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１ ７８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
微专题一 空间几何体的截面与交线问题
学生用书P272
类型一：多面体中的交线问题 平行线法 过直线与直线外一点作截面 若直线所在的平
（３） ： ，
多面体中找交线的常用方法 面与点所在的平面平行 可以通过过点找直线的平行线找到
： ，
1.利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线 即只需 多面体与截面的交线．
，
找相交平面的两个公共点 两点连线就是交线． 空间向量法 建立空间直角坐标系 利用线面平行与垂直
， （４） ： ， ，
2.利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平 通过计算 确定截面与多面体各棱的交点 连接各交点即得截
， ，
行 再利用性质作出交线． 面多边形．
，
3.对于球与多面体的交线长问题 根据交线的不同有两种计算 例2 （ 山东日照校级联合考试， ）已知正方体每条棱所
， ２０２４ ８
方法 一是利用弧长公式计算 只需找出弧所对的圆心角即 在直线与平面α所成角相等 平面α截此正方体所得截面边数
： ， ，
可 二是转化为截面小圆计算 只需找到小圆半径即可． 最多时 截面的面积为Ｓ 周长为ｌ 则 Ａ
； ， ， ， ， （ ）
例1 （ 山东潍坊学科素养能力测试）正三棱台 ＡＢＣ Ｓ不为定值 ｌ为定值 Ｓ为定值 ｌ不为定值
２０２４ － Ａ． ， Ｂ． ，
Ａ Ｂ Ｃ 中 Ａ Ｂ ＡＢ ＡＡ 点Ｅ Ｆ分别为棱ＢＢ Ａ Ｃ 的 Ｓ与ｌ均为定值 Ｓ与ｌ均不为定值
１ １ １ ， １ １＝１， ＝ １＝２， ， １， １ １ Ｃ． Ｄ．
中点 若过点Ａ Ｅ Ｆ作截面 则截面与上底面Ａ Ｂ Ｃ 的交线长 解析 正方体的所有棱中，实际上是 组平行的棱，正方体每
， ， ， ， １ １ １ ３
条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图，
为 ３１ ．
解 １ 析 ０ 如图，将正三棱台 ＡＢＣ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 补为正三棱锥 Ｄ － " / % & . # $
ＡＢＣ，连接ＡＦ并延长交ＣＤ于点Ｍ，连接ＭＥ交Ｂ Ｃ 于点Ｎ，连
１ １ ) '
接ＦＮ，则ＦＮ即为过点Ａ，Ｅ，Ｆ的截面与上底面Ａ Ｂ Ｃ 的交线， % $
１ １ １ (
"
#
１
ＦＣ ＭＣ
因为ＦＣ ＡＣ，所以 １ １ ２ １ ，所以 ＭＣ １ ＣＣ 与平面 Ａ ＢＤ 平行且截面是六边形时满足截面多边形边数最
１∥ ＡＣ ＝ ＭＣ ＝ ＝ １＝ １＝ １
２ ４ ３ 多，设正方体的棱长为 ，作ＥＦ Ａ Ｂ，ＦＧ Ｂ Ｃ，ＧＨ ＢＤ，ＨＭ
１ ∥ １ ∥ １ ∥ ∥
３ ２ ，过点Ｅ作ＢＣ的平行线交ＣＣ １ 于点Ｈ，易知 ＨＥ ＝ ２ １ （ＢＣ ＋ ＣＤ １ ，ＭＮ ∥ Ａ １ Ｄ，ＮＥ ∥ Ｂ １ Ｄ １ ，设 Ａ ＥＦ Ｂ＝ λ，则 Ａ Ｂ １ Ｂ Ｅ ＝ Ｂ １ Ｅ ＝ λ， ∴ Ｂ Ｎ Ｄ Ｅ
１ １ １ １ １
２
ＭＣ Ｃ Ｎ Ａ Ｅ
Ｂ Ｃ ） ３ ．（ＨＥ为梯形ＢＣＣ Ｂ 的中位线） １ １ ３ １ λ， ＥＦ ＮＥ λ （ λ） ，同理可得ＮＭ
１ １ ＝ １ １ ＭＨ ＝ ＨＥ ＝ ＝ ＝Ａ Ｂ ＝１－ ∴ ＋ ＝ ２ ＋ ２ １－ ＝ ２ ＋
２ ２ １ １
１＋ ＭＨ ，ＦＧ ＨＧ ， 六边形的周长ｌ为定值 ，正三角形
３ ＝ ２ ＋ ＝ ２ ∴ ３ ２
２ ，所以 Ｃ Ｎ ２ ＨＥ ３ ，在 Ｃ ＦＮ 中，由余弦定理得 ＦＮ
１ ＝ ＝ △ １ ＝ Ａ ＤＢ的面积为 ３ （ ）２ ３，当Ｍ，Ｎ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ均为各棱中
５ ５ ５ １ × ２ ＝
４ ２
点时，六边形的边长相等，即截面为正六边形时截面面积最大，
１ ９ １ ３ １ ３１．
＋ －２× × × ＝
４ ２５ ２ ５ ２ １０ æ ö２
% 此时截面面积为 ３ ç ２÷ ３ ３，所以截面从平面Ａ ＤＢ平
×è ø ×６＝ １
４ ２ ４
" . # 移到平面Ｂ ＣＤ 的过程中，截面面积的变化是由小到大，再由
'$
/ & 大到小，故可 １ 得截 １ 面的周长ｌ为定值，面积Ｓ不为定值，故选
) Ａ．
" #
例3 在正三棱锥Ａ ＢＣＤ中 底面 ＢＣＤ的边长为 Ｅ为ＡＤ
－ ， △ ４，
$
的中点 ＡＢ ＣＥ 则以Ｄ为球心 ＡＤ长为半径的球截该棱锥各
， ⊥ ， ，
类型二：多面体中的截面问题
1.正方体中的基本斜截面 面所得交线长为 ５ ２ ．
π
３
解析 如图 ，取ＣＤ的中点 Ｆ，连接 ＢＦ，过 Ａ作 ＡＯ 平面
１ ⊥
ＢＣＤ，垂足为Ｏ，（由正三棱锥的性质可知，Ｏ 为正△ＢＣＤ 的中
心），
点Ｏ在ＢＦ上，
∴
ＣＤ 平面ＢＣＤ， ＡＯ ＣＤ．
∵ ⊂ ∴ ⊥
由正三角形的性质可知，ＢＦ ＣＤ，
⊥
又ＡＯ ＢＦ Ｏ， ＣＤ 平面ＡＢＯ，
∩ ＝ ∴ ⊥
2.多面体中找截面的几种方法 ＡＢ 平面ＡＢＯ， ＡＢ ＣＤ，
∵ ⊂ ∴ ⊥
直接法 有两点在多面体的同一个面上 连接这两点即为 又ＡＢ ＣＥ，ＣＤ ＣＥ Ｃ，
（１） ： ， ⊥ ∩ ＝
多面体与截面的交线 找截面实际就是找交线的过程． ＡＢ 平面ＡＣＤ，
， ∴ ⊥
延长线法 若直线相交 但在多面体中未体现 可以通过作 结合正三棱锥的性质可知，ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ 两两垂直，且 ＡＢ ＡＣ
（２） ： ， ， ＝
延长线的方法找到交点 然后借助交点找到交线． ＡＤ，
， ＝
专题七 立体几何与空间向量 １ ７９
将正三棱锥Ａ ＢＣＤ放置在正方体中，
∴ － 所求交线长为π π ５ ２ ．
如图 ， ＣＤ ， ＡＤ ， ∴ ×２ ２×２＋ ×２ ２＝ π
２ ∵ ＝４ ∴ ＝２ ２ ４ ３ ３
"
易知 ＡＤＢ ＡＤＣ π， ＢＤＣ π， %
∠ ＝∠ ＝ ∠ ＝ &
４ ３
以Ｄ为球心，ＡＤ长为半径的球截三棱锥Ａ ＢＣＤ各面所得交 &
∴ － # %
线是以Ｄ为圆心，ＡＤ 长为半径的三段圆弧，其圆心角分别为 0 ' #
"
$ $
π，π，π，
图 图
４ ４ ３ １ ２
学生用书P107
１．（ 广东深圳调研（二）， ）已知正方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 线的总长为 Ｂ
２０２４ ２ － １ １ １ １， （ ）
过点Ａ且以Ｄ→Ｂ 为法向量的平面为α 则α截该正方体所得截
１ ， ４ ６ ８ ６
面的形状为 Ａ Ａ．２ ６π Ｂ． π Ｃ． π Ｄ．４ ６π
３ ３
（ ）
三角形 四边形 五边形 六边形
７．（多选）（ 江苏苏锡常镇一模， ）如图 在棱长为 的正
２０２４ １１ ， ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２．（ 湖北华师一附中、湖南师大附中等三校二模， ）已知正 方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ为棱ＡＡ 的中点 点Ｆ满足Ａ→Ｆ
２０２４ ６ － １ １ １ １ ， １ ， １ ＝
方体ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ， 点Ｅ是线段ＢＢ １ 上靠近Ｂ １ 的三等 λＡ １ →Ｂ １（０≤ λ ≤１）， 则 （ ＡＣＤ ）
分点 点Ｆ是线段Ｄ Ｃ 上靠近Ｄ 的三等分点 则平面 ＡＥＦ %
， １ １ １ ， $
截正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 形成的截面图形为 Ｃ
－ １ １ １ １ （ ） '
三角形 四边形 五边形 六边形 " #
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３．（ 山东潍坊一模， ）如图所示 在棱长为 的正方体
２０２４ ６ ， １
ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ， 点 Ｐ 为截面 Ａ １ Ｃ １ Ｂ 上的动点 ， 若 ＤＰ ⊥ & % $
Ａ Ｃ 则点Ｐ的轨迹长度是 Ｂ
１ ， （ ）
" #
当λ 时 ＡＣ 平面ＢＤＦ
Ａ． ＝０ ， １⊥
对任意λ 三棱锥Ｆ ＢＤＥ的体积是定值
Ｂ． ∈［０，１］， －
存在λ 使得ＡＣ与平面ＢＤＦ所成的角为π
Ｃ． ∈［０，１］，
３
当λ ２ 时 平面ＢＤＦ截该正方体的外接球所得截面的面
２ １ Ｄ． ＝ ，
Ａ． Ｂ． ２ Ｃ． Ｄ．１ ３
２ ２
４．（ 山东枣庄一模， ）在侧棱长为 的正三棱锥 Ａ ＢＣＤ 积为５６
２０２４ ７ ２ － π
中 点Ｅ为线段ＢＣ上一点 且ＡＤ ＡＥ 则以Ａ为球心 为 １９
， ， ⊥ ， ， ２ ８．（ 河南豫北六校第二次联考， ）如图 在棱长为 的正
半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为 Ｃ ２０２４ １２ ， ２
（ ） 方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｍ是该正方体表面及其内部的一动
－ １ １ １ １ ，
３ ２π ３ ２π 点 且ＢＭ 平面ＡＤ Ｃ 则动点 Ｍ 的轨迹所形成区域的面积
Ａ． Ｂ． ２π Ｃ． Ｄ．３ ２π ， ∥ １ ，
４ ２ 是 ．
５．（ 湖南长沙一中第四次月考， ）如图 在四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ ２ ３
２０２４ ８ ， － %
中 ， 底面ＡＢＣＤ是正方形 ， ＡＰ ＝ ＡＢ ＝４， 侧棱ＰＡ ⊥ 底面ＡＢＣＤ ， Ｔ " . $
是ＣＤ的中点 Ｑ是 ＰＡＣ内的动点 ＴＱ ＢＰ 则Ｑ的轨迹长为 #
， △ ， ⊥ ，
Ｂ
（ ）
1 % $
" #
" % ９．（ 贵州毕节二模， ）已知直四棱柱 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的
２０２４ １４ － １ １ １ １
5
# $ 棱长均为 且 Ｂ Ａ Ｄ ° 则以 Ｄ 为球心 为半径的
４， ∠ １ １ １＝６０ ， ，２ ７
球面与侧面ＢＣＣ Ｂ 的交线长为 ４π ．
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ ２ Ｄ．２ ３
１ １
６．（ 河北石家庄二模， ）已知正方体的棱长为 连接正 ３
２０２４ ８ ２ ２，
方体各个面的中心得到一个八面体 以正方体的中心Ｏ为球
，
心作一个半径为２ ３的球 则球Ｏ的球面与八面体各面的交
，
３
