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第十二章 全等三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即
可得．
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级下·陕西·期末）如图，在 和 中， 、 相交于点E， ，若利用
“ ”来判定 ，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可 可判定 ；掌握判
定方法是解题的关键．【详解】解： ，
，
当 时，
可判定 ；
故选：D．
3．（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图中的两个三角形全等，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等解答即可．
【详解】解： 两个三角形全等，
， 两边的夹角相等，
，
故选：D．
4．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图， 平分 ， ，垂足为A， ，Q是射线
上的一个动点，则线段 的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使 最小时 的位置是解此题的关键．
根据垂线段最短得出当 时， 的值最小，根据角平分线性质得出 ，求出即可．
【详解】解：当 时， 的值最小，∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
故选：C．
5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图， 是 中 的平分线， 于点 ，
于点 ．若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据角平分线的性质得到 ，再利用三角形面积公式得到 ，
然后解关于 的方程即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【详解】解： 是 的平分线， ， ，
，
，
，
．
故选：B．
6．（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等
图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等．其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的性质，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键．全等图形的对应角相
等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
【详解】解：①全等图形的面积相等，说法正确；
②全等图形的形状相同，说法正确；
③全等图形的对应边相等，说法正确；④全等图形的对应角相等，说法正确；
综上分析可知，正确的说法的个数是4个．
故选：D．
7．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在 中， ，按以下步骤作图： 以点 为
圆心，任意长为半径作弧，分别交 于点 ； 分别以 为圆心，以大于 长为半径
作弧，在 内两弧交于点 ； 作射线 ，交 于点 ．若 ，则点 到 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，由作图可知 为 的角平分线，再根据角平分线的性
质即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：由作图可知， 为 的角平分线，
∴点 到 的距离等于点 到 的距离，
∵ ， ，
∴点 到 的距离为 ，
∴点 到 的距离为 ，
故选： ．
8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在 中， 平分 ，过点 作 的垂线，交 于点 ，
交 于点 ，若 面积为 的面积为 ，则 的面积为（ ） ．A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用 平分 ，点 作
的垂线，得到 ，则 的面积等于 的面积为 ， 的面积等于 的面积，即
可解答，证明 是解题的关键．
【详解】解： 平分 ，过点 作 的垂线，
, ，
在 与 中，
，
，
，
则 的面积等于 的面积为 ，
，
故选：C．
9．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了
进一步的探究：在一个支架的横杆点 处用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图，
表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从 摆到 位置，此时过点 作
于点 ，当小球摆到 位置时， 与 恰好垂直（图中的 均在同一平面上），过点
作 于点 ．现已知 ，测得 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明 ，即可求解．
【详解】解：
，
又 ， ，
，
，
．
在 和 中，
， ， ，
，
．
∵ ，
∴
故选：B．
10．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图， 平分 ， ， ，下列
结论：① ；② ；③ ， .其中正
确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解
题的关键，属于中考常考题型．过 作 ，交 的延长线于 ，证 ，进
而得出①正确，再证 ，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问
题．
【详解】解：如图，过 作 ，交 的延长线于 ，
平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，故③正确；
，故④正确；
，，故②错误，
综上所述：正确的是①③④．
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，四边形 四边形 ，则 的大小是 ．
【答案】 /95度
【分析】本题考查了全等图形的性质，四边形的内角和定理；
根据全等图形的性质可得 ，再根据四边形的内角和是 计算即可．
【详解】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
12．（2024七年级下·全国·专题练习）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知 ，
其中 的周长为 ， ，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 ．
【答案】45
【分析】此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．
根据 ，可得 与 的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度即
的周长的2倍减去 长度即得答案．
【详解】解： ，
∴ 与 的周长相等，
又∵ 的周长为 ， ，
∴整个金属框架所需这种材料的长度 ，
故答案为：45．
13．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，在 中，线段 是 的角平分线，若 ，，则点D到 的距离为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，过点D作 于E，先求出
，再证明 ，得到 ，则点D到 的距离为2．
【详解】解：如图所，过点D作 于E，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵线段 是 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D到 的距离为2，
故答案为：2．
14．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径
作弧，分别交 ， 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点
P；③作射线 交 于点D，若 ， 的面积为10，则 的面积为 ．【答案】15
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
过点D作 于点E， 于点F，则 ，进而得出 ，即可解答．
【详解】解：过点D作 于点E， 于点F，
由作图可知， 平分 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为10，
∴ 的面积为15，
故答案为：15．
15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， ， ，过点B作 ，
且 ，延长 至点E，使 ，连接 并延长交 边于点F，若 ，则
．【答案】12
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，过点D作 交 的延长线于点G，分
别利用 证明出 和 ，然后利用线段和差即可得解，熟练掌握其性质，合理
作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过点D作 交 的延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12．
16．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在 中， ， ，将 沿过点
B的直线折叠，使点C落在点 处，折痕是 ，延长 交 边于点M，若 是 的中点，则图中的 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定
理求出 ，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得 ， ，证明
，即可得到 ．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）在 和 中， ， ，
，若边 和 上的高都是3， ，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作 于点D，过 作
于点 ，可得 ，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵边 和 上的高都是3，∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的同侧， 在点 的同侧时，如图，
同理可得： ， ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
当 在点D的同侧， 在点 的两侧时，如图，
同理可得： ；
综上， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．18．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在 中， ， ， 、 是斜边 上
两点，过点 作 ，垂足是 ，过点 作 ，垂足是 ．交 于点 ，连接 ，其中
．下列结论：① ；② ；③若 ， ．则 ；④
．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】由 证明 ，故①正确；得 ， ，再由三角形的三边关系得
，得 ，故②不正确；然后证 ，得 ，由三角
形的面积关系 ，故③正确，最后由全等三角形的性质得
，则 ，故④正确；即可得出答案．
【详解】解： ， ，
，
， ，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，故①正确；
， ，
， ， ，
，故②不正确；在 和 中，
，
，
，
，
，故③正确，
，
，
，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面
积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明 和 是解题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图， 是 边 上的一点，点 是 的中点，连接
并延长至点 ，使 ，连接 ．试说明： ．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由 ， ，夹角为对顶角，利用 得到
，利用全等三角形对应边相等得到 ．
【详解】证明：在 和 中，
，，
20．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，点 是 边 上一点．
(1)在 的左侧作 ；（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)根据上面所作的图形，你认为 和 一定平行吗？请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2) ，理由见详解
【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定．
（1）理由尺规作图作一个角等于已知角即可；
（2）根据内错角相等，两直线平行来判定即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求
（2） ，理由如下：
．
21．（23-24七年级下·江西九江·期末）奇思利用一根长 的竿子来测量电线杆 的高度．他的方法如
下：如图，在电线杆前选一点 ，使 ，并测得 ，然后把竖直的竿子 在
的延长线上左右移动，使 ，此时测得 ．已知 ， ，请计算出电
线杆 的高度．【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意得 ，根
据 ， 得 ，利用 可证明 ，得 ，根据
， 得 ，即可得；掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
即 ．
答：电线杆 的高度是 ．
22．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在 和 中，(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)4cm．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明 ，可得
，即可得出答案；
对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得 ，再说明 ，然后根据全等三角
形的性质可得答案.
【详解】（1）在 和 中
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴
23．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出 中 边上的高 ， 为垂足；
(2)画出 向右平移3个单位，再向下平移1个单位后得到的 ；
(3)图中与 相等的角有______；
(4)连接 ，四边形 的面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，
(4)24
【分析】本题考查作图—平移变换，三角形的面积等知识．
（1）根据三角形高线的概念求解可得；
（2）将三个顶点分别向右平移3个单位再向下平移1个单位得到对应点，再顺次连接即可得；
（3）由平移的性质可得；
（4）利用割补法求解可得．
【详解】（1）解：如图所示，线段 即为所求；（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：根据平移前后对应角相等可得， ， ，
∴ ，
即与 相等的角有 ， ；
（4）解：如图，
四边形 的面积是 ．
24．（23-24七年级下·江西九江·期末）如图，在 中， ， ， ．点
从点 出发沿 的路径向终点 运动，点 从点 出发沿 的路径向终点 运动．点 和点
分别以 和 的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点 的运动
时间为 ．在某时刻，分别过点 和 作 于点 ， 于点 ．(1)如图1，当 ，且点 在 上，点 在 上时，
①用含 的式子分别表示 和 ： ________ ， ________ ．
②当 时， 与 全等吗？请说明理由．
(2)当 时， 与 有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的 值；若不可能，请说明
理由．
【答案】(1) 全等，理由见解析
① ②
(2)有可能， 的值为1或3.5或12
【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知
识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．
（1）①由题意得：： ， ，即可得出答案；②由 证明 即可；
（2）分三种情况：①当点P在 上，点Q在 上时 ，则 ， ，得 ；
②当点P与点Q重合， 与 全等，然后计算出t的值即可；③当点Q到点A时停止，点P运动
到 上时， ，即可得出结论．
【详解】（1）解：①由题意得： ， ，
则 ， ，
故答案为： ；②当 时， 与 全等，理由如下：
当 时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于E， 于F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）当 时， 与 有可能全等，分三种情况：
①当点P在 上，点Q在 上时， ，如图1所示：
则 ，
∴ ，
解得： ；
②如图2所示：∵点P与点Q重合，
∴ 与 全等，
∴ ，
∴ ．
解得： ．
③当点P在 上，点Q到点A时， ，如图3所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
即满足条件的t值为 或 或 ．
25．（23-24七年级下·山西晋中·期末）综合与探究
如图，在长方形 中， ， ， ，点E在线段
上以 的速度由点B向点C运动，同时点F在线段 上由点C向点D运动，它们运动的时间为
．(1) ______cm（用含t的代数式表示）；
(2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当 时，判断线段 和 的数量关系和位置关系，并
说明理由；
(3)若点F的运动速度为 ，是否存在v的值，使得 与 全等？若存在直接写出v的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ， ，理由见解析
(3)存在， 的值为 或
【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题、全等三角形的性质、用代数式表示式：
（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果；
（2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果；
（3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果；
数形结合，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点E在线段 上以 的速度由点B向点C运动，
∴ ，
∵ ，
∴ cm，
∵ ，
∴t最大取到 s，
∴ cm，其中 ，
故答案为： ；
（2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当 时，
此时 cm， cm，则 cm，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ， ；
（3）解：由（2）可得，当 时，此时 ，
当 ，此时 ，
即 ，
解得： ，
，
解得： ，
∴存在v的值，使得 与 全等，此时 的值为 或 ．
26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知： 中， 为直线 上一动点，连
接 ，在直线 右侧作 ，且 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，过点 作 于 ，求证： ；
(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，连接 交直线 于点 ．试探究 与 的数量关系，
并说明理由．
(3)当点 在射线 上时，连接 交直线 于点 ，若 ，求 的值．【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
(3) 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算；
（1）求出 ，即可利用 证明 ；
（2）作 交 的延长线于点 ，求出 ，证明 ，
可得 ，然后再证 即可；
（3）分情况讨论：当点 在 的延长线上时，作 交 的延长线于点 ，求出
，证明 ，可得 ， ，然后求出
，再证 ，可得 ，设 ，表示出 和 ，然后根
据三角形的面积公式列式即可；当点 在线段 上时，同理求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，
， ， ，
，
，
在 和 中， ，
；
（2） ；
理由：如图2，作 交 的延长线于点 ，， ， ，
， ，
在 和 中， ，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（3）解：如图3，当点 在 的延长线上时，作 交 的延长线于点 ，则 ，
，
，在 和 中， ，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
， ，
，
的值为 ；
如图4，当点 在线段 上时，设 ，则 ，，
，
，
， ，
，
综上所述， 的值为 或 ．
