文档文本内容
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．了解函数三要素及分段函数 会求简单函数的定义域．
一、函数的概念 １ ，
．会根据不同需要选择恰当方法表示函数．
２
．本专题重点考查以基本函 ．本专题内容为高考热
二、函数的基本 了解函数奇偶性 周期性的含义 理解函数单调性 最值及几何 １ １
、 ， 、 数或由基本函数组合的函数 点．考题难度覆盖易
性质 意义． ，
为载体 考查函数的三要素 中 难．题型主要以选择
， 、 ，
三、二次函数与 表示方法及性质 图象．特别 题或填空题的形式
了解二次函数 幂函数的概念 理解二次函数图象并简单应用． 、
幂函数 、 ， 是以指数 对数函数为载体 出现．
、 ，
新高考 第 题考查了指数 ．处理函数性质的相关
四、指数与指数 了解指数函数模型背景 实数指数幂的含义 理解有理指数幂的 Ⅰ ６ ２
， ， 函数及对数函数的数学模型 问题 常画出函数的图
函数 含义
，
指数函数的概念
，
单调性．掌握幂的运算
，
指数函数的图象．
的应用． 象 利
，
用数形结合法解
，
五、对数与对数 理解对数的概念和运算性质 了解对数函数的概念及性质 掌握 ２
．常结合函数性质
、
分段函数 决
，
综合考查函数的单
， ， 考查函数的零点与方程根的 调性 奇偶性 对称性
函数 对数函数的图象经过的特殊点 会用换底公式． 、 、 ，
， 问题． 并注意函数与不等式的
六、函数的图象 理解描点法作图和图象变换．利用函数图象讨论函数性质． ．函数与其他知识结合考查．如 转化应用．
３
函数与数列 函数与不等式 函 ．要关注在数列 解析
、 、 ３ 、
七、函数与方程 了解函数零点与方程根的联系． 数与解析几何．考查数形结合 几何中的最值问题以及
、
分类讨论 转化与化归 函数与 数学建模解决实际
、 、
八、函数模型及 方程等思想方法． 问题．
了解函数模型的广泛应用 基本函数等不同函数类型的增长
函数的综合 ，
意义．
应用
．抽象不等式问题．解题步骤 将所给
核心考点 思想方法 ２ ：（１）
不等式转化为两个函数值的大小关系
函数的单调性 奇偶性 抽象函数及不等式． 分类讨论思想 数形结合思想． ；
、 ， 、 利用奇偶性得出其区间上的单调性
（２） ，
思路分析 方法总结 并利用单调性 脱去 函数符号 ｆ 转化
“ ” “ ”，
利用函数奇偶性和单调性画出示意图 结 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 为解不等式 组 的问题 注意偶函数中结
， ： （ ） ，
合图象解不等式．
１
．比较大小．一般解法是先利用奇偶性将 论ｆ
（
ｘ
）＝
ｆ
（｜
ｘ
｜）
的灵活运用．
自变量转化到同一单调区间上 然后利用
核心素养 ，
单调性比较大小．
直观想象 逻辑推理．
、
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ７５７６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项 函数的奇偶性
２０２０新高考Ⅰ，８ 难 奇函数与解不等式 数形结合 逻辑推理
５ 选择题 与单调性
单项
２０２０新高考Ⅱ，７ 中 函数的单调性 已知单调性求参数取值范围 定义法 逻辑推理
５ 选择题
单项 数学建模
２０２０新高考Ⅰ，６ 中 函数模型及其应用 指数函数的应用 待定系数法
５ 选择题 数学运算
２０２０课标Ⅰ文，８ 选择题 易 指数式与对数式 指数与对数的互化 公式法 数学运算
５
２０２０天津，３ 选择题 易 函数图象的识辨 由解析式判断图象 排除法 逻辑推理
５
２０２０北京，６ 选择题 易 函数图象的应用 结合图象求不等式解集 图象观察法 逻辑推理
４
２０２０天津，６ 选择题 中 指数式与对数式 指数与对数的大小比较 中间量法 数学运算
５
数学建模
２０２０北京，１０ 选择题 中 函数模型及其应用 函数模型的应用 综合法
４ 数学运算
指数函数与 指数、对数函数的 放缩法
２０２０课标Ⅰ理，１２ 选择题 难 逻辑推理
５ 对数函数 单调性的应用 定义法
数学建模
与函数有关的实 数形结合
２０２０北京，１５ 填空题 中 函数模型及其应用 逻辑推理
５ 际应用问题 直接法
数学运算
对数函数、反比例函数
２０２０北京，１１ 填空题 易 求函数的定义域 定义法 数学运算
５ 的定义域
数学运算
２０２０天津，９ 选择题 难 函数零点 由零点个数求参数的范围 数形结合
５ 逻辑推理
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 本专题内容为高考热点 考题难度覆盖易 中 难 题型主要以选择题或填空题的形式出现．
１ ２０２０ ， ， 、 、 ，
．本专题内容在 年高考试题中多以基本初等函数 特别是指数 对数函数为载体 如新高考 卷第 题 课标 卷第 文
２ ２０２０ ， 、 ， Ⅰ ６ ， Ⅰ ８（ ）、
理 题 北京卷第 题等 这些题以指数 对数运算为主线 考查了指数 对数函数的图象及性质．
１２（ ） 、 ６、１１ ， 、 ， 、
．在处理函数性质的相关问题时 可利用数形结合法画出函数图象 综合考查函数的单调性 奇偶性 对称性 并注意函数与不等
３ ， ， 、 、 ，
式的转化运用 如新高考 卷第 题．
， Ⅰ ８
．本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理．
４
命题变化与趋势
．高考对本专题内容的考查较为稳定 考查方式及题目难度与往年相比变化不大 延续此前的考试风格．
１ ， ，
．考查内容主要体现在以下方面 函数模型及其应用 如新高考 卷第 题 基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数
２ ：① ， Ⅰ ６ ，
学模型的研究成果 考查了相关的数学知识和从资料中提取信息的能力 突出数学模型的应用 同时考查了利用单调性解不等
， ， ，
式 比较大小 利用周期性求函数值 结合函数性质 分段函数考查函数的零点与方程的根的问题 函数与其他知识结合考
、 ， ；② 、 ；③
查 如函数性质与数列结合考查 函数知识在概率问题中的应用等．常以这些内容为考查重点 同时需要加强对数形结合思想和
， ， ，
分类讨论思想在解决函数问题中的应用 备考时需给予关注和强化．
，
．适当关注函数与其他章节知识的交汇应用 如在数列中求最值 解决解析几何中最值问题以及函数在实际问题中的应用．
３ ， ，专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ７７
３．１ 函数的概念
§
做函数的 定义域 与ｘ的值相对应的ｙ值叫做 函数值 ．函
④ ， ⑤
数值的集合 ｆ ｘ ｘ Ａ 叫做函数的 值域 ．显然 值域是集合
｛ （ ）｜ ∈ ｝ ⑥ ，
Ｂ的 子集 ．
⑦
考点一 函数的有关概念
３．函数的三要素： 定义域 值域 对应关系 ．
⑧ 、⑨ 、⑩
１．函数与映射的概念 ４．相等函数：如果两个函数的定义域相同 且对应关系完全
，
函数 映射 一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据．
， ，
两集合Ａ、Ｂ 设Ａ Ｂ是两个 非空数集 设Ａ Ｂ是两个非空集合
、 ① 、 考点二 函数的表示方法
如果按照某种确定的对应 如果按照某一个确定的对
１．常用的函数表示法： 解析法 列表法 图象法 ．
关系ｆ 使对于集合Ａ中的 应关系ｆ 使对于集合Ａ中 、 、
对应关系 ， ， ２．分段函数
任意 一个数ｘ 在集合 的任意一个元素ｘ 在集合
ｆ：Ａ Ｂ ② ， ， 若函数在其定义域的 不同子集 上 因对应关系不同而分
→ Ｂ中都有 唯一确定的数 Ｂ中都有唯一确定的元素ｙ ，
③ 别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数．分段函数
ｆ ｘ 和它对应 与之对应 ，
（ ） 虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数．
名称 称ｆ ： Ａ → Ｂ为从集合Ａ到集 称对应关系ｆ ： Ａ → Ｂ为从集 注意 分段 ， 函数的定义域等于各段函数的定义域的并
合Ｂ的一个函数 合Ａ到集合Ｂ的一个映射 （１）
集 其值域等于各段函数的值域的并集．
，
记法 ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ 对应关系ｆ Ａ Ｂ 分段函数是一个函数而不是几个函数 处理分段函数问
＝ （ ）， ∈ ： → （２） ，
２．函数的定义域、值域 题时 首先确定自变量的取值属于哪个区间 再选取相应的对应
， ，
在函数ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ中 ｘ叫做自变量 ｘ的取值范围Ａ叫 关系 离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．
＝ （ ）， ∈ ， ， ，
考点二 函数的表示方法
５．下列图象可以表示以Ｍ ｘ ｘ 为定义域 以Ｎ ｙ
＝｛ ｜０≤ ≤１｝ ， ＝｛ ｜０
考点一 函数的有关概念 ｙ 为值域的函数的是
≤ ≤１｝ （ ）
１．设函数ｆ ｘ ｘ 则函数ｆ ｆ ｘ 的定义域为
（ ）＝ｌｇ（１－ ）， （ （ ）） （ ）
Ａ．（－９，＋∞） Ｂ．（－９，１）
Ｃ．［－９，＋∞） Ｄ．［－９，１）
答案 Ｂ
２．下列函数为同一函数的是
（ ）
ｙ ｘ２ ｘ和ｙ ｔ２ ｔ ｙ ｘ０和ｙ
Ａ． ＝ －２ ＝ －２ Ｂ． ＝ ＝１
ｙ ｘ ２和ｙ ｘ ｙ ｘ２和ｙ ｘ
Ｃ． ＝ （ ＋１） ＝ ＋１ Ｄ． ＝ｌｇ ＝２ｌｇ
答案 Ａ
３．函数ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ ＋ ｘ２ －１＋（ ｘ －４） ０ 的定义域为 答案 Ｃ
２－｜ ｜
． ６．已知ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则ｆ ｘ
（２ ＋１）＝ －２ ， （ ）＝ ，
答案 ｘ ｘ 或 ｘ 或 ｘ 或 ｘ 或ｘ ｆ ．
｛ ｜ ＜－２ －２＜ ≤－１ １≤ ＜２ ２＜ ＜４ ＞４｝ （３）＝
４．若函数ｙ ｆ ｘ 的定义域是 则函数ｇ ｘ ｆ （２ ｘ －１）的定 答案 １ ｘ２ ３ ｘ ５
＝ （ ） ［０，２］， （ ）＝ ｘ ４ － ２ ＋ ４ ；－１
义域为 ．
－１
７．已知函数ｆ ｘ
{ｘ２
＋１，
ｘ
＞０， 则ｆ
(
ｆ
(
１
))
．
( ] （ ）＝ ｘ２ ｘ － ＝
答案 ３ － ＋１， ＜０， ２
１， ２ 答案 ２５
１６
{ｘ２ ｘ ｘ
８．设函数ｆ ｘ ＋２ ＋２， ≤０，若ｆ ｆ ａ 则ａ ．
（ ）＝ ｘ２ ｘ ． （ （ ））＝２， ＝
－ ， ＞０
答案
２
７８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
函数ｆ ｘ 的值域是
∵ （ ） ［４，＋∞），
当ｘ 时的值域是 的子集
∴ ＞２ ［４，＋∞） ，
若 ａ 则函数ｆ ｘ 为减函数 不满足条件．
０＜ ＜１， （ ） ，
考点一 函数的有关概念
ａ ．当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ是增函数 且ｆ ｘ
∴ ＞１ ＞２ ，（ ）＝３＋ｌｏｇａ ， （ ）＞３＋ｌｏｇａ２，
若ｆ ｘ 对于任意实数ｘ恒有 ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 则ｆ 此时只需 即
（ ） ２（ ）－（－ ）＝３ ＋１， （１）＝ ４≤３＋ｌｏｇａ２＜８， １≤ｌｏｇａ２＜５，
（ ） 也即 １ 则 １ ａ
１≤ ａ＜５， ＜ｌｏｇ２ ≤１，
Ａ．２ Ｂ．０ ｌｏｇ２ ５
解得５ ａ 即实数ａ的取值范围是 ５ ．故选
Ｃ．１ Ｄ．－１ ２＜ ≤２， （ ２，２］ Ｄ．
答案 Ａ 令ｘ 得 ｆ ｆ 令ｘ 得 ｆ { ｘ
＝１， ２（１）－（－１）＝４①， ＝－１， ２ （－ ４．（２０１８福建福州模拟，６）设函数ｆ ｘ ０， ≤０， 则满足
１）－ ｆ （１）＝－２②， （ ）＝ ２ ｘ －２ － ｘ ， ｘ ＞０，
联立 ①②， 解得ｆ （１）＝２ ．故选 Ａ ． ｆ （ ｘ２ －２）＞ ｆ （ ｘ ） 的ｘ的取值范围是 （ ）
考点二 函数的表示方法 Ａ．（－∞，－１）∪（２，＋∞） Ｂ．（－∞，－ ２）∪（ ２，＋∞）
{ ｘ ｘ Ｃ．（－∞，－ ２）∪（２，＋∞） Ｄ．（－∞，－１）∪（ ２，＋∞）
１．已知函数ｆ ｘ ２ ＋１， ＜１， 若ｆ ｆ ａ 则实数ａ等于 答案 Ｃ 由题意知 ｘ 时 ｆ ｘ 递增 故ｆ ｘ ｆ
（ ）＝ ｘ２ ａｘ ｘ （ （０））＝４ ， ， ＞０ ， （ ） ， （ ）＞ （０）＝ ０，
＋ ， ≥１， 又ｘ 时 ｆ ｘ 故若ｆ ｘ２ ｆ ｘ 则ｘ２ ｘ 且ｘ２
≤０ ， （ ）＝０， （ －２）＞（ ）， －２＞ ， －２＞
（ ）
解得ｘ 或ｘ 故选
０， ＞２ ＜－ ２， Ｃ．
１ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．９ ５． （２０１９ 北 京 西 城 期 末 文， １３） 设 函 数 ｆ ｘ
答 ２ 案 Ｃ ｆ ｆ ５ ｆ ａ ａ ａ 选 ． { ｘ ｘ （ ） ＝
（ （０））＝ （２）＝４＋２ ＝４ ⇒ ＝２， Ｃ ｅ ， ≤０，
２．（２０２０ 浙江 ２０ 联盟开学联考，６） 已知函数 ｆ ｘ 则ｆ ｆ 若方程ｆ ｘ ｂ有且
Ｚ （ ） ＝ ｘ２ ｘ １ ｘ （ （０））＝ ； （ ）＝
{ ｘ ｘ － ＋ ＋ ， ＞０，
｜ ＋ ｘ ２｜ ｘ －１， ≤０，若ｆ （ ａ ）≤１， 则实数ａ的取值范围是 （ ） 仅有 个不 ４ 同的实数根 则实数ｂ的取值范围是 ．
３ ，
ｌｏｇ２ ， ＞０， ( )
Ａ．（－∞，－４］∪［２，＋∞） Ｂ．［－１，２］ 答案 １
；
１
，
１
４ ４ ２
Ｃ．［－４，０）∪（０，２］ Ｄ．［－４，２］
答案 Ｄ 本题考查分段函数的概念以及不等式的解法 ； 考 解析 ∵ ｆ （０）＝ｅ ０ ＝１，∴ ｆ （ ｆ （０））＝ ｆ （１）＝－１ ２ ＋１＋ １ ＝ １ ．
查学生数学运算的能力和分类讨论的思想 考查了数学运算的 ４ ４
； 作出分段函数ｙ ｆ ｘ 的图象 再观察ｙ ｂ的图象．
核心素养． ＝ （ ） ， ＝
{ａ {ａ
由ｆ ａ 得 ≤０， 或 ＞０， 解得 ａ 或 ａ
（ ）≤１ ａ ａ －４≤ ≤０ ０＜
｜ ＋２｜－１≤１ ｌｏｇ２ ≤１，
即实数ａ的取值范围是 故选
≤２， ［－４，２］， Ｄ．
{ ｘ ｘ
３．（２０１９河南洛阳模拟，７）若函数ｆ ｘ ８－２ ， ≤２， ａ 且
（ ）＝ ｘ ｘ （ ＞０
３＋ｌｏｇａ ， ＞２
ａ 的值域是 则实数ａ的取值范围是
≠１） ［４，＋∞）， （ ）
５
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（２，＋∞） Ｃ．（１，２］ Ｄ．（ ２，２］
答案 Ｄ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ( )
≤２ ，（ ）＝８－２ ∈［４，８）， ｂ １ １ 时 方程ｆ ｘ ｂ有且仅有 个不同的实数根．
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ∴ ∈ ， ， （ ）＝ ３
＞２ ，（ ）＝３＋ｌｏｇａ ， ４ ２
答案 （ ， ］
－４ １
方法总结 已知函数的解析式求定义域 解此类题要从使
，
解析式有意义的角度入手．一般来说 在高中范围内涉及的有
考法一 函数定义域的求法 ， ：
开偶次方时被开方数为非负数 分式的分母不为零
例１ 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的定义域为 ． （１） ；（２） ；
（ ）＝ ４－４ ＋ｌｎ（ ＋４） 零次幂的底数不为零 对数的真数大于零 指数 对
（３） ；（４） ；（５） 、
解题导引 根据函数式的结构列不等式组 然后解不等式 数的底数大于零且不等于 实际问题还需要考虑使题目本
， １；（６）
组求出定义域． 身有意义．
{ ｘ ， 例２ 已知函数ｆ ｘ 的定义域为 求ｆ ｘ 的定
解析 要使ｆ（ｘ）有意义，则有 ４－４ ≥０ （２ ＋１） （０，１）， （ ）
ｘ ， 义域．
＋４＞０
ｘ ， 函数ｆ（ｘ）的定义域为（ ， ］．
∴ －４＜ ≤１ ∴ －４ １
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ７９
解题导引 函数ｆ ｘ 中的自变量是谁 是谁的 解题导引 设ｆ ｘ ａｘ ｂ ａ 代入 ｆ ｘ ｆ ｘ
（２ ＋１） ？ （０，１） （ ）＝ ＋ （ ≠０）， ３ （ ＋１）－２ （ －１）
取值范围 要求ｆ ｘ 的定义域是求ｆ ｘ 中谁的取值范围 ｘ 得关于ａ ｂ的方程组 求出ａ ｂ的值 得ｆ ｘ 的解析式．
？ （ ） （２ ＋１） ？ ＝２ ＋１７ ， ， ， ， （ ）
解析 ｆ（ ｘ ）的定义域为（ ， ）， 解析 设ｆ（ｘ） ａｘ ｂ（ａ ）．
∵ ２ ＋１ ０ １ ＝ ＋ ≠０
ｘ ， ｘ ， ｆ（ｘ）的定义域是（ ， ）． ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） ｘ ，
∴０＜ ＜１ ∴１＜２ ＋１＜３ ∴ １ ３ ∵３ ＋１ －２ －１ ＝２ ＋１７
方法总结 求复合函数的定义域的题目一般有两种情况 ａｘ ａ ｂ ａｘ ａ ｂ ｘ ．
： ∴３ ＋３ ＋３ －２ ＋２ －２ ＝２ ＋１７
已知ｙ ｆ ｘ 的定义域是Ａ 求ｙ ｆ ｇ ｘ 的定义域 可 ∴ ａｘ ＋ ｂ ＋５ ａ ＝２ ｘ ＋１７ ．
由ｇ （ （ ｘ １ ） ） ∈ 已 Ａ 知 求 ｙ 出 ＝ ｆ ｘ （ ｇ 的 ） 范 ｘ 围 的 ， 即 定 为 义域 ｙ ＝ 是 ， ｆ ［ ｇ Ａ （ 求 ｘ ＝ ）］ ［ ｙ 的 （ ｆ 定 ） ｘ 义 ］ 的 域 定 ． 义域 ， 可 ∴ {ａ ｂ ＋ ＝ ５ ２ ａ ， ＝１７ ，∴ {ａ ｂ ＝ ＝ ７ ２ ． ， ∴ ｆ（ｘ） ＝２ ｘ ＋７ ．
（２） ＝ ［ （ ）］ ， ＝ （ ） ，
由ｘ Ａ求出ｇ ｘ 的范围 即为ｙ ｆ ｘ 的定义域． 方法总结 待定系数法．前提是已知函数的类型 如一次函
∈ （ ） ， ＝ （ ） （
数 二次函数 比如二次函数可设为ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 其
、 ）， （ ）＝ ＋ ＋ （ ≠０），
中ａ ｂ ｃ是待定系数 根据题设条件列出方程组 解出待定系数
例 已知函数ｙ ｆ ｘ 的定义域为 则函数ｙ ｆ ｘ 、 、 ， ，
＝ （ ） （－１，０）， ＝ （２ 即可．
的定义域为
＋１） ( ) （ ） 例５ 定义在 内的函数ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ
（－１，１） （ ） ２ （ ）－ （－ ）＝
１
Ａ．（－１，１） Ｂ． －１，－ ｘ 求函数ｆ ｘ 的解析式．
２ ｌｇ（ ＋１）， （ ）
( ) 解题导引 令ｘ为 ｘ 得关于ｆ ｘ ｆ ｘ 的一个方程 从
１ － ， （ ）， （－ ） ，
Ｃ．（－１，０） Ｄ． ，１ 而求出ｆ ｘ 的解析式．
２
（ ）
解析 由已知得 ｘ ，解得 ｘ １ ，所以函数 解析 ｘ （ ， ）时，有 ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） （ｘ ）．
－１＜２ ＋１＜０ －１＜ ＜－ ∈ －１ １ ２ － － ＝ｌｇ ＋１
２ 以 ｘ代ｘ，得 ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） （ ｘ ）．
( ) － ２ － － ＝ｌｇ － ＋１
ｆ（ ｘ ）的定义域为 ， １ ，选 ． { ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） （ｘ ），
２ ＋１ －１ － Ｂ 联立得 ２ － － ＝ｌｇ ＋１
２ ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） （ ｘ ），
答案 Ｂ ２ － － ＝ｌｇ － ＋１
例 求下列函数的定义域． 解得ｆ（ｘ） ２ （ｘ ） １ （ ｘ），ｘ （ ， ）．
＝ ｌｇ ＋１ ＋ ｌｇ １－ ∈ －１ １
３ ３
ｆ ｘ ｜ ｘ －２｜－１ 方法总结 解方程组法．已知ｆ ｘ 满足某个等式 这个等式
（１） （ ）＝ ｘ ； （ ） ，
ｌｏｇ２（ －１） ( )
除ｆ ｘ 是未知量外 还有其他未知量 如ｆ １ 等 必须根据已
ｆ ｘ １ ｘ ． （ ） ， ， ｘ ，
（２） （ ）＝
１－
ｘ＋ｌｏｇ２（２ －１）
{ ｘ ，
知等式构造其他等式组成方程组
，
通过解方程组求出ｆ
（
ｘ
）
．
｜ －２｜－１≥０
解析 （ ）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则 ｘ ， 解得
１ －１＞０ 例 已知ｆ ｘ 是二次函数 若ｆ 且ｆ ｘ
（ｘ ） ， （１） （ ） ， （０）＝ ０， （ ＋１）＝
ｌｏｇ２ －１ ≠０ ｆ ｘ ｘ 试求函数ｆ ｘ 的解析式
ｘ ，因此函数ｆ（ｘ）的定义域为［ ， ）． （ ）＋ ＋１， （ ） ；
≥３ ３ ＋∞ ( )
{ ｘ ， 已知ｆ ｘ １ ｘ３ １ 求ｆ ｘ
（ ）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则 １－ ＞０ 解得 １ ｘ ，所以 （２） ＋ ｘ ＝ ＋ｘ３， （ ）；
２ ｘ ， ＜ ＜１
２ －１＞０ ２ ( )
( ) 已知ｆ ２ ｘ 求ｆ ｘ 的解析式
函数ｆ（ｘ）的定义域为 １ ， ． （３） ｘ ＋１ ＝ｌｇ ， （ ） ；
１
２
已知函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ １ 求ｆ ｘ 的解
（４） （ ） （ ）＋２（－ ）＝ － ｘ ， （ ）
考法二 函数解析式的求法 析式
；
例３ 已知ｆ ｘ ｘ ｘ 求ｆ ｘ 的解析式． 已知定义域为 Ｒ 的函数 ｆ ｘ 满足 ｆ ｆ ｘ ｘ２ ｘ
（ ＋１）＝ ＋２ ， （ ） （５） （ ） （ （ ）－ ＋ ）＝
解题导引 解法一
：
设ｔ
＝
ｘ
＋１，
解出ｘ
＝（
ｔ
－１）
２
，
代入函数 ｆ
ｆ
（ ｘ
ｘ
）
的
－ ｘ
解
２ ＋
析
ｘ．若
式
有
．
且仅有一个实数 ｘ ０， 使得 ｆ （ ｘ ０）＝ ｘ ０， 求函数
式得ｆ ｘ 的解析式． （ ）
解
（
法
）
二 把式子ｘ ｘ配凑为关于 ｘ 的式子结构得ｆ ｘ
解析 （
１
）设ｆ（ｘ）
＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ（ａ
≠０
），
的解析式． ： ＋２ ＋１ （ ） 由ｆ（
０
）
＝０
知ｃ
＝０
，所以ｆ（ｘ）
＝
ａｘ２
＋
ｂｘ．
由ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ） ｘ ，
解析 解法一：设ｔ ｘ （ｔ ）， ｘ （ｔ ）２， ｆ（ｔ） （ｔ ＋１ ＝ ＋ ＋１
＝ ＋１ ≥１ ∴ ＝ －１ ∴ ＝ － 得ａ（ｘ ）２ ｂ（ｘ ） ａｘ２ ｂｘ ｘ ，
）２ （ｔ ） ｔ２ ｔ ｔ ｔ２ ． ｆ（ｘ） ｘ２ （ｘ ）． ＋１ ＋ ＋１ ＝ ＋ ＋ ＋１
１ ＋２ －１ ＝ －２ ＋１＋２ －２＝ －１∴ ＝ －１ ≥１ 即ａｘ２ （ ａ ｂ）ｘ ａ ｂ ａｘ２ （ｂ ）ｘ ，
解法二： ∵ ｘ ＋２ ｘ ＝ （ ｘ）２ ＋２ ｘ ＋１－１＝ （ ｘ ＋１ ）２ －１ ， { ＋ ａ ２ ｂ ＋ ｂ ＋ ， ＋ ＝ ＋ ＋１ ＋１
故有 ２ ＋ ＝ ＋１ ａ ｂ １ ．
ｆ（ ｘ ） （ ｘ ）２ ， ｆ（ｘ） ｘ２ （ｘ ）． ａ ｂ ⇒ ＝ ＝
∴ ＋１ ＝ ＋１ －１ ∴ ＝ －１ ≥１ ＋ ＝１ ２
方法总结 １．换元法．已知ｆ ｈ ｘ ｇ ｘ 求ｆ ｘ 时 可
［ （ ）］＝ （ ）， （ ） ， 因此， ｆ（ｘ） １ ｘ２ １ ｘ．
设ｈ ｘ ｔ 从中解出ｘ 代入ｇ ｘ 进行换元．应用换元法时要注 ＝ ＋
（ ）＝ ， ， （ ） ２ ２
意新元的取值范围．
（ ） 解 法 一 （ 配 凑 法 ）： ｘ３ １
２．配凑法．已知ｆ ｈ ｘ ｇ ｘ 求ｆ ｘ 的问题 可把ｇ ｘ ２ ＋ ｘ３ ＝
［ （ ）］＝ （ ）， （ ） ， （ ）
整理或配凑成只含ｈ ｘ 的式子 用ｘ将ｈ ｘ 代换． ( )æ ö ( ) [( ) ２ ]
（ ） ， （ ） ｘ １ çｘ２ １ ÷ ｘ １ ｘ １ ，
例４ 已知ｆ ｘ 是一次函数且满足 ｆ ｘ ｆ ｘ
＋ ｘ è －１＋ｘ２ ø＝ ＋ ｘ ＋ ｘ －３
（ ） ３ （ ＋１）－２ （ －１）＝
ｘ 求ｆ ｘ ．
２ ＋１７， （ ）
８０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
方法总结 分段函数问题的常见题型及解法
所以ｆ（ｘ） ｘ３ ｘ（ｘ 或ｘ ）．
＝ －３ ≥２ ≤－２
１．求函数值．弄清自变量所在区间 然后代入对应的解析式
解法二（换元法）：令ｔ
＝
ｘ
＋
１
ｘ
（ｔ
≥２
或ｔ
≤－２
），则ｔ２
－２＝
ｘ２
求 层层套 的函数值 要从最内层逐层
，
往外计算．
，
“ ” ，
( )æ ö ２．求函数最值．分别求出每个区间上的最值 然后比较大小．
＋ｘ １ ２ ，ｘ３ ＋ｘ １ ３ ＝ ｘ ＋ １ ｘ è çｘ２ －１＋ｘ １ ２ ø ÷ ＝ ｔ（ｔ２ －３ ），所以ｆ（ｔ） ＝ ｔ（ｔ２ － ３．解不等式．根据分段函数中自变量取值范 ， 围的界定 ， 代入
），所以ｆ（ｘ） ｘ３ ｘ（ｘ 或ｘ ）． 相应的解析式求解．
３ ＝ －３ ≥２ ≤－２
４．求参数． 分段处理 采用代入法列出各区间上的方程．
（ ）令ｔ ２ （ｘ ），则ｘ ２ （ｔ ）， “ ”，
３ ＝ ｘ ＋１ ＞０ ＝ｔ ＞１
－１
∴ ｆ（ｔ） ＝ｌｇｔ ２ ， ∴ ｆ（ｘ） ＝ｌｇｘ ２ （ｘ ＞１ ）． 例 已知函数ｆ ｘ {ｘ２ ＋２ ａｘ ， ｘ ≥２，若ｆ ｆ ａ２ 则ａ
－１ －１ （ ）＝ ｘ ｘ （ （１））＞３ ，
２ ＋１， ＜２，
（ ）由ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） ｘ １ 得ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） ｘ １ ， 的取值范围是 ．
４ ＋２ － ＝ － ｘ － ＋２ ＝－ ＋ ｘ
解析 由题知， ｆ（ ） ， ｆ（ｆ（ ）） ｆ（ ） ２ ａ．
１ ＝２＋１＝３ １ ＝ ３ ＝３ ＋６
则ｆ（ｘ） ｘ １ ．
＝－ ＋ ｘ 由ｆ（ｆ（ ）） ａ２，得 ａ ａ２，
１ ＞３ ９＋６ ＞３
（
５
）因为对任意ｘ
∈
Ｒ，有ｆ（ｆ（ｘ）
－
ｘ２
＋
ｘ）
＝
ｆ（ｘ）
－
ｘ２
＋
ｘ， 即ａ２
－２
ａ
－３＜０
，解得
－１＜
ａ
＜３
．
有且只有一个实数ｘ ，使得ｆ（ｘ ） ｘ ， 答案 （ ， ）
０ ０ ＝ ０ －１ ３
所以对任意ｘ Ｒ，有ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ ｘ ． 易错警示 在求分段函数的函数值时 一定要注意自
∈ － ＋ ＝ ０ （１） ，
在上式中令ｘ
＝
ｘ
０
，有ｆ（ｘ
０
）
－
ｘ２
０＋
ｘ
０＝
ｘ
０
， 变
的
量
值
的
不
值
确
属
定
于
时
哪
要
个
分
区
类
间
讨 ， 论
再
．
代入相应的解析式求解．当自变量
又因为ｆ（ｘ ） ｘ ，所以ｘ ｘ２ ，故ｘ 或ｘ ． ，
０ ＝ ０ ０－ ０＝０ ０＝０ ０＝１ 对于分段函数 已知函数值或函数值范围求自变量的
若ｘ ，则ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ ，即ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ， （２） ，
０＝０ － ＋ ＝０ ＝ － 值或范围时 应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验
但方程ｘ２
－
ｘ
＝
ｘ 有两个不同实根，与题设条件矛盾，故 ｘ
０ 解得的自变
，
量的值或范围是否符合相应段的
，
自变量的取值
≠０
； 范围．
若ｘ ０＝１ ，则有ｆ（ｘ） － ｘ２ ＋ ｘ ＝１ ，即ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ｘ ＋１ ，易验证该 例 设 函 数 ｇ
（
ｘ
） ＝
ｘ２
－ ２ （
ｘ
∈
Ｒ
），
ｆ
（
ｘ
） ＝
函数满足题设条件． {ｇ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ
（ ）＋ ＋４， ＜ （ ），则ｆ ｘ 的值域是 ．
综上，所求函数解析式为ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ ． ｇ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ （ ）
＝ － ＋１ （ ）－ ， ≥ （ ），
解析 ｇ（ｘ） ｘ ｘ２ ｘ （ｘ ）（ｘ ）．
考法三 分段函数问题的解题策略 － ＝ － －２＝ －２ ＋１
( )
{ ｘ ｘ 当ｘ （ ， ） （ ， ）时， ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ ｘ １ ２
例６ 已知函数ｆ ｘ ２ －２， ≤１， 且ｆ ａ 则 ∈ －∞ －１ ∪ ２ ＋∞ ＝ ＋ ＋２＝ ＋
（ ）＝ ｘ ｘ （ ）＝－３， ２
ｆ ａ ．
－ｌｏｇ２（ ＋１）， ＞１，
７ ，结合二次函数的性质可知ｆ（ｘ） ．当ｘ ［ ， ］时，ｆ（ｘ）
（６－ ）＝ ＋ ＞２ ∈ －１ ２
４
解题导引 分类讨论ａ的范围 求出ａ的值 得ｆ ａ 的值． ( )
， ， （６－ ） ｘ２ ｘ ｘ １ ２ ９ ，由二次函数的性质可得 ｆ（ｘ）
解析 当ａ 时， ｆ（ａ） ａ ，无解． ＝ － －２＝ － － ∈
≤１ ＝２ －２＝－３ ２ ４
[ ] [ ]
当ａ ＞１ 时，由ｆ（ａ） ＝－ｌｏｇ２ （ａ ＋１ ） ＝－３ 得ａ ＋１＝８ ， ∴ ａ ＝７ ，
－
９ ，
０
，所以函数的值域是
－
９ ，
０ ∪
（
２
，
＋∞
）．
４ ４
ｆ（ ａ） ｆ（ ） －１ ３ ． [ ]
∴ ６－ ＝ －１ ＝２ －２＝－ ２ 答案 ９ ， （ ， ）
－ ０ ∪ ２ ＋∞
答案 ３ ４
－
２
考法二 函数解析式的求法
４．若二次函数ｇ ｘ 满足ｇ ｇ 且图象过原点 则
（ ） （１）＝ １， （－１）＝ ５， ，
考法一 函数定义域的求法 ｇ ｘ 的解析式为
（ ） （ ）
１．函数ｙ ｘ的定义域是 Ａ．
ｇ
（
ｘ
）＝２
ｘ２
－３
ｘ
Ｂ．
ｇ
（
ｘ
）＝３
ｘ２
－２
ｘ
＝ １－ｌｏｇ２ （ ） ｇ ｘ ｘ２ ｘ ｇ ｘ ｘ２ ｘ
Ｃ． （ ）＝３ ＋２ Ｄ． （ ）＝－３ －２
Ａ．（－∞，２］ Ｂ．（０，２］ Ｃ．（－∞，１］ Ｄ．［１，２］ 答案 Ｂ
答案 Ｂ
５．已知函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 则函数ｆ ｘ 的解析式为
２．若函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｍｘ２
＋
ｍｘ
＋１
的定义域为一切实数
，
则实数ｍ的 （ ） （ ）
．
＋２（－ ）＝ｅ ， （ ）
取值范围是 ．
答案 答案 ｆ ｘ ２ － ｘ １ ｘ
［０，４］ （ ）＝ ｅ － ｅ
３ ３
３．已知函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的定义域是 ［０，２］， 那么ｇ （ ｘ ）＝ １＋ｌ ｆ ｇ （ （ ｘ ｘ ２ ） ＋１） 的 ６．已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ａ － ｘ １ ， 若ｆ （ ｘ ）＋ ｆ ( １ ｘ ) ＝３， 则 ｆ （ ｘ ）＋ ｆ （２－ ｘ ）＝
定义域是 ． ．
( ) ( ]
答案
答案 ９ ９
－１，－ ∪ － ， ２ ６
１０ １０
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ８１
考法三 分段函数问题的解题策略
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－４ Ｄ．４
７．（２０１９ 山 西 太 原 三 中 模 拟， １０） 设 函 数 ｆ ｘ 答案 Ｃ
（ ） ＝
{ｘ２
－１（
ｘ
≥２）， 若ｆ ｍ 则实数ｍ的值为 １０．已知ｆ ｘ
{
ｌｏｇ３
ｘ
，
ｘ
＞０， 且ｆ ｆ
ｘ ｘ （ ）＝３， （ ） （ ）＝ ａｘ ｂ ａ 且ａ ｘ （０）＝ ２， （－１）＝
ｌｏｇ２ （０＜ ＜２）， ＋ （ ＞０ ≠１）， ≤０，
则ｆ ｆ
Ａ．－２ Ｂ．８ Ｃ．１ Ｄ．２ ３， （ （－３））＝ （ ）
答案 Ｄ
Ａ．－２ Ｂ．２
{ ｘ ａ ｘ
８．已知实数ａ 函数ｆ ｘ ２ ＋ ， ＜１， 若ｆ ａ ｆ ａ 则ａ Ｃ．３ Ｄ．－３
≠０， （ ）＝ ｘ ａ ｘ （１－ ）＝ （１＋ ）， 答案 Ｂ
－ －２ ， ≥１，
的值为 １１．（２０２０ 山西平遥中学第一次月考） 已知函数 ｆ ｘ
（ ） （ ） ＝
{ ｘ ｘ
３ ３ ３ ３ ｌｏｇ２（１－ ）， ＜１，若ｆ ｘ 则ｘ ．
Ａ．－ ４ Ｂ． ４ Ｃ．－ ５ Ｄ． ５ ３ ｘ －１０， ｘ ≥１ ． （ ）＝－１， ＝
答案 Ａ
答案 或 １
{ ｘ１ ３ ｘ ２
－ ， ≤－１， ２
９．若函数ｆ ｘ 则ｆ ｆ
（ ）＝ ｘ ２ ｘ （ （－８））＝ （ ）
＋ ｘ －７， ＞－１，
为Ｒ 故不符合题意 对于 它的定义域为 ｘ ｘ 对应关系
， ； Ｃ， ｛ ｜ ＞１｝，
也与题干相同 故符合题意 对于 它的定义域为 ｘ ｘ
， ； Ｄ， ｛ ｜ ≠
故不符合题意．故选
－１｝， Ｃ．
考法一 函数定义域的求法 ２．已知ｆ ｘ 是一次函数 且ｆ ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ
（ ） ， ［ （ ）］＝ ＋２， （ ）＝ （ ）
１．（２０２０ 浙江镇海中学分校检测，６） 已知函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 或 ｘ
（ ） ＝ Ａ． ＋１ Ｂ．２ －１ Ｃ．－ ＋１ Ｄ． ＋１ － －１
ａ ｘ ａ ｘ ａ 的定义域是Ｒ 则实数ａ的取值范围是 答案 Ａ 设ｆ （ ｘ ）＝ ｋｘ ＋ ｂ （ ｋ ≠０）， 则由ｆ （ ｆ （ ｘ ））＝ ｘ ＋２， 可得ｋ
·４ ＋ ·２ ＋３ －６ ， ｋｘ ｂ ｂ ｘ 即ｋ２ｘ ｋｂ ｂ ｘ ｋ２ ｋｂ ｂ 解得ｋ
（ ＋ ）＋ ＝ ＋２， ＋ ＋ ＝ ＋２，∴ ＝１， ＋ ＝２， ＝
[ ) ( ] ( （ ] ） ｂ 则ｆ ｘ ｘ ．故选Ａ．
１， ＝１， （ ）＝ ＋１
２４ ２４ ２４ ３．（２０１４湖南，３，５分）已知ｆ ｘ ｇ ｘ 分别是定义在Ｒ上的偶
Ａ．［２，＋∞） Ｂ． ，＋∞ Ｃ． ０， Ｄ． －∞， （ ）， （ ）
答案 Ａ 令ｔ １ ｘ １ ｔ 则ａｔ２ ａｔ １１ ａ 对ｔ 恒 １１ 成立 函数和奇函数 ， 且ｆ （ ｘ ）－ ｇ （ ｘ ）＝ ｘ３ ＋ ｘ２ ＋１， 则ｆ （１）＋ ｇ （１）＝
＝２（ ＞０）， ＋ ＋３ －６≥０ ＞０ ，
（ ）
所以ａ ６ 又 ６ ６ 所以ａ ．故选 ．
≥ｔ２ ｔ ， ｔ２ ｔ ＜ ＝２， ≥２ Ａ Ａ．－３ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．３
易错警示
＋
忽
＋３
视ｔ
＋
容
＋３
易错
３
选 ．
答案 Ｃ 解法一
：∵
ｆ
（
ｘ
）－
ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ３
＋
ｘ２
＋１，
＞０， Ｂ ｆ ｘ ｇ ｘ ｘ３ ｘ２
２．（２０１９华南师范大学附属中学月考，８）已知函数ｆ ｘ 的定义 ∴ （－ ）－ （－ ）＝－ ＋ ＋１，
（ ） 又由题意可知ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ
ｆ ｘ （－ ）＝ （ ）， （－ ）＝－ （ ），
域是 则函数ｇ ｘ （２ －１）的定义域是 ｆ ｘ ｇ ｘ ｘ３ ｘ２
［－１，１］， （ ）＝ ｘ （ ） ∴ （ ）＋ （ ）＝－ ＋ ＋１，
ｌｎ（１－ ） 则ｆ ｇ
（１）＋ （１）＝１，
Ａ．［０，１］ Ｂ．（０，１） Ｃ．［０，１） Ｄ．（０，１］ 故选 ．
答案 Ｂ 由函数ｆ ｘ 的定义域为 得 ｘ 令 Ｃ
（ ） ［－１，１］， －１≤ ≤１， 解法二 令ｆ ｘ ｘ２ ｇ ｘ ｘ３
ｘ 解得 ｘ 又由 ｘ 且 ｘ 解得ｘ ： （ ）＝ ＋１， （ ）＝－ ，
－１≤２ －１≤１， ０≤ ≤１， １－ ＞０ １－ ≠１， ＜１ 显然符合题意
且ｘ 所以函数ｇ ｘ 的定义域为 故选 ，
≠０， （ ） （０，１）， Ｂ． ｆ ｇ ２ ３ ．选 ．
３．（２０１９徐州检测，３）函数 ｆ （ ｘ ） 的定义域是 ［－１，１］， 则函数 ４． ∴ （２０ （ １ １ ６ ）＋ 北 （ 京 １） 朝 ＝ 阳 １ 二 ＋１ 模 －１ ，１ ＝ ３ １ ）为了 Ｃ 响应政府推进 菜篮子 工程
ｆ （ｌｏｇ１ ２ ｘ ） 的 [ 定义 ] 域为 ． 建设的号召 ， 某经销商投资 ６０ 万元建了一个蔬 “ 菜加工基 ” 地．第
一年支出各种费用 万元 以后每年支出的费用比上一年多
答案 １ ８ ， ２
２ ，２ 万元．每年销售蔬菜的收入为 万元．设 ｆ ｎ 表示前 ｎ ｎ
解析 因为ｆ （ ｘ ） 的定义域是 [ ［－１，１ ] ］， 所以 －１≤ｌｏｇ１ ２ ｘ ≤１， 所 Ｎ∗ ） 年的纯利润 （ ｆ （ ｎ ）＝ 前ｎ年 ２６ 的总收入 － 前 （ ｎ ） 年的总支 （ 出 ∈ 费
以 １ ｘ 故所求定义域为 １ ． 用 － 投资额 ）， 则ｆ （ ｎ ）＝ （ 用ｎ表示 ）， 此经销商
２
≤ ≤２，
２
，２ 从第 年开始盈利．
答案 ｎ２ ｎ
考法二 函数解析式的求法 － ＋１９ －６０；５
ｎ ｎ
１．（２０１８重庆巴蜀中学二诊，４）与函数ｙ ｌｇ（ ｘ －１）的图象相同的
解析 ｆ
（
ｎ
）＝ ２６
ｎ
－６０－
［８＋（６＋２ ）］×
＝－
ｎ２
＋１９
ｎ
－６０（
ｎ
∈
＝１０ ２
函数是 {ｆ ｎ
（ ） （ －１）≤０，
ｙ ｘ ｙ ｘ Ｎ∗ 设此经销商从第ｎ年开始盈利 则 ｆ ｎ
Ａ． ＝ －１ Ｂ． ＝｜ －１｜ ）， ， （ ）＞０，
Ｃ． ｙ ＝ æ è ç ｘ ｘ －１ ö ø ÷ ２ Ｄ． ｙ ＝ ｘ ｘ ２ －１ { ｎ ２ ｎ {ｎ ｎ ∈ 或 Ｎ ｎ ∗ ，
－１ ＋１ －（ －１） ＋１９（ －１）－６０≤０， ≤５ ≥１６，
答案 Ｃ 函数ｙ ｌｇ（ ｘ －１）的定义域为 ｘ ｘ 且ｙ ｘ ． 即 ｎ２ ｎ 解得 ｎ ｎ ．
＝１０ ｛ ｜ ＞１｝， ＝ －１ － ＋１９ －６０＞０， ４＜ ＜１５， ∴ ＝５
对于 它的定义域为Ｒ 故不符合题意 对于 它的定义域 ｎ Ｎ∗ ｎ Ｎ∗
Ａ， ， ； Ｂ， ∈ ， ∈ ，
８２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ ｘ ｘ
考法三 分段函数问题的解题策略 答案 Ｄ ｆ ｘ ２ －１， ＞０，ｆ
∵ （ ）＝ ａｘ ｘ （－１）＝３，
{ ａ ｘ ａ ｘ ＋１， ≤０，
１．已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
（１－
ｘ
２
ｘ
） ＋３ （ ＜１），的值域为Ｒ
，
则实数ａ的
∴
ｆ
（－１）＝
ａ－１
＋１＝３，
解得ａ
＝
１
，
ｌｎ （ ≥１） ２
取值范围是 { ｘ ｘ
（ ） ２ －１， ＞０，
[ ] ｆ ｘ ( )ｘ ｆ ｘ
１ ∴ （ ）＝ １ ｘ ∵ （ ）≤５，
Ａ．（－∞，－１） Ｂ． ，１ ＋１， ≤０，
２ ２
[ ) ( ) 当ｘ 时 ｘ 解得 ｘ
１ １ ∴ ＞０ ，２ －１≤５， ０＜ ≤３，
Ｃ． －１， Ｄ． ０， ( )ｘ
２ ２ 当ｘ 时 １ ｘ ．
答案 Ｃ 由题意知ｙ ｘ ｘ 的值域为 ．故要 ≤０ ， ＋１≤５，－２≤ ≤０
＝ｌｎ （ ≥１） ［０，＋∞） ２
使ｆ ｘ 的值域为Ｒ 则必有ｙ ａ ｘ ａ为增函数 且 综上 不等式ｆ ｘ 的解集为 ．故选 ．
（ ） ， ＝（１－２ ） ＋３ ， １－ ， （ ）≤５ ［－２，３］ Ｄ
{ ｘ ｘ
２ ａ ＋３ ａ ≥０， 所以 １－２ ａ ＞０， 且ａ ≥－１， 解得 －１≤ ａ ＜ ２ １ ， 故选Ｃ． ４．（２０２０安徽合肥二模，９）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｌ ｘ ｏ ２ ｇ２ ， ｘ ＞１， 则ｆ （ ｘ ）
２．（２０１９天津七校期中联考，７）对实数ｍ ｎ定义运算 ｍ －１， ≤１，
， “”， ｆ ｘ 的解集为
ｎ
＝
{ｍ
ｎ
，
ｍ
ｍ －
ｎ
ｎ ≥０，设函数ｆ
（
ｘ
）＝（
ｘ
－
ｘ２
）（
ｘ
－１），
ｘ
∈
Ｒ
，
实数ａ
，
＜（ ＋１） (
１
) (
１
（ ) ）
， － ＜０， Ａ．（－１，＋∞） Ｂ．（－１，１） Ｃ． － ，＋∞ Ｄ． － ，１
ｂ ， ｃ互不相等 ， 且ｆ （ ａ ）＝ ｆ （ ｂ ）＝ ｆ （ ｃ ）， 则ａ ＋ ｂ ＋ ｃ的取值范围是 答案 Ｃ 本题主要考查分段函数 ２ 与不等式的综合 ２ 涉及二
，
次函数 对数函数的单调性及值域的应用 考查了分类讨论思
（ ）
( ) ( ) ( ) ( ) 、 ，
５ ９ ３ ７ １
想 考查了数学运算能力和逻辑推理能力．
Ａ． １， Ｂ． ２， Ｃ． ， Ｄ． ，＋∞ ，
４ ４ ２ ４ ４ 当ｘ 时 ｘ 不等式ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｘ２ ｘ ２
答案 Ｂ 本题考查分段函数 函数的零点等知识 意在考 ≤０ ， ＋１≤１， （ ）＜（ ＋１）， －１＜（ ＋１） －１，
、 ，
查数形结合思想． 解得 １ ｘ ．
－ ＜ ≤０
由ｍ ｎ ＝ {ｍ ｎ ， ， ｍ ｍ － － ｎ ｎ ＜ ≥ ０， ０，得 ｆ （ ｘ ） ＝ （ ｘ － ｘ２ ） （ ｘ － １） ＝ 当 ０＜ ｘ ｘ ≤ ２ １ 时 ， 故 ｘ ＋１＞ ｘ １， 此 ． 时ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ －１≤０＜ ｆ （ ｘ ＋１）＝ｌｏｇ２（ ｘ ＋
{ｘ ｘ － ｘ２ ， ｘ －１≤ 或 ｘ ≤ ｘ １， 作出函数ｆ （ ｘ ） 的图象如图 ， 当 １）， ｘ ∴ ＞１ 时 ＋１ ， ＞ 不 １， 等式 ０＜ ｆ （ ≤ ｘ ） １ ＜ ｆ （ ｘ ＋１）， 即 ｌｏｇ２ ｘ ＜ｌｏｇ２（ ｘ ＋１）， 解得 ｘ
－１， ＞１ ＜－１， ．
＞１
( )
综上可得 不等式的解集为 １ 故选
， － ，＋∞ ， Ｃ．
２
５．（２０１９南通期末三县联考，８）已知函数ｆ ｘ 的周期为 且当
（ ） ４，
ì ｘ
ï π ｘ
ïｃｏｓ ，０＜ ≤２， [ ( )]
ｘ 时 ｆ ｘ í ２ 则ｆ ｆ １ 的值
∈（０，４］ ， （ ）＝ï ( ) －
ï ｘ ３ ｘ ． ２
îｌｏｇ２ － ，２＜ ≤４
２
由ａ ｂ ｃ互不相等 且ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ｃ 为 ．
， ， ， （ ）＝ （ ）＝ （ ），
设ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ｔ 答案
（ ）＝ （ ）＝ （ ）＝ ， ０
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
由图象可知ｔ １ 不妨设ａ ｂ ｃ 解析 由题意得ｆ １ ｆ １ ｆ ７ ７ ３
∈ ０， ， ＜ ＜ ， － ＝ ４－ ＝ ＝ｌｏｇ２ －
４ ２ ２ ２ ２ ２
( ) ( )
ｆ １ １ ｆ ５ １ ＝ｌｏｇ２ ２＝１，
∵ ＝ ， ＝ ， [ ( )]
２ ４ ４ ４ ｆ ｆ １ ｆ π ．
( ) ∴ － ＝ （１）＝ｃｏｓ ＝０
ａ ｂ ｃ ５ ａ ｂ ｃ ９ ． ２ ２
∴ ＋ ＝１，１＜ ＜ ，∴ ＋ ＋ ∈ ２， 思路分析 本题考查分段函数 周期函数的概念 求
４ ４ 、 ，
{ ｘ ｘ [ ( )] ( )
３．（２０２０ 河南濮阳一模，４）已知函数 ｆ ｘ ２ －１， ＞０，若 ｆ ｆ １ 的值 一般由内向外求 先求ｆ １ 根据周期性
（ ）＝ ａｘ ｘ － ， ， － ，
＋１， ≤０， ２ ２
( ) ( )
ｆ 则不等式ｆ ｘ 的解集为
（－１）＝３， （ ）≤５ （ ） 得到ｆ １ ｆ ７ 再代入求解即可．
－ ＝ ，
Ａ．［－２，１］ Ｂ．［－３，３］ Ｃ．［－２，２］ Ｄ．［－２，３］ ２ ２
考点一 函数的有关概念 ２．（２０１９江苏，４，５分）函数ｙ ｘ ｘ２的定义域是 ．
＝ ７＋６ －
答案
１．（２０２０ 北京，１１，５ 分）函数 ｆ ｘ １ ｘ 的定义域 ［－１，７］
（ ）＝ ｘ ＋ｌｎ
＋１ ３．（２０１８江苏，５，５分）函数ｆ ｘ ｘ 的定义域为 ．
是 ． （ ）＝ ｌｏｇ２ －１
答案
答案 ［２，＋∞）
（０，＋∞）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ８３
( )
考点二 函数的表示方法 答案 － １ ，＋∞
４
４． （ ２０１５ 课 标 Ⅱ， ５， ５ 分 ） 设 函 数 ｆ ｘ ６．（２０１８江苏，９，５分）函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ Ｒ 且
（ ） ＝ （ ） （ ＋４）＝ （ ）（ ∈ ），
{ ｘ ｘ ì ｘ
２ １ ｘ ＋ －１ ｌｏ ， ｇ２（２－ ）， ｘ ≥ ＜１ １ ， ． 则ｆ （－２）＋ ｆ （ｌｏｇ２１２）＝ （ ） 在区间 上 ｆ ｘ í ï ïｃｏｓ π ２ ，０＜ ｘ ≤２， 则ｆ ｆ 的
（－２，２］ ， （ ）＝ ï （ （１５））
Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．９ Ｄ．１２ î ï ｘ ＋ １ ，－２＜ ｘ ≤０，
答案 Ｃ ２
{ｘ ｘ 值为 ．
５．（２０１７课标Ⅲ，１５，５ 分）设函数 ｆ ｘ ＋１， ≤０，则满足
（ ）＝ ２ ｘ ， ｘ ＞０， 答案 ２
( )
ｆ ｘ ｆ ｘ １ 的ｘ的取值范围是 ． ２
（ ）＋ － ＞１
２
考点一 函数的有关概念 { ｘ
｜ ｜≤４，
１．（２０１５ 湖北文，７，５ 分）设 ｘ Ｒ 定义符号函数 ｘ 即 ｘ ｘ 解之得 ｘ 或 ｘ 故选 ．
∈ ， ｓｇｎ ＝ （ －３）（ －２） ２＜ ＜３ ３＜ ≤４， Ｃ
{ ｘ ｘ －３ ＞０，
１， ＞０，
０， ｘ ＝ ｘ ０， ． 则 （ ） ６．（２０１４山东理，３，５分）函数ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ ２ 的定义域为
－１， ＜０ （ｌｏｇ２ ） －１
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．｜ ｜＝ ｜ｓｇｎ ｜ Ｂ．｜ ｜＝ ｓｇｎ｜ ｜ （ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ( )
Ｃ．｜ ｜＝｜ ｜ｓｇｎ Ｄ．｜ ｜＝ ｓｇｎ １
{ｘ ｘ Ａ． ０， Ｂ．（２，＋∞）
， ＞０， ２
答案 Ｄ 由已知可知 ｘ ｘ ｘ 而 ｘ ( ) ( ]
ｓｇｎ ＝ ０， ＝０， ｜ ｜ ＝ １ １
ｘ ｘ Ｃ． ０， ∪（２，＋∞） Ｄ． ０， ∪［２，＋∞）
－ ， ＜０， ２ ２
{ｘ ， ｘ ＞０， 答案 Ｃ 要使函数 ｆ （ ｘ ） 有意义 ， 需使 （ｌｏｇ２ ｘ ） ２ －１＞０， 即
０，
ｘ
ｘ
ｘ
＝０， 所以 ｜ ｘ ｜＝ ｘ ｓｇｎ ｘ ， 故选 Ｄ ． （ｌｏｇ２ ｘ ） ２ ＞１，∴ ｌｏｇ２ ｘ ＞１ 或 ｌｏｇ２ ｘ ＜－１ ．解之得ｘ ＞２ 或 ０＜ ｘ ＜
２
１ ．
－ ， ＜０， ( )
２．（２０１４江西理，３，５分）已知函数ｆ ｘ ｜ ｘ ｜ ｇ ｘ ａｘ２ ｘ ａ 故ｆ ｘ 的定义域为 １ ．
（ ）＝ ５ ， （ ）＝ － （ （ ） ０， ∪（２，＋∞）
Ｒ ．若ｆ ｇ 则ａ ２
∈ ） ［ （１）］＝１， ＝ （ ） ７．（２０１６课标Ⅱ文，１０，５分）下列函数中 其定义域和值域分别
，
Ａ． 答 １ 案 Ａ 由 Ｂ 已 ．２ 知条件可知 Ｃ ｆ ．３ ｇ ｆ ａ Ｄ．－１ ｜ ａ －１｜ 与函数ｙ ＝１０ ｌｇ ｘ的定义域和值域相同的是 （ ）
： ［ （１）］＝ （ －１）＝ ５ ＝１，
ａ 得ａ ．故选 ． ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ １
∴ ｜ －１｜＝０， ＝１ Ａ Ａ． ＝ Ｂ． ＝ｌｇ Ｃ． ＝２ Ｄ． ＝ ｘ
评析 本题主要考查函数的解析式，正确理解函数的定义是解
题关 键． 答案 Ｄ 函数ｙ ＝１０ ｌｇ ｘ的定义域 、 值域均为 （０，＋∞）， 而ｙ ＝
ｘ ｙ ｘ 的定义域均为Ｒ 排除 ｙ ｘ的值域为Ｒ 排除
３．（２０１７山东理，１，５分）设函数ｙ
＝ ４－
ｘ２的定义域为Ａ
，
函数 ，
故
＝
选
２
．
， Ａ，Ｃ； ＝ｌｇ ，
ｙ ｘ 的定义域为Ｂ 则Ａ Ｂ Ｂ， Ｄ
＝ｌｎ（１－ ） ， ∩ ＝ （ ） 易错警示 利用对数恒等式将函数ｙ ｌｇ ｘ变为ｙ ｘ 将其值
． ． ＝１０ ＝ ，
Ａ（１，２） Ｂ（１，２］ 域认为是Ｒ是失分的主要原因．
． ．
Ｃ（－２，１） Ｄ［－２，１） 评析 本题考查函数的定义域和值域，熟练掌握基本初等函数
答案 Ｄ 由
４－
ｘ２
≥０，
解得
－２≤
ｘ
≤２，
由
１－
ｘ
＞０，
解得ｘ
＜１， 的图 象和性质是解题的关键．
Ａ Ｂ ｘ ｘ ．故选 ．
∴ ∩ ＝｛ ｜－２≤ ＜１｝ Ｄ ８．（２０１５课标Ⅱ文，１３，５分）已知函数ｆ ｘ ａｘ３ ｘ的图象过
４．（２０１５重庆文，３，５分）函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇ２（
ｘ２
＋２
ｘ
－３）
的定义域是
点
（－１，４），
则ａ
＝
．
（ ）＝ －２
答案
（ ）
－２
Ａ．［－３，１］ Ｂ．（－３，１） 解析 因为函数ｆ ｘ ａｘ３ ｘ的图象过点 所以
（ ）＝ －２ （－１，４）， ４＝
Ｃ．
答
（－
案
∞，－
Ｄ
３］∪
由
［
ｘ
１
２
，＋∞
ｘ
）
解
Ｄ
得
．（
ｘ
－∞，－
或
３）
ｘ
∪（１
故
，＋
选
∞）
．
ａ
×（－１）
３
－２×（－１），
故ａ
＝－２
．
＋２ －３＞０， ＜－３ ＞１， Ｄ ９． （２０１６ 江 苏， ５， ５ 分） 函 数 ｙ ｘ ｘ２ 的 定 义
ｘ２ ｘ ＝ ３－２ －
５．（２０１５湖北文，６，５分）函数ｆ ｘ ｘ －５ ＋６的定 域是 ．
（ ）＝ ４－｜ ｜ ＋ｌｇ ｘ
－３ 答案
义域为 ［－３，１］
（ ） 解析 若函数有意义 则 ｘ ｘ２ 即ｘ２ ｘ 解得
， ３－２ － ≥０， ＋２ －３≤０，
Ａ．（２，３） Ｂ．（２，４］ ｘ ．
－３≤ ≤１
Ｃ．（２，３）∪（３，４］ Ｄ．（－１，３）∪（３，６］
{ ４－｜ ｘ ｜≥０， 考点二 函数的表示方法
答案 Ｃ 要使函数ｆ
（
ｘ
）
有意义
，
需满足 ｘ２
－５
ｘ
＋６ １．（２０１９ 天津理，８，５ 分） 已知 ａ Ｒ． 设函数 ｆ ｘ
ｘ ＞０， ∈ （ ） ＝
－３ {ｘ２ ａｘ ａ ｘ
－２ ＋２ ， ≤１，若关于 ｘ 的不等式 ｆ ｘ 在 Ｒ 上恒成
ｘ ａ ｘ ｘ ． （ ）≥０
－ ｌｎ ， ＞１
８４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
立 则ａ的取值范围为 由ｆ ａ ｆ ａ 得 ａ ａ 无解．
， （ ） （ ）＝ （ ＋１） ２（ －１）＝２ ，
( )
Ａ．［０，１］ Ｂ．［０，２］ Ｃ．［０，ｅ］ Ｄ．［１，ｅ］ 综上 ｆ １ 故选 ．
答案 Ｃ 本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题 考 ， ａ ＝６， Ｃ
，
查学生推理论证能力及运算求解能力 将恒成立问题转化为 解法二 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 为增函数
， ：∵ ０＜ ＜１ ， （ ）＝ ， ，
求最值问题 考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想． 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 为增函数
， ≥１ ， （ ）＝２（ －１）， ，
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ａ ｘ ａ ２ ａ ａ２
（１） ≤１ ， （ ）＝ －２ ＋２ ＝（ － ） ＋２ － ， 又ｆ ａ ｆ ａ ａ ａ ａ １ ．
若ａ 则ｆ ｘ 在 上是减函数 所以ｆ ｘ ｆ （ ）＝ （ ＋１），∴ ＝２（ ＋１－１），∴ ＝
① ＞１， （ ） （－∞，１］ ， （ ）≥（１）＝１ ４
恒成立 若ａ 则ｆ ｘ ｆ ａ ａ ａ２ 要使ｆ ｘ ( )
＞０ ；② ≤１， （ ）≥ （ ）＝ ２ － ， （ ）≥０ ｆ １ ｆ ．
在 上恒成立 只需 ａ ａ２ 得 ａ ａ ∴ ａ ＝ （４）＝６
（－∞，１］ ， ２ － ≥０， ０≤ ≤２，∴０≤ ≤１，
综合 可知 ａ 时 ｆ ｘ 在 上恒成立． 方法小结 求分段函数的函数值的基本思路
①② ， ≥０ ， （ ）≥０ （－∞，１］ ：
ｘ ．结合函数定义域确定自变量的范围．
当ｘ 时 ｘ ｆ ｘ ｘ ａ ｘ 恒成立 即ａ 恒 １
（２） ＞１ ，ｌｎ ＞０， （ ）＝ － ｌｎ ≥０ ， ≤ ｘ ．代入相应表达式求函数值．
ｌｎ ２
成立． {
ｘ ｘ
４．（２０１５陕西文，４，５分）设ｆ ｘ １－ ， ≥０，则ｆ ｆ
令ｇ ｘ ｘ ｇ′ ｘ ｌｎ ｘ －１ 令 ｇ′ ｘ 得 ｘ 当 ｘ （ ）＝ ｘ ｘ （ （－２））＝
（ ）＝ ｘ， （ ）＝ ｘ ２， （ ）＝ ０， ＝ｅ， ∈ ２ ， ＜０，
ｌｎ （ｌｎ ）
时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 为减函数 当ｘ 时 ｇ′ ｘ （ ）
（１，ｅ） ， （ ）＜０， （ ） ， ∈（ｅ，＋∞） ， （ ）＞
ｇ ｘ 为增函数 ｇ ｘ ｇ ａ ． Ａ．－１ Ｂ． １ Ｃ． １ Ｄ． ３
０， （ ） ，∴ （ ）ｍｉｎ＝ （ｅ）＝ｅ，∴ ≤ｅ ４ ２ ２
综合 可知 ａ的取值范围是 ａ 故选 ． ( )
解后 （ 反 １ 思 ）（２） 求不等 ， 式恒成立时的参 ０≤ 数取 ≤ 值 ｅ， 范围的 Ｃ 方法 一是 答案 Ｃ ∵ ｆ （－２）＝ ２ －２ ＝ １ ，∴ ｆ （ ｆ （－２））＝ ｆ １ ＝
： ４ ４
分离参数法 不等式 ｆ ｘ ａ 在 Ｒ 上恒成立 ｆ ｘ ａ
， （ ）≥ ⇔ （ ）ｍｉｎ≥ ， １ １ 选 ．
ｆ ｘ ａ在Ｒ上恒成立 ｆ ｘ ａ 二是讨论分析法 根据 １－ ＝ ， Ｃ
（ ）≤ ⇔ （ ）ｍａｘ≤ ； ， ４ ２
参数取值情况进行分类讨论 从而确定参数的取值范围． { ｘ ｂ ｘ
２．（２０１８课标Ⅰ文，１２，５ 分）设 ， 函数 ｆ ｘ { ２ － ｘ ， ｘ ≤０，则满足 ５．（２０１５ 山东文，１０，５ 分）设函数 ｆ （ ｘ ）＝ ２ ３ ｘ ， － ， ｘ ≥ ＜１ １ ， ． 若
（ ）＝ ｘ ( ( ))
１， ＞０， ｆ ｆ ５ 则ｂ
ｆ ｘ ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是 ＝４， ＝ （ ）
（ ＋１）＜（２ ） （ ） ６
Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（０，＋∞） ７ ３ １
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｃ．（－１，０） Ｄ．（－∞，０） ８ ４ ２
答案 Ｄ 本题主要考查分段函数及不等式的解法． ( )
答案 Ｄ ｆ ５ ５ ｂ ５ ｂ
{ － ｘ ｘ ＝３× － ＝ － ，
函数ｆ ｘ ２ ， ≤０，的图象如图所示 ６ ６ ２
（ ）＝ ｘ ： ( )
１， ＞０ 当 ５
－
ｂ
≥１，
即ｂ
≤
３ 时
，
ｆ ５
－
ｂ
＝２
５ ２－ ｂ
，
２ ２ ２
即
２
５ ２－ ｂ
＝４＝２
２
，
得到 ５
－
ｂ
＝２，
即ｂ
＝
１
；
２ ２
( )
当 ５ ｂ 即ｂ ３ 时 ｆ ５ ｂ １５ ｂ ｂ １５ ｂ
－ ＜１， ＞ ， － ＝ －３ － ＝ －４ ，
２ ２ ２ ２ ２
{ ｘ {ｘ
由ｆ ｘ ｆ ｘ 得 ２ ＜０， 得 ＜０， 即１５ ｂ 得到ｂ ７ ３ 舍去．
（ ＋１）＜（２ ） ｘ ｘ ｘ ． －４ ＝４， ＝ ＜ ，
２ ＜ ＋１， ＜１ ２ ８ ２
ｘ 故选 ．
∴ ＜０， Ｄ 综上 ｂ １ 故选 ．
解题关键 解本题的关键是利用数形结合思想 准确画出图 ， ＝ ， Ｄ
， ２
象 利用图象的直观性来求解 这样可避免分类讨论． {ａ ｘ ｘ
， ， ６．（２０１４江西文，４，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ·２ ， ≥０， ａ
３．（２０１７山东文，９，５ 分）设 ｆ （ ｘ ）＝ { ｘ ， ｘ ０＜ ｘ ＜１ ｘ ， ． 若 ｆ （ ａ ）＝ Ｒ ）， 若ｆ ［ ｆ （－１）］＝１， 则ａ ＝ （ ）＝ ２ － ｘ ， ｘ ＜０ （ （ ∈ ）
２（ －１）， ≥１
( )
ｆ ａ 则ｆ １ Ａ ． １ Ｂ ． １ Ｃ ． １ Ｄ ． ２
（ ＋１）， ａ ＝ （ ） ４ ２
答案 Ａ 由ｆ ｆ ｆ ａ 得ａ １ 故选 ．
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ［ （－１）］＝ （２）＝４ ＝１， ＝ ， Ａ
答案 Ｃ 本题考查分段函数与函数值的计算． ４
解法 ｆ ａ 一 ： 当 ａ ０＜ ｆ ａ ＜ ａ １ 时 ， ａ ＋１ ａ ＞１， ａ． ７．（２０１４课标Ⅰ文，１５，５分）设函数ｆ （ ｘ ）＝ { ｅ ｘ ｘ １ ３ －１ ， ， ｘ ｘ ≥ ＜１ １ ， ， 则使
∴ （ ）＝ ， （ ＋１）＝２（ ＋１－１）＝２ 得ｆ ｘ 成立的ｘ的取值范围是 ．
由ｆ ａ ｆ ａ 得 ａ ａ （ ）≤２
（ ）＝ （ ＋１） ＝２ ， 答案
（－∞，８］
ａ １ ． {ｘ {ｘ {ｘ
∴ ＝ 解析 ｆ ｘ ＜１， 或 ≥１， ＜１， 或
此时ｆ ４ ( １
ａ
)
＝
ｆ
（４）＝２×（４－１）＝６
． {ｘ （ ） ≤２⇒ ｅ ｘ －１ ≤２ ｘ１ ３ ≤２ ⇒ ｘ ≤ｌｎ２＋１
≥１， ｘ 或 ｘ ｘ 故填 ．
当ａ 时 ａ ｘ ⇒ ＜１ １≤ ≤８⇒ ≤８， （－∞，８］
≥１ ， ＋１＞１， ≤８
ｆ ａ ａ ｆ ａ ａ ａ．
∴ （ ）＝２（ －１）， （ ＋１）＝２（ ＋１－１）＝２
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ８５
时间： 分钟 分值： 分
４０ ８０
一、单项选择题 每题 分 共 分 二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ４０ ） （ ５ ， １０ ）
９．（２０２１届江苏高邮第一中学检测，１２）定义 若函数Ｆ ｘ 在区
１．（２０１９山东单县五中１０月月考，４）函数ｙ ＝ － ｘ２ － ｘ ｘ ＋２的定 间 ａ ｂ 上的值域为 ａ ｂ 则称区间 ａ ｂ ： 是函数 （ Ｆ ） ｘ 的
［ ， ］ ［ ， ］， ［ ， ］ （ ）
义域为 ｌｎ 完美区间 另外 定义区间 Ｆ ｘ 的 复区间长度 为 ｂ
“ ”， ， （ ） “ ” ２（ －
（ ） ａ 已知函数ｆ ｘ ｘ２ 则
）， （ ）＝ ｜ －１｜， （ ）
Ａ． 答 （－ 案 ２，１） Ｃ Ｂ．［－２，１］ Ｃ．（０，１） Ｄ．（０，１］ Ａ．［０，１］ 是ｆ （ ｘ ） 的一个 “ 完美区间 ”
２． { （２ ｘ ０２０ ｘ 四川双流中学 ９ 月月考，３） 设函数 ｆ （ ｘ ） ＝ Ｂ． é ë êê１－ ５ ， １＋ ５ ù û úú是ｆ （ ｘ ） 的一个 “ 完美区间 ”
４ －１， ≤０，则ｆ ｆ ２ ２
ｘ ｘ （ （１））＝ （ ） ｆ ｘ 的所有 完美区间 的 复区间长度 的和为
ｌｏｇ２ ， ＞０， Ｃ． （ ） “ ” “ ” ３＋ ５
ｆ ｘ 的所有 完美区间 的 复区间长度 的和为
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ Ｄ． （ ） “ ” “ ” ３＋２ ５
答案 Ａ 答案 ＡＣ
３．（２０１９湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”联考，７）已知 １０．（２０２１届山东师范大学附中检测，１２） ｘ Ｒ ｘ 表示不超
∀ ∈ ，［ ］
{( )ｘ 过ｘ的最大整数． 世纪 ｙ ｘ 被 数学王子 高斯采用 因
１ ｘ １８ ， ＝［ ］ “ ” ，
函数ｆ ｘ －７， ＜０， 若ｆ ａ 则实数 ａ 的取值范 此得名高斯函数 人们更习惯称之为 取整函数 ．则下列命题
（ ）＝ ２ （ ）＜１， ， “ ”
ｘ ｘ 中正确的是
ｌｏｇ２（ ＋１）， ≥０， （ ）
围是 ｘ ｘ
（ ） Ａ．∀ ∈［－１，０］，［ ］＝－１
ｘ Ｒ ｘ ｘ
Ａ．（－∞，－３）∪［０，１） Ｂ．（－３，０）∪（０，１） Ｂ．∃ ∈ ， ≥［ ］＋１
ｘ ｙ Ｒ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ．（－３，１） Ｄ．（－∞，－３）∪（１，＋∞） Ｃ．∀ ， ∈ ，［ ］＋［ ］≤［ ＋ ］
答案 Ｃ 函数ｙ ｘ ｘ ｘ Ｒ 的值域为
Ｄ． ＝ －［ ］（ ∈ ） ［０，１）
４．（２０２０河南南阳一中第一次月考，６）已知函数 ｆ ｘ 满足 答案 ＣＤ
（ ）
( ) 三、填空题 每题 分 共 分
ｆ １ １ ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ （ ５ ， ３０ ）
ｘ ＋ ｘ （－ ）＝２ （ ≠０）， （－２）＝ （ ） １１．（２０２１届新教材地区第一次月考，１３）函数ｆ ｘ ｘ的
（ ）＝ ３－９
定义域为 值域为 ．
７ ９ ７ ９ ，
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． ( ]
２ ２ ２ ２ 答案 １
答案 Ｃ －∞， ；［０， ３）
２
５．（２０１９山东菏泽模拟，５）已知函数ｆ ｘ ｘ的值域是 １２．（２０１９广东深圳期末，１４）一次函数ｆ ｘ 是减函数 且满足
（ ）＝ｌｏｇ２ ［１， （ ） ，
则函数φ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ２ 的定义域为 ｆ ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ ．
２］， （ ）＝ （２ ）＋（ ） （ ） ［ （ ）］＝４ －１， （ ）＝
答案 ｘ
Ａ．［ ２，２］ Ｂ．［２，４］ Ｃ．［４，８］ Ｄ．［１，２］ －２ ＋１
答案 Ａ １３．（２０２０ 山西平遥中学月考，１３） 已知函数 ｆ ｘ
６．（２０１９ 山东师范大学附中二模，３） 已知函数 ｆ （ ｘ ）＝ { ｌｏｇ２（１－ ｘ ）， ｘ ＜１，若ｆ ｘ 则ｘ ．
（ ） ＝
{ ａ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ （ ）＝－１， ＝
（１－２ ） ＋３ （ ＜１），的值域为Ｒ 则实数ａ的取值范围是 ３ －１０， ≥１，
ｘ ｘ ， （ ）
ｌｎ （ ≥１） 答案 １ 或
[ ] [ ) ( ) ２
１ １ １ ２
Ａ．（－∞，－１） Ｂ． ，１ Ｃ． －１， Ｄ． ０， １４．（２０１９四川高三第一次诊断性测试，１５）已知函数 ｆ ｘ
答案 Ｃ ２ ２ ２ { － ｘ ｘ （ ）＝
２ －２， ≤０， 则ｆ ．
７．（２０２０重庆万州第二高级中学第一次月考，１０）若函数ｙ ｆ ｘ 的 ｆ ｘ ｘ （２０１９）＝
值域是 则函数Ｆ ｘ ｆ ｘ 的值域是 ＝ （ ） 答 （ 案 －２）＋１， ＞０，
［１，３］， （ ）＝１－（ ＋３） （ ） １０１０ { ｘ ａ ２ ｘ
Ａ． 答 ［－ 案 ８，－３ Ｃ ］ Ｂ．［－５，－１］ Ｃ．［－２，０］ Ｄ．［１，３］ １５．（２０２０山东淄博实验中学，１４）设ｆ （ ｘ ）＝ （ ｘ － １ ） ｘ ， ≤ ． ０，
８．（２０１９ 安徽安庆模拟，４）若函数ｙ ｆ ｘ 的图象的一部分如图 ＋ ｘ ， ＞０
＝ （ ） （１）
所示 则图 中的图象所对应的函数解析式可以是 当ａ １ 时 ｆ ｘ 的最小值是
， （２） （ ） （１） ＝ ， （ ） ；
２
若ｆ 是ｆ ｘ 的最小值 则ａ的取值范围是 ．
（２） （０） （ ） ，
答案 １
（１） （２）［０， ２］
４
{ ｘ ２ ａ ｘ ｂ ｘ
（ｌｎ ） ＋ ｌｎ ＋ （ ＞０），
１６．（改编题）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ １ ｘ ． 若ｆ （ｅ ２ ）
ｅ ＋ （ ≤０）
( ) ２
ｙ ｆ ｘ １ ｙ ｆ ｘ
Ａ． ＝ ２ － Ｂ． ＝ （２ －１） ｆ ｆ ４ ｆ 则ａ ｂ的值为 函
２ ＝ （１）， （ｅ）＝ （０）， ， ， ；
( ) ( ) ３
ｙ ｆ １ ｘ １ ｙ ｆ １ ｘ 数ｆ ｘ 的值域为 ．
Ｃ． ＝ － Ｄ． ＝ －１ （ ）
２ ２ ２ ( ]
答案 Ｂ 答案 １ ３
－２；３； ， ∪［２，＋∞）
２ ２
８６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ ａｂｃｄ 故选 ．
ｘ １ ｘ ∴２１＜ ＜２４， Ｄ
１．（２０１８安徽合肥一模，３）已知函数 ｆ ｘ ＋ｘ ， ＞２，则 ５．（２０１７山西名校联考，５）设函数 ｆ ｘ ｘ 则函数
（ ）＝ －２ （ ）＝ ｌｇ（１－ ），
ｘ２ ｘ ｆ ｆ ｘ 的定义域为
＋２， ≤２， ［ （ ）］ （ ）
ｆ ｆ
（ （１））＝ （ ） Ａ．（－９，＋∞） Ｂ．（－９，１） Ｃ．［－９，＋∞） Ｄ．［－９，１）
答案 Ｂ ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 则
１ ［ （ ）］ ＝ ［ｌｇ（１－ ）］ ＝ｌｇ［１－ｌｇ（１－ ）］，
Ａ．－ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．１１ { ｘ
２ １－ ＞０， ｘ ．故选
{ ｘ ⇒－９＜ ＜１ Ｂ．
ｘ １ ｘ １－ｌｇ（１－ ）＞０
答案 Ｃ ∵ 函数 ｆ （ ｘ ）＝ ＋ｘ －２ ， ＞２， ∴ ｆ （１）＝ １ ２ ＋２＝３， ６．（２０１７重庆巴蜀中学期中，５）下列函数中与 ｙ ＝ ｘ 相等的函
ｘ２ ｘ 数是
＋２， ≤２， （ ）
∴ ｆ （ ｆ （１））＝ ｆ （３）＝３＋ １ ＝４ ．故选 Ｃ． Ａ． ｙ ＝（ ｘ ） ２ Ｂ． ｙ ＝ｌｏｇ２２ ｘ
３－２ ｙ ｘ ｙ ｘ２
２．（２０１８浙江新高考调研卷二（镇海中学），８）已知函数ｆ ｘ Ｃ． ＝２ｌｏｇ２ Ｄ． ＝
ａ （ ）＝ 答案 Ｂ Ａ 中函数ｙ ＝（ ｘ ） ２ ＝ ｘ （ ｘ ≥０） 的定义域与ｙ ＝ ｘ不
ｂ πｘ ｘ 且满足ｆ 则ｆ 同 故不是相等函数
ｘ＋ ｃｏｓ ＋ ， （１－ ２）＝３， （１＋ ２）＝ （ ） ， ；
１－ ２ 中函数ｙ ｘ 的定义域与解析式与ｙ ｘ均相同 故是相
Ａ． 答 ２ 案 ａ Ｄ 当 Ｂ ｘ ( ． １ － ＋ ３ ｘ ２＝ ) ２ 时 ， ｆ （ Ｃ ｘ ． ａ － １） ４ ＋ ｆ （ ｘ ２） ( ＝ １－ Ｄ ａ ｘ ． １ － ) ＋ １ ｂ ｃｏｓ ( π ２ ａ ｘ １ ) Ｂ 等 Ｃ 函 中 函 数 函 数 ； 数 ； ｙ ＝ ＝ ｌ ｌ ｏ ｏ ｇ ｇ ２ ２ ２ ｘ （ ｘ ＞０） 的定义域与 ｙ ＝ ｘ ＝ 不同 ， 故不 ， 是相等
ｘ ｂ πｘ ｘ ｂ πｘ ｘ
＋ １＋
１－
ｘ
２
＋ ｃｏｓ
２
２ ＋ ２ ＝
１－
ｘ
１
＋ ｃｏｓ
２
１ ＋ １＋ｘ
１－１
＋
Ｄ
中函数ｙ
＝
ｘ２
＝｜
ｘ
｜
的解析式与ｙ
＝
ｘ不同
，
故不是相等函数．
[ ] 故选 ．
ｂ π ｘ ｘ ｘ ｘ ． Ｂ
ｃｏｓ （２－ １） ＋ ２＝ １＋ ２＝２ 思路分析 分析函数的定义域和解析式 进而根据相等函数
２ ，
所以函数ｆ ｘ 的图象关于 对称 从而 ｆ 的定义得到答案．
（ ） （１，１） ， （１＋ ２）＝ ２－
ｆ 故选 ． 方法总结 两个函数是同一函数需要两个条件 两个函数
（１－ ２）＝２－３＝－１， Ｄ ：①
３．（２０１７ 河北石家庄二中三模，５） 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝
的定义域是同一个集合
；②
两个函数的解析式可以化为一致．
{ －ｌｏｇ２（３－ ｘ ）， ｘ ＜２，若ｆ ａ 则ｆ ａ ７． 这 （２ 两 ０１ 个 ６ 条 浙 件 江 缺 镇 一 海 不 中 可 学 ， 测 必 试 须 （ 同 五 时 ） 满 ，１ 足 ）下 ． 列函数中 与函数 ｆ ｘ
ｘ －２ ｘ （２－ ）＝１， （ ）＝ （ ） ， （ ）
２ －１， ≥２， ｘ的定义域 值域均相同的是
＝ 、 （ ）
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
答案 Ａ 当 ａ 即ａ 时 ｆ ａ ２－ ａ －２ ｙ ｘ １ ｙ ｘ２
２－ ≥２， ≤０ ， （２－ ）＝２ －１＝１， Ａ． ＝２ － ｘ Ｂ． ＝
解得ａ 则ｆ ａ ｆ ２
＝－１， （ ）＝ （－１）＝－ｌｏｇ２［３－（－１）］＝－２；
当 ａ 即ａ 时 ｆ ａ ａ ｙ ｘ １ ｙ ｘ
２－ ＜２， ＞０ ， （２－ ）＝－ｌｏｇ２［３－（２－ ）］＝１， Ｃ． ＝ ＋ ｘ Ｄ． ＝ｔａｎ
解得ａ １ 舍去 ｆ ａ ．故选 ． 答案 Ａ 由题意知 函数ｆ ｘ ｘ的定义域和值域都为Ｒ．
＝－ ， ，∴ （ ）＝－２ Ａ ， （ ）＝
２
{ ｘ ｘ ｙ ｘ２ 的值域为 ｙ ｘ １ 的值域是
｜ｌｏｇ３ ｜，０＜ ≤３， ＝ ［０，＋∞）， ＝ ＋ ｘ （－∞，－２］∪［２，
４．（２０１８天津南开三模，８）已知ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ２ － １０ｘ ＋８， ｘ ＞３， ａ ， ｂ ， ｙ ｘ的定义域为 { ｘ Ｒ ｘ ｋ π ｋ Ｚ } ．故选 ．
３ ３ ＋∞）， ＝ｔａｎ ∈ ≠ π＋ ， ∈ Ａ
ｃ ， ｄ是互不相同的正数 ， 且ｆ （ ａ ）＝ ｆ （ ｂ ）＝ ｆ （ ｃ ）＝ ｆ （ ｄ ）， 则ａｂｃｄ的 ８．（２０１８ 豫南九校第六次质量考评，６） ２ 已知函数 ｆ （ ｘ ）＝
取值范围是 { ａ ｘ ａ ｘ
（ ） （ －２） ＋３ ＋１， ≤３， ａ 且ａ 若ｆ ｘ 有最小值 则实
Ａ．（１８，２８） Ｂ．（１８，２５） Ｃ．（２０，２５） Ｄ．（２１，２４） ａｘ －２ ｘ （ ＞０ ≠１）， （ ） ，
答案 Ｄ 作出函数ｆ
（
ｘ
）
的图象
，
如图所示
，
数 ２ ａ的 ， 取 ＞ 值 ３ 范围是
（ ）
( ] ( )
５ ５
Ａ． ０， Ｂ． １，
６ ４
( ] ( ] [ )
５ ５ ５
Ｃ． ０， ∪ １， Ｄ．（０，１）∪ ，＋∞
６ ４ ４
答案 Ｃ 根据题意 可得ｆ ｘ 的最小值为ｆ ａ 则
， （ ） （３）＝６ －５，
ａ ｂ ｃ ｄ是互不相同的正数 ａ ｆ ｘ 的图象如图所示
∵ ， ， ， ， －２≤０， （ ） ：
且ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ｆ ｄ
（ ）＝ （ ）＝ （ ）＝ （ ），
不妨设ａ ｂ ｃ ｄ
＜ ＜ ＜ ，
则有 ａ ｂ ｃ ｄ
－ｌｏｇ３ ＝ｌｏｇ３ ，３＜ ＜４， ＞６，
且ｃ ｄ
＋ ＝１０，
ａｂ ｄ ｃ
∴ ＝１， ＝１０－ ，
ａｂｃｄ ｃ ｃ ｃ２ ｃ ｃ { ａ { ａ
∴ ＝ （１０－ ）＝－ ＋１０ （３＜ ＜４）， １＜ ≤２， 或 ０＜ ＜１， 解得 ａ ５ 或 ａ ５
由二次函数图象及性质得 ２ ｃ２ ｃ ２ ∴ ａ ａ ａ １＜ ≤ ０＜ ≤ ，
－３ ＋１０×３＜－ ＋１０ ＜－４ ＋４×１０， ６ －５≤２ ６ －５≤０， ４ ６
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ８７
( ] ( ] ì
则实数ａ的取值范围是 ５ ５ ．故选 ï ｘ １
０， ∪ １， Ｃ． ï１，０≤ ＜ ，
６ ４ 答案 í ２
易错警示 分段函数求最值应该分别求出每个区间上的最 ï ４
ï ｘ 或ｘ １
值 然后比较大小 最小的就是分段函数的最小值．此题有两种 î０， ＜０ ≥ ；
， ， ２
９． 情 （２ 况 ０１ ， ８ 考虑 陕 不 西 全 西 面 安 是 八 失 校 分的 第 主 一 要 次 原 联 因 考 ． ，１６） 设函数 ｆ ｘ ì ï ï１，０≤ ｘ ＜ １ ，
（ ） ＝ 解析 由题意可得ｇ ｘ í ２
{ｘ ＋ ｘ １ ｘ ， ｘ ≤０，则满足 ｆ （ ｘ ）＋ ｆ （ ｘ －１）＞１ 的 ｘ 的取值范围是 （２ ）＝ î ï ï ０， ｘ ＜０ 或ｘ ≥ １ ２ ．
２ ， ＞０，
ｍ ｇ ｎ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｍ ｇ ｎ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
． ∵ · （ · ）－ （ ）＝ （ ），∴ · （ · ）＝ （ ）＋ （ ）＝
答案 ì ï ｘ １
（０，＋∞） ï２，０≤ ＜ ，
解析 当ｘ 时 ｘ í ２ ｇ ｘ
ｆ ｘ ｆ ① ｘ ≤ ｘ ０ ， ｘ －１≤－１， ｘ 即ｘ 此时无解． ï ï ｘ 或ｘ １ ＝２ （２ ），
∴ （ ）＋（ －１）＝ ＋１＋（ －１）＋１＝２ ＋１＞１， ＞０， î０， ＜０ ≥
当 ｘ 时 ｘ ２
② ０＜ ≤１ ， －１≤０， ｍ ｎ 即ｍ ｎ ．
ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ∴ ＝ ＝２， ＋ ＝４
∴ （ ）＋（ －１）＝２ ＋（ －１）＋１＝２ ＋ ， 思路分析 先利用分段函数的定义域求出 ｇ ｘ 再求出
ｘ ０ （２ ），
∵２ ＞２ ＝１， ｆ ｘ ｇ ｘ 的结果 最后利用待定系数法求出ｍ ｎ 的值 并
此时ｆ ｘ ｆ ｘ 恒成立． （ ）＋ （ ） ， 、 ，
∴ （ ）＋（ －１）＞１ 求和．
当ｘ 时 ｘ
③ ＞１ ， －１＞０，
ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ －１ ｘ －１ １２．（２０１８重庆万州二模，１３）设函数ｙ ｘ １ ａ的值域为Ａ
∴ （ ）＋（ －１）＝２ ＋２ ＝３·２ ， ＝ｅ ＋ ｘ － ，
ｘ －１ ０ ｅ
∵２ ＞２ ＝１， 若Ａ 则实数ａ的取值范围是 ．
此时ｆ ｘ ｆ ｘ 恒成立． ⊆［０，＋∞），
∴ （ ）＋（ －１）＞１ 答案 ａ
综上所述 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是 ． ≤２
， （ ）＋（ －１）＞１ （０，＋∞）
解题关键 解答本题的关键是利用分类讨论的思想进行求 解析 ｘ １ １ ｘ 当且仅当ｘ 时取等号
∵ ｅ ＋ ｘ≥２ ｘ·ｅ ＝２， ＝０ ，
解 分ｘ ｘ 和ｘ 三种情况讨论 并结合函数的单调 ｅ ｅ
， ≤０，０＜ ≤１ ＞１ ，
性解答． 函数ｙ ｘ １ ａ的值域Ａ ａ ．
∴ ＝ｅ ＋ ｘ－ ＝［２－ ，＋∞）
１０．（２０１８江苏淮安、宿迁期中，１２）已知函数ｆ ｘ 与ｇ ｘ 的图 ｅ
象关于原点对称 且它们的图象拼成如图所 （ 示 ） 的 Ｚ （ 形 ） 折线 又 ∵ Ａ ⊆［０，＋∞），∴２－ ａ ≥０， 即ａ ≤２ ．
段ＡＢＯＣＤ ， 不含 ， Ａ （０，１）， Ｂ （１，１）， Ｏ （０，０）， Ｃ （－１， “ －１ ” ）， Ｄ （０， 方法总结 求函数值域的常用方法 ： 换元法 、 单调性法 、 基本
－１） 五个点．则满足题意的函数ｆ （ ｘ ） 的一个解析式为 ．
不等式
、
数形结合法．
１３．（２０１９浙江温州高三适应性检测，１５）已知函数 ｆ ｘ
（ ）＝
{ｘ２ λｘ ｘ
＋ ＋３， ≤２，当 λ 时 不等式 ｆ ｘ 的解集是
ｘ ｘ ． ＝ ５ ， （ ）＜－１
２－ｌｏｇ２ ， ＞２
若函数 ｆ ｘ 的值域是 Ｒ 则实数 λ 的取值范围
； （ ） ，
是 ．
答案
{ｘ ｘ （－４，－１）∪（８，＋∞）；（－∞，－２ ２］∪［２ ２，＋∞）
答案 ｆ
（
ｘ
）＝
，
ｘ
∈（－１，０）
（
答案不唯一
）
解析 若ｘ
≤２，
则ｆ
（
ｘ
）＜－１，
即ｘ２
＋５
ｘ
＋４＜０，
１， ∈（０，１） 解得ｘ
解析 由题图可知 线段 ＯＣ 与线段 ＯＢ 是关于原点对 ∈（－４，－１）；
， 若ｘ 则ｆ ｘ 即 ｘ 解得ｘ 取并
称的 ＞２， （ ）＜－１， ２－ｌｏｇ２ ＜－１， ∈（８，＋∞），
， 集得到不等式的解集为 ．
线段ＣＤ与线段ＢＡ也是关于原点对称的 （－４，－１）∪（８，＋∞）
， 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 要使函数ｆ ｘ 的值域
因为ｆ （ ｘ ） 与ｇ （ ｘ ） 的图象关于原点对称 ， 为Ｒ ＞２ 则需 ， 当 （ ｘ ）＝２ 时 －ｌｏｇ ｆ ２ ｘ ＜２ 的 － 最 ｌｏｇ 小 ２２ 值 ＝１ 不 ， 大于 ． 当 （ 对 ） 称轴ｘ
所以ｆ ｘ 的图象可以在 ＯＣ 或 ＣＤ 中选取一个 再在 ＡＢ 或 ， ≤２ ， （ ） １① ＝
ＯＢ中选
（
取
）
一个
， λ
即λ 时 必须１２－
λ２
解得λ
， － ＜２， ＞－４ ， ≤１， ∈（－４，－２ ２］∪
组合形式为ＯＣ和ＡＢ ＣＤ和ＯＢ ２ ４
， ， λ
ＯＣ的方程为ｙ ｘ ｘ ＯＢ的方程为ｙ ｘ ｘ 当对称轴ｘ 即λ 时 必须 λ
＝ （－１＜ ＜０）， ＝ （０＜ ＜１）， ［２ ２，＋∞），② ＝－ ≥２， ≤－４ ， ４＋２
{ｘ ｘ { ｘ ２
所以ｆ ｘ ， ∈（－１，０），ｇ ｘ －１， ∈（－１，０）， 解得λ 取并集可得λ的取值范围是
（ ）＝ ｘ （ ）＝ ｘ ｘ ＋３≤１， ∈（－∞，－４］， （－
１， ∈（０，１）， ， ∈（０，１）
或ｆ （ ｘ ）＝ { ｘ －１ ｘ ， ｘ ∈（－１，０），ｇ （ ｘ ）＝ {ｘ ， ｘ ｘ ∈（－１，０ ． ）， １４． ∞ （２ ， ０ － １ ２ ８ ２ 南 ］ 通 ∪ 如 ［２ 皋 ２ 教 ，＋ 学 ∞ 质 ） 量 ． 调研（一）改编，１９）已知二次函数
， ∈（０，１）， １， ∈（０，１） ｆ ｘ 为偶函数且图象经过原点 其导函数ｆ ′ ｘ 的图象过点
ì ï ïï １，０≤ ｘ ＜ ２ １ ， （ （ １， ） ２） ．求函数ｆ （ ｘ ） 的解析式． ， （ ）
１１．（２０１７北京东城一模，１４）已知函数ｆ ｘ í 和 解析 由二次函数ｆ ｘ 的图象经过原点
（ ）＝ï
－１，
１
≤
ｘ
＜１， 可设ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ａ
（ ） ，
ïï ２ （ ）＝ ＋ （ ≠０），
î ｘ 或ｘ 又因为ｆ ｘ 为偶函数
０， ＜０ ≥１ （ ） ，
{ ｘ 所以对任意实数ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ 即ａ ｘ ２ ｂ ｘ
ｇ ｘ １，０≤ ＜１， 则ｇ ｘ 若ｍ ｎ Ｚ 且 ∈ ， （－ ）＝ （ ）， （－ ） ＋ （－ ）
（ ）＝ ｘ 或ｘ （２ ）＝ ； ， ∈ ， ａｘ２ ｂｘ
０， ＜０ ≥１， ＝ ＋ ，
ｍ ｇ ｎ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ 则ｍ ｎ ． 所以 ｂｘ 对任意实数ｘ Ｒ都成立 故ｂ ．
· （ · ）－ （ ）＝ （ ）， ＋ ＝ ２ ＝０ ∈ ， ＝０
８８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
所以ｆ ｘ ａｘ２ ｆ ′ ｘ ａｘ 当ｃ 时 ｈ ｘ 在 ｃ 上为减函数 在 ｃ 上为增
（ ）＝ ， （ ）＝２ ， ＞４ ， （ ） ［２， ］ ， ［ ，＋∞）
又因为导函数ｆ ′ ｘ 的图象过点 函数
（ ） （１，２）， ，
所以 ａ 解得ａ ．
２ ×１＝２， ＝１ ｈ ｘ 的值域为 ｃ ．
所以ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２． ∴ （ ） ［ ，＋∞） [ ｃ )
１５．（２０１８浙江镇海中学阶段性测试，２０）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ２ ｘ ＋ ｂ ， 综上 ，１≤ ｃ ≤４ 时 ， ｈ （ ｘ ） 的值域为 １＋ ，＋∞ ， ｃ ＞４ 时 ， ｈ （ ｘ ）
４
ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
（
ｂ
，
ｃ
∈
Ｒ
），
对任意的 ｘ
∈
Ｒ恒有ｆ
（
ｘ
）≤
ｇ
（
ｘ
） 的值域为 ｃ ．
成立． ［ ，＋∞）
由 推得ｂ２ ｃ ｃ ｂ ｂ２ ｂ ｂ ２
求证 ｇ ｘ 恒成立 （３） （１） －４ ＋４≤０，∴ ４ －４ ≥ －４ ＋４＝（ －２） ≥
（１） ： （ ）＞０ ； ｃ ｂ
ｇ ｘ ０，∴ － ≥０，
设ｂ 时 记ｈ ｘ （ ） ｘ 求函数ｈ ｘ 同理 ｃ ｂ 又ｇ ｃ ｇ ｂ Ｍ ｃ２ ｂ２ 即 ｃ ｂ ｃ ｂ
（２） ＝０ ， （ ）＝ ｆ ｘ （ ∈［２，＋∞））， （ ） ， ＋ ≥０， （ ）－ （ ）≤ （ － ）， （ ＋２ ）（ － ）≤
（ ） Ｍ ｃ２ ｂ２
的值域 （ － ），
； 当ｃ２ ｂ２ 时 ｃ ｂ ｃ ｂ 或 ｂ２ Ｍ Ｒ
若对满足条件的任意实数ｂ ｃ 不等式ｇ ｃ ｇ ｂ Ｍ ｃ２ ＝ ，（ ＋２ ）（ － ）＝０ －２ ，∴ ∈ ；
（３） ， ， （ ）－ （ ）≤ （ ｃ ｂ ｂ
ｂ２ 恒成立 求Ｍ的最小值． 当ｃ ｂ 且ｃ ｂ 时 Ｍ ＋２ 恒成立
－ ） ， － ＞０ ＋ ＞０ ， ≥ｃ ｂ ＝１＋ｃ ｂ ，
解析
（１）
证明
：
ｆ
（
ｘ
）≤
ｇ
（
ｘ
）
恒成立
，
即 ｘ２
＋（
ｂ
－２）
ｘ
＋
ｃ
－
ｂ
只需求当ｃ ｂ 时
＋ ＋
∴ ＞ ＞０ ，
≥０， ｂ ｂ
∴ Δ ＝（ ｂ －２） ２ －４（ ｃ － ｂ ）≤０， ｃ ｂ 的最大值即可 ， 而 ｃ ｂ＝ ｃ １ ，
∴ ｂ２ －４ ｃ ＋４≤０，∴ ｂ２ －４ ｃ ≤－４＜０，∴ ｇ （ ｘ ）＞０ 恒成立． ＋ ＋ ｂ ＋１
( ｃ )
ｂ ｈ ｘ １ ｘ 由 知ｃ ． ｃ ｂ
（２）∵ ＝０，∴ （ ）＝ ＋ ｘ ， （１） ≥１ １
２ ∵ ｂ ＞１，∴ ｃ ＋ ｂ＜ ２ ，
当 ｃ 时 ｈ ｘ 在 上为增函数
１≤ ≤４ ， （ [ ） ｃ ［２，＋∞ ) ） ， ∴ Ｍ ≥ ３ ， 即Ｍ的最小值为 ３ ．
ｈ ｘ 的值域为 ２ ２
∴ （ ） １＋ ，＋∞ ；
４
