北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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微专题二 衍生数列问题
1.(多选)(2024黑龙江哈尔滨六中二模,10)已知等差数列{a }的首项a =1,公差d=6,在{a }中
n 1 n
每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b },下列
n
说法正确的有 ( ABD )
A.a =6n-5
n
B.当k=2时,b =2n-1
n
C.当k=2时,b 不是数列{a }中的项
19 n
D.若b 是数列{a }中的项,则k的值可能为6
8 n
2.(2024东北三省三校第二次联考,17)已知等比数列{a }的前n项和为S ,且S =3S +1,其
n n n+1 n
中n∈N*.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)在a 与a 之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列,在数列{d }中
n n+1 n n
是否存在不同三项d ,d,d (其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;
m k p
若不存在,请说明理由.
解析 (1)当n≥2时,S =3S +1,S =3S +1,
n+1 n n n-1
两式相减得a =3a (n≥2),
n+1 n
又因为{a }是等比数列,所以公比为3,
n
由S =3S +1知,a +a =3a +1,即a =2a +1.
n+1 n 1 2 1 2 1
因为a =2a +1=3a ,所以a =1,所以a =3n-1.
2 1 1 1 n
(2)由(1)可知a =3n-1,a =3n,
n n+1
2×3n−1
因为a =a +(n+2-1)d ,所以d = ,
n+1 n n n n+1
假设在数列{d }中存在三项d ,d,d (其中m,k,p成等差数列)成等比数列,
n m k p
(2·3k−1
)
2 2·3m−1 2·3p−1
则d2 =d ·d ,即 = · ,
k m p k+1 m+1 p+1
4·32k−2 4·3m+p−2
所以 = (*),
(k+1) 2 (m+1)(p+1)
因为m,k,p成等差数列,所以m+p=2k,
代入(*)式整理得(k+1)2=(m+1)(p+1),
(m+p) 2
k2+2k+1=mp+m+p+1,k2=mp, =mp,(m-p)2=0,
2
所以m=k=p,与题设矛盾.
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所以在数列{d }中不存在三项d ,d,d 成等比数列.
n m k p
3.(2024湖南九校联盟第二次联考,18)已知数列{a }的前n项和为S ,满足2S +a =3;数列{b }
n n n n n
满足b +b =2n+1,其中b =1.
n n+1 1
(1)求数列{a },{b }的通项公式.
n n
(2)对于给定的正整数i(i=1,2,…,n),在a和a 之间插入i个数c ,c ,…,c ,使
i i+1 i1 i2 ii
a,c ,c ,…,c ,a 成等差数列.
i i1 i2 ii i+1
(i)求T =c +c +c +…+c +c +…+c ;
n 11 21 22 n1 n2 nn
1
b −1+
m a
(ii)是否存在正整数m,使得 m+2 恰好是数列{a }或{b }中的项?若存在,求出所
2m+3 n n
b −1−
m 2T −3
m
有满足条件的m的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)由2S +a =3①,得n≥2时,2S +a =3②,
n n n-1 n-1
1
①-②得2a +a -a =0,∴a = a (n≥2). (1分)
n n n-1 n 3 n-1
当n=1时,2a +a =3,∴a =1, (2分)
1 1 1
1
∴{a }是首项为1,公比为 的等比数列,
n 3
(1) n−1
故a = (n∈N*), (3分)
n 3
由b +b =2n+1③,b =1得b =2,又b +b =2n+3④,
n n+1 1 2 n+1 n+2
④-③得b -b =2, (4分)
n+2 n
∴{b }的所有奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列;所有偶数项构成首项为2,公差为2
n
的等差数列,
则b =1+(n-1)×2=2n-1,b =2+(n-1)×2=2n,
2n-1 2n
∴b =n(n∈N*).
n
(1) n−1
综上,a = ,b =n(n∈N*). (6分)
n 3 n
(2)(i)在a 和a 之间插入n个数c ,c ,…,c ,使a ,c ,c ,…,c ,a 成等差数列,
n n+1 n1 n2 nn n n1 n2 nn n+1
(1) n (1) n−1
a −a − 2
设公差为d ,则d = n+1 n = 3 3 =- , (7分)
n n (n+2)−1 3n (n+1)
n+1
(1) n−1 2k
则c =a +kd = - ,k=1,2,…,n,
nk n n 3 3n (n+1)
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n n 2 n(n+1) 2n
∴
∑❑c
= - · = ,
nk 3n−1 3n (n+1) 2 3n
k=1
1 2 n
T =c +c +c +…+c +c +…+c =2 3+32+…+3n ⑤.
n 11 21 22 n1 n2 nn
1 ( 1 2 n )
则 T =2
+ +…+
⑥, (9分)
3 n 32 33 3n+1
2 1 1 1 n
⑤-⑥得 3 T n =2 3 + 32+…+ 3n- 3n+1
1 1 1
( − × )
3 3n 3 n 2n+3
=2 − =1- ,
1 3n+1 3n+1
1−
3
3 2n+3
∴T = - .(11分)
n 2 2×3n
(1) n−1 3 2n+3
(ii)由(1)知a = ,b =n(n∈N*).T = - ,
n 3 n n 2 2×3n
1
b −1+
m a m−1+3m+1
m+2
= ,
2m+3 m−1+3m
b −1−
m 2T −3
m
m−1+3m+1
假设 是数列{a }或{b }中的一项,
m−1+3m n n
m−1+3m+1
不妨设 =k(k>0,m∈N*),
m−1+3m
∴(k-1)(m-1)=(3-k)·3m, (13分)
∵m-1≥0,3m>0(m∈N*),
(1) n−1
∴1<k≤3,而a = ≤1,
n 3
m−1+3m+1
∴ 不可能是数列{a }中的项. (14分)
m−1+3m n
m−1+3m+1
假设 是{b }中的项,则k∈N*.
m−1+3m n
m−1 m−1 m m−1 −2m+3
当k=2时,有m-1=3m,即 =1,令f(m)= , f(m+1)-f(m)= - = ,当m=1
3m 3m 3m+1 3m 3m+1
时, f(1)<f(2),当m≥2时, f(m+1)-f(m)<0, f(1)<f(2), f(2)>f(3)>f(4)>…,
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1 m−1
由f(1)=0, f(2)= 知 =1无解. (16分)
9 3m
m−1+3m+1
当k=3时,有m-1=0,即m=1,故存在m=1使得 =3是数列{b }中的第3项,
m−1+3m n
1
b −1+
m a
故存在正整数m=1使得
m+2
是数列{b }中的第3项.(17分)
2m+3 n
b −1−
m 2T −3
m
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