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期末押题重难点检测卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期中）小明家和小红家与学校的距离分别是5km和3km．那么小明
家与小红家的距离不可能是（ ）．
A．1 km B．2 km C．3 km D．8 km
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，根据三角形的三边关系分析即可．
【详解】解：以小明家、小红家以及学校这三点来构造三角形，设小明家与小红家的直线距离为a，根据
题意得：
5−3<a<5+3，
解得：2<a<8，
当小明家、小红家以及学校这三点共线时，
a=5+3=8或者a=5−3=2，
综上a的取值范围为：2≤a≤8，
据此可知小明和小红两家的直线距离不可能是1 km．
故选：A．
2．（3分）（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）已知△ABC的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中
和△ABC属于全等的图形是( )．
A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根
据以上内容逐个判断即可．
【详解】解：甲和已知图形不符合全等三角形的判定定理，即不能推出甲图和已知△ABC全等；乙和已知图形符合全等三角形的判定定理SAS，即能推出乙图和已知△ABC全等，
丙图和已知图形符合全等三角形的判定定理AAS，即能推出丙图和已知△ABC全等，
综上，乙、丙和△ABC属于全等的图形；
故选：B．
1 1 1 2a+3ab−2b
3．（3分）（23-24八年级·广西百色·期末）已知 − = ，则分式 的值是（ ）
a b 3 a−ab−b
7 11 9 7
A．− B．− C． D．−
2 2 4 4
【答案】D
1 1 1 1
【分析】此题考查分式的化简计算，先将 − = 化简得到a−b=− ab，再代入代数式进行计算.
a b 3 3
1 1 1
【详解】∵ − = ，
a b 3
1
∴a−b=− ab，
3
( 1 ) 7
2× − ab +3ab ab
2a+3ab−2b 2(a−b)+3ab 3 3 7
∴ = = = =− ，
a−ab−b a−b−ab 1 4 4
− ab−ab − ab
3 3
故选：D
4．（3分）（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）如图所示，D，E分别是△ABC的边AC、BC上的点，若
△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出
∠A=∠BED=∠CED=90°．
根据全等三角形对应角相等，得到∠A=∠BED=∠CED,∠ABD=∠EBD=∠C，根据
∠BED+∠CED=180°，求出∠A=∠BED=∠CED=90°，在利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠BED=∠CED,∠ABD=∠EBD=∠C，
∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠A=∠BED=∠CED=90°，
在△ABC中，∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°，
故选D．
5．（3分）（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D是AB的中
点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE=2，则CE的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】连接AE，先求出∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，再根据线段垂直平分线的性质得，BE=AE，
由此得∠B=∠DAE=30°，进而利用直角三角形的性质得AE=2DE=4，然后求出∠CAE=90°，再利
用直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解答∶连接AE，如图∶
在△ABC中，AB=AC，∠C=30°
∴ ∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=120°
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线
∴ BE=AE，
∴∠B=∠DAE=30°
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=2，
∴AE=2DE=4.
∵∠BAC=120°，∠BAE=30°
∴∠CAE=∠BAC−∠DAE=120°−30°=90°在Rt△CAE中，∠C=30°，AE=4，
∴CE=2AE=8
故选∶B
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰
三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半是解
决问题的关键．
6．（3分）（23-24八年级·浙江·期末）设a=x−2021，b=x−2023，c=x−2022，若a2+b2=56，则
c2=（ ）
A．27 B．24 C．22 D．20
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式，正确用c表示a，b是解题的关键；
先用c表示a，b，代入已知等式a2+b2=56中，即可求解；
【详解】解：∵ a=x−2021，b=x−2023，c=x−2022，
∴a=c+1，b=c−1，
∵a2+b2=56，
∴(c+1) 2+(c−1) 2=56，
解得：c2=27；
故选：A
7．（3分）（23-24八年级·广东广州·期末）如图，△ABC的面积为S，AD平分∠BAC，AD⊥BD于D，
连接CD，则△ACD的面积为（ ）
2S S S
A． B． C． D．S
3 3 2
【答案】C
【分析】题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED，证得AB=AE,BD=DE，即可证得
S =S ,S =S ，设S =x，利用S =S +S 即可求得结果．
△ABD △AED △BDC △EDC △EDC △ABE △ABC △BCE
【详解】解：延长BD、AC交于点E，
∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°．
在△ABD和△AED中，
{
∠BAD=∠EAD
)
AD=AD ，
∠ADB=∠ADE=90°
∴△ABD≌△AED(ASA)，
∴AB=AE,BD=DE，
∴S =S ,S =S ，
△ABD △AED △BDC △EDC
设S =S =x，
△BDC △EDC
∵△ABC的面积为S，
∴S =S +2S =S+2x，
△ABE △ABC △BCD
1 1 1
∴S =S −S = S −S = (S+2x)−x= S．
△ADC △ADE △EDC 2 △ABE △EDC 2 2
故选：C．
8．（3分）（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）在三角形ABC中，∠A=60°,∠B=20°，点D在AB边
上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）
A．70° B．30° C．70°或10° D．70°或30°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理求出∠ACB,再分类讨论△ACD的
直角，最后根据三角形的内角和定理得结论，掌握“三角形的内角和是180°”，“直角三角形的两个锐角
互余”是解决本题的关键.
【详解】解：在△ABC中，∵∠A=60°,∠B=20° ,
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=100°，
∵△ACD为直角三角形，
（1）当∠ACD=90°时,如图：
∠BCD=∠ACB−∠ACD=100°−90°=10°
，
（2）当∠ADC=90°时,如图：
∠ACD=90°−∠A=30°
,
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=100°−30°=70°，
故选：C．
9．（3分）（2024·湖北武汉·中考模拟）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是
两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查的是网格等腰三角形的特点，分以AB为腰，以AB为底边两种情况确定C即可；清晰的
分类讨论是解本题的关键．
【详解】解：如图，点C的个数有8个，
故选：C．10．（3分）（23-24八年级·贵州毕节·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边
在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连结AD、BE和CF交千点P，
则以下结论中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④
PB+PC+PD=BE．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明△ABD≌△CBF(SAS)，△ACD≌△BCE(SAS)，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，
进一步可判断①②，证明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，进一步可判断③，在PA上截取PG=PB，
连接BG，证明∠BGA=∠BPC=120°，再证△BAG≌△BCP(AAS)，可得PC=GA，进而可得
PA=PB+PC，进一步可判断④．
【详解】解：∵△ABC，△BDF是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，
∴∠ABD=∠CBF，
∴△ABD≌△CBF(SAS)，
∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，
同理可得△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，
∴AD=BE=CF，故①②符合题意；
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠CBE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，
∴∠BPA=60°=∠DPE，
同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，
∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合题意；
如图，在PA上截取PG=PB，连接BG，
∴△BPG是等边三角形，
∴∠BGP=60°，
∴∠BGA=120°，
∴∠BGA=∠BPC，
又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，
∴△BAG≌△BCP(AAS)，
∴PC=GA，
∴PA=PG+GA=PB+PC，
∵AD=BE，
∴PB+PC+PD=PA+PD=AD=BE；故④符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本
题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·期末）若x+2y−3=0，则2x+1 ⋅4y= ．
【答案】16
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，直接利用幂的乘方运算法则，再利用同底
数幂的乘法运算法则进而得出答案．
【详解】解：∵x+2y−3=0，
∴x+2y=3，
∴2x+1 ⋅4y=2x+122y=2x+1+2y=23+1=24=16，
故答案为：16．7x 2m−1
12．（3分）（23-24八年级·河南开封·期末）关于x的分式方程 − =5无解，则m的值为
x−1 x−1
．
【答案】4
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，
两种情况进行求解即可．
【详解】解：方程去分母，得：7x−2m+1=5x−5，
整理，得：2x−2m+6=0，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴x−1=0，
∴x=1，
把x=1代入2x−2m+6=0，得：2−2m+6=0，
∴m=4，
故答案为：4．
13．（3分）（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，已知点D在△ABC内部，∠BCD=30°，
AB=AC=BD，△BCD关于BC对称得到△BCE，∠CBE+∠ACD=∠BCE，则∠ADC的度数为
．
【答案】150°
【分析】连接DE、AE，证明△CDE是等边三角形，得出DC=DE，∠CDE=60°，再证明△ABE是等
边三角形，得出AB=AE，从而得到AC=AE，证明△ACD≌△AED(SSS)，得出∠ADC=∠ADE，结
合∠ADC+∠ADE+∠CDE=360°即可得解．
【详解】解：如图：连接DE、AE，，
∵△BCD关于BC对称得到△BCE，
∴CD=CE，∠BCE=∠BCD=30°，BD=BE，
∴∠DCE=∠BCE+∠BCD=30°+30°=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DC=DE，∠CDE=60°，
∵AB=BD，
∴AB=BD=BE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，即∠ABD+∠CBD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ABD+∠CBD=30°+∠ACD，
∵∠CBE+∠ACD=∠BCE=30°，
∴∠ACD=30°−∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD=30°+30°−∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD+∠CBE=60°，即∠ABE=60°，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED(SSS)，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠ADC+∠ADE+∠CDE=360°，
360°−∠CDE
∴∠ADC= =150°，
2
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
14．（3分）（23-24八年级·江苏·周测）如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF=60°，
AC=CF，AB=4，EF=5，则BE= ．
【答案】9
【分析】根据题意证明ΔABC≅ΔCFE，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到答案；
【详解】解：∵∠B=∠E=∠ACF=60°，
∠BCA+∠ACF=∠CFE+∠E，
∠ACF+∠ECF=∠B+∠BAC
∴∠BCA=∠CFE
∠BAC=∠ECF
在ΔABC和ΔCFE中
{∠BAC=∠ECF
)
AC=CF
∠BCA=∠EFC
∴ΔABC≅ΔCFE
∴BC=EF，AB=CE
∴BE=BC+CE=EF+AB=5+4=9
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及了三角形的外角定理等知识，掌握相关知识并熟练使
用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
1
15．（3分）（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠EAG= ∠GAB，
2
1
∠EFG= ∠AHF，且∠EFC=3∠EFG+20°，CN平分∠FCD分别交AE、AG的延长线于点M、
2
3
N．则 ∠ANC−∠AMC= ．
2【答案】40°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关
系是解题的关键．
设∠EAG=α，∠EFG=β，则∠GAB=2α，∠AHF=2β，∠EAB=3α，∠EFC=3β+20°，由角平
1
分线可得∠FCN=∠DCN= ∠FCD，如图，作NQ∥AB，FP∥AB，RM∥AB，则
2
NQ∥CD，FP∥CD，RM∥CD，可得∠ANC=2α+∠DCN，∠AMC=3α+∠DCN，
3 1
∠HFP=2β，∠CFP+∠FCD=180°，则 ∠ANC−∠AMC= ∠DCN，根据
2 2
∠HFC=∠HFP+∠CFP=2β+∠CFP，求得∠CFP=20°，然后求∠DCN的值，进而可得
3
∠ANC−∠AMC的值．
2
【详解】解：设∠EAG=α，∠EFG=β，则∠GAB=2α，∠AHF=2β，
∠EAB=∠EAG+∠GAB=3α，∠EFC=3β+20°，
∵CN平分∠FCD，
1
∴∠FCN=∠DCN= ∠FCD，
2
如图，作NQ∥AB，FP∥AB，RM∥AB，则NQ∥CD，FP∥CD，RM∥CD，
∴∠ANC=∠ANQ+∠CNQ=∠GAB+∠DCN=2α+∠DCN，
∠AMC=∠AMR+∠CMR=∠EAB+∠DCN=3α+∠DCN，∠HFP=∠AHF=2β，∠CFP+∠FCD=180°，
3 3 1
∴ ∠ANC−∠AMC= (2α+∠DCN)−(3α+∠DCN)= ∠DCN，
2 2 2
∵∠HFC=∠EFC−∠EFG=3β+20°−β=2β+20°，∠HFC=∠HFP+∠CFP=2β+∠CFP，
∴2β+20°=2β+∠CFP，
解得，∠CFP=20°，
∴∠FCD=160°，∠FCN=∠DCN=80°，
3 1 1
∴ ∠ANC−∠AMC= ∠DCN= ×80°=40°，
2 2 2
故答案为：40°．
16．（3分）（23-24八年级·浙江·期中）如图，三角形ABC的面积为30，AD与BF交于点E，且AE=ED，
2
BD= CB，则图中阴影部分的面积为 ．
3
【答案】12
【分析】本题考查图形面积间的等积代换，解答此题的关键是先连接DF，然后根据三角形面积和线段间
比的关系进行分析，进而得出结论．
2
连接DF，由AE=DE，得△AEF的面积=△EDF的面积，△ABE的面积=△BDE的面积．由BD= BC，
3
得△BDF的面积=△DCF的面积×2，因此△ABF的面积=△BDF的面积=△DCF的面积×2；△ABC的面
积=△DCF的面积×5、进而可求阴影部分面积等于△BDF的面积=△DCF的面积×2=6×2=12．
【详解】解∶连接DF，
∵ AE=DE
，
∴ △AEF的面积=△EDF的面积，
∴ △ABE的面积=△BDE的面积．
2
∵ BD= BC，
3∴ △BDF的面积=△DCF的面积×2，
∴ △ABF的面积=△BDF的面积=△DCF的面积×2；
∴ △ABC的面积=△DCF的面积×5，
∴ △DCF的面积=30÷5=6，
∴阴影部分面积等于△BDF的面积=△DCF的面积×2=6×2=12；
故答案为：12．
三．解答题（共9小题，满分72分）
( 5 ) 2m−4
17．（6分）（23-24八年级·湖北荆门·期末）（1）计算： m+2− ⋅ ，其中m=−1．
m−2 m−3
x−3 3
（2）解方程： +1=
x−2 2−x
【答案】（1）2m+6；4；（2）x=−1
【分析】该题主要考查了分式的化简求值以及分式方程的求解方法，解题的关键是掌握分式混合运算以及
分式方程运算法则．
（1）先化简分式，再代入求解即可；
（2）根据分式方程的解法解答即可；
( 5 ) 2m−4
【详解】解：（1） m+2− ⋅
m−2 m−3
(m2−4 5 ) 2(m−2)
= − ⋅
m−2 m−2 m−3
(m+3)(m−3) 2(m−2)
= ⋅
m−2 m−3
=2(m+3)
=2m+6，
当m=−1时，原式=2m+6=2×(−1)+6=4．
x−3 3
（2） +1= ，
x−2 2−x
方程两边同乘x−2，得x−3+1=−3，
解这个一元一次方程，得x=−1．
检验： 当x=−1时，x−2≠0，
故x=−1是原方程的解．
18．（6分）（23-24八年级·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题(1)计算：a2 ⋅a3+(−a4) 3 ÷a7+335× (1) 34
；
3
(2)因式分解：4x(x−3 y)+9 y2；
(3)利用乘法公式简便计算：1005×995−10002．
【答案】(1)3
(2)(2x−3 y) 2
(3)−25
【分析】（1）先算同底数幂的乘法，积的乘方，再算同底数幂的除法，最后合并同类项即可；
（2）展开后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）原式=a5+(−a12)÷a7+3×334×
(1) 34
3
=a5−a5+3× ( 3× 1) 34
3
=3；
（2）原式=4x2−12xy+9 y2=(2x−3 y) 2；
（3）原式=(1000+5)×(1000−5)−10002=10002−52−10002=−25．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，方差公式，分解因式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘
方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（6分）（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平
移至A′B′，连接A A′，设A′B′与AC的交点为O．
(1)若B′为BC的中点，求证：△AOA′≌△COB′；
(2)若AC平分∠BA A′，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°【分析】本题主要考查了角平分线、平移的性质、平行线的性质、全等三角形的判定、三角形内角和定理
等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先根据平移的性质可得A A′∥BB′，A A′=BB′，进而可得∠OA A′=∠C，再证明A A′=B′C，
然后根据“AAS”证明△AOA′≌△COB′即可；
（2）首先根据角平分线的定义可得∠BAC=∠OA A′，结合∠OA A′=∠C易得∠BAC=∠C，然后根
据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵A′B′由AB沿射线BC的方向平移所得，
∴A A′∥BB′，A A′=BB′，
∴∠OA A′=∠C，
∵B′为BC的中点，
∴BB′=B′C，
∴A A′=B′C，
在△AOA′和△COB′中，
{ ∠OA A′=∠C )
∠AOA′=∠COB′ ，
A A′=B′C
∴△AOA′≌△COB′ (AAS)；
（2）解：∵AC平分∠BA A′，
∴∠BAC=∠OA A′，
又∵∠OA A′=∠C，
∴∠BAC=∠C，
又∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=80°，
1
∴∠C= ×(180°−∠B)=50°．
2
20．（8分）（23-24八年级·宁夏中卫·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里
路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研
学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草
方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块1m×1m的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作
6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦
草方格？
(1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程：36 36
小聪： =1.5×
x x+6
36 36
小慧： − =6
x 1.5x
则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______．
(2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？
(3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完
成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求
出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务．
【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间
(2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块
(3)不能，每小时至少多做12块
【分析】本题考查分式方程的应用：
（1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可；
（2）解分式方程即可；
（3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果．
36 36
【详解】（1）解：小聪所列方程 =1.5× ，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙
x x+6
队完成任务所需时间的1.5倍，
故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量
36 36
小慧所列方程 − =6，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块，
x 1.5x
故x表示乙队完成任务所需时间；
36 36
（2）解： =1.5× ，得：x=12，
x x+6
经检验x=12是原方程的解，
∴x+6=18，
答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
36 36
解： − =6，得：x=2；
x 1.5x
经检验x=2是原方程的解，
36
∴ =18，18−6=12；
x答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块；
4
（3）不能；1小时20分钟= 小时
3
4
甲队已完成：12× =16（块）；
3
4
乙队已完成：18× =24（块）；
3
还剩余：36−16+36−24=32（块）；
两队合作1小时可完成：(12+18)×1=30（块），
30<32，
故不能完成；
32−30=2（块）；
答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务．
21．（8分）（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE，垂足
为点D．
(1)如图1，若点D在线段BE上，求证：∠2=∠1+∠A
(2)如图2，若点D在BE的延长线上，则∠1,∠2和∠BAC有何数量关系，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAC=2∠1+∠2，理由见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角：
（1）垂直得到∠CDB=90°，进而得到∠CBE+∠2=∠1+∠BEC=90°，再根据
∠BEC=∠ABE+∠A，等量代换即可得出结论；
（2）三角形内角和得到∠CBE+∠1+∠2=90°，三角形的外角得到∠BEC=∠ABE+∠A=90°+∠1，
推出90°+∠1−∠BAC+∠1+∠2=90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥BE，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBE+∠2=90°，∠CDB=∠1+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠2=∠1+∠CEB，
又∵∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠CBE+∠2=∠1+∠ABE+∠A，
∴∠2=∠1+∠A；
（2）∠BAC=2∠1+∠2，理由如下：
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥BE，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBE+∠1+∠2=90°，
∵∠BEC=∠ABE+∠A=90°+∠1，
∴∠ABE=90°+∠1−∠BAC，
∵∠ABE=∠CBE，∠CBE+∠1+∠2=90°，
∴90°+∠1−∠BAC+∠1+∠2=90°，
∴∠BAC=2∠1+∠2．
22．（9分）（23-24八年级·河北承德·期末）把完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2适当的变形，如：
(a+b) 2=(a−b) 2+4ab等，这些变形可解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，ab=1，所以(a+b) 2=9，2ab=2
即a2+b2+2ab=9，2ab=2，所以a2+b2=7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
(1)①若2m+n=3，mn=1，且2m>n，则2m−n=________；
②我们知道(2−m)−(5−m)=−3，若(2−m)(5−m)=3，则(2−m) 2+(5−m) 2=________．
(2)如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB=5，两个正方形的面积和为15，
设AC=x，BC= y，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)①1；②15
(2)5
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）①先根据(2m−n) 2=(2m+n) 2−8mn求出(2m−n) 2的值，再求平方根即可得；
②将(2−m)和(5−m)看作整体，利用完全平方公式计算即可得；
(x+ y) 2−(x2+ y2)
（2）先根据题意得出x+ y=5，x2+ y2=15，再根据xy= 求解即可得．
2
【详解】（1）解：①∵2m+n=3，mn=1，
∴(2m−n) 2=4m2−4mn+n2
=4m2+4mn+n2−8mn
=(2m+n) 2−8mn
=32−8×1
=1，
∴2m−n=±1，
又∵2m>n，即2m−n>0，
∴2m−n=1，
故答案为：1；②∵(2−m)−(5−m)=−3，(2−m)(5−m)=3，
∴(2−m) 2+(5−m) 2=[(2−m)−(5−m)) 2 +2(2−m)(5−m)
=(−3) 2+2×3
=9+6
=15，
故答案为：15．
（2）解：由题意可知，x+ y=5，x2+ y2=15，
(x+ y) 2−(x2+ y2)
则图中阴影部分的面积为xy=
2
52−15
=
2
=5，
答：图中阴影部分的面积为5．
1
23．（9分）（23-24八年级·全国·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们称
2
这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在△ABC中，如果
∠A=80°,∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”， △ABC 是“友爱三角形”．
(1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），∠ACB=90°．
①求∠A,∠B的度数．
②若CD 是△ABC中AB边上的高， 则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗？ 为什么？
(2)如图2， 在△ABC中， ∠ACB=70°,∠A=66°， D是边AB上一点（不与点A,B重合），连接CD，
若△ACD是“友爱三角形”， 且∠ADC与∠ACD 互为“友爱角”， 直接写出∠ACD的度数．
【答案】(1)①∠A=60°,∠B=30°；② △ACD,△BCD都是“友爱三角形”，理由见详解
(2)∠ACD的度数38°
1
【分析】（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到∠B= ∠A，再根据直角三角形两锐角互余可得
2∠A+∠B=90°，由此即可求解；②由CD 是△ABC中AB边上的高，得到
∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，根据三角形两锐角互余可得∠ACD=∠B，∠A=∠BCD，结合
∠A与∠B互为“友爱角”即可求解；
（2）根据三角形内角和定理可得∠B=44°，设∠BCD=x，则∠ACD=70°−x，由三角形的外角和的
1
性质可得∠ADC=44°+x，根据∠ADC与∠ACD 互为“友爱角”，分类讨论：当∠ACD= ∠ADC
2
1
时；当∠ADC= ∠ACD时；由此列一元一次方程求解即可．
2
【详解】（1）解：①∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），
1
∴∠B= ∠A，
2
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，
1
∴∠A+ ∠A=90°，
2
解得，∠A=60°，
1
∴∠B= ∠A=30°；
2
②△ACD,△BCD都是“友爱三角形”，理由如下，
∵CD 是△ABC中AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
同理，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），
∴∠A与∠ACD互为“友爱角”，
∴△ACD是“友爱三角形”；
同理，∠BCD与∠B互为“友爱角”，
∴△BCD是“友爱三角形”；（2）解：在△ABC中， ∠ACB=70°,∠A=66°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−66°−70°=44°，
设∠BCD=x，则∠ACD=70°−x，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=44°+x，
∵△ACD是“友爱三角形”， ∠ADC与∠ACD 互为“友爱角”，
1 1
∴当∠ACD= ∠ADC时，70°−x= (44°+x)，
2 2
解得，x=32°，
∴∠ACD=70°−x=70°−32°=38°；
1 1
当∠ADC= ∠ACD时，44°+x= (70°−x)，
2 2
解得，x=−6°，不符合题意，舍去；
∴∠ACD的度数为38°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的外角和性质，一元一次
方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，外角和性质，几何问题与
一元一次方程的综合运用是解题的关键．
24．（10分）（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延
长线上，且ED=EC．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE___________DB
（填“>”，“ <”或“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作
EF∥BC，交AC于点F）(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为
1，AE=2，则线段CD的长___________（请你画出相应图形）．
【答案】(1)=
(2)AE=DB，见解析
(3)3
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：
1
（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD= ∠ACB=30°，然后证
2
∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证
△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC于点F，同（2 ）得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，则
AE=EF=2，DB=EF=2，即可得出答案．
【详解】解：（1）：AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
1
∴∠ECD= ∠ACB=30°，AE=BE，
2
∴∠D=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
（2）解：AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120° ，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°
)
∠D=∠FEC ，
ED=EC
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2 ）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=2，DB=EF=2，∵BC=1，
∴CD=BC+DB=1+2=3．
25．（10分）（23-24八年级·广东深圳·期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
(1)当AC=BC时，如图1，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
(2)当AC=8，BC=6时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒
1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿
F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，
过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
① CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)① 8−t，6−3t；② t=3.5秒或5秒或6.5秒．
【分析】（1）根据垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等得∠DAC=∠ECB，最
后利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由折叠的性质和线段和差可得出答案；
②分当点N沿F→C路径运动时，当点N沿C→B路径运动时，当点N沿B→C路径运动时，当点N沿
C→F路径运动时四种情况分析即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，线段和差，同角的余角相等，掌握全等三角
形的判定与性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，
{∠ADC=∠CEB
)
∠DAC=∠ECB ，
CA=CB
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
（2）①由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8−t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6−3t，
故答案为：8−t，6−3t；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，8−t=6−3t，
解得：t=−1（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，CN=3t−6，
则8−t=3t−6，
解得：t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8−t=18−3t，
解得：t=5，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8−t=3t−18，
解得：t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒，△MDC与△CEN全等．
