北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
考点1 空间几何体的结构特征
1. （ 2023 全 国 甲 理 ， 11 ） 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 正 方 形 ，
，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】法一：连接 交于 ，连接 ，则 为 的中点，如图，
因为底面 为正方形， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得
，
故 ，则 ，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
法二：连接 交于 ，连接 ，则 为 的中点，如图，
因为底面 为正方形， ，所以 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得
，故
，所以 ，则
，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
不妨记 ，因为 ，所以
，
即 ，
则 ，整理得 ①，
又在 中， ，即 ，
则 ②，
两式相加得 ，故 ，故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 ，故选C.
2.（2023课标II，9）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ， ，
点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
【答案】AC
【解析】依题意， ， ，所以 ，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
A选项，圆锥的体积为 ，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为 ，B选项错误；
C选项，设 是 的中点，连接 ，
的
则 ，所以 是二面角 平面角，
则 ，所以 ，
故 ，则 ，C选项正确；
D选项， ，所以 ，D选项错误.
故选AC.
3.（2023课标I，12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略
不计）内的有（ ）
A. 直径为 的球体
B. 所有棱长均为 的四面体
C. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
D. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为 ，即球体的直径小于正方体的棱长，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为 ，且 ，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为 ，且 ，
所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；
对于选项D：因为 ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过 的中点 作 ，设 ，
可知 ，则 ，
即 ，解得 ，
且 ，即 ，
故以 为轴可能对称放置底面直径为 圆柱，
若底面直径为 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心 ，与正方体的下底面的切
点为 ，可知： ，则 ，即 ，
解得 ，
根据对称性可知圆柱的高为 ，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.
4.(2023北京,9,4分,中)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装
灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面
是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=10 m,且等腰梯形所在
√14
平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ,则该五面体的所有
5
棱长之和为 ( )
A.102 m B.112 m C.117 m D.125 m
答案 C 显然AE=ED=FB=FC,
作FG⊥AB于G,FH⊥BC于H,设点F在底面ABCD内的射影为O,连接OF,OG,OH,
1
易得OG= BC=5,四边形ABCD为矩形,所以∠FGO是平面ABFE与底面ABCD所成角,
2
∠FHO是平面BCF与底面ABCD所成角.
√14
∵tan∠FGO=tan∠FHO= ,OG=5,
5
∴FO=√14,OH=5,
∴FG=FH= ,GB=OH=5,∴BF= =8.
√OF2+OG2=√39 √FG2+GB2
∴EF=AB-2GB=25-10=15.
∴AB+BC+CD+AD+AE+ED+BF+FC+EF=25+10+25+10+8+8+8+8+15=117.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
所以该五面体的所有棱长之和为117 m.故选C.
5.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 (
)
A.2 B.2√2C.4D.4√2
答案 √2
B 设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π· ,
∴l=2√2.故选B.
易错警示 1.不清楚圆锥侧面展开图是扇形;2.记不清扇形弧长公式.
6.(2020课标Ⅰ理,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正
方形的边长的比值为( )
√5−1 √5−1 √5+1 √5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
答案 C如图,设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高PO=
√ a2,
ℎ
2−
4
a2
∴以|PO|为边长的正方形面积为h2- ,
4
1
一个侧面三角形面积为 ah,
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
a2 1
∴h2- = ah,
4 2
∴4h2-2ah-a2=0,
2
两边同除以a2可得4(ℎ) ℎ-1=0,
−2·
a a
ℎ 1±√5
解得 = ,
a 4
ℎ ℎ
√5+1
又∵ >0,∴ = .故选C.
a a 4
解题关键 利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求得底面边长a
与侧面等腰三角形底边上的高h之间的关系是求解本题的关键.
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2018课标Ⅰ文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O,过直线OO 的平面截该圆柱所得的截
1 2 1 2
面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12√2π B.12π C.8√2π D.10π
答案 B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.
设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2√2,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B.
解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.
2.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
32
A.12π B. π
3
C.8π D.4π
答案 A 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.
设球的半径为R,则2R=√3a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.
方法点拨 对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角线的一半.
3.(2015课标Ⅱ,理9,文10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-
ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
答案 C ∵S 是定值,且V =V ,
△OAB O-ABC C-OAB
1 1 1
∴当OC⊥平面OAB时,V 最大,即V 最大.设球O的半径为R,则(V ) = × R2×R=
C-OAB O-ABC O-ABCmax
3 2 6
R3=36,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
思路分析 由△OAB的面积为定值分析出当OC⊥平面OAB时,三棱锥O-ABC的体积最大,从而根据已知条
件列出关于R的方程,进而求出R值,利用球的表面积公式即可求出球O的表面积.
导师点睛 点C是动点,在三棱锥O-ABC中,如果以面ABC为底面,则底面面积与高都是变量,而S 为定
△OAB
值,因此转化成以面OAB为底面,这样高越大,体积越大.
4.(2014福建文,5,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面
积等于( )
A.2π B.π C.2 D.1
答案 A 由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1.
∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π.故选A.
5.（2023 全国甲文，10） 在三棱锥 中， 是边长为 2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】取 中点 ，连接 ，如图，
是边长为2的等边三角形， ，
，又 平面 ， ， 平面 ，
又 ， ，故 ，即 ，
所以 ，故选：A北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
6.（2023全国乙理，8） 已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，
，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在 中， ，而 ，取 中点 ，连接 ，有
，如图，
， ，由 的面积为 ，得 ，
解得 ，于是 ，
所以圆锥的体积 .故选：B
7.(2021北京,8,4分)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:
平地降雨量(mm)0~1010~2525~5050~100
降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
如图所示,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,那么这24小时降雨的等级是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
A.小雨 B.中雨
C.大雨 D.暴雨
答案 B 命题意图:本题以测量24小时内降水在平地上的积水厚度为载体,考查学生的空间想象能力、
运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数学运算、直观想象,落实了应用性、综合性和创新性的考
查要求.
r 150
解题思路:作圆锥的轴截面如图,设圆锥形容器中水面的半径为r mm,由题意得 = ,所以r=50,则
100 300
1
容器内的雨水的体积V= π×502×150=125 000π(mm3).所以24小时内降水在平地上的积水厚度为
3
125 000π
=12.5(mm),所以这24小时降雨的等级是中雨,故选B.
π×1002
8.(2022新高考Ⅰ,4,5分,应用性)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入
某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面
的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到
157.5 m时,增加的水量约为(√7≈2.65) ( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
1
答案 C 140 km2=140×106 m2,180 km2=180×106 m2,由棱台体积公式V= (S+S'+√SS')h可得V =
增加水量
3
1
×(140+180+√140×180)×106×(157.5-148.5)=3×(320+60√7)×106≈3×(320+60×2.65)×106=1
3
437×106≈1.4×109(m3),故选C.
