≠1,故f(1)-ab<0的解集为{b|b≠1};
②当1>3-a,即a>2时,解得b>1或b<3-a,故f(1)-ab<0的解集为{b|b<3-a或b>1};
③当1<3-a,即a<2时,解得b>3-a或b<1,故f(1)-ab<0的解集为{b|b<1或b>3-a}.
9.(2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不等式f(x)>0的解集为
{x|-2<x<1}.
(1)求实数a,b的值;
(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的
取值范围.
b
{-2+1=- ,
解析 (1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以 a
2
(-2)×1= ,
a
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所以a=-1,b=-1.
(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={ m},因为A⊆B,所以-
x|x>-
3
m
≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.
3
综合篇 知能转换
考法 不等式恒成立问题的常见解法
1.(2020山东泰安一中月考,6)设m为实数,若函数f(x)=x2-mx+2在区间(-∞,2)上是减函数,对任意的x,x∈
1 2
[ m ],总有|f(x)-f(x)|≤4,则m的取值范围为( )
1, +1 1 2
2
A.[4,6] B.(4,6) C.(4,6] D.[4,6)
答案 A
2.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,15)已知1+2x+4x·a>0对一切x∈(-∞,1]恒成立,则实数a的取值范围
是 .
答案 ( 3 )
- ,+∞
4
3.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)={x2+2x+a-2,x≤0,
若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,
-x2+2x-2a,x>0.
则a的取值范围是 .
答案 [1 ]
,2
8
4.(2022届山东鱼台一中第一次月考,18)若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,∴
{ 2a=2, { a=1,
∴ ∴f(x)=x2-x+1.
a+b=0, b=-1,
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(2)由题意知x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2-3x+1-m=( 3) 2 -
x-
2
5 3
-m,其图象的对称轴为直线x= ,∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数,∴g(x) =g(1)=1-3+1-m>0.∴m<-1.故实数m
min
4 2
的取值范围是{m|m<-1}.
应用篇 知行合一
应用 不等式在实际问题中的应用
1.(2021上海闵行期末,9)垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,具有社会、经济、生态等几方面的
效益.某地街道呈现东—西,南—北向的网格状,相邻街距都为1,两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两
条街道所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(2,1),(2,3),(-2,4),(4,5),(6,6)为垃圾回收点,
当格点(除回收点外) 为垃圾集中回收站时,这6个回收点沿街道到回收站的路程的和最短.
答案 (2,4)
2.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价
格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的
总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
答案 ①130 ②15
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