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人教版初中数学七年级下册
第九章 不等式与不等式组 章节复习 教学设计
一、教学目标：
1.巩固运用不等式的性质; (重点)
2.会解简单的一元一次不等式(组)，并能在数轴上表示出解集;(重点)
3.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式(组)， 解决简单的实际问题. (难
点)
三、教学过程：
知识网络
知识梳理
一、不等式的相关概念
50 2 2
像 ＜ 和 x＞50这样用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式.
x 3 3
(1)像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
(2)不等式中可以含未知数，也可以不含未知数.例如：a+2＞5，4b＜6；3＜4，-1＞-2.
(3)“≥”读作“大于或等于”或“不小于”
“≤”读作“小于或等于”或“不大于”
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过
程叫做解不等式.
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
二、不等式的性质
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
a b
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc (或 ＞ ).
c c
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
a b
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc (或 ＜ ).
c c
三、一元一次不等式及其解法类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
★解一元一次不等式的基本要求：
1.解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为 x=a的形式；而解一元一次不等式，
则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式.
2.解一元一次不等式与解一元一次方程一样，都是通过“去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为1”几个步骤确定答案.
3.如果未知数的系数为负数，那么在系数化为1时，要改变不等号的方向.
4.在数轴上表示不等式的解集，大于向右画线，小于向左画线，界点有等号画实心圆点，无
等号画空心圆圈.
四、一元一次不等式的实际应用
应用一元一次不等式解实际问题的步骤：
五、一元一次不等式组及其解法
把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就
是求它的解集.一元一次不等式组的解集图析(a＞b)
六、一元一次不等式组的实际应用
应用一元一次不等式组解实际问题的步骤：
考点梳理考点解析
考点 1 ： 不等式的相关概念与性质
例1.下列式子中，一元一次不等式有（ ）
1 x
①3x-1≥4；② 2+3x＞6；③ 3- <5；④ ＞0；⑤ ；⑥ x+xy≥y2；⑦ x＞
x π
0.
A.5个 B.4个 C.6个 D.3个
例2.若m>n，则下列不等式一定成立的是（ ）
m+1 n+1
A.−2m+1>−2n+1 B. > C.m+a>n+b D.−am>−an
4 4
【分析】解：A.∵m>n，∴−2m<−2n，则−2m+1<−2n+1，故该选项不成立，不符合题意；
m+1 n+1
B.∵m>n，∴m+1>n+1，则 > ，故该选项成立，符合题意；
4 4
C.∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D.∵m>n，当a>0时，−am<−an；当a<0时，−am>−an；故该选项不成立，不符合题意；
【迁移应用】
【1-1】设 a＞b，用“＞”或“＜”填空，并说出根据哪条性质.
(1) a+4___b+4；________________ (2) a-1___b-1；________________
a b
(3) -3a___-3b； ________________ (4) ___ ； ________________
6 6
(5) 2a-5___2b-5； _____________________
(6) -3a+2___-3b+2；_____________________a b
(7) +1___ +1； _____________________
5 5
【1-2】若a>b，且(6−x)a<(6−x)b，则x的取值范围是_______．
【1-3】下列说法中错误的是( )
A．若a<b，则a−1<b−1 B．若−3a>−3b，则a<b
C．若a<b，则ac2<bc2 D．若ac2<bc2，则a<b
考点 2 ： 解一元一次不等式
例3.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)5x+1＞4x-1 (2)2(x+5)≤3(x-5) (3) (4)
解：(1)移项，得 5x-4x＞-1-15
合并同类项，得 x＞-16
解：(2)去括号，得 2x+10≤3x-15
移项，得 2x-3x≤-15-10
合并同类项，得 -x≤-25
系数化为1，得 x≥25
解：(3)去分母，得 3(x-1)＜7(2x+5)
去括号，得 3x-3＜14x+35
移项，得 3x-14x＜35+3
合并同类项，得 -11x＜38
38
系数化为1，得 x＞-
11解：(4)去分母，得 2(x+1)≥3(2x-5)+12
去括号，得 2x+2≥6x-15+12
移项，得 2x-6x≥-15+12-2
合并同类项，得 -4x≥-5
5
系数化为1，得 x≤
4
{2x+3 y=1+m
例4.若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+ y>1，求m的取值范围．
3x+2y=6
{2x+3 y=1+m①
解： ，
3x+2y=6②
16−2m
由②×3−①×2得：x= ，
5
3m−9
由①×3−②×2得：y= ，
5
∵x+ y>1，
16−2m 3m−9
∴ + >1，
5 5
解得m>−2．
【迁移应用】
x x−1
【2-1】在解不等式当 - ≤1时，去分母正确的是( )
3 2
A. 2x-3x-3≤6 B.2x-3(x-1)≤6 C.2x-3x-3≤1 D.2x-3(x-1)≤1
【2-2】关于x的不等式3x-a≤0， 只有两个正整数解，则a的取值范围是___________.
【2-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
x−2 3−2x
(1)2(3x−2)>x+1； (2) −1≥ ；
2 6
4 2
(3) x+3≥1− x； (4)3(x+1)<4(x−2)−3.
3 3
(1)解：去括号得：6x−4>x+1，
移项得：6x−x>1+4，合并同类项得：5x>5，
化系数为1得：x>1；
(2)解：去分母得：3(x−2)−6≥3−2x，
去括号得：3x−6−6≥3−2x，
移项得：3x+2x≥3+6+6，
合并同类项得：5x≥15，
化系数为1得：x≥3；
4 2
(3)解：移项得： x+ x≥1−3，
3 3
合并同类项得：2x≥−2，
化系数为1得：x≥−1；
(4)解：去括号得：3x+3<4x−8−3，
移项得：3x−4x<−8−3−3，
合并同类项得：−x<−14，
化系数为1得：x>14．
考点 3 ： 一元一次不等式的应用
例5.某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前
2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
解：设以后几天内平均每天修路xkm.依题意得
(10-2-2)x+1.2≥6
解得 x≥0.8
答：以后几天内平均每天至少要修路0.8km.
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场
累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过 50元后，超
出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠.因此，我
们需要分三种情况讨论：
(1)累计购物不超过50元；
(2)累计购物超过50元而不超过100元；
(3)累计购物超过100元.
解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样.
(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场优惠，不享受甲商场优惠，因
此到乙商场购物花费少.
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x元.(x＞100)依题意，得
①若到甲商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)＞100+0.9(x-100)
解得 x＞150
这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少.
②若到乙商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)＜100+0.9(x-100)
解得 x＜150
这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少.
③若50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)
解得 x=150
这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙商场购物花费一样.
【迁移应用】
【3-1】某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备
打折出售，但要保持利润率不低于5%,则至多可打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
【3-2】某种出租车的收费标准:起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费)，超
过3千米后，每增加1千米，加收2. 4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地
到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是( )
A. 5千米 B.7千米 C.8千米 D. 15千米
【3-3】学校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为 50元/个，并且质
量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买
100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司?
解:设学校集体购买的计算器为x个，依题意得
(1)显然当x≤100时，选择甲公司合算.
(2)当x>100时, ①如果选甲公司合算，则有
0.9×50x<100×50+ (x-100) ×0.8×50解得 x<200
∴当购买个数超过100而不超过200时，选甲公司合算.
②如果选乙公司合算，则有
0.9×50x>100×50+ (x-100)×0.8×50
解得 x>200
∴当购买个数超过200时，选乙公司合算.
③如果甲、乙两家公司费用相同，则有
0.9×50x=100×50+ (x-100) × 0.8×50
解得 x=200
∴当购买个数为200时，选择甲、乙两公司都一样.
考点 4 ： 一元一次不等式组的解法
例7.解下列不等式组：
1
解：(1)解不等式①，得 x＞
3
解不等式②，得 x＞1
∴ 不等式组的解集是 x＞1.
解：(2)解不等式①，得 x＜-6
解不等式②，得 x＞2
∴ 不等式组无解.
解：(3)解不等式①，得 x＞-2.4
解不等式②，得 x≤3.5∴ 不等式组的解集是 -2.4＜x≤3.5
1 3
例8.x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3(x-1)与 x-1≤7- x都成立？
2 2
{ 5x+2＞3(x-1) ①
解：解不等式组 1 3
x-1≤7- x②
2 2
5
解不等式①，得 x＞-
2
解不等式②，得 x≤4
5
∴ 不等式组的解集是 - ＜x≤4
2
∴ x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4.
【迁移应用】
【4-1】不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示:
则这个不等式组为( )
A.
{x>2
B.
{ x＜2
C.
{x＜2
D.
{x＜2
x≤-1 x＞−1 x≥−1 x≤−1
【4-2】解下列不等式组：
{
&2x−1≤−x+1①
{&2(x−1)≤5x+4①
(1) (2) x−1 2
&3(x+4)>2(2x+1)② & <x+ ②
6 3
解：不等式①的解集：x≥−2，
不等式②的解集：x<10，
则不等式组的解集为−2≤x<10．
2
解：不等式①的解集： x≤ ，
3
不等式②的解集： x>−1，
2
∴不等式组的解集为−1<x≤ ．
3【4-3】x取哪些正整数值时，不等式x+3＞6与2x-1＜10都成立？
{x+3＞6 ①
解：解不等式组
2x-1＜10②
解不等式①，得 x＞3
解不等式②，得 x＜5.5
∴ 不等式组的解集是 3＜x＜5.5
∴ x可取的正整数值是4，5.
考点 5 ： 一元一次不等式组的解法典型应用
x+15
{ >x−3
2
例9.若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围．
2x+2
<x+a
3
x+15
{ >x−3①
2
解：
2x+2
<x+a②
3
解不等式①，得x<21，
解不等式②，得x>2−3a，
∵此不等式组只有4个整数解，
∴此不等式组的解集为2−3a<x<21，
∴它的4个整数解为20、19、18、17，
∴16≤2−3a<17，
14
解得a的取值范围是：−5<a≤− ．
3
{ 3x+1≤2a
例10.若不等式组 有解，求实数a的取值范围．
−2(x−1)≤14
2a−1
解：解不等式3x+1≤2a，得x≤
3
1
解不等式1−2(x−1)≤4，得x≥−
2
2a−1 1
原不等式组有解，则 ≥−
3 2
1
解得a≥−
4{x+2a>3
例11.已知关于x的不等式组 解集为1<x<2，求代数式(a+2)(b−1)的值．
2x−b<1
{x+2a>3① 1+b
解： ，由①得，x>3−2a；由②得，x< ，
2x−b<1② 2
1+b
∴3−2a<x< ，
2
∵1<x<2，
1+b
∴3−2a=1， =2，
2
∴a=1，b=3，
∴(a+2)(b−1)=(1+2)×(3−1)=3×2=6，
∴(a+2)(b−1)=6．
【迁移应用】
{x+1 x
< −1
【5-1】已知不等式组 3 2 无解，求m的取值范围．
x<4m
{x+1 x
< −1①
解： 3 2 ，
x<4m②
由①得，x＞8，
∵不等式组无解，
∴8≥4m，
解得：m≤2，
∴m的取值范围是m≤2．
{2x+ y=1−m
【5-2】已知方程组 的解x、y满足x+ y>0，求m的取值范围．
x+2y=2
{2x+ y=1−m①
解： ，
x+2y=2②
3−m
①+②得，3x+3 y=3−m，即x+ y= ，
3
∵x+ y>0，
3−m
∴ >0，
3
解得m<3．{2x>−5
【5-3】已知关于x的不等式组 有四个整数解，求实数a的取值范围．
−4≤xa
{2x>−5①
解：
−4≤xa②
5
解不等式①得：x>− ，
2
解不等式②得：x≤4+a
5
∴− <x≤4+a
2
∵不等式组有四个整数解，∴整数解是−2，−1，0，1，
∴1≤4+a<2∴−3≤a<−2
考点 6 ： 用一元一次不等式组解决实际问题
例12.某班有若干学生住宿，若每间住 4人，则有20人没宿舍住；若每间住8人则有一间没
有住满人，试求该班宿舍间数及住宿人数？
解：设有x间宿舍，则有（4x+20）人住宿，依题意可得
{(4x+20)−8(x−1)＞0
(4x+20)−8(x−1)＜8
解得5< x<7
因为宿舍间数是整数；
所以x=6.
住宿人数：4x+20=44（人）
答：该班有6间宿舍及44人住宿.
例13.某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要
资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
(2)该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根
据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售
完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
（1）解：设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意得，
{10x+8 y=880
2x+5 y=380{x=40
解得：
y=60
答：甲商品每件的进价是40元，乙商品每件的进价是60元；
（2）解：设购进甲商品a件，则购进乙商品(50−a)件，根据题意得，
{40a+60(50−a)≤2520
10a+15(50−a)≥620
解得：24≤a≤26
∵a为正整数，故a=24，25，26
∴有三种进货方案，
方案一：购进甲商品24件，乙商品26件；
方案二：购进甲商品25件，乙商品25件；
方案三：购进甲商品26件，乙商品24件.
【迁移应用】
【6-1】为了美化环境，张老师组织班级部分同学在操场植树，班级购买了若干树苗，若每人
植4棵，还剩37棵，若每人植6棵，最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵？
解：设共有x人参与植树，则这批树苗共有(4x+37)棵，依题意得：
{ 4x+37>6(x−1)
4x+37<6(x−1)+3
43
解得：20<x< ．
2
又∵x为正整数，
∴x=21，
∴4x+37=4×21+37=121．
答：这批树苗共有121棵．
【6-2】甲以5千米/时的速度进行有氧体育锻炼，2小时后，乙骑自行车从同一地出发沿同一
条路追赶甲，根据他们两人的约定，乙最快不早于 1小时追上甲，最慢不晚于1小时15分追
上甲.那么乙骑车的速度应当控制在什么范围?
解:设乙骑车的速度为x千米/时，依题意得
{
1×x≤2×5+1×5
5 5
×x≥2×5+ ×5
4 4解这个不等式组，得13≤x≤15
答:乙骑车的速度应控制在13~15千米/时这个范围内.
【6-3】为了美化环境，园林部门决定利用现有的 3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配
A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A种造型需甲种花卉80盆，
乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.
(1)某校七年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配
方案有几种?请你帮助设计出来.
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪
种方案成本最低?最低成本是多少元?
解: (1) 设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个,依题意得
{80x+50(50-x)≤3490
40x+90(50-x)≤2950
解这个不等式组得31≤x≤33
∵x是整数，
∴x可取31、32、 33
∴可设计三种搭配方案:
①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个;
②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个;
③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.
(2) 方案①需成本: 31×800+ 19×960=43040(元);
方案②需成本: 32×800+ 18×960=42880(元) ;
方案③需成本: 33×800+ 17×960=42720(元).
应选择方案③，成本最低,最低成本为42720元.
