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专题三 函数的概念与基本初等函数
3.1 函数及其性质
基础篇
考点 一 函数的概念及表示 减函数 如果 ｘ ｘ Ｄ 当 ｘ ｘ 时 都有
２) : ∀ １ꎬ ２∈ ꎬ １< ２ ꎬ
ｆ ｘ ｆ ｘ 那么就称函数 ｆ ｘ 在区间 Ｄ
1.
函数的定义 ( １)> ( ２)ꎬ ( )
上单调递减 图象描述如图 .特别地 当函
一般地 设Ａ Ｂ 是非空的实数集 如果对于集 ꎬ ② ꎬ
ꎬ 、 ꎬ
数ｆ ｘ 在它的定义域上单调递减时 我们就
合 Ａ 中的任意一个数 ｘ 按照某种确定的对 ( ) ꎬ
ꎬ
称它是减函数.
应关系 ｆ 在集合 Ｂ 中都有唯一确定的数 ｙ 和
ꎬ
它对应 那么就称 ｆ Ａ Ｂ 为从集合 Ａ 到集合
ꎬ : →
Ｂ 的一个函数.记作 ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ.
＝ ( )ꎬ ∈
2.
函数的定义域、值域
在函数 ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ 中 ｘ 叫做自变量 ｘ 的
＝ ( )ꎬ ∈ ꎬ ꎬ
图 图
取值范围Ａ叫做函数的定义域 与 ｘ 的值相对 ① ②
ꎬ
应的ｙ 值叫做函数值 函数值的集合 ｆ ｘ 注意
ꎬ { ( ) ｜
ｘ Ａ 叫做函数的值域. 单调函数的定义有以下两种等价形式: ｘ ꎬｘ [ａꎬ
∈ } ∀ １ ２∈
3. 函数的三要素：定义域 值域 对应关系. ｂ]ꎬ且ｘ ｘ ꎬ
、 、 １≠ ２
4. ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )
函数的三种表示法：解析法 列表法 图 ( ) １ － ２ ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是增函数ꎻ
、 、 １ ｘ ｘ >０⇔
象法. １－ ２
ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )
１ － ２ ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是减函数.
ｘ ｘ <０⇔
考点 二 分段函数 １－ ２
( )(ｘ ｘ )[ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )] ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是增函
２ １－ ２ １ － ２ >０⇔
若函数在某定义域的不同子集上 因对应 数ꎻ(ｘ ｘ )[ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )] ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是减
ꎬ １－ ２ １ － ２ <０⇔
关系不同而分别用几个不同的式子来表示 这 函数.
ꎬ
种函数称为分段函数 分段函数虽由几个部分 2.
函数的最值
ꎬ
组成 但它表示的是一个函数.
ꎬ 一般地ꎬ设函数 ｙ ｆ(ｘ)的定义域为 Ｉꎬ如果存
前提 ＝
在实数Ｍ满足:
考点 三 函数的单调性及最值
ｘ Ｉꎬ 都 有 ｘ Ｉꎬ都有ｆ(ｘ) Ｍꎻ
1. ∀ ∈ ∀ ∈ ≥
函数的单调性
条件 ｆ(ｘ) Ｍꎻ ｘ Ｉꎬ使 ｘ Ｉꎬ使得 ｆ(ｘ )
5 ≤ ∃ ０∈ ∃ ０∈ ０
年 一般地 设函数 ｆ ｘ 的定义域为 Ｉ 区间 Ｄ 得ｆ(ｘ ) Ｍ Ｍ
高 ꎬ ( ) ꎬ ０ ＝ ＝
考 Ｉ 结论 Ｍ是ｆ(ｘ)的最大值 Ｍ是ｆ(ｘ)的最小值
3 ⊆ :
年
增函数 如果 ｘ ｘ Ｄ 当 ｘ ｘ 时 都有
模
１) : ∀ １ꎬ ２∈ ꎬ １< ２ ꎬ
拟
ｆ ｘ ｆ ｘ 那么就称函数 ｆ ｘ 在区间 Ｄ
A ( １)< ( ２)ꎬ ( )
版 上单调递增 图象描述如图 .特别地 当函
ꎬ ① ꎬ
高
数ｆ ｘ 在它的定义域上单调递增时 我们就
考
( ) ꎬ
数
学 称它是增函数
ꎻ
２３０
考点 四 函数的奇偶性 ( )在关于原点对称的区间上单调性相反.
２
.定义域关于原点对称的函数 ｙ ｆ(ｘ)总可以写成“一
３ ＝
前提(必 满足的 图象
奇偶性 ｆ(ｘ) ｆ( ｘ)
要条件) 充要条件 特征 个奇函数 ｇ(ｘ)
＝
－ － 与一个偶函数 ｈ(ｘ)
＝
２
函数ｆ(ｘ)的 对定义域中任意的 关于原 ｆ(ｘ) ｆ( ｘ)
奇函数 ＋ － 之和的形式”ꎬ即ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ｈ(ｘ).
定 义 域 关 ｘꎬ都有ｆ( ｘ) ｆ(ｘ) 点对称 ＝ ＋
－ ＝ － ２
于 原 点 对定义域中任意的 关于ｙ轴
偶函数
对称 ｘꎬ都有ｆ( ｘ) ｆ(ｘ) 对称 考点 五 函数的周期性
－ ＝
注意 既是奇函数又是偶函数的函数是ｆ(ｘ) ꎬｘ 对于函数 ｙ ｆ ｘ 如果存在一个非零常
＝ ０ ∈ ＝ ( )ꎬ
Ｄ.其中定义域Ｄ是关于原点对称的非空数集. 数 Ｔ 使得当 ｘ 取定义域内的任何值时 都有
ꎬ ꎬ
知识拓展 ｆ ｘ Ｔ ｆ ｘ 那么就称函数 ｙ ｆ ｘ 为周期函
( ＋ )＝ ( )ꎬ ＝ ( )
.对于奇函数:
１ 数 称 Ｔ 为这个函数的周期.如果在周期函数
ꎬ
( )如果定义域中包含 ꎬ那么ｆ( ) ꎻ
１ ０ ０ ＝ ０ ｆ ｘ 的所有周期中存在最小的正数 那么这个
( )若函数在关于原点对称的区间上有最值ꎬ则ｆ(ｘ) ( ) ꎬ
２ ｍａｘ＋ 最小正数就叫做 ｆ ｘ 的最小正周期.
ｆ(ｘ) ꎻ ( )
ｍｉｎ＝０
注意 并不是所有的周期函数都有最小正周期ꎬ如
( )在关于原点对称的区间上单调性相同.
３
ｆ(ｘ) .由于每一个正数都是它的周期ꎬ但不存在最小
.对于偶函数: ＝ ５
２
正数ꎬ即函数ｆ(ｘ) 无最小正周期.
( )ｆ(ｘ) ｆ( ｘ )ꎻ ＝ ５
１ ＝ ｜ ｜
专
题
三
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
２３１
综合篇
考法 一 函数定义域的求法 若同时出现上述几种情况 则分别找出各自
５) ꎬ
1.
所满足的自变量的范围 然后求交集.
求给定解析式的函数的定义域 ꎬ
例1 ( 济南外国语学校月考ꎬ )函数
以函数解析式中所含式子 运算 有意义为
２０２２ ５
( )
准则 列出不等式 组 求解.对于实际问题
ｆ(ｘ) １ ｘ的定义域为 ( )
ꎬ ( ) ꎬ
＝ (ｘ )＋ ２－
既要使解析式有意义 又要使实际问题有 ｌｇ ＋１
ꎬ
( ꎬ ) ( ꎬ ] [ ꎬ ) ( ꎬ ]
意义. Ａ. －１ ０ ∪ ０ ２ Ｂ. －２ ０ ∪ ０ ２
2. [ ꎬ ] ( ꎬ ]
求某些抽象函数的定义域 Ｃ. －２ ２ Ｄ. －１ ２
解 析 要 使 函 数 有 意 义ꎬ 则 有
若函数 ｆ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 则复合函数
１) ( ) [ ꎬ ]ꎬ
ì ｘ ꎬ
ｆ ｇ ｘ 的定义域由 ａ ｇ ｘ ｂ 求出 ï
２－ ≥０
[ ( )] ≤ ( )≤ ꎻ ï
若函数 ｆ ｇ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 则 ｆ ｘ
íｘ ꎬ 解得 ｘ 或 ｘ ꎬ即函数
２) [ ( )] [ ꎬ ]ꎬ ( ) ï ＋１>０ －１< <０ ０< ≤２
ï
的定义域为 ｇ ｘ 在 ｘ ａ ｂ 上的值域. î (ｘ ) ꎬ
ｌｇ ＋１ ≠０
( ) ∈[ ꎬ ]
3. 求用解析式表示的函数定义域的常见类型 的定义域为( ꎬ ) ( ꎬ ]ꎬ故选 .
－１ ０ ∪ ０ ２ Ａ
如下： 答案
Ａ
若 ｆ ｘ 是整式 则 ｆ ｘ 的定义域是 Ｒ. 例2 已知函数 ｙ ｆ(ｘ )的定义域为[ ꎬ ]ꎬ
１) ( ) ꎬ ( ) ＝ －１ １ ３
若 ｆ ｘ 是分式 则要求分母不为零. 则函数 ｙ ｆ( ｘ)的定义域为 ( )
２) ( ) ꎬ ＝ ｌｏｇ３
若解析式为 ｙ ２ ｎ ｆ ｘ ｎ Ｎ ∗ 则要 [ ꎬ ] [ ꎬ ] [ ꎬ ] [ ꎬ ]
３) ＝ ( ) ( ∈ )ꎬ Ａ. ０ １ Ｂ. １ ９ Ｃ. ０ ２ Ｄ. ０ ９
求ｆ ｘ . 解析 由于函数 ｙ ｆ(ｘ )的定义域为[ ꎬ
( )≥０ ＝ －１ １
ｙ ｘ０ 的定义域是 ｘ ｘ . ]ꎬ则 ｘ ꎬ可得 ｘ ꎬ所以函数 ｙ
４) ＝ { ｜ ≠０} ３ １≤ ≤３ ０≤ －１≤２ ＝
ｆ(ｘ)的 定 义 域 为 [ ꎬ ]. 要 使 函 数 ｙ 可对变量赋值求出 ｆ ｘ .
０ ２ ＝ ( )
ｆ( ｘ)有意义ꎬ则 ｘ ꎬ即 例4 根据下列条件ꎬ求函数 ｆ(ｘ)的解析式.
ｌｏｇ３ ０≤ｌｏｇ３ ≤２ ｌｏｇ３１＝０≤
ｘ ꎬ则 ｘ ꎬ所以 ｙ ｆ( ｘ) ( )已知 ｆ(ｘ)是一次函数ꎬ且 ｆ(ｆ(ｘ)) ｘ ꎬ
ｌｏｇ３ ≤２＝ｌｏｇ３９ １≤ ≤９ ＝ ｌｏｇ３ １ ＝ ４ －１
的定义域为[ ꎬ ].故选 求 ｆ(ｘ)ꎻ
１ ９ Ｂ.
答案 ( )已知 ｆ(ｘ)是二次函数ꎬ且满足 ｆ( ) ꎬ
Ｂ ２ ０ ＝ １
例3 ( 湖北襄阳五中二模ꎬ )已知函数 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ) ｘꎬ求 ｆ(ｘ).
２０２１ １４ ＋１ － ＝ ２
æｘ２ ｘ ö 解析 ( )设 ｆ(ｘ) ａｘ ｂ(ａ )ꎬ则 ｆ(ｆ(ｘ))
ｙ ｆçç ＋２ －１÷÷的定义域是[ ꎬ )ꎬ则函数ｙ １ ＝ ＋ ≠０
＝ è ｘ２
＋
ｘ
－１
ø １ ＋∞ ＝ ｆ(ａｘ ｂ) ａ(ａｘ ｂ) ｂ ａ２ｘ ａｂ ｂ.
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
ｆ(ｘ)的定义域是 .
因为 ｆ(ｆ(ｘ)) ｘ ꎬ所以 ａ２ｘ ａｂ ｂ ｘ ꎬ
＝ ４ －１ ＋ ＋ ＝４ －１
解析 令 ｇ(ｘ) ＝ ｘ ｘ ２ ２ ＋ ＋ ２ ｘ ｘ － － １ １(ｘ ≥１ )ꎬ则 ｇ(ｘ) ＝ 所以 {ａ２ ＝４ ꎬ 解得 ì í ï ï ａ ＝２ ꎬ 或 {ａ ＝－２ ꎬ 所以
ａｂ ｂ ꎬ ïｂ １ ｂ ꎬ
ｘ２
＋
ｘ
－１＋
ｘ ｘ
１ (ｘ )ꎬ ｙ ＋ ＝－１ î
ï
＝－ ＝１
３
ｘ２ ｘ ＝１＋ｘ２ ｘ ＝１＋ ≥１ ∵
＋ －１ ＋ －１ ｘ １
－ｘ ＋１ ｆ(ｘ) ｘ １或 ｆ(ｘ) ｘ .
＝ ２ － ＝ －２ ＋１
３
ｘ １在[ ꎬ )上单调递增ꎬ ｘ １ ꎬ ( )设 ｆ(ｘ) ａｘ２ ｂｘ ｃ(ａ )ꎬ由 ｆ( ) ꎬ得 ｃ
＝ －ｘ １ ＋∞ ∴ － ｘ ≥０ ∴ ０ ２ ＝ ＋ ＋ ≠０ ０ ＝ １
ꎬ由 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ) ｘꎬ得 ａ(ｘ )２ ｂ(ｘ )
＝１ ＋１ － ＝ ２ ＋１ ＋ ＋１
１ ꎬ ｇ(ｘ) ꎬ ｆ(ｘ)的定义域
< ≤１ ∴ １< ≤２ ∴ ａｘ２ ｂｘ ｘꎬ整理ꎬ得 ａｘ ａ ｂ ｘꎬ则
ｘ １ ＋１－ － －１＝２ ２ ＋ ＋ ＝２
－ｘ ＋１ { ａ ꎬ {ａ ꎬ
２ ＝２ 解得 ＝１ 所以 ｆ(ｘ) ｘ２ ｘ .
为( ꎬ ].(ｇ(ｘ)的值域即为 ｆ(ｘ)的定义域) ａ ｂ ꎬ ｂ ꎬ ＝ － ＋１
１ ２ ＋ ＝０ ＝－１
答案 ( ꎬ ]
１ ２
名师点睛用待定系数法求函数的解析式的基本步骤
( )设:根据函数类型设出函数的解析式.( )列:由解
考法 二 函数解析式的求法 １ ２
析式恒成立ꎬ列出方程(方程组).( )解:解方程(方程
３
1. .
待定系数法 已知函数的类型 如一次函数
组).( )答:写出解析式.
( 、 ４
二次函数 比如二次函数可设为 ｆ ｘ ａｘ２
)ꎬ ( )＝ ＋
ｂｘ ｃ ａ 其中 ａ ｂ ｃ 是待定系数 根据题
＋ ( ≠０)ꎬ 、 、 ꎬ
设条件 列出方程组 解出待定系数即可.
ꎬ ꎬ
2. . 换元法已知 ｆ ｈ ｘ ｇ ｘ 求 ｆ ｘ 时 往
[ ( )] ＝ ( )ꎬ ( ) ꎬ
往可设ｈ ｘ ｔ 从中解出 ｘ 代入 ｇ ｘ 进行
( )＝ ꎬ ꎬ ( )
换元 便可求解.要注意新元的取值范围.
ꎬ
3. .
配凑法 已知 ｆ ｈ ｘ ｇ ｘ 求 ｆ ｘ 的问
[ ( )] ＝ ( )ꎬ ( )
题 往往把右边的 ｇ ｘ 整理或配凑成只含
5 ꎬ ( )
年
高 ｈ ｘ 的式子 用 ｘ 将 ｈ ｘ 代换. ( ) ꎬ ( )
考 4. .
3 解方程组法已知 ｆ ｘ 满足某个等式 这个等
年 ( ) ꎬ
模 式除 ｆ ｘ 是未知量外 还有其他未知量 如
拟 ( ) ꎬ ꎬ
æ ö
A
ｆç１ ÷ ｆ ｘ 等 必须根据已知等式构造其他
版 è ｘ øꎬ (－ ) ꎬ
高
等式组成方程组 通过解方程组求出 ｆ ｘ . 考
ꎬ ( )
数
5. .
学 赋值法ｆ ｘ 是关于 ｘ ｙ 两个变量的方程式
( ) ꎬ ꎬ
２３２
例5 根据下列条件ꎬ求函数 ｆ(ｘ)的解析式.
( )已知等式 ｆ(ｘ ｙ) ｆ(ｘ) ｙ( ｘ ｙ )对一
１ － ＝ － ２ － ＋１
切实数 ｘꎬｙ 都成立ꎬ且 ｆ( ) ꎻ
０ ＝ １
æ ö
( )已知 ｆ(ｘ) ｆç１ ÷ ｘ 对任意不为零的实
２ ２ ＋ è ｘ ø ＝３
数 ｘ 恒成立.
解析 ( )（赋值法）令 ｘ ｙꎬ则 ｆ( ) ｆ(ｘ)
１ ＝ ０ ＝ －
ｘ( ｘ ｘ )ꎬ又因为ｆ( ) ꎬ所以ｆ( ) ｆ(ｘ)
２ － ＋１ ０ ＝ １ ０ ＝ －
ｘ(ｘ ) ꎬ即 ｆ(ｘ) ｘ２ ｘ .
＋１ ＝ １ ＝ ＋ ＋１
æ ö
( )（解方程组法）用１ 替换 ｘ 得 ｆç１ ÷ ｆ(ｘ)
２ ｘ ２ è ｘ ø＋
ì æ ö
ï
ｆ(ｘ) ｆç１ ÷ ｘꎬ ï ï２ ＋ è ｘ ø ＝３
３ꎬ联立得í
＝ ｘ ï æ ö
ïｆ(ｘ) ｆç１ ÷ ３ꎬ
ï
î ＋２ è ｘ ø ＝ ｘ
答案 ( ꎬ ]
解得 ｆ(ｘ) ｘ １(ｘ ). １ ２
＝ ２ －ｘ ≠０
考法 四 函数单调性的判断及应用
考法 三 分段函数问题的解题策略
1.
判断函数单调性或求单调区间的方法
1. .
求函数值弄清自变量所在区间 然后代入对
定义法 一般步骤为取值 作差 变形 判
ꎬ
１) : — — —
应的解析式.求 层层套 的函数值 要从最内
断符号 得出结论.
“ ” ꎬ
—
层逐层往外计算.
图象法 若 ｆ ｘ 是以图象形式给出 或者
２) : ( ) ꎬ
2. .
求函数最值分别求出每个区间上的最值 然
ｆ ｘ 的图象易作出 则可由图象的上升或下
ꎬ
( ) ꎬ
后比较大小 从而得出最值.
降确定单调性.
ꎬ
3. .
解不等式 根据分段函数中自变量取值范围
导数法 先求导数 再利用导数值的正负确
３) : ꎬ
的界定 代入相应的解析式求解.
定函数的单调区间.
ꎬ
4. .
求参数分段处理 利用代入法列出各区间上
性质法 对于由基本初等函数的和 差构成
ꎬ
４) : 、
的方程或不等式 然后求解.
的函数 根据各基本初等函数的增减性及
ꎬ
ꎬ
例6 ( 江苏南通开学考ꎬ )若函数ｆ(ｘ)
增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增
２０２２ ５
“ ＋ ＝ ꎬ － ＝ ꎬ ＋ ＝ ꎬ － ＝
{( ａ )ｘ ａꎬｘ ꎬ
３ －１ ＋４ <１ 是定义在 Ｒ 上的减函 减 进行判断 函数的定义域相同 .
” ( )
＝ ａｘꎬｘ
－ ≥１ 复合法 对于复合函数 先将函数 ｆ ｇ ｘ 分
５) : ꎬ ( ( ))
数ꎬ则 ａ 的取值范围为 ( )
解成 ｆ ｔ 和 ｔ ｇ ｘ 然后讨论 判断 这两
( ) ＝ ( )ꎬ ( )
é ö æ ö
ê 个函数的单调性 再根据复合函数 同增异
１ꎬ１ ÷ ç ꎬ１ ÷
Ａ.ë ê ø Ｂ.è０ ø ꎬ “
８ ３ ３ 减 的法则进行判断.
é ö æ ù é ö ”
ê １ꎬ ÷ ç ꎬ１ ú ê １ꎬ ÷ 2. 函数单调性的应用
ê ú ê
Ｃ.ë ＋∞ø Ｄ.è－∞ û∪ë ＋∞ø
８ ８ ３
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量
解析 因为函数 ｆ(ｘ)是定义在 Ｒ 上的减函
的大小 求解或证明不等式 求参数的取值
ì ï ａ ꎬ ꎻ ꎻ
３ －１<０
ï 范围.
数ꎬ所以í ａ ꎬ 解得１ ａ １.故选
ï ï － <０ ８ ≤ < ３ Ａ. 例8 ( 福建龙岩重点高中月考ꎬ )已知
î ａ ａ ａꎬ ２０２２ １９
３ －１＋４ ≥－
ｘ ａ
答案 函数 ｆ(ｘ) ２ － 为奇函数.
Ａ ＝ ｘ
例7 ( 福建ꎬ ꎬ 分) 若函数 ｆ(ｘ) ２ ＋１
２０１５ １４ ４ ＝ ( )求实数 ａ 的值并证明 ｆ(ｘ)的单调性ꎻ
{ ｘ ꎬ ｘ ꎬ １
－ ＋６ ≤２ (ａ ꎬ且 ａ )的值域是[ ꎬ æ ö
ｘꎬ ｘ >０ ≠１ ４ ( )若实数 ｔ 满足不等式 ｆç １ ÷ ｆ( ) ꎬ求 ｔ
３＋ｌｏｇａ >２ ２ èｔ ø＋ －１ >０
－２
)ꎬ则实数 ａ 的取值范围是 .
＋∞ 的取值范围.
解析 当 ｘ 时ꎬ ｆ(ｘ) ｘ ꎬ ｆ(ｘ)在
≤２ ＝ － ＋６ ｘ ａ
解析 ( )因为 ｆ(ｘ) ２ － 是定义域为 Ｒ 的 专
( ꎬ ]上为减函数ꎬ ｆ(ｘ) [ ꎬ ).当 ｘ １ ＝ ｘ 题
－∞ ２ ∴ ∈ ４ ＋∞ > ２ ＋１ 三
２ 时ꎬ若 ａ ∈ ( ０ ꎬ １ )ꎬ则 ｆ(ｘ) ＝ ３＋ｌｏｇａ ｘ 在( ２ ꎬ － ｘ ａ ｘ ａ 函
奇函数ꎬ所以 ｆ( ｘ) ｆ(ｘ)ꎬ即２ － ２ － ꎬ
数
)上为减函数ꎬ ｆ(ｘ) ( ꎬ )ꎬ显然 － ＝ － ｘ ＝－ ｘ
＋∞ ∈ －∞ ３＋ｌｏｇａ２ ２ － ＋１ ２ ＋１ 的
概
不满足题意ꎬ ａ ꎬ此时 ｆ(ｘ)在( ꎬ )上为 所以 ｘ(ａ ) ａꎬ解得 ａ .所以 ｆ(ｘ) 念
∴ >１ ２ ＋∞ ２ －１ ＝ １－ ＝ １ 与
增函数ꎬｆ(ｘ) ( ꎬ )ꎬ由题意可知 ｘ 基
∈ ３＋ｌｏｇａ２ ＋∞ ２ －１. 本
( ꎬ ) [ ꎬ )ꎬ则 ꎬ即 ＝ ｘ 初
３＋ｌｏｇａ２ ＋∞ ⊆ ４ ＋∞ ３＋ｌｏｇａ２≥４ ２ ＋１ 等
函
ꎬ ａ . 证明:任取 ｘ ꎬｘ Ｒꎬｘ ｘ ꎬ则 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )
ｌｏｇａ２≥１ ∴ １< ≤２ １ ２∈ １< ２ １ － ２ ＝ 数
２３３
ｘ ｘ ( ｘ ｘ )
１ ２ １ ２
２ －１ ２ －１ ２ ２ －２ .
ｘ － ｘ ＝( ｘ )( ｘ ) １ ２ １ ２
２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１
因为 ｘ ｘ ꎬ所以 ｘ ｘ ꎬ所以 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ ) ꎬ
１ ２
１< ２ ２ <２ １ － ２ <０
即 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ ).所以 ｆ(ｘ)在定义域 Ｒ 上为增
１ < ２
函数.
( )由题意及( )得 ｙ ｆ(ｘ)是定义域为 Ｒ 的
２ １ ＝
奇函数和增函数.
æ ö ｔ
ｆç １ ÷ ｆ( ) ｆ( ) １ ３－ (ｔ
èｔ ø>－ －１ ＝ １ ⇒ｔ >１⇒ｔ >０⇒ －
－２ －２ －２
)(ｔ ) ｔ ꎬ所以 ｔ ( ꎬ ).
２ －３ <０⇒２< <３ ∈ ２ ３
名师点睛求解含“ｆ”的不等式的解题思路是先利用函
数的单调性将不等式转化为 ｆ[ｇ(ｘ)] ｆ[ｈ(ｘ)]的形
>
式ꎬ再根据函数的单调性去掉“ｆ”ꎬ得到一般的不等式
ｇ(ｘ) ｈ(ｘ)(或ｇ(ｘ) ｈ(ｘ))求解.
> <
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２３４
3. 常见的具有奇偶性的函数类型：
ａｘ
常见的奇函数 函数 ｆ ｘ ｍ ＋１ ｘ
１) :① ( )＝ ａｘ ( ≠
－１
ａｘ
或函数 ｆ ｘ ｍ －１
０) ( )＝ ａｘ ꎻ
＋１
函数 ｆ ｘ ａｘ ａ－ ｘ
② ( )＝ ±( － )ꎻ
ｘ ｍ æ ｍ ö
函数 ｆ ｘ ＋ ç ２ ÷或函数
③ ( )＝ ｌｏｇａ ｘ ｍ＝ｌｏｇａ è１＋ｘ ｍø
－ －
ｘ ｍ æ ｍ ö
ｆ ｘ － ç ２ ÷
( )＝ ｌｏｇａ ｘ ｍ＝ｌｏｇａ è１－ｘ ｍøꎻ
＋ ＋
函数 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 或函数 ｆ ｘ
④ ( )＝ ｌｏｇａ( ＋１ ＋ ) ( )＝
ｘ２ ｘ .
ｌｏｇａ( ＋１－ )
常见的偶函数 函数 ｆ ｘ ａｘ ａ－ ｘ
２) :① ( )＝ ±( ＋ )ꎻ
ｍｘ
函数 ｆ ｘ ａｍｘ .
② ( )＝ ｌｏｇａ( ＋１)－
考法 五 函数奇偶性的判断及应用 ２
以上各式中 ａ 且 ａ
1. ( >０ꎬ ≠１)
函数奇偶性的判断方法
例9 已知函数 ｆ(ｘ) ２ ｜ ｘ ｜＋１ ＋ ｘ３ ＋２的最大值为
定义法
＝ ｘ
１) ｜ ｜
２ ＋１
Ｍꎬ最小值为 ｍꎬ则 Ｍ ｍ 等于 ( )
＋
Ａ.０ Ｂ.２ Ｃ.４ Ｄ.８
解析 易知 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｒꎬ
( ｜ ｘ ｜ ) ｘ３ ｘ３
ｆ(ｘ) ２ ２ ＋１ ＋ ꎬ
＝ ｘ ＝２＋ ｘ
｜ ｜ ｜ ｜
２ ＋１ ２ ＋１
图象法 ｘ３
２) 设 ｇ(ｘ) (ｘ Ｒ)ꎬ则 ｇ( ｘ) ｇ(ｘ)ꎬ
＝ ｘ ∈ － ＝ －
｜ ｜
２ ＋１
ｇ(ｘ)为奇函数ꎬ ｇ(ｘ) ｇ(ｘ) . Ｍ
∴ ∴ ｍａｘ ＋ ｍｉｎ ＝０ ∵ ＝
ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ꎬｍ ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ꎬ
性质法 ｍａｘ
＝２＋
ｍａｘ
＝
ｍｉｎ
＝２＋
ｍｉｎ
３) Ｍ ｍ ｇ(ｘ) ｇ(ｘ) ꎬ故选 .
若 ｆ ｘ ｇ ｘ 在其公共定义域上具有奇偶 ∴ ＋ ＝２＋ ｍａｘ ＋２＋ ｍｉｎ ＝４ Ｃ
( )ꎬ ( ) 答案
性 则奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 Ｃ
ꎬ ＋ ＝ ꎬ × ＝ ꎬ ＋ ＝ ꎬ × 例10 判断下列函数的奇偶性
偶 偶 奇 偶 奇. :
＝ ꎬ × ＝
2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向： ｆ ｘ ｘ２ ｘ２
(１) ( )＝ ９－ ＋ －９ꎻ
求函数值或函数解析式 将所求值或解析式 ｘ
１) : ｆ ｘ ｘ １－
(２) ( )＝ ( ＋１) ｘꎻ
对应的自变量利用奇偶性转化到已知解析
１＋
式的区间 构造方程 组 . ｘ２
ꎬ ( ) ｆ ｘ ４－
求参数 由定义或定义的等价关系式 ｆ ｘ (３) ( )＝ ｘ ꎻ
２) : ( )＋ ｜ ＋３｜－３
ｆ ｘ 奇函数 与ｆ ｘ ｆ ｘ 偶函数 { ｘ２ ｘ ｘ
(－ )＝０( ) ( )－ (－ )＝ ０( ) ｆ ｘ － ＋２ ＋１ꎬ >０ꎬ
得到恒等式 再利用系数相等构造方程 组 . (４) ( )＝ ｘ２ ｘ ｘ .
ꎬ ( ) ＋２ －１ꎬ <０
{ ｘ２ ꎬ 2. 函数的对称性与周期性的关系
解析 ( )由 ９－ ≥０ 得 ｘ . ｆ(ｘ)的定
１ ｘ２ ＝±３ ∴ 若函数 ｙ ｆ ｘ 的图象有两条对称轴 ｘ ａ ｘ
－９≥０ １) ＝ ( ) ＝ ꎬ
义域为{ ꎬ }ꎬｆ(ｘ) .即 ｆ(ｘ) ｆ( ｘ). ｂ ａ ｂ 则函数 ｆ ｘ 是周期函数 且 Ｔ
－３ ３ ＝ ０ ＝ ± － ＝ ( < )ꎬ ( ) ꎬ ＝
ｆ(ｘ)既是奇函数ꎬ又是偶函数. ｂ ａ .
∴ ２( － )
ì ｘ 若函数 ｙ ｆ ｘ 的图象有两个对称中心 ａ
ï
ï１－ ꎬ ２) ＝ ( ) ( ꎬ
( )由í ｘ≥０ 得 ｘ . ｃ ｂ ｃ ａ ｂ 则函数 ｙ ｆ ｘ 是周期函
２ ï１＋ －１< ≤１ )ꎬ( ꎬ )( < )ꎬ ＝ ( )
ï
î ｘ 数 且 Ｔ ｂ ａ .
１＋ ≠０ ꎬ ＝２( － )
ｆ(ｘ)的定义域( ꎬ ]不关于原点对称ꎬ 若函数 ｙ ｆ ｘ 的图象有一条对称轴 ｘ ａ 和
∵ －１ １ ３) ＝ ( ) ＝
ｆ(ｘ)既不是奇函数ꎬ也不是偶函数.
一个对称中心 ｂ ａ ｂ 则函数 ｙ ｆ ｘ
∴ ( ꎬ０)( < )ꎬ ＝ ( )
{ ｘ２ ꎬ 是周期函数 且 Ｔ ｂ ａ .
( )由 ４－ ≥０ 得 ｘ 且 ｘ . ꎬ ＝４( － )
３ ｘ －２≤ ≤２ ≠０ 3. 对称性
｜ ＋３｜－３≠０
ｆ(ｘ)的定义域为[ ꎬ ) ( ꎬ ]ꎬ关于原点 若函数 ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ ａ 对称
∴ －２ ０ ∪ ０ ２ １) ＝ ( ) ＝ ꎬ
ｘ２ ｘ２ 则ｆ ａ ｘ ｆ ａ ｘ .
对称.此时ꎬ有 ｆ(ｘ) ４－ ４－ ꎬ ( ＋ )＝ ( － )
＝ (ｘ ) ＝ ｘ 若函数 ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 ａ ｂ 对称 则
＋３ －３ ２) ＝ ( ) ( ꎬ ) ꎬ
ｆ( ｘ) ｆ(ｘ)ꎬ ｆ(ｘ)是奇函数. ｆ ａ ｘ ｆ ａ ｘ ｂ.
∴ － ＝ － ∴ ( ＋ )＋ ( － )＝ ２
( )当 ｘ 时ꎬｆ(ｘ) ｘ２ ｘ ꎬ此时 ｘ ꎬ因 例11 ( 课标 ꎬ ꎬ 分)已知 ｆ(ｘ)是定
４ >０ ＝ － ＋２ ＋１ － <０ ２０１８ Ⅱ １２ ５
此 ｆ( ｘ) ( ｘ)２ ( ｘ) ｘ２ ｘ 义域为( ꎬ )的奇函数ꎬ满足 ｆ( ｘ)
－ ＝ － ＋２ － －１ ＝ －２ －１ ＝
－∞ ＋∞ １－ ＝
ｆ(ｘ)ꎻ ｆ( ｘ).若 ｆ( ) ꎬ则 ｆ( ) ｆ( ) ｆ( )
－
１＋ １ ＝ ２ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ＋
当 ｘ 时ꎬｆ(ｘ) ｘ２ ｘ ꎬ此时 ｘ ꎬ因此
ｆ( ) ( )
<０ ＝ ＋２ －１ － >０ ５０ ＝
ｆ( ｘ) ( ｘ)２ ( ｘ) ｘ２ ｘ
－ ＝ － － ＋２ － ＋１ ＝ － －２ ＋１ ＝
Ａ.－５０ Ｂ.０ Ｃ.２ Ｄ.５０
ｆ(ｘ)ꎬ所以 ｆ(ｘ)为奇函数.
解析 ｆ(ｘ)是定义域为 Ｒ 的奇函数ꎬ
－
∵
ｆ( ) ꎬ且 ｆ( ｘ) ｆ(ｘ)ꎬ
考法 六 函数周期性的判断及应用 ∴ ０ ＝ ０ － ＝ － ①
又 ｆ( ｘ) ｆ( ｘ)ꎬ ｆ( ｘ) ｆ( ｘ)ꎬ
1. ∵ １－ ＝ １＋ ∴ － ＝ ２＋ ②
关于函数周期性的几个常用结论
由 得 ｆ( ｘ) ｆ(ｘ)ꎬ
①② ２＋ ＝ －
若 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ｂ ａ ｂ 则 ｆ ｘ 的周期是
１) ( ＋ )＝ ( ＋ )( ≠ )ꎬ ( ) ｆ( ｘ) ｆ( ｘ)ꎬ
∴ ４＋ ＝ － ２＋
Ｔ ａ ｂ .
＝ ｜ － ｜ ｆ(ｘ) ｆ(ｘ )ꎬ ｆ(ｘ)的最小正周期为 ꎬ
∴ ＝ ＋４ ∴ ４
若 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则 ｆ ｘ 的周期是 Ｔ
２) ( ＋ )＝ － ( )ꎬ ( ) ＝ 对于ｆ( ｘ) ｆ( ｘ)ꎬ令ｘ ꎬ得ｆ( ) ｆ( )
１＋ ＝ １－ ＝１ ２ ＝ ０ ＝
ａ .
２｜ ｜ ꎻ令 ｘ ꎬ得 ｆ( ) ｆ( ) ｆ( ) ꎻ令 ｘ
０ ＝２ ３ ＝ －１ ＝ － １ ＝ －２ ＝
若 ｆ ｘ ａ １ 或 ｆ ｘ ａ １ 其中 ꎬ得 ｆ( ) ｆ( ) ｆ( ) .故 ｆ( ) ｆ( )
３) ( ＋ )＝ ｆ ｘ ( ＋ )＝ －ｆ ｘ ꎬ ３ ４ ＝ －２ ＝ － ２ ＝ ０ １ ＋ ２ ＋
( ) ( ) ｆ( ) ｆ( ) ꎬ ｆ( ) ｆ( ) ｆ( )
ｆ ｘ 则ｆ ｘ 的周期是 Ｔ ａ . ３ ＋ ４ ＝ ２＋０－２＋０＝０ ∴ １ ＋ ２ ＋ ３
( )≠０ꎬ ( ) ＝２｜ ｜ ｆ( ) ｆ( ) ｆ( ) .故 专
设 ｆ ｘ 是 Ｒ 上的偶函数 且图象关于直线 ｘ ＋ ＋ ５０ ＝ １２×０＋ １ ＋ ２ ＝ ０＋２＋０＝２ 题
４) ( ) ꎬ 选 . 三
ａ ａ 对称 则 ｆ ｘ 是周期函数 ａ 是 Ｃ
＝ ( ≠０) ꎬ ( ) ꎬ２｜ ｜ 答案 函
数
它的一个周期. Ｃ
的
概
设 ｆ ｘ 是 Ｒ 上的奇函数 且图象关于直线 ｘ 念
５) ( ) ꎬ 与
ａ ａ 对称 则 ｆ ｘ 是周期函数 ａ 是 基
＝ ( ≠０) ꎬ ( ) ꎬ４｜ ｜ 本
初
它的一个周期.
等
函
数
２３５
名师点睛 抽象函数图象的对称性与周期性的判断
如下:
若ｆ(ｘ ａ) ｆ( ｘ ｂ)ꎬ则函数 ｙ ｆ(ｘ)的图象关于直线
＋ ＝ － ＋ ＝
ａ ｂ
ｘ ＋ 对称ꎻ
＝
２
若ｆ(ｘ ａ) ｆ( ｘ ｂ) ꎬ则函数ｙ ｆ(ｘ)的图象关于点
＋ ＋ － ＋ ＝ ０ ＝
æａ ｂ ö
ç ＋ ꎬ ÷中心对称.
è ０ø
２
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２３６
