文档文本内容
7.4 数列求和、数列的综合
基础篇
考点 一 数列求和 列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等
ꎬ ꎬ
差 等比或常见的数列 即先分别求和 再合
1.
公式法 、 ꎬ ꎬ
并 例如
直接用等差 等比数列的求和公式求解. ꎬ :
１) 、 { ａ 是等差数列
掌握一些常见的数列的前 ｎ 项和公式 ａ ｂ 其中 { ｎ} ꎬ
２) : １){ ｎ＋ ｎ}ꎬ ｂ 是等比数列
ｎ ｎ２ ｎ { ｎ} ꎻ
２＋４＋６＋＋２ ＝ ＋ ꎻ
１＋３＋５＋＋(２
ｎ
－１)＝
ｎ２
ꎻ ａ
{ｆ
(
ｎ
)ꎬ
ｎ
＝２
ｋ
－１ꎬ
ｋ
∈
Ｎ∗
ꎬ
ｎ ｎ ｎ
２) ｎ＝ ｇ ｎ ｎ ｋ ｋ Ｎ∗ .
１ ２ ＋２ ２ ＋３ ２ ＋＋ ｎ２ ＝ ( ＋１)(２ ＋１) ꎻ 6. 并项求 ( 和 ) 法 ꎬ ＝２ ꎬ ∈
６
１ ３ ＋２ ３ ＋３ ３ ＋＋ ｎ３ ＝ é ë ê ê ｎ ( ｎ ＋１) ù û ú ú ２ . 形 中 如 可将 ａ ｎ 两 ＝( 项 － 并 １) 作 ｎｎ 一 ꎬ ａ 项 ｎ＝ 进 (－ 行 １ 求 ) ｎ 和 ｎ２ . 等 ꎬ 在求和过程
２
2.
倒序相加法
考点 二 数列的综合
如果一个数列 ａ 与首末两端等 距离 的
{ ｎ}ꎬ “ ” 1. 数列与函数综合问题
两项的和相等或等于同一常数 那么求这个
ꎬ 已知函数求解数列问题时 一般利用函数的
数列的前 ｎ 项和即可用倒序相加法. １) ꎬ
图象与性质.
3.
错位相减法
已知数列求解函数问题时 一般要利用数列
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 ２) ꎬ
的通项公式 前 ｎ 项和公式 求和方法等对
个等比数列的对应项之积构成的 那么这个 、 、
ꎬ 式子化简变形.
数列的前 ｎ 项和即可用此法来求.
数列只能看作自变量为正整数的一类函数
4.
裂项相消法 ３) ꎬ
在解决问题时要注意这一特殊性.
把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间
ꎬ 2. 数列与不等式的综合问题
的一些项可以相互抵消 从而求得其和.以下
ꎬ 判断数列问题中的不等关系时 可以利用数
为常见的拆项公式 １) ꎬ
: 列的单调性 或者借助数列对应函数的单调
ꎬ
１ １ １ 性 作差或作商比较大小
１)ｎ ｎ ＝ ｎ－ｎ ꎻ
、 ꎻ
( ＋１) ＋１
以数列为载体 考查不等式的恒成立问题
æ ö
２) ꎬ
１ １ç １ １ ÷
２) ｎ ｎ ＝ è ｎ － ｎ øꎻ 时 可转化为数列的最值问题 可利用数列
(２ －１)(２ ＋１) ２ ２ －１ ２ ＋１ ꎬ ꎬ
单调性或数列对应函数的单调性
１ ｎ ｎ. ꎻ
３) ｎ ｎ ＝ ＋１－ 解决与数列有关的不等式的证明问题时 可
＋ ＋１ ３) ꎬ
5.
分组求和法 构造函数证明 或利用放缩法证明.
ꎬ
有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数
ꎬ ꎬ
专
题
七
数
列
２８３
综合篇
考法 一 错位相减法求和 面剩两项 后面也剩两项.将通项裂项后 有
ꎬ ꎬ
时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差
1.
当 ａ 是等差数列 ｂ 是等比数列时 求数 ꎬ
{ ｎ} ꎬ{ ｎ} ꎬ
和系数之积与原通项相等.
列 ａ ｂ 的前 ｎ 项和常采用错位相减法.
{ ｎ ｎ} 例2 ( 海南嘉积中学等四校联考ꎬ )
2.
用错位相减法求和时 应注意 ２０２２ １８
ꎬ :
等比数列{ａ }的公比为 ꎬ且 ａ 是 ａ 与 ａ
要善于识别题目类型 特别是等比数列的公 ① ｎ ２ ４ ３ ５ －
１) ꎬ
的等差中项ꎻ ａ ꎬＳ 且{ａ }为递增
比为负数的情形. ８ ② ２ ＝４ ３ ＝１４ ｎ
数列ꎬ在 中任选一个ꎬ补充在下列横线上
在写出 Ｓ 与 ｑＳ 的表达式时应特别注意 ①②
２) “ ｎ” “ ｎ”
并解答.
将两式 错项对齐 以便于下一步准确地写
“ ”ꎬ
已知等比数列{ａ }中ꎬＳ 为数列{ａ }的前 ｎ 项
出 Ｓ ｑＳ 的表达式. ｎ ｎ ｎ
“ ｎ－ ｎ”
和ꎬ若 .
应用等比数列求和公式必须注意公比 ｑ 是否
３)
( )求数列{ａ }的通项公式ꎻ
等于 如果 ｑ 那么应用公式 Ｓ ｎａ . １ ｎ
１ꎬ ＝１ꎬ ｎ＝ １ { }
例1 ( 江苏金陵中学二模ꎬ )已知等比 ( )若 ｂ (ｎ ) ａ ꎬ记数列 １ 的前 ｎ 项
２０２２ １７ ２ ｎ＝ ＋１ ｌｏｇ２ ｎ ｂ
ｎ
数列{ａ }的前 ｎ 项和为 Ｓ ꎬａ ꎬ且满足 ａ ꎬ
ｎ ｎ １ ＝２ ４ １
ａ ꎬａ 成等差数列. 和 Ｔ ꎬ求证:１ Ｔ .
２ ２ ３ ｎ ≤ ｎ<１
２
( )求数列{ａ }的通项公式ꎻ
１ ｎ 解析 ( )选 .因为ａ 是ａ 与ａ 的等差
( )记 Ｔ ａ ａ (ｎ )ａ ꎬ求 Ｔ . １ ① ４ ３ ５ －８
２ 解析 ｎ ( ＝２ )设 １ ＋ 等 ３ 比 ２ ＋ 数列 ＋ {ａ ＋ } １ 的公 ｎ 比为 ｎ ｑꎬ依题 中项ꎬ所以 ２ ａ ４ ＝ ａ ３ ＋ ａ ５ －８ ꎬ则 １６ ａ １ ＝４ ａ １ ＋１６ ａ １ －
１ ｎ ꎬ解得 ａ ꎬ所以数列{ａ }的通项公式是 ａ
８ １ ＝２ ｎ ｎ
意ꎬ知
４
ａ
２ ＝４
ａ
１ ＋
ａ
３
ꎬ则
４
ａ
１
ｑ
＝４
ａ
１ ＋
ａ
１
ｑ２ꎬ
＝２
ｎ.
∴
ｑ２
－４
ｑ
＋４＝０
ꎬ(ｑ
－２
)２
＝０
ꎬｑ
＝２
ꎬ
选 ② . 设 { ａ ｎ } 的 公 比 为 ｑꎬ 依 题 意ꎬ 有
∴
ａ
ｎ＝２
２
ｎ －１ꎬ即 ａ
ｎ＝２
ｎ.
{ａ ａ ｑ ꎬ {ａ ꎬ ì ï ï ａ １ ＝８ ꎬ
(
２
)
∵
ａ
ｎ＝２
ｎꎬ ２ ＝ １ ＝４ 解得 １ ＝２ 或í 因
∴ Ｔ ｎ＝２×２ １ ＋３×２ ２ ＋４×２ ３ ＋ ＋ ｎ ２ ｎ －１ ＋ (ｎ ＋１ ) ２ ｎ ① ꎬ
Ｓ
３ ＝
ａ
１
(
１＋
ｑ
＋
ｑ２)
＝ １４
ꎬ ｑ
＝２ î
ï
ï
ｑ
＝ ２
１ꎬ
Ｔ ２ ３ ４ ｎ ｎ (ｎ ) ｎ ＋１ ꎬ {ａ ꎬ
２ ｎ＝２×２ ＋３×２ ＋４×２ ＋ ＋ ２ ＋ ＋１ ２ ② 为数列{ａ }是递增数列ꎬ所以 １ ＝２ 所以数列
ｎ
得 Ｔ １ ２ ３ ｎ (ｎ ) ｎ ＋１ꎬ ｑ ꎬ
①－② － ｎ＝２×２ ＋２ ＋２ ＋ ＋２ － ＋１ ２ ＝２
∴ － Ｔ ｎ＝２ １ ＋２ ２ ＋２ ３ ＋ ＋２ ｎ － (ｎ ＋１ ) ２ ｎ ＋１ ＋２ ꎬ {ａ ｎ }的通项公式是 ａ ｎ＝２ ｎ.
( ｎ) ( )证明:由( )知 ａ ｎꎬ则 ｂ (ｎ ) ａ
Ｔ ２ １－２ (ｎ ) ｎ ＋１ ꎬ Ｔ ｎ ＋１ ２ １ ｎ ＝２ ｎ ＝ ＋１ ｌｏｇ２ ｎ
∴ － ｎ＝ － ＋１ ２ ＋２ ∴ － ｎ＝２ －２ (ｎ ) ｎ ｎ(ｎ )ꎬ
１－２
＝ ＋１ ｌｏｇ２２ ＝ ＋１
(ｎ ) ｎ ＋１ ｎ ｎ ＋１ꎬ Ｔ ｎ ｎ ＋１.
5 － ＋１ ２ ＋２＝－ ２ ∴ ｎ＝ ２ 因此 １ １ １ １ ꎬ 于是有 Ｔ
ｂ ＝ ｎ(ｎ ) ＝ ｎ － ｎ ｎ ＝
年 ｎ ＋１ ＋１
高 考法 二 裂项相消法求和
考 æ ö æ ö æ ö
3 ç １÷ ç １ １÷ ç １ １ ÷ １ ꎬ
年 1. 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数 è１－ ø＋è － ø＋ ＋èｎ－ｎ ø ＝１－ｎ
２ ２ ３ ＋１ ＋１
模
拟 列 在求和时常用 裂项法 分式型数列的
ꎬ “ ”ꎬ 又因为 ｎ ꎬ所以 １ １ꎬ即有１ Ｔ ꎬ
A ≥１ ０<ｎ ≤ ≤ ｎ<１
求和多用此法. ＋１ ２ ２
版
2.
高 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不 所以１ Ｔ .
考 ꎬ ≤ ｎ<１
数 一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前 ２
学 ꎬ
２８４
