文档文本内容
专题四 导数及其应用
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．考查内容及题型 从近几年高考情况来看
．理解导数的几何意义 了解导数概念 １ ： ，
１ ， 本专题的内容在选择题 填空题 解答题中均
的实际背景 会用导数方法求切线的斜 、 、
， 有出现 如 年新高考 卷第 题 课标
一、导数的概念 率及方程． ， ２０２０ Ⅰ ２１ ，
全国 卷理数第 题 天津卷第 题等 ．要夯实基础知识 会利用导
及运算 ．熟练掌握导数的运算 能利用基本初 Ⅰ ２１ ， ２０ ； １ ，
２ ， ．考查重点是导数的运算 利用导数的几何意 数研究函数的单调性 掌握求
等函数的导数公式和导数的四则运算 ２ 、 ，
义求曲线的切线方程 利用导数研究函数的单 函数单调区间的方法 掌握求
法则求简单函数的导数． 、 ；
调性 同时与不等式结合考查恒成立问题 函 函数极值与最值的方法．
， 、
数零点等 用到数形结合 分类讨论 化归与转 ．能熟练利用导数求函数极值
， 、 、 ２
．利用导数研究函数的单调性． 化等数学思想方法． 年新高考 卷第 与最值 结合单调性与最值求
１ ２０２０ Ⅰ ２１ 、
．会用导数求函数的极大值 极小值 题第 问求曲线切线与坐标轴围成的三角形 参数范围 证明不等式．
２ 、 ， （１） 、
二、导数的应用 会求闭区间上函数的最大值 最小值． 面积 第 问是通过恒成立问题求参数的取
、 ； （２）
．利用导数解决与函数 不等式等相关 值范围 考查利用导数判断函数单调性及处理
３ 、 ，
的综合性问题． 含参数问题的解题方法．
殊值探索出ａ的范围 比如取自变量ｘ ．求函数的极值 最值 通常转化为对函数
命题立意 ， ＝ ４ 、 ，
得到ａ ａ 即ａ 再讨论验证ａ 的单调性的分析讨论 所以 研究函数的
高考对导数考查分三个层次 一是考查导 １， ＋ｌｎ ≥１， ≥１， ， ，
： 时不恒成立 及ａ 时恒成立 使问题 单调性 极值 最值归根结底都是对函数
数公式 求导法则与导数的几何意义 本 ＜１ ， ＞１ ， 、 、
， （ 解决． 单调性的研究．
题第 问的要求 二是运用导数求函数
（１） ）； ．借助数形结合的方法研究函数的性质有
的单调区间 极值 最值等 三是综合考 拓展延伸 ５
、 、 ； 助于问题的解决．函数的单调性常借助导
查 研究函数零点 证明不等式 解恒成立 ．已知函数解析式求单调区间 实质上是
， 、 、 １ ， 函数的图象分析导数值的正负 函数的极
问题 求参数的取值范围等．本题就是将 求ｆ′ ｘ ｆ′ ｘ 的解集 并注意函 ；
、 （ ）＞０， （ ）＜０ ， 值常借助导函数的图象分析导函数的变
导数与不等式恒成立 函数单调性有机结 数ｆ ｘ 的定义域．求单调区间应遵循定义
、 （ ） 号零点 函数的最值常借助原函数图象来
合 综合设计的综合题 考查学生灵活应 域优先的原则． ；
， ， 分析最值点．
用数学知识分析问题 解决问题的能力． ．含参函数的单调性要注意分类讨论 通
、 ２ ，
过确定导数的符号判断函数的单调性．
思路分析
．已知函数单调性求参数可以利用给定
第 问先求出导函数 利用几何意义求 ３
（１） ， 的已知区间和函数单调区间的包含关系
出切线方程 求出切线与坐标轴交点 得
， ， 或转化为恒成立问题两种思路解决．
到三角形的面积 第 问可以先通过特
； （２）
１８８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）专题四 导数及其应用 １８９
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
导数的概念及
２０２０课标Ⅰ理，６ 选择题 易 求切线方程 定义法 数学运算
５ 几何意义
导数的概念及
２０２０课标Ⅰ文，１５ 填空题 易 求切线方程 定义法 数学运算
５ 几何意义
数学运算
导数与函数的
２０２０北京，１９ 解答题 中 利用函数的单调性求最值 分类讨论、构造函数法 逻辑推理
１５ 极值、最值
数学抽象
数学运算
求曲线切线方程、函数的
２０２０天津，２０ 解答题 难 导数的综合应用 分类讨论、构造函数法 逻辑推理
１６ 单调性、极值、证明不等式
数学抽象
数学运算
利用导数研究函数的
２０２０课标Ⅰ理，２１ 解答题 难 导数的综合应用 分类讨论、构造函数法 逻辑推理
１２ 单调性、求参数范围
数学抽象
数学运算
求曲线切线方程、讨论函数
２０２０新高考Ⅰ，２１ 解答题 难 导数的综合应用 定义法、分类讨论 逻辑推理
１２ 的单调性、解恒成立问题
数学抽象
利用导数研究函数的单调性、 数学运算
２０２０课标Ⅰ文，２０ 解答题 难 导数的综合应用 根据函数零点个数求参数 分类讨论、构造函数法 逻辑推理
１２
取值范围 数学抽象
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 本专题内容为高考热点 考题难度覆盖难 中 易 选择题 填空题和解答题均有可能出现 分值约为
１ ２０２０ ， ， 、 、 ， 、 ，
分． 年新高考 卷第 题第 问 通过恒成立问题求参数的取值范围 年课标 卷理数第 题考查利用导数判
１７ ２０２０ Ⅰ ２１ （２） ， ，２０２０ Ⅰ ２１
断函数单调性的方法 导数公式和导数运算法则 这两个题都综合考查了逻辑推理能力 运算求解能力 推理论证能力 分类与
、 ， 、 、 、
整合的能力以及数学语言表达能力．
．本专题内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体 利用导数研究函数的单调性 极值 最值 零点问题 同时与
２ ， 、 、 、 ，
不等式关联紧密．
．导数应用题目很灵活 解题方法较多 多采用定义法 公式法 综合法 必要时还要使用放缩法．
３ ， ， 、 、 ，
．本章重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算．
４
命题变化与趋势
．高考对本专题内容的考查较为稳定 考查方式及题目难度在近两年中变化不大．
１ ，
．考查内容主要体现在以下方面 考查函数的单调性 极值与最值 由不等式恒成立求参数的范围 函数与不等式综合 考
２ ：① 、 ；② ；③ ，
查不等式的证明问题．
．加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用 知识交汇处是出题点 在综合问题中渗透学科素养．
３ ， ，１９０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
４．１ 导数的概念及运算
§
续表
原函数 导函数
考点一 导数的概念及几何意义 ｆ ｘ ａｘ ａ 且ａ ｆ′ ｘ ａｘ ａ
（ ）＝ （ ＞０， ≠１） （ ）＝⑤ ｌｎ
ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
１．导数的概念 称函数ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处的瞬时变化率 Δ （ ）＝ｅ （ ）＝ｅ
ｆ （ ｘ ０＋Δ ｘ ）－ ｆ （
：
ｘ ０）为函
（
数
）
ｆ ｘ
＝
在
０
ｘ ｘ 处的导数
Δ ｌｉｘ → ｍ
记
０Δ
作
ｘ
（ ａ
ｆ
＞ （ ０
ｘ
， ） 且 ＝ｌｏ ａ ｇ ≠ ａ
ｘ
１） ｆ′ （ ｘ ）＝ｘ ｌｎ １ ａ
＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ ｘ （ ） ＝ ０ ，
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ １
ｆ ′ ｘ 或ｙ′ 即ｆ ′ ｘ （ ０＋Δ ）－（ ０）． （ ）＝ｌｎ （ ）＝⑥ ｘ
（
２
０）
．导数的
｜ｘ
几
＝ ｘ ０，
何意义
（
：
函
０）
数
＝ Δ ｌ
ｙ
ｉｘ → ｍ
＝
０
ｆ
（
ｘ
）
在点
Δ ｘ
ｘ
０
处的导数ｆ ′
（
ｘ
０）
就
２．导数的运算法则
是曲线 ｙ ｆ ｘ 在点 Ｐ ｘ ｙ 处的切线的斜率 即 ｋ 运算 法则
＝ （ ） （ ０， ０） ， ＝
ｆ ′（ｘ ） ．相应地 切线方程为 ｙ ｆ（ｘ ） ｆ ′（ｘ ）（ｘ ｘ ） ．
① ３．导 ０ 数 的物理意 ， 义 函数ｓ ② ｓ ｔ － 在点 ０ ｔ ＝ 处的 ０ 导数 － ｓ′ ０ ｔ 是 加减 ［ ｆ （ ｘ ）± ｇ （ ｘ ）］ ′ ＝ ｆ′ （ ｘ ）± ｇ′ （ ｘ ）
物体的运动方程ｓ ｓ ｔ ： 在ｔ 时 ＝ 刻 （ 的 ） 瞬时速度 ０ ｖ 即ｖ ｓ′ ｔ （ ０） ｖ 积 ［ ｆ （ ｘ ）· ｇ （ ｘ ）］ ′ ＝⑦ ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ） ＋ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）
＝ （ ） ０ ， ＝ （ ０）； ＝
ｖ ｔ 在点ｔ 处的导数ｖ′ ｔ 是物体的运动方程ｖ ｖ ｔ 在ｔ 时刻 [ｆ ｘ ] ｆ′（ｘ）ｇ（ｘ） ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）
的 （ 瞬 ） 时加速 ０ 度ａ 即ａ ｖ （ ′ ０ ｔ ） ． ＝ （ ） ０ 商 ｇ （ ｘ ） ′ ＝⑧ ［ｇ（ｘ － ）］２ （ｇ（ｘ） ≠０ ）
， ＝ （ ０） （ ）
３．复合函数的导数
考点二 导数的运算
复合函数ｙ ｆ ｇ ｘ 的导数和函数ｙ ｆ ｕ ｕ ｇ ｘ 的导
＝ ［ （ ）］ ＝ （ ）， ＝ （ ）
１．基本初等函数的导数公式 数间的关系为ｙ′ ｙ′ ｕ′ 即ｙ对ｘ的导数等于ｙ对ｕ的导数与
ｘ＝ ｕ· ｘ，
原函数 导函数 ｕ对ｘ的导数的乘积．
ｆ ｘ Ｃ Ｃ为常数 ｆ′ ｘ
（ ）＝ （ ） （ ）＝０
ｆ ｘ ｘｎ ｎ Ｑ∗ ｆ′ ｘ ｎｘｎ－１
（ ）＝ （ ∈ ） （ ）＝③
ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
（ ）＝ｓｉｎ （ ）＝ｃｏｓ
ｆ ｘ ｘ ｆ′ ｘ ｘ
（ ）＝ｃｏｓ （ ）＝④ －ｓｉｎ
考点二 导数的运算
４．函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的导数是
（ ）＝ｃｏｓ （ｓｉｎ ＋１） （ ）
考点一 导数的概念及几何意义 ｆ ′ ｘ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ
Ａ． （ ）＝ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ Ｂ． （ ）＝ｃｏｓ２ －ｓｉｎ
１．曲线ｙ ＝ｅ １ ２ ｘ在点 （４，ｅ ２ ） 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 Ｃ． ｆ ′ （ ｘ ）＝ｃｏｓ２ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ Ｄ． ｆ ′ （ ｘ ）＝ｃｏｓ２ ｘ －ｃｏｓ ｘ
答案 Ｂ
（ ）
５．求下列各函数的导数．
Ａ．ｅ ２ Ｂ．４ｅ ２ Ｃ．２ｅ ２ Ｄ． ９ ｅ ２ ｙ ｘ
２ （１） ＝ｌｎ（３ －２）；
答案 Ａ ｘ ( ｘ )
ｙ ２
２．已知函数ｆ
（
ｘ
）＝（
ｘ２
＋
ｘ
－１）ｅ
ｘ
，
则曲线ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
在点
（１，
ｆ
（１））
处 （２） ＝ｓｉｎ
２
１－２ｃｏｓ
４
；
的切线方程为
（ ） ｙ １ １
ｙ ｘ ｙ ｘ
（３） ＝ ｘ＋ ｘ；
Ａ． ＝３ｅ －２ｅ Ｂ． ＝３ｅ －４ｅ １－ １＋
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ２ ２－ ｘ
Ｃ． ＝４ｅ －５ｅ Ｄ． ＝４ｅ －３ｅ （４） ＝ ·ｅ ；
答案 Ｄ ｘ ｘ
ｙ ｘ
（５） ＝ －ｓｉｎ ｃｏｓ ；
３．已知函数ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ ａ ｘ ａ Ｒ．若曲线ｙ ｆ ｘ 与曲线 ２ ２
（ ）＝ ， （ ）＝ ｌｎ ， ∈ ＝ （ ） ｘ
ｙ ｇ ｘ 相交 且在交点处有相同的切线 则ａ 切线 ｙ ｃｏｓ ．
＝ （ ） ， ， ＝ ， （６） ＝ ｘ
方程为 ． ｅ
答案 ｅ ｘ ｙ ２
； －２ｅ ＋ｅ ＝０
２
专题四 导数及其应用 １９１
线ｌ如图所示 则ｆ ′ ｆ
， （－１）＋（－１）＝ （ ）
考点一 导数的概念及几何意义
１．（２０１８江西重点中学盟校第一次联考，３）函数ｙ ｘ３ 的图象在
＝
原点处的切线方程为
（ ）
ｙ ｘ ｘ ｙ 不存在
Ａ． ＝ Ｂ． ＝０ Ｃ． ＝０ Ｄ．
答案 Ｃ 函数ｙ ｘ３ 的导数为ｙ′ ｘ２ 则在原点处的切线 Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．－１
＝ ＝３ ， 答案 Ｃ 因为切线ｌ过点 和
斜率为 所以在原点处的切线方程为ｙ ｘ 即ｙ （－２，０） （０，－２），
０， －０＝０（ －０）， ＝０，
故选 所以ｆ ′ ０＋２
Ｃ． （－１）＝ ＝－１，
２．（２０１７四川名校一模，６）已知函数ｆ ｘ 的图象如图 ｆ ′ ｘ 是 －２－０
（ ） ， （ ） 所以切线ｌ的方程为ｙ ｘ 取ｘ 则ｙ
ｆ ｘ 的导函数 则下列数值排序正确的是 ＝－ －２， ＝－１， ＝－１，
（ ） ， （ ） 即ｆ
（－１）＝－１，
所以ｆ ′ ｆ
（－１）＋（－１）＝－１－１＝－２，
故选 ．
Ｃ
素养解读 本题通过图象来考查导数的几何意义 重点考查
，
直观想象和数学运算的核心素养．
ｆ ′ ｆ ′ ｆ ｆ
Ａ．０＜ （２）＜ （３）＜（３）－（２）
考点二 导数的运算
ｆ ′ ｆ ′ ｆ ｆ
Ｂ．０＜ （３）＜ （２）＜（３）－（２）
ｆ ′ ｆ ｆ ｆ ′ １．（多选题）（２０２１届广东佛山一中模拟）以下四个式子分别是
Ｃ．０＜ （３）＜（３）－（２）＜ （２）
ｆ ｆ ｆ ′ ｆ ′ 函数在其定义域内求导 其中正确的是
Ｄ．０＜（３）－（２）＜ （２）＜ （３） ， （ ）
ｆ ｆ ( )
答案 Ｃ ｆ ｆ 可写为 （３）－（２） 表示过点 １ ′ １ ｘ ′ ｘ
（３）－ （２） ， （２， Ａ． ｘ ＝ｘ２ Ｂ．（ｃｏｓ２ ） ＝－２ｓｉｎ２
３－２
ｆ ｆ 连线的斜率 ｆ ′ ｆ ′ 分别表示曲线 ( ｘ )
（２）），（３， （３）） ， （２）， （３） ３ ′ ｘ ｘ ′ －１
ｆ ｘ 在点 ｆ ｆ 处切线的斜率 设过点 Ｃ． ＝３ Ｄ．（ｌｇ ） ＝ｘ
（ ） （２， （２）），（３， （３）） ， （２， ｌｎ３ ｌｎ１０
ｆ ｆ 的直线为ｍ 曲线在点 ｆ ｆ ( )
（２）），（３， （３）） ， （２， （２）），（３， （３）） 答案 ＢＣ １ ′ １ ｘ ′ ｘ
处的切线分别为ｌ ｎ 画出它们的图象 如图 ｘ ＝－ｘ２，（ｃｏｓ２ ） ＝－２ｓｉｎ２ ，
， ， ， ：
( ｘ )
３ ′ ｘ ｘ ′ １ ．故选ＢＣ．
＝３ ，（ｌｇ ） ＝ｘ
ｌｎ３ ｌｎ１０
２．（２０２０河南八市重点高中联盟 ９ 月“领军考试”，５）已知
ｆ ′ ｘ 为函数ｆ ｘ ａｘ ｂ ｘ 的导函数 且满足 ｆ ′
（ ） （ ）＝ － ｌｎ ， （１）＝ ０，
ｆ ′ 则ｆ ′
由图可知 ｋ ｋ ｋ （－１）＝２， （２）＝ （ ）
０＜ ｎ＜ ｍ＜ ｌ，
故 ｆ ′ ｆ ｆ ｆ ′ 故选 Ａ．１ Ｂ．－ ４ Ｃ． １ Ｄ． ４
０＜ （３）＜（３）－（２）＜ （２）， Ｃ． ３ ２ ３
３．（２０２０安徽合肥八校高三第一次联考，５）曲线ｙ ｘ３ ｘ２ ｘ ｂ
＝（ ＋ ）ｅ 答案 Ｃ 由ｆ ′ ｘ ａ 得ｆ ′ ａ ｂ ｆ ′ ａ
在ｘ 处的切线方程为 （ ）＝ － ｘ ， （１）＝ － ＝０， （－１）＝ ＋
＝１ （ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ． ＝７ｅ －５ｅ Ｂ． ＝７ｅ ＋９ｅ ｂ 解得ａ ｂ 所以ｆ ′ ｘ １ 则ｆ ′ １ ．故选
ｙ ｘ ｙ ｘ ＝２， ＝ ＝１， （ ）＝１－ ｘ ， （２）＝ Ｃ．
Ｃ． ＝３ｅ ＋５ｅ Ｄ． ＝３ｅ －５ｅ ２
答案 Ａ ｙ′
＝（３
ｘ２
＋２
ｘ
）ｅ
ｘ
＋（
ｘ３
＋
ｘ２
）ｅ
ｘ
，
所以ｙ′
｜ｘ ＝１＝７ｅ，
又ｘ
３．（２０１７湖北百所重点高中联考，４）已知函数ｆ ｘ ２
ｘ
＋１
时 ｙ 所以所求切线方程为ｙ ｘ 即ｙ ｘ （ ＋１）＝ ｘ ，
＝１ ， ＝２ｅ， －２ｅ＝７ｅ（ －１）， ＝７ｅ ＋１
．故选 ． 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处切线的斜率为
－５ｅ Ａ ＝ （ ） （１， （１）） （ ）
４．（２０１９安徽宣城八校联考期末，６）若曲线ｙ
＝
ａ
ｌｎ
ｘ
＋
ｘ２
（
ａ
＞０） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２
[ ) ｘ ｘ
的切线的倾斜角的取值范围是 π π 则ａ 答案 Ａ ｆ ｘ ２（ ＋１）－１ 故ｆ ｘ ２ －１ 即ｆ ｘ
， ， ＝ （ ） （ ＋１）＝ ｘ ， （ ）＝ ｘ ， （ ）＝２－
３ ２ ＋１
１ ３ ３ ３ １ 对ｆ ｘ 求导得ｆ ′ ｘ １ 则ｆ ′ 故所求切线的斜
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｘ ， （ ） （ ）＝ ｘ２， （１）＝ １，
２４ ８ ４ ２
ａ 率为 故选
答案 Ｂ 因为ｙ ａ ｘ ｘ２ ａ 所以ｙ′ ｘ ａ １， Ａ．
＝ ｌｎ ＋ （ ＞０）， ＝ ｘ ＋２ ≥２ ２ ，
４．（２０１７山西临汾二模，３）曲线ｙ ｘ ｘ在ｘ π处的切
[ ) ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是 π π 所以斜率ｋ ４
， ， 线的倾斜角的大小是
３ ２ （ ）
因此 ａ 所以ａ ３ ．故选 ． π π ３π
≥ ３， ３＝２ ２ ， ＝ Ｂ Ａ．０ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８ ４ ３ ４
５．（２０２０５·３原创题）曲线ｙ ｆ ｘ 在点Ｐ ｆ 处的切 答案 Ａ 由ｙ ｘ ｘ 可得ｙ′ ｘ ｘ
＝ （ ） （－１， （－１）） ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ， ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ，
１９２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ａ 由ｙ ｘ ｘ ｘ可得ｙ′ ｘ ｘ ｘ ｘ
所以曲线ｙ ｘ ｘ在ｘ π处的切线的斜率为 ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝
＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ０， ｘ ｘ．则ｇ ｔ ｔ ｔ 易知ｇ ｔ 是奇函数 排除选项 当
４ ｃｏｓ （ ）＝ ｃｏｓ ， （ ） ， Ｂ，Ｄ；
( )
故曲线ｙ ｘ ｘ在ｘ π处的切线的倾斜角的大小是 ． ｘ π 时 ｙ 排除选项 故选
＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ０ ∈ ０， ， ＞０， Ｃ． Ａ．
４ ２
故选 思路分析 求出函数的导函数 得到切线斜率的解析式 然后
Ａ． ， ，
５．（２０１８湖南株洲二模，９）设函数ｙ ｘ ｘ ｘ的图象在点 判断图象．
＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
ｔ ｆ ｔ 处的切线斜率为ｇ ｔ 则函数ｙ ｇ ｔ 图象的一部分 易错警示 求导时注意不要计算错误．
（ ， （ ）） （ ）， ＝ （ ）
可以是
（ ） ６．（２０１８安徽黄山一模，１４）已知 ｆ ｘ １ ｘ３ ｘｆ ′ 则
（ ）＝ ＋３ （０），
３
ｆ ′ ．
（１）＝
答案
１
解析 由题意可得ｆ ′ ｘ ｘ２ ｆ ′
（ ）＝ ＋３ （０），
令ｘ 可得ｆ ′ ２ ｆ ′ ｆ ′
＝０， （０）＝０ ＋３ （０），∴ （０）＝０，
则ｆ ｘ １ ｘ３ ｆ ′ ｘ ｘ２ ｆ ′ ．
（ ）＝ ，∴ （ ）＝ ，∴ （１）＝１
３
{ｋ ｆ ′ ｘ
线方程 已知切线方程求切点时 常利用 切＝ （ ０），求解．
， ， ａｘ ｂｙ ｃ
０＋ ０＋ ＝０
２．过非切点的切线的求法
考法 求曲线的切线方程及参数的方法
设出切点坐标为 ｘ ｆ ｘ 先求出在 ｘ ｘ 处的切线方
例 若曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线也是曲线ｙ ｘ 程 然后把所过点的坐 （ 标 ０ 代 ， 入 （ 即 ０） 可 ）， 求出ｘ 从而得 ＝ 出 ０ 切线方程．
（１） ＝ｅ ＝０ ＝ｌｎ ， ０，
ｂ的切线 则ｂ ３．由曲线的切线求参数的方法
＋ ， ＝ （ ）
已知曲线在某点处的切线求参数问题主要用 方程思想 来
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．ｅ “ ”
已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ２ ａｘ ａ 若函数ｙ ｆ ｘ ａ 破解 先求出函数的导数 从而求出在某点处的导数值 再根据
（２） （ ）＝ ｃｏｓ ＋（ －１） ＋ ＋ ， ＝ （ ）－ ， ， ；
是奇函数 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程是 导数的几何意义与已知条件 建立关于参数的方程 组 通过解
， ＝ （ ） （０， （０）） （ ） ， （ ），
ｘ ｙ ｘ ｙ 方程 组 求出参数的值．
Ａ． － ＋１＝０ Ｂ．２ － ＋１＝０ （ ）
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ．２ ＋ －１＝０ Ｄ． －２ ＋２＝０
解析 （ ）令ｙ ｆ（ｘ） ｘ，ｙ ｇ（ｘ） ｘ ｂ， ｆ ′（ｘ） ｘ， 例 （２０１８广东广州第一次调研，８）已知直线ｙ ｋｘ 与
１ ＝ ＝ｅ ＝ ＝ｌｎ ＋ ∴ ＝ｅ ＝ －２
ｆ ′（ ） ， ｆ（ ） ， 曲线ｙ ｘ 在ｘ 处的切线方程 曲线ｙ ｘ ｘ相切 则实数ｋ的值为
∴ ０ ＝１ ∵ ０ ＝１ ∴ ＝ｅ ＝０ ＝ ｌｎ ， （ ）
为ｙ ｘ ．设切线ｙ ｘ 与曲线ｙ ｇ（ｘ） ｘ ｂ的切点坐标为（ｍ，ｍ
＝ ＋１ ＝ ＋１ ＝ ＝ｌｎ ＋ Ａ．ｌｎ２ Ｂ．１ Ｃ．１－ｌｎ２ Ｄ．１＋ｌｎ２
解题导引
）， ｇ′（ｘ） １ ， ｇ′（ｍ） １ ，
＋１ ∵ ＝ ｘ ∴ ＝ ｍ ＝１
ｍ ， 切点坐标为（ ， ）， ｂ， ｂ ．
∴ ＝１ ∴ １ ２ ∴２＝ｌｎ１＋ ∴ ＝２
（ ）设ｇ（ｘ） ｆ（ｘ） ａ ｘ ｘ （ａ ）ｘ２ ａｘ， 函数ｇ（ｘ）为
２ ＝ － ＝ ｃｏｓ ＋ －１ ＋ ∵
奇函数，
∴
ｇ（ｘ）
＋
ｇ（
－
ｘ）
＝
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋
（ａ
－１
）ｘ２
＋
ａｘ
＋
［
－
ｘ·
ｃｏｓ
ｘ
＋
（ａ
－
解析 由ｙ
＝
ｘ
ｌｎ
ｘ得ｙ′
＝ｌｎ
ｘ
＋１
，设切点为（ｘ
０
，ｙ
０
），则ｋ
＝
１
）ｘ２
－
ａｘ］
＝２
（ａ
－１
）ｘ２
＝０
，
∴
ａ
＝１
，
∴
ｆ（ｘ）
＝
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋
ｘ
＋１
，
∴
ｆ ′（ｘ）
ｌｎ
ｘ
０＋１
，
∵
切点（ｘ
０
，ｙ
０
）既在曲线ｙ
＝
ｘ
ｌｎ
ｘ上，又在直线ｙ
＝
ｋｘ
－２
ｘ ｘ ｘ ， ｆ ′（ ） ，又ｆ（ ） ， 所求切线方程为ｙ {ｙ ｋｘ ，
＝ｃｏｓ － ｓｉｎ ＋１ ∴ ０ ＝２ ０ ＝１ ∴ － 上， ０＝ ０－２ ｋｘ ｘ ｘ ， ｋ ｘ ２ ， ｘ ２
（ｘ ），即 ｘ ｙ ．故选 ∴ ｙ ｘ ｘ ，∴ ０－２＝ ０ｌｎ ０ ∴ ＝ｌｎ ０＋ｘ ∴ ｌｎ ０＋ｘ
１＝２ －０ ２ － ＋１＝０ Ｂ． ０＝ ０ｌｎ ０ ０ ０
答案 （ ）Ｃ （ ）Ｂ ｘ ， ｘ ， ｋ ，故选 ．
１ ２ ＝ｌｎ ０＋１ ∴ ０＝２ ∴ ＝ｌｎ２＋１ Ｄ
方法总结 １．过切点的切线方程的求法 答案 Ｄ
由导数的几何意义知ｋ ｆ ′ ｘ 利用点斜式即可求得切
切＝ （ ０），
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ． － －π－１＝０ Ｂ．２ － －２π－１＝０
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ．２ ＋ －２π＋１＝０ Ｄ． ＋ －π＋１＝０
答案 Ｃ
考法 求曲线的切线方程及参数的方法
２．（２０２０山东滨州三模，４）函数ｙ ｘ的图象在点ｘ 为自
＝ｌｎ ＝ｅ（ｅ
１．（２０１９课标Ⅱ文，１０，５ 分）曲线 ｙ ｘ ｘ 在点 然对数的底数 处的切线方程为
＝２ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （π， ） （ ）
处的切线方程为 ｘ ｙ ｘ ｙ
－１） （ ） Ａ． ＋ｅ －１＋ｅ＝０ Ｂ． －ｅ ＋１－ｅ＝０
专题四 导数及其应用 １９３
ｘ ｙ ｘ ｙ 行 则
Ｃ． ＋ｅ ＝０ Ｄ． －ｅ ＝０ ， （ ）
答案 Ｄ
ｘ ｘ ４
３．（２０１６山东，１０，５分）若函数ｙ ｆ ｘ 的图象上存在两点 使 Ａ． ０＝２ Ｂ． ０＝－
＝ （ ） ， ３
得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 则称ｙ ｆ ｘ 具有
， ＝ （ ） ｘ 或ｘ ４ ｘ 或ｘ ４
性质．下列函数中具有 性质的是 Ｃ． ０＝２ ０＝－ Ｄ． ０＝－２ ０＝
Ｔ Ｔ （ ） ３ ３
ｙ ｘ ｙ ｘ 答案 Ｂ
Ａ． ＝ｓｉｎ Ｂ． ＝ｌｎ
Ｃ．
ｙ
＝ｅ
ｘ
Ｄ．
ｙ
＝
ｘ３ ５．（２０２０广东佛山质量检测（一），１５）函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ
ｘ和ｇ
（
ｘ
）＝
答案 Ａ ａｘ２ ｘ的图象有公共点Ｐ 且在点Ｐ处的切线相同 则这条切
－ ， ，
４．（２０２０广东广州综合测试一，１０）已知点Ｐ ｘ ｙ 是曲线Ｃ ｙ 线的方程为 ．
＝ ｘ３ － ｘ２ ＋１ 上的点 ， 曲线Ｃ在点Ｐ处的切线
（
与直
０，
线
０）
ｙ ＝８ ｘ －１１ 平
：
答案 ｙ ＝ ｘ － １
３．（２０１８广东深圳第一次调研，１５）曲线ｙ ｘ －１ ｘ的一条切线
＝ｅ ＋
经过坐标原点 则该切线方程为 ．
，
答案 ｙ ｘ
＝２
考法 求曲线的切线方程及参数的方法 解析 设切点坐标为
（
ｘ
０，ｅ
ｘ ０－１
＋
ｘ
０），∵
ｙ′
＝ｅ
ｘ －１
＋１，∴
切线的
１．（ 在 ２ 点 ０１ Ｐ ８ （ 广 ｘ ０ 东 ， ｆ 东 （ ｘ 莞 ０） 二 ） 处 调 的 ，８ 切 ）设 线 函 方 数 程为 ｆ （ ｘ ｘ ） ＋ ＝ ｙ ｘ ＝ ３ ０ ＋ ， ａ 则 ｘ２ ， 点 若 Ｐ 曲 的 线 坐 ｙ 标 ＝ ｆ 为 （ ｘ ） 斜 ∵ 率 切线 ｋ ＝ 过 ｅ ｘ 原 ０－１ 点 ＋１ ， ， ∴ 故 ０ 切 －ｅ 线 ｘ ０－１ 方 － ｘ 程 ０＝ 为 （ｅ ｙ ｘ － ０－１ ｅ ＋ ｘ ０－ １ １ ） － （ ｘ ０ ０ － ＝ ｘ （ ０ ｅ ） ｘ ， ０－ 解 １ ＋ 得 １） ｘ （ ０ ｘ ＝ － １ ｘ ， ０ 将 ） ．
（ ） ｘ ０＝１ 代入ｙ －ｅ ｘ ０－１ － ｘ ０＝（ｅ ｘ ０－１ ＋１）（ ｘ － ｘ ０）， 可得切线方程为ｙ ＝
ｘ 故答案为ｙ ｘ．
Ａ．（０，０） Ｂ．（１，－１） ２ ， ＝２
或 特别提醒 必须明确已知点是不是切点 如果不是 应先设出
Ｃ．（－１，１） Ｄ．（１，－１） （－１，１） ， ，
答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ３ ａｘ２ 切点．
∵ （ ）＝ ＋ ，
∴
ｆ ′
（
ｘ
）＝３
ｘ２
＋２
ａｘ
， ４．（２０２０陕西榆林三模，１４）若曲线ｙ ｘ与函数ｆ ｘ ａ ｘ 在
曲线在点Ｐ ｘ ｆ ｘ 处的切线方程为ｘ ｙ ＝２ （ ）＝ ｅ
∵ （ ０， （ ０）） ＋ ＝０， 公共点处有相同的切线
，
则实数ａ的值为 ．
ｘ２ ａｘ
∴３ ０＋２ ０＝－１，
{ｘ {ｘ 答案 ２ｅ
∵
ｘ
０＋
ｘ３
０＋
ａｘ２
０＝０，∴ ａ
０＝１，或
ａ
０＝－
．
１，
解析 本 ｅ 题考查导数的几何意义和切线的求法 利用切点满
＝－２ ＝２
当ｘ
０＝１
时
，
ｆ
（
ｘ
０）＝－１，
足的两 个条件列出方程组是本题的解题思路．考查 ， 数学运算能
当ｘ
０＝－１
时
，
ｆ
（
ｘ
０）＝１
． 力和逻辑推理能力．
点Ｐ的坐标为 或 ．
∴ 故选
Ｄ．
（１，－１） （－１，１） 由已知得ｙ′ ＝ １ ｘ， ｆ ′ （ ｘ ）＝ ａ ｅ ｘ．
２．（２０１８辽宁大连一模）过曲线ｙ ｘ 上一点Ｐ ｘ ｙ 作曲线 {
的切线 若该切线在ｙ轴上的截距 ＝ 小 ｅ 于 则ｘ （ 的 ０ 取 ， 值 ０） 范围是 １ ａ ｘ
， ０， ０ 设两曲线的公共点为 ｘ ｙ 则 ｘ ＝ ｅ ， 解得ａ ２ｅ．
（ ， ）， ＝
（ ） ｘ ａ ｘ ｅ
( ) ２ ＝ ｅ ，
１ 易错警示 有关曲线的切线问题的求解 对函数的求导是
Ａ．（０，＋∞） Ｂ． ，＋∞ Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） （１） ，
ｅ 一个关键点 因此求导公式 求导法则要熟练掌握．
答案 Ｃ 由ｙ ＝ｅ ｘ ， 得ｙ′ ＝ｅ ｘ ， 则切线斜率为 ｅ ｘ ０ ，∴ 切线方程 对于已知 ， 的点 应先确定 、 其是不是曲线的切点 进而选择
为ｙ － ｙ ０＝ｅ ｘ ０ （ ｘ － ｘ ０）， 当ｘ ＝０ 时 ， ｙ ＝－ ｘ ０ｅ ｘ ０＋ ｙ ０＝－ ｘ ０ｅ ｘ ０＋ｅ ｘ ０＝ｅ ｘ ０ （１－ （ 相 ２ 应 ） 的方法求解． ， ，
ｘ ｘ 则ｘ 的取值范围是 ．故选 ．
０）＜０，∴ ０＞１， ０ （１，＋∞） Ｃ
线方程问题 创新之二 体现了解法的灵活性 要确定切线的条
； ： ，
数就是确定切线上切点的个数问题 可以用零点存在性定理求
，
解 也可以用导数法 转化为确定方程根的个数问题 创新之三
， ， ； ：
例 （２０１９四川绵阳月考）过点Ａ 作曲线ｆ ｘ 对切线定义的考查 切线与曲线相切时 切线与曲线的切点未必
（２，１） （ ）＝ ， ，
ｘ３ ｘ的切线 最多有 唯一 充分理解曲线的切线定义．
－３ ， （ ） ，
条 条 条 条 解析 解法一： ｆ（ｘ） ｘ３ ｘ， ｆ ′（ｘ） ｘ２ ．
Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０ ∵ ＝ －３ ∴ ＝３ －３
解题导引 本题考查导数的几何意义 考查方式有所创新 设切点Ｐ（ｘ ，ｘ３ ｘ ），则切线斜率ｋ ｆ ′（ｘ ） ｘ２ ，则曲
， ， ０ ０－３ ０ ＝ ０ ＝３ ０－３
求符合条件的切线最多有几条．创新之一 点 Ａ 不在曲线 线在点Ｐ处的切线方程是ｙ （ｘ３ ｘ ） （ ｘ２ ）（ｘ ｘ ），
： （２，１） － ０－３ ０ ＝ ３ ０－３ － ０
上 本质上是切点未知 因此设出切点 转化为切点未知的求切 由点Ａ（ ， ）在切线上，上式可化简为 ｘ３ ｘ２ ．
， ， ， ２ １ ２ ０－６ ０＋７＝０
１９４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
设ｇ（ｘ） ｘ３ ｘ２ ，因为ｇ（ ） ，ｇ（ ） ，ｇ（ ） 解法三：由于本题是选择题，未涉及具体的切点、切线方程
＝２ －６ ＋７ －１ ＝－１＜０ ０ ＝７＞０ ２
，ｇ（ ） ，所以ｙ ｇ（ｘ）有 个零点，分别位于区间 的求解，故可以画出函数图象草图，直观分析即可．如图所示，通
＝－１＜０ ３ ＝ ７＞０ ＝ ３
（ ， ），（ ， ），（ ， ）内，即ｇ（ｘ） 有 个根，从而有 个切 过旋转过Ａ点的直线，可以发现最多有 条切线．
－１ ０ ０ ２ ２ ３ ＝０ ３ ３ ３
点，所以最多有 条切线．
３
解法二：因为ｆ（ｘ） ｘ３ ｘ，所以 ｆ ′（ｘ） ｘ２ ．设切点为
＝ －３ ＝ ３ －３
Ｐ（ｘ ，ｘ３ ｘ ），则切线的斜率为ｆ ′（ｘ ） ｘ２ ，切线方程为ｙ
０ ０－３ ０ ０ ＝３ ０－３ －
（ｘ３ ｘ ） （ ｘ２ ）（ｘ ｘ ）． 点Ａ（ ， ）在切线上， ｘ３ ｘ２
０－３ ０ ＝ ３ ０－３ － ０ ∵ ２ １ ∴２ ０－６ ０＋７
．设ｇ（ｘ） ｘ３ ｘ２ ，则ｇ′（ｘ） ｘ２ ｘ．令ｇ′（ｘ） ，得ｘ
＝０ ＝２ －６ ＋７ ＝６ －１２ ＝０ ＝
或ｘ ．当ｘ 时，ｇ（ ） ；当ｘ 时，ｇ（ ） ．
０ ＝２ ＝０ ０ ＝７＞０ ＝２ ２ ＝－１＜０
结合三次函数图象的特征可知有 个切点，所以最多有
３ ３
条切线，故选 ． 答案 Ａ
Ａ
ａｘ ｇ ｘ ｘ２ ｂ 若两曲线ｙ ｆ ｘ ｙ ｇ ｘ 有公共点 且在该
３ ， （ ）＝ － ， ＝ （ ）， ＝ （ ） ，
点处它们的切线相同 则当ａ 时 ｂ的最大值为
， ∈（０，＋∞） ，
（ ）
１．（２０１９河北邯郸一模，１２）过点Ｍ 引曲线Ｃ ｙ ｘ３ ａｘ
ａ的两条切线 这两条切线与 ｙ （ 轴 －１ 分 ，０ 别 ） 交于 Ａ ： Ｂ 两 ＝２ 点 ＋ 若 Ａ． ５ ｅ ３ ５ Ｂ． ３ ｅ ３ ２ Ｃ．２ｅ ３ ５ Ｄ． ３ ｅ ３ ５
＋ ， ， ， ２ ２ ２
ＭＡ ＭＢ 则ａ 答案 Ａ
｜ ｜＝｜ ｜， ＝ （ ）
３．（２０２０山东师范大学附中最后一卷，１３）已知ａ ｂ为正实数
２５ ２７ ， ，
Ａ．－ Ｂ．－
４ ４ 直线ｙ ｘ ａ与曲线ｙ ｘ ｂ 相切于点 ｘ ｙ 则 １ １ 的
２５ ４９
＝ － ＝ｌｎ（ ＋ ） （ ０， ０）， ａ ＋ ｂ
Ｃ．－ Ｄ．－ 最小值是 ．
１２ １２
答案 Ｂ 答案
４
２．（２０１９河北廊坊第一次联考，１２）已知函数 ｆ ｘ ａ２ ｘ
（ ）＝ ５ ｌｎ －
考点一 导数的概念及几何意义 切线方程为 ．
１．（２０２０课标Ⅰ理，６，５分）函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ４
－２
ｘ３ 的图象在点
（１，
答案 ｙ
＝３
ｘ
ｆ 处的切线方程为 ６．（２０１６课标Ⅲ，１５，５分）已知ｆ ｘ 为偶函数 当ｘ 时 ｆ ｘ
（１）） （ ） （ ） ， ＜０ ， （ ）＝
ｙ ｘ ｙ ｘ ｘ ｘ 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 处的切线方程是 ．
Ａ． ＝－２ －１ Ｂ． ＝－２ ＋１ ｌｎ（－ ）＋３ ， ＝ （ ） （１，－３）
ｙ ｘ ｙ ｘ 答案 ｙ ｘ
Ｃ． ＝２ －３ Ｄ． ＝２ ＋１ ＝－２ －１
答案 Ｂ ７．（２０１９江苏，１１，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 点Ａ在曲线
，
２．（２０１９课标Ⅲ，６，５分）已知曲线ｙ ａ ｘ ｘ ｘ在点 ａ 处 ｙ ｘ上 且该曲线在点Ａ处的切线经过点 为自
＝ ｅ ＋ ｌｎ （１， ｅ） ＝ｌｎ ， （－ｅ，－１）（ｅ
的切线方程为ｙ ｘ ｂ 则 然对数的底数 则点Ａ的坐标是 ．
＝２ ＋ ， （ ） ），
答案
ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ＝ｅ， ＝－１ Ｂ． ＝ｅ， ＝１ （ｅ，１）
ａ －１ ｂ ａ －１ ｂ
Ｃ． ＝ｅ ， ＝１ Ｄ． ＝ｅ ， ＝－１ 考点二 导数的运算
答案 Ｄ
ｘ
３．（２０１８课标Ⅰ，５，５分）设函数ｆ ｘ ｘ３ ａ ｘ２ ａｘ．若ｆ ｘ ８．（２０２０课标Ⅲ文，１５，５分）设函数ｆ ｘ ｅ ．若ｆ ′ ｅ
（ ）＝ ＋（ －１） ＋ （ ） （ ）＝ｘ ａ （１）＝ ，
为奇函数 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 处的切线方程为 ＋ ４
， ＝ （ ） （０，０） （ ） 则ａ ．
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ＝
Ａ． ＝－２ Ｂ． ＝－ Ｃ． ＝２ Ｄ． ＝ 答案
答案 Ｄ １
９．（２０１８天津，１０，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ 为ｆ ｘ
４．（２０２０课标Ⅰ文，１５，５分）曲线ｙ ｘ ｘ 的一条切线的斜 （ ）＝ｅ ｌｎ ， （ ） （ ）
＝ｌｎ ＋ ＋１ 的导函数 则ｆ ′ 的值为 ．
率为 则该切线的方程为 ． ， （１）
２， 答案
答案 ｙ ｘ ｅ
＝２
５．（２０１９课标Ⅰ，１３，５分）曲线ｙ ｘ２ ｘ ｘ 在点 处的
＝３（ ＋ ）ｅ （０，０）
考点一 导数的概念及几何意义 值范围是
（ ）
１．（２０１６ 四川理，９，５ 分）设直线 ｌ ｌ 分别是函数 ｆ ｘ
{ ｘ ｘ １， ２ （ ）＝ Ａ． 答 （０ 案 ，１） Ａ 设 Ｂ． ｌ （０ 是 ，２ ｙ ） ｘ Ｃ．（０， ｘ ＋∞） 的切 Ｄ 线 ．（１ 切 ，＋ 点 ∞ Ｐ ） ｘ
－ｌｎ ，０＜ ＜１，图象上点Ｐ Ｐ 处的切线 ｌ 与ｌ 垂直相交于 １ ＝－ｌｎ （０＜ ＜１） ， １（ １，
ｌｎ ｘ ， ｘ ＞１ １， ２ ， １ ２ ｙ １）， ｌ ２ 是ｙ ＝ｌｎ ｘ （ ｘ ＞１） 的切线 ， 切点Ｐ ２（ ｘ ２， ｙ ２），
点Ｐ 且ｌ ｌ 分别与ｙ轴相交于点Ａ Ｂ 则 ＰＡＢ的面积的取
， １，２ ， ， △
专题四 导数及其应用 １９５
ｌ ｙ ｙ １ ｘ ｘ 由ｙ ｘ得ｙ′ ２ ．因为ｋ ｙ′ 点 为切点
１： － １＝－ｘ （ － １），① ＝２ｌｎ ＝ ｘ ＝ ｜ｘ ＝１＝２， （１，０） ，
１
所以切线方程为ｙ ｘ 即 ｘ ｙ ．
ｌ ｙ ｙ １ ｘ ｘ ＝２（ －１）， ２ － －２＝０
２： － ２＝ｘ （ － ２），② ６．（２０１８课标Ⅲ理，１４，５分）曲线ｙ ａｘ ｘ 在点 处的
２ ＝（ ＋１）ｅ （０，１）
ｙ ｙ 切线的斜率为 则ａ ．
得ｘ １－ ２＋２ －２， ＝
①－② Ｐ＝ ， 答案
１ １ －３
ｘ ＋ｘ 解析 本题考查导数的综合应用．
易知Ａ （０， ｙ １＋１）
１
， Ｂ （
２
０， ｙ ２－１）， 设ｆ
（
ｘ
） ＝（
ａｘ
＋１）ｅ
ｘ
，
则ｆ ′
（
ｘ
）＝（
ａｘ
＋
ａ
＋１）ｅ
ｘ
，
所以曲线在点
（０，
ｌ ｌ １ １ ｘ ｘ 处的切线的斜率ｋ ｆ ′ ａ 解得ａ ．
∵ １⊥２，∴ －ｘ ·ｘ ＝－１，∴ １ ２＝１， １） ＝ （０）＝ ＋１＝－２， ＝－３
１ ２
ｙ ｙ ７．（２０１７课标Ⅰ文，１４，５分）曲线ｙ ｘ２ １ 在点 处的切
Ｓ １ ＡＢ ｘ １ ｙ ｙ ｜ １－ ２＋２｜ ＝ ＋ ｘ （１，２）
∴ △ ＰＡＢ＝ ２ ｜ ｜·｜ Ｐ｜＝ ２ ｜ １－ ２＋２｜· １ １ 线方程为 ．
ｘ ＋ｘ
１ ２ 答案 ｘ ｙ
ｙ ｙ ２ ｘ ｘ ２ － ＋１＝０
１ （ １－ ２＋２） １ （－ｌｎ １－ｌｎ ２＋２） 解析 本题考查导数的几何意义．
＝ · ｘ ｘ ＝ · ｘ ｘ
２ １＋ ２ ２ １＋ ２
ｘ
１
ｘ
２ ∵
ｙ
＝
ｘ２
＋
１
ｘ ，∴
ｙ′
＝２
ｘ
－ｘ
１
２，∴
ｙ′
｜ｘ ＝１＝２－１＝１，∴
所求切线方程
１ ［－ｌｎ（ ｘ １ ｘ ２）＋２］ ２ １ ４ ２ 为ｙ ｘ 即ｘ ｙ ．
＝ · ｘ ｘ ＝ ·ｘ ｘ ＝ｘ ｘ ， －２＝ －１， － ＋１＝０
２ １＋ ２ ２ １＋ ２ １＋ ２ ８．（２０１７天津文，１０，５分）已知ａ Ｒ 设函数ｆ ｘ ａｘ ｘ的
又 ｘ ｘ ｘ ｘ ∈ ， （ ）＝ －ｌｎ
∵０＜ １＜１， ２＞１， １ ２＝１， 图象在点 ｆ 处的切线为 ｌ 则 ｌ 在 ｙ 轴上的截
（１， （１）） ，
ｘ ｘ ｘ ｘ
∴ １＋
Ｓ
２＞２
．故
１
选
２ ＝２
．
， 距为 ．
∴ 思 ０ 路 ＜ 分 △ 析 ＰＡＢ＜１ 设出点 Ａ Ｐ Ｐ 的坐标 进而根据已知表示出ｌ ｌ 答案 １
然后求出点 Ａ Ｂ的坐
１
标
，
及
２
ｘ 最后
，
利用点在曲线上及垂
１
直
，
的
２， 解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距．
、 Ｐ，
条件求出面积表达式 从而求出面积的取值范围． 由题意可知ｆ ′ ｘ ａ １ 所以ｆ ′ ａ
， （ ）＝ － ｘ ， （１）＝ －１，
评析 本题考查了利用导数求切线问题，及考生的运算能力．
因为ｆ ａ 所以切点坐标为 ａ
２．（２０１４课标Ⅱ理，８，５分）设曲线ｙ ａｘ ｘ 在点 处 （１）＝ ， （１， ），
＝ －ｌｎ（ ＋１） （０，０） 所以切线ｌ的方程为ｙ ａ ａ ｘ
的切线方程为ｙ ｘ 则ａ － ＝（ －１）（ －１），
＝２ ， ＝ （ ） 即ｙ ａ ｘ ．
＝（ －１） ＋１
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 令ｘ 得ｙ 即直线ｌ在ｙ轴上的截距为 ．
＝０， ＝１， １
答案 Ｄ ｙ′ ａ １ 当ｘ 时 ｙ′ ａ ａ 故选 ． 易错警示 不能正确求解函数的导数 而导致不能正确求解
＝ －ｘ ， ＝０ ， ＝ －１＝２，∴ ＝３， Ｄ ，
＋１ 切线ｌ的斜率．
ｘ
３．（２０１９天津文，１１，５分）曲线ｙ ｘ 在点 处的切 ９．（２０１６课标Ⅱ理，１６，５分）若直线ｙ ｋｘ ｂ是曲线ｙ ｘ
＝ｃｏｓ － （０，１） ＝ ＋ ＝ｌｎ ＋２
２ 的切线 也是曲线ｙ ｘ 的切线 则ｂ ．
线方程为 ． ， ＝ｌｎ（ ＋１） ， ＝
答案
答案 ｘ ｙ １－ｌｎ２
＋２ －２＝０ 解析 直线ｙ ｋｘ ｂ与曲线ｙ ｘ ｙ ｘ 均相切 设
解析 本题通过求曲线在某点处的切线 考查学生对基本初 ＝ ＋ ＝ｌｎ ＋２， ＝ｌｎ（ ＋１） ，
，
等函数的导数公式 导数的运算法则 导数的几何意义的理解 切点分别为Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 由ｙ ｘ 得ｙ′ １ 由ｙ
和掌握程度．
、 、 （ １， １）， （ ２， ２）， ＝ｌｎ ＋２ ＝ ｘ ， ＝
ｘ ｘ 得ｙ′ １ ｋ １ １ ｘ １ ｘ １ ｙ
∵ ｙ ＝ｃｏｓ ｘ － ２ ，∴ ｙ′ ＝－ｓｉｎ ｘ － ２ １ ，∴ ｙ′ ｜ｘ ＝０＝－ ２ １ ， 即曲线在 （０， ｌｎ（ ＋１） ＝ｘ ＋１ ，∴ ＝ ( ｘ １ ＝ｘ ２＋１ ，∴ ) １＝ ( ｋ ， ２＝ ｋ － ) １，∴ １
１）
处的切线斜率为
－
１
，∴
切线方程为ｙ
－１＝－
１
（
ｘ
－０），
即ｘ
＋
＝－ｌｎ ｋ ＋２， ｙ ２＝－ｌｎ ｋ．即Ａ １ ｋ ，－ｌｎ ｋ ＋２ ， Ｂ １ ｋ －１，－ｌｎ ｋ ，
２ ２
２ ｙ －２＝０ ． ì ï ï２－ｌｎ ｋ ＝ ｋ · １ ｋ ＋ ｂ ， {ｂ
方法总结 求曲线在某点处 注意 该点必为切点 切线的方法 Ａ Ｂ在直线ｙ ｋｘ ｂ上 í ＝１－ｌｎ２，
求导函数 把该点横坐标 （ 代入 ： 求出该点处导数 ） 值 即为切线 ： ∵ 、 ＝ ＋ ，∴ ï ï ｋ ｋ ( １ ) ｂ ⇒ ｋ ＝２ ．
① ；② ， ， î－ｌｎ ＝ · ｋ －１ ＋
的斜率 用点斜式写出切线方程．
；③ 评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上，又在切线上．
４．（２０１８课标Ⅱ理，１３，５分）曲线ｙ ｘ 在点 处的
切线方程为 ．
＝２ｌｎ（ ＋１） （０，０） １０．（２０１５课标Ⅰ文，１４，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ３
＋
ｘ
＋１
的图象
在点 ｆ 处的切线过点 则ａ ．
答案 ｙ ｘ （１， （１）） （２，７）， ＝
＝２ 答案
解析 本题主要考查导数的几何意义．
１
解析 由题意可得ｆ ′ ｘ ａｘ２ ｆ ′ ａ
因为ｙ′ ２ 所以ｙ′ 又 为切点 （ ）＝３ ＋１，∴ （１）＝３ ＋１，
＝ｘ
＋１
， ｜ｘ ＝０＝２， （０，０） ， 又ｆ
（１）＝
ａ
＋２，∴
ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ３
＋
ｘ
＋１
的图象在点
（１，
ｆ
（１））
处的切
所以曲线在点 处的切线方程为ｙ ｘ． 线方程为ｙ ａ ａ ｘ 又此切线过点
（０，０） ＝２ －（ ＋２）＝（３ ＋１）（ －１）， （２，７），
５．（２０１８课标Ⅱ文，１３，５分）曲线ｙ ｘ在点 处的切线 ａ ａ 解得ａ ．
＝２ｌｎ （１，０） ∴７－（ ＋２）＝（３ ＋１）（２－１）， ＝１
方程为 ． １１．（２０１５课标Ⅱ文，１６，５分）已知曲线ｙ ｘ ｘ在点 处
＝ ＋ｌｎ （１，１）
答案 ｘ ｙ 的切线与曲线ｙ ａｘ２ ａ ｘ 相切 则ａ ．
２ － －２＝０ ＝ ＋（ ＋２） ＋１ ， ＝
解析 本题主要考查导数的几何性质． 答案
８
１９６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
曲线ｙ ｘ 在点 处的切线的斜率ｋ ０ ．
解析 令ｆ ｘ ｘ ｘ 求导得ｆ′ ｘ １ ｆ′ 又 ∴ ＝ｅ （０，１） １＝ｅ ＝１
（ ）＝ ＋ｌｎ ， （ ）＝１＋ ｘ ， （１）＝２，
设Ｐ ｘ ｙ ｘ 函数ｙ １ 的导函数为ｙ′ １
ｆ
（１）＝１，
所以曲线ｙ
＝
ｘ
＋ｌｎ
ｘ在点
（１，１）
处的切线方程为ｙ
－１
（ ０， ０）（ ０＞０），∵ ＝ ｘ ＝－ｘ２，
ｘ 即ｙ ｘ ．设直线ｙ ｘ 与曲线ｙ ａｘ２ ａ
＝２（ －１）， ＝２ －１ ＝２ －１ ＝ ＋（ ＋２） 曲线ｙ １ ｘ 在点Ｐ处的切线的斜率ｋ １
ｘ
＋１
的切点为Ｐ
（
ｘ
０，
ｙ
０），
则ｙ′
｜ｘ ＝ ｘ ０ ＝２
ａｘ
０＋
ａ
＋２＝２，
得ａ
（２
ｘ
０＋
∴ ＝ ｘ （ ＞０） ２＝－ｘ２
０
，
æ ö
１）＝０，∴
ａ
＝０
或ｘ
０＝－
１
，
又ａｘ２
０＋（
ａ
＋２）
ｘ
０＋１＝２
ｘ
０－１，
即ａｘ２
０
则有ｋ
１
ｋ
２＝－１，
即
１·è
ç
－ｘ
１
２ ø
÷
＝－１，
解得ｘ２
０＝１，
又ｘ
０＞０，
２ ０
ａｘ 当ａ 时 显然不满足此方程 ｘ １ 此时ａ ｘ ．又 点Ｐ在曲线ｙ １ ｘ 上 ｙ 故点Ｐ的
＋ ０＋２＝０， ＝０ ， ，∴ ０＝－ ， ∴ ０＝１ ∵ ＝ ｘ （ ＞０） ，∴ ０＝１，
２
． 坐标为 ．
＝８ （１，１）
评析 本题主要考查导数的几何意义，能够利用点斜式求出 １３．（２０１２课标文，１３，５分）曲线ｙ ｘ ｘ 在点 处的
＝ （３ｌｎ ＋１） （１，１）
切线方程是解题关键． 切线方程为 ．
１２．（２０１５陕西理，１５，５分）设曲线ｙ ｘ 在点 处的切线与 答案 ｙ ｘ
＝ｅ （０，１） ＝４ －３
曲线ｙ １ ｘ 上点Ｐ 处的切线垂直 则Ｐ 的坐标为 解析 ｙ′ ｘ ｘ ３ ｘ ｋ ｙ′ 切线方程
＝ ｘ （ ＞０） ， ＝３ｌｎ ＋１＋ · ｘ ＝３ｌｎ ＋４， ＝ ｜ｘ ＝１＝４，
． 为ｙ ｘ 即ｙ ｘ ．
－１＝４（ －１）， ＝４ －３
答案 评析 本题考查了导数的几何意义，考查了运算求解能力．
（１，１）
解析 函数ｙ ｘ 的导函数为ｙ′ ｘ
∵ ＝ｅ ＝ｅ ，
时间： 分钟 分值： 分
４０ ７０
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ４５ ）
１．（２０２１届安徽“江淮十校”第二次质量检测，２）已知函数ｆ ｘ 及其
（ ）
导函数ｆ ′ ｘ 若存在ｘ 使得ｆ ｘ ｆ ′ ｘ 则称ｘ 是ｆ ｘ 的一
（ ）， ０ （ ０）＝ （ ０）， ０ （ ）
个 巧值点 ．下列选项中有 巧值点 的函数是
“ ” “ ” （ ）
ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ｘ
Ａ． （ ）＝ ＋２ Ｂ． （ ）＝ｌｎ
Ｃ．
ｆ
（
ｘ
）＝ｅ
－ ｘ
Ｄ．
ｆ
（
ｘ
）＝ｔａｎ
ｘ 答案 Ａ
答案 Ｂ ６．（２０２１届广东深圳中学达标测试，５）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｍ
（ ）＝ －２ ，
２．（２０２１届山东师范大学附属中学一模，４）设 ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｘ 若曲线ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 在公共点处的切线
ｆ ２（ ｘ ）＝ ｆ′ １（ ｘ ）， ｆ ３（ ｘ ）＝ ｆ′ ２（ ｘ ），……， ｆ ｎ ＋１（ ｘ ）＝ ｆ′ ｎ（ ｘ １ ） （ ， ｎ ） ∈ ＝ Ｎ ｓｉ ∗ ｎ ， 则 ， 相 （ 同 ） ， ＝ 则 ３ｌ ｍ ｎ ＝ － ， ＝ （ ） ＝ （ ） （ ）
ｆ ２０２０（ ｘ ）＝ （ ） Ａ．
答
－３
案 Ｂ
Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．５
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．ｓｉｎ Ｂ．－ｓｉｎ Ｃ．ｃｏｓ Ｄ．－ｃｏｓ
答案 Ｄ ７．（２０２１届广东深圳中学达标测试，６）已知函数ｆ ｘ ｘ
（ ）＝（ －１）
３．（２０２１届陕西咸阳第三次质量检测，１０）若函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点 处的
（ ）＝ ２ ＋ ·（ －２）（ －３）（ －４）（ －５）， ＝ （ ） （３，０）
ｘ 且ｆ ′ ａ 则 ａ ａ 切线方程为
ｌｎ ， （ ）＝０， ２ ｌｎ２ ＝ （ ） （ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．－ｌｎ２ Ｄ．ｌｎ２ Ａ． ＝４ ＋１２ Ｂ． ＝－４ ＋１２
答案 Ｂ ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ． ＝－４ －１２ Ｄ． ＝４ －１２
４．（２０２１届陕西咸阳第三次质量检测，４）设ａ Ｒ 函数ｆ ｘ 答案 Ｄ
∈ ， （ ）＝
ｅ ｘ ＋ ａ ·ｅ － ｘ的导函数是 ｆ ′ （ ｘ ）， 且 ｆ ′ （ ｘ ） 是奇函数．若曲线 ｙ ＝ ８．（２０２０山西省实验中学第一次月考，９）若函数ｆ （ ｘ ） 满足ｆ （ ｘ ）
ｆ ｘ 的一条切线的斜率是 ３ 则切点的横坐标为 １ ｘ３ ｆ ′ ｘ２ ｘ 则ｆ ′ 的值为
（ ） ， （ ） ＝ － （１）· － ， （１） （ ）
２ ３
ｌｎ２ －ｌｎ２ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．０ Ｄ．－１
Ａ．ｌｎ２ Ｂ．－ｌｎ２ Ｃ． Ｄ． 答案 Ｃ
２ ２
答案 Ａ ９．（２０１９江西吉安一模，７）过点Ｐ 且与曲线ｙ ｘ３ 相切的
（１，１） ＝
５．（２０２１届山东日照１１月份第二次联考，７）如图 一个正五角 直线的条数为
， （ ）
星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记ｔ时刻五角
（ ） ， Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
星露出水面部分的图形面积为Ｓ ｔ Ｓ 则导函数ｙ 答案 Ｃ
（ ）（ （０）＝ ０）， ＝
Ｓ′ ｔ 的图象大致为
（ ） （ ） 二、多项选择题 共 分
（ ５ ）
１０．（２０２０山东青岛三模，１１）已知曲线ｆ ｘ ２ ｘ３ ｘ２ ａｘ 上
（ ）＝ － ＋ －１
３
存在两条斜率为 的不同切线 且切点的横坐标都大于零 则
３ ， ，
实数ａ可能的取值为
（ ）
１９ １０ ９
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．
６ ３ ２
专题四 导数及其应用 １９７
答案 ＡＣ 的切线 则ａ ．
－１ ， ＝
三、填空题 每题 分 共 分 答案 ９
（ ５ ， ２０ ）
１１．（２０２１届百师联盟高三一轮复习联考（二）新高考卷，１５）直 ４
１３．（２０２１届天津新华中学１０月月考，１０）直线ｙ ｘ ｂ与曲线
线ｙ ｘ ｍ与函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 为自然对数的底数 ＝３ ＋
＝２ ＋ （ ）＝ ｅ －２ｌｎ ＋３（ｅ ） ｆ ｘ ｘ ｘ相切 则实数ｂ ．
的图象相切于点Ａ ｘ ｙ 则ｘ ｘ ． （ ）＝ｅ ＋ ， ＝
（ ０， ０）， ０＋ｌｎ ０＝ 答案
答案 ２－２ｌｎ２
ｌｎ２ １４．（２０１９ 四川绵阳第一次诊断，１５）若直线 ｙ ｘ 与函数
１２．（２０２１届河北百师联盟联考，１４）若曲线ｆ ｘ ｘ ａ ｘ ＝ ＋１
（ ）＝ｅ ＋ ｌｎ（ ＋１） ｆ ｘ ａｘ ｘ的图象相切 则ａ的值为 ．
（ ）＝ －ｌｎ ，
ａ 在点 ｆ 处的切线也是曲线ｇ ｘ １ ｘ３ ｘ ａ 答案
－２（ ＞０） （０， （０）） （ ）＝ ＋ ＋ ２
３
１９８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０２０湖南衡阳八中月考，５）已知直线ｙ ｘ ｍ是曲线ｙ ｘ２ ５．（２０１９广西南宁二中４ 月月考，７）如图所示 ｙ ｆ ｘ 是可导
＝－ ＋ ＝ ， ＝ （ ）
ｘ的一条切线 则ｍ的值为 函数 直线ｌ ｙ ｋｘ 是曲线ｙ ｆ ｘ 在ｘ 处的切线 令ｈ ｘ
－３ｌｎ ， （ ） ， ： ＝ ＋３ ＝ （ ） ＝１ ， （ ）
ｆ ｘ
Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．３ （ ） ｈ′ ｘ 是ｈ ｘ 的导函数 则ｈ′ 的值是
＝ ｘ ， （ ） （ ） ， （１） （ ）
答案 Ｂ 设切点为 ｘ ｙ 结合题意可知ｙ′ ｘ ３
（ ０， ０）， ｜ｘ ＝ ｘ ０ ＝２ ０－ｘ
０
＝－１，
解得ｘ 或ｘ ３ 舍去 将其代入曲线ｙ ｘ２ ｘ得ｙ
０＝１ ０＝－ （ ）， ＝ －３ｌｎ ０
２
所以切点为
＝１， （１，１），
将其代入切线方程可得 ｍ 解得ｍ ．故选
１＝－１＋ ， ＝２ Ｂ．
{ｘ２ ｘ ｘ
２．（２０１９河北唐山二模，８）已知函数ｆ ｘ ＋２ ， ≤０，为奇 Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．－３
（ ）＝ ｘ２ ａｘ ｘ 答案 Ｄ 由图象可知直线ｌ经过点
－ ＋ ， ＞０ （１，２），
函数 则曲线ｆ ｘ 在ｘ 处的切线斜率等于 则ｋ ｋ
， （ ） ＝２ （ ） ＋３＝２， ＝－１，
即ｆ ′ 且ｆ ．
Ａ．６ Ｂ．－２ Ｃ．－６ Ｄ．－８ （１）＝－１， （１）＝２
答案 Ｂ 设ｘ 则 ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ 又ｆ ｘ 为奇函 ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｆ ｘ
＞０， － ＜０， （－ ）＝ －２ ， （ ） ｈ ｘ （ ） ｈ′ ｘ （ ）· －（ ）
数
，∴
ｆ
（
ｘ
）＝－
ｆ
（－
ｘ
）＝－
ｘ２
＋２
ｘ
，
ｘ
＞０，
则ｆ′
（
ｘ
）＝－２
ｘ
＋２，
则ｆ′
（２）
∵ （ ）＝ ｘ ，∴ （ ）＝ ｘ２ ，
．故选 ． 则ｈ′ ｆ ′ ｆ 故选 ．
＝－２ Ｂ （１）＝ （１）－（１）＝－１－２＝－３， Ｄ
一题多解 当ｘ
≤０
时
，
ｆ ′
（
ｘ
）＝ ２
ｘ
＋２，
则ｆ ′
（－２）＝ －２，
由于 ６．（２０１９湖北武汉４月调研，１２）设曲线Ｃ
：
ｙ
＝３
ｘ４
－２
ｘ３
－９
ｘ２
＋４，
ｆ ｘ 为奇函数 所以其图象关于原点对称 所以 ｆ ′ 在曲线Ｃ上一点Ｍ 处的切线记为ｌ 则切线ｌ与曲线Ｃ
（ ） ， ， （２）＝ （１，－４） ，
ｆ ′ 故曲线ｆ ｘ 在ｘ 处的切线斜率为 故选 ． 的公共点个数为
（－２）＝－２， （ ） ＝２ －２， Ｂ （ ）
３．（２０１９福建福州一模，７）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ′ ｘ 为ｆ ｘ
（ ）＝ ｓｉｎ ， （ ） （ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
的导函数 ， 则函数ｆ ′ （ ｘ ） 的部分图象大致为 （ ） 答案 Ｃ ｙ′ ＝１２ ｘ３ －６ ｘ２ －１８ ｘ ， 则ｙ′ ｜ｘ ＝１＝１２×１ ３ －６×１ ２ －１８×１
＝－１２，
曲线ｙ ｘ４ ｘ３ ｘ２ 在点Ｍ 处的切线方程为ｙ
∴ ＝３ －２ －９ ＋４ （１，－４） ＋４
{ ｘ ｙ
ｘ 即 ｘ ｙ ．联立 １２ ＋ －８＝０， 解得
＝－１２（ －１）， １２ ＋ －８＝０ ｙ ｘ４ ｘ３ ｘ２
＝３ －２ －９ ＋４，
{
{ｘ {ｘ ｘ ２
＝１，或 ＝－２，或 ＝ ，
ｙ ｙ ３
＝－４ ＝３２ ｙ ．
＝０
( )
故切线与曲线Ｃ还有其他的公共点 ２
（－２，３２）， ，０ ，
３
切线ｌ与曲线Ｃ的公共点个数为 ．故选
∴ ３ Ｃ．
７．（２０１８陕西西安八校第一次联考，１２）曲线ｙ ｘ３ 上一点Ｂ处
＝
的切线ｌ交ｘ轴于点Ａ ＯＡＢ Ｏ为原点 是以Ａ为顶点的等
，△ （ ）
腰三角形 则切线ｌ的倾斜角为
， （ ）
答案 Ａ 由题意知ｆ ′ ｘ ｘ ｘ ｘ 为奇函数 图象关 ° ° ° °
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ， ， Ａ．３０ Ｂ．４５ Ｃ．６０ Ｄ．１２０
于
设
原
ｇ （
点
ｘ ）
对
＝
称
ｆ′
，
（
排
ｘ ）
除
， 则
Ｃ，
ｇ
Ｄ
′ （
，
ｘ ）＝２ｃｏｓ ｘ － ｘ ｓｉｎ ｘ ， 则ｇ′ （０）＝２＞０， 排除 则
答
Ｂ
案
点 处
Ｃ
的 切
对
线
ｙ
＝
ｌ的
ｘ３
斜
求
率
导得
为
ｙ′
ｘ
＝
２
３
ｘ２
，
设切点Ｂ的坐标为
（
ｘ
０，
ｙ
０），
故选
３ ０，
Ｂ， Ａ． 切线ｌ的方程为ｙ ｘ３ ｘ２ ｘ ｘ
４．（２０２０江西九江十校４月模拟，１０）若曲线ｙ ｘ４ ｘ３ ａｘ ｘ ∴ － ０＝ ( ３ ０（ － ) ０），
＝ － ＋ （ ＞
０） (
存在斜率
)
小于
１
的切线
，
则ａ的
(
取值范围
)
为
（ ）
令ｙ
＝０，
得ｘ
＝
３
２ ｘ
０，
则Ａ ２
３
ｘ
０，０
．
ＯＡＢ是以Ａ为顶点的等腰三角形
３ １ ∵ △ ，
Ａ． －∞， Ｂ． －∞，
( ２ ) ( ２ ) ＯＡ ＡＢ 即 ２ ｘ æ ç ｘ ０ ö ÷ ２ ｘ３ ２ ｘ４ １
５ １ ∴ ｜ ｜＝｜ ｜， ０ ＝ è ø ＋（ ０） ，∴ ０＝ ，
Ｃ． －∞， Ｄ． －∞， ３ ３ ３
４ ４
答案 Ｃ 由题意得ｙ′
＝４
ｘ３
－３
ｘ２
＋
ａ
＜１
当ｘ
＞０
时有解． ∴ 切线ｌ的斜率为 ３ ｘ２ ０＝ ３，∴ 切线ｌ的倾斜角为 ６０ ° ， 故选 Ｃ．
设ｆ （ ｘ ）＝４ ｘ３ －３ ｘ２ ＋ ａ （ ｘ ＞０）， ８．（２０２０河南新乡一中二模，１２）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ａ ｅ ｘ （ ａ ＞０） 与
∴ ｆ ′ （ ｘ ）＝１２ ｘ２ －６ ｘ ＝６ ｘ （２ ｘ －１）， ｇ （ ｘ ）＝２ ｘ２ － ｍ （ ｍ ＞０） 的图象在第一象限有公共点 ， 且在该点处
的切线相同 当实数ｍ变化时 实数ａ的取值范围为
令ｆ ′ ｘ 得 ｘ １ 令ｆ ′ ｘ 得ｘ １ ， ， （ ）
（ ）＜０ ０＜ ＜ ， （ ）＞０ ＞ ， æ ö æ ö æ ö æ ö
２ ２ ç ４ ÷ ç ８ ÷ ç ４ ÷ ç ８ ÷
( ) Ａ．è ２，＋∞ø Ｂ．è ２，＋∞ø Ｃ．è０， ２ ø Ｄ．è０， ２ ø
ｆ ｘ ｆ １ ａ １ 则ａ ５ ．故选 ｅ ｅ ｅ ｅ
∴ （ ）ｍｉｎ＝ ＝ － ＜１， ＜ Ｃ． 答案 Ｄ 设切点为Ａ ｘ ｙ
２ ４ ４ （ ０， ０），
专题四 导数及其应用 １９９
所以
{ａ
ｅ
ｘ
０＝２
ｘ２
０－
ｍ
，整理得
{
４
ｘ
ｘ
０＝２
ｘ２
０－
ｍ
，
上一点Ｐ到直线ｙ
＝
ｘ的最短距离为 ．
ａ
ｅ
ｘ
０＝４
ｘ
０， ｍ
０＞０， 答案 ２
＞０， ２
由ｍ
＝２
ｘ２
０－４
ｘ
０＞０
和ｘ
０＞０，
解得ｘ
０＞２
． 解析 设与直线ｙ
＝
ｘ平行且与曲线ｇ
（
ｘ
）＝ｌｎ
ｘ相切的直线
由上可知ａ ＝ ４ ｘ ｘ ０ ， 令ｈ （ ｘ ）＝ ４ ｘ ｘ， ｘ ＞２， 则ｈ′ （ ｘ ）＝ ４（１－ ｘ ｘ ）． 的切点坐标为 （ ｘ ０，ｌｎ ｘ ０）， 因为 ｇ′ （ ｘ ）＝ （ｌｎ ｘ ） ′ ＝ １ ｘ ， 则 １＝
０
ｅ ｅ ｅ
因为ｘ ＞２， 所以ｈ′ （ ｘ ）＝ ４（１－ ｘ ｘ ） ＜０， ｈ （ ｘ ）＝ ４ ｘ ｘ 在 （２，＋∞） 上单 ｘ １ ，∴ ｘ ０＝１， 则切点坐标为 （１，０），∴ 最短距离为 （１，０） 到直
ｅ ｅ ０
æ ö
调递减 ， 所以 ０＜ ｈ （ ｘ ）＜ ｅ ８ ２， 即ａ ∈è ç ０， ｅ ８ ２ ø ÷．故选 Ｄ． 线ｙ ＝ ｘ的距离 ， 即为｜１ １ － ＋ ０ １ ｜ ＝ ２ ２ ， 故答案为 ２ ２．
９．（２０１９河南洛阳二模，１０）已知ａ 曲线ｆ ｘ ｘ２ ａｘ与 １３．（２０２０江西南昌四校联考，１４）函数ｆ ｘ ｘ ｘ Ｓ ｘ Ｓ
＞０， （ ）＝ ３ －４ （ ）＝ （ － １）（ － ２）
ｇ
（
ｘ
）＝２
ａ２
ｌｎ
ｘ
－
ｂ有公共点
，
且在公共点处的切线相同
，
则实数
·…·（
ｘ
－
Ｓ
８），
其中 Ｓ
ｎ
为数列
｛
ａ
ｎ｝
的前 ｎ 项和
，
若 ａ
ｎ ＝
ｂ的最小值为
（ ） １ 则ｆ ′ ．
ｎ ｎ ， （０）＝
１ ２ ４ （ ＋１）
Ａ．０ Ｂ．－ ｅ ２ Ｃ．－ ｅ ２ Ｄ．－ ｅ ２ 答案 １
答案 Ｂ 设曲线ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ ｘ 在公共点Ｐ ｘ
ｙ 处的 切线 相同 因为
＝
ｆ
（
′
）
ｘ
＝
ｘ
（
ａ
）（
ｇ′
＞０
ｘ
）
２
ａ２
由题意
（
得
０，
解析 本
９
题考查了导数的运算
，
体现了数学运算的核心素养．
０） ， （ ）＝ ６ －４ ， （ ）＝ ｘ ， 由题意得ｆ′
（
ｘ
）＝（
ｘ
－
Ｓ
１）（
ｘ
－
Ｓ
２）…（
ｘ
－
Ｓ
８）＋
ｘ
［（
ｘ
－
Ｓ
１）（
ｘ
－
Ｓ
２）
ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ′ ｘ ｇ′ ｘ 所以 ｘ２ ａｘ ａ２ ｘ ｂ ｎ
（ ｘ ０）＝ ａ （ ２ ａ ０ ２ ）， 由 ｘ （ ０） ａ ＝ ２ （ ａ２ 得 ０）， ｘ ａ或 ３ ０ ｘ －４ ０ １ ＝ ａ ２ 舍 ｌｎ 去 ０－ 即 ， …（ ｘ － Ｓ ８）］ ′ ， Ｓ ( ｎ＝１－ ) ｎ ＋ １ ( １ ＝ｎ ＋ ) １ ， ( )
６ 有 ０ ｂ － ＝ ４ ａ２ ＝ ＋２ ｘ ０ ａ２ ， ｌｎ ａ ６ ．令 ０－ ｈ ４ （ ｔ ＝ ）＝ ｘ ０ ｔ２ ＋２ ｔ２ ０ ｌｎ ＝ ｔ （ ｔ ＞０ ０ ） ＝ ， 则 － ３ ｈ′ （ （ ｔ ）＝ ４ ｔ ） （ ， １＋ 所以ｆ ′ （０）＝ － ２ １ × － ３ ２ ×…× － ９ ８ ＝ ９ １ ．
ｘ
ｌｎ ｔ ）， 当 ４ ｔ （１＋ｌｎ ｔ ）＞０， 即ｔ ＞ １ 时 ， ｈ′ （ ｔ ）＞０， 当 ４ ｔ （１＋ｌｎ ｔ ）＜０， １４．（２０２０甘肃会宁月考，２１）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ １＋ ｘ ｌｎ ．
ｅ
( ) 求曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程
即 ｔ １ 时 ｈ′ ｔ ．故 ｈ ｔ 在 １ 上为减函数 在 （１） ＝ （ ） （ ( ｅ， （ｅ）） ) ；
０＜ ＜ ， （ ）＜０ （ ） ０， ，
ｅ ｅ 若函数ｆ ｘ 在区间 ｍ ｍ １ ｍ 上存在极值 求实
( ) （２） （ ） ， ＋ （ ＞０） ，
１ 上为增函数 于是 ｈ ｔ 在 上的最小值为 ３
，＋∞ ， （ ） （０，＋∞） 数ｍ的取值范围．
ｅ
( ) ｘ
ｈ １ １ 故ｂ的最小值为 １ ．故选 解析 ｆ ′ ｘ －ｌｎ
＝－ ２， － ２ Ｂ． （１） （ ）＝ ｘ２ ，
ｅ ｅ ｅ
１０．（２０１９广东江门一模，１２）若ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ
ｘ与ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋
ａｘ的图
故切线的斜率为ｆ ′ １ 又ｆ ２
象有一条与直线ｙ ｘ平行的公共切线 则ａ （ｅ）＝－ ２， （ｅ）＝ ，
＝ ， ＝ （ ） ｅ ｅ
或
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．３ －１ 切线方程为ｙ ２ １ ｘ 即ｘ ２ｙ ．
答案 Ｄ 由题意可设公共切线的方程为ｙ ｘ ｔ ｔ 设 ∴ － ＝－ ２（ －ｅ）， ＋ｅ －３ｅ＝０
＝ ＋ ， ≠０， ｅ ｅ
切线与ｆ ｘ 图象的切点为 ｘ ｙ 与 ｇ ｘ 图象的切点为 当 ｘ 时 ｆ ′ ｘ 当ｘ 时 ｆ ′ ｘ ．
（ ） （ １， １）， （ ） （
故
２）
ｆ ｘ
０
在
＜ ＜１ ，
上单
（
调
）
递
＞
增
０，
在
＞１ ，
上
（
单
）
调
＜０
递减．
ｘ ｙ 可得ｆ ′ ｘ １ 切线斜率为 １ 由 １ 得ｘ （ ） （０，１） ， （１，＋∞）
（ ２， ２）， （ ）＝ ｘ ， ｘ ， ｘ ＝１ １＝１， 故ｆ ｘ 在ｘ 处取得极大值．
１ １ （ ） ＝１
则ｙ 切线方程为ｙ ｘ ．ｇ′ ｘ ｘ ａ 切线斜率为 ｘ ( )
１＝０， ＝ －１ （ ）＝２ ＋ ， ２ ２＋ ｆ ｘ 在区间 ｍ ｍ １ ｍ 上存在极值
ａ
，
由
２
ｘ
２＋
ａ
＝１，
ｘ２
２＋
ａｘ
２＝
ｘ
２－１，
解得ａ
＝３，
ｘ
２＝－１，
或ａ
＝－１，
ｘ
２
∵ （ ） ， ＋
３
（ ＞０） ，
故选
＝１， Ｄ． ｍ 且ｍ １ 解得 ２ ｍ ．
思路分析 由题意可设公共切线的方程为ｙ ＝ ｘ ＋ ｔ ， ｔ ≠０， 分别 ∴０＜ ＜１ ＋ ３ ＞１， ３ ＜ ＜１
求得ｆ ｘ ｇ ｘ 的导数 得切线的斜率 求得切点坐标 可得 １５．（２０２０北京怀柔适应性练习，１９）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｌｎ ｘ ， ｇ （ ｘ ）
切线方
（
程
），
解
（
关
）
于ａ的方
，
程即可．
， ，
＝ｅ
ｘ．
，
方法总结 本题考查公切线问题 要区分是共切点的公切线 （１） 求曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在点 （１， ｆ （１）） 处的切线方程 ；
，
还是不共切点的公切线 设出切点坐标求解．
（２）
当ｘ
＞０
时
，
证明
：
ｆ
（
ｘ
）＜
ｘ
＜
ｇ
（
ｘ
）；
，
１１．（２０２０陕西第一学期摸底考试，１４）曲线ｙ ＝ ｘ３ 在点 （１，１） 处 （３） 判断曲线ｆ （ ｘ ） 与ｇ （ ｘ ） 是否存在公切线 ， 若存在 ， 说明有
几条 若不存在 说明理由．
的切线与ｘ轴及直线ｘ ａ所围成的三角形面积为 １ 则实数 ； ，
＝ ， 解析 本题考查导数的几何意义 导数的应用 恒成立问
６ 、 、
ａ ． 题 考查学生解决问题的能力 渗透逻辑推理 数学运算的核
＝ ， ， 、
心素养．
答案 １ 或
１ ｆ ｘ ｘ的定义域为 ．
３ （１） （ ）＝ｌｎ （０，＋∞）
解析 由ｙ
＝
ｘ３
，
得ｙ′
＝３
ｘ２
，
所以ｙ′
｜ｘ ＝１＝３，
所以曲线ｙ
＝
ｘ３
由ｆ ′ ｘ １ ｋ ｆ ′
在点 处的切线方程为ｙ ｘ 即ｙ ｘ 令ｙ （ ）＝ ｘ ⇒ ＝ （１）＝１，
（１，１） －１＝３（ －１）， ＝３ －２， ＝
又ｆ
得ｘ ２ 则由 １ ａ ２ ａ １ 解得ａ １ 或 ． （１）＝０，
０， ＝ ， × － ×｜３ －２｜＝ ， ＝ １ 所以曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程为ｙ ｘ ．
３ ２ ３ ６ ３ ＝ （ ） （１， （１）） ＝ －１
１２．（２０１８百校联盟 ２０三月联考，１３）函数ｇ ｘ ｘ图象 证明 设ｈ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
ＴＯＰ （ ）＝ｌｎ （２） ： （ ）＝ （ ）－ ＝ｌｎ － （ ＞０），
２００ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
曲线ｆ ｘ 与ｇ ｘ 有公切线
故ｈ′ ｘ １ ． （ ） （ ） ，
（ ）＝ ｘ －１ {
１ ｘ
由ｈ′ ｘ 得ｘ 则 ｘ ＝ｅ ２ ， ｘ ｘ ｘ
ｈ′ ｘ
（
ｈ
）＝
ｘ
０
随ｘ的
＝１
变
，
化情况如下
１
ｘ ｘ ｘ
⇒ｅ ２ （１－ ２）＋ ２＋１＝０，
（ ）， （ ） ： ｌｎ １－１＝ｅ ２ （１－ ２），
ｘ 令ｍ ｘ ｘ ｘ ｘ 当且仅当ｍ ｘ 有零点时 曲线ｆ ｘ
（０，１） １ （１，＋∞） （ ）＝ｅ（１－ ）＋ ＋１， （ ） ， （ ）
ｈ′ ｘ 与ｇ ｘ 有公切线
（ ） ＋ ０ － （ ） ，
ｈ ｘ 极大值 ｍ′ ｘ ｘ ｘ
（ ） ↗ ↘ （ ）＝－ ｅ ＋１，
ｈ ｘ ｈ 当ｘ 时 ｍ′ ｘ ｍ ｘ 在 上单调递增
∴ ｆ （ ｘ ）ｍ ｘ ａｘ ． ＝ （１）＝ｌｎ１－１＝－１＜０， 当ｘ ≤０ 时 ， ｍ″ （ ｘ ）＞０， ｘ （ ） ｘ．易 （－ 知 ∞， ｍ ０ ″ ］ ｘ 则ｍ′ ， ｘ 在
∴ （ ）＜ ＞０ ， （ ）＝－（ ＋１）ｅ （ ）＜０， （ ） （０，
设ｓ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｘ 则ｓ′ ｘ ｘ．易知ｓ′ ｘ 在 上单调递减
（ ）＝ － （ ）＝ －ｅ ， （ ）＝１－ｅ （ ）＜０ （０， ＋∞） ，
上恒成立 又ｍ′ ｍ′
＋∞） ， （０）＝１＞０， （１）＝１－ｅ＜０，
∴ ｓ （ ｘ ） 在 （０，＋∞） 上单调递减 ， ∴ 存在ｘ ０∈（０，１）， 使得ｍ′ （ ｘ ０）＝－ ｘ ０ｅ ｘ ０＋１＝０，
ｓ ｘ ｓ ｘ ｇ ｘ ． ｘ ｘ 时 ｍ′ ｘ ｍ ｘ 单调递增 ｘ ｘ 时
∴ （ ）＜ （０）＝－１＜０⇒ ＜ （ ） ∈（０， ０） ， （ ）＞０， （ ） ， ∈（ ０，＋∞） ，
综上 ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ ． ｍ′ ｘ ｍ ｘ 单调递减
，（ ）＜ ＜ （ ） （ ）＜０， （ ） ，
曲线ｆ ｘ 与ｇ ｘ 存在公切线 且有 条．
（ 由 ３） 知曲 （ 线 ） ｆ ｘ （ 与 ） ｇ ｘ 无公 ， 共点 设 ２ ｌ ｌ 分别切曲线 ∴ ｍ （ ｘ ）ｍａｘ＝ ｍ （ ｘ ０）＝ｅ ｘ ０ （１－ ｘ ０）＋ ｘ ０＋１＝ｘ １ （１－ ｘ ０）＋ ｘ ０＋１＞０，
（２） （ ） （ ） ， １， ２ ０
ｆ ｘ ｇ ｘ 于 ｘ ｘ ｘ ｘ 又ｍ －２ ｍ ２
（ ）， （ ） （ １，ｌｎ １），（ ２，ｅ ２ ），
ｍ
（
ｘ
－２
在
）＝３ｅ
ｘ
－１＜０，
ｘ
（２）
内
＝
各
－ｅ
存
＋
在
３＜
一
０，
个零点
则ｌ ｙ １ ｘ ｘ ｌ ｙ ｘ ｘ ｘ ｘ 若ｌ ｌ 即 ∴ （ ） （－２， ０），（ ０，２） ，
１： ＝ｘ · ＋ｌｎ １－１， ２： ＝ｅ ２ · ＋ｅ ２ （１－ ２）， １＝ ２， 故曲线ｆ ｘ 与ｇ ｘ 存在 条公切线．
１ （ ） （ ） ２
