文档内容
重难点突破 15 圆锥曲线中的经典七大名圆问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：蒙日圆问题............................................................................................................................2
题型二：直径为圆问题........................................................................................................................9
题型三：四点共圆问题......................................................................................................................16
题型四：内准圆问题..........................................................................................................................25
题型五：彭赛列圆问题......................................................................................................................32
题型六：焦点弦圆..............................................................................................................................38
题型七：准线圆..................................................................................................................................43
03 过关测试.........................................................................................................................................501、曲线 的两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是圆： ．
2、双曲线 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆 ．
3、抛物线 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
题型一：蒙日圆问题
【典例1-1】（2024·上海·模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·
蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，
（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：
.(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线 与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求 的面积（O为坐标
原点）；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求 面积
的最小值.
【解析】（1）因为椭圆 ： ，所以 ，
所以椭圆 的蒙日圆的方程为 ；
（2）如图，
由（1）知，椭圆 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得， ，
由 ，得 ，即 ，
所以坐标原点 到直线 ： 的距离 ，
所以 ，
所以 ；
（3）由（1）知，椭圆C的方程为 ，椭圆C的蒙日圆方程为 ，
设P(x ,y )，则 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
0 0 1 1 2 2则切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
将P(x ,y )代入切线 ， 的方程，有 ， ，
0 0
故直线 的方程为 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立得 ，
消去 并整理得，
显然 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又点P(x ,y )到直线 的距离 ，
0 0
所以 ，
设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 面积的最小值为 .
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 ．
当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是椭圆 ．
(1)求该椭圆 的方程．
(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746—1818）发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与
椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”．若椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一动
点，直线 与椭圆 的蒙日圆相交于点 ，求证： 为定值．【解析】（1）设 ，则 ，而点 在圆 上，
即有 ，化简得 ，
所以 的方程为 ．
（2）由（1）知椭圆 的方程 ，长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
显然直线 ， 都与椭圆 相切，因此直线 ， 所围成矩形的外接圆，
即为椭圆 的蒙日圆，方程为 ，设 ，则 ,
在 与 中，由余弦定理得 ， ，
两式相加得 ，又 ，则 ，
于是 ，
又 ，
所以 ，即 为定值.
【变式1-1】法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交
点 的轨迹是以椭圆的中心为圆心， 为椭圆的长半轴长， 为椭圆的短半轴长）为半径的圆，
这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆 过点 .且短轴的一个端点到焦点的距离为 .
(1)求椭圆 的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线 与椭圆 相切，且与椭圆 的蒙日圆相交于 ， 两点，求 的面积 为坐标
原点）；
(3)设 为椭圆 的蒙日圆上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积
的最小值.
【解析】（1）由椭圆 短轴的一个端点到焦点的距离为 ，得 ，由椭圆过点 ，得 ，解得 ，于是 ，
所以椭圆 的蒙日圆的方程为 .
（2）由（1）知，椭圆 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
由 消去 并整理得， ，
由 ，得 ，即 ，
则坐标原点 到直线 的距离 ， ，
所以 的面积 .
（3）由（1）知，椭圆 的方程为 ，椭圆 的蒙日圆方程为 ，
设 ，则 ，设 ， ，则 ，
当切线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
由 消去y得 ，
，整理得 ，
即 ，则 ，解得 ，
于是 ，即 ，
当切线 的斜率不存在时， ， 的方程为 或 ，满足上式，
因此切线 的方程为 ，同理切线 的方程为 ，
将 代入切线 ， 的方程，有 ， ，
从而直线 的方程为 ，当 时，
由 消去 并整理得： ，
显然 ，
，则 ，
又点 到直线 的距离 ，
于是 的面积 ，
设 ，则 ，
令 ，求导得 ，即函数 在 上单调递增， ，
当 ，即 时，由对称性不妨令 ，直线 ，
由 ，解得 ， ， ，
所以 面积的最小值为 .
【变式1-2】定义椭圆 的“蒙日圆”的方程为 ，已知椭圆 的长轴
长为4，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆 的一条切线 ，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点 ，
O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为 ，证明： 为定值.
【解析】（1）由题意知
，
故椭圆的方程 ,
“蒙日圆” 的方程为 ,即（2）当切线 的斜率存在且不为零时,设切线 的方程为 ,则
由 ,消去 得
,
由 ,消去 得
设 ,则 ,
，
，
当切线 的斜率不存在或为零时,易得 成立,
为定值.
【变式1-3】（2024·江西抚州·模拟预测）给定椭圆 ，称圆心在原点 ，半径为
的圆是椭圆 的“准圆”.若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为
.
（1）求椭圆 的方程和其“准圆”方程；
（2）点 是椭圆 的“准圆”上的动点，过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点 .
①当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程并证明 ；②求证：线段 的长为定值.
【解析】（1） ， 椭圆方程为 ，准圆方程为 .
（2）（ⅰ）因为准圆 与 轴正半轴的交点为 ，
设过点 且与椭圆相切的直线为 ，
所以由 得 .
因为直线 与椭圆相切，所以 ，解得 ，
所以 方程为 ， ， .
（ⅱ）①当直线 中有一条斜率不存在时，不妨设直线 斜率不存在，
则 ： ，当 ： 时， 与准圆交于点 ，
此时 为 （或 ），显然直线 垂直；
同理可证当 ： 时，直线 垂直
②当 斜率存在时，设点 ，其中 .
设经过点 与椭圆相切的直线为 ，
所以由 得 .
由 化简整理得 ，
因为 ，所以有 .
设 的斜率分别为 ，因为 与椭圆相切，
所以 满足上述方程 ，
所以 ，即 垂直.
综合①②知：因为 经过点 ，又分别交其准圆于点 ，且 垂直.
所以线段 为准圆 的直径， ，
所以线段 的长为定值6.题型二：直径为圆问题
【典例2-1】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过椭圆 的右顶点 ，求证：直
线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得 ，
且 ，即 ，
所以 ， ，
因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简可得 ，解得 或 ，
当 时， ，过定点 ，符合题意；
当 时， ，过点 ，不满足题意，综上所述，直线 过定点 .
【典例2-2】已知 ，直线l： ，椭圆C： ， 、 分别为椭圆C的左、右焦
点．
(1)当直线l过右焦点 时，求直线l的方程．
(2)当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围．
(3)设直线l与椭圆C交于A、B两点， 、 的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直
径的圆内，求实数m的取值范围．
【解析】（1）∵直线l： 经过 ，
∴ ，
解得 ．
又∵ ，
∴ ，故直线l的方程为 ．
（2）由 得， ，
因为 ，所以 ，
得， ，
解得 或 ．
∵ ，∴ ．
由 得 ，故 ，
∴当直线与椭圆相离时m的取值范围是 ；当直线与椭圆相交时m的取值范围是 ．
（3）设A(x ,y )，B(x ,y )，F (−c,0)， ．
1 1 2 2 1
由重心坐标公式得
， ，
可知 ，同理 ．
O在以线段GH为直径的圆内，
∵
∴ ，即 ，
由已知 ，
消去x，得 ；
消去y，得 ．
方程 的判别式 ，
方程 的判别式 ，
，
，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴实数m的取值范围为 ．
【变式2-1】（2024·高三·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点 ，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）设动圆圆心 ，
当 时，依题意， ，即 ；
当 时，点C的轨迹为点 ，满足 ，
所以点C的轨迹方程为 .
（2）依题意，直线 不垂直于 轴，设直线l方程为： ， ，
由 消去x并整理得 ， 恒成立，
则 ，令圆心为 ，则 ， ， ，
直径 ，
则圆 的方程为 ，
当 时， ，
因此对于 ，圆 恒过原点，
所以存在定点 ，以MN为直径的圆过定点 .
【变式2-2】（2024·宁夏银川·一模）已知椭圆 的离心率 ，且点
在椭圆 上，直线 与椭圆 交于不同的两点 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明：线段 的中点 在直线 上；
(3)过点 作 轴的平行线，与直线 的交点为 ，证明：点 在以线段 为直径的圆上．
【解析】（1） ，又 ，
，
又 ，
椭圆方程为 ；
（2）联立直线与椭圆方程 ，
又因为有两个交点，所以 ，
解得 ，设 ，
故 ，
又 ，
，
线段 的中点 的坐标为 ， ，
线段 的中点C在直线 上；
（3）由已知得： ，，
，
，
点 在以线段 为直径的圆上．
【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 在 上，直
线 ∶ 与 相交于 两点，过 分别向 的准线 作垂线，垂足分别为 .
(1)设 的面积分别为 ，求证： ；
(2)若直线 ， 分别与 相交于 ，试证明以 为直径的圆过定点 ，并求出点 的坐标.
【解析】（1）将 代入 ，得 ，所以抛物线方程为 ，
由题意知 ，设 ，
由 得， ， ，
所以 ，
所以
，即 .
（2）直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 ，令 得 ，
所以点 的坐标为 ，同理，点 的坐标为 ，设线段 的中点为 ，则
= ，
又 =
，
所以以 为直径的圆为 ，
即 ，令 得 或 ，
故以 为直径的圆过定点(0,1)和 .
题型三：四点共圆问题
【典例3-1】（2024·上海·三模）已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线l与 交于A、B两
点．设 在点A、B处的切线分别为 ， ， 与x轴交于点M， 与x轴交于点N，设 与 的交点为P．
(1)设点A横坐标为a，求切线 的斜率，并证明 ；
(2)证明：点P必在直线 上；
(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．【解析】（1）点A横坐标为a，则 ，
因为 ， ，所以点A处的切线斜率为a
所以切线 的方程为 ，
切线 与x轴的交点为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当 时，亦有 ；
结论得证.
（2）证明：设 ， ，由 ，得 ，
所以 ，
所以直线 ，直线 ，
由 ，得 ，即两直线的交点 ，
因为点 ， ， 三点共线，
所以 ， ，得 ，
所以 ，所以
所以点P在直线 上
（3）因为直线 ，直线 ，
所以 ， ，由（2）可知 ，
设 的外接圆方程为 ，则 ，
解得 ， ，
所以外接圆方程为
将 代入方程，得
又 ，解得 ， ，
所以点P坐标为
解法二:抛物线 的焦点 ，
由（1）可知 ，同理可证得 ，
所以F，M，N，P四点共圆，
所以PF是 的外接圆的直径，
因为P、M、N、T四点共圆，所以点 在 的外接圆上，
所以 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以直线TP方程为 ，即
又点P在直线 上，
则由 ，得 ，
所以点P坐标为
【典例3-2】已知椭圆 的离心率为 ，点 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且
．
(1)试求椭圆的方程；(2)斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，点 在第一象限，求证： 四点共圆．
【解析】（1）依题意知， ，即 ，又 ，解得 ，
∴椭圆的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，根据点 在第一象限可知 ，
因为 ， ，故 方程为： ，
整理得 方程为 ，
过 四点的曲线系方程为：
，
即 ，
取 ，
则方程可以转化为 ①．
此时 ，
，
而 ，
故 恒成立，
故 ，则①为圆的方程，故对 ， 总四点共圆．
【变式3-1】已知双曲线 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 两点.
(1)若 ，求直线 的方程，
(2)设过点 且垂直于直线 的直线 与双曲线 交于 两点，其中 在双曲线的右支上.
（i）设 和 的面积分别为 ，求 的取值范围；
（ii）若 关于原点对称的点为 ，证明： 为 的垂心，且 四点共圆.
【解析】（1）设 ，
结合题意知直线斜率不为0，设直线 ，因为直线 与双曲线右支相交，
故 ，
联立双曲线方程 ，得 ，
则 ，
故 ，
即 ，解得 ，或 （舍去），
因此 ，从而直线 的方程为 .
（2）（i）若 ，则 ，
由（1）可知， ，
此时 ；
当 时，设 ，直线 ，由（1）同理可知 ，
故
注意到
，
令 ，则
，
令 ，
综上可知， 的取值范围是 .
（ii）先证明 为 的垂心，只需证明 ，
注意到， ，
而
，
同理 ，，
因此 ，又 ，故 为 的垂心，因此 ，
再证明 四点共圆，即只需证明： .
因为 关于原点对称，则 ，
同理可得 ；
则 ，即 ，
因此 ，因此 四点共圆.
【变式3-2】已知椭圆 的离心率为 ，右顶点为 ，设点 为坐标原点，点 为椭
圆 上异于左右顶点的动点， 的面积最大值为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 交 轴于 ，其中 ，直线 交椭圆 于另一点 ，直线 分别交直线 于点
和 ，是否存在实数 使得 四点共圆，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由椭圆 的离心率为 ，得 ，解得 ，
设 ，而 ，则 ，当且仅当 时取等号，
于是 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）假设存在 ，使得 四点共圆，
由（1）知 ，设 ，显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为：
，
由 消去x得 ，
， ，
直线 的方程为： ，则 ，同理 ，由 四点共圆，得 ，即 ，
于是 ，则 ，从而直线 的斜率有 ，
即 ，整理得 ，
而
，因此 ，解得 与 矛盾，
所以不存在实数 使得 四点共圆.
【变式3-3】在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为
.
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
【解析】(1) 因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 .
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设 ,
设直线 的方程为 ．联立 ,
化简得 ， ，
则 ．
故 ．
则 ．
设 的方程为 ，同理 ．
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
[方法二] ：参数方程法
设 ．设直线 的倾斜角为 ，
则其参数方程为 ，
联立直线方程与曲线C的方程 ，
可得 ，整理得 ．
设 ，
由根与系数的关系得 ．
设直线 的倾斜角为 ， ，
同理可得
由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
由题意分析知 ．所以 ，
故直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为 ，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设 ,直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ,
则二次曲线 ．
又由 ，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中 ．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即 .
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方
法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活
的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.题型四：内准圆问题
【典例4-1】已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，M为 上的一点.
(1)若点M的坐标为 ，求 的面积；
(2)若点M的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点A、B，求证： 为定值，并
求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定值， 且
）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为 ， .如果 为定值，求
的取值范围，以及 取得最大值时圆M的方程.
【解析】（1）由已知条件得 ，因为 ，则 ，又 ，
因此 的面积为 .
（2）设 ，由 ，得 ，
，又 ， ，
，
于是，
即 为定值.
（3）因为直线 : 与 相切，则 ，即 ，
同理，由直线 : 与 相切，可得 ，
于是 、 是关于 的方程 的两实根，
注意到 ，且 ，故 ，
因 为定值，故不妨设 （定值），
于是有 ，即 .
依题意可知， 变化，而 、 均为定值，即有 ，解得 ， ，
设 ， ，由 得 ，同理 ，
所以
，当且仅当
时取等号，
因此 ，解得 ，所以 的范围为 ，
当 或 时，直线 关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点，
所以圆M的方程为 或 .
【典例4-2】（2024届上海市宝山区高三（一模）期末数学试题）已知 分别为椭圆 的左、
右焦点，M为 上的一点．（1）若点M的坐标为 ，求 的面积；
（2）若点M的坐标 ，且直线 与 交于两不同点A、B，求证： 为定值，并
求出该定值；
（3）如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定值，
且 ）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线 的斜率分别记为 ．如果 为定值，试问：
是否存在锐角 ，使 ？若存在，试求出 的一个值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知条件得 ，因为 ，所以 ，
又 、 的坐标分别为( ，0)、( ，0)，
因此， 的面积为 .
（2）设 ， ，由 ，得 ，
显然 ，且 ，
又 ， ，所以，
，
即 为定值.
（3）满足 的锐角不存在.理由如下：
因为直线 : 与 相切，所以 ，
即 ，
同理，由直线 : 与 相切，可得 ，
于是， 、 是关于 的方程 的两实根，
注意到 ，且 ，故 ，
因 为定值，故不妨设 （定值），
于是有 ，即 .
依题意可知， 变化，而 、 均为定值，所以 ，
解得 ， ，
再设 ， ，由 得 ；
同理可得 .
所以
，
即 ，亦即 ，（※）
若锐角 ，使 ，则 ，与（※）相矛盾.
因此，这样的锐角 不存在.
【变式4-1】（2018年全国高中数学联赛辽宁省预赛）如图所示，在平面直角坐标系 ，设点是椭圆 上一点，左右焦点分别是 、 ，从原点O向圆M：
作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为 、
.
(1)设直线 、 分别与圆交于A、B两点，当 ，求点A的轨迹方程；
(2)当 为定值时，求 的最大值.
【解析】1.由椭圆定义： 得
所以， ，又 ，
则 ，故点 的坐标满足方程 .
因为 ，则点 在椭圆内部，因此
或 .
综上，点A的轨迹方程为 .
【变式4-2】令直线OP的方程是 ，与圆M相切，则有 ，
即
又直线OQ与圆相切，设直线OQ的方程是 ，同理有
则 是方程 的两实根，因此，又 为定值，设 ，则
即
由于M为椭圆上的点，且c为定值，因此必有 ，故 ，此时 .
设点 ， ，联立 ，解得
， .
同理 ， ，所以，
.
故 的最大值为 .
【变式4-3】已知椭圆 的离心率为 ，设 是C上的动点，以M为圆心
作一个半径 的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为 ， ，求证： 为定值；
(3)证明： 为定值？并求 的最大值．【解析】（1）由椭圆的离心率 ，则 ，
又存在 与两坐标轴都相切，则此时圆心 ，
代入 ，解得： ，则 ，
∴椭圆方程： ．
（2）因为直线 ， 与圆M相切，
由直线 与圆 联立，
可得 ，
同理 ，
由判别式为0可得 ， 是方程 的两个不相等的实数根，∴ ，
因为点 在椭圆C上，所以 ，所以 ．
（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 在椭圆C上，所以 ，整理得 ，
所以 ，所以 ．
当直线落在坐标轴上时，显然有 ，
综上， ，所以 ，
所以 的最大值为 ．
题型五：彭赛列圆问题
【典例5-1】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．
已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
【解析】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）[方法一]：设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
[方法二]【最优解】：设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．
由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．
因为方程 同时经过点 ，所以 的直线方程为 ，
点M到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化
为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用 的对称性，抽象出 与 关系，
把 的关系转化为用 表示，法二是利用相切等条件得到 的直线方程为 ，
利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
【典例5-2】（内蒙古呼和浩特市2024届高三第二次质量数据监测理科数学试题）拋物线C的顶点为坐标
原点O，焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点M的坐标为 ， 与直线l相切．
(1)求抛物线C和 的标准方程；
(2)已知点 ，点 ， 是C上的两个点，且直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的
位置关系，并说明理由．
【解析】（1）由已知，设拋物线C的方程为 （ ），
当 时， ，则 ，
所以不妨设 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得
所以抛物线C的 ，
因为 与直线l： 相切， ，
所以 的半径为2，
所以 的方程
（2）由已知可得 在抛物线上，设 ，
所以 ，
所以 的点斜式方程为
整理可得 ，
此直线与圆相切，可得 ，
平方后可得
又因为
化简得 ，
同理： 的方程为 ，
所以直线 方程为 ，
所以点M到直线 距离为 ，
所以直线 与 相切
【变式5-1】（云南省曲靖市第一中学2024届高三教学质量监测数学试题（五））已知抛物线，其顶点在坐标原点，直线 与抛物线交于M，N两点，且 ．
(1)求抛物线O的方程．
(2)已知 ， ， ， 是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中
， 均与 相切，请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；
若不是定值，请说明理由．
【解析】（1）因为 与抛物线相交，
联立 ，解得 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，则抛物线的方程为 ．
（2）由题易知直线 ， ， 斜率一定存在，
设 ， ， ，则 ，
则直线 的方程为： ，
即 ，即 ，
因为 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切得： ，
平方化简得： ，
看成关于 ， 为变量的式子得： ，
同理得直线 与圆 相切，化简式子后得： ，
所以可以同构出直线 的方程为： ，
则所以圆心 到直线 的距离为：，
此时圆心 到直线 的距离为定值，定值为 .
【变式5-2】（云南省昆明市第一中学2024届高三第一次摸底测试数学（文）试题）已知A，B，C三点在
椭圆 上，其中A为椭圆E的右顶点，圆 为三角形ABC的内切圆.
（1）求圆O的半径r；
（2）已知 ， ， 是E上的两个点，直线 与直线 均与圆O相切，判断直线 与
圆O的位置关系，并说明理由.
【解析】（1）因为圆 与椭圆 均关于 轴对称，故可设 ， ，过圆心 作 于点
，设 与 轴交于点 ，
由 得 ，即 ，而点 在椭圆 上，
故 ，即 ，故 .
（2）由题意可知直线 与 斜率 和 均存在，设过 且与圆 相切的直
线方程为： ，即 ，
则圆心 到该直线的距离 ，即 ，
联立 ，可得： ，
即 ，则方程异于 的实数解，
，
设 ， ，
则直线 的斜率 ，
故直线 的方程为： ，
则圆心 到 的距离 ，故直线 与圆 相切 .
题型六：焦点弦圆
【典例6-1】（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（四））已知 分别为椭圆
的左、右焦点， 分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆 的离心率为 ，
的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，则点 称为点 的一个“椭点”.直线 与椭圆 交于 两点，
两点的“椭点”分别为 .问：是否存在过点 的直线 ，使得以 为直径的圆经过坐标原点 ？
若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得 ，故 ，结合 得 ，
则 ，
，得 ， ，故椭圆 的标准方程为 .（2）①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立得 ，解得 或 ，
不妨令 ，则 .
因 ，
故此时以 为直径的圆不过坐标原点 .
②当直线 的斜率存在时，如图，设直线 的方程为 ，
联立得 ，消去 得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
由根与系数的关系可得 ，(*)
若以 为直径的圆经过坐标原点 ，则 ，
而 ，因此 ，
即 ，
将（*）代入得 ，
因 ，化简得 ，解得 .
故直线 的方程为 或 .
【典例6-2】（2024届吉林省长春市高三第四次调研测试理科数学试卷（带解析））如图 为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ， 的面积为
.若点 在椭圆C上，则点 称为点M的一个“椭圆”，直线 与椭圆交于A，B两
点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点 的直线 ，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；
若不存在，请说明理由.
【解析】由题意， ，即 ， ，即
又 得：
∴椭圆 的标准方程： ．
(2) 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为
①
联立 ，解得 或 ，
不妨令 ， ，所以对应的“椭点”坐标 ， ．
而 ,所以此时以 为直径的圆不过坐标原点．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
消去 得，
设 ，则这两点的“椭点”坐标分别为
由根与系数关系得：
若使得以 为直径的圆过坐标原点，则而 ，∴
即 ，即
代入 ，解得：
所以直线方程为 或 ．
【变式6-1】已知抛物线 上一点 到焦点F距离是 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C交于A、B两点，是否存在一个定圆恒以AB为直径的圆内切，若存在，求该
定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由抛物线的定义得 ,又 ，所以 ，解得： .
点M在抛物线 上，
解得 ,所以抛物线方程为 .
(2)当直线l的斜率存在，设直线的方程为 ，
设l与抛物线交于点 ，联立
化简得 显然 ，
设A,B的中点为M，则
，
假设定圆存在，设定圆的方程为
又两圆内切可得
整理得：
得 定圆的方程为
当直线斜率不存在，则以A,B为直径的圆的方程为
该圆也与定圆 内切综上存在定圆 恒与以AB为直径的圆内切.
【变式6-2】（福建省厦门市2024届高三第二次质量检测数学试题）已知椭圆C： （a＞b＞0）
的离心率为 ，左、右焦点分别为F，F，过F 的直线l交C丁A．B两点．当l x轴时，△ABF 的面积
1 2 1 2
⊥
为3．
(1)求C的方程；
(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）已知椭圆C的离心率为 ，所以 ；
由当l x轴时，△ABF 的面积为3，得 ，即 ，又 ，
2
⊥
所以 ，又 ，则 ，椭圆方程为 .
（2）当l x轴时，以AB为直径的圆的圆心为F ，半径 ；
1
⊥
当l为x轴时，以AB为直径的圆的圆心为O ，半径 ；
因为直线l过点F，所以以AB为直径的所有圆关于 轴两两对称的，
1
根据对称性可知，圆E与以AB为直径的圆内切时，圆心在 轴上.设圆心E ，半径为R,
当以AB为直径的圆在圆E内部与E相切时，
则 ， ，故 ，
又 ，所以 ， ，即 ， ，圆E的方程为 ；
当以AB为直径的圆在圆E外部与E相切时，
则 ， ，故 ，又 ，
所以 ， ，即 ， ，圆E的方程为 ；
当直线l斜率不为零时，设直线l的方程为 , ， ，
联立 ，得 ，
则 ， ，所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心 ，半径
，当圆E的方程为
时，
，
此时 ，所以以AB为直径的圆与E相切.
当圆E的方程为 时，
，
此时 ，所以以AB为直径的圆与E相切.
综上圆E的方程 或 .
题型七：准线圆
【典例7-1】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））设抛物线 的焦点为
，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
【解析】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用
由题意得 ，设直线l的方程为 ．
设 ，由 得 ．
，故 ．
所以 ．由题设知 ，解得 （舍去）或 ．因此l的方程为 ．
［方法二］：弦长公式的应用
由题意得 ，设直线l的方程为 ．
设 ，则由 得 ．
，由 ，解得 （舍去）或 ．因此直线l的方程为
．
［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用
设直线l的倾斜角为 ，则焦点弦 ，解得 ，即 ．因为斜率
，所以 ．
而抛物线焦点为 ，故直线l的方程为 ．
［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用
由题意知 ，可设直线l的参数方程为 （t为参数）．
代入 整理得 ．
设两根为 ，则 ．
由 ，解得 ．
因为 ，所以 ，因此直线l的参数方程为
故直线l的普通方程为 ．
［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用
以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为 ．
设 ，由题意得 ，解得 ，即 ．
所以直线l的方程为 ．
（2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程
由（1）得AB的中点坐标为 ，所以AB的垂直平分线方程为，即 ．
设所求圆的圆心坐标为 ，则
解得 或 ，
因此所求圆的方程为 或 ．
［方法二］：硬算求解
由题意可知，抛物线C的准线为 ，所求圆与准线相切．
设圆心为 ，则所求圆的半径为 ．
由 得 ．
所以 ，
解得 或 ，
所以，所求圆的方程为 或 ．
【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法；
方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法；
方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解；
方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算；
方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解．
（2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优
解；
方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂．
【典例7-2】（专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题）已知定点
， ，定直线 ： ，不在 轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 倍．设点
的轨迹为 ，过点 的直线交 于 、 两点，直线 、 分别交 于点 、 ．
(1)求 的方程；
(2)试判断以线段 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设 ，依题意有 ，化简可得 （ ）．
（2）解法1：假设以线段 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在 轴上，设 ．设直线的方程为 ，由 ，消去 可得 ，由题意知 ．设
， ，则 ， ．因为直线 的方程为 ，所以
点 的坐标为 ，同理 ，于是 ， ．由
可得 ，即 ，即
，即 ，解得 或 ，所以以线段 为直径的圆过
定点 和 ．
解法2：假设以线段 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在 轴上．若 垂直于 轴，则
，直线 方程为 ，所以点 坐标为 ，此时以 为直径的圆的方程为
，该圆与 轴交于点 和 ．下面进行验证．
设直线 的方程为 ，由 ，消去 可得 ，由题意知
．设 ， ，则 ， ．因为直线 的方程为
，所以点 的坐标为 ，同理 ．
因为 ， ，所以
．同理 ．所以以线段 为直径的圆过定点 和 ．
【变式7-1】（2024届四川省遂宁市高三第二次诊断考试文科数学试卷（带解析））已知定点 ，
，定直线 ： ，动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 .设点 的轨迹为 ，过点 的直线
交 于 、 两点，直线 、 与直线 分别相交于 、 两点．（1）求 的方程；
（2）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由.
【解析】（1）设 ，根据动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 ，便可得求 的方程；
（2）由于直线 过x轴上的点 ，故可设直线 方程为 ，再代入椭圆的方程，可得
，结合根与系数的关系求出点 、 坐标，从而得向量 的坐标，然后计算
其数量积.若数量积为0，则垂直；否则不垂直，进而可判断以线段 为直径的圆是否过点 .
试题解析：（1） ，设 为C上任意一点，依题意有
∴
（2）易知直线 斜率不为0，设 方程为
由 ，得
设 ， ，则 ，
由 ，知 方程为 ，点 坐标为
同理，点 坐标为
则
∴
=
∴ 以 为直径的圆恒过点F
【变式7-2】已知双曲线 ： 经过点A ，且点 到 的渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 与双曲线 交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，
F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【解析】（1）由题意得：因为双曲线C的渐近线方程为 ，所以有：
解得：
因此，双曲线C的方程为：
（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
由 可得：
设 、 ，
则由： ，
由直线AM方程 ，令 ，得点
由直线AN方程 ，令 ，得点
则以EF为直径的圆的方程为：
令 ，有：
将 ， 代入上式，得
可得：
解得： ，或
即以EF为直径的圆经过点 和 ；
②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为 、 ，以EF为直径的圆方程为
，该圆经过点 和
综合可得，以EF为直径的圆经过定点 和
【变式7-3】（宁夏回族自治区石嘴山市2024届高三二模数学（理）试题）已知椭圆
的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点， ABF的面积为 ．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝ 交于点M、N．以MN为
直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题得
ABF的面积 ，解得a＝2，
即椭圆C的标准方程为 ．
（2）已知点A（－2，0），设直线PQ的方程为 ，点 ．
直线AP的方程为 ，直线AQ的方程为 ，
将 代入直线AP、AQ方程，
可得 ， ．
设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则 ，
即
联立椭圆 和直线PQ的方程为 ，
可得 ，
化简得 ，即 ， ．
代入上式化简得
，由此可知，若上式与t无关，则 ，又 ，
因此MN为直径的圆恒过定点 和 ．
1．（2024·陕西西安·一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响
深远.在双曲线 中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心
是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线
的实轴长为 ，其蒙日圆方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设点 关于坐标原点的对称点为 ，不过点 且斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，直线
与 交于点 ，求直线 的斜率值.
【解析】（1）由题意知，双曲线 的实轴长为 ，其蒙日圆方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以 的标准方程为： .
（2）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，整理得 ，
因为直线 与 相交于 两点，
所以 ，且 ，
由点 ，当直线 的斜率均存在时，，
所以直线 的方程为 ，
直线 的方程为
两方程联立方程组，可得 ，
显然 ，可得 ，
所以 ，
当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则 ，所以 .
当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则
，所以 ，即
综上可得：直线 的斜率值 .
2．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的
圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方
根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆的面积为 ，该椭圆的上顶点和下顶点
分别为 ，且 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 两点（不与 两点重合）且直线
.
(1)证明： ， 的交点 在直线 上;
(2)求直线 围成的三角形面积的最小值.
【解析】（1）根据题意，蒙日圆的半径为 ，所以 .
因为 ，可知 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 ，因为直线 过点 ，可知直线 的斜率存在，且直线 与椭圆必相交，
可设直线 ，
联立方程 ，消去 可得 ，
由根与系数的关系可得：
因为 ，可得直线 ，直线 ，
所以
即 ，解得 ，
所以直线 的交点 在直线 上.
（2）设直线 与直线 的交点分别为 ，
则由（1）可知：直线 ，直线 .
联立方程 和 ，
解得
因为 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
可得 ，只需求 的最小值.由弦长公式可得
令 ，则 .
可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
即 的最小值为 ，可得 面积的最小值为 .
故直线 围成的三角形面积的最小值为 .
3．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆 相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，
该圆的方程为 ，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个短轴端点，
且椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆” 的方程；
（2）若斜率为1的直线 与“蒙日圆” 相交于 ， 两点，且与椭圆 相切， 为坐标原点，求
的面积．
【解析】（1）由题意，抛物线 的焦点为 ，可得 ，
又由 ，且 ，可得 ， ，
于是椭圆的标准方程为： ；“蒙日圆” 方程为 ．（2）设直线 ， ， ，
由 ，整理得 ，
令 ，可得 ，解得 ，
“蒙日圆” 方程为 ，圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，
由弦长公式，可得 ．
所以 的面积为 ．
4．已知 ， 是双曲线 ： 上的两点，点 是线段 的中点.
(1)求直线 的方程；
(2)若线段 的垂直平分线与 相交于 ， 两点，证明： ， ， ， 四点共圆.
【解析】（1）依题意，直线 的斜率必定存在，设其斜率为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
所以 ， ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
故直线 的方程为 ，即 ，经检验，符合题意，
所以直线 的方程为 .
（2）
证明：由 得 ，
解得 或 ，所以 ， .
线段 中垂线的方程为 ： ，设 ，
由 得 ，
所以 ，
故 的中点 ，所以 ，
，
所以 ， ， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上，
所以 ， ， ， 四点共圆.
5．设椭圆 ，过点 且倾斜角互补的两直线分别与椭圆交于 和 ，证明四点共圆．
【解析】证明：根据题意可知，当两直线倾斜角互补时，斜率不存在这种情况不成立，
故设 ， ，
则由 和 构成的二次曲线方程为 ，
若 四点共圆，则 ，
即 ，
故 ，即 时， 四点共圆，
圆的方程为 ．
又因为 恒成立，
故 四点共圆．
x2 y2
6．（2024·广西来宾·一模）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点为(√6,0)，渐近线方程为
a2 b2
.(1)求C的方程；
2
(2)记C的左顶点为A，直线l:x= 与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ
3
分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆.
{a2+b2=6
【解析】（1）由题意可得 b √2 ，解得 ，b2=2，
=
a 2
所以C的方程为 .
（2）如图：
2
设直线PQ的方程为x=my+ ，P(x ,y )，Q(x ,y )，
3 1 1 2 2
代入C的方程整理可得：9(2−m2)y2−12my+32=0，
16
m2−2≠0，且△=(−12m) 2−4×9(2−m2)×32>0，故m2> 且m2≠2.
9
4m 32
y + y =
，
y ⋅y =
，
1 2 3(2−m2) 1 2 9(2−m2)
16
因为P，Q在C的右支上，∴y y >0，∴m2<2，综上，
