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专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
基础篇
考点 导数的概念及运算 续表
1. 原函数 导函数
导数的概念及几何意义
导数的概念 ｆ(ｘ) ＝ ｘα(α ∈ Ｑ且α ≠０ ) ｆ ′(ｘ) ＝ αｘα －１
１)
ｆ(ｘ) ｘ ｆ ′(ｘ) ｘ
一般地 函数 ｙ ｆ ｘ 在 ｘ ｘ 处的瞬时变化 ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ
ꎬ ＝ ( ) ＝ ０
ｆ(ｘ) ｘ ｆ ′(ｘ) ｘ
ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ＝ｃｏｓ ＝ －ｓｉｎ
率是 Δ ( ０ ＋Δ )－ ( ０) 称为函数
Δ
ｌｉｘ
→
ｍ
０ Δ
ｘ＝
Δ
ｌｉｘ
→
ｍ
０ Δ
ｘ ꎬ ｆ(ｘ)
＝
ａｘ(ａ
>０
ꎬ且ａ
≠１
) ｆ ′(ｘ)
＝
ａｘ
ｌｎ
ａ
ｙ ｆ ｘ 在ｘ ｘ 处的导数.记作ｆ ′ ｘ 或ｙ′ ｆ(ｘ) ｘ ｆ ′(ｘ) ｘ
＝ ( ) ＝ ０ ( ０) ｜ｘ ＝ ｘ ０ ꎬ ＝ｅ ＝ｅ
ｙ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ(ｘ) ｘ(ａ ꎬ且ａ ) ｆ ′(ｘ) １
即ｆ ′ ｘ Δ ( ０ ＋Δ )－ ( ０). ＝ｌｏｇａ >０ ≠１ ＝ｘ ａ
( ０)＝ｌｉｘｍ ｘ＝ｌｉｘｍ ｘ ｌｎ
Δ→０Δ Δ→０ Δ
注意 ｆ(ｘ) ｘ ｆ ′(ｘ) １
＝ｌｎ ＝ ｘ
ｆ ′(ｘ)与 ｆ ′(ｘ )的区别与联系:ｆ ′(ｘ)是一个函数ꎬ
０ 导数的四则运算法则
ｆ ′(ｘ )是函数 ｆ ′(ｘ)在 ｘ 处的函数值(常数)ꎬ所以 ２)
０ ０
ｆ ｘ ｇ ｘ ′ ｆ ′ ｘ ｇ′ ｘ
[ｆ ′(ｘ )]′ . [ ( )± ( )] ＝ ( )± ( )ꎻ
０ ＝０
ｆ ｘ ｇ ｘ ′ ｆ ′ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ′ ｘ
[ ( ) ( )] ＝ ( ) ( )＋ ( ) ( )ꎻ
导数的几何意义
２) éｆ ｘ ù ｆ ′ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ′ ｘ
ê ( ) ú′ ( ) ( )－ ( ) ( ) ｇ ｘ .
函数ｙ ＝ ｆ ( ｘ ) 在ｘ ＝ ｘ ０ 处导数的几何意义 ꎬ 就是 ë ê ｇ ( ｘ ) û ú ＝ [ ｇ ( ｘ )] ２ ( ( )≠０)
曲线ｙ ｆ ｘ 在点 Ｐ ｘ ｙ 处切线的斜率 相 3.
复合函数的导数
＝ ( ) ( ０ꎬ ０) ꎬ
应地 切线方程为ｙ ｙ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ .
一般地 对于由函数 ｙ ｆ ｕ 和 ｕ ｇ ｘ 复合
ꎬ － ０ ＝ ( ０)( － ０) ꎬ ＝ ( ) ＝ ( )
2.
导数的运算
而成的函数ｙ ｆ ｇ ｘ 它的导数与函数ｙ
＝ ( ( ))ꎬ ＝
基本初等函数的导数公式
ｆ ｕ ｕ ｇ ｘ 的导数间的关系为 ｙ′ ｙ′ ｕ′
１) ( )ꎬ ＝ ( ) ｘ＝ ｕ ｘꎬ
原函数 导函数 即 ｙ 对 ｘ 的导数等于 ｙ 对 ｕ 的导数与 ｕ 对 ｘ
ｆ(ｘ) ｃ(ｃ为常数) ｆ ′(ｘ) 的导数的乘积.
＝ ＝ ０
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２４８
综合篇
考法 利用导数的几何意义求曲线的切线方 设切点为 Ｐ′ ｘ ｆ ｘ .
① ( １ꎬ ( １))
程及参数的方法 写出在点 Ｐ′ ｘ ｆ ｘ 处的切线方程 ｙ
② ( １ꎬ ( １)) : －
ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ .
1. 求曲线的切线方程有两种情况： ( １)＝ ( １)( － １)
将 Ｐ ｘ ｙ 代入切线方程 求出 ｘ .
求曲线 ｙ ｆ ｘ 在点 Ｐ ｘ ｙ 处的切线方 ③ ( ０ꎬ ０) ꎬ １
１) ＝ ( ) ( ０ꎬ ０) 将 ｘ 代入 ｙ ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ 即可
程 即求 ｙ ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ . ④ １ － ( １)＝ ( １)( － １)
ꎬ － ( ０)＝ ( ０)( － ０) 求出.
求曲线 ｙ ｆ ｘ 过点 Ｐ ｘ ｙ 的切线方程
２) ＝ ( ) ( ０ꎬ ０) ꎬ
此时 Ｐ 点一般不是切点.步骤如下
:
2. 已知切线方程求参数的方法 (ｘ )均相切ꎬ设切点分别为 Ａ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬ
ｌｎ ＋１ １ １ ２
当曲线的切线方程是已知条件时 常合理选
ꎬ ｙ )ꎬ由ｙ ｘ 得ｙ′ １ꎬ由ｙ (ｘ )得ｙ′
择以下三个条件的表达式解题 ２ ＝ｌｎ ＋２ ＝ ｘ ＝ｌｎ ＋１ ＝
:
切点在切线上
１ ꎬ ｋ １ １ ꎬ ｘ １ꎬｘ １ ꎬ ｙ
１) ꎻ
ｘ ∴ ＝ｘ ＝ｘ ∴ １ ＝ ｋ ２ ＝ ｋ －１ ∴ １ ＝
切点在曲线上 ＋１
１ ２
＋１
２) ꎻ
æ ö æ
在切点横坐标处的导数等于切线的斜率. ｋ ꎬｙ ｋ.即Ａ ç １ꎬ ｋ ÷ꎬＢ ç １ ꎬ
３) －ｌｎ ＋２ ２ ＝－ｌｎ è ｋ －ｌｎ ＋２ ø è ｋ －１
例1 ( 课标 文ꎬ ꎬ 分)曲线ｙ ｘ
２０１９ Ⅱ １０ ５ ＝２ｓｉｎ ö
ｋ ÷ꎬ Ａ、Ｂ 在直线 ｙ ｋｘ ｂ 上ꎬ
ｘ在点( ꎬ )处的切线方程为 ( ) －ｌｎ ø ∵ ＝ ＋
＋ｃｏｓ π －１
ｘ ｙ ｘ ｙ ì
Ａ. － －π－１＝０ Ｂ.２ － －２π－１＝０ ï ｋ ｋ１ ｂꎬ
ｘ ｙ ｘ ｙ ï ï２－ｌｎ ＝ ｋ ＋ {ｂ ꎬ
Ｃ.２ ＋ －２π＋１＝０ Ｄ. ＋ －π＋１＝０ í ＝１－ｌｎ ２
解析 由题意可知 ｙ′ ｘ ｘꎬ则 ∴ ï æ ö ⇒ ｋ .
＝ ２ｃｏｓ －ｓｉｎ ï ï ｋ ｋç１ ÷ ｂ ＝２
î－ｌｎ ＝ è ｋ －１ø＋
ｙ′ .所以曲线 ｙ ｘ ｘ 在点( ꎬ
｜ｘ ＝π ＝－２ ＝ ２ｓｉｎ ＋ｃｏｓ π 答案
)处的切线方程为 ｙ (ｘ )ꎬ即 ｘ ｙ １－ｌｎ ２
－１ ＋１＝－２ －π ２ ＋ ＋
ꎬ故选 . 名师点睛某条直线与两个函数图象均相切的证明
１－２π＝０ Ｃ
答案 (或求参数的范围)ꎬ通常需要设出两个切点的坐标ꎬ
Ｃ
例2 ( 课标 ꎬ ꎬ 分)若直线 ｙ ｋｘ ｂ
得到两条直线方程ꎬ再证明其重合(或建立参数的关
２０１６ Ⅱ １６ ５ ＝ ＋
系式ꎬ进而运用消元法ꎬ再结合导数的知识求得参数的
是曲线 ｙ ｘ 的切线ꎬ也是曲线 ｙ (ｘ
＝ｌｎ ＋２ ＝ｌｎ ＋ 范围).
)的切线ꎬ则 ｂ .
１ ＝
解析 直线 ｙ ｋｘ ｂ 与曲线 ｙ ｘ ꎬｙ
＝ ＋ ＝ｌｎ ＋２ ＝
专
题
四
导
数
及
其
应
用
２４９
