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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 25 立体几何中的截面问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分
点方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C ，注意：此时合格C 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，
1 1
只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型二、题型精讲精练
【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答
案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
【典例2】已知正四棱柱 中， ， ，则该四棱柱被过点 ，C，
E的平面截得的截面面积为______.
【答案】
【分析】在 上取点 ，使得 ，连接 ，则四边形 是平行四边形，
由勾股定理可得 ，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱 中， ， ，可得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，则有 ，
所以四边形 是平行四边形，由勾股定理可得
，
所以 ,所以 ，所以四边形 是平
行四边形的面积为 ，故答案为：
【典例3】如图，在正方体 中， ， 为棱 的中点， 为棱 的四等分点
（靠近点 ），过点 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】
【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点 的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】如图，取 的中点 ，取 上靠近点 的三等分点 ，连接 ，易证 ，则五边形 为所求截面.
因为 ，所以 ，
则 ， 故该截面的周长是
.故答案为： .
【典例4】已知三棱锥 的所有棱长均相等，四个顶点在球 的球面上，平面 经过棱 ， ，
的中点，若平面 截三棱锥 和球 所得的截面面积分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面截三棱锥 所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】设平面 截三棱锥 所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则 ，
由正弦定理可得 ， ， ，故选：B
【题型训练-刷模拟】
1 . 截面形状问题
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.
【详解】
如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，
因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，
不可能为七边形，
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的
中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.
【详解】分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 ，
在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
， ， ，
六边形 是过 ， ， 这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体 中， ，点 ， ， 分别
在棱 ， 和 上，且 ， ， ，则平面 截长方体所得的截面形状为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【分析】连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，即可得到截面图形，从而得解.
【详解】如图连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
则五边形 即为平面 截该长方体所得的截面多边形.
其中因为 ， ， ，
所以 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ，
显然 ，则 ，所以 .故选：C
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体 中，过点B的平面 与直线 垂
直，则 截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【分析】作出辅助线，证明出 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，同理可证明 ⊥ ，得到 ⊥平面
，故平面 即为平面 ，得到截面的形状.
【详解】连接 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
又 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，同理可证明 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，
故平面 即为平面 ，
则 截该正方体所得截面的形状为三角形.
故选：A
5．（2023·河南·模拟预测）在正方体 中，M，N分别为AD， 的中点，过M，N，
三点的平面截正方体 所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】B
【分析】在 上取点 ，且 ，取 中点为 ，在 上取点 ，且 .通过
，可得 ，进而得出 ， .通过证明 ，得出
.同理得出 ，即可得出正方体的截面图形.【详解】
在 上取点 ，且 ，取 中点为 ，连接 .
在 上取点 ，且 ，连结 .
因为 ， ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以， .
因为 分别为 的中点，所以 ，且 .
根据正方体的性质，可知 ，且 ，
所以， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以， ，所以 .
同理可得， .
所以，五边形 即为所求正方体的截面.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体 中，点 为 的中点，点 在侧面 上，且到 的距离为6，到 的距离为5，则过点 且与 垂直的正方体截面的
形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.
【详解】如图所示，过点 作 分别交 于点 ，因为 ，可得 ，
在正方体 中， 平面 ，所以
又 ,所以 平面 , 平面 ,所以
过 作 交于 点 ，则 ,设
则 ,所以 ，即 ,则
所以
A B C D
1 1 1 1
在正方形 中，取 的中点 ，连接
则 与 ,则
所以 ,即
取 的中点 ，过 作 交 于点 ，连接 ，则
A B C D
1 1 1 1
又 平面 ,所以 ,由所以 平面 ，所以
又 ，所以 平面
连接 ，过 作 ,由 ，则 ，所以 (且 )
连接 ，则四边形 为梯形，所以 平面
所以截面的形状为四边形边形 .
故选：B.
7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 为截面，长
方形 为底面，则四边形 的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
【答案】B
【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有 ，即知 的形状.
【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知 ，
∴ 为平行四边形.故选：B
2 . 求截面的面积
一、单选题
1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体 中，棱长为3，E为棱 上靠近
的三等分点，则平面 截正方体 的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.
【详解】延长 交于点 ，连接 交 于点 ，如图，
在正方体 中，面 面 ，
面 面 ，面 面
，又
四边形 是梯形，且为平面 截正方体 的截面.
又 ，在等腰梯形 中，过 作 ，.
故选：C.
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体 的棱长为2，M、N分别为 、
的中点，过 、 的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形 ，根据梯形的面积公式求解即可.
【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形 ，
其中 ，高为 ，
故面积为 .
故选:D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体 的一个截面经过顶点 及棱 上一点
，截面将正方体分成体积比为 的两部分，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台 和另一几何体，根据棱台体积公式求出
，进而求出 的值.
【详解】设正方体棱长为1， ，
如图所示，该截面把正方体分为几何体 和另一几何体，
由面面平行的性质可知： ，
延长 ，相交于点 ，则 平面 ，且 平面 ，
又平面 平面 ，所以 在直线 上，即 三线共点，
所以几何体 为三棱台，
其中三棱台 上底面积是 ，下底面积为 ，高等于1，
所以 ，解得： ，
所以 .
故选：C
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥 的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，
且平面ABC被球O截得的截面面积为 ，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D． 或
【答案】B
【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为 ，连接 ，由球O截平面ABC所得的截面面积为 ，
得截面圆的半径为 ，设球O的半径为R，得 ，过O作PA的垂线，垂足为D，得
∽ ，可得 ，进而求得 ．
【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为 ，连接 ，则球心O在线段 或其延长线上，
为正 的中心，则 ， ．
设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为 ，
所以截面圆的半径为 ，所以 ， ．
过O作PA的垂线，垂足为D，则 ，
∽ ，所以 ．①当点O在线段 上时， ，即 ，
则 ，且 ，解得 ；
②当点O在线段 的延长线上时， ，即 ，
则 ，且 ，解得 或 ，
当 时，点O， 重合，此时点O不在线段 的延长线上，故舍去；当 时，切点D不在棱
PA上，不符合题意．
综合①②可知， ，
故选：B．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球 是正三棱锥 的外接球，
，点 在线段 上， ，过点 作球 的截面，则所得的截面中面积最小的截
面的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 是球心， 是等边三角形 的中心，在三角形 中，有 ，可求得
，再利用 可得过 且垂直 的截面圆最小即可.
【详解】
如图所示，其中 是球心， 是等边三角形 的中心，
可得 ， ，
设球的半径为 ，在三角形 中，由 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ，
因为在 中， ， ，
所以， ， ，
由题知，截面中面积最小时，截面圆与 垂直，
设过 且垂直 的截面圆的半径为 ，则 ，
所以，最小的截面面积为 .
故选：A
6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥 （底面是正三角
形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点E是线段BC的中点，过点E作
球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】如图， 是 在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于
时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.
【详解】如图：
是 在底面的射影，由正弦定理得， 的外接圆半径 .
由勾股定理得棱锥的高 设球 的半径为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，即 与 重合，
所以当过点E作球O的截面垂直于 时，截面面积最小，
此时截面半径为 ，截面面积为 .故选：A.
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 中，
分别为棱 的中点，过 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点 处，要使过 的平面截该球得到的截面面积最小，则截
面圆的圆心为线段 的中点 求解.
【详解】解：如图，
正方体外接球的球心在其中心点 处，球的半径 ，
要使过 的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段 的中点 ，
连接 ，则 ，
所以 ，
此时截面圆的半径 ，
此时，截面面积的最小值 .
故选：C.
8．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥 的截面，使截面平行于直线VB和AC，
当该截面面积取得最大值时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表
示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直
角三角形即可求得答案.
【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作 ，交VC于点E；
在平面VBC内，过点E作 ，交BC于点Q；
在平面VAB内，过点F作 ，交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为 ，则 ∽ ，设其相似比为k，即 ，
则 ；
又因为 ， ， ，
由余弦定理得， ，则 ，即 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 ， ．又 ，则 ， ．
因为 ，则 ∽ ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ,
同理可得 ，即 ，
因为 ， ，则 ，
故四边形 为平行四边形；而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，同理 平面 ，
即四边形 为截面图形；
又 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ，所以 ．
故平行四边形 为矩形，则 ，
所以当 时， 有最大值 ，则 ，
在 中， ,
故选：B
9．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体 的棱长为4，M，N分别是侧面 和侧面
的中心，过点M的平面 与直线ND垂直，平面 截正方体 所得的截面记为S，则S的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答.
【详解】正方体 的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，侧面 的中心 ，侧面 的中心 ，而 ，有 ，
显然点M在平面 与平面 的交线上，设 为这条交线上任意一点，
，而 平面 ，则 ，
即 ，令 ，得点 ，令 ，得点 ，连 ，
平面 与平面 必相交，设 为这条交线上任意一点， ，
由 ，即 ，令 ，得点 ，连 ，
A B C D
1 1 1 1
因为平面 平面 ，则平面 与平面 的交线过点G，与直线FE平行，
过G作 交 于 ， ，
由 得 ，即 ，显然平面 与平面 都相交，
则平面 与直线 相交，令交点为 ， ，由 得 ，
连接 得截面五边形 ，即截面 为五边形 ，
，取 中点 ，连接 ，则 ，
在 中， ，
的面积 ，在 中， ，
边 上的高 ，
梯形 面积 ，
所以S的面积为 .
故选：C
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几
何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点
中至少有两个点在几何体的同一平面上.
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥 中，
，平面 平面 ，三棱锥 的所有顶点都
在球 的球面上， 分别在线段 上运动（端点除外）， .当三棱锥 的体积最
大时，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ,证得 为球心，利用二次函数求出三棱锥 的体积最大时 的取值，当
垂直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径.
【详解】如图，取 的中点 ,连接 ,因为 ，所以 ，即 为球心，
则球 的半径 ,又 ,所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 平面 .
所以 平面 ，
设 ，则 ,所以 ，
所以三棱锥 的体积
.
当 时, 取得最大值 ，
由于 ，在 中，由余弦定理得:
根据球的性质可知，当 垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为 ，所以 .
则截面面积的最小值为 .
故选:C.
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥 的底面边长为2，侧棱长为 ，SC的中点为
E，过点E做与SC垂直的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意垂直关系可得平面 截正四棱锥 所得的截面面为四边形 ，结合根据相似
求长度，进而根据面积公式即可求解.【详解】连接 ，
由题意可得： ，即 为等边三角形，
且E为SC的中点，可得 ，
故 平面 ，
连接 ，设 ，连接 ，
可得 平面 ，
且 平面 ，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，则 ，
在直线 取一点 ，连接 ，使得 ，
在 中， ，
因为 ，可得 ，
故 ，
同理在棱 取一点 ，使得 ，连接 ，则 ，
故平面 截正四棱锥 所得的截面面为四边形 ，
因为 ，则 // ，
由 ，可得 ，
所以四边形 的面积 .
故选：A.
12．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥 的体积为 ，底面 的面积为 ，点 、 分别为 、 的中点，点 为 的靠近点 的三等分点，过点 、 、
的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 ，设 ，连接 ，连接 并延长交 于点 ，连接 、 、
、 ，在 中，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于
点 ，证明出 ，计算出 、 的长，进而可求得截面四边形的面积.
【详解】连接 、 ，设 ，连接 ，
易知 为正四棱锥 的高，连接 交 于点 ．
因为点 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 ，所以， 为 的中点．
连接 并延长交 于点 ，连接 、 、 、 ，
因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，则 ，
四边形 为所求的截面四边形，如图1．
因为正四棱锥 的体积为 ，底面 的面积为 ，所以底面 是边长为 的正方形，则 ，
由 ，可得 ，
在 中，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，如图2．
因为 ，则 ．
又 为 的中点， 为 的中点，所以 ， ，
， ，
所以 ， ，
则 ， ，所以 ，
故 ，所以 ，则 ，
得 ．
故四边形 的面积为 ，
故选：C．
【点睛】方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的
性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；
（3）两个平面平行的性质；
（4）球的截面的性质．
二、填空题
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体 中，若E为棱
的中点，则平面 截正方体 的截面面积为 ．
【答案】
【分析】作出截面截面 ， 为 的中点，则可得截面 是边长为 的菱形，求出其面积即
可.
【详解】如图，在正方体 中，
平面 平面 ，
平面 与平面 的交线必过 且平行于 ，
故平面 经过 的中点 ，连接 ，得截面 ，
易知截面 是边长为 的菱形，其对角线 ，
，截面面积 ．
故答案为： ．14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱
，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱
锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
【答案】3
【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，求出
，由线面平行得线线平行，证明当 是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨
论求得截面面积的最大值.
【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则
，则 .
当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH， ，
，
设 ，则 ， ，同理 ， （或其补角）是异面直线
所成的角，
，其中 为定值，
， 时， 取得最大值，即截面 面积最大，此时 是所
在棱中点，
由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半 ，
同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为 ；当平面α与三棱
锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为 .
故答案为：3.15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体 中，AB＝
1， 中点为Q，过 三点的截面面积为 ．
【答案】
【分析】先作出经过 三点的截面，如图所示为梯形 ，然后求出截面的面积即可
【详解】解：如图所示，取 的中点P，连接 、AQ和 ，∵ 分别是 ， 的中点，
∴ ，且 ，
∵ ，∴ ，
所以四边形 是过 三点的截面，且四边形 是梯形，
∵AB＝1，
∴ ， ， ，
且等腰梯形 的高为 ，
∴截面面积为 ，
故答案为：
16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台 中， ，
，M为棱 的中点，当正四棱台的体积最大时，平面 截该正四棱台的截面面积是
.【答案】
【分析】设 ，上底面和下底面的中心分别为 ， ，过 作 ，该四棱台的高
，可求得该四棱台的体积为 ，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时
， ， .取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，可得平面 就是截面，
求解即可.
【详解】设 ，上底面和下底面的中心分别为 ， ，过 作 ，
该四棱台的高 ，
在上下底面由勾股定理可知， .
在梯形 中， ，
所以该四棱台的体积为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， ， .
取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，显然有 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因此平面 就是截面.
显然 ，
在直角梯形 中， ，
因此在等腰梯形 中， ，
同理在等腰梯形 中， ，在等腰梯形 中，设 ， ，
则 ，
，
所以梯形 的面积为 .
故答案为: .
【点睛】总结点睛：
解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系，
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元
素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解.
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体 的棱长为 为 的中点， 为
棱 上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请
写出所有正确命题的编号）①当 时，S为等腰梯形；
②当 时，S与 的交点 满足 ；
③当 时，S为六边形；
④当 时，S的面积为 .
【答案】①②④
【分析】①作出辅助线，找到S为四边形 ，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各
边长度与相似，求出 ；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，
求出对角线，进而求出面积.
【详解】当 时，S为等腰梯形，理由如下：
如图1，连接 ， ，因为 为 的中点， 为 上的中点，
所以 ∥ ，
所以四边形 为S，其中 ，
所以S为等腰梯形，①正确；当 时，S与 的交点 满足 ，理由如下：
如图2，延长 至点E，使得 ，连接EA，EQ交 于点R，
取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN，
则 ，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形，
所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四边形AEQP即为S，其中 ，
所以 ，所以 ，②正确；当 时，S为五边形，理由如下：
如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着 向上移动，
则点E点沿着射线 向上移动，此时AE与 相交于点G，
EQ与 相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误；
当 时，S的面积为 ，理由如下：如图4，点Q与 重合，此时G为 的中点，可证得： ∥ ，AP∥GQ，
其中 ，所以S为菱形APQG，
且 ，S的面积为 ，④正确.
故答案为：①②④
3 . 求截面的周长
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，过
三点的截面把正方体 分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可．
【详解】如图，取BC的中点 ，连接EF，AF， ,
、 分别为棱 、 的中点，则 ，正方体中 ，则有 ，所以平面 为所
求截面，
因为正方体 的棱长为2，所以 ， ， ，所以四
边形 的周长为 .
故选：A.
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱 的所有棱长均为 ，
， 是侧棱 的中点，则平面 截四棱柱 所得的截面图形的周长是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】利用作延长线找交点法，得出截面图形为梯形 ，求出梯形 周长即为所求.
【详解】连接 与 的延长线交于点 , 连 接 与 交于点 ,
因为 , 所以 为 的中点, 则 为 的中点,
所以截面为梯形 ,
因为所有棱长均为2, ，
所以 , ,
,
,
故梯形 的周长为 .
故选：D.
3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体 的棱长为2，点 为线段
的中点，若点 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】记 的中点分别为E，F，先证三角形 即为平面 截正方体所得截面，然后可得周长.
【详解】记 的中点分别为E，F，连接 ，
由正方体性质可知， 平面 ，
因为 平面 ，所以
又 为正方形，所以
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
因为P，E分别为 的中点，所以 ，所以 ，
同理可证，
又 ， 平面
所以 平面 ，
所以三角形 即为平面 截正方体所得截面，
易知三角形 为正三角形，
所以截面周长为 .
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，点P是棱AB上的动点，过 ，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点 作 ,交 于点 ,则四边形 就是过点 的截面，设
， ，根据已知求出 即得解.
【详解】解：如图所示，过点 作 ,交 于点 ,则四边形 就是过点 的截面，设
， ，
则台体 的体积 ，
解之得 ，
所以 , ,
所以截面的周长为 .
故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中， ， 为棱 的四等分点（靠近点
）， 为棱 的四等分点（靠近点 ），过点 ， ， 作该正方体的截面，则该截面的周长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的特征，作出过点 ， ， 的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得答案.
【详解】设 为 的三等分点，靠近B点，连接 ,并延长交 延长线于P，
设 为 的三等分点，靠近 点，连接 ,并延长交 延长线于Q，
则 ∽ ，由于 ，故 ,
同理求得 ,故 两点重合，则 ,故 ，而 ，故 ,
同理可得 ,即四边形 为平行四边形，
连接 ,则五边形 即为过点 ， ， 所作的正方体的截面，
由题意可知
故该截面的周长是 ，
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣ABC 中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB，AC
1 1 1 1 1 1
的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.
【详解】如图，在正三棱柱 中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，
连接FP，则四边形AEPF为所求截面.过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由 相似于 可得MC1=2，由
相似于 可得： ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，
由余弦定理： ，则 ，
所以截面周长为： .
故选：B.
【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体
的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳.
7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体 的棱长为4，E，F分别
是棱 ，BC的中点，则平面 截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】取 的中点 ，连接 ,则 ,取 的中点 ，连接 ，延长 交于 ，连接
交 于点 ，连接，作出截面图形，然后再分别求出各边长，从而得出答案.
【详解】取 的中点 ，连接 ,则 ,取 的中点 ，连接 ，则所以 , 则直线 平面
延长 交于 ，连接 交 于点 ，连接 ,则 为 的中点.
则平面 截该正方体所得的截面图形为
由条件可得 ,则 , 则
,
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以
所以 ,则
则
所以截面图形周长为
故选：D
二、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体 中，AB＝2，AD＝4， ，E，F分别为
， 的中点，则过D，E，F三点截得长方体 的截面周长为
【答案】
【分析】利用确定平面的公里，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案.
【详解】延长EF分别交 ， 的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交 ， 于点Q，P，
连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体 的平面为五边形DQEFP．
过F点作 ，过E点作 ，所以 是 的中点， 是 的中点．
在 中， ， ，所以 ．
在 中， ，所以 ，AQ＝2，
则 ， ， ．
同理在 中， ，在 中， ，CP＝2，
所以 ， ，所以截面周长为 ．
故答案为： .
9．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图，正方体 的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面 截正方体 所得的截面图形的周长是 ．
【答案】
【分析】过 点作 的平行线即可延展平面 ，则可得到截面，再求周长即可.
【详解】取 中点 ，连接 ， ,
∵ 中点为 ，E是侧棱 的中点，
∴ , ,
又在直角三角形 中 ,
∴ ,
∵正方体 中，
∴四边形 为平行四边形,
∴∴ ,
四点共面，即为正方体的截面.
在直角三角形 中 ,
同理 ,则截面周长为 .
故答案为: .
10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱 中，所有棱长均为2，点 、
分别为棱 、 的中点，若过点 、 、 作一截面，则截面的周长为 .
【答案】
【分析】将正三棱柱 扩大成正三棱柱 ，其中 ，
再解三角形可得答案.
【详解】如下图所示，将正三棱柱 扩大成正三棱柱 ，其中
，
则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设 ，则 ，所以过点A、E、F的截
面为AEGF，因为 和 均为两直角边分别为2， 1的直角三角形，所以 ，
在 中，连接H1F交 于 ，则 为 的重心，
所以 ，因为 ，所以
，
又因为 平面 ，所以三角形 为直角三角形，且 ，所以 ，
所以截面的周长为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三
角形的相关知识得以解决.
11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为 的正方体 中，点 分别是 、
、 的中点，则过线段 且平行于平面 的截面图形的周长为 .
【答案】
【分析】结合面面平行性质定理画出截面图形，再求出截面图形的边长，即可得出答案.
【详解】取 的中点为 ，连接 ， ，因为点 分别是 、 、 的中点，
由正方体性质可得 ，所以 四点共面，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
四边形 即为经过线段 且平行于平面 的截面图，
正方体棱长为 ，所以 ， ， ， ，
所以截面图形周长为 .
故答案为： .12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
， 为线段 上的一动点，则过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为
．
【答案】 /
【分析】利用直三棱柱 的侧面展开图求解即可.
【详解】由题意可知过 三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即 的周长，
因为直三棱柱 ，所以各侧面均为矩形，
所以 ，
直三棱柱 的侧面部分展开图如图所示，
则在矩形 中 ，所以过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ，
故答案为：
4 . 圆柱、圆锥、球的截面问题
一、单选题
1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的 倍，过圆
锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥底面半径为 ，母线为 ，轴截面顶角为 ，则根据题意可得 与 的关系，从而
可求出 为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为 ，则 ，得 ，
所以 ，
因为 为锐角，所以 ，即 ，则θ为钝角，
所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为 .
故选：A.
2．（2023·广西·统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球 的球面上，且球心 在圆锥体内部，
若球 的表面积为 ， 到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求圆锥底面圆的半径和母线，进而求侧面积.
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得 .
设圆锥底面圆的半径为 ，则 ，
圆锥的高为3，圆锥的母线长为 ，所以该圆锥的侧面积为 .
故选：A.
【点睛】本题考查圆锥的外接球，考查直观想象的核心素养.
3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的面积公式和球心到截面圆的距离、截面圆半径及球的半径的关系，结合球的体积公式即
可求解.
【详解】设截面圆的半径为 ，球的半径为 ,
由题意可知 ，解得 ， ，
所以球的体积为 .
故选：D.
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球 的一个截面的面积为 ，球心 到该
截面的距离比球的半径小1，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设截面圆的半径为 ，球的半径为 ，依题意得到 且 ，即可求出 ，从而
求出球的表面积.
【详解】依题意设截面圆的半径为 ，球的半径为 ，因为截面的面积为 ，所以 ，
又 ，即 ，解得 ，所以球 的表面积 .
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可.
【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示，
则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图，
故选：D.
6．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上
底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图
形可能是（ ）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状.
【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条
边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故选:D
【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题.
7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底
面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底
面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答
案.
【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，
则截面圆的面积为：
设正四棱锥的底面正方形边长为 ，则 ，所以
正四棱锥的底面正方形的面积为由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似
设圆面中挖去一个正方形的面积为 ，正四棱锥的底面正方形为
则 ,从而
所以截面图形的面积为 ．
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴 的截面为边长为4的等边三角形，正方体
的顶点 ， ， ， 在圆锥底面上， ， ， ， 在圆锥侧面上，则该正方体的棱
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正方体棱长为 ，根据题意得 ，分析求解即可.
【详解】根据题意过顶点 和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
所以 ， ，所以 ， ，
为矩形，设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 .
故选：C.9．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一
个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球， 为圆柱上下底面
的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则平面DEF截球所得的截面面积最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过 作 于 ，设 到平面 的距离为 ，平面 截得球的截面圆的半径为 ，由
求解判断.
【详解】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，过 作 于 ，如图所示：则由题可得 ，
设平面 截得球的截面圆的半径为 ，
当EF在底面圆周上运动时，
到平面 的距离
所以
所以平面 截得球的截面面积最小值为 ，
故D正确；
故选：D.
10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体 的棱长为 ， 为棱 上的
一点，且满足平面 平面 ，则平面 截四面体 的外接球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意证得 是 的中点，由四面体 的外接球的直径为 ，得到半径 ，设
是外接球的球心，求得球心 到平面 的距离 ，根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径
，进而求得截面圆的面积.【详解】在正方体 中，设平面 平面 ，且 平面 ，
由平面 平面 ，可得 ，所以 是 的中点，
又四面体 的外接球的直径为 ，可得半径 ，
设 是 的中点即球心，球心 到平面 的距离为 ，
又设 与 的交点为 ，则 ，则 ，
则 ，则截面圆的半径 ，
所以截面圆的面积为 .
故选：A．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形 中， ，将 沿
对角线 翻折至 的位置，使得平面 平面 ，则在三棱锥 的外接球中，以
为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，可证 为三
棱锥 的外接球的球心，利用解直角三角形可求 ，据此可求球心到以 为直径的截面
的距离.【详解】如图，取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，连接 .
因为三角形 为直角三角形，故 ，
同理 ，故 ，
所以 为三棱锥 的外接球的球心，而 ，
因为 ， 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 .
在直角三角形 中， ，故 ，
故 ，
在直角三角形 中， ，
故 ，故 .
设球心到以 为直径的截面的距离为 ，
则 ，
故选：B.
【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而
球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.
12．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为 ，底面半径为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所
得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为 ，设 ，表示 的面积，再运用基本不
等式求最值即可．
【详解】设圆锥顶点为 ，底面直径为 ，圆心 ，另有一任意弦 ， 为 的中点，连接 、
、 ，
如图，设 为过圆锥顶点的截面，
因为 底面 ， ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
由题意可知： ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 ．
故选：A．
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台 的上、下底面半径分
别为r，R，高为h，平面 经过圆台 的两条母线，设 截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）A．当 时，S的最大值为
B．当 时，S的最大值为
C．当 时，S的最大值为
D．当 时，S的最大值为
【答案】D
【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分 和 讨论即可.
【详解】如图,将圆台 补成圆锥 .
设圆台 的母线长为 ,则 ,等腰梯形 为过两母线的截面.
设 ，由 ，得 ,
则 ，
当 时， ，当 最大，即截面为轴截面时面积最大，
则 的最大值为 .
当 时, ，当 时，截面面积最大，
则 的最大值为 .
故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到 ，
然后再分 和 讨论即可.
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的
截面是面积为 的正三角形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】由题设正三角形的边长为 ，得到底面圆的半径为 ，圆锥的高为 ，结合圆锥的体积公
式，即可求解.
【详解】由题意，过直线 的平面截该圆锥所得的截面是面积为 的正三角形，
设正三角形的边长为 ，可得 ，解得 ，
∴底面圆的半径为 ，圆锥的高为 ，
所以该圆锥的体积为 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周
所得圆锥的内切球的表面积为 ．
【答案】
【分析】作圆锥的轴截面，利用等面积法求出内切球的半径，即可求得内切球的表面积.
【详解】依题意，作圆锥的轴截面为等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，
圆锥的底面半径为2，则其母线长为 ，
设圆锥的内切球半径为r，
则 ，所以 ，
所以内切球的表面积为 故答案为：
16．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为 ，该球的某截面圆的面积为 ，则球面上的点
到该截面圆心的最大距离为 ．
【答案】3
【分析】先求出球心到平面 的距离为 ，再求点到该截面圆的最大距离.
【详解】设截面圆的半径为 ，球 的半径为 ，球心到平面 的距离为 ，
则 ，
因为球的体积为 所以
因为截面圆的面积为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为 ，故最大距离为 .
故答案为: .17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点 ， ， 是圆锥表面上的点，
该圆锥的侧面展开图为以点 为圆心，4为半径的半圆，点 是弧 的中点，点 是弧 的中点（如
图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面 所截，则截面面积为 .
【答案】
【分析】还原圆锥，作出示意图，求得底面圆半径，进而根据等体积法求得底面圆心到截面圆的距离，从
而求得截面圆的半径，可得答案.
【详解】根据题意，还原圆锥如下所示：D点在如图示 的中点处，
不妨设该圆锥底面半径为 ，高为 ，底面圆圆心为 ，
根据题意， ，圆锥底面圆周长为 ，
解得 ，
由勾股定理可得 ，
平面 截以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球的截面为一个圆，
不妨设截面圆半径为 ，设球心到面 的距离为 ，
在 中， ， ，则 ，
由等体积法可得， ，
即 ，
解得 ，
故可得， ，
故截面圆面积为 ，
故答案为：
18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则
该正三棱柱体积的最大值为 ．
【答案】
【分析】作出对应的图形，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，利用题意得出三棱柱的高 ，
，进而求出体积的表达式，利用导数求出体积的最值即可.
【详解】如图，设正三棱柱上底面外接圆的半径为r，三棱柱的高为h,根据题意作出圆锥的轴截面，
由 可得 ，则该三棱柱的高 ， ，
则该三棱柱的体积 ， ，
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减；
所以 时，V取得最大值，且最大值为 ．故答案为： .
19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为 ，高为 ，上底面圆的直径为 , 是底面圆
弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则 的面积的范围 ．
【答案】
【分析】根据题意，设上顶面圆心记为 ，下底面圆心记为 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点
，由于 为定值，则 的大小随着 的长短变化而变化，由图可知当点 与点 重合时以及当
点 与点 重合，分别求解 的最大值和最小值，即可得到 的面积的范围．
【详解】解：如图1，设上底面圆心记为 ，下底面圆心记为 ，
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，
则 ，
根据题意， 为定值2，所以 的大小随着 的长短变化而变化，
如图2所示，当点 与点 重合时， ，
此时 取得最大值为 ；如图3所示，当点 与点 重合， 取最小值2，
此时 取得最小值为 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
20．（2023·重庆·统考模拟预测）已知三棱锥 中，Q为BC中点， ，
侧面 底面 ，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
【答案】
【分析】连接 ，找到球心 到平面 和平面 的射影为 和 的中心 , ，再通过
面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理得到 ，再利用勾股定理求出相关长度，找到截面圆的
最值情况，代入计算即可得到答案.
【详解】连接 ,由 ,
可知： 和 是等边三角形,
设三棱锥 外接球的球心为 ,
所以球心 到平面 和平面 的射影是 和 的中心 , ，
是等边三角形, 为 中点,所以 ,
又因为侧面 底面 ,侧面 底面 ， 侧面 ，
所以 底面 ,而 底面 ,因此 ,
所以 是矩形,应为 和 是边长为4的等边三角形,
所以两个等边三角形的高 ,
在矩形 中, ，连接 ,所以 ,
设过点 的平面为 ,当 时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,
可得 ,
因此圆 的半径为 ,
所以此时面积为 ,当点 在以 为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,
面积为: ,所以截面的面积范围为 .
故答案为： .
21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥 的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面
ABCD，底面ABCD是等腰梯形， ， ， ， ，M是线段AB上
一点，且 ．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为 ，则 ＝ ．
【答案】 或
【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作
答.
【详解】在等腰梯形 中，连接 ，如图，因为 ， ， ，则 ， ，
于是 ，取 中点 ，连接 ，则 ，得 均为正三角形，
即有 ，即 是梯形 外接圆圆心，
而O为四棱锥 的外接球球心，因此 平面 ，又PA⊥平面ABCD，
则 ，而 为球O的弦，则过点O垂直于 的平面必过 的中点E，连接 ，
于是 ，而 ，即有 ，四边形 为矩形， ，
因此球O的半径 ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于 ，
而此截面圆半径为 ，则 ，连接 ，在 中，
，
在 中， ， ，
即有 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性
质求解.
22．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为 的正三角形，三棱锥 的体积为 ， 为 的
中点，则过点 的平面截球 所得截面面积的最小值是 .
【答案】
【分析】先根据条件可证明 ， ， ，故三棱锥 放入正方体中，正方体
的外接球即是三棱锥 的外接球，从而即可求出球 的半径，过点 的平面截球 所得截面面积的
最小时，截面与 垂直，求得截面圆半径 即可．
【详解】设 在底面 上的射影为 ，如图，
因为 ，由 全等得 为 的中心，
由题可知， ，由 ，解得
在正 中，可得 .
从而直角三角形 中解得 .
同理 ，又 是边长为 的正三角形，
所以 ，则 ，同理 ， ，
因此正三棱锥 可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥 的外接球相同，正方体对角线的中点为球心 .
记外接球半径为 ，则 ，
过点 的平面截球 所得截面面积的最小时，截面与 垂直，此时截面圆半径 满足 ，
由 得 ，所以 ，所以截面面积的最小值为 .故答案为：
