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专题二 不等式 ６３
２．３ 基本不等式与不等式的综合应用
§
小 值 ｐ 简记 积定和最小 ．
① ② ２ （ ： ）
如果ｘ ｙ是定值ｓ 那么当且仅当ｘ ｙ时 ｘｙ有最 大
（２） ＋ ， ＝ ， ③
ｓ２
考点一 基本不等式及其应用 值 简记 和定积最大 ．
④ （ ： ）
４
１．基本不等式 注意 求最值时要注意三点 一正 二定 三相等 ．
（１） ：“ ”“ ”“ ”
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时
“ ” ，“ ” ，
ａｂ ａ ＋ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 和或积为定值 三相等 是指等号成立．
≤ ＞０， ＞０ ＝ ，“ ”
２ 连续使用基本不等式时 等号要同时成立．
ａ ｂ （２） ，
其中 ＋ 为正数ａ ｂ的算术平均数 ａｂ为正数ａ ｂ的几何平
， ， ， 考点二 不等式的综合应用
２
均数 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的
， ： 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
几何平均数．
１．恒成立问题 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最小值 则不等式
２．几个重要的不等式 ： （ ） ，
ｆ ｘ Ａ在区间Ｄ上恒成立 ｆ ｘ Ａ ｘ Ｄ
ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ Ｒ ． （ ）＞ ⇔（ ）ｍｉｎ＞ （ ∈ ）；
（１） ＋ ≥２ （ ， ∈ ） 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最大值 则不等式ｆ ｘ Ｂ在区间Ｄ
ａ ｂ （ ） ， （ ）＜
ａ ｂ同号 ． 上恒成立 ｆ ｘ Ｂ ｘ Ｄ ．
（２） ｂ ＋ ａ ≥２（ ， ） ⇔（ ）ｍａｘ＜ （ ∈ ）
２．能成立问题 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最大值 则在区间Ｄ
(ａ ｂ) ２ ： （ ） ，
ａｂ ＋ ａ ｂ Ｒ ． 上存在实数ｘ使不等式ｆ ｘ Ａ成立 ｆ ｘ Ａ ｘ Ｄ
（３） ≤ （ ， ∈ ） （ ）＞ ⇔（ ）ｍａｘ＞ （ ∈ ）；
２ 若ｆ ｘ 在区间Ｄ上存在最小值 则在区间Ｄ上存在实数ｘ
ａ２
＋
ｂ２ ａ
＋
ｂ
ａｂ ２ ａ ｂ ． 使不等式
（
ｆ
）
ｘ Ｂ成立 ｆ ｘ Ｂ ｘ
，
Ｄ ．
（４） ≥ ≥ ≥ （ ， ∈（０，＋∞）） （ ）＜ ⇔（ ）ｍｉｎ＜ （ ∈ ）
２ ２ １ １ ３．恰成立问题 不等式ｆ ｘ Ａ恰在区间Ｄ上成立 ｆ ｘ Ａ
ａ ＋ ｂ ： （ ）＞ ⇔ （ ）＞
的解集为Ｄ 不等式ｆ ｘ Ｂ恰在区间Ｄ上成立 ｆ ｘ Ｂ的解
３．利用基本不等式求最值 ； （ ）＜ ⇔ （ ）＜
集为Ｄ．
已知ｘ ｙ
＞０， ＞０，
如果积ｘｙ是定值 ｐ 那么当且仅当 ｘ ｙ 时 ｘ ｙ 有最
（１） ， ＝ ， ＋
答案 Ｄ
４．已知正数ｘ ｙ满足ｘ ｙ 则 １ ４ 的最小值为
， ＋ ＝１， ｘ ＋ ｙ （ ）
１＋
考点一 基本不等式及其应用
１４
( ) Ａ．５ Ｂ．
１．已知ｘ １ 则ｘ ｘ 取最大值时ｘ的值是 ３
∈ ０， ， （１－４ ） （ ）
４ ９
Ｃ． Ｄ．２
１ １ １ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案 Ｃ
４ ６ ８ １０
答案 Ｃ ５．（多选题）设ａ ｂ 则下列不等式中一定成立的是
＞０， ＞０， （ ）
２．下列结论正确的是 ａｂ
（ ） ａ ｂ １ ２ ａｂ
Ａ． ＋ ＋ ａｂ≥２ ２ Ｂ．ａ ｂ≤
当ｘ 且ｘ 时 ｘ １ ＋
Ａ． ＞０ ≠１ ，ｌｇ ＋
ｌｇ
ｘ≥２ ａ２
＋
ｂ２
ａ ｂ ａ ｂ
(
１ １
)
( ] Ｃ． ａｂ ≤ ＋ Ｄ．（ ＋ ） ａ ＋ ｂ ≥４
当ｘ π 时 ｘ ４ 的最小值为
Ｂ． ∈ ０， ２ ，ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ｘ ４ 答案 ＡＢＤ
当ｘ 时 ｘ １
Ｃ． ＞０ ， ＋ ｘ≥２ 考点二 不等式的综合应用
Ｄ．
当
０＜
ｘ
≤２
时
，
ｘ
－
１
ｘ
无最大值 ６．设
０＜
ｍ
＜
１
，
若
ｍ
１
＋
２
ｍ≥
ｋ２
－２
ｋ恒成立
，
则ｋ的取值范围为
２ １－２
答案 Ｃ
（ ）
３．已知ａ ｂ 函数 ｆ ｘ ａ ｘ ｂ 的图象经过点
， ∈（０，＋∞）， （ ）＝ ｌｏｇ２ ＋ （４， Ａ．［－２，０）∪（０，４］ Ｂ．［－４，０）∪（０，２］
则 １ ２ 的最小值为 Ｃ．［－４，２］ Ｄ．［－２，４］
１）， ａ ＋ ｂ （ ） 答案 Ｄ
７．已知关于ｘ的不等式ｋｘ２ ｋｘ ｋ 对任意ｘ Ｒ恒成立 则
Ａ．６－２ ２ Ｂ．６ Ｃ．４＋２ ２ Ｄ．８ －６ ＋ ＋８≥０ ∈ ，
６４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｋ的取值范围是 答案 Ｄ
（ ）
９．对于实数ａ ｂ ｍ 下列说法 若ａ ｂ 则ａｍ２ ｂｍ２ 若ａ ｂ
Ａ．［０，１］ Ｂ．（０，１］ ， ， ， ：① ＞ ， ＞ ；② ＞ ，
ａ ｍ ａ
Ｃ．（－∞，０）∪（１，＋∞） Ｄ．（－∞，０］∪［１，＋∞） 则ａ ａ ｂ ｂ 若ｂ ａ ｍ 则 ＋ 若ａ ｂ 且
答案 Ａ ｜ ｜＞ ｜ ｜；③ ＞ ＞０， ＞０， ｂ ｍ＞ ｂ ；④ ＞ ＞０，
＋
８．已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｍ ｘ ｍ 若对任意ｍ 都 ａ ｂ 则 ａ ｂ的最小值为 ．其中是真命题的为
（ ）＝ ＋（２ －１） ＋１－ ， ∈［－１，０］， ｜ｌｎ ｜＝｜ｌｎ ｜， ２ ＋ ２ ２
有ｆ ｘ 成立 则实数ｘ的取值范围为
（ ）＞０ ， （ ） （ ）
Ａ．（－１，２） Ｂ．（１，２） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④
答案 Ｂ
Ｃ．（－∞，－１）∪（２，＋∞） Ｄ．（－∞，１）∪（２，＋∞）
时取等号
），
ＰＡ ＰＢ ＰＡ ＰＢ 的最大值为 ．故选 ．
∴ ｜ ｜＋｜ ｜≤２ ２，∴ ｜ ｜＋｜ ｜ ２ ２ Ｂ
２．已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ 若对于任意 ｘ ｍ ｍ 都有
考点一 基本不等式及其应用 （ ）＝ ＋ －１， ∈［ ， ＋１］，
ｆ ｘ 成立 则实数ｍ的取值范围是 ．
１．（２０２０福建三明第一中学１０月月考，９）已知ａ ｂ ａ ｂ （ ）＜０ ，
＞０， ＞０， ， æ ö
答案 ç ２ ÷
的等比中项是 且ｍ ｂ １ ｎ ａ １ 则ｍ ｎ的最小值是 è－ ，０ø
１， ＝ ＋ ａ ， ＝ ＋ ｂ ， ＋ ２
解析 要满足ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ 对于任意ｘ ｍ ｍ 恒
（ ）＝ ＋ －１＜０ ∈［ ， ＋１］
（ ） {ｆ ｍ
成立 只需 （ ）＜０，
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ， ｆ ｍ
（ ＋１）＜０，
答案 Ｂ ａ ｂ的等比中项是 ａｂ ｍ ｎ ｂ １ ａ { ｍ２
∵ ， １，∴ ＝１，∴ ＋ ＝ ＋ ａ ＋ 即 ２ －１＜０，
ａ ｂ （ ｍ ＋１） ２ ＋ ｍ （ ｍ ＋１）－１＜０，
１ ａ ｂ ＋ ａ ｂ ａｂ 当且仅当ａ ｂ 时 等
＋ ｂ ＝ ＋ ＋ ａｂ ＝２（ ＋ ）≥４ ＝４， ＝ ＝１ ，
解得 ２ ｍ ．
号成立．故选 ． － ＜ ＜０
Ｂ ２
３．（２０２０山西长治第二次联考，１４）已知直线ａｘ ｂｙ 经过点
２．若正数ｍ ｎ满足 ｍ ｎ 则 １ １ 的最小值为 ＋ ＝１
， ２ ＋ ＝１， ｍ＋ ｎ （ ） 则 ａ ｂ 的最小值为 ．
（１，２）， ２ ＋４
答案
Ａ．３＋２ ２ Ｂ．３＋ ２ Ｃ．２＋２ ２ Ｄ．３ ２ ２
( ) 解析 将点 代入直线ａｘ ｂｙ 中得ａ ｂ ．
答案 Ａ 因为 ｍ ｎ 所以 １ １ １ １ ｍ ｎ （１，２） ＋ ＝１ ＋２ ＝１
２ ＋ ＝１， ｍ＋ ｎ ＝ ｍ＋ ｎ ·（２ ＋ ）
ａ ｂ ａ ｂ ａ ＋２ ｂ 当且仅当ａ １ ｂ １ 时
ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ２ ＋４ ≥２ ２ ×４ ＝２ ２ ＝２ ２， ＝ ， ＝
２ ２ 当且仅当 ２ 即ｎ ２ ４
＝３＋ｍ＋ ｎ ≥３＋２ ｍ· ｎ ＝３＋２ ２， ｍ ＝ ｎ ， 等号成立．故 ａ ｂ 的最小值为 ．
２ ＋４ ２ ２
４．（２０１８甘肃通渭模拟，１５）如图 在三棱锥Ｐ ＡＢＣ中 ＰＡ ＰＢ
ｍ时等号成立 所以 １ １ 的最小值为 故选 ． ， － ， 、 、
＝ ２ ， ｍ＋ ｎ ３＋２ ２， Ａ ＰＣ两两垂直 且ＰＡ ＰＢ ＰＣ ．设Ｍ是底面ＡＢＣ内一
， ＝３， ＝２， ＝１
３．（２０１９浙江镇海中学期中，１４）已知ｘ ， ｙ ∈ Ｒ ， 且 ４ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｘｙ ＝ 点 ， 定义ｆ （ Ｍ ）＝（ ｍ ， ｎ ， ｐ ）， 其中ｍ 、 ｎ 、 ｐ分别是三棱锥Ｍ － ＰＡＢ 、
则 ｘ２ ｙ２ 的最小值为 此时ｘ的值为 ． ( )
１， ４ ＋ ，
三棱锥Ｍ ＰＢＣ 三棱锥Ｍ ＰＣＡ的体积．若ｆ Ｍ １ ｘ ｙ
－ 、 － （ ）＝ ， ， ，
答案 ４ １０ ２
；± ａ
５ １０ 且 １ 恒成立 则正实数ａ的最小值为 ．
ｘ２ ｙ２ ｘ ＋ ｙ ≥８ ，
解析 ｘ２ ｙ２ ｘｙ ｘ２ ｙ２ １ ｘｙ ｘ２ ｙ２ １ ４ ＋
１＝４ ＋ ＋ ＝４ ＋ ＋ ×２ ≤４ ＋ ＋ ×
２ ２ ２
５ ｘ２ ｙ２ 所以 ｘ２ ｙ２ ４ 当且仅当 ｘ ｙ时取等号 此
＝ （４ ＋ ）， ４ ＋ ≥ ， ２ ＝ ，
４ ５
时ｘ １０．
＝±
１０
考点二 不等式的综合应用
１．（２０１８ 山西第一次模拟，５）若 Ｐ 为圆 ｘ２ ｙ２ 上的一个动 答案
＋ ＝１
１
点 ， 且Ａ （－１，０）， Ｂ （１，０）， 则 ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＢ ｜ 的最大值为 （ ） 解析 ＰＡ ＰＢ ＰＣ两两垂直 且ＰＡ ＰＢ ＰＣ
∵ 、 、 ， ＝３， ＝２， ＝１，
Ａ．２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．４ ２ Ｖ １ １ １ ｘ ｙ．
答案 Ｂ 当Ｐ与Ａ或Ｂ重合时 ＰＡ ＰＢ 当Ｐ与Ａ ∴ Ｐ － ＡＢＣ＝ × ×３×２×１＝１＝ ＋ ＋
，｜ ｜＋｜ ｜＝２， ３ ２ ２
不重合且与 Ｂ 不重合时 由题意知 ＡＰＢ ° ＰＡ ２
， ∠ ＝９０ ，∴ ｜ ｜ ＋ ｘ ｙ １ 则 ｘ ｙ ．
ＰＢ ２ ∴ ＋ ＝ ， ２ ＋２ ＝１
｜ ｜ ＝４， ２
( ＰＡ ＰＢ ) ２ ＰＡ ２ ＰＢ ２ ａ ( ａ ) ｙ ａｘ
｜ ｜＋｜ ｜ ｜ ｜ ＋｜ ｜ 当且仅当 ＰＡ ＰＢ ａ １ １ ｘ ｙ ａ ２ ２ ａ
∴ ≤ ＝２（ ｜ ｜ ＝｜ ｜ ∵ ＞０，∴ ｘ ＋ ｙ ＝ ｘ ＋ ｙ （２ ＋２ ）＝２＋２ ＋ ｘ ＋ ｙ ≥２＋２ ＋
２ ２
专题二 不等式 ６５
４ ａ 解得ａ 正实数ａ的最小值为 ． 公司的最大月利润是 万元．
≥８， ≥１，∴ １
５．网店和实体店各有利弊 两者的结合将在未来一段时期内成为 答案 ．
， ３７５
商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从
解析 由题意知ｔ ２ ｘ 设该公司的月利润为ｙ
年 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模 ＝ ３－ ｘ－１（１≤ ＜３），
２ 式 ０１ ．根 ９ 据几 １ 个月的运营发现 产品的月销售量ｘ万件与投入实 万元 所以ｙ ( ％ ｔ ) ｘ ｘ ｔ ｘ ｔ ｘ
， ， ＝ ３２×１５０ ＋ ｘ －３２ －３－ ＝１６ － －３＝１６ －
２ ２
体店体验安装的费用ｔ万元之间满足ｘ ２ 的函数关系式． [ ]
＝３－ｔ ＋１ １ ｘ＋ １ －３＝４５ ． ５－ １６（３－ ｘ ）＋ １ ｘ ≤４５ ． ５－２ １６＝３７ ． ５， 当且
已知网店每月固定的各种费用支出为 万元 产品每 万件进 ３－ ２ ３－
３ ， １
货价格为 万元 若每件产品的售价定为 进货价的 ％ 仅当ｘ １１时取等号 即最大月利润为 ． 万元．
３２ ， “ １５０ ” ＝ ， ３７５
与 平均每件产品的实体店体验安装费用的一半 之和 则该 ４
“ ” ，
当且仅当 ａ １ ，
４ ＝ ａ
即ａ １ 时取“ ”，
考法一 利用基本不等式求最值 ＝ ＝
２
例１ （２０１９福建福州期中，７）已知一次函数ｙ ｘ ｂ２
（１） ＝２ ＋１ 所以 的最小值为 ．故选 ．
ｂ２ ａ ８ Ｂ
的图象过点Ｐ ａ ｂ 其中ａ ｂ 则 的最小值是
（ ， ）（ ＞０， ＞０）， ａ （ ） （ ）易知定点为（ ， ），
２ １ ２
ｋ ，ｂ ， ｍ ｎ ，
Ａ．１ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１６ ∴ ＝１ ＝２ ∴ ＋ ＝２
（２０２０山东淄博二模，５）已知曲线ｙ ａｘ －１ ａ 且ａ 又ｍ ，ｎ ，
（２） ＝ ＋１（ ＞０， ＞０ ＞０
( ) ( ｍ ｎ)
过定点 ｋ ｂ 若ｍ ｎ ｂ 且ｍ ｎ 则４ １的最小值为 ４ １ １ ４ １ （ｍ ｎ） １ ４ ９ ，
≠１） （ ， ）， ＋ ＝ ， ＞０， ＞０， ｍ＋ ｎ ∴ ｍ＋ ｎ ＝ ｍ＋ ｎ ＋ ＝ ５＋ ｎ ＋ｍ ≥
２ ２ ２
ｍ ｎ
（ ） 当且仅当 ４ 时等号成立，
ｎ ＝ ｍ
９ ５
Ａ． Ｂ．９ Ｃ．５ Ｄ．
２ ２ ４ １ 的最小值为 ９ ．
（２０１９广东化州第一次模拟）若正数ｘ ｙ满足ｘ ｙ ∴ ｍ＋ ｎ
（３） ， ＋３ ＝ ２
ｘｙ 当 ｘ ｙ取得最小值时 ｘ ｙ的值为 故选 ．
５ ， ３ ＋４ ， ＋２ （ ） Ａ
（ ） ｘ ｙ ｘｙ，ｘ ，ｙ ，
２４ ２８ ３ ∵ ＋３ ＝５ ＞０ ＞０
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．５
５ ５
（２０２０浙江高中发展共同体检测，８）设实数ａ ｂ满足ｂ
∴
１
ｙ＋
３
ｘ＝１
，
（４） 、
５ ５
且ａ ｂ 则 １ ｜ ａ ｜的最小值是 ( ) ｘ ｙ
＞０， ＋ ＝２， ａ ＋ ｂ （ ） ｘ ｙ （ ｘ ｙ） １ ３ １３ ３ ４ １３
８｜ ｜ ∴３ ＋４ ＝ ３ ＋４ ｙ＋ ｘ ＝ ＋ ｙ ＋ ｘ ×３≥ ＋
５ ５ ５ ５ ５ ５
９ ９ ７ １ ｘ ｙ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３ ·１２ ，
８ １６ １６ ４ ２ ｙ ｘ ＝５
ｂ２ ５ ５
解题导引 要求 的最小值 需要找ａ与ｂ之间满足 ｘ ｙ
（１） ａ ， 当且仅当３ １２ ，
ｙ＝ ｘ
的关系．如何找出这个关系 ｂ用ａ表示之后 如何用基本不等 ５ ５
？ ， 即ｘ ｙ 时取等号，ｘ ｙ的值为 ．故选
式求最值 ＝２ ＝１ ＋２ ２ Ｂ．
？ （ ）由题意可知，ａ ．
与 有什么相似之处 函数图象所过定点如何求出 ４ ≠０
（２） （１） ？ ？
ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ
当ａ 时， １ ｜ ｜ ＋ １ １
ｍ与ｎ之间的关系是什么 如何用ｍ ｎ间的关系求 ４ １ ① ＞０ ａ ＋ ｂ ＝ ａ＋ ｂ ＝ ＋ ａ＋ ｂ ≥ ＋
？ ， ｍ＋ ｎ ８｜ ｜ １６ １６ １６ １６
的最小值． ｂ ａ
· ９ ，
与前两个小题有什么不同之处 要求 ｘ ｙ的最小值 ２ ａ ｂ ＝
（３） ？ ３ ＋４ ， １６ １６
如何使用ｘ ｙ ｘｙ这个条件 能否把ｘ ｙ ｘｙ化成一边为 ｂ ａ
＋３ ＝５ ？ ＋３ ＝５ 当且仅当 且ａ ｂ ，
常数 的形式 如何构造 和定 或 积定 ａ＝ ｂ ＋ ＝２
“１” ？ “ ” “ ”？ １６
ａ
与前 个小题有什么不同之处 如何去掉 １ ｜ ｜中 即ａ ２ ，ｂ ８ 时取等号，
（４） ３ ？ ａ ＋ ｂ ＝ ＝
８｜ ｜ ５ ５
的绝对值符号 ａ的正负能确定吗 去掉绝对值符号后 如何用 ａ ａ ｂ ａ ( ｂ )
， ？ ， 当 ａ 时， １ ｜ ｜ ＋ １
ａ ｂ 这个条件求最值 如何凑出积为定值求最值 ② ＜０ ａ ＋ ｂ ＝ － ａ－ ｂ ＝ － ＋ － ａ ＋
＋ ＝２ ， ？ ８｜ ｜ １６ １６ １６
ｂ２ ( ａ ) ｂ ( ａ )
解析 （ ）将Ｐ（ａ，ｂ）代入ｙ ｘ 得到ｂ ａ ，从而 １ · ７ ，
１ ＝２ ＋１ ＝２ ＋１ ａ ＝ － ｂ ≥－ ＋２ － ａ － ｂ ＝
１６ １６ １６
ａ２ ａ ｂ ａ
４ ＋４ ＋１ ａ １ ａ· １ ， 当且仅当 且ａ ｂ 时取等号．
ａ ＝４ ＋ ａ ＋４≥２ ４ ａ ＋４＝８ ａ＝ ｂ ＋ ＝２
１６
６６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ {ａ
综上可得， １ ｜ ｜的最小值为 ７ ．故选 是 ＜０，
８｜
ａ
｜
＋ ｂ
１６
Ｃ． Δ
＝
ｂ２
－４
ａｃ
＜０（
或
≤０）
．
答案 （ ）Ｂ （ ）Ａ （ ）Ｂ （ ）Ｃ 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ｘ α β 上恒成立
１ ２ ３ ４ （３） ＞０ ， （ ） ＞０ ∈［ ， ］ ⇔
{ ｂ { ｂ { ｂ
方法总结 利用基本不等式求最值应满足的三个条件 α α β β
－ ａ＜ ，或 ≤－ ａ≤ ，或 － ａ＞ ，ｆ ｘ 在ｘ α β 上恒
一正 各项或各因式均为正 ２ ２ ２ （ ）＜０ ∈［ ， ］
（１） ： ； ｆ α Δ ｆ β
二定 和或积为定值 （ ）＞０ ＜０ （ ）＞０；
（２） ： ； {ｆ α
三相等 各项或各因式能取到使等号成立的值． 成立 （ ）＜０，
（３） ： ⇔ ｆ β ．
简记 一正 二定 三相等． （ ）＜０
： 、 、 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ｘ α β 上恒成立
如果解题过程中不满足上述条件 那么可进行拆分或配凑 （４） ＜０ ， （ ） ＞０ ∈［ ， ］ ⇔
， { ｂ
因式 以满足以上三个条件． {ｆ α α
， （ ）＞０，ｆ ｘ 在 ｘ α β 上恒成立 － ａ＜ ，或
ｆ β （ ） ＜ ０ ∈［ ， ］ ⇔ ２
（ ）＞０； ｆ α
（ ）＜０
{ ｂ { ｂ
例 已知ａ ｂ 则ａ２ ６４ 的最小值为 ． α β β
＞ ＞０， ＋ｂ ａ ｂ ≤－ ａ≤ ，或 － ａ＞ ，
（ － ） ２ ２
解析 ａ ｂ ， ａ ｂ ， Δ ｆ β ．
∵ ＞ ＞０ ∴ － ＞０ ＜０ （ ）＜０
[ｂ （ａ ｂ）] ２ ａ２ ２．对于参数易分离的一元二次不等式恒成立问题 ， 可以分
∴ ｂ（ａ － ｂ） ≤ ＋ ２ － ＝ ４ ， ∴ ｂ（ａ ６４ － ｂ）≥ ２ ａ ５ ２ ６， 离参数转化为求具体函数的最值问题．同时一定要搞清谁是自变
量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围
， ， ， ， ， ，
ａ２ ６４ ａ２ ２５６ ａ２·２５６ ，当且仅当ｂ ａ 谁就是参数．
∴ ＋ｂ（ａ
－
ｂ）≥ ＋ ａ２ ≥２ ａ２ ＝３２ ＝
ｂ，且ａ２ ２５６，即ａ ，ｂ 时，原式取最小值 ．
－ ＝ ａ２ ＝４ ＝２ ３２ 例 （２０１９安徽八校联考，１５）若不等式 ａ ａ２ ｘ２
（ － ）（ ＋１）＋
答案 ｘ 对一切 ｘ 恒成立 则实数 ａ 的取值范围
３２ ≤０ ∈（０，２］ ，
为 ．
ｘ
考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法 解析 ｘ （ ， ］， ａ２ ａ １ ．
∵ ∈ ０ ２ ∴ － ≥ｘ２ ＝
＋１ ｘ １
例２ 已知不等式ｍｘ２ ｘ ｍ ． ＋ ｘ
－２ － ＋１＜０
若对于所有的实数ｘ 不等式恒成立 求ｍ的取值范围
（１） ， ， ； 要使 ａ２ ａ １ 在 ｘ （ ， ］ 上恒成立，则 ａ２ ａ
设不等式对于满足 ｍ 的一切ｍ的值都成立 求ｘ － ≥ ∈ ０ ２ －
（２） ｜ ｜≤２ ， ｘ １
的取值范围． ＋ ｘ
æ ö
解析 （
１
）当ｍ
＝０
时，不等式ｍｘ２
－２
ｘ
－
ｍ
＋１＜０
可化为
１－２
ｘ
ç ç
１
÷ ÷ ．
＜０
，显然对所有的实数ｘ，不等式不恒成立． ≥
è
ｘ
＋
１
ｘ ø
ｍ ．设ｆ（ｘ） ｍｘ２ ｘ ｍ ， ｍａｘ
∴ ≠０ ＝ －２ － ＋１
ｆ（ｘ） 恒成立， 由基本不等式得ｘ １ ，当且仅当ｘ １ ，即ｘ 时等
∵ ＜０ ＋ ｘ ≥２ ＝ ｘ ＝１
{ｍ
＜０
， 号成立．
∴ ｍ（ ｍ） ，
４－４ １－ ＜０ æ ö
１
解得 ｍ ∈⌀ ． 则ç ç ｘ １ ÷ ÷ ＝ １ ，故 ａ２ － ａ ≥ １ ，解得 ａ ≤ １－ ３ 或 ａ
综上可知，不存在使不等式恒成立的实数ｍ． è ＋ ｘ ø ２ ２ ２
ｍａｘ
（ ）由题意得， ｍ ，
２ －２≤ ≤２
设ｇ（ｍ） （ｘ２ ）ｍ （ ｘ）， ≥ １＋ ３．
＝ －１ ＋ １－２ ２
则由题意可得ｇ（ｍ） ， æ ù é ö
故有
{ｇ（
－２
）
＜０
， ＜０ 故实数ａ的取值范围为 è ç －∞ ，１－
２
３ û úú ∪ë êê１＋
２
３， ＋∞ø ÷．
ｇ（ ） ，
æ ù é ö
即 { －２ ｘ２ － ２ ２ ｘ ＜ ＋ ０ ３＜０ ， 答案 è ç －∞ ，１－ ３ û úú ∪ë êê１＋ ３， ＋∞ø ÷
２ ２
２ ｘ２ －２ ｘ －１＜０ ， 例 （１） （２０１８河南一模，５）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｍｘ２ － ｍｘ －１，
若对于ｘ ｆ ｘ ｍ 恒成立 则实数ｍ的取值范围为
解得－１＋ ７ ｘ １＋ ３， ∈［１，３］， （ ）＜－ ＋４ ，
＜ ＜
２ ２ （ ）
{ } [ )
所以ｘ的取值范围为 ｘ －１＋ ７ ｘ １＋ ３ ． ５
＜ ＜ Ａ．（－∞，０］ Ｂ． ０，
２ ２ ７
( ) ( )
方法总结 １．一元二次不等式恒成立的条件
５ ５
Ｃ．（－∞，０）∪ ０， Ｄ． －∞，
设ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ ． ７ ７
（ ）＝ ＋ ＋ （ ≠０） （２０１８广东阳春第一中学第一次月考，１５）设ａ 若
ｆ ｘ 或 对于一切 ｘ Ｒ 恒成立的条件 （２） ＜０，
（１） （ ） ＞０（ ≥０） ∈ 不等式 ２ｘ ａ ｘ ａ２ 对于任意的ｘ Ｒ恒成立 则
{ａ －ｃｏｓ ＋（ －１）ｃｏｓ ＋ ≥０ ∈ ，
是 ＞０， ａ的取值范围是 ．
Δ ｂ２ ａｃ 或 ．
＝ －４ ＜０（ ≤０）
ｆ ｘ 或 对于一切 ｘ Ｒ 恒成立的条件
（２） （ ） ＜０（ ≤０） ∈
专题二 不等式 ６７
解析 （
１
）由ｆ（ｘ）
＜－
ｍ
＋４
，可得ｍ（ｘ２
－
ｘ
＋１
）
＜５
．
因此 实数ｍ的取值范围为
(
５
)
．故选 ．
， －∞， Ｄ
当ｘ ［ ， ］时，ｘ２ ｘ ［ ， ］， ７
∵ ∈ １ ３ － ＋１∈ １ ７ 令ｔ ｘ ｔ
（２） ＝ｃｏｓ ，∈［－１，１］，
∴ ｍ（ｘ２ － ｘ ＋１ ） ＜５ 等价于ｍ ＜ｘ２ ５ ｘ ， 则不等式ｆ （ ｔ ）＝ ｔ２ －（ ａ －１） ｔ － ａ２ ≤０ 对ｔ ∈［－１，１］ 恒成立 ，
－ ＋１ {ｆ {ａ ａ２
当ｘ 时， ５ 取得最小值 ５ ， 因此 （－１）≤０， － ≤０，
＝３ ｘ２
－
ｘ
＋１ ７
ｆ
（１）≤０
⇒
２－
ａ
－
ａ２
≤０，
ａ ａ ．
由题意知ｍ ５ 恒成立，则有ｍ ５ ． ∵ ＜０，∴ ≤－２
＜ｘ２ ｘ ＜ 答案 （ ）Ｄ （ ）ａ
－ ＋１ ７ １ ２ ≤－２
考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法
４．（２０２０江苏宿迁开学考试，７）设ｍ为实数 若函数ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ
， （ ）＝ － ＋２
考法一 利用基本不等式求最值 [ ｍ ]
在区间 上是减函数 对任意的ｘ ｘ 总有 ｆ
（－∞，２） ， １， ２∈ １， ＋１ ， ｜
１．（２０２０福建泉州测试，６）若 ｘ ｙ 且 ２ １ 则 ｘ ｙ ２
＞０， ＞０， ｘ ＋ ｙ ＝１， ＋２ ｘ ｆ ｘ 则ｍ的取值范围为
（ １）－（ ２）｜≤４， （ ）
的最小值是
（ ） Ａ．［４，６］ Ｂ．（４，６） Ｃ．（４，６］ Ｄ．［４，６）
答案 Ａ
Ａ．１０ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．６
答案 Ｃ ５．（２０２０北京中学生标准学术能力诊断，６）已知关于ｘ的不等
２．（２０２０山东泰安期末检测，６）若 ａ ｂ ａｂ 则 式ａｘ２ ｘ ａ 在 上有解 则实数ａ的取值范围是
ｌｏｇ３（２ ＋ ）＝ １＋ｌｏｇ３ ， －２ ＋３ ＜０ （０，２］ ，
ａ ｂ的最小值为
＋２ （ ） （ ）
æ ö ( ) æ ö ( )
８ ç ３÷ ４ ç ３ ÷ ４
Ａ．６ Ｂ． Ａ．è－∞， ø Ｂ． －∞， Ｃ．è ，＋∞ø Ｄ． ，＋∞
３ ３ ７ ３ ７
答案 Ａ
１６
Ｃ．３ Ｄ．
３ ６．（２０２０江苏常熟三模，７）已知正实数ａ ｂ满足ａ １ 且 １
答案 Ｃ ， ＋ ｂ ＝１， ａ
３．（２０２０河北衡水中学第九次调研，６）设ｍ ｎ为正数 且ｍ ｎ ｂ ｔ２ ｔ恒成立 则实数ｔ的取值范围为 ．
， ， ＋ ＝ ＋ ≥２ －７ ，
ｎ [ ]
则 １ ＋３的最小值为 答案 １
２， ｍ ＋ｎ （ ） － ，４
＋１ ＋２ ２
７．（２０２０江苏扬州江都大桥高级中学月考，１５）已知 ｘ ｘ
３ ５ １＋２ ＋４ ·
Ａ． Ｂ． ａ 对一切 ｘ 恒成立 则实数 ａ 的取值范围是
２ ３ ＞０ ∈（－∞，１］ ，
．
７ ９
Ｃ． Ｄ． ( )
４ ５ 答案 ３
答案 Ｄ － ，＋∞
４
ｍ ｎ ｍ ｎ ｎ ｍ
ｎ 所以 １ ２ ２ ＋ ４ ＋２ ４
０， ＞０， ｍ ＋ ｎ ＝ ｍ ＋ ｎ ＝ ４＋ ｍ ＋ ｎ ≥４＋
ｎ ｍ ｎ ｍ
考法一 利用基本不等式求最值的方法 ４ 当且仅当 ４ 时 取等号 故 １ ２ 的最小
２ ｍ· ｎ ＝８， ｍ ＝ ｎ ， ， ｍ＋ ｎ
１．（２０１８黑龙江七台河测试）已知ｍ ｎ ｍ ｎ 则ｍｎ的 值是 故选
＝８－ ， ＞０， ＞０， ８， Ｃ．
最大值为 ３．（２０１９福建厦门３月联考，９）对任意ｍ ｎ Ｒ＋ 都有ｍ２ ａｍｎ
（ ） ， ∈ ， －
ｎ２ 则实数ａ的最大值为
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ＋２ ≥０， （ ）
答案 Ｃ ｍ ｎ ｍ ｎ 又 ｍ ｎ ｍｎ
∵ ＝８－ ，∴ ＋ ＝８， ∵ ＞０， ＞０，∴ ≤ ９
(ｍ
＋
ｎ)
２ 当且仅当ｍ ｎ 时 等号成立．故选
Ａ． ２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．
２
＝１６， ＝ ＝４ ， Ｃ． 答案 Ｂ 对任意ｍ ｎ Ｒ＋ 都有ｍ２ ａｍｎ ｎ２ ｍ２
２ ∵ ， ∈ ， － ＋２ ≥０，∴ ＋
２．（２０１９新疆第一次毕业诊断，１０）函数ｙ ｘ ａ ｍ２ ｎ２ ｍ ｎ ｍ ｎ
＝ｌｏｇａ（ －１）＋１（ ＞０ ｎ２ ａｍｎ 即 ａ ＋２ ２ 恒成立 ２
且ａ 的图象恒过定点Ａ 若点Ａ在一次函数ｙ ｍｘ ｎ的图 ２ ≥ ， ≤ ｍｎ ＝ ｎ ＋ ｍ ，∵ ｎ ＋ ｍ ≥
≠１） ， ＝ ＋
ｍ ｎ ｍ ｎ
象上 其中ｍ ｎ 则 １ ２ 的最小值是 ２ 当且仅当 ２ 时取等号 ａ 故ａ
， ＞０， ＞０， ｍ＋ ｎ （ ） ２ ｎ ·ｍ ＝２ ２， ｎ ＝ ｍ ，∴ ≤２ ２，
的最大值为 故选
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ２ ２， Ｂ．
答案 Ｃ 对于函数ｙ ｘ ａ 且ａ 令ｘ
＝ｌｏｇａ（ －１）＋１（ ＞０ ≠１）， －１
求得ｘ ｙ 可得函数的图象恒过定点Ａ 因为 考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法
＝１， ＝２， ＝１， （２，１），
点Ａ在一次函数ｙ ｍｘ ｎ的图象上 所以有 ｍ ｎ 因为ｍ １．（２０１８湖南长、望、浏、宁四县３月联合调研，１２）设ｆ ｘ 满足
＝ ＋ ， １＝２ ＋ ， ＞ （ ）
６８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｆ ｘ ｆ ｘ 且在 上是增函数 且ｆ 若ｆ ｘ ｘ
（－ ）＝－（ ）， ［－１，１］ ， （－１）＝－１， （ ） 所以ｆ ｘ ９ ＋１ ｘ ２ 当且仅当 ｘ
ｔ２ ａｔ 对所有的ｘ 当ａ 时都成立 则ｔ （ ）＝ ｘ ＝３ －１＋ ｘ ＋２≥２ ２＋２（ ３ ＝１＋ ２
≤ －２ ＋１ ∈［－１，１］， ∈［－１，１］ ， ３ －１ ３ －１
的取值范围是 时取 ．所以ｍ ．
（ ） “＝”） ＜２＋２ ２
３．（２０１８河北衡水金卷（一），１２）已知数列 ａ 中 ａ ｎ
Ａ．－ １ ≤ ｔ ≤ １ Ｂ． ｔ ≥２ 或ｔ ≤－２ 或ｔ ＝０ ｛ ｎ｝ ， １ ＝２，
２ ２ （ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ）＝ ａ ｎ＋１， ｎ ∈ Ｎ∗ ， 若对于任意的ａ ∈［－２，２］， ｎ ∈ Ｎ∗ ，
Ｃ． ｔ ≥ １ 或ｔ ≤－ １ 或ｔ ＝０ Ｄ．－２≤ ｔ ≤２ 不等式 ａ ｎ ＋１ ｔ２ ａｔ 恒成立 则实数ｔ的取值范围为
２ ２ ｎ ＜２ ＋ －１ ， （ ）
答案 Ｂ 若ｆ ｘ ｔ２ ａｔ 对所有的ｘ 当ａ ＋１
（ ）≤ －２ ＋１ ∈［－１，１］， ∈
时都成立 则由已知易得ｆ ｘ 的最大值是 ｔ２ Ａ．（－∞，－２］∪［２，＋∞） Ｂ．（－∞，－２］∪［１，＋∞）
［－１，１］ ， （ ） １，∴ １≤ －
２
ａｔ
＋１⇔２
ａｔ
－
ｔ２
≤０
． Ｃ．
答
（－
案
∞，－
Ａ
１］∪
由
［
ｎ
２，
ａ
＋∞）
ａ ａ
Ｄ．［－
得
２，
ｎ
２
ａ
］
ｎ ａ 则有
设ｇ ａ ａｔ ｔ２ ａ 欲使 ａｔ ｔ２ 恒成立 （ ｎ ＋１－ ｎ）＝ ｎ＋１， ｎ ＋１－（ ＋１） ｎ＝１，
（ ）＝２ － （－１≤ ≤１）， ２ － ≤０ ， ａ ａ
{ｇ ｎ ＋１ ｎ １ １ １
只需满足 （－１）≤０， ｔ 或ｔ 或ｔ ．故选 ｎ － ｎ ＝ｎ ｎ ＝ ｎ －ｎ ，
ｇ ⇒≥２ ＝０ ≤－２ Ｂ． ＋１ （ ＋１） ＋１
（１）≤０ ａ æａ ａ ö æａ ａ ö æａ ａ ö
２．已知ｘ 时 不等式 ｘ ｍ ｘ ｍ 恒成立 则ｍ 则有 ｎ ＋１ ç ｎ ＋１ ｎ ÷ ç ｎ ｎ －１÷ ç ｎ －１ ｎ －２÷
∈（０，＋∞） ， ９ － ·３ ＋ ＋１＞０ ， ｎ ＝ èｎ － ｎ ø ＋ è ｎ －ｎ ø ＋ èｎ －ｎ ø ＋ … ＋
的取值范围是 ＋１ ＋１ －１ －１ －２
（ ） æａ ａ ö ( ) ( ) ( )
Ａ．２－２ ２＜ ｍ ＜２＋２ ２ Ｂ． ｍ ＜２ è ç ２ ２ － １ １ ø ÷ ＋ ａ １ ＝ ｎ １ －ｎ ＋ １ １ ＋ ｎ － １ １ － ｎ １ ＋ ｎ － １ ２ －ｎ － １ １ ＋…＋
ｍ ｍ ( )
Ｃ． ＜２＋２ ２ Ｄ． ≥２＋２ ２ １ １ ．
答案 Ｃ 解法一 令ｔ ｘ ｔ 则由已知得 函数ｆ ｔ ｔ２ １－ ＋２＝３－ｎ ＜３
： ＝３（ ＞１）， ， （ ）＝ ２ ＋１
ｍｔ ｍ 在ｔ 上的图象恒在横轴的上方 ａ
－ ＋ ＋１ ∈（１，＋∞） ， 对于任意的ａ ｎ Ｎ∗ 不等式 ｎ ＋１ ｔ２ ａｔ 恒成
则对于方程 ｆ ｔ 有 Δ ｍ ２ ｍ 或 ∵ ∈［－２，２］， ∈ ， ｎ ＜２ ＋ －１
（ ） ＝ ０ ＝ （－ ） －４（ ＋１） ＜０ ＋１
ì
ï
Δ
≥０，
立
，∴２
ｔ２
＋
ａｔ
－１≥３，
即
２
ｔ２
＋
ａｔ
－４≥０
．设 ｆ
（
ａ
）＝ ２
ｔ２
＋
ａｔ
－４，
ａ
∈
ïｍ {ｔ２ ｔ
í 解得ｍ ． 可得 ｆ 且 ｆ 即有 ＋ －２≥０，即
ï
ï２
≤１， ＜２＋２ ２ ［－２，２］， （２）≥０ （－２）≥０， ｔ２
－
ｔ
－２≥０，
îｆ ｍ ｍ {ｔ 或ｔ
解 （ 法 １） 二 ＝１ 因 － 为 ＋ ｘ ＋１≥０， 所以 ｘ ｘ ｔ ≥１ 或ｔ ≤－２，可得 ｔ ≥２ 或 ｔ ≤－２， 则实数 ｔ 的取值范围是
： ∈（０，＋∞）， ３ ＞１，３ －１＞０， ≥２ ≤－１，
ｘ ｘ
由 ９ ｘ － ｍ ·３ ｘ ＋ ｍ ＋１＞０ 得ｍ ＜ ９ ｘ ＋１ ， 令ｆ （ ｘ ）＝ ９ ｘ ＋１ ， （－∞，－２］∪［２，＋∞）， 故选 Ａ．
３ －１ ３ －１
表示 求出费用关于ｎ的函数关系 再求其取最小值时ｎ的值．
， ，
解析 设每个半圆柱型大棚的底面半径为ｒ ．
ｍ
例 （２０１９江苏盐城三模，２０）某人承包了一块矩形土 （
１
）当ｎ
＝２０
时，共有
１９
个空地，所以ｒ
＝
９９
２
－
×
１
２
９
０
×１
＝２
，
地ＡＢＣＤ用来种植草莓
，
其中ＡＢ
＝９９ ｍ，
ＡＤ
＝４９
．
５ ｍ
．现规划建造 所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为
π
ｒ２
＋π
ｒ
如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚ｎ （ ｎ ∈ Ｎ∗ ） 个 ， 每个半圆柱型 ·ＡＤ ＝π×２ ２ ＋２π×４９ ． ５＝１０３π （ ｍ ２）．
大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜 接头处忽略不 （ ）设两项费用的和为ｆ（ｎ）元．
（ ２
计 塑料薄膜的价格为每平方米 元 另外 还需在每两个大 （ｎ ） ｎ
）， １０ ； ， 因为ｒ ９９－ －１ ×１ １００－ ，
棚之间留下 宽的空地用于建造排水沟与行走小路 如图中 ＝ ｎ ＝ ｎ
１ ｍ （ ２ ２
ＥＦ 这部分的建设造价为每平方米 ． 元． 所以每个半圆柱型大棚的表面积（不含与地面接触的面）Ｓ
＝１ ｍ）， ３１４
当ｎ 时 求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积 结果 ( ｎ) ２ ｎ
（１） ＝２０ ， ；（ ｒ２ ｒ·ＡＤ １００－ ． １００－ ，
保留 ＝π ＋π ＝π× ｎ ＋π×４９５× ｎ
π） ２ ２
试确定大棚的个数 使得上述两项费用的和最低． 取 则ｆ（ｎ） ｎＳ ． ． （ｎ ）
（２） ， （π ＝１０ ＋３１４×１×４９５ －１
．
[ ( ｎ)
２
ｎ]
３１４） ｎ １００－ ． １００－ ． ． （ｎ ）
＝１０ π× ｎ ＋π×４９５× ｎ ＋３１４×１×４９５ －１
２ ２
[（ ｎ）２ ｎ ]
． １００－ ． １００－ ． （ｎ ）
＝３１４× ｎ ＋４９５× ＋４９５ －１
４ ２
． [（ ｎ）２ ]
解题导引 主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的 ＝ ３１４ × １００ ｎ － ＋９９ （ １００－ ｎ） ＋１９８ （ｎ －１ ）
（１） ４
面积之和 先求出每个半圆柱型大棚的底面半径 再求每个半圆 ． ( ２ ) ． [ ( ) ]
， ， ３１４ １００ ｎ ３１４ １００ ｎ ．
柱型大棚的表面积 不含与地面接触的面 ． ＝ × ｎ ＋１００ ＋９５０２ ＝ × １００× ｎ ＋ ＋９５０２
（ ） ４ ４
设每个半圆柱型大棚的底面半径为ｒ 由已知条件知 ｎ
（２） ｍ， ， 因为１００ ｎ １００·ｎ ，所以，当且仅当１００ ｎ，即ｎ
个半圆柱型大棚间有 ｎ 个 米宽的空地 分析出ｎ ｒ之间的关 ｎ ＋ ≥２ ｎ ＝２０ ｎ ＝ ＝
（ －１） １ ， ，
系 即 ｎｒ ｎ 再把ｒ用ｎ表示出来 将总建设造价均用ｎ 时， ｆ（ｎ）取得最小值 ． ．
， ２ ＋（ －１）×１＝９９， ， １０ ９０２９０７
专题二 不等式 ６９
答：当大棚的个数为 时，上述两项费用的和最低．
１０
２．（２０２０课标Ⅱ，文４，理３，５分）在新冠肺炎疫情防控期间 某
，
超市开通网上销售业务 每天能完成 份订单的配货 由于
， １ ２００ ，
订单量大幅增加 导致订单积压．为解决困难 许多志愿者踊跃
， ，
１．（２０２０山东潍坊开学考试，６） 几何原本 卷 的几何代数法
报名参加配货工作．已知该超市某日积压 份订单未配货 预
《 》 ２
５００ ，
以几何方法研究代数问题 成了后世西方数学家处理问题的
计第二天的新订单超过 份的概率为 ． ．志愿者每人每天
（ ）
１６００ ００５
重要依据 通过这一原理 很多的代数的公理或定理都能够通
能完成 份订单的配货 为使第二天完成积压订单及当日订单
， ，
５０ ，
过图形实现证明 也称之为无字证明．现有如图所示图形 点Ｆ
的配货的概率不小于 ． 则至少需要志愿者
， ，
０９５， （ ）
在半圆Ｏ上 ， 点Ｃ在直径ＡＢ上 ， 且ＯＦ ⊥ ＡＢ ， 设ＡＣ ＝ ａ ， ＢＣ ＝ ｂ ， 名 名 名 名
Ａ．１０ Ｂ．１８ Ｃ．２４ Ｄ．３２
则该图形可以完成的无字证明为 答案 Ｂ
（ ）
３．某项研究表明 在考虑行车安全的情况下 某路段车流量Ｆ 单
： ， （
位时间内经过测量点的车辆数 单位 辆／小时 与车流速度ｖ
， ： ）
假设车辆以相同速度 ｖ 行驶 单位 米／秒 平均车长 ｌ 单
（ ， ： ）、 （
ｖ
位 米 的值有关 其公式为Ｆ ７６０００ ．
： ） ， ＝ｖ２ ｖ ｌ
ａ ｂ ＋１８ ＋２０
Ａ．
＋
≥
ａｂ
（
ａ
＞０，
ｂ
＞０） Ｂ．
ａ２
＋
ｂ２
≥２
ａｂ
（
ａ
＞０，
ｂ
＞０） （１）
如果不限定车型
，
ｌ
＝６
．
０５，
则最大车流量为 辆／小时
；
２ 如果限定车型 ｌ 则最大车流量比 中的最大车流量
（２） ， ＝５， （１）
２ ａｂ ａｂ ａ ｂ ａ ＋ ｂ ａ２ ＋ ｂ２ ａ ｂ 增加 辆／小时．
Ｃ．ａ ｂ≤ （ ＞０， ＞０） Ｄ． ≤ （ ＞０， ＞０）
＋ ２ ２ 答案
答案 Ｄ （１）１９００ （２）１００
考点一 基本不等式及其应用 ａ４ ｂ４
５．（２０１７天津，１２，５ 分）若 ａ ｂ Ｒ ａｂ 则 ＋４ ＋１的最小
１．（２０２０江苏，１２，５ 分）已知 ｘ２ｙ２ ｙ４ ｘ ｙ Ｒ 则 ｘ２ ｙ２ ， ∈ ， ＞０， ａｂ
５ ＋ ＝１（ ， ∈ ）， ＋
的最小值是 ． 值为 ．
答案
答案 ４ ４
５ 考点二 不等式的综合应用
２．（２０２０天津，１４，５分）已知ａ ＞０， ｂ ＞０， 且ａｂ ＝１， 则 １ ａ＋ １ ｂ＋ａ ８ ｂ ６．（２０１９北京，１４，５ 分）李明自主创业 在网上经营一家水果
２ ２ ＋ ，
的最小值为 ． 店 销售的水果中有草莓 京白梨 西瓜 桃 价格依次为 元／
， 、 、 、 ， ６０
答案 盒 元／盒 元／盒 元／盒．为增加销量 李明对这四种水
４ 、６５ 、８０ 、９０ ，
ｘ ｙ 果进行促销 一次购买水果的总价达到 元 顾客就少付ｘ
３．（２０１９天津，１３，５分）设ｘ ｙ ｘ ｙ 则（ ＋１）（２ ＋１） ： １２０ ，
＞０， ＞０， ＋２ ＝５， ｘｙ 元．每笔订单顾客网上支付成功后 ， 李明会得到支付款的 ８０ ％．
的最小值为 ． ①
当ｘ
＝１０
时
，
顾客一次购买草莓和西瓜各
１
盒
，
需要支付
元
答案 ；
４ ３ 在促销活动中 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促
② ，
４．（２０１８天津，１３，５分）已知ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ 则 ａ １ 销前总价的七折 则ｘ的最大值为 ．
， ∈ ， －３ ＋６＝０， ２ ＋ ｂ ，
８ 答案
的最小值为 ． ①１３０ ②１５
答案 １
４
考点一 基本不等式 ａ ｂ ａ ｂ
ａｂ ｐ ａ ｂ ＋ ａｂ ＋ ａｂ ｐ ｒ
＝ｌｎ ＝ ，∵ ０＜ ＜ ，∴ ＞ ，∴ ｌｎ ＞ｌｎ ，∴ ＝
１．（２０１５陕西，理９，５分）设ｆ ｘ ｘ ａ ｂ 若ｐ ｆ ａｂ ｑ ２ ２
（ ）＝ｌｎ ，０＜ ＜ ， ＝ （ ）， ｑ．
(ａ ｂ) ＜
ｆ ＋ ｒ １ ｆ ａ ｆ ｂ 则下列关系式中正确的是 ｘ ｙ
＝ ， ＝ （ （ ）＋（ ））， ２．（２０１５福建理，５，５分）若直线 ａ ｂ 过点
２ ２ ａ ＋ ｂ ＝１（ ＞０， ＞０） （１，
（ ） 则ａ ｂ的最小值等于
ｑ ｒ ｐ ｑ ｒ ｐ ｐ ｒ ｑ ｐ ｒ ｑ １）， ＋ （ ）
Ａ． ＝ ＜ Ｂ． ＝ ＞ Ｃ． ＝ ＜ Ｄ． ＝ ＞
ａ ｂ Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
答案 Ｃ 由题意得ｐ ａｂ ｑ ＋ ｒ １ ａ ｂ ｘ ｙ
＝ｌｎ ， ＝ｌｎ ， ＝ （ｌｎ ＋ｌｎ ） 答案 Ｃ 因为直线 ａ ｂ 过点 所以
２ ２ ａ ＋ ｂ ＝１（ ＞０， ＞０） （１，１），
７０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) ａ ｂ
１ １ ．所以 ａ ｂ ａ ｂ １ １
ａ ＋ ｂ ＝１ ＋ ＝（ ＋ ）· ａ ＋ ｂ ＝２＋ ｂ ＋ ａ ≥２＋
ａ ｂ
当且仅当ａ ｂ 时取 故选 ．
２ ｂ · ａ ＝４， ＝ ＝２ “＝”， Ｃ ＢＡ ＡＤ ｃ
∴ ＢＣ＝ＤＣ＝ ａ ，
３．（２０１５湖南文，７，５分）若实数ａ ｂ满足 １ ２ ａｂ 则ａｂ
， ａ ＋ ｂ ＝ ， ＡＤ ＡＥ ＤＥ ｃ
ＤＥ ＣＢ
的最小值为 ∵ ∥ ，∴ ＡＣ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ａ ｃ，
（ ） ＋
ａ ｃ
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ．２ ２ Ｄ．４ Ｂ→Ｅ →ＢＡ Ｅ→Ｄ Ｂ→Ｃ．
∴ ＝ａ ｃ ， ＝ａ ｃ
＋ ＋
答案 Ｃ 依题意知ａ ｂ 则 １ ２ ２ ２ ２ 当 ａ ｃ
＞０， ＞０， ａ ＋ ｂ ≥２ ａｂ ＝ ａｂ， Ｂ→Ｄ →ＢＡ Ｂ→Ｃ．
∴ ＝ａ ｃ ＋ａ ｃ
＋ ＋
且仅当 １ ２ 即ｂ ａ时 成立．因为 １ ２ ａｂ 所以 ( ａ ｃ ) ２
ａ ＝ ｂ ， ＝２ ，“＝” ａ ＋ ｂ ＝ ， Ｂ→Ｄ２ →ＢＡ Ｂ→Ｃ
∴ ＝ ａ ｃ ＋ａ ｃ ，
＋ ＋
ａｂ
≥
２
ａ
２
ｂ，
即ａｂ
≥２ ２，
所以ａｂ的最小值为
２ ２，
故选
Ｃ
．
∴ １ ＝
(
ａ
ａ
ｃ
→ＢＡ ) ２
＋
(
ａ
ｃ
ｃ
Ｂ→Ｃ ) ２
＋２·ａ
ａ
ｃ·ａ
ｃ
ｃ ｜
→ＢＡ
｜ · ｜
Ｂ→Ｃ
｜
＋ ＋ ＋ ＋
( )
４．（２０１４重庆文，９，５分）若 ａ ｂ ａｂ 则ａ ｂ的
ｌｏｇ４（３ ＋４ ）＝ｌｏｇ２ ， ＋
× －
１
，
最小值是 ２
（ ）
ａｃ ２
（ ） ａｃ ａ ｃ １ １
Ａ．６＋２ ３ Ｂ．７＋２ ３ Ｃ．６＋４ ３ Ｄ．７＋４ ３ ∴１＝ ａ ｃ ２，∴ ＝ ＋ ，∴ ａ ＋ ｃ ＝１，
答案 Ｄ 由 ｌｏｇ４（３ ａ ＋４ ｂ ）＝ｌｏｇ２ ａｂ ，
ａ
（
ｃ
＋ ）
ａ ｃ
(
１ １
) ｃ
４
ａ
当且仅当
ｃ
４
ａ
得 ａ ｂ ａｂ 且ａ ｂ ∴４ ＋ ＝（４ ＋ ） ａ ＋ ｃ ＝５＋ ａ ＋ ｃ ≥９， ａ ＝ ｃ ，
３ ＋４ ＝ ， ＞０， ＞０，
ｂ
ａ ４ 由ａ 得ｂ ． 即ａ ３ ｃ 时取 ．
∴ ＝ｂ ， ＞０， ＞３ ＝ ， ＝３ “＝”
－３ ２
ｂ ｂ 一题多解 以Ｂ为原点 ＢＤ所在直线为ｘ轴建立如图所示的
ａ ｂ ｂ ４ ｂ ４（ －３）＋１２ ｂ １２ ２ ，
∴ ＋ ＝ ＋ｂ ＝ ＋ ｂ ＝（ －３）＋ｂ ＋７≥２ １２＋７＝
－３ －３ －３ 平面直角坐标系
，
即ａ ｂ的最小值为 ．
４ ３＋７， ＋ ７＋４ ３
考点二 不等式综合应用
１．（２０１４福建，９，５分）要制作一个容积为 ３ 高为 的无
４ ｍ ， １ ｍ
盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 元 侧面
２０ ，
造价是每平方米 元 则该容器的最低总造价是
１０ ， （ ）
Ａ． 答 ８０ 案 元 Ｃ 设 Ｂ 底 ．１ 面 ２０ 矩 元 形的长和 Ｃ 宽 ．１６ 分 ０ 别 元 为ａ Ｄ ｂ ．２４０ 则 元 ａｂ ．容 则Ｄ （１，０） ． ∵ ＡＢ ＝ ｃ ， ＢＣ ＝ ａ ，∴ Ａ æ è ç ｃ ， ３ｃ ö ø ÷ ， Ｃ æ è ç ａ ，－ ３ａ ö ø ÷．
ｍ、 ｍ， ＝４ ２ ２ ２ ２
器的总造价为 ａｂ ａ ｂ ａ ｂ 元
２０ ＋２（ ＋ ）×１０＝［８０＋２０（ ＋ ）］ ，８０＋ Ａ Ｄ Ｃ三点共线 Ａ→Ｄ Ｄ→Ｃ
∵ ， ， ，∴ ∥ ，
ａ ｂ ａｂ 当且仅当ａ ｂ时等号成立 ．故
２０（ ＋ ）≥８０＋４０ ＝１６０（ ＝ ） ( ｃ )æ ö ( ａ )
选 ． ç ３ａ÷ ３ｃ
Ｃ ∴ １－ è－ ø＋ －１ ＝０，
２．（２０１８江苏，１３，５ 分）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别 ２ ２ ２ ２
△ ， ， ，
为ａ ｂ ｃ ＡＢＣ ° ＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｄ 且ＢＤ ａｃ ａ ｃ １ １
， ， ，∠ ＝１２０ ，∠ ， ＝ ∴ ＝ ＋ ，∴ ａ ＋ ｃ ＝１，
１， 则 ４ ａ ＋ ｃ的最小值为 ． ( ) ｃ ａ ｃ ａ
答案 ａ ｃ ａ ｃ １ １ ４ 当且仅当 ４
９ ∴４ ＋ ＝（４ ＋ ） ａ ＋ ｃ ＝５＋ ａ ＋ ｃ ≥９， ａ ＝ ｃ ，
解析 本题考查基本不等式及其应用．
即ａ ３ ｃ 时取 ．
依题意画出图形 如图所示． ＝ ， ＝３ “＝”
， ２
３．（２０１７江苏，１０，５分）某公司一年购买某种货物 吨 每次
６００ ，
购买ｘ吨 运费为 万元／次 一年的总存储费用为 ｘ万元．要
， ６ ， ４
使一年的总运费与总存储费用之和最小 则 ｘ 的值
，
易知Ｓ Ｓ Ｓ 是 ．
△
ＡＢＤ＋
△
ＢＣＤ＝
△
ＡＢＣ，
答 案
即 １ ｃ ° １ ａ ° １ ａｃ ° ３０
ｓｉｎ６０ ＋ ｓｉｎ６０ ＝ ｓｉｎ１２０ ， 解析 设总费用为ｙ万元
２ ２ ２ ，
( )
ａ ｃ ａｃ １ １ 则ｙ ６００ ｘ ｘ ９００ ．
∴ ＋ ＝ ，∴ ａ ＋ ｃ ＝１， ＝ ｘ ×６＋４ ＝４ ＋ ｘ ≥２４０
( ) ｃ ａ
ａ ｃ ａ ｃ １ １ ４ 当且仅当ｘ ９００ 即ｘ 时 等号成立．
∴４ ＋ ＝（４ ＋ ） ａ ＋ ｃ ＝５＋ ａ ＋ ｃ ≥９， ＝ ｘ ， ＝３０ ，
ｃ ａ 易错警示 ．ａ ｂ ａｂ ａ ｂ 中 成立的条件是ａ
当且仅当 ４ 即ａ ３ ｃ 时取 ． １ ＋ ≥２ （ ＞０， ＞０） “＝”
ａ ＝ ｃ ， ＝ ， ＝３ “＝” ｂ．
２ ＝
一题多解 作ＤＥ ＣＢ交ＡＢ于Ｅ ＢＤ为 ＡＢＣ的平分线 ．本题是求取最值时变量ｘ的值 不要混同于求最值．
１ ∥ ，∵ ∠ ， ２ ，
专题二 不等式 ７１
ｘ ｙ 即可求ｘｙ的最大值 最终得到原式的最小值 在此应特别注意
４．（２０１７山东，１２，５分）若直线 ａ ｂ 过点 ， ，
ａ ＋ ｂ ＝１（ ＞０， ＞０） （１， 基本不等式的使用条件 一正 二定 三相等 注意等号是否
“ 、 、 ”，
则 ａ ｂ的最小值为 ． 成立．
２）， ２ ＋
答案
８ ６．（２０１５重庆文，１４，５分）设ａ ， ｂ ＞０， ａ ＋ ｂ ＝５， 则 ａ ＋１＋ ｂ ＋３
解析 由题设可得 １ ２ ａ ｂ 的最大值为 ．
ａ ＋ ｂ ＝１，∵ ＞０， ＞０，
答案
( ) ｂ ａ ｂ ａ ３ ２
ａ ｂ ａ ｂ １ ２ ４ ４ 解析 解法一 令ｔ ａ ｂ
∴２ ＋ ＝（２ ＋ ） ａ ＋ ｂ ＝２＋ ａ ＋ ｂ ＋２≥４＋２ ａ · ｂ ＝ ： ＝ ＋１＋ ＋３，
(
当且仅当
ｂ
４
ａ
即ｂ ａ时 等号成立
)
．
则ｔ２ ＝（ ａ ＋１＋ ｂ ＋３） ２ ＝ ａ ＋１＋ ｂ ＋３＋２ ａ ＋１· ｂ ＋３≤９＋ ａ ＋１
８ ａ ＝ ｂ ， ＝２ ， ｂ
＋ ＋３＝１８，
故 ａ ｂ的最小值为 ． 当且仅当 ａ ｂ
２ ＋ ８ ＋１＝ ＋３，
５．（２０１９ 天津文，１３，５ 分） 设 ｘ ｙ ｘ ｙ 则
＞ ０， ＞ ０， ＋ ２ ＝ ４， 即ａ ７ ｂ ３ 时 等号成立．
ｘ ｙ ＝ ， ＝ ，
（ ＋１）（２ ＋１）的最小值为 ． ２ ２
ｘｙ 即ｔ的最大值为 ．
３ ２
答案 ９ 解法二 设 ａ ｍ ｂ ｎ
： ＋１＝ ， ＋３＝ ，
２ 则ｍ ｎ均大于零
解析 本题主要考查基本不等式的运用．考查学生对基本不 ， ，
因为ｍ２ ｎ２ ｍｎ
等式及其简单变形使用条件的掌握程度 以及学生的推理 运 ＋ ≥２ ，
， 、 所以 ｍ２ ｎ２ ｍ ｎ ２
算能力． ２（ ＋ ）≥（ ＋ ） ，
ｘ ｙ ｘｙ ｘ ｙ ｘｙ
所以ｍ
＋
ｎ
≤ ２·
ｍ２
＋
ｎ２
，
（ ＋１）（２ ＋１） ２ ＋ ＋２ ＋１ ２ ＋５ ５ ．
ｘｙ ＝ ｘｙ ＝ ｘｙ ＝２＋ｘｙ 所以 ａ ｂ ａ ｂ
＋１＋ ＋３≤ ２· ＋１＋ ＋３＝３ ２，
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ 解得 ｘｙ 当且仅当ｘ 当且仅当 ａ ｂ
∵ ＞０， ＞０，∴４＝ ＋２ ≥２ ·２ ， ０＜ ≤２， ＋１＝ ＋３，
ｙ 即ｘ 且ｙ 时 成立．此时 １ １ ５ 即ａ ７ ｂ ３ 时 成立
＝２ ＝２， ＝２ ＝１ “＝” ｘｙ≥ ，∴ ２＋ｘｙ≥２ ＝ ， ＝ ，“＝” ，
２ ２ ２
ｘ ｙ 所以所求最大值为 ．
５ ９ 故（ ＋１）（２ ＋１）的最小值为 ９ ． ３ ２
＋ ＝ ， ｘｙ
２ ２ ２
思路分析 首先将分子展开 并把已知条件ｘ ｙ 代入 则
， ＋２ ＝４ ，
原式化简为 ５ 注意到ｘ与 ｙ的和为定值 用基本不等式
２＋ｘｙ， ２ ，
时间： 分钟 分值： 分
３５ ６０
一、单项选择题 每题 分 共 分 ４．（２０２０湖北华师一附中、黄冈中学等八校第一次联考，５）已知
（ ５ ， ２５ ）
１．（２０２１届陕西咸阳第三次质量检测，５）已知ｆ ｘ ｘ２
（ ）＝ｌｎ（ ＋１）， ｘ ｙ 且 １ ９ 则ｘ ｙ的最小值为
( )ｘ ＞０， ＞０， ｘ ＋ ｙ ＝１， ＋ （ ）
ｇ ｘ １ ｍ 若 ｘ ｘ 使得ｆ ｘ
（ ）＝ － ， ∀ １∈［０，３］，∃ ２∈［１，２］， （ １）≥
２ Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４
ｇ ｘ 则实数ｍ的取值范围是 答案 Ｂ
（ ２）， （ ）
[ ) ( ] ５．（２０１９广东惠州三调，１０）在 ＡＢＣ中 点Ｄ是ＡＣ上一点 且
１ １ △ ， ，
Ａ． ，＋∞ Ｂ． －∞，
４ ４ →ＡＣ Ａ→Ｄ Ｐ为ＢＤ上一点 向量→ＡＰ λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ
[ ) ( ] ＝４ ， ， ＝ ＋ （ ＞０， ＞０），
１ １
Ｃ． ，＋∞ Ｄ． －∞，－ 则 ４ １ 的最小值为
２ ２ λ＋ μ （ ）
答案 Ａ
２．（２０２１届江苏苏州四市五区期初调研，８）设ａ ｂ 且 ａ Ａ．１６ Ｂ．８ Ｃ．４ Ｄ．２
＞０， ＞０， ２ ＋ 答案 Ａ
ａ
ｂ 则 １ ２
＝１， ａ ＋ａ ｂ （ ） 二、多项选择题 每题 分 共 分
＋ （ ５ ， ２５ ）
有最小值 有最小值 ６．（２０２１届广东佛山顺德第二次教学质量检测，１６）已知ａ ｂ
Ａ． ４ Ｂ． ２ ２＋１ ＞ ＞
且ａ ｂ 则
有最小值１４ 无最小值 ０， ＋ ＝１， （ ）
Ｃ． Ｄ．
３ ｂ ａ ２ １
答案 Ｂ Ａ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ Ｂ． ａ ＋ ｂ ＞６
ａｂ ｂａ ａ ｂ
－
ｂ
－
ａ
３．（２０２０ 山东百师联盟测试二，６）已知 ｘ ｙ 均为正数 且 １ Ｃ． ＜ Ｄ．２ －２ ＞２ －２
， ， ｘ ， 答案 ＡＤ
７．（２０２１届山东潍坊四中“十一”假期检测，１０）已知ａ ｂ
１ ２ 成等差数列 则ｘ ｙ的最小值为 ＞１， ＞０，
， ｙ ， ＋ （ ）
２ 且 １ ４ 则下列命题正确的是
ａ ＋ ｂ ＝１， （ ）
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ ２ Ｄ．３＋２ ２ －１
答案 Ｄ ａ ａｂ ｂ的最小值为
Ａ． ＞２ Ｂ． － １６
７２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
列结论中一定成立的是
ａ ｂ的最小值为 １ ９ 的最小值为 （ ）
Ｃ． ＋ ９ Ｄ．ａ ＋ ｂ ２
－２ ａ２ ｂ２ 的最小值是 １
答案 ＡＢＤ Ａ． ＋
２
８．（２０２１届山东济宁鱼台第一中学第一次月考，１１）给出下面四
ａｂ １ 的最小值是
个推断 其中正确的为 Ｂ． ＋ａｂ ２
， （ ）
ｂ ａ ａ ｂ的最大值是
若ａ ｂ 则 Ｃ． ＋ ２
Ａ． ， ∈（０，＋∞）， ａ ＋ ｂ ≥２
４ ９ 的最小值是
若ｘ ｙ 则 ｘ ｙ ｘ ｙ Ｄ． ａ ＋ ｂ ２５
Ｂ． ， ∈（０，＋∞） ｌｇ ＋ｌｇ ≥２ ｌｇ ·ｌｇ
答案 ＡＣＤ
若ａ Ｒ ａ 则 ４ ａ
Ｃ． ∈ ， ≠０， ａ ＋ ≥４
三、填空题 每题 分 共 分
ｘ ｙ （ ５ ， １０ ）
若ｘ ｙ Ｒ ｘｙ 则 １１．（２０２０江苏扬州江都大桥高级中学月考，６）已知 ｘ ｙ 为正
Ｄ． ， ∈ ， ＜０， ｙ ＋ ｘ ≤－２ ，
答案 ＡＤ 数 且 １ ４ 则ｘ ｙ的最小值为 ．
， ｘ＋ ｙ ＝１， ＋
９．（２０２１届山东青岛期初调研，１１）若ａ ｂ ａ ｂ 则 ２＋
＞０， ＞０， ＋ ＝２， 答案
７
（ ） １２．（２０２１届广东云浮９月月考，１５）已知ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｇ ｘ
（ ）＝ －２ ＋４， （ ）
Ａ． ａｂ ≤１ Ｂ． ａ ＋ ｂ ≤ ２ ＝ ａｘ （ ａ ＞０ 且ａ ≠１）， 若对任意的ｘ １∈［１，２］， 都存在ｘ ２∈［－１，
使得ｆ ｘ ｇ ｘ 成立 则实数ａ的取值范围是 ．
Ｃ． ａ２ ＋ ｂ２ ≥２ Ｄ． １ ａ ＋ １ ｂ ≥２ ２］， ( （ １）＜ ) （ ２） ，
答案 ＡＣＤ 答案 ０， １
４
∪（２，＋∞）
１０．（２０２１届广东云浮９月月考，９）已知ａ ｂ ａ ｂ 则下
＞０， ＞０， ＋ ＝１，
专题二 不等式 ７３
１．（２０２０山东师大附中第一次月考，１２）下列不等式一定成立的是 ｂ ａ
当且仅当２（ ＋１） ＋１时取 故选 ．
２ ２， ａ ＝ｂ “＝”， Ｂ
（ ） ＋１ ＋１
( ) ５．（２０１８河北大名一中月考）已知关于ｘ的不等式ｘ２ ａｘ ａ２
ｘ２ １ ｘ ｘ ｘ １ ｘ ｋ ｋ Ｚ －４ ＋３ ＜
Ａ．ｌｇ ＋ ＞ｌｇ （ ＞０） Ｂ．ｓｉｎ ＋ ｘ≥２（ ≠ π， ∈ ） ａ
４ ｓｉｎ ａ 的解集为 ｘ ｘ 则ｘ ｘ 的最大值是
０（ ＜０） （ １， ２）， １＋ ２＋ｘ ｘ （ ）
ｘ２ ｘ ｘ Ｒ １ ｘ Ｒ １ ２
Ｃ． ＋１≥２｜ ｜（ ∈ ） Ｄ．ｘ２ ＞１（ ∈ ）
＋１ ６ ２ ３ ４ ３ ４ ３
答案 Ｃ 本题主要考查应用基本不等式求最值 考查的核 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
， ３ ３ ３ ３
答案 Ｄ 由题意知ｘ ｘ 是方程ｘ２ ａｘ ａ２ 的两根．
心素养是逻辑推理．对于
Ａ，
由于ｘ２
＋
１
≥２
ｘ２
·
１
＝
ｘ
，
当且 １， ２ －４ ＋３ ＝０
ａ
４ ４ 由根与系数的关系得ｘ ｘ ａ２ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ ａ
１ ２＝３ ， １＋ ２＝４ ，∴ １＋ ２＋ｘ ｘ ＝４ ＋
仅当ｘ １ 时 取 故 不正确 １ ２
＝ ， “＝”， Ａ ； ( )
２ １ ａ ａ １ ａ １ ４ ３ 即 ａ １
ａ，∵ ＜０，∴ － ４ ＋ ａ ≥２ ４ · ａ ＝ ， ４ ＋ ａ≤
对于 当ｘ 时 ｘ ｘ １ 故 不正 ３ ３ ３ ３ ３
Ｂ， ∈（π，２π） ，ｓｉｎ ＜０，ｓｉｎ ＋ ｘ≤－２， Ｂ
ｓｉｎ ４ ３ 当且仅当 ａ １ 即ａ ３时 取
确 对于 ｘ２ ｘ ｘ ２ 恒成立 故 正确 － ， ４ ＝ ａ， ＝－ ， “＝”，
； Ｃ， ＋１－２｜ ｜＝（｜ ｜－１） ≥０ ， Ｃ ； ３ ３ ６
对于 当ｘ 时 １ 故 不正确． ａ
２．（２０２ Ｄ ０ ， 西南四 ＝０ 省八 ， 校 ｘ２ ＋ ９ １ ＝ 月 １ 联 ， 考 Ｄ ，１２）若ｘ ＞０， ｙ ＞０， ｘ ＋２ ｙ ＝１， 则 ６．（ 故 ２０ ｘ １ １ ＋ ９ ｘ ２ 晋 ＋ｘ 冀 １ ｘ 鲁 ２ 的 豫 最 名 大 校 值 期 为 末 － 联 ４ ３ 考 ３． ， 故 １０ 选 ）已 Ｄ． 知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ ｅ ｘ ， 若ａ
ｘｙ 的最大值为 (ａ２ ｂ２ ) ((ａ ｂ) ２ )
２ ｘ ＋ ｙ （ ） ＞０， ｂ ＞０， ｐ ＝ ｆ ＋ ， ｑ ＝ ｆ ＋ ， ｒ ＝ ｆ （ ａｂ ）， 则 （ ）
２ ２
１ １ １ １ ｑ ｒ ｐ ｑ ｐ ｒ ｒ ｐ ｑ ｒ ｑ ｐ
Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ９ Ｄ． １２ Ａ． ≤ ≤ Ｂ． ≤ ａ ≤ ２ ｂ２ (ａ Ｃ． ｂ ≤ ) ２ ≤ ａ２ ｂ Ｄ ２ ． ≤ ａ２ ≤ ｂ２ ａｂ
答案 Ｄ 因为 ＋ ＋ ２ ＋２ ＋ ＋２
答案 Ｃ ｘ ｘｙ ｙ＝ １ ，∵ ｘ ＞０， ｙ ＞０， ｘ ＋２ ｙ ＝１，∴ １ ｘ ＋ ２ ｙ ＝ ２ － ２ ＝ ４ － ４ ＝
２ ＋ ２ １ ａ ｂ ２
ｙ ＋ ｘ （ － ）
≥０，
４
( １ ２ ) ( １ ２ ) ｘ ｙ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ ｘ 所以 ａ２ ＋ ｂ２ (ａ ＋ ｂ) ２ 又 ａ ＋ ｂ ａｂ ａ ｂ 所以 (ａ ＋ ｂ) ２
ｘ ＋ ｙ ·１＝ ｘ ＋ ｙ （ ＋２ ）＝５＋ ｘ ＋ ｙ ≥５＋２ ｘ · ｙ ≥ ， ≥ （ ＞０， ＞０）， ≥
２ ２ ２ ２
{
２
ｙ
２
ｘ ａｂ．易得函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
ｅ
ｘ 在
（０，＋∞）
上单调递增
，
所以ｆ
（
ａｂ
）≤
＝５＋４＝９， 当且仅当 ｘ ＝ ｙ ，即ｘ ＝ ｙ ＝ １ 时 ， 取 “＝”， ｆ ((ａ ＋ ｂ) ２ ) ｆ (ａ２ ＋ ｂ２ ) 即ｒ ｑ ｐ．
ｘ ｙ ３ ≤ ， ≤ ≤
＋２ ＝１， ２ ２
１ １ 故
ｘｙ
的最大值为 １ 选 ． ７．（２０２０河南濮阳第二次检测，９）已知ａ ｂ 则
ａ２ ｂ２
的
∴ ≤ ， ｘ ｙ ， Ｃ ＞２， ＞２， ｂ ＋ａ
２ １ ９ ２ ＋ ９ －２ －２
ｙ ＋ ｘ 最小值为
（ ）
ｘ
３．（２０２０山东青岛期初调研，８）函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ ２ ＋４ ｘ 的 Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．１６
（ ）＝ ＋ ＋ ｘ２ （ ＞０） 答案 Ｄ 因为ａ ｂ 所以ａ ｂ ．
＞２， ＞２， －２＞０， －２＞０
最小值为 令ｘ ｂ ｙ ａ 则ｘ ｙ ．
（ ） ＝ －２， ＝ －２， ＞０， ＞０
Ａ．４＋２ ２ Ｂ．４ ２ Ｃ．８ Ｄ． ２＋２ 原 式 （ ｙ ＋２） ２ （ ｘ ＋２） ２ （ ｙ ＋２） ２ （ ｘ ＋２） ２
ｘ ＝ ｘ ＋ ｙ ≥ ２ ｘ · ｙ ＝
答案 Ａ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ ２ ＋４ ｘ２ ４ ｘ ２
∵ ＞０，∴ （ ）＝ ＋ ＋ ｘ２ ＝ ＋ｘ２ ＋ ＋ ｘ ≥
ｘｙ ｘ ｙ ２ ｘｙ ｘｙ ２
ì ［ ＋２（ ＋ ）＋４］ （ ＋４ ＋４）
ï
ï
ｘ２
＝ｘ
４
２，
２ ｘｙ ≥ ２ ｘｙ ＝
２ ｘ２ ·ｘ ４ ２ ＋２ ｘ · ２ ｘ ＝４＋２ ２， 当且仅当 î í ï ïｘ ＝ ２ ｘ ， 即 ｘ ＝ ２ ２ æ è ç ｘｙ ＋４ ｘｙ ｘｙ ＋４ ö ø ÷ ２ ＝ ２ æ è ç ｘｙ ＋ ４ ｘｙ＋４ ö ø ÷ ２ ≥
时取 ｆ ｘ 故选 ． æ ö２
“＝”，∴ （ ）ｍｉｎ＝４＋２ ２， Ａ ç ｘｙ ４ ÷ ．
４．（２０１８福建厦门外国语中学模拟，１０）已知实数 ａ
＞０，
ｂ
＞０，
２ è２ · ｘｙ＋４ø ＝１６
１ １ 则ａ ｂ的最小值是 当且仅当ｘ ｙ 时取等号．故选 ．
ａ ＋ｂ ＝１， ＋２ （ ） ＝ ＝２ Ｄ
＋１ ＋１ 思路分析 利用换元思想 设ｘ ｂ ｙ ａ 则ｘ ｙ 将
， ＝ －２， ＝ －２， ＞０， ＞０，
Ａ．３ ２ Ｂ．２ ２ Ｃ．３ Ｄ．２ 原式化为（ ｙ ＋２） ２ （ ｘ ＋２） ２ 两次使用基本不等式求解．
ｘ ＋ ｙ ，
答案 Ｂ ａ ｂ ａ ｂ 又 １ １
∵ ＞０， ＞０，∴ ＋１＞１， ＋１＞１， ∵ ａ ＋ｂ ＝１， ８．（２０１９新疆昌吉教育共同体联考，９）在 和 之间插入 ｎ
＋１ ＋１ １ １７ （ －
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 个数 使这ｎ个数成等差数列 若这 ｎ 个数中第一个为
∴ ＋２ ＝［（ ＋１）＋２（ ＋１）］－３＝［（ ＋１）＋２（ ＋１）］· ２） ， ， （ －２）
( ) ｂ ａ ｂ ａ
１ １ ２（ ＋１） ＋１ ２（ ＋１） ＋１ ａ 第 ｎ 个为ｂ 当 １ ２５取最小值时 ｎ的值为
ａ ＋ｂ －３＝１＋ ａ ＋ｂ ＋２－３≥２ ａ ·ｂ ＝ ， （ －２） ， ａ ＋ ｂ ， （ ）
＋１ ＋１ ＋１ ＋１ ＋１ ＋１
７４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ ａ
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ａ ａ ａ １＋ ３ ａ ａ 即ａ ａ ａ 故 正确
( ) ａ ｂ ０，∴ ３＞ ２＞ １＞０，∴ ＞ １ ３， ２＞ １ ３， Ｃ ；
答案 Ｄ 由已知得ａ ｂ 则 １ ２５ １ ２５ ＋ ２
＋ ＝１８， ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ × ＝
( ｂ ａ)
１８ 对于
Ｄ，
令ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ（１＋
ｘ
）－
ｘ
＋
１ ｘ２
，
ｘ
≥０，
则ｆ ′
（
ｘ
）＝
１
ｘ－１＋
１ ２５ １ 当且仅当 ｂ ａ 时取 ８ １＋
１＋２５＋ ａ ＋ ｂ ≥ ×（２６＋１０）＝ ２， ＝５
１８ １８ ｘ １ ｘ ｘ １ ｘ２ ３ ｘ
等号 此时ａ ｂ 可得ｎ ．故选 １－（１＋ ）＋ （１＋ ） － ｘ２ ｘ
， ＝３， ＝１５， ＝９ Ｄ． １ｘ ４ ４ ４ －３ ｘ 令 ｆ ′
ｘ ＝ ｘ ＝ ｘ ＝ ｘ ， ＞０，
９．（２０１９辽宁沈阳东北育才学校五模，９）已知函数ｆ ｘ ２ －１ ４ １＋ １＋ ４（１＋ ）
（ ）＝ ｘ ＋ ｘ 可得ｘ 令ｆ ′ ｘ 可得 ｘ 因此函数ｆ ｘ
２ ＋１ （ ）＞０， ＞３， （ ）＜０， ０＜ ＜３， （ ）＝
ｘ ｘ 若正实数ａ ｂ满足ｆ ａ ｆ ｂ 则 １ １ 的最小 ｘ ｘ １ ｘ２ 在 上为减函数 在 上为增
＋ｓｉｎ ， ， （４ ）＋（ －９）＝０， ａ ＋ ｂ ｌｎ（１＋ ）－ ＋ ［０，３） ， ［３，＋∞）
８
值是 函数
（ ） ，
ｆ 当ｘ 时 ｆ ｘ 恒成立 故
９ ∵ （０）＝ｌｎ１－０＋０＝０，∴ ∈（０，３］ ， （ ）＜０ ，
Ａ．１ Ｂ． Ｃ．９ Ｄ．１８
２ 当ｘ 时 ｘ ｘ １ ｘ２ 不恒成立 故 不正确
ｘ － ｘ ∈［０，＋∞） ，ｌｎ（１＋ ）≥ － ， Ｄ ，
答案 Ａ 因为ｆ ｘ ２ －１ ｘ ｘ 所以ｆ ｘ ２ －１ ｘ ８
（ ）＝ ｘ ＋ ＋ｓｉｎ ， （－ ）＝ － ｘ － － 故选 ．
２ ＋１ ２ ＋１ ＡＣ
æ ｘ ö
ｘ ç２ －１ ｘ ｘ÷ ｆ ｘ 所以函数ｆ ｘ 为奇函数 易 １２．（２０１９湖北黄冈元月调研，１５）若关于ｘ的不等式ｘ ４
ｓｉｎ ＝－è ｘ ＋ ＋ｓｉｎ ø＝－ （ ）， （ ） ， ＋ｘ ａ≥５
２ ＋１ －
知ｆ ｘ 单调递增 又正实数ａ ｂ满足ｆ ａ ｆ ｂ 所以 在ｘ ａ 上恒成立 则实数ａ的最小值为 ．
（ ） ， ， （４ ）＋ （ －９）＝ ０， ∈（ ，＋∞） ，
( ) ( ｂ ａ 答案
ａ ｂ 所以 １ １ １ １ １ ａ ｂ １ ４ １
４ ＋ －９＝０， ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ （４ ＋ ）＝ ４＋ ａ ＋ ｂ
９ ９ 解析 关于ｘ的不等式 ｘ ４ 在 ｘ ａ 上恒成
) ( ｂ ａ) ｂ ａ ＋ｘ ａ≥５ ∈（ ，＋∞）
１ ４ １ 当且仅当 ４ －
＋１ ＝ ５＋ ａ ＋ ｂ ≥ ×（５＋２ ４）＝ １， ａ ＝ ｂ ，
９ ９ 立 即ｘ ａ ４ ａ在ｘ ａ 上恒成立 由ｘ ａ可得ｘ
即ｂ ａ 时 取等号．故选 ． ， － ＋ｘ ａ≥５－ ∈（ ，＋∞） ， ＞
＝２ ＝３ ， Ａ －
１０．（２０２０黑龙江道里检测，１０）设ａ ｂ ｃ ｄ均为大于零的实数
， ， ， ， ａ 则ｘ ａ ４ ｘ ａ ４ 当且仅当ｘ ａ
且ａｂｃｄ 令ｍ ａ ｂ ｃ ｄ ｂ ｃ ｄ ｃｄ 则ａ２ ｂ２ ｍ的最小 － ＞０， － ＋ｘ ａ≥２ （ － ）·ｘ ａ＝４， － ＝２，
＝１， ＝ （ ＋ ＋ ）＋ （ ＋ ）＋ ， ＋ ＋ － －
值为 即ｘ ａ 时 上式取得最小值 则 ａ 可得ａ 故ａ
（ ） ＝ ＋２ ， ４， ５－ ≤４， ≥１，
的最小值为 ．
Ａ．８ Ｂ．４＋２ ３ Ｃ．５＋２ ３ Ｄ．４ ３ １
答案 Ｂ ａ ｂ ｃ ｄ均大于零且ａｂｃｄ ｍ ａ ｂ ｃ ｄ ａ２ ａ
∵ ， ， ， ＝１， ＝ （ ＋ ＋ ）＋ １３．（２０２０上海复旦大学附中９ 月综合练，８）已知 ＋２ ＋２
ｘ ≤
ｂ ｃ ｄ ｃｄ ａ２ ｂ２ ｍ ａ２ ｂ２ ａ ｂ ｃ ｄ ａｂ ｃｄ ａｂ
（ ＋ ）＋ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋（ ＋ ）（ ＋ ）＋ ＋ ≥２ ＋
ａｂ ｃｄ ａｂ ｃｄ ａｂ ｃｄ ａｂｃｄ 当 ４ 对于任意的ｘ 恒成立 则ａ的取值范围是
２ ·２ ＋ ＋ ＝４＋３ ＋ ≥４＋２ ３ ＝４＋２ ３， ｘ２ ｘ＋１ ∈（１，＋∞） ，
( ) １ －
且仅当ａ ＝ ｂ ， ｃ ＝ ｄ ，３ ａｂ ＝ ｃｄ ， 即ａ ＝ ｂ ＝ １ ４ ， ｃ ＝ ｄ ＝３ １ ４ 时取等 ．
答案
３
［－３，１］
号
，∴
ａ２
＋
ｂ２
＋
ｍ的最小值为
４＋２ ３
．故选
Ｂ
．
解析 由已知
ａ２
＋２
ａ
＋２ ４ 对于任意的ｘ
１１．（多选题）（２０２０山东烟台期中，１１）下列结论正确的是 ｘ ≤ｘ２ ｘ＋１ ∈（１，＋∞）
－
（ ） 恒成立可知 ａ２ ａ ４ ｘ对于任意的ｘ 恒成
ｂ ａ ， ＋２ ＋２≤ｘ ＋ ∈（１，＋∞）
若ａ ｂ ｃ ｄ 则一定有 －１
Ａ． ＞ ＞０， ＜ ＜０， ｃ ＞ ｄ
立 令ｇ ｘ ４ ｘ ｘ 则 ｇ ｘ ４ ｘ
ｙ ， （ ）＝ ｘ ＋ ， ＞１， （ ）＝ ｘ ＋ －１＋１≥
若ｘ ｙ 且ｘｙ 则ｘ １ ｘ ｙ －１ －１
Ｂ． ＞ ＞０， ＝１， ＋ ｙ ＞ ｘ＞ｌｏｇ２（ ＋ ）
２ ４ ｘ 当且仅当ｘ 时取 ａ２ ａ
设 ａ 是等差数列 若ａ ａ 则ａ ａ ａ ２ ｘ ·（ －１）＋１＝５， ＝３ “＝”，∴ ＋２ ＋２
Ｃ． ｛ ｎ｝ ， ２＞ １＞０， ２＞ １ ３ －１
ｇ ｘ ａ２ ａ ａ 故答案为 ．
若ｘ 则 ｘ ｘ １ ｘ２ ≤ （ ）ｍｉｎ＝５，∴ ＋２ －３≤０，∴ －３≤ ≤１， ［－３，１］
Ｄ． ∈［０，＋∞）， ｌｎ（１＋ ）≥ －
８
１４．（２０１９安徽黄山八校联考，１６）不等式
（
ａ
ｃｏｓ
２ｘ
－３）ｓｉｎ
ｘ
≥－３
对任意ｘ Ｒ恒成立 则实数ａ的取值范围是 ．
答案 ＡＣ 对于 ｃ ｄ ｃ ｄ １ １ ∈ ，
Ａ，∵ ＜ ＜０，∴ － ＞－ ＞０，∴ － ｄ ＞－ ｃ ＞０， [ ]
答案 ３
ａ ｂ ｂ ａ － ，１２
又 ａ ｂ 故 正确 ２
∵ ＞ ＞０，∴ － ｄ ＞－ ｃ ＞０，∴ ｃ ＞ ｄ ， Ａ ； 解析 令ｇ ｘ ａ ２ｘ ｘ ｘ ｔ ｔ 则原
（ ）＝（ ｃｏｓ －３）ｓｉｎ ，ｓｉｎ ＝ ，－１≤ ≤１，
对于 ｘ ｙ 且ｘｙ 可取ｘ ｙ １ 此时ｘ １
函数化为ｇ
（
ｔ
）＝（－
ａｔ２
＋
ａ
－３）
ｔ
，
即ｇ
（
ｔ
）＝－
ａｔ３
＋（
ａ
－３）
ｔ
，
由
－
ａｔ３
Ｂ，∵ ＞ ＞０， ＝１，∴ ＝２， ＝ ， ＋ ｙ ＝
２ ａ ｔ 整理得 ｔ ａｔ ｔ 由ｔ 知
＋（ －３） ≥－３ （ －１）［－ （ ＋１）－３］≥０， －１≤０ ，
１ ａｔ ｔ 即ａ ｔ２ ｔ 当ｔ 时该不等式恒成
ｙ － （ ＋１）－３≤０， （ ＋）≥－３， ＝０，－１
２ １ ｘ ｙ ５ 故不满足ｘ １ æ ö
４，
２
ｘ ＝
４
＝
８
，ｌｏｇ２（ ＋ ）＝ｌｏｇ２
２
＞ｌｏｇ２２＝１， ＋ ｙ 立
，
当
０＜
ｔ
≤１
时
，０＜
ｔ２
＋
ｔ
≤２，
ａ
≥è
ç
ｔ
－
２
３
ｔø
÷
＝－
３
；
当
－１＜
ｔ
＜０
ｙ ＋ ｍａｘ ２
ｘ ｙ 故 不正确 æ ö
＞
２
ｘ＞ｌｏｇ２（ ＋ ）， Ｂ ； 时
，－
１
≤
ｔ２
＋
ｔ
＜０，
ａ
≤è
ç
ｔ
－
２
３
ｔø
÷
＝１２，
从而可知
－
３
≤
ａ
≤１２
．
ａ ａ ４ ＋ ｍｉｎ ２
对于 ａ 是等差数列 ａ １＋ ３．又 ａ ａ ａ ａ
Ｃ，∵ ｛ ｎ｝ ，∴ ２＝ ∵ ３－ ２＝ ２－ １＞
２
