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特训 10 立体几何中的截面问题（七大题型）
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集
(交线)叫做截线.
1.作截线与截点的主要根据：
(1)确定平面的条件.
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(4)线面平行的性质定理。
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.
2.立体几何图形中有关截面的做法：
①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。
②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点;
③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点。
④面面平行的性质定理。
⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平而找出棱上的交点;
若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点.
目录：01 ：三棱柱
02 ：四棱锥
03 ：棱台
04 ：侧棱垂直于底面
05 ：正方体、长方体
06 ：其他多面体
07 ：三棱锥
08 ：折叠问题
01 ：棱柱（含正方体）
1．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）在直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， ，
， ， ，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱 于点
M，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·江西赣州·模拟预测）在直四棱柱 中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱
，E是BC的中点，F是棱 上的点，且 ，过 作平面 ，使得平面 平面AEF，则
平面 截直四棱柱 ，所得截面图形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2024·安徽安庆·三模）在正方体 中，点 分别为棱 的中点，过点 三
点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面多边形是四边形
B．该截面多边形与棱 的交点是棱 的一个三等分点
C． 平面D．平面 平面
02 ：棱锥
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥 中， ，且 平面 ，过
点 作截面分别交 于点 ，且二面角 的平面角为 ，则所得截面 的面积最小值
为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2024·广西·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
点 为棱 上一点，过点 作三棱锥 的截面，使截面平行于直线 和 ，当该截面面积取得
最大值时， （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西西安·模拟预测）在三棱锥 中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三
角形， ， ，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面
截三棱锥 所得截面为 ，给出下列结论：
①截面 的形状为正方形；
②截面 的面积等于 ；
③异面直线PA与BC所成角的余弦值为 ；
④三棱锥 外接球的表面积等于 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
03 ：棱台
7．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台 中，上底面边长为3，下底面边
长为6，体积为 ，点 在 上且满足 ，过点 的平面 与平面 平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高三下·浙江绍兴·开学考试）在正棱台 中， 为棱 中
点.当四棱台的体积最大时，平面 截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23高二上·湖北荆州·阶段练习）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面
积之比为 ，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
04 ：圆柱
10．（2022·河南新乡·三模）已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正
三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线
段BC，AC上的两个动点，E为 上一点，且 ，则 的最小值为（ ）A．3 B． C． D．
12．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形 ，在该圆柱的底面内
任取一点E，则当四棱锥 的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
05 ：圆锥
13．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球O的直径相等，则圆锥
的体积与球O的体积的比值是 .
14．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧
上的一点， ，E为线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
15．（23-24高二上·北京·期中）已知圆锥的底面半径为 ，高为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两
个动点，则下列说法正确的是 .
①圆锥的体积为 ；
②圆锥侧面展开图的圆心角大小为 ；
③圆锥截面SAB面积的最大值为 ；
④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为 .
06 ：球
16．（2024·江苏徐州·模拟预测）对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为
的球面三角形，则该球面三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱 中， ， 为棱 的中
点，则以 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B．
C． D．
18．（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知正三棱锥 的外接球是球 ，正三棱锥底边 ，
侧棱 ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
07 ：组合体
19．（21-22高二上·湖南·期中）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底
面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底
面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·陕西西安·模拟预测）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一
个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成
的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点 为四边形 的中心，
点 为“四脚帐篷”的“上顶点”， .用平行于平面 的平面 去截“四脚帐篷”，当平面 经过 的中点时，截面图形的面积为 .
21．（2021·全国·模拟预测）如图，正八面体 的棱长为2，点 ， ， 分别是 ， ，
的中点，则过 ， ， 三点的平面 截该正八面体所得截面的面积等于 .
附加题型： 07 ：展开图综合
22．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）正方体 的棱长为2， 是棱 上的一个动点
（含端点），则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
23．（2024高三·全国·专题练习）如图， 是正三棱锥且侧棱长为 ，两侧棱 的夹角为
分别是 上的动点，则三角形 的周长的最小值为（ ）A． B． C． D．
24．（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在三棱锥 中，
，点 是棱 上一动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024·福建漳州·一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两
个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运
移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个
圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为 ，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．626．（21-22高二下·湖南株洲·阶段练习）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为
矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.现有阳马 ， 平面 ， ， ， ，
上有一点E，使截面 的周长最短，则 与 所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
27．（21-22高一下·山西·期中）“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过
松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为
km，B是山坡SA上一点，且 km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条
公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60km B． km C．72km D． km
28．（23-24高二上·河北保定·开学考试）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，
“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”､它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹
帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 ， 所在圆的半径分别是6和12，且 ，则关于该圆台下列说法错误的是（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．内切球的半径为
29．（23-24高二上·四川·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同
的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在
如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段 ， 上，则 的最小值
为 .
30．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形ABCD中， ， ， 分别为
中点， 为对角线 交点，如图1所示．现将 和 剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：
沿 将 ， 折叠，并使 与 重合， 与 重合，连接 ，得到由平面 ，
， ， 围成的无盖几何体，如图2所示．(1)求证： 平面 ；
(2)若 为棱 上动点，求 的最小值；
(3)求此多面体体积 的最大值．
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球 表面与该圆锥侧面
交线长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川自贡·三模）已知球O半径为4，圆 与圆 为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，
若 ， ，则两截面圆的圆心距 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，已知 为圆锥 底面圆的两条互相垂直的直径，若 ，
四棱锥 的体积为 ，则圆锥 的轴截面面积为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·浙江温州·模拟预测）边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知正方体 的边长为1，现有一个动平面 ，且 平面
，当平面 截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为 ，周长为 ，则（ ）
A． 不为定值， 为定值 B． 为定值， 不为定值
C． 与 均为定值 D． 与 均不为定值
6．（2023·安徽安庆·二模）一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图）， 为底
面圆的中心， 为截面的中心， 为截面上距离底面最小的点， 到圆柱底面的距离为1， 为截面图形
弧上的一点，且 ，则点 到底面的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．
假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为 ．据中国载人航天工程办公
室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已
安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在
机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km
（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知 分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过 的
平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则正确的选项是（ ）
①截面多边形 可能是三角形或四边形.
②截面多边形 周长的取值范围是 .
③截面多边形 面积的取值范围是 .
④当截面多边形 是一个面积为 的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、多选题
9．（2024·江西景德镇·三模）正方体 的棱长为6， ， 分别是棱 ， 的中点，过
， ， 作正方体的截面，则（ ）A．该截面是五边形
B．四面体 外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面 夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
10．（2023·湖南郴州·二模）在正四棱台 中， ， ， 为棱 的中
点，当正四棱台的体积最大时，下列说法正确的有（ ）
A．该正四棱台的高为2
B．该正四棱台的体积为224
C．平面 截该正四棱台的截面面积是
D．该正四棱台的内切球半径为1
11．（2021·山东潍坊·模拟预测）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，
，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2
B．四面体ABCD的体积为
C．AC与BD的公垂线段的长为
D．过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4
三、填空题
12．（2024·全国·二模）已知长方体 的底面ABCD为边长是2的正方形， ，
E，F分别为棱AB， 的中点，则过 ，E，F的平面截长方体 的表面所得截面的面积
为 .13．（2023·江苏常州·二模）在正四棱台 中， ， ，M为棱 的中点，
当正四棱台的体积最大时，平面 截该正四棱台的截面面积是 .
14．（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥 的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直
于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
