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专题八 平面解析几何 ２ ２３
微专题一 圆锥曲线中的定点与定值问题
学生用书P294
1.求解定点问题常用的方法 （ｘ ｘ ）（ｘ ｘ ） （ｙ ｙ ）（ｙ ｙ ） ．
∴ １－ ２ １＋ ２ ＋３ １－ ２ １＋ ２ ＝０
特殊探路 一般证明 即先通过特殊情况确定定点 再转 Ｐ为线段ＭＮ的中点，
（１）“ ， ”， ， ∵
化为有方向 有目标的一般性证明． ｘ ｘ ，ｙ ｙ ｙ ，
、 ∴ １＋ ２＝－４ ２ １＋ ２＝２ ０
一般推理 特殊求解 即先由题设条件得出曲线的方程
（２）“ 再根据参数 ， 的任意性得 ”， 到定点坐标． ， 当ｙ ０≠０ 时，ｋ ＭＮ＝ ｙ ｘ １－ ｙ ｘ ２ ＝－ （ ｘ ｙ １＋ ｘ ｙ ２ ）＝ ２ ｙ ２．
１－ ２ ３ １＋ ２ ３ ０
2
（
.
３
求
） 求
ｋ
解
（
证
定
ｘ
－
直
值
ｘ
０）
线
问
来
过
题
证
定
常
明
点
用
．
（
的
ｘ
方
０， ｙ
法
０）， 常利用直线的点斜式方程ｙ － ｙ ０＝
∵
ｌ′
⊥
ＭＮ，
∴
ｌ′：ｙ
－
ｙ
０＝－
２
３ ｙ
２
０（ｘ
＋２ ２
），
ｙ æ ö
引入变量法 解题流程为 即ｙ ３ ０çｘ ４ ２÷，
（１） ： ＝－ è ＋ ø
F EE+F F ２ ２ ３
æ ö
ｌ′恒过点ç ４ ２， ÷，
>@+F=.E F+ ∴ è－ ０ø
３
+0 " F 当ｙ 时，直线ＭＮ：ｘ ，
０＝０ ＝－２ ２
特例法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关． æ ö
（２） ： ， ， ｌ′为ｘ轴，过点ç ４ ２， ÷．
例1 （ 湖南师大附中第六次月考， ）在平面直角坐标系 ∴ è－ ０ø
２０２４ １７ ３
ｘ２ ｙ２ æ ö
ｘＯｙ中 已知椭圆Ｃ ａ ｂ 与直线ｌ ｘ ｍ ｍ Ｒ 综上，直线ｌ′恒过点ç ４ ２， ÷．
， ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ： ＝ （ ∈ ）， è－ ０ø
３
四个点 中有三个点在 ｘ２ ｙ２
（３，－１），（－２ ２，０），（－３，１），（－ ３， ３） 例2 （ 安徽 联盟联考， ）已知双曲线Ｃ
椭圆Ｃ上 剩余一个点在直线ｌ上． ２０２４ Ａ１０ １７ ：ａ２ －ｂ２ ＝１
，
求椭圆Ｃ的方程 ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ａ 在Ｃ上
（１） ； （ ＞０， ＞０） 、 １， ２， （－ ６， ２） ，
若动点Ｐ在直线ｌ上 过Ｐ作直线交椭圆Ｃ于Ｍ Ｎ两点 且 ＡＦ Ｆ 的面积为 ．
（２） ， ， ， △ １ ２ ６
使得 ＰＭ ＰＮ 再过Ｐ作直线ｌ′ ＭＮ．求证 直线ｌ′恒过定 求双曲线Ｃ的方程
｜ ｜＝｜ ｜， ⊥ ： （１） ；
点 并求出该定点的坐标． 记点Ａ在ｘ轴上的射影为点Ｂ 过点Ｂ的直线ｌ与Ｃ交于
， （２） ，
解析 （ ） 四个点中有三点在椭圆上，
１ ∵ Ｍ Ｎ两点．探究 １ １ 是不是定值 若是 求出该定值
∴ 由椭圆的对称性可知：（ ３ ， －１ ），（ －３ ， １ ）必在椭圆上． ， ： ｜ ＢＭ ｜ ２ ＋ ｜ ＢＮ ｜ ２ ， ， ；
若（ ， ）在椭圆上，则为椭圆的左顶点．但 ， 与 若不是 请说明理由．
－２ ２ ０ －３＜－２ ２ ∴ ，
（ ， ）在椭圆上矛盾． 解析 （ ）设双曲线的焦距为 ｃ（ｃ ），
－３ １ １ ２ ＞０
故（ － ３ ， ３ ）在椭圆上， ì ï１ · ｃ· ，
ì ï９ １ ， ï ï２ ２ ２＝ ６
则有í
ïａ２ ＋ｂ２ ＝１ {ａ２
＝１２
， 由题意得í
ï
ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２，
ï ï３ ３ ⇒ ｂ２ ＝４ ， ïï６ ２ ，
îａ２ ＋ｂ２ ＝１ îａ２ －ｂ２ ＝１
故椭圆Ｃ的方程为
１
ｘ
２
２ ＋ ｙ
４
２ ＝１ ．
解得
ì
í
ï ï ａ
ｂ
＝
，
２ ，
故双曲线Ｃ的方程为
ｘ２
ｙ２ ．
（ ）依题意可得ｍ ，ｌ的方程为ｘ ． ïï ＝１ ２ － ＝１
２ ＝－２ ２ ＝－２ ２ îｃ ，
ＰＭ ＰＮ 且Ｐ，Ｍ，Ｎ共线， ＝ ３
∵ ｜ ｜＝｜ ｜ （ ）由题意得Ｂ（ ， ），
Ｐ为线段ＭＮ中点， ２ － ６ ０
∴ 当直线ＭＮ的斜率为零时，
Ｐ在椭圆内部．
∴
（ ）２ （ ）２
设Ｐ（ ，ｙ ）， １ １ １ １ ２＋ ６ ＋ ２－ ６
－２ ２ ０
æ ö æ ö ｜
ＢＭ
｜
２ ＋
｜
ＢＮ
｜
２ ＝（
２＋ ６
）２ ＋（
６－ ２
）２ ＝ （
６－２
）２
直线ｘ 与椭圆交于ç ， ２ ３÷，ç ，２ ３÷，
∵ ＝－２ ２ è－２ ２ － ø è－２ ２ ø １６ ．
３ ３ ＝ ＝１
æ ö １６
ｙ ç ２ ３，２ ３÷． 当直线ＭＮ的斜率不为零时，设直线ＭＮ的方程为ｘ ｍｙ ，ｍ
∴ ０∈è－ ø ＝ － ６
３ ３ ，Ｍ（ｘ ，ｙ ），Ｎ（ｘ ，ｙ ），
Ｐ为线段ＭＮ的中点，且ｌ′ ＭＮ于Ｐ， ≠０ １ １ ２ ２
∵
∴
ｌ′为线段ＭＮ的中垂线．
⊥
联立
{ｘ２
－
ｙ２
＝１
，
设Ｍ（ｘ ，ｙ ），Ｎ（ｘ ，ｙ ）， ２
１ １ ２ ２ ｘ ｍｙ ，
ì ï ｘ２ ｙ２ ＝ － ６
１ １ ，
ï ＋ ＝１ 消去ｘ，整理得（ｍ２ ）ｙ２ ｍｙ ，
则í
ï ï
１
ｘ
２
２ ２ ｙ
４
２ ２ ⇒ １
１
２
（ｘ２
１－
ｘ２
２
）
＋ ４
１ （ｙ２
１－
ｙ２
２
）
＝０
，
则 {ｍ２ －２≠０ ，
－２ －２ ６ ＋４＝０
î ＋ ＝１ Δ ｍ２ （ｍ２ ） ，
１２ ４ ＝２４ －１６ －２ ＞０
２ ２４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
解得ｍ 且ｍ ，
≠ ２ ≠－ ２
ｍ
由根与系数的关系得ｙ ｙ ２ ６ ，
１＋ ２＝ｍ２
－２
ｙ ｙ ４ ，
１ ２＝ｍ２
－２
ｙ２ ｙ２
所以 １ １ １ １ １ · １＋ ２
ＢＭ ２ ＋ ＢＮ ２ ＝（ ｍ２）ｙ２ ＋（ ｍ２）ｙ２ ＝ ｍ２ ｙ２ｙ２ ＝
｜ ｜ ｜ ｜ １＋ １ １＋ ２ １＋ １ ２
æ ｍö２
ç２ ６ ÷ · ４
１ ·
（ｙ
１＋
ｙ
２
）２
－２
ｙ
１
ｙ
２ １ ·
èｍ２
－２
ø －２ ｍ２
－２ １ ·
ｍ２ ｙ２ｙ２ ＝ ｍ２ æ ö２ ＝ ｍ２
１＋ １ ２ １＋ ç ４ ÷ １＋
èｍ２ ø
－２
ｍ２
１６ ＋１６ ．
＝１
１６
综上， １ １ ，为定值．
ＢＭ ２ ＋ ＢＮ ２ ＝１
｜ ｜ ｜ ｜专题八 平面解析几何 ２ ２５
学生用书P136
１．（ 山东聊城一模， ）已知抛物线Ｃ关于ｙ轴对称 顶点 ｙ
２０２４ １５ ， 易知直线ＡＭ的方程为ｙ １ ｘ 令ｘ
在原点 且经过点Ｐ 动直线ｌ ｙ ｋｘ ｂ不经过点Ｐ 与Ｃ ＝ｘ （ －２）， ＝－１，
， （２，２）， ： ＝ ＋ ， １－２
相交于Ａ Ｂ两点 且直线ＰＡ和ＰＢ的斜率之积等于 ． ｙ æ ｙ ö æ ｙ ö
、 ， ３ 解得ｙ ３ １ 即Ｐç ３ １ ÷ 同理得Ｑç ３ ２ ÷
求Ｃ的标准方程 ＝－ｘ ， è－１，－ｘ ø， è－１，－ｘ ø，
（１） ； １－２ １－２ ２－２
证明 直线ｌ过定点 并求出定点坐标． æ ｙ ö æ ｙ ö
（２） ： ， 所以Ｆ→Ｐ ç ３ １ ÷ Ｆ→Ｑ ç ３ ２ ÷
解析
（１）
由抛物线Ｃ关于ｙ轴对称
，
可设Ｃ
：
ｘ２
＝２
ｐｙ
，
１ ＝è０，－ｘ
１－２
ø， １ ＝è０，－ｘ
２－２
ø，
由Ｐ 在抛物线Ｃ上 得 ｐ 解得ｐ ｙ æ ｙ ö
（２，２） ， ４＝２ ×２， ＝１， 因为Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｑ ９ 所以 ３ １ ç ３ ２ ÷ ９
故Ｃ ： ｘ２ ＝２ ｙ． １ · １ ＝－ ４ ， －ｘ １－２ è－ｘ ２－２ ø＝－ ４ ，
ｘ２
３
ｔ２
－１２
ｙ １ －２ ｙ ｙ ｓ２
（ （ ２ ｘ １ ） － 证 ２） 明 （ ｘ ： １ 设 ＋２） Ａ （ ｘ ｘ １ １ ＋ ， ２ ｙ １ 同 ）、 理 Ｂ 可 （ ｘ 得 ２， ｙ ｋ ２）， ｘ 则 ２＋２ ｋ ＰＡ ＝ｘ １ １ － － ２ ２ ＝ ｘ ２ １－２ ＝ 即 ｘ １ ｘ ２－２（ １ ｘ １ ２ ＋ ｘ ２）＋４ ＝－ ４ １ ， 可得 ４ ｔ ３ ２ ｓ － ２ １ ＋ ２ ４ ｓ２ ３ －２ ＋ × ４ ３ ｓ ８ ２ ＋ ｔ ４ ＋４ ＝－ ４ １ ，
ｘ ＝ ， ＰＢ＝ ， ｔ２
由ｋ
２
Ｐ
（
Ａ·
１－
ｋ
２
ＰＢ
）
＝３， 得 ｘ
２
１ ２ ＋２ · ｘ ２ ２ ＋２ ＝３， 得ｘ １ ｘ
２
２＋２（ ｘ １＋ ｘ ２）＝８，
整
则
理
直
得
线
３
（ Ｍ
（
ｔ Ｎ －２
－
的 ）
４
２
）
方 ＝ 程 － 为 １，
解
ｘ ＝
得
ｓｙ
ｔ
－ ＝ １ － ． １
或ｔ
＝２（
舍去
），
联立
{ｘ２
＝２
ｙ
， 消去ｙ得ｘ２ ｋｘ ｂ
故直线ＭＮ过定点
（－１，０）
．
ｙ ｋｘ ｂ －２ －２ ＝０， ｘ２ ｙ２
＝ ＋ ， ３．（ 广西南宁二模， ）双曲线Ｃ ａ ｂ 上
Δ ｋ２ ｂ ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ ｂ
２０２４ １８ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
＝４ ＋８ ＞０， １＋ ２＝２ ， １ ２＝－２ ，
即有 ｂ ｋ 化简得ｂ ｋ 一点Ｄ 到左 右焦点的距离之差为 ．
－２ ＋２×２ ＝８， ＝２ －４， （６， ３） 、 ６
此时Δ
＝４
ｋ２
＋８
ｂ
＝４
ｋ２
＋１６
ｋ
－３２，
则Δ
＞０
有解
， （１）
求Ｃ的方程
；
则ｌ ｙ ｋ ｘ 即直线ｌ过定点 ． 已知Ａ Ｂ 过点 且与ｘ轴不重合的直
： ＝ （ ＋２）－４， （－２，－４） （２） （－３，０）， （３，０）， （５，０）
２．（ 江西质量检测， ）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
线ｌ与Ｃ交于Ｍ
，
Ｎ两点
，
直线ＭＡ与ＮＢ交于点Ｐ
，
试问点Ｐ
２０２４ １７ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 到直线ｘ 的距离是不是定值 若是 求出该定值 若不
＝－２ ？ ， ；
左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 右顶点为Ａ 且 ＡＦ ＡＦ 离 是 请说明理由．
、 １， ２， ， ｜ １｜＋｜ ２｜＝４， ，
{ ａ
心率为 １ ． ２ ＝６， {ａ
解析 依题意可得 解得 ＝３，
（１） 求椭 ２ 圆Ｃ的标准方程 ； （１） ６ ａ ２ ２ － （ ｂ ３ ２ ） ２ ＝１， ｂ ＝１，
已知Ｍ Ｎ是Ｃ上两点 点 Ｍ Ｎ 不同于点 Ａ 直线 ＡＭ
（２） ， （ ， ）， ， ｘ２
故Ｃ的方程为 ｙ２ ．
－ ＝１
ＡＮ分别交直线ｘ 于Ｐ Ｑ两点 若Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｑ ９ 证明 ９
＝－１ ， ， １ · １ ＝－ ４ ， ： 设ｌ的方程为ｘ ｍｙ Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ
直线ＭＮ过定点．
（２）
{ｘ ｍｙ
＝ ＋５， （ １， １）， （ ２， ２），
＝ ＋５，
解析
（１）
不妨设椭圆Ｃ的半焦距为ｃ
， 联立 ｘ２ ｙ２ 消去ｘ得 （ ｍ２ －９） ｙ２ ＋１０ ｍｙ ＋１６＝０，
－ ＝１，
因为 ＡＦ ＡＦ 离心率为 １ ９
｜ １｜＋｜ ２｜＝４，
２
，
ｍ
则ｙ ｙ －１０ ｙ ｙ １６ ．
所以 ì î í ï ï ï ï ２ ａ ａ ｃ ａ ２ ＝ ＝ ＝ ｂ ４ ２ ２ １ ， ＋ ， ｃ２ ， 解得 ì î í ïï ïï ａ ｂ ｃ ＝ ＝ ＝ １ ２ ， ３ ， ， 则Ｃ的方程为 ｘ ４ ２ ＋ ｙ ３ ２ ＝１ ． 直线 １ ì ï ＋ ＡＭ ２ ： ＝ ｙ ｍ ｙ ＝ ２ ｘ － １ ｙ ９ ＋ １ ， ３ （ １ ｘ ＋ ２ ３ ＝ ） ｍ ， ２ 直 －９ 线ＢＮ ： ｙ ＝ｘ ２ ｙ － ２ ３ （ ｘ －３） ．
（２） 证明 ： 由 （１） 知Ｆ １（－１，０）， Ａ （２，０）， 易知直线ＭＮ的斜率 联立í ï ｙ ＝ｘ １＋ １ ３ （ ｘ ＋３），
存在且不为
０， ï ｙ
不妨 { 设 ｘ Ｍ ｓ Ｎ ｙ 的 ｔ 方程为ｘ ＝ ｓｙ ＋ ｔ （ ｔ ≠２）， Ｍ （ ｘ １， ｙ １）， Ｎ （ ｘ ２， ｙ ２）， î ïｙ ＝ｘ ２－ ２ ３ （ ｘ －３），
联立 ｘ ＝ ２ ＋ ｙ ＋ ２ ， ＝１， 消去ｘ并整理得 （３ ｓ２ ＋４） ｙ２ ＋６ ｓｔｙ ＋３ ｔ２ －１２＝０， 消去ｙ得 ｘ ｘ ＋ － ３ ３ ＝ ｙ ｙ ２ １ （ （ ｘ ｘ １ ２ ＋ － ３ ３ ） ） ＝ ｙ ｙ ２ １ （ （ ｍ ｍ ｙ ｙ １ ２ ＋ ＋ ８ ２ ） ） ．
４ ３ ｍｙ ｙ ｙ ｍｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
由Δ ＝３６ ｓ２ｔ２ －４（３ ｓ２ ＋４）（３ ｔ２ －１２）＞０， 得 ３ ｓ２ ＋４－ ｔ２ ＞０， ＝ｍｙ １ １ ｙ ２ ２ ＋ ＋ ８ ２ ｙ ２ １ ＝ １ ２ ｍ ＋ ｙ ８ １ （ ｙ ２ １ ＋ ＋ ２ ｙ ２ １ ）－８ １．
由根与系数的关系得ｙ １＋ ｙ ２＝－ ３ ｓ ６ ２ ｓ ＋ ｔ ４ ， ｙ １ ｙ ２＝ ３ ３ ｔ ｓ ２ ２ － ＋ １ ４ ２ ， ｍ １ ２ ６ － ｍ ９ ＋ － ｍ ８ ２ ０ － ｍ ９ －８ ｙ １ － ｍ ６ ２ ４ － ｍ ９ －８ ｙ １
ｔ ＝ ｍ ＝ ｍ ＝－４，
所以ｘ ｘ ｓ ｙ ｙ ｔ ８ １６ ｙ １６ ｙ
１＋ ２＝ （ １＋ ２）＋２ ＝ ｓ２ ， ｍ２ ＋２ １ ｍ２ ＋２ １
３ ＋４ －９ －９
ｔ２ ｓ２
ｘ ｘ ｓｙ ｔ ｓｙ ｔ ｓ２ｙ ｙ ｓｔ ｙ ｙ ｔ２ ４ －１２ 解得ｘ ９ 所以点Ｐ在定直线ｘ ９ 上．
１ ２＝（ １＋）（ ２＋）＝ １ ２＋ （ １＋ ２）＋ ＝ ｓ２ ， ＝ ， ＝
３ ＋４ ５ ５
２ ２６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
{ｘ２ ｙ２
因为直线ｘ ９ 与直线ｘ 之间的距离为１９
＝ ＝－２ ， 联立 ＋ ＝１，消去ｙ 整理得 ｋ２ ｘ２ ｋ２ｘ ｋ２
５ ５ ４ ３ ， （４ ＋３） －８ ＋４ －１２＝０，
ｙ ｋ ｘ
所以点Ｐ到直线ｘ 的距离为定值 且定值为１９． ＝ （ －１），
＝－２ ，
５
可得Δ
＝６４
ｋ４
－４（４
ｋ２
＋３）（４
ｋ２
－１２）＝ １４４（
ｋ２
＋１）＞０，
ｘ
１＋
ｘ
２＝
４．（ ２０２４ 云南昆明一中，宁夏银川一中联考（一）， １８ ）已知椭圆 ８ ｋ２ ｘ ｘ ４ ｋ２ －１２ 所以ｘ ｘ １＋ ｘ ２ ４ ｋ２
Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的短轴长等于 离心率ｅ １ ． ４ ｋ２ ＋３ ， １ ２＝ ４ ｋ２ ＋３ ， Ｑ＝ ２ ＝ ４ ｋ２ ＋３ ，
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ２ ３， ＝
２ æ ｋ２ ö ｋ æ ｋ２ ｋ ö
（１） 求椭圆Ｃ的方程 ； 则ｙ Ｑ＝ ｋ （ ｘ Ｑ－１）＝ ｋ è ç ４ ｋ ４ ２ ＋３ －１ø ÷ ＝ ４ － ｋ２ ３ ＋３ ， 即Ｑ è ç ４ ｋ ４ ２ ＋３ ， ４ － ｋ２ ３ ＋３ ø ÷ ，
（２）
过右焦点Ｆ的直线ｌ与椭圆Ｃ交于Ａ
、
Ｂ两点
，
线段ＡＢ的
则线段ＡＢ的中垂线的方程为ｙ －３
ｋ
１
æ
çｘ ４
ｋ２ ö
÷
垂直平分线交ｘ轴于点Ｐ 证明 ｜
ＰＦ
｜为定值．
－
４
ｋ２
＋３
＝－ ｋ è －
４
ｋ２
＋３
ø，
， ： ＡＢ
｜ ｜ ｋ２
令ｙ 可得ｘ
ì ï ｂ ＝０， ＝ ｋ２ ，
２ ＝２ ３， ４ ＋３
ï
解析 由题意可得í
ｃ
１ 所以 ＰＦ ｘ
ｋ２
３（
ｋ２
＋１）
（１） ïａ ＝ ， ｜ ｜＝｜ Ｐ－１｜＝ ｋ２ －１ ＝ ｋ２ ，
ï ２ ４ ＋３ ４ ＋３
îｂ２ ＝ ａ２ － ｃ２ ， 又 ｜ ＡＢ ｜＝ １＋ ｋ２ ｜ ｘ １－ ｘ ２｜＝ １＋ ｋ２ · （ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －４ ｘ １ ｘ ２
ｘ２ ｙ２
解得ａ ｂ ｃ 所以椭圆Ｃ的方程为 ． æ ｋ２ ö２ ｋ２ ｋ２
＝２， ＝ ３， ＝１， ＋ ＝１ ｋ２ ç ８ ÷ ４ －１２ １２（ ＋１）
４ ３ ＝ １＋ · è ｋ２ ø －４· ｋ２ ＝ ｋ２ ，
由 得Ｆ ４ ＋３ ４ ＋３ ４ ＋３
（２） （１） （１，０）， ｋ２
当直线ｌ的斜率不存在时 线段ＡＢ被ｘ轴垂直平分 不符合 ３（ ＋１）
， ， ＰＦ ｋ２
题意 所以｜ ｜ ４ ＋３ １ 定值 ．
； ＡＢ ＝ ｋ２ ＝ （ ）
｜ ｜ １２（ ＋１） ４
当直线ｌ的斜率为 ０ 时 ， ｜ Ｐ ＡＢ Ｆ ｜ ＝ ｜ Ｏ ａ Ｆ ｜ ＝ １ ； ４ ｋ２ ＋３
｜ ｜ ２ ４ ＰＦ
当直线ｌ的斜率存在且不为 ０ 时 ， 设直线ｌ的方程为ｙ ＝ ｋ （ ｘ － 综上所述 ， ｜ ｜ ＡＢ ｜ ｜为定值 １ ４ ．
Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ＡＢ中点为Ｑ ｘ ｙ
１）， （ １， １）， （ ２， ２）， （ Ｑ， Ｑ），
