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第七章 不等式
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
直观想象
２０２１全国乙文 ５ ５ 单项选择题 易 简单的线性规划 求线性目标函数的最值 直接法
， 数学运算
不等式的概念
２０２０新高考 １１ ５ 多项选择题 中 比较大小 逐项判断法 数学运算
Ⅰ， 和性质
命题规律与备考策略
考查内容 本章内容在高考题中多作为载体考查其他知识 例如 结 在与集合的交 并 补集运算结合的问题中 需求出不等式的解集．试题
， ， 、 、 ，
合不等式的解法考查集合间的关系与运算 函数的定义域与值域的求 情境主要为课程学习情境 考查数学运算 逻辑推理的核心素养．
、 ， 、
解 函数零点的应用等 或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立 复习建议 从近几年考情来分析 本章内容总体上考查形式比较稳
、 ； ，
问题．在旧课标中还会考查线性规划问题 例如最优解的选择 可行域 定 复习时以题型统领复习过程 注意不等式与其他章节知识的综合
， ， ， ， ，
的画法等． 这类题较为复杂．
题型赋分 本章考题以中低档题为主 主要以选择题或填空题的形式 备考策略 对于不等式及其性质内容的复习 需要结合函数的图象与
， ，
出现 分值为 分． 性质 三角函数 数列等知识 而对于线性规划问题 旧课标 的复习
， ５ 、 、 ； （ ） ，
命题特点 考查不等式的性质 不等式的解法 基本不等式 形式比较 需结合两点间距离 点到直线的距离 圆的性质 平面图形的面积等知
， ， ， 、 、 、
稳定 新高考中本章内容变化较大 删去了线性规划问题 旧课标则要 识 对于基本不等式内容的复习 则需结合不等式性质 完全平方公
， ， （ ； ， 、
求 因此 高考中对不等式的概念 性质及其解法考查力度加大．例如 式 平方差公式等内容综合理解与强化．
）， ， 、 、
真题典例
核心考点 不等式的性质及基本不等式的应用． 方法总结 利用基本不等式求最值时 要熟悉利用拆 添项或配凑因
， 、
储备知识 ．基本不等式． 式 构造基本不等式形式的技巧 同时注意 一正 二定 三相等 的
１ ， ， “ 、 、 ”
．二次函数求最值． 原则．
２
．指数 对数的运算性质． 命题特点 求解有两个变量的最值问题 其中一个方法就是统一成一
３ 、 ，
易错警示 ．在统一一个变量时 忽略变量的范围． 个变量 需要注意变量的范围 另一个方法就是通过拆 添项或配凑法
１ ， ， ； 、
．在用基本不等式求最值时 忽略等号成立的条件． 构造出基本不等式的形式．
２ ，第七章 不等式 ３ １１
§７．１ 不等式及其解法
象 数学建模以及数学运算．
不等式的概念和性质 学生用书Ｐ１１３ 、
由人体特征可知 头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端
，
１．（多选题）（２０２０新高考 ，１１，５分）已知ａ ｂ 且ａ ｂ
Ⅰ ＞０， ＞０， ＋ ＝１， 的长度 故咽喉至肚脐的长度应小于 ２６ 可得到此
则 ， ． ≈４２ ｃｍ，
（ ） ０６１８
Ａ． ａ２ ＋ ｂ２ ≥ １ Ｂ．２ ａ － ｂ ＞ １ 人的身高应小于 ２６＋４２＋ ２６ ． ＋４２ ≈１７８ ｃｍ；
２ ２ ０６１８
同理 肚脐至足底的长度应大于腿长 故此人的身高应
ａ ｂ ａ ｂ ， １０５ ｃｍ，
Ｃ．ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ≥－２ Ｄ． ＋ ≤ ２ 大于 ． 结合选项可知 只有 选项符
１． 答案 ＡＢＤ １０５＋１０５×０６１８≈１７０ ｃｍ， ， Ｂ
合题意 故选 ．
( ) １ ， Ｂ
３
２．（２０１８天津文，５，５分）已知ａ ７ ｂ １ ｃ １ 一题多解 用线段代替人，如图．
＝ｌｏｇ３ ， ＝ ， ＝ｌｏｇ１ ３ ，
２ ４ ５
则ａ ｂ ｃ的大小关系为
， ， （ ）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞
ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ
Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
２． 答案 Ｄ
３．（２０１７山东理，７，５分）若ａ ｂ 且ａｂ 则下列不等式成立
＞ ＞０， ＝１，
的是
（ ）
ｂ ｂ
．ａ １ ａ ｂ ． ａ ｂ ａ １
Ａ ＋ ｂ ＜ ａ＜ｌｏｇ２（ ＋ ） Ｂ ａ＜ｌｏｇ２（ ＋ ）＜ ＋ ｂ
２ ２
ｂ ｂ
．ａ １ ａ ｂ ． ａ ｂ ａ １ ａ ｃ
Ｃ ＋ ｂ ＜ｌｏｇ２（ ＋ ）＜
２
ａ Ｄｌｏｇ２（ ＋ ）＜ ＋ ｂ ＜
２
ａ 已知
ｂ ＝ ｄ ＝
５－１
≈０
．
６１８
，ｃ
＜２６
，ｂ
＞１０５
，ｃ
＋
ｄ
＝
ａ，设此人身高
３． 答案 Ｂ ２ {ｂ ，
４．（２０１９北京理，１４，５分）李明自主创业 ， 在网上经营一家水果 为ｈ ｃｍ ，则ａ ＋ ｂ ＝ ｈ，由 ａ ＞１０ ． ５ ｂ⇒ ａ ＞６４ ． ８９ ，
≈０６１８
店 销售的水果中有草莓 京白梨 西瓜 桃 价格依次为 {ｃ ，
， 、 、 、 ， 由 ＜２６ ｄ ． ，
元／盒 元／盒 元／盒 元／盒．为增加销量 李明对这 ｃ ． ｄ⇒ ＜４２０７
６０ 、６５ 、８０ 、９０ ， ≈０６１８
四种水果进行促销 一次购买水果的总价达到 元 顾客就 所以ｃ ｄ ． ． ，即ａ ． ，
： １２０ ， ＋ ＜２６＋４２０７＝６８０７ ＜６８０７
少付ｘ元．每笔订单顾客网上支付成功后 李明会得到支付款 {ａ ． ，
， 由 ＜６８０７ ｂ ． ，
的 ％． ａ ． ｂ⇒ ＜１１０１５
８０ ≈０６１８
当ｘ 时 顾客一次购买草莓和西瓜各 盒 需要支付 整理可得 ． ａ ｂ ． ． ，
① ＝１０ ， １ ， ６４８９＋１０５＜ ＋ ＜６８０７＋１１０１５
元 即 ． ｈ ． （单位： ）．故选 ．
； １６９８９＜ ＜１７８２２ ｃｍ Ｂ
在促销活动中 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于 ２．（２０１５浙江文，６，５分）有三个房间需要粉刷 粉刷方案要求
② ， ， ：
促销前总价的七折 则ｘ的最大值为 ． 每个房间只用一种颜色 且三个房间颜色各不相同．已知三个
， ，
４． 答案 房间的粉刷面积 单位 ２ 分别为ｘ ｙ ｚ 且ｘ ｙ ｚ 三种颜色
①１３０ ②１５ （ ：ｍ ） ， ， ， ＜ ＜ ，
涂料的粉刷费用 单位 元／ ２ 分别为ａ ｂ ｃ 且ａ ｂ ｃ．在不同
以下为教师用书专用（１—３） （ ： ｍ ） ， ， ， ＜ ＜
的方案中 最低的总费用 单位 元 是
１．（２０１９课标 理，４，５分）古希腊时期 人们认为最 ， （ ： ） （ ）
Ⅰ ， ａｘ ｂｙ ｃｚ ａｚ ｂｙ ｃｘ
美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 Ａ． ＋ ＋ Ｂ． ＋ ＋
ａｙ ｂｚ ｃｘ ａｙ ｂｘ ｃｚ
( Ｃ． ＋ ＋ Ｄ． ＋ ＋
答案 Ｂ 用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间 且
之比是 ５－１ ５－１ ． 称为黄金分割比 ，
≈０ ６１８， 用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间 这样所需总费
２ ２
) ，
例
，
著名的
“
断臂维纳斯
”
便是如此．此外
，
最美 用最低
，
最低总费用为
（
ａｚ
＋
ｂｙ
＋
ｃｘ
）
元
，
故选
Ｂ
．
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之 ３．（２０１５ 北京文，１０，５ 分） ２ －３ ，３ １ ２ ，ｌｏｇ２５ 三个数中最大的数
是 ．
比也是 ５－１．若某人满足上述两个黄金分割比例 答案
， ｌｏｇ２５
２
且腿长为 头顶至脖子下端的长度为 则其身高 解析 －３ １ １ ２
１０５ ｃｍ， ２６ ｃｍ， ∵２ ＝ ＜１，１＜３ ＜２，ｌｏｇ２５ ＞２，
可能是 ８
（ ） 这三个数中最大的数为 ．
∴ ｌｏｇ２５
Ａ．１６５ ｃｍ Ｂ．１７５ ｃｍ Ｃ．１８５ ｃｍ Ｄ．１９０ ｃｍ
答案 Ｂ 本题主要考查学生的数学应用意识 抽象概括能
、 不等式的解法 学生用书Ｐ１１３
力 运算求解能力 以及方程思想 考查的核心素养为数学抽
、 ， ；
３ １２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
１．（２０２０浙江，９，４分）已知ａ ｂ Ｒ且ａｂ 对于任意ｘ 均 解法二 由ｘ２ ａｘ ａ２ 得 ｘ ａ ｘ ａ ａ
， ∈ ≠０， ≥０ ： －２ －８ ＜０， （ ＋２ ）（ －４ ）＜０，∵ ＞０，
有 ｘ ａ ｘ ｂ ｘ ａ ｂ 则 不等式ｘ２ ａｘ ａ２ 的解集为 ａ ａ
（ － ）（ － ）（ －２ － ）≥０， （ ） ∴ －２ －８ ＜０ （－２ ，４ ），
ａ ａ ｂ ｂ 又 不等式ｘ２ ａｘ ａ２ 的解集为 ｘ ｘ
Ａ． ＜０ Ｂ． ＞０ Ｃ． ＜０ Ｄ． ＞０ ∵ －２ －８ ＜０ （ １， ２），
１． 答案 Ｃ ｘ ａ ｘ ａ．
∴ １＝－２ ， ２＝４
２．（２０１９天津文，１０，５分）设ｘ Ｒ 使不等式 ｘ２ ｘ 成立的 ｘ ｘ ａ ａ
∈ ， ３ ＋ －２＜０ ∵ ２－ １＝１５，∴４ －（－２ ）＝１５，
ｘ的取值范围为 ．
解得ａ ５ 故选 ．
( ) ＝ ， Ａ
２． 答案 ２ ２
－１， ４．（２０１５江苏，７，５分）不等式 ｘ２－ ｘ 的解集为 ．
３ ２ ＜４
答案 ｘ ｘ
以下为教师用书专用（１—７） ｛ ｜－１＜ ＜２｝
解析 不等式 ｘ２－ ｘ 可转化为 ｘ２－ ｘ ２ 利用指数函数ｙ ｘ
{ｘ ｘ ２ ＜４ ２ ＜２ ， ＝２
１．（２０１４大纲全国文，３，５分）不等式组 （ ＋２）＞０，的解集为 的性质可得 ｘ２ ｘ 解得 ｘ 故所求解集为
ｘ ， － ＜ ２， － １＜ ＜ ２，
｜ ｜＜１ ｘ ｘ ．
｛ ｜－１＜ ＜２｝
（ ） ５．（２０１５广东，１１，５分）不等式 ｘ２ ｘ 的解集为 ．
ｘ ｘ ｘ ｘ － －３ ＋４＞０
Ａ．｛ ｜－２＜ ＜－１｝ Ｂ．｛ ｜－１＜ ＜０｝ 用区间表示
ｘ ｘ ｘ ｘ （ ）
Ｃ．｛ ｜０＜ ＜１｝ Ｄ．｛ ｜ ＞１｝ 答案
答案 Ｃ 由ｘ ｘ 得ｘ 或ｘ （－４，１）
（ ＋２）＞０ ＞０ ＜－２； 解析 不等式 ｘ２ ｘ 等价于ｘ２ ｘ 解得 ｘ ．
由 ｘ 得 ｘ － －３ ＋４＞０ ＋３ －４＜０， －４＜ ＜１
｜ ｜＜１ －１＜ ＜１， ６．（２０１４湖南文，１３，５分）若关于ｘ的不等式 ａｘ 的解集
所以不等式组的解集为 ｘ ｘ ｜ －２｜＜３
｛ ｜０＜ ＜１｝， { }
故选 ． 为 ｘ ５ ｘ １ 则ａ ．
Ｃ － ＜ ＜ ， ＝
２．（２０１４浙江文，７，５ 分）已知函数 ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
＋
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
，
且
０＜ 答案
３ ３
ｆ ｆ ｆ 则
－３
（－１）＝ （－２）＝ （－３）≤３， （ ） 解析 依题意 知ａ ． ａｘ ａｘ ａｘ
ｃ ｃ ， ≠０ ｜ ( －２｜＜３⇔ ) －３＜ －２＜３⇔－１＜ ＜５，
Ａ． ≤３ Ｂ．３＜ ≤６
ｃ ｃ 当ａ ＞０ 时 ， 不等式的解集为 － ａ １ ， ５ ａ ，
Ｃ．６＜ ≤９ Ｄ． ＞９
答案 Ｃ 由 ｆ ｆ ｆ 得
０＜（－１）＝ （－２）＝ （－３）≤３， ì ï５ １
ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ ïａ ＝ ，
０＜－１＋ － ＋ ＝－８＋４ －２ ＋ ＝－２７＋９ －３ ＋ ≤３， 从而有í ３ 此方程组无解．
由 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 得 ａ ｂ
－１＋ － ＋ ＝－８＋４ －２ ＋ ， ３ － －７＝０①， ï ï １ ５
由 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 得 ａ ｂ î－ ａ ＝－ ，
－１＋ － ＋ ＝－２７＋９ －３ ＋ ， ４ － －１３＝０②， ３
由 解得ａ ｂ ( )
①②， ＝６， ＝１１， 当ａ 时 不等式的解集为 ５ １
ｃ 即 ｃ 故选 ． ＜０ ， ａ ，－ ａ ，
∴０＜ －６≤３， ６＜ ≤９， Ｃ
３．（２０１３重庆，７，５分）关于ｘ的不等式ｘ２
－２
ａｘ
－８
ａ２
＜０（
ａ
＞０）
的 ì
ï５ ５
解集为 ｘ ｘ 且ｘ ｘ 则ａ ïａ ＝－ ，
（ １， ２）， ２－ １＝１５， ＝ （ ） 从而有í
ï
３ 解得ａ
＝－３
．
５ ７ １５ １５ ï １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． î－ ａ ＝ ，
２ ２ ４ ２ ３
ｘ ２）
答
，∴
案
ｘ １，
Ａ
ｘ ２ 是
解
方
法
程
一
ｘ
：
{ ２
∵
－ ｘ ２
不
ａ ｘ ｘ
等
－８
式
ａ ａ ２
ｘ
＝
２
０
－
的
２ ａ
两
ｘ －
根
８ ａ
．
２ ＜０ 的解集为 （ ｘ １， ７．（２
解 答
０１
析
３
案
广 东
ｘ ｛ ２ ｘ
理
｜ ｘ －
，
２
９
＜
，５
ｘ ＜
分
ｘ １｝
）不等
ｘ
式ｘ２ ＋ ｘ －
解
２＜
得
０ 的解
ｘ
集为
故 不 等 式
．
的
由根与系数的关系知 １＋ ２＝２ ，
解集是 ｘ
＋ －
ｘ
２＝（
．
＋２）（ －１）＜０， －２＜ ＜１，
ｘ ｘ ａ２ ｛ ｜－２＜ ＜１｝
１ ２＝－８ ，
ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ａ ２ ａ２
∴ ２－ １＝ （ １＋ ２） －４ １ ２ ＝ （２ ） －４（－８ ）＝１５，
又 ａ ａ ５ 故选 ．
∵ ＞０，∴ ＝ ， Ａ
２
学生用书Ｐ１１３
1 续表
考点 不等式的概念和性质
性质 性质内容 注意
１．不等式的基本性质
可加性 ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ 可逆
＞ ⇔ ＋ ＞ ＋
性质 性质内容 注意
可乘性 ａ ｂ ｃ ａｃ ｂｃ ａ ｂ ｃ ａｃ ｂｃ ｃ的符号
＞ ， ＞０⇒ ＞ ； ＞ ， ＜０⇒② ＜
对称性 ａ ｂ ｂ ａ ａ ｂ ｂ ａ 可逆
＞ ⇔ ＜ ； ＜ ⇔ ＞
移项法则 ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ 可逆
＋ ＞ ⇔ ＞ －
传递性 ａ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ 同向
＞ ， ＞ ⇒ ＞ ； ＜ ， ＜ ⇒① ＜
第七章 不等式 ３ １３
续表 在不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 中 若二次项系数ａ 则可先
＋ ＋ ＞０（ ≠０） ， ＜０，
根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解．
性质 性质内容 注意 ， ，
>4
同向可加性 ａ ＞ ｂ ， ｃ ＞ ｄ ⇒③ ａ ＋ ｃ ＞ ｂ ＋ ｄ 同向 （ １ ）一元二次不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＞０ 对任意实数ｘ恒成立
{ａ ，
同向同正可乘性 ａ ｂ ｃ ｄ ａｃ ｂｄ 同向 同正 ＞０
＞ ＞０， ＞ ＞０⇒④ ＞ ， ⇔ ｂ２ ａｃ ．
－４ ＜０
可乘方性 ａ ｂ ｎ Ｎ∗ ａｎ ｂｎ 同正 （ ２ ）一元二次不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＜０ 对任意实数 ｘ 恒成立
＞ ＞０， ∈ ⇒ ＞ {ａ ，
＜０
可开方性 ａ ｂ ｎａ ｎｂ ｎ Ｎ ｎ 同正 ⇔ ｂ２ ａｃ ．
＞ ＞０⇒ ＞ （ ∈ ， ≥２） －４ ＜０
２．不等式的倒数和分数性质
倒数性质 ａ ｂ ａｂ １ １ ａ ｂ １ １ ａ ｂ
（１） ： ＞ ， ＞０⇒ ａ ＜ ｂ ； ＜０＜ ⇒ ａ ＜ ｂ ； ＞ ＞０，
ａ ｂ
ｄ ｃ ．
＞ ＞０⇒ ｃ ＞ ｄ
分数性质 若ａ ｂ ｍ 则
（２） ： ＞ ＞０， ＞０，
ｂ ｂ ｍ ｂ ｂ ｍ
真分数性质 ＋ － ｂ ｍ
： ａ ＜ａ ｍ； ａ ＞ａ ｍ（ － ＞０）；
＋ －
ａ ａ ｍ ａ ａ ｍ
假分数性质 ＋ － ｂ ｍ ．
： ｂ ＞ｂ ｍ； ｂ ＜ｂ ｍ（ － ＞０）
＋ －
2
考点 不等式的解法
１．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ Δ Δ
Δ ｂ２ ａｃ ＞０ ＝０ ＜０
＝ －４
二次函数 ｙ
＝
ａｘ２ ｂｘ ｃ（ａ ）
＋ ＋ ＞０
的图象
一元二次方程 有两个相异实 有两个相等实
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０
（ａ 根ｘ
１，
ｘ
２（
ｘ
１＜ 根ｘ ｘ
ｂ 没有实根
）的根 ｘ １＝ ２＝－ ａ
＞０ ２） ２
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＞０
（ａ
＞ ⑤
｛ｘ
｜
ｘ
＜
ｘ
１
或 {
ｘ ｘ
ｂ }
Ｒ
）的解集 ｘ ｘ ｝ ≠－ ａ
０ ＞ ２ ２
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＜０
（ａ
＞ ⑥
｛ｘ
｜
ｘ
１＜
ｘ
＜
）的解集 ｘ ｝ ⌀ ⌀
０ ２
２．分式不等式的解法
ｆ ｘ
（ ） ｆ ｘ ｇ ｘ
（１）ｇ ｘ ＞０（＜０）⇔（ ）· （ ）＞０（＜０）；
（ ）
ｆ ｘ {ｆ ｘ ｇ ｘ
（ ） （ ）· （ ）≥０（≤０），
（２）ｇ ｘ ≥０（≤０）⇔ ｇ ｘ ．
（ ） （ ）≠０
学生用书Ｐ１１４
求解不等式恒成立问题的常用方法 的范围 就看成有关谁的函数 利用函数单调性求解．
， ，
方法 不等式解集法 方法 数形结合法
１ ４
不等式ｆ ｘ 在集合Ａ中恒成立等价于集合Ａ是不等式 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴 区间端点
（ ）≥０ 、
ｆ ｘ 的解集Ｂ的子集 通过求不等式的解集 并研究集合间 的函数值或函数图象的位置 相对于ｘ轴 关系求解．
（ ）≥０ ， ， （ ）
的关系可以求出参数的取值范围． 此外 若涉及的不等式能转化为一元二次不等式 可结合相
， ，
方法 分离参数法 应一元二次方程根的分布解决问题．
２ 例 已知ｘ 不等式 ｘ ｍ ｘ ｍ 恒成立
若不等式ｆ ｘ λ ｘ Ｄ λ为实参数 恒成立 将ｆ ｘ λ ∈（０，＋∞）， ９ － ·３ ＋ ＋１＞０ ，
（ ， ）≥０（ ∈ ， ） ， （ ， ） 则ｍ的取值范围是
转化为λ ｇ ｘ 或λ ｇ ｘ ｘ Ｄ 恒成立 进而转化为λ （ ）
≥０ ≥ （ ） ≤ （ ）（ ∈ ） ， ≥
ｇ （ ｘ ）ｍａｘ 或λ ≤ ｇ （ ｘ ）ｍｉｎ， 求ｇ （ ｘ ）（ ｘ ∈ Ｄ ） 的最值即可． Ａ．２－２ ２＜ ｍ ＜２＋２ ２ Ｂ． ｍ ＜２
该方法适用于参数与变量能分离 函数最值易求的题目． ｍ ｍ
， Ｃ． ＜２＋２ ２ Ｄ． ≥２＋２ ２
方法 主参换位法 解题思路
３
变换思维角度 即把变元与参数变换位置 构造以参数为变 思路一 观察不等式 有 ｘ 及 ｘ 可考虑变量代换 得出新的
， ， ： ， ３ ９ ，
量的函数 根据原变量的取值范围列式求解．一般地 条件给出谁 一元二次不等式恒成立 对应二次函数在相应区间上的图象恒
， ， ，
３ １４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
在横轴的上方 结合二次函数的图象 列出满足条件的不等式 答案 Ｃ
， ，
组 求得ｍ的取值范围．
（ ）， １－１ 关于ｘ的不等式 ａ ｘ２ ａ ｘ 的解集为
思路二 恒成立问题可以考虑分离参数 构造函数 转化为 （ －２） ＋２（ －２） －４≥０
： ， ， 则实数ａ的取值范围是
ｍ ｆ ｘ 在ｘ 上恒成立 进而转化为求ｍ ｆ ｘ 求 ⌀， （ ）
＜（ ） ∈（０，＋∞） ， ＜ （ ）ｍｉｎ，
ｆ ｘ 的最值即可． Ａ．（－２，２］ Ｂ．（－２，２） Ｃ．［－２，２） Ｄ．［－２，２］
（ ） １－１． 答案 Ａ
解析 解法一 令ｔ ｘ ｔ 则由已知得 函数ｆ ｔ ｔ２
： ＝３（ ＞１）， ， （ ）＝ １－２ 已知ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且在 上是增函
ｍｔ ｍ 在ｔ 上的图象恒在ｘ轴的上方 （ ） （－ ）＝－ （ ）， ［－１，１］
－ ＋ ＋１ ∈（１，＋∞） ， 数 且ｆ 若函数ｆ ｘ ｔ２ ａｔ 对所有的ｘ
则对于方程 ｆ ｔ 有 Δ ｍ ２ ｍ 或 ， （－１）＝ －１， （ ）≤ －２ ＋１ ∈［－１，
（ ）＝ ０ ＝ （－ ） －４（ ＋１） ＜０ ａ 都成立 则ｔ的取值范围是
ìΔ １］， ∈［－１，１］ ， （ ）
ï ≥０，
ïｍ １ ｔ １ ｔ 或ｔ 或ｔ
í 解得ｍ ． Ａ．－ ≤≤ Ｂ． ≥２ ≤－２ ＝０
ï ≤１， ＜２＋２ ２ ２ ２
ï２
îｆ ｍ ｍ ｔ １ 或ｔ １ 或ｔ ｔ
（１）＝１－ ＋ ＋１≥０， Ｃ． ≥ ≤－ ＝０ Ｄ．－２≤≤２
ｘ ｘ ２ ２
解法二 由 ｘ ｍ ｘ ｍ 得ｍ ９ ＋１ 令ｆ ｘ ９ ＋１ １－２． 答案 Ｂ
： ９ － ·３ ＋ ＋１＞０ ＜ ｘ ， （ ）＝ ｘ ，
３ －１ ３ －１ １－３ （２０１９广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第一次联考）已
因为ｘ 所以 ｘ ｘ
∈（０，＋∞）， ３ ＞１，３ －１＞０， 知函数ｆ ｘ ｍ ｘ ｍ ｘ ｍ ｇ ｘ ｘ 若对任意ｘ Ｒ
ｘ （ ）＝（ ＋３）（ ＋ ＋１）（ ＋ ）， （ ）＝２ －２， ∈ ，
所以ｆ ｘ ９ ＋１ ｘ ２ 当且仅当 ｘ 有ｆ ｘ 或ｇ ｘ 成立 则实数ｍ的取值范围是 ．
（ ）＝ ｘ ＝３ －１＋ ｘ ＋２≥２ ２＋２（ ３ ＝１＋ （ ）＞０ （ ）＞０ ，
３ －１ ３ －１ １－３． 答案
（－３，－２）
时取 所以ｍ ．
２ “＝”）， ＜２＋２ ２
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１１４
ａ ｂ
不等式的概念和性质 若 １ １ 则ａ３ ｂ３ 若｜ ｜ ｜ ｜ 则 ａ ｂ
Ａ． ａ ＜ ｂ ， ＞ Ｂ． ａ２ ＞ ｂ２ ， ２ ＜２
１．（２０１９福建厦门一模，４）已知ａ ｂ ｘ ａ ｂ ｂ ｙ ｂ ａ ａ ｚ ｂ 若 ａ２ ｂ２ 则 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 若 ａ ｂ 则ａ ｂ
＞ ＞０， ＝ ＋ ｅ ， ＝ ＋ ｅ ， ＝ ＋ Ｃ． ｌｎ ＞ｌｎ ， ２ ＞２ Ｄ． ｔａｎ ＞ｔａｎ ， ＞
ａ ｂ 则 １． 答案 Ｃ
ｅ ， （ ）
ｘ ｚ ｙ ｚ ｘ ｙ ｚ ｙ ｘ ｙ ｚ ｘ ２．（２０２０山东全真模拟，５）若不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集是
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ＋ ＋ ＞０ （－４，
１． 答案 Ａ 则不等式ｂ ｘ２ ａ ｘ ｃ 的解集为
１）， （ －１）＋ （ ＋３）＋ ＞０ （ ）
２．（２０２１上海杨浦一模，１３）设ａ ｂ ｃ 则下列不等式恒成 ( ) ( )
＞ ＞０， ≠０， ４ ４
立的是 Ａ． － ，１ Ｂ．（－∞，１）∪ ，＋∞
（ ） ３ ３
ｃ ｃ
１ １ ａｃ２ ｂｃ２ ａｃ ｂｃ Ｃ．（－１，４） Ｄ．（－∞，－２）∪（１，＋∞）
Ａ． ａ ＞ ｂ Ｂ． ＞ Ｃ． ＞ Ｄ． ａ ＜ ｂ ２． 答案 Ａ
２． 答案 Ｂ
３．（２０２１河北石家庄一模，４） ａ 是 ａ ２ 的
３．（多选题）（２０２０海南三模，９）设ａ ｂ ｃ为实数且ａ ｂ 则下列 “ ＞２” “ ＋ ａ ＞３” （ ）
， ， ＞ ，
不等式一定成立的是 充要条件 必要不充分条件
（ ） Ａ． Ｂ．
充分不必要条件 既不充分也不必要条件
１ １ ａ － ｂ Ｃ． Ｄ．
Ａ． ａ ＞ ｂ Ｂ．２０２０ ＞１ ３． 答案 Ｃ
ａ ｂ ａ ｃ２ ｂ ｃ２ ４．（多选题）（２０２１山东枣庄二模，９）已知ａ ｂ ａ ｂ２ 则
Ｃ．ｌｎ ＞ｌｎ Ｄ． （ ＋１）＞ （ ＋１） ＞０， ＞０， ＋ ＝１， （ ）
３． 答案 ＢＤ ａ
ａ ｂ ５ ａ ｂ ａ ｂ １ ３
Ａ． ＋ ＜ Ｂ． － ＞－１ Ｃ． · ≤ Ｄ．ｂ ≥－
４ ２ －２ ３
不等式的解法 ４． 答案 ＢＣＤ
１．（２０２１湖北４月调研，５）下列对不等关系的判断 正确的是
， （ ）
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１１５ ２０分钟 ３５分
一、单项选择题（每小题５分，共２５分） ｆ ｘ 且对任意 ｘ ｘ 均有 ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 成立
＝ （２－ ）， １≤ １＜ ２ （ １－ ２）·［（ １）－（ ２）］＜０ ，
１．（２０２０广东佛山质检一，２）已知ｘ ｙ Ｒ 且ｘ ｙ 则 则满足ｆ ｘ ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是
， ∈ ， ＞ ＞０， （ ） （２ －１）－（３－ ）≥０ （ ）
ｘ ｙ ｘ ｙ [ ) [ )
Ａ．ｃｏｓ －ｃｏｓ ＞０ Ｂ．ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＞０ ２ ４
ｘ ｙ ｘ ｙ Ａ．（－∞，－２）∪ ，＋∞ Ｂ．（－∞，０）∪ ，＋∞
Ｃ．ｌｎ －ｌｎ ＞０ Ｄ．ｌｎ ＋ｌｎ ＞０ ３ ３
１． 答案 Ｃ [ ] [ ]
２ ４
２．（２０２１广东揭阳４月联考，８）已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 满足ｆ ｘ Ｃ． －２， Ｄ． ０，
（ ） ， （ ） ３ ３
２． 答案 Ｄ
第七章 不等式 ３ １５
３．（２０２０重庆巴蜀中学月考，７）已知实数ａ ｂ 则下列不等关 存在唯一有序数组 ａ ｂ ｃ 使得ｘ ｘ
＞ ＞０， Ｂ． （ ， ， ）， ２－ １＝１
系中错误的是 有且只有两组有序数组 ａ ｂ ｃ 使得ｘ ｘ
（ ） Ｃ． （ ， ， ）， ２－ １＝１
ｂ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 存在无穷多组有序数组 ａ ｂ ｃ 使得ｘ ｘ
＋４ ＋ ｌｇ ＋ｌｇ Ｄ． （ ， ， ）， ２－ １＝１
Ａ． ａ ＜ａ Ｂ．ｌｇ ＞ ５． 答案 Ｄ
＋４ ２ ２
ａ １ ｂ １ ａ ｂ ａ ｂ 二、多项选择题（共５分）
Ｃ． ＋ ｂ ＞ ＋ ａ Ｄ． － ＞ －
６．（２０２１山东烟台一模，９）若 ａ ｂ ｃ 则
３． 答案 Ｄ ０＜ ＜ ＜１， ＞１， （ ）
ｃａ ｃｂ ｂａｃ ａｂｃ
４．（２０２０山东泰安一中月考，６）设ｍ为实数 若函数ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ Ａ． ＜ Ｂ． ＜
， [ （ ｍ ）＝ ] － ＋２ ｂ － ａ ｂ ｃ ｃ
在区间 上是减函数 对任意的ｘ ｘ 总有 Ｃ．ｃ ａ＜ ｃ Ｄ．ｌｏｇａ ＜ｌｏｇｂ
（－∞，２） ， １， ２∈ １， ＋１ ， －
２ ６． 答案 ＡＢＣ
ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｍ的取值范围为
｜ （ １）－（ ２）｜≤４， （ ）
三、填空题（共５分）
Ａ．［４，６］ Ｂ．（４，６） Ｃ．（４，６］ Ｄ．［４，６）
４． 答案 Ａ ７．（２０２０江苏扬州江都大桥高级中学月考，１５）已知 ｘ ｘ ａ
１＋２ ＋４ ·
５．（２０２１浙江绍兴一模，１０）已知ａ ｂ ｃ Ｒ 若关于ｘ的不等式 对一切 ｘ 恒成立 则实数 ａ 的取值范围是
， ， ∈ ， ０ ＞０ ∈（－∞，１］ ，
ａ ｃ ．
ｘ ｂ 的解集为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 则
≤ ＋ ｘ ＋ ≤ ｘ －１ ［ １， ２］∪｛ ３｝（ ３＞ ２＞ １＞０）， ( )
７． 答案 ３
－ ，＋∞
（ ） ４
不存在有序数组 ａ ｂ ｃ 使得ｘ ｘ
Ａ． （ ， ， ）， ２－ １＝１
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
Ａ．（－４，０）∪（４，＋∞） Ｂ．（－６，－２）∪（０，２）
１．（２０２１北京房山一模，３）已知ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ 则下列各式中
， ∈ ， ＞ ， Ｃ．（－６，－２）∪（２，＋∞） Ｄ．（－∞，－４）∪（０，４）
一定成立的是 答案 Ｂ 因为函数ｆ ｘ 为奇函
（ ） （ ）
数 所以ｆ ｆ 所以ｆ
１ １ ａ３ ｂ３ ， （－４）＝－（４）＝０， （４）
Ａ． ａ ＜ ｂ Ｂ． ＞ 因为函数ｆ ｘ 在 上是
＝０， （ ） （－∞，０）
ａｂ ｂ２ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 减函数 所以函数ｆ ｘ 在 上
Ｃ． ＞ Ｄ．２ ＞２ ， （ ） （０，＋∞）
答案 Ｂ 本题考查函数的单调性与不等式的性质． 是减函数 故作出函数ｆ ｘ 的大致
， （ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ
对于 当ａ ｂ时 １ １ 故 不一定成立 对于 ａ ｂ 则 图象如图所示 （ ＋２）－（－ －２）
Ａ， ＞０＞ ， ａ ＞ ｂ ， Ａ ； Ｂ， ＞ ， ， ｘ ＞０
ａ３ ｂ３ 故 一定成立 对于 当ａ ｂ时 ａｂ ｂ２ 故 不一 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ {ｘ
＞ ， Ｂ ； Ｃ， ＞０＞ ， ＜０＜ ， Ｃ 等价于 （ ＋２）－［－（ ＋２）］ 得２（ ＋２） 则 ＜０， 或
定成立 对于 当 ａ ｂ时 ａ ｂ 则 ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ 故 不一 ｘ ＞０， ｘ ＞０， ｆ ｘ
； Ｄ， ０＞ ＞ ，｜ ｜＜｜ ｜， ２ ＜２ ， Ｄ （ ＋２）＜０
定成立．故选 {ｘ {ｘ {ｘ
Ｂ． ＞０， 则 ＜０， 或 ＞０， 解得 ｘ 或 ｘ ．
２．（２０２１北京通州一模，７）已知ａ ｂ ｃ Ｒ 则 ａ ｂ 的一个充分 ｆ ｘ ｘ ｘ －６＜ ＜－２ ０＜ ＜２
， ， ∈ ， “ ＞ ” （ ＋２）＞０， －４＜ ＋２＜０ ０＜ ＋２＜４，
而不必要条件是 ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） 故（ ＋２）－（－ －２） 的解集是 ．
ａ２ ｂ２ ａ３ ｂ３ ａ ｂ ａｃ２ ｂｃ２ ｘ ＞０ （－６，－２）∪（０，２）
Ａ． ＞ Ｂ． ＞ Ｃ．２ ＞２ Ｄ． ＞
答案 Ｄ 对于 ａ ｂ与ａ２ ｂ２ 互相推不出 故 ａ２ ｂ２ 是 ６．（２０２１河南名校联盟期末，３）对任意实数 ａ ｂ ｃ 在以下命题
Ａ： ＞ ＞ ， “ ＞ ” ， ， ，
ａ ｂ 的既不充分也不必要条件．对于 ａ３ ｂ３ ａ ｂ 故 ａ３ 中 正确的个数为
“ ＞ ” Ｂ： ＞ ⇔ ＞ ， “ ＞ ， （ ）
ｂ３
”
是
“
ａ
＞
ｂ
”
的充要条件．对于
Ｃ：
ａ
＞
ｂ
⇔２
ａ
＞２
ｂ
，
故
“２
ａ
＞２
ｂ
”
是
“
ａ
①
若ａｃ２
＜
ｂｃ２
，
则ａ
＜
ｂ
；
ｂ 的充要条件．对于 若ａｃ２ ｂｃ２ 得ｃ ａ ｂ 反之不成立 ａ
＞ ” Ｄ： ＞ ， ≠０， ＞ ， ， 若ａ ｂ 则
即 ａｃ２ ｂｃ２ 是 ａ ｂ 的充分不必要条件 故选 ② ＞ ， ｂ ＞１；
“ ＞ ” “ ＞ ” ， Ｄ．
３．（２０２１天津河东一模，２）命题ｐ ｘ ｙ 命题ｑ ｘ２ ｙ２ 则命
：｜ ｜＞｜ ｜， ： ＞ ， 若 １ １ 则ａ ｂ
题ｐ是命题ｑ的 ③ ａ２＞ｂ２， ＜｜ ｜；
（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 若ａ ｂ 则 ａ ｂ ．
Ａ． Ｂ． ④ ＞１＞ ＞０， ｌｏｇａ（ － ）＞０
充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．０
答案 Ｃ
｜
ｘ
｜＞｜
ｙ
｜⇔
ｘ２
＞
ｙ２．故选
Ｃ
． 答案 Ｂ 对于
①，
ｃ２
＞０，
根据不等式性质得ａ
＜
ｂ
，
正确
；
４．（２０２１安徽黄山期末，７）已知Ｐ ａ２ ａ Ｑ ｂ２ ｂ 则 对于 ｂ 不成立 错误
＝ ＋４ ＋１， ＝－ ＋２ －４， ②， ＝０ ， ；
（ ）
对于
③，０＜
ａ２
＜
ｂ２
，
即
｜
ａ
｜＜｜
ｂ
｜，
ａ
≤｜
ａ
｜，
则ａ
＜｜
ｂ
｜，
正确
；
Ｐ Ｑ Ｐ Ｑ Ｐ Ｑ Ｐ Ｑ 对于 取ａ ． ｂ ． 则 ． ． ． 错误．
Ａ．
答
＞
案 Ｃ Ｐ －
Ｂ
Ｑ
．
＝
＜
ａ２ ＋ ｂ２ ＋４ ａ －
Ｃ
２ ｂ
．
＋
≥
５＝（ ａ ＋２） ２ ＋
Ｄ
（
．
ｂ －
≤
１） ２ ， 所以Ｐ 选 Ｂ ．
④， ＝１１， ＝０９， ｌｏｇ１ ． １（１１－０９）＝ｌｏｇ１ ． １０２＜０，
－ Ｑ ≥０， 当且仅当ａ ＝－２， ｂ ＝１ 时取等号 ， 所以选 Ｃ ． ７．（２０２１浙江嘉兴高三上期末，３）已知ｘ ， ｙ ∈ Ｒ ， 则 “｜ ｘ ｜＋｜ ｙ ｜＞０”
解题思路 作差法比较大小，完全平方式大于或等于 ． 是 ｘ 的
０ “ ＞０” （ ）
５．（２０２１河南百校联盟质量监测，１２）若ｆ ｘ 是奇函数 且在 ．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件
（ ） ， （－∞，０） Ａ Ｂ
ｆ ｘ ｆ ｘ ．充要条件 ．既不充分也不必要条件
上是减函数 又ｆ 则（ ＋２）－（－ －２） 的解集是 Ｃ Ｄ
， （－４）＝０， ｘ ＞０ （ ）
３ １６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
答案 Ｂ 当ｘ 时 满足 ｘ ｙ 但不满足ｘ 所 １１．（２０２１届山东青岛期初调研检测，１１）若ａ ｂ ａ ｂ 则
＝－１ ， ｜ ｜＋｜ ｜＞０， ＞０， ＞０， ＞０， ＋ ＝２，
以由 ｘ ｙ 推不出ｘ ． 下列不等式正确的有
｜ ｜＋｜ ｜＞０ ＞０ （ ）
由ｘ 可以推出 ｘ ｙ ． ａｂ ａ ｂ
＞０ ｜ ｜＋｜ ｜＞０ Ａ． ≤１ Ｂ． ＋ ≤ ２
所以 ｘ ｙ 是 ｘ 的必要而不充分条件 故选 ．
“｜ ｜＋｜ ｜＞０” “ ＞０” ， Ｂ ａ２ ｂ２ １ １
Ｃ． ＋ ≥２ Ｄ． ａ ＋ ｂ ≥２
８．（２０２１浙江嘉兴二模，８）若正实数ａ ｂ满足 ａ １ ｂ
， ｌｏｇ２ －ａ
＋１
＝２ｌｏｇ４
答案 ＡＣＤ 由基本不等式可得ａｂ
(ａ
＋
ｂ)
２ 所以
≤ ＝１， Ａ
１ 则 ２
－ ｂ ， （ ） 正确
２ ＋１ ；
．ａ ｂ ．ａ ｂ
Ａ ＞２ Ｂ ＜２ 当ａ ｂ 时 ａ ｂ 所以 错误
．ｂ ａ ．以上均不正确 ＝ ＝１ ， ＋ ＝２＞ ２， Ｂ ；
Ｃ ＞２ Ｄ ａ２ ｂ２ ａｂ 所以 ａ２ ｂ２ ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ ２ 即ａ２
＋ ≥２ ， ２（ ＋ ）≥ ＋ ＋２ ＝（ ＋ ） ＝４， ＋
答案 Ｂ 由题可知 ａ １ ｂ １ ｂ １ ｂ２ 所以 正确
：ｌｏｇ２ －ａ
＋１
＝２ｌｏｇ４ －
２
ｂ
＋１
＝ｌｏｇ２ －
２
ｂ
＋１
≥２， Ｃ
(ａ ｂ)
；
２
因为 ａｂ ＋
ｂ １ ．因为 ｆ ｘ ｘ １ 在 上单调递 ０＜ ≤ ＝１，
＜ｌｏｇ２（２ ）－ ｂ （ ）＝ｌｏｇ２ －ｘ （０，＋∞） ２
２ ＋１ ＋１ ａ ｂ
增 所以ａ ｂ 故选 ． 所以 １ ２ ＋
， ＜２ ， Ｂ ａｂ≥１，ａｂ≥２，ａｂ ≥２，
思维拓展 同理可得 ａ １ ｂ １ ｂ １
ｌｏｇ２ －ａ ＝２ｌｏｇ４ － ｂ ＝ｌｏｇ２ － ｂ 即 １ １ 所以 正确．故选 ．
＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ ａ ＋ ｂ ≥２， Ｄ ＡＣＤ
ｂ １ ，所以ａ ｂ． １２．（２０２０山东德州期中，１１）对于实数ａ ｂ ｃ 下列命题中正确的
＞ｌｏｇ２ －ｂ ＞ ， ， ，
＋１ 是
（ ）
二、多项选择题 若ａ ｂ 则ａｃ ｂｃ 若ａ ｂ 则ａ２ ａｂ ｂ２
Ａ． ＞ ， ＜ Ｂ． ＜ ＜０， ＞ ＞
９．（２０２１届江苏如皋中学９月阶段检测，１０）给出四个选项 能推 ａ ｂ
， 若ｃ ａ ｂ 则 若ａ ｂ １ １ 则ａ ｂ
Ｃ． ＞ ＞ ＞０， ｃ ａ＞ｃ ｂ Ｄ． ＞ ， ａ ＞ ｂ ， ＞０， ＜０
出 １ １ 的是 － －
ａ ＜ ｂ （ ） 答案 ＢＣＤ 对于 当ｃ 时 由ａ ｂ 可得ａｃ ｂｃ 故
Ａ， ＞０ ， ＞ ， ＞ ， Ａ
ｂ ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 不正确
Ａ． ＞０＞ Ｂ．０＞ ＞ Ｃ． ＞０＞ Ｄ． ＞ ＞０ ；
答案 ＡＢＤ 由 １ １ 可得 １ １
ｂ
－
ａ
．
对于
Ｂ，
ａ２
－
ａｂ
＝
ａ
（
ａ
－
ｂ
），∵
ａ
＜
ｂ
，∴
ａ
－
ｂ
＜０，
又ａ
＜０，∴
ａ
（
ａ
－
ｂ
）＞
ａ ＜ ｂ ， ａ － ｂ ＝ ａｂ ＜０ ａ２ ａｂ．ａｂ ｂ２ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 又ｂ ｂ ａ
０，∴ ＞ － ＝ （ － ），∵ ＜ ，∴ － ＜０， ＜０，∴ （ －
对于 选项 由ｂ ａ可得ａｂ 且ｂ ａ 可以得到
ｂ
－
ａ ｂ
）＞０，∴
ａｂ
－
ｂ２
＞０，∴
ａ２
＞
ａｂ
＞
ｂ２
，
故
Ｂ
正确
；
Ａ ， ＞０＞ ＜０， － ＞０， ａｂ ＜０，
对于 ｃ ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ 且 ｃ ｂ ｃ ａ １
因此 符合题意 Ｃ，∵ ＞ ＞ ＞０，∴ － ＞０， － ＞０， － ＞ － ，∴ ｃ ａ＞
Ａ ； －
对于 Ｂ 选项 ， 由 ０＞ ａ ＞ ｂ可得ａｂ ＞０， 且ｂ － ａ ＜０， 可以得到 ｂ ａ － ｂ ａ ＜０， ｃ １ ｂ， 又 ∵ ａ ＞ ｂ ＞０，∴ ｃ ａ ａ＞ｃ ｂ ｂ， 故 Ｃ 正确 ；
－ － －
因此 符合题意
Ｂ ； 对于 ａ ｂ ａ ｂ 又 １ １
ｂ ａ Ｄ，∵ ＞ ，∴ － ＞０， ∵ ａ － ｂ ＞０，
对于 选项 由ａ ｂ可得ａｂ 且ｂ ａ 可以得到 －
Ｃ ， ＞０＞ ＜０， － ＜０， ａｂ ＞０，
ｂ ａ
－ 又ｂ ａ ａｂ 即ａ ｂ异号
因此 不符合题意 ∴ ａｂ ＞０， － ＜０，∴ ＜０， ， ，
Ｃ ；
ｂ ａ 又 ａ ｂ ａ ｂ 故 正确 故选 ．
对于 选项 由ａ ｂ 可得ａｂ 且ｂ ａ 可以得到 － ∵ ＞ ，∴ ＞０， ＜０， Ｄ ， ＢＣＤ
Ｄ ， ＞ ＞０ ＞０， － ＜０， ａｂ ＜０，
三、填空题
因此 符合题意．
Ｄ １３．（２０２１北京房山一模，１４）设ａ ｂ 则使得命题 若 ａ
１０．（２０２１届广东深圳实验学校１１ 月月考，９）设ａ ｂ ｃ为实数 ＞０， ＞０， “ ｌｇ（ ＋
， ， ， ｂ 则 ａｂ 为假命题的一组ａ ｂ的值是 ．
且ａ ｂ 则下列不等式中正确的是 ）＞０， ｌｇ（ ）＞０” ，
＞ ＞０， （ ）
答案 ａ ｂ １ 答案不唯一
１ １ ａｃ２ ｂｃ２ ＝１， ＝ （ ）
Ａ． ａ ＜ ｂ Ｂ． ＞ ２
( )ａ ( )ｂ
解析 本题答案不唯一．当ａ ｂ １ 时 ａ ｂ ３
１ １ ａ２ ａｂ ＝１， ＝ ，ｌｇ（ ＋ ）＝ｌｇ ＞
Ｃ． ＜ Ｄ．ｌｇ ＞ｌｇ（ ） ２ ２
２ ２
答案 ＡＣＤ 对于 因为ａ ｂ 而 ａｂ １ 故ａ ｂ １ 满足题意．
Ａ， ＞ ＞０， ０， ｌｇ（ ）＝ｌｇ ＜０， ＝１， ＝
２ ２
所以 １ １ 所以 正确 １４．（２０２１河南部分重点高中联考，１５）已知定义在Ｒ上的奇函
ａ ＜ ｂ ， Ａ ；
对于
Ｂ，
当ｃ
＝０
时
，
ａｃ２
＞
ｂｃ２ 不成立
，
所以
Ｂ
错误
；
数ｆ
（
ｘ
）
满足当ｘ
≥０
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝－
ｘ
＋ｅ
－２ ｘ
－１，
则不等式ｆ
（２
ｘ２
－
( )ｘ ｘ ｆ ｘ２ ｘ 的解集为 ．
对于 因为ａ ｂ 函数ｙ １ 是Ｒ上的减函数 １０ ）＋（ －６ －１２）＜０
Ｃ， ＞ ＞０， ＝ ， ( )
２ 答案 ２
( )ａ ( )ｂ －∞，－ ∪（６，＋∞）
所以 １ １ 所以 正确 ３
＜ ， Ｃ ； 解析 易知函数ｆ ｘ 在 上为减函数 因为函数ｆ
２ ２ （ ） ［０，＋∞） ，
对于 因为ａ ｂ 所以ａ２ ａｂ ｘ 为奇函数 所以函数ｆ ｘ 在Ｒ上为减函数 不等式ｆ ｘ２
Ｄ， ＞ ＞０， ＞ ＞０， （ ） ， （ ） ， （２
因为ｙ ｘ是 上的增函数 ｘ ｆ ｘ２ ｘ 可化为ｆ ｘ２ ｘ ｆ ｘ２ ｘ
＝ｌｇ （０，＋∞） ， －１０ ）＋（ －６ －１２）＜０ （２ －１０ ）＜ （－ ＋６ ＋１２），
所以 ａ２ ａｂ 所以 正确 故选 ． 所以 ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ 即 ｘ２ ｘ 解得ｘ 或ｘ
ｌｇ ＞ｌｇ（ ）， Ｄ ， ＡＣＤ ２ －１０ ＞－ ＋６ ＋１２， ３ －１６ －１２＞０， ＞６ ＜
第七章 不等式 ３ １７
１６．（２０２１浙江温州中学期末，１７）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ 若对任
－ ２ ． （ ）＝ －３ ，
意的实数ｘ 不等式ｆ ｘ ｔ ｆ ｘ ｔ ｔ 恒成立 则实数ｔ的
３ ， （ ＋）＞（ ）＋（ ≠０） ，
１５．（２０２１ 浙江绍兴 ４ 月模拟， １２） 已知函数 ｆ ｘ 取值范围是 ．
（ ） ＝
{ ｘ ２ ｘ 答案
－（ ＋１） ＋７， ≤１，则ｆ 关于 ｘ 的不等式 ｆ （４，＋∞）
ｌｏｇ２ ｘ ＋３， ｘ ＞１， （０）＝ ； 解析 因为ｆ （ ｘ ）＝ ｘ３ －３ ｘ ， ｆ （ ｘ ＋ ｔ ）＞ ｆ （ ｘ ）＋ ｔ （ ｔ ≠０）， 即 （ ｘ ＋ ｔ ） ３
ｘ 的解集是 ． ｘ ｔ ｘ３ ｘ ｔ 即 ｔｘ２ ｔ２ｘ ｔ３ ｔ ｔ 恒成立
（ ）＞７ －３（ ＋）＞ －３ ＋， ３ ＋３ ＋ －４ ＞０（ ≠０） ，
答案
６；（１６，＋∞）
所以ｔ
＞０，
故
３
ｘ２
＋３
ｔｘ
＋
ｔ２
－４＞０
恒成立
，
所以Δ
＝９
ｔ２
－１２（
ｔ２
－４）＜
解析 ｆ ． 解得ｔ ．
（０）＝－１＋７＝６ ０， ＞４
{ｘ {ｘ
由 ≤１， 或 ＞１， 解得ｘ ．
ｘ ２ ｘ ＞１６
－（ ＋１） ＋７＞７ ｌｏｇ２ ＋３＞７，
学生用书Ｐ１１５
１．（２０２１ ５·３原创题）下列命题中真命题的个数为 所以在区间 上 ｆ ｘ ｆ ｍ．
（ ） ［－２，０］ ， （ ）ｍｉｎ＝ （０）＝２
① ｅ＞
２
３ ②ｌｎ π＜
３
２ ③ｌｎ３＜ ３
ｅ
④２ ０ ． １ ＞ｌｏｇ３２＞ｌｏｇ１ ３ｅ 因 所 为 以在 － ｍ 区 ｇ （ 间 ｘ ）
［
＝
－２
－
，
ｍ
０
２
］
ｘ 上 ＋２
，
ｍ
［
２
－
在 ｍｇ ［
（
－ ｘ ２
）
，
］
０
ｍ
］
ａｘ
上
＝
单
－
ｍ 调 ｇ
（
递
－
减
２）
，
＝４
ｍ２．
由题意可知 在区间 上 ｆ ｘ ｍｇ ｘ
１．
Ａ．０
答案 Ｄ
Ｂ．１ Ｃ．２
{ ｘ
Ｄ．３
ｘ
所以
２
ｍ
＞４
ｍ
，
２
，
［－２，０］ ， （ ）ｍｉｎ＞［
(
－ （
)
）］ｍａｘ，
２．（２０２１ ５·３ 原创题）已知函数 ｆ ｘ ｜ ｜－１， ≤１，则满足 又ｍ 故 ｍ １ 故ｍ的取值范围为 １ ．
（ ）＝ ｘ ｘ ＞０， ０＜ ＜ ， ０，
ｌｏｇ２ ＋２， ＞１， ２ ２
ｆ ｘ ｆ ｘ 的ｘ的取值范围为 由ｆ ｘ ｇ ｘ 与ｆ ｘ ｇ ｘ 同时成立
（ ）＋（ ＋１）＞１ （ ） （２） （ ０）＋ （ ０）＜０ （ ０）· （ ０）＞０ ，
ｘ 或ｘ ｘ 得ｆ ｘ 且ｇ ｘ ．
Ａ． ＜－２ ≥０ Ｂ． ＞－２ （ ０）＜０ （ ０）＜０
ｘ 或ｘ ｘ 若ｍ 则ｇ ｘ 不合题意 舍去．
Ｃ． ＜－２ ＞０ Ｄ．－２＜ ＜０ ① ＝０， （ ）＝０， ，
２． 答案 Ｃ 若ｍ 则由ｇ ｘ 可得ｘ ．
② ＜０， （ ）＜０ ＞２
３．（２０２１５·３原创题）若关于ｘ的不等式 ｍｘ２ ｘ ｍ 的解 原题可转化为在区间 上存在ｘ 使得ｆ ｘ
３ －２｜ ｜＋ ≥０ （２，＋∞） ０， （ ０）＜０，
集为Ｒ
，
则实数ｍ的取值范围是 ． 因为ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－２
ｍｘ
＋２
ｍ图象的对称轴为直线ｘ
＝
ｍ
（
ｍ
＜０），
é ö 所以ｆ ｘ 在 上单调递增
３． 答案 êê ３ ÷ （ ） （２，＋∞） ，
ë ，＋∞ø 所以ｆ 可得ｍ 不合题意．
３ （２）＜０， ＞２，
４．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ｘ ｋ － ｘ为奇函数 若关 若ｍ 则由ｇ ｘ 可得ｘ ．
（ ）＝２ ＋ ·２ ， ③ ＞０， （ ）＜０ ＜２
于ｘ的不等式ｆ ａｘ２－２ ｘ ｆ ａｘ －２ 只有一个整数解 则 原题可转化为在区间 上存在ｘ 使得ｆ ｘ ．
（４ －１）＋ （１－２ ）＜０ ， （－∞，２） ０， （ ０）＜０
实数ａ的取值范围为 ． 当ｍ 时 由ｆ 解得ｍ
≥２ ， （２）＜０， ＞２；
４． 答案 当 ｍ 时 由ｆ ｍ
［１，２） ０＜ ＜２ ， （ ）＜０，
５．（２０２１ ５·３原创题）设函数 ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ ｍ ｇ ｘ ｍｘ 解得ｍ 或ｍ 不合题意．
（ ）＝ －２ ＋２ ， （ ）＝ － ＞２ ＜０，
ｍ ｍ Ｒ． 综上 ｍ ．故ｍ的取值范围是 ．
２ ， ∈ ， ＞２ （２，＋∞）
当ｍ 时 对任意ｘ ｘ 恒有ｆ ｘ ｍｇ ｘ 解题思路 （ ）分析函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在区间［ ， ］上的
（１） ＞０ ， １， ２∈［－２，０］， （ １）＞－ （ ２）， １ －２ ０
求ｍ的取值范围 单调性，将恒成立问题转化为最值问题，进而求解实数ｍ的取
；
若存在ｘ Ｒ 使得ｆ ｘ ｇ ｘ 与ｆ ｘ ｇ ｘ 值范围．
（２） ０∈ ， （ ０）＋ （ ０）＜０ （ ０）· （ ０）＞０
同时成立 求ｍ的取值范围． （ ）问题转化为存在ｘ ，使得ｆ（ｘ ）和ｇ（ｘ ）同时小于 ，由ｇ
５． 解析 ｆ ， ｘ ｘ２ ｍｘ ｍ图象的对称轴为直线ｘ ｍ 因 （ ２ ） 和函数 ｇ（ｘ）的 ０ 单调性， ０ 将问题转 ０ 化为 ｆ（ｘ）的 ０ 零点
（１） （ ）＝ －２ ＋２ ＝ ， ２ ＝０
为ｍ 所以ｆ ｘ 在 上单调递减 问题．
＞０， （ ） ［－２，０］ ，
