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期末押题重难点检测卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·河北石家庄·期中）小明家和小红家与学校的距离分别是5km和3km．那么小明
家与小红家的距离不可能是（ ）．
A．1 km B．2 km C．3 km D．8 km
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，根据三角形的三边关系分析即可．
【详解】解：以小明家、小红家以及学校这三点来构造三角形，设小明家与小红家的直线距离为a，根据
题意得：
5−3n，则2m−n=________；
②我们知道(2−m)−(5−m)=−3，若(2−m)(5−m)=3，则(2−m) 2+(5−m) 2=________．
(2)如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB=5，两个正方形的面积和为15，
设AC=x，BC= y，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)①1；②15
(2)5
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）①先根据(2m−n) 2=(2m+n) 2−8mn求出(2m−n) 2的值，再求平方根即可得；
②将(2−m)和(5−m)看作整体，利用完全平方公式计算即可得；
(x+ y) 2−(x2+ y2)
（2）先根据题意得出x+ y=5，x2+ y2=15，再根据xy= 求解即可得．
2
【详解】（1）解：①∵2m+n=3，mn=1，
∴(2m−n) 2=4m2−4mn+n2
=4m2+4mn+n2−8mn
=(2m+n) 2−8mn
=32−8×1
=1，
∴2m−n=±1，
又∵2m>n，即2m−n>0，
∴2m−n=1，
故答案为：1；②∵(2−m)−(5−m)=−3，(2−m)(5−m)=3，
∴(2−m) 2+(5−m) 2=[(2−m)−(5−m)) 2 +2(2−m)(5−m)
=(−3) 2+2×3
=9+6
=15，
故答案为：15．
（2）解：由题意可知，x+ y=5，x2+ y2=15，
(x+ y) 2−(x2+ y2)
则图中阴影部分的面积为xy=
2
52−15
=
2
=5，
答：图中阴影部分的面积为5．
1
23．（9分）（23-24八年级·全国·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们称
2
这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在△ABC中，如果
∠A=80°,∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”， △ABC 是“友爱三角形”．
(1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），∠ACB=90°．
①求∠A,∠B的度数．
②若CD 是△ABC中AB边上的高， 则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗？ 为什么？
(2)如图2， 在△ABC中， ∠ACB=70°,∠A=66°， D是边AB上一点（不与点A,B重合），连接CD，
若△ACD是“友爱三角形”， 且∠ADC与∠ACD 互为“友爱角”， 直接写出∠ACD的度数．
【答案】(1)①∠A=60°,∠B=30°；② △ACD,△BCD都是“友爱三角形”，理由见详解
(2)∠ACD的度数38°
1
【分析】（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到∠B= ∠A，再根据直角三角形两锐角互余可得
2∠A+∠B=90°，由此即可求解；②由CD 是△ABC中AB边上的高，得到
∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，根据三角形两锐角互余可得∠ACD=∠B，∠A=∠BCD，结合
∠A与∠B互为“友爱角”即可求解；
（2）根据三角形内角和定理可得∠B=44°，设∠BCD=x，则∠ACD=70°−x，由三角形的外角和的
1
性质可得∠ADC=44°+x，根据∠ADC与∠ACD 互为“友爱角”，分类讨论：当∠ACD= ∠ADC
2
1
时；当∠ADC= ∠ACD时；由此列一元一次方程求解即可．
2
【详解】（1）解：①∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），
1
∴∠B= ∠A，
2
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，
1
∴∠A+ ∠A=90°，
2
解得，∠A=60°，
1
∴∠B= ∠A=30°；
2
②△ACD,△BCD都是“友爱三角形”，理由如下，
∵CD 是△ABC中AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
同理，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），
∴∠A与∠ACD互为“友爱角”，
∴△ACD是“友爱三角形”；
同理，∠BCD与∠B互为“友爱角”，
∴△BCD是“友爱三角形”；（2）解：在△ABC中， ∠ACB=70°,∠A=66°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−66°−70°=44°，
设∠BCD=x，则∠ACD=70°−x，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=44°+x，
∵△ACD是“友爱三角形”， ∠ADC与∠ACD 互为“友爱角”，
1 1
∴当∠ACD= ∠ADC时，70°−x= (44°+x)，
2 2
解得，x=32°，
∴∠ACD=70°−x=70°−32°=38°；
1 1
当∠ADC= ∠ACD时，44°+x= (70°−x)，
2 2
解得，x=−6°，不符合题意，舍去；
∴∠ACD的度数为38°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的外角和性质，一元一次
方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，外角和性质，几何问题与
一元一次方程的综合运用是解题的关键．
24．（10分）（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延
长线上，且ED=EC．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE___________DB
（填“>”，“ <”或“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作
EF∥BC，交AC于点F）(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为
1，AE=2，则线段CD的长___________（请你画出相应图形）．
【答案】(1)=
(2)AE=DB，见解析
(3)3
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：
1
（1）由等腰三角形的性质得∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD= ∠ACB=30°，然后证
2
∠DEB=∠D，得DB=BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE=EF，再证
△DBE≌△EFC(AAS)，得DB=EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC于点F，同（2 ）得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，则
AE=EF=2，DB=EF=2，即可得出答案．
【详解】解：（1）：AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
1
∴∠ECD= ∠ACB=30°，AE=BE，
2
∴∠D=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=∠ABC−∠D=30°，
∴∠DEB=∠D，
∴DB=BE，
∴AE=DB；
（2）解：AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120° ，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
{∠DBE=∠EFC=120°
)
∠D=∠FEC ，
ED=EC
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（3）解：过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2 ）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC(AAS)，
∴AE=EF=2，DB=EF=2，∵BC=1，
∴CD=BC+DB=1+2=3．
25．（10分）（23-24八年级·广东深圳·期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
(1)当AC=BC时，如图1，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
(2)当AC=8，BC=6时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒
1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿
F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，
过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
① CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)① 8−t，6−3t；② t=3.5秒或5秒或6.5秒．
【分析】（1）根据垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等得∠DAC=∠ECB，最
后利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由折叠的性质和线段和差可得出答案；
②分当点N沿F→C路径运动时，当点N沿C→B路径运动时，当点N沿B→C路径运动时，当点N沿
C→F路径运动时四种情况分析即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，线段和差，同角的余角相等，掌握全等三角
形的判定与性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，
{∠ADC=∠CEB
)
∠DAC=∠ECB ，
CA=CB
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
（2）①由题意得，AM=t，FN=3t，
则CM=8−t，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6−3t，
故答案为：8−t，6−3t；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N沿F→C路径运动时，8−t=6−3t，
解得：t=−1（不合题意），
当点N沿C→B路径运动时，CN=3t−6，
则8−t=3t−6，
解得：t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8−t=18−3t，
解得：t=5，
当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8−t=3t−18，
解得：t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒，△MDC与△CEN全等．
