北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.3 等比数列
基础篇 固本夯基
考点一 等比数列及其前n项和
1.(2022届河北唐山玉田一中摸底考试)已知{a}为等比数列,{b}为等差数列,a=b=2,a =b =8,则a+b=(
n n 2 2 10 10 6 6
)
A.9 B.1
C.9或1 D.以上都不对
答案 A
2.(2022届辽宁渤海大学附中考试)已知递增等比数列{a}中,a+a=18,aa=32,若a=128,则n=( )
n 2 5 3 4 n
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
3.(多选)(2022届湖北新高考联考协作体考试,9)已知等比数列{a}的公比为q,前4项的和为a+14,且
n 1
a,a+1,a 成等差数列,则q的值可能为( )
2 3 4
1
A. B.1 C.2 D.3
2
答案 AC
4.(2020课标Ⅱ理,6,5分)数列{a}中,a=2,a =a a.若a +a +…+a =215-25,则k=( )
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
S
5.(2020课标Ⅱ文,6,5分)记S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和.若a
5
-a
3
=12,a
6
-a
4
=24,则 n=( )
a
n
A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1
答案 B
6.(2019课标Ⅲ,文6,理5,5分)已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项和为15,且a=3a+4a,则a=( )
n 5 3 1 3
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,10)已知等比数列{a}的公比为q,且a=1,则下列选项正确的是( )
n 5
A.a+a≥2 B.a+a≥2
3 7 4 6
C.a-2a+1≥0 D.a-2a-1≥0
7 6 3 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 AC
1
8.(2019课标Ⅰ理,14,5分)记S 为等比数列{a}的前n项和.若a= ,a2=a,则S= .
n n 1 3 4 6 5
121
答案
3
9.(2022届辽宁六校期初联考,19)已知数列{a}是公比不为1的等比数列,且a+a=12,3a,2a,a 成等差数列.
n 3 4 1 2 3
(1)求a;
n
(2)设b={n,n为奇数, 求数列{b}的前2n项的和S .
n n 2n
a ,n为偶数,
n
解析 (1)设数列{a}的公比为q(q≠1),因为3a,2a,a 成等差数列,所以3a+a=4a,所以3a+aq2=4aq,即q2-
n 1 2 3 1 3 2 1 1 1
1
4q+3=0,解得q=3或q=1(舍去).又a+a=12,即aq2+aq3=12,解得a= ,所以a=aqn-1=3n-2.
3 4 1 1 1 n 1
3
(2)由(1)可得b={ n,n为奇数, 所以S =1+30+3+32+5+34+…+(2n-1)+32n-2=[1+3+5+…+(2n-1)]
n 2n
3n-2,n为偶数,
+(30+32+34+…+32n-2)=[1+(2n-1)]·n+30 (1-32n )=n2+32n-1.
2 1-32 8
10.(2022届河北开学联考)已知数列{a},{b}满足a=-2b=4,且{a}是公差为1的等差数列,{a+b}是公比为2
n n 1 1 n n n
的等比数列.
(1)求{a},{b}的通项公式;
n n
(2)求{|b|}的前n项和T.
n n
解析 (1)因为{a}是公差为1的等差数列,a=4,所以a=n+3.由题得b=-2,所以a+b=2,又{a+b}是公比为2
n 1 n 1 1 1 n n
的等比数列,所以a+b=2n,故b=2n-a=2n-n-3.
n n n n
(2)由(1)知b=2n-n-3,所以{b}为递增数列,又b=-2,b=-1,b=2,故当n≥3时,恒有b>0,故|b|=
n n 1 2 3 n n
{n+3-2n,1≤n≤2,记{b}的前n项和为S,则S=(21+22+…+2n)-(4+5+…+n+3)=2·(1-2n )- n(n+7)
n n n
2n-n-3,n≥3. 1-2 2
n2+7n+4 n2+7n+4
=2n+1- .当1≤n≤2时,T=-S=-2n+1+ ,当n≥3时,T=-b-b+b+b+…+b=-S+S-
n n n 1 2 3 4 n 2 n
2 2
n2+7n-8
S=S-2S=2n+1- .
2 n 2
2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{ -2n+1+
n2+7n+4
,1≤n≤2,
2
综上,T=
n
n2+7n-8
2n+1- ,n≥3.
2
11.(2021辽宁开原三模,18)给出以下三个条件:①4a,3a,2a 成等差数列;②∀n∈N*,点(n,S)均在函数y=2x-a
3 4 5 n
的图象上,其中a为常数;③S=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解.
3
设{a}是一个公比为q(q>0,且q≠1)的等比数列,且它的首项a=1, .
n 1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)令b=2loga+1(n∈N*),证明:数列{ 1 }的前n项和T<1.
n 2 n n
b b 2
n n+1
解析 (1)选①.因为4a,3a,2a 成等差数列,所以6a=4a+2a,即6a·q=4a+2aq2,解得q=1(舍)或q=2,所以
3 4 5 4 3 5 3 3 3
a=2n-1.
n
选②.由题意得S=2n-a,因为a=S=2-a=1,所以a=1,所以S=2n-1,
n 1 1 n
当n≥2时,S =2n-1-1,则a=S-S =2n-1,当n=1时,a=1,符合上式,所以a=2n-1.
n-1 n n n-1 1 n
选③.由S=7,得a+a+a=7,即a+a·q+a·q2=7,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2,所以a=2n-1.
3 1 2 3 1 1 1 n
(2)证明:b=2log2n-1+1=2n-1,n∈N*,
n 2
则 1 = 1 =1( 1
-
1 ),所以T
n
=
b b (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
n n+1
1( 1 1 1 1 1 )=1( 1 ),
1- + - +…+ - 1-
2 3 3 5 2n-1 2n+1 2 2n+1
1 1
因为n∈N*,所以1- <1,所以T< ,得证.
2n+1 n 2
12.(2020新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{a}满足a+a=20,a=8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)(新高考Ⅰ)记b 为{a}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
(新高考Ⅱ)求aa-aa+…+(-1)n-1aa .
1 2 2 3 n n+1
1
解析 (1)设{a}的公比为q.由题设得aq+aq3=20,aq2=8.解得q= (舍去),q=2.由题设得a=2.
n 1 1 1 1 2 1
2
所以{a}的通项公式为a=2n.
n n
(2)(新高考Ⅰ)由题设及(1)知b=0,且当2n≤m<2n+1时,b =n.
1 m
所以S =b+(b+b)+(b+b+b+b)+…+(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
(新高考Ⅱ)aa-aa+…+(-1)n-1aa
1 2 2 3 n n+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1
= 23 [1-(-22 ) n ]=8-(-1)n22n+3 .
1-(-22 ) 5 5
13.(2020课标Ⅲ文,17,12分)设等比数列{a}满足a+a=4,a-a=8.
n 1 2 3 1
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)记S 为数列{loga}的前n项和.若S +S =S ,求m.
n 3 n m m+1 m+3
解析 (1)设{a}的公比为q,则a=aqn-1.
n n 1
{a +a q=4,
由已知得 1 1 解得a=1,q=3.
1
a q2-a =8.
1 1
所以{a}的通项公式为a=3n-1.
n n
n(n-1)
(2)由(1)知loga=n-1.故S= .
3 n n
2
由S +S =S 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6.
m m+1 m+3
考点二 等比数列的性质
1.(2022届济南历城二中调研)在等比数列{a}中,a=-1,a=-4,则aaa=( )
n 2 6 3 4 5
A.-8 B.8 C.±8 D.16
答案 A
2.(2021全国甲理,7,5分)等比数列{a}的公比为q,前n项和为S.设甲:q>0,乙:{S}是递增数列,则( )
n n n
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
3.(2020课标Ⅰ文,10,5分)设{a}是等比数列,且a+a+a=1,a+a+a=2,则a+a+a=( )
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
A.12 B.24 C.30 D.32
答案 D
4.(多选)(2021江苏七市第二次调研,9)已知数列{a}是等比数列,下列结论正确的为( )
n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.若aa>0,则aa>0
1 2 2 3
B.若a+a<0,则a+a<0
1 3 1 2
C.若a>a>0,则a+a>2a
2 1 1 3 2
D.若aa<0,则(a-a)(a-a)<0
1 2 2 1 2 3
答案 AC
n
5.(多选)(2021重庆一模,12)已知数列{a}和各项均为正数的等比数列{b}满足:∑(a+i)=2b-2,b=2,b+b 是b
n n i n 1 2 3 3
i=1
与b 的等差中项,数列{a}的前n项和为S,则下列结论正确的是( )
4 n n
A.数列{a-b}是等差数列
n n
n(n+1)
B.S=2n+1-2-
n
2
C.数列{a}是递增数列
n
D. ∑ n 1<2( 1- 1 )
a b
i=1 i n
答案 ABC
综合篇 知能转换
A组
考法 等比数列的判定与证明
1.(2022届广州调研)已知数列{a
n
}满足
a2
=a
n
a
n+2
(n∈N*),若a
3
=1,a
7
=4,则a
5
=( )
n+1
A.±2 B.-2 C.2 D.8
答案 C
2.(多选)(2022届河北秦皇岛青龙8月测试,11)在公比为q的等比数列{a}中,S 是数列{a}的前n项和,若
n n n
a=1,a=27a,则下列说法正确的是( )
1 5 2
A.q=3
B.数列{S+2}不是等比数列
n
C.S=120
5
D.2lg a=lg a +lg a (n≥3)
n n-2 n+2
答案 ABD
3.(多选)(2021长沙长郡中学月考(一))已知数列{a}的前n项和为S,且a=p,2S-S =2p(n≥2,p为非零常数),
n n 1 n n-1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
则下列结论中正确的是( )
A.数列{a}为等比数列
n
15
B.当p=1时,S=
4
16
1
C.当p= 时,a a=a (m,n∈N*)
m n m+n
2
D.|a|+|a|=|a|+|a|
3 8 5 6
答案 AC
4.(多选)(2022届重庆西南大学附中开学考,11)“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后,既没有办法
稳定下来,也没有办法转变为新的形态,而只能不断地在内部变得更加复杂的现象.热爱数学的小明由此想到
了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,具体作法是在边长为
1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;
再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;依此进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所
示.设第n个正方形的边长为a(其中第1个正方形ABCD的边长为a=AB,第2个正方形EFGH的边长为
n 1
a=EF,……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为S(其中第1个直角三角形AEH的面积为S,第2个直角
2 n 1
三角形EQM的面积为S,……),则( )
2
2
A.数列{a}是公比为 的等比数列
n
3
1
B.S=
1
12
4
C.数列{a}是公比为 的等比数列
n
9
1
D.数列{S}的前n项和T<
n n
4
答案 BD
5.(2022届山东临沂平邑一中收心考)已知{a}是由正整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A,最
n n
A
小值记为B
n
,令b
n
= n.
B
n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)若a=2n(n=1,2,3,…),写出b,b,b 的值;
n 1 2 3
(2)证明:b ≥b(n=1,2,3,…);
n+1 n
(3)若{b}是等比数列,证明:存在正整数n,当n≥n 时,a,a ,a ,…是等比数列.
n 0 0 n n+1 n+2
解析 (1)∵a=2n(n=1,2,3,…),∴A=2n,B=2,
n n n
A
∴b
n
= n=n,∴b
1
=1,b
2
=2,b
3
=3.
B
n
A A
(2)证明:由题意知A
n+1
≥A
n
>0,0<B
n+1
≤B
n
,∴A
n+1
B
n
≥A
n
B
n+1
,即 n+1≥ n,∴b
n+1
≥b
n
.
B B
n+1 n
A a
(3)证明:由已知得b
1
= 1= 1=1,b
n+1
≥b
n
.
B a
1 1
A
①当b
n+1
=b
n
时,得b
n
=1,即 n=1,∴A
n
=B
n
.∴a
n
=a
1
,∴{a
n
}是公比为1的等比数列.
B
n
②当b >b 时,令a=min{a,a,…,a,…},则B =a(m≥t).当n≥t时,显然A >A.
n+1 n t 1 2 n m t n+1 n
A a
若a
n+1
≤A
n
,则A
n+1
=A
n
,与A
n+1
>A
n
矛盾,所以a
n+1
>A
n
≥a
n
,即A
n+1
=a
n+1
.取n
0
=t+1,当n≥n
0
时,b
n
= n= n,显然
B a
n t
a,a ,a ,…是等比数列.综上,存在正整数n,使得n≥n 时,a,a ,a ,…是等比数列.
n n+1 n+2 0 0 n n+1 n+2
6.(2022届重庆西南大学附中开学考试,19)在数列{a}中,已知a=2,a a=2a-a (n∈N*).
n 1 n+1 n n n+1
(1)证明:数列{1
-1
}为等比数列;
a
n
a a
(2)记b n = n n+1,数列{b n }的前n项和为S n ,求使得S n >1.999成立的整数n的最小值.
2n
解析 (1)证明:由a n+1 a n =2a n -a n+1 ,得a n+1 = 2a n ,从而 1 = a n +1 = 1 +1,
a +1 a 2a 2a 2
n n+1 n n
∴ 1 -1= 1 -1= 1( 1 -1 ).又 1 -1=-1 ≠0,
a 2a 2 2 a a 2
n+1 n n 1
故数列{1 -1 }是首项为-1,公比为 1 的等比数列.
a 2 2
n
