文档内容
重难点突破 15 圆锥曲线中的经典七大名圆问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：蒙日圆问题............................................................................................................................2
题型二：直径为圆问题........................................................................................................................5
题型三：四点共圆问题........................................................................................................................6
题型四：内准圆问题............................................................................................................................8
题型五：彭赛列圆问题......................................................................................................................10
题型六：焦点弦圆..............................................................................................................................11
题型七：准线圆..................................................................................................................................13
03 过关测试.........................................................................................................................................141、曲线 的两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是圆： ．
2、双曲线 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆 ．
3、抛物线 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
题型一：蒙日圆问题
【典例1-1】（2024·上海·模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·
蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，
（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：
.(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线 与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求 的面积（O为坐标
原点）；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求 面积
的最小值.
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 ．
当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是椭圆 ．
(1)求该椭圆 的方程．
(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746—1818）发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与
椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”．若椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一动
点，直线 与椭圆 的蒙日圆相交于点 ，求证： 为定值．
【变式1-1】法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交
点 的轨迹是以椭圆的中心为圆心， 为椭圆的长半轴长， 为椭圆的短半轴长）为半径的圆，
这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆 过点 .且短轴的一个端点到焦点的距离为 .
(1)求椭圆 的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线 与椭圆 相切，且与椭圆 的蒙日圆相交于 ， 两点，求 的面积 为坐标
原点）；
(3)设 为椭圆 的蒙日圆上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积
的最小值.【变式1-2】定义椭圆 的“蒙日圆”的方程为 ，已知椭圆 的长轴
长为4，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆 的一条切线 ，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点 ，
O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为 ，证明： 为定值.
【变式1-3】（2024·江西抚州·模拟预测）给定椭圆 ，称圆心在原点 ，半径为
的圆是椭圆 的“准圆”.若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为
.
（1）求椭圆 的方程和其“准圆”方程；
（2）点 是椭圆 的“准圆”上的动点，过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点 .
①当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程并证明 ；
②求证：线段 的长为定值.题型二：直径为圆问题
【典例2-1】（2024·高三·河北·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过椭圆 的右顶点 ，求证：直
线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【典例2-2】已知 ，直线l： ，椭圆C： ， 、 分别为椭圆C的左、右焦
点．
(1)当直线l过右焦点 时，求直线l的方程．
(2)当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围．
(3)设直线l与椭圆C交于A、B两点， 、 的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直
径的圆内，求实数m的取值范围．
【变式2-1】（2024·高三·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点 ，且在y轴上截得弦长为4，动圆
圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.
【变式2-2】（2024·宁夏银川·一模）已知椭圆 的离心率 ，且点
在椭圆 上，直线 与椭圆 交于不同的两点 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明：线段 的中点 在直线 上；
(3)过点 作 轴的平行线，与直线 的交点为 ，证明：点 在以线段 为直径的圆上．
【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 在 上，直
线 ∶ 与 相交于 两点，过 分别向 的准线 作垂线，垂足分别为 .
(1)设 的面积分别为 ，求证： ；
(2)若直线 ， 分别与 相交于 ，试证明以 为直径的圆过定点 ，并求出点 的坐标.
题型三：四点共圆问题
【典例3-1】（2024·上海·三模）已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线l与 交于A、B两
点．设 在点A、B处的切线分别为 ， ， 与x轴交于点M， 与x轴交于点N，设 与 的交点为P．
(1)设点A横坐标为a，求切线 的斜率，并证明 ；
(2)证明：点P必在直线 上；
(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．【典例3-2】已知椭圆 的离心率为 ，点 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且
．
(1)试求椭圆的方程；
(2)斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，点 在第一象限，求证： 四点共圆．
【变式3-1】已知双曲线 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 两点.
(1)若 ，求直线 的方程，
(2)设过点 且垂直于直线 的直线 与双曲线 交于 两点，其中 在双曲线的右支上.
（i）设 和 的面积分别为 ，求 的取值范围；
（ii）若 关于原点对称的点为 ，证明： 为 的垂心，且 四点共圆.
【变式3-2】已知椭圆 的离心率为 ，右顶点为 ，设点 为坐标原点，点 为椭
圆 上异于左右顶点的动点， 的面积最大值为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 交 轴于 ，其中 ，直线 交椭圆 于另一点 ，直线 分别交直线 于点
和 ，是否存在实数 使得 四点共圆，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【变式3-3】在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为.
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
题型四：内准圆问题
【典例4-1】已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，M为 上的一点.
(1)若点M的坐标为 ，求 的面积；
(2)若点M的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点A、B，求证： 为定值，并
求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定值， 且
）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为 ， .如果 为定值，求
的取值范围，以及 取得最大值时圆M的方程.
【典例4-2】（2024届上海市宝山区高三（一模）期末数学试题）已知 分别为椭圆 的左、
右焦点，M为 上的一点．（1）若点M的坐标为 ，求 的面积；
（2）若点M的坐标 ，且直线 与 交于两不同点A、B，求证： 为定值，并
求出该定值；
（3）如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定值，
且 ）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线 的斜率分别记为 ．如果 为定值，试问：
是否存在锐角 ，使 ？若存在，试求出 的一个值；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2018年全国高中数学联赛辽宁省预赛）如图所示，在平面直角坐标系 ，设点
是椭圆 上一点，左右焦点分别是 、 ，从原点O向圆M：
作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为 、
.
(1)设直线 、 分别与圆交于A、B两点，当 ，求点A的轨迹方程；
(2)当 为定值时，求 的最大值.【变式4-3】已知椭圆 的离心率为 ，设 是C上的动点，以M为圆心
作一个半径 的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为 ， ，求证： 为定值；
(3)证明： 为定值？并求 的最大值．
题型五：彭赛列圆问题
【典例5-1】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．
已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
【典例5-2】（内蒙古呼和浩特市2024届高三第二次质量数据监测理科数学试题）拋物线C的顶点为坐标
原点O，焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点M的坐标为 ， 与
直线l相切．
(1)求抛物线C和 的标准方程；(2)已知点 ，点 ， 是C上的两个点，且直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的
位置关系，并说明理由．
【变式5-1】（云南省曲靖市第一中学2024届高三教学质量监测数学试题（五））已知抛物线
，其顶点在坐标原点，直线 与抛物线交于M，N两点，且 ．
(1)求抛物线O的方程．
(2)已知 ， ， ， 是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中
， 均与 相切，请判断此时圆心 到直线 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；
若不是定值，请说明理由．
【变式5-2】（云南省昆明市第一中学2024届高三第一次摸底测试数学（文）试题）已知A，B，C三点在
椭圆 上，其中A为椭圆E的右顶点，圆 为三角形ABC的内切圆.
（1）求圆O的半径r；
（2）已知 ， ， 是E上的两个点，直线 与直线 均与圆O相切，判断直线 与
圆O的位置关系，并说明理由.
题型六：焦点弦圆
【典例6-1】（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（四））已知 分别为椭圆
的左、右焦点， 分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆 的离心率为 ，
的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；(2)若点 在椭圆 上，则点 称为点 的一个“椭点”.直线 与椭圆 交于 两点，
两点的“椭点”分别为 .问：是否存在过点 的直线 ，使得以 为直径的圆经过坐标原点 ？
若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由.
【典例6-2】（2024届吉林省长春市高三第四次调研测试理科数学试卷（带解析））如图 为椭圆C：
的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ， 的面积为
.若点 在椭圆C上，则点 称为点M的一个“椭圆”，直线 与椭圆交于A，B两
点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点 的直线 ，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；
若不存在，请说明理由.
【变式6-1】已知抛物线 上一点 到焦点F距离是 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C交于A、B两点，是否存在一个定圆恒以AB为直径的圆内切，若存在，求该
定圆的方程；若不存在，请说明理由.【变式6-2】（福建省厦门市2024届高三第二次质量检测数学试题）已知椭圆C： （a＞b＞0）
的离心率为 ，左、右焦点分别为F，F，过F 的直线l交C丁A．B两点．当l x轴时，△ABF 的面积
1 2 1 2
⊥
为3．
(1)求C的方程；
(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，
请说明理由．
题型七：准线圆
【典例7-1】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））设抛物线 的焦点为
，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
【典例7-2】（专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题）已知定点
， ，定直线 ： ，不在 轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 倍．设点
的轨迹为 ，过点 的直线交 于 、 两点，直线 、 分别交 于点 、 ．
(1)求 的方程；
(2)试判断以线段 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式7-1】（2024届四川省遂宁市高三第二次诊断考试文科数学试卷（带解析））已知定点 ，
，定直线 ： ，动点 与点 的距离是它到直线 的距离的 .设点 的轨迹为 ，过点 的直线
交 于 、 两点，直线 、 与直线 分别相交于 、 两点．（1）求 的方程；
（2）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由.
【变式7-2】已知双曲线 ： 经过点A ，且点 到 的渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 与双曲线 交于M，N两点，直线 分别交直线AM，AN于点E，
F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【变式7-3】（宁夏回族自治区石嘴山市2024届高三二模数学（理）试题）已知椭圆
的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点， ABF的面积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝ 交于点M、N．以MN为
直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
1．（2024·陕西西安·一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响
深远.在双曲线 中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心
是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线
的实轴长为 ，其蒙日圆方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；(2)设点 关于坐标原点的对称点为 ，不过点 且斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，直线
与 交于点 ，求直线 的斜率值.
2．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的
圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方
根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆的面积为 ，该椭圆的上顶点和下顶点
分别为 ，且 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 两点（不与 两点重合）且直线
.
(1)证明： ， 的交点 在直线 上;
(2)求直线 围成的三角形面积的最小值.
3．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆 相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，
该圆的方程为 ，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线 的焦点是椭圆 的一个短轴端点，
且椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆” 的方程；
（2）若斜率为1的直线 与“蒙日圆” 相交于 ， 两点，且与椭圆 相切， 为坐标原点，求
的面积．
4．已知 ， 是双曲线 ： 上的两点，点 是线段 的中点.
(1)求直线 的方程；
(2)若线段 的垂直平分线与 相交于 ， 两点，证明： ， ， ， 四点共圆.5．设椭圆 ，过点 且倾斜角互补的两直线分别与椭圆交于 和 ，证明四点共圆．
x2 y2
6．（2024·广西来宾·一模）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点为(√6,0)，渐近线方程为
a2 b2
.
(1)求C的方程；
2
(2)记C的左顶点为A，直线l:x= 与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ
3
分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆.
7．已知抛物线 ， .
(1)直线 交抛物线 于A，B两点，求 面积的最大值；
(2)已知P，Q是 上的不同两点，且直线的斜率 ，直线 ， 分别交抛物线 于 ，
， ， 四点，求证： ， ， ， 四点共圆.8．（2024·天津武清·模拟预测）已知椭圆 经过点 和 ，椭圆 上三点
与原点 构成平行四边形 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 四点共圆，求直线 的斜率.
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知抛物线 ： ，过点 的直线与抛物线E交于A，B两点，
设抛物线E在点A，B处的切线分别为 和 ，已知 与x轴交于点M， 与x轴交于点N，设 与 的交点
为P.
(1)证明：点P在定直线上；
(2)若 面积为 ，求点P的坐标；
(3)若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标.
10．（2024·高三·江苏·期末）已知双曲线C： （ ， ）的两个焦点是 ， ，顶点
，点M是双曲线C上一个动点，且 的最小值是 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且
与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点
P的坐标.
11．已知 ， 分别是椭圆 的左､右焦点，其焦距为 ，过 的直线与 交于 ，
两点，且 的周长是 .（1）求 的方程；
（2）若 是 上的动点，从点 ( 是坐标系原点)向圆 作两条切线，分别交
于 ， 两点.已知直线 ， 的斜率存在，并分别记为 ， .
（ⅰ）求证： 为定值；
（ⅱ）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
12．（【百强校】2024届江苏省扬州中学高三12月月考数学试卷（带解析））如图，在平面直角坐标系
xOy中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，且右焦点F到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）（1）设椭圆 上的任一点 ，从原点 向圆 引两条切线，
设两条切线的斜率分别为 ，当 为定值时求 的值；
（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于 时，试探究 是否为定值，若是，求出其
值；若不是，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系 中，设点 是椭圆C： 上一点，从原点O向圆
作两条切线，分别与椭圆C交于点 ，直线 的斜率分别记为 ．(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的情况下，求 的最大值．
14．（【百强校】2024届上海市行知中学高三第一次月考数学试卷（带解析））在平面直角坐标系中，已
知椭圆 ，设 是椭圆 上任一点，从原点 向圆 作两条切线，
切点分别为 ．
（1）若直线 互相垂直，且点 在第一象限内，求点 的坐标；
（2）若直线 的斜率都存在，并记为 ，求证： ．
15．已知抛物线 的顶点是椭圆 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知动直线 过点 ，交抛物线 于 、 两点，坐标原点 为 中点，
①求证： ；
②是否存在垂直于 轴的直线 被以 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出 的方程；
如果不存在，说明理由.
