文档内容
第 02 讲空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）借助长方体，在直观认 本节内容是高考命题的热点，重点
识空间点、直线、平面的位 关注异面直线的判定和成角问题、
2023年上海卷第15题，5分
置关系的基础上，抽象出空 空间点线面的位置关系问题．对于
2022年上海卷第15题，5分
间点、直线、平面的位置关 空间几何体的点、线、面的位置关
2022年I卷第9题，5分
系的定义． 系，除了题目难度逐步提升，还增
2021年乙卷（文）第10题，5分
（2）了解四个基本事实和一 加了截面问题，对考生的空间想象
个定理，并能应用定理解决 能力要求有所提升，需要考生有更
问题． 强大的逻辑推理能力．知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平 两条异面直线不同在如
面 何一个平面内
知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号
∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都 无数个公共点且都在
在唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
例1．（2023·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中
点， ， 分别在 ， 上，且 ，求证：(1) ， ， ， 四点共面；
(2) 与 的交点在直线 上．
【解析】（1） ： ： ： ， ，
， 分别为 ， 的中点， ， ，
， ， ， 四点共面．
（2） 、 不是 、 的中点，
，且 ，
与 必相交，设交点为 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，且 平面 ，
平面 平面 ， ，
与 的交点在直线 上．
例2．（2023·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线 ，直线 与 ， 都相交，求证：过 ， ，
有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是边 ， 上的点，
且 .求证：直线 ， ， 相交于一点.
【解析】（1）证明：设直线 与 ， 分别交于 点，
如图1，因为 ，所以 确定一个平面，记为平面 ，
因为点 直线 ，点 直线 ，所以 ， ，
所以直线 ，即 平面 ，所以过 ， ， 有且只有一个平面；
（2）在空间四边形 中，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 ，且 ，
又由 ，则 ，且 ，
故 ，且 ，故四边形 为梯形， 与 交于一点，
设 与 交于点 ，如图2，
由于 平面 ，点 在平面 内，同理点 在平面 内，
又因为平面 平面 ，
所以点 在直线 上，
故直线 相交于一点.
例3．（2023·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体 中，E，F分别是 上的
点，且 .
(1)证明： 四点共面；
(2)设 ，证明：A，O，D三点共线.
【解析】（1）证明：如图，连接 .在正方体 中， ，所以 ，
又 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
，所以 四点共面；
（2）证明：由 ， ，又 平面 ， 平面 ，
同理 平面ABCD，又平面 平面 ，
，即A，O，D三点共线.
变式1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，
G，H分别在BC，CD上，且 .求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
【解析】（1）∵ ，∴ .
∵E，F分别为AB，AD的中点，∴ ，且 ，
∴ ，∴E，F，G，H四点共面.
（2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴ ，∴ ，
由（1）知 ，故EFHG为梯形.
∴EG与FH必相交，设交点为M，∴ 平面ABC， 平面ACD，
∴ 平面ABC，且 平面ACD，
∴ ，即GE与HF的交点在直线AC上.
变式2．（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台 中，E，F，G，H分别为棱
， ，AB，BC的中点．
(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH， 相交于一点．
【解析】（1）证明：连接AC， ，如图所示，
因为 为正四棱台，所以 ，
又E，F，G，H分别为棱 ， ，AB，BC的中点，所以 ， ，
则 ，所以E，F，G，H四点共面．
（2）因为 ，所以 ，所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交．
设 ，因为 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，所以 ，
则GE，FH， 交于一点．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体 中，E，F分别是 的中
点．
(1)求证： 三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是 上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
【解析】（1）证明：连接 ， ，
正方体 中，E，F分别是 的中点，
∴ 且 ，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴EC与 相交，设交点为P，
∵P EC，EC 平面ABCD，∴P 平面ABCD；
又∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴P为两平面的公共点，
∵平面 平面 ，∴ ，
∴ 三线交于点P；
（2）在（1）的结论中，G是 上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH 平面 ，∴ 平面 ，又 平面ABCD，
∴ 平面 平面ABCD，
同理， 平面 平面ABCD，
平面 平面ABCD，
∴P，E，H都在平面 与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．
【解题方法总结】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
题型二：截面问题
例4．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体 的棱长为 ，动点P在对角线 上，
过点P作垂直于 的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设 ，则当
时，函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
如图，连接 ， ， 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
同理 ， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因此平面 与平面 重合或平行，
取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
同理可证 平面 ，由于 ， ，所以三棱锥 是正三棱锥，
与平面 的交点 是 的中心，
正方体棱长为 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面 从平面 平移到平面 时， ，即
，
， ，显然 ，平面 过平面 再平移至平面 时，如图，把正方形A B C D 沿 旋转到与正方形 在同
1 1 1 1
一平面内，
如图，则 共线，由正方形性质得 ，同理 ， ，
因此此种情形下，截面 的周长与截面 的周长相等，平移平面 ，一直到平面 位置处，
由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到 ，
综上， 的值域是 ．
故选：A.
例5．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体 的棱长为
1，E，F，G分别为线段 上的动点（不含端点），
①异面直线 与AF所成角可以为
②当G为中点时，存在点E，F使直线 与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】C
【解析】对①：因为 // ，故 与 的夹角即为 与 的夹角 ，又当 与 重合时， 取得最大值，为 ；
当 与点 重合时， 取得最小值，设其为 ，则 ，故 ；
又点 不能与 重合，故 ，故①错误；
对②：当 为 中点时，存在 分别为 的中点，满足 //面 ，证明如下：
取 的中点为 ，连接 ，如下所示：
显然 // ，又 面 面 ，故 //面 ；
又易得 // ， 面 面 ，故 //面 ；
又 面 ，故面 //面 ，
又 面 ，故 //面 ，故②正确；
对③：连接 ，如下所示：
因为 // // ，故面 即为平面 截正方体所得截面；
又 ，故该截面为等腰梯形，又 ， ，
故截面面积 ，故③正确；
对④：连接 ，取其中点为 ，如下所示：要使得点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，只需 经过 的中点，
显然当点 分别为所在棱的中点时，不存在这样的点 满足要求，故④错误.
故选：C.
例6．（2023·河南·模拟预测）在正方体 中，M，N分别为AD， 的中点，过M，N，
三点的平面截正方体 所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】B
【解析】
在 上取点 ，且 ，取 中点为 ，连接 .
在 上取点 ，且 ，连结 .
因为 ， ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以， .
因为 分别为 的中点，所以 ，且 .
根据正方体的性质，可知 ，且 ，
所以， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，所以， ，所以 .
同理可得， .
所以，五边形 即为所求正方体的截面.
故选：B.
变式4．（2023·河南·模拟预测）在正方体 中， 分别为 ， 的中点，则下列结
论正确的个数为（ ）
① 平面 ；② ；③直线 与 所成角的余弦值为
④过 三点的平面截正方体 所得的截面为梯形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】连接 ，交 于点 ，则 是 的中点，连接 ，由于 是中点，可得
，
所以四边形 是平行四边形，所以 ,
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即①正确；
连接 ，则 ，在正方体 中， 平面 ，又 平面 ，
所以 ,
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，若 ，则
平面 或 平面 ，而 与平面 相交，所以 与 不垂直，即②错误；
由于 ，所以 为直线 与 所成角（或补角），
设正方体棱长为2，
则 ,所以由余弦定理得 ，即③正确；
因为平面 与平面A B C D 平行，则过 三点的截面与这两个平面的交线平行，由于其中一条
1 1 1 1交线是 ,另一交线过点 ，所以在平面 内作 与 平行（ 是靠近 的四等分点），连接
，同理作出 与 平行（ 是靠近 的三等分点），从而得到截面 ，可知截面是五边形，
即④错误；
综上，正确的个数是2个.
故选：B.
变式5．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体 中，
E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线 与 所成角的余弦值为 ；②点P为正
方形 内一点，当 平面 时，DP的最小值为 ；③过点 ，E，F的平面截正方体
A B C D
1 1 1 1
所得的截面周长为 ；④当三棱锥 的所有顶点都在球O的表面上时，球
O的体积为 ．则正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①， ，
在 中 即为异面直线 与 所成的角，
，
异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．故①错误；
对于②，取 的中点 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，，
同理可得 ，
又 面 ， 面 ， 面 ， 面 ，
面 ， 面 ，
又 ， 面 ，
面 面 ，
又 面 ， 面A B C D ，
1 1 1 1
轨迹为线段 ，
在 中，过 作 ，此时 取得最小值，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
如图，在 中， ．故②正确；
对于③，过点 的平面截正方体 ，
平面 平面 ，则过点 的平面必与 、 各交于一点，
设过点 的平面必与 与 分别交于 、 ，
过点 的平面与平面 和平面 分别交于 与 ， ，同理可得，
如图过点 的平面截正方体 所得的截面图形为五边形 ，
如图以 为原点，分别以 方向为 轴､ 轴､ 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
，解得 ，
， ，
， ，
在 中， ， ， ，同理： ，
在 中， ， ， ，同理：
在 中， ， ，
，
即过点 的平面截正方体 所得的截面周长为 ．故③正确；
对于④，如图所示，取 的中点 ，则 ，过 作 ，
且使得 ，则 为三棱锥 的外接球的球心，所以 为外接球的半径，
在 中， ，
，则 ，
．故④正确，
故选：C．
变式6．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，
过 三点的截面把正方体 分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接 ，设平面 与平面 交于 ，
因为平面 平面 ，平面 与平面 交于 ，
则 ，又 ，
则 ，又 是棱 的中点，则F是BC的中点.， ,
，
，故 .
故选：A.
变式7．（2023·新疆·校联考二模）已知在直三棱柱 中，E，F分别为 ， 的中点，
， ， ， ，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱
的截面，则所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析：延长 ， 且 与 相交于 ，连接EG，并与 相交于 ，连接FD，则四边形
AEDF为所求的截面.
在 中，由 ， ，得 .
在 中，由 ， ，得 .
因为 为 的中点，所以由平面几何知识可知， .
所以 ， ，即 为AG的中点，所以 .
又由 ，可得 ，
又 ， ，所以 .在 中，由 ， ，得 ，所以 .
所以在 中，有 ， ， ，
即 ，所以 .又注意到 ，
，
则四边形AEDF的面积为 .
故选：B．
变式8．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知 ， ， 是正方体 的棱 ， ， 的
中点，则平面 截正方体 所得的截面是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【解析】如图所示，分别取 ， ， 的中点 ， ， ，连接 ， ， ， ， ，
，则 ， .
， .
同理可得 ， .
由基本事实及其三个推论得 ， ， ， ， ， 六点共面，
所以平面 截正方体 所得的截面是六边形.故选：D.
变式9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体 中，点Р是侧
面 上的点，且点Р到棱 与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与 垂直的平面去截该正方体，
则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【解析】
由题意可以作出与 垂直的平面 ，
利用面面平行可作出过点P且平行于平面 的平面GJKLNM，
则平面GJKLNM与 垂直，
作出点M，N的投影O，Q，
平面AOQCKJ的面积S即为所求，
已知正方体棱长为3，点Р到棱 与到棱AD的距离均为1，
所以点G，J，K，L，N，M均为各棱的三等分点
，
故选：C.
【解题方法总结】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
题型三：异面直线的判定
例7．（2023·全国·高三对口高考）两条直线 分别和异面直线 都相交，则直线 的位置关系是
（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
【答案】D
【解析】已知直线 与 是异面直线，直线 与直线 分别与两条直线 与直线 相交于点 ，
根据题意可得当点 与点 重合时，两条直线相交，当点 与点 不重合时，两条直线异面，
所以直线 的位置关系是异面或相交.
故选:D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 ，点 在直线 上， 为线段
的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．直线 始终与直线 异面
D．直线 始终与直线 异面
【答案】C
【解析】正方体 中，易得 平面 ，因为点 在直线 上， 为线段 的中点，
当点 和点 重合时， 平面 ， ，故A正确；
连接 、 ，当点 为线段 的中点时， 为三角形 的中位线，即 ，故B正确；
平面 ，当点 和点 重合时， 平面 ，所以直线 和 在同一平面内，故C错
误；
平面 ， 平面 ， ，所以直线 始终与直线 不相交，且不平行，
所以直线 与直线 是异面直线，故D正确；
故选：C
例9．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转
轴 作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B． ，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D． ，AC与EF是异面直线
【答案】D
【解析】如图，在底面半径为1的圆柱 中，母线 ， ， 是 的中点，则 ，
因为 是 的中点，又 ，则 ，
， ，
，
在 中， 是 的中点， 是 的中点， ，
与 是共面直线，
若AC与EF是共面直线，则 在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线故选：D．
变式10．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知正方体 中， ， ，
分别是棱 ， ， 的中点， 是线段 上的动点，则下列直线中，始终与直线 异面的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于选项A， 面 ， 面 ， 面 ，所以直线 与 异面；
对于选项B，当 与 重合时，因为 ，又 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，所以
，所以 ，选项B错误；
对于选项C，连接 ，在正方体中，易得 且 ，所以 与 相交，即当
与 重合时， 与 相交，选项C错误；
对于选项D，取 中点 ，连 交 于 ，连 ，因为 且 ，所以
且 ，故当 与 重合时， 与 相交，选项D错误.
故选：A.
变式11．（2023·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱 的所有棱长均为1，点P、
M、N分别为棱 、AB、 的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程
中，以下结论中正确的是（ ）A．直线 与直线CP可能相交 B．直线 与直线CP始终异面
C．直线 与直线CP可能垂直 D．直线 与直线BP不可能垂直
【答案】B
【解析】在正三棱柱 中，
因为点M、N分别为棱AB、 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ， ， ，
所以 四点不共面，
所以直线 与直线CP始终异面，故A错误，B正确；
对于C，设 ，
则 ，
，
若直线 与直线CP垂直，则 ，
即 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以不存在点 使得直线 与直线CP垂直，故C错误；
对于D，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
又因 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以当点 在 的位置时，直线 与直线BP垂直，故D错误.
故选：B.
变式12．（2023·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）如图，在底面为正方形的棱台
中， 、 、 、 分别为棱 ， ， ， 的中点，对空间任意两点 、 ，若线段 与线段
、 都不相交，则称点 与点 可视，下列选项中与点 可视的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据棱台的性质可知 ，连接 、 、 、 、 ，
因为 、 分别为棱 ， 的中点，
所以 ，又底面 为正方形，所以 ，所以 ，所以四边形 为梯形，
所以 与 相交， 与 相交，故B、C错误；
因为 ，所以四边形 是梯形，所以 与 相交，故A错误；因为 为梯形， 为 的中点，即 ，则 、 、 、 四点不共面，所以 与 不相交，
若 与 相交，则 、 、 、 四点共面，
显然 、 、 、 四点共面， 平面 ，所以 、 、 、 四点不共面，即假设不成立，
所以 与 不相交，即 点与点 可视，故D正确．
故选：D．
【解题方法总结】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
题型四：异面直线所成的角
例10．（2023·全国·高三专题练习）如图,在正方体 中,点E,F分别是棱AD, 的中点,则异
面直线 与BF所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】取 中点为 ,连接 ,记 与 交点为 ,如图所示:因为G,F分别是棱 , 的中点,
所以 ,且 ,故四边形 为平行四边形,
所以 ,所以 与BF所成角即为 与 所成角,
因为正方体 ,E,G是棱AD, 的中点,
所以 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
故 与 所成角为 ,即 与BF所成角为 .
故答案为:
例11．（2023·高三课时练习）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小
为 ．
【答案】
【解析】解:由题知,取 中点为 ，连接 如图所示:
不妨设正四面体棱为6,
根据 分别为 中点得： ，
因为 与 为等边三角形,
所以 ，故 ，同理 ，
在 中,由余弦定理可得:
，故 ,
因为 ,
所以异面直线CE与BD所成角，即直线CE与 所成角，即 ,
故异面直线CE与BD所成角为 .
故答案为:
例12．（2023·新疆喀什·高三统考期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，
正确的序号是 .
（1）直线 与直线 相交；
（2）直线 与直线 平行；
（3）直线 与直线 是异面直线；
（4）直线 与直线 成 角.
【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】由正方体的平面展开图可得正方体 ，
可得 与 为异面直线，故（1）错误；
与 为异面直线，故（2）错误；
直线 与直线 是异面直线，故（3）正确；
连接 ， ，由正方体的性质可得 ，所以 为异面直线 与直线 所成的角，因为
为等边三角形，所以 ，即直线 与直线 所成角为 ，故（4）正确；
故答案为：（3）（4）．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶
点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线 与所成角的大小是
【答案】
【解析】如图所示，由题可知，四边形 和 均为正方形， 为正三角形，
， ，
或其补角为异面直线 与 所成角，
而 为正三角形，
，
即异面直线 与 所成角的大小是 .
故答案为： .
变式14．（2023·全国·高三对口高考）线段 的两端分别在直二面角 的两个面 内，且与
这两个面都成 角，则直线 与 所成的角等于 ．
【答案】 /
【解析】如图：
过 分别作棱的垂线，垂足设为 连结 ，
由直线垂直于平面的性质定理知 ， .所以 .
作 且 ，则 为直线 与 所成的角.
连结 ，可得 ， ，所以 ，
所以三角形 为直角三角形.
设 ， ，所以 ，
所以 .
直线 与 所成的角等于 .
故答案为： .
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形 沿对角线 翻折，得到空间四边形 ，
若 ，则直线 与 所成角的大小可能为 .（写出一个值即可）
【答案】 （答案在 内即可）
【解析】由题意，补全等腰梯形 为正三角形 ，则直线 与 所成角的大小为直线 与
所成角，易得当等腰梯形 沿对角线 翻折时， 的轨迹为以 为顶点， 为高的圆锥侧面，设
，在 上取 使得 ，则直线 与 所成角即 ，故 ，因为
， ，故 ，故 ，故只需写出 内的角度即可，
如故答案为： （答案在 内即可）
【解题方法总结】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
题型五：平面的基本性质
例13．（多选题）（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知 ， 是两个不同的平面，则下
列命题正确的是（ ）
A．若 ， 且 ，则
B．若A，B，C是平面 内不共线三点， ， ，则
C．若 且 ，则直线
D．若直线 ，直线 ，则a与b为异面直线
【答案】ABC
【解析】对于A，由根据 且 ，则 是平面 和平面 的公共点，
又 ，由基本事实3（公理2）可得 ，故A正确；
对于B，由基本事实1（公理3）：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
又 ，且 ，则 ，故B正确；
对于C，由基本事实2（公理1）：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，
故C正确；
对于D，由于平面 和平面 位置不确定，则直线 与直线 位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重
合，故D错误.
故选：ABC.
例14．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BC
【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最
多确定三个平面，故③正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正
确.
故选：BC
例15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成
立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【解析】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图， 且 ，
则 但 和 的关系不确定，
故D错误.
故选：AC
变式16．（多选题）（2023·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）下列命题中错误的是（
）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A， ， ， 既在平面 内，又在平面 内，则平面 和平面 重合D．四条边都相等的四边形是平面图形
【答案】ACD
【解析】对于A：若空间中三点共线，则无法确定平面，故A错误；
对于B：三角形一定是平面图形，故B正确；
对于C：若A， ， ， 既在平面 内，又在平面 内，则此四点可能在平面 与平面 的交线上，无
法确定平面 和平面 是否重合，故C错误；
对于D：四条边都相等的四边形可能是空间四边形，故D错误；
故选：ACD
变式17．（多选题）（2023·全国·模拟预测）如图，点 ， ， ， 分别是正方体 中
棱 ， ， ， 的中点，则（ ）
A． B．
C．直线 ， 是异面直线 D．直线 ， 是相交直线
【答案】BD
【解析】如图，取棱 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ，
在正方体 中，∵ ，
∴ ， ， ， 四点共面，同理可得 ， ， ， 四点共面， ， ， ， 四点共面，
∴ ， ， ， ， ， 六点共面，均在平面 内，
∵ ， ，
， ， 平面 ，
∴ 与 是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得 ，∴ ，即 ．
故选：BD．
变式18．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体 的棱长为1，线段 上
有两个动点E、F，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段 上存在点E、F使得 B． 平面ABCD
C． 的面积与 的面积相等 D．三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】如图所示，AB与 为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；
，故 平面ABCD，故B正确；
由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；
连结BD交AC于O，则AO为三棱锥A-BEF的高，
，
三棱锥A-BEF的体积为 为定值，D正确；
故选：BD.
题型六：等角定理
例16．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在棱长均相等的四面体 中， 为棱 不
含端点 上的动点，过点A的平面 与平面 平行 若平面 与平面 ，平面 的交线分别为 ，
，则 ， 所成角的正弦值的最大值为 ．【答案】 /
【解析】连接 ,
由题意知过点A的平面 与平面 平行，平面 与平面 ，平面 的交线分别为 ， ，
由于平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，
所以 或其补角即为 ， 所成的平面角，
设正四棱锥 的棱长为 ， ， ，则 ，
在 中，
由余弦定理得 ，
同理求得 ，
故在 中， ，
，
由于 ，则 ，进而 ，
当 时取等号，
故 的最小值为 ，进而 ，
故 的最大值为 ，
故答案为： ．例17．（2023·全国·高三专题练习）过正方体 的顶点 在空间作直线 ，使 与平面
和直线 所成的角都等于 ，则这样的直线 共有 条．
【答案】2
【解析】在正方体中， 与平面 垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与 、 都成
的直线有几条．
考虑到 ， 夹角为 ，所以同一平面的角平分线与 ， 的夹角大小为 ，
因为 ，从而存在两条直线满足条件．而 ， 的外角为120度，所以不存在外角平分线满足
条件．
综上，满足条件的直线共2条．
故答案为：2.
例18．（2023·高三课时练习）若空间两个角 与 的两边对应平行，当 时，则 ．
【答案】60°或120°
【解析】当空间两个角 与 的两边对应平行，且两边的方向完全一致时， ；
当空间两个角 与 的两边对应平行，且两边方向不完全一致时， .
故答案为：60°或120°
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设 和 的两边分别平行，若 ，则 的大小为
.
【答案】45°或135°/135°或45°
【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中
点，所组成的四边形是 .
【答案】正方形【解析】连接 、 ，
、 、 、 分别为各边的中点，
， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，且 ，
，且 ，
四边形 是正方形；
故答案为：正方形．
变式21．（2023·江西吉安·高一校联考期末）已知空间中两个角 ，且 ，
若 ，则 .
【答案】 或
【解析】因为两个角 ，且 ，
则 的两边分别平行，
所以 相等或互补，
又 ，所以 或
故答案为： 或
变式22．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知空间中两个角 ， ，且角 与角 的两边分别
平行，若 ，则 ．
【答案】 或
【解析】根据等角定理知： 或 ，
若 ，则 或 .
故答案为： 或【解题方法总结】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．（2022•上海）如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 的中
点，联结 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线段 、 上，则称 两点
可视，则下列选项中与点 可视的为
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【解析】线段 上不存在点在线段 、 上，即直线 与线段 、 不相交，
因此所求与 可视的点，即求哪条线段不与线段 、 相交，
对 选项，如图，连接 、 、 ，因为 、 分别为 、 的中点，
易证 ，故 、 、 、 四点共面， 与 相交， 错误；
对 、 选项，如图，连接 、 ，易证 、 、 、 四点共面，
故 、 都与 相交， 、 错误；对 选项，连接 ，由 选项分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
同理由 ， 选项的分析知 、 、 、 四点共面记为平面 ，
平面 ， 平面 ，且 平面 ，点 ，
与 为异面直线，
故 与 ， 都没有公共点， 选项正确．
故选： ．
2．（2023•上海）如图所示，在正方体 中，点 为边 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是
A． B． C． D．
【答案】【解析】对于 ，当 是 的中点时， 与 是相交直线；
对于 ，根据异面直线的定义知， 与 是异面直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是平行直线；
对于 ，当点 与 重合时， 与 是相交直线．
故选： ．
3．（2021•乙卷）在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一： ， 是直线 与 所成的角（或所成角的补角），
设正方体 的棱长为2，
则 ， ， ，
，
，
直线 与 所成的角为 ．
解法二： ， 直线 与 所成角为 ，
在正△ 中， 是 的平分线，
．
直线 与 所成的角为 ．
故选： ．
