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专题十一 概率与统计
11.1 随机事件、古典概型
基础篇
考点 一 随机事件的概率 性质 对任意的事件 Ａ 都有 Ｐ Ａ .
１: ꎬ ( )≥０
性质 必然事件的概率为 不可能事件的
1.
随机事件的频率与概率 ２: １ꎬ
概率为 即 Ｐ Ω Ｐ .
频数与频率 在相同的条件 Ｓ 下进行 ｎ 次试 ０ꎬ ( )＝ １ꎬ (⌀)＝ ０
１) :
性质 如果事件 Ａ 与事件 Ｂ 互斥 那么
验 观察某一事件Ａ 是否出现 称ｎ 次试验中 ３: ꎬ
ꎬ ꎬ
Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ .
事件Ａ 出现的次数ｎ 为事件Ａ 出现的频数 ( ∪ )＝ ( )＋ ( )
Ａ ꎬ
性质 如果事件 Ａ 与事件 Ｂ 互为对立事件
ｎ ４: ꎬ
Ａ
称事件 Ａ 出现的比例 ｆ Ａ 为事件 Ａ 出
ｎ( )＝ ｎ 那么 Ｐ ( Ｂ )＝ １－ Ｐ ( Ａ )ꎬ Ｐ ( Ａ )＝ １－ Ｐ ( Ｂ ) .
性质 如果 Ａ Ｂ 那么 Ｐ Ａ Ｐ Ｂ .
现的频率.
５: ⊆ ꎬ ( )≤ ( )
性质 设 Ａ Ｂ 是一个随机试验中的两个事
概率 对随机事件发生可能性大小的度量
６: ꎬ
２) :
件 则 Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ .
数值 称为事件的概率 事件 Ａ 的概率用 ꎬ ( ∪ )＝ ( )＋ ( )－ ( ∩ )
( ) ꎬ
Ｐ Ａ 表示.
( ) 考点 二 古典概型
2.
互斥事件与对立事件
1.
古典概型的特征
名称 定义 符号表示
有限性 样本空间的样本点只有有限个
１) : ꎻ
若 Ａ Ｂ 为不可能事件ꎬ那
互斥事件 ∩ Ａ Ｂ 等可能性 每个样本点发生的可能性相等.
么称事件Ａ与事件Ｂ互斥 ∩ ＝⌀ ２) :
ｋ ｎ Ａ
2.
计算公式：Ｐ Ａ ( ) 其中 ｎ Ａ 和
若Ａ Ｂ为不可能事件ꎬＡ Ａ Ｂ ( )＝ ｎ ＝ｎ Ω ꎬ ( )
∩ ∪ ∩ ＝⌀ ( )
对立事件 Ｂ 为必然事件ꎬ那么称事件 且Ａ Ｂ Ω
∪ ＝ ｎ Ω 分别表示事件 Ａ 和样本空间 Ω 包含的
( )
Ａ与事件Ｂ互为对立事件 (Ω为全集)
样本点个数.
3.
概率的基本性质
专
题
十
一
概
率
与
统
计
３２３
综合篇
考法 古典概型概率的求法 列表法 此法适用于从多个元素中选定两个
２) :
1. 元素的试验 也可看成坐标法.
求解古典概型概率的“四步”法 ꎬ
画树状图法 此法适用于有顺序的问题及较
３) :
复杂问题中样本点个数的探求.
运用排列 组合知识计算.
４) 、
例 ( 届河北邯郸摸底ꎬ )从正方体的
２０２３ ８ ８
个顶点和中心中任选 个ꎬ则这 个点恰好构
2. ４ ４
样本点个数的确定方法
成三棱锥的概率为 ( )
列举法 此法适用于样本点较少的古典概型.
１) :
在同一个平面的有
４１ ３８ ６＋６＝
Ａ. Ｂ. 个结果ꎬ构成三棱锥
６３ ６３
１２
的有 个结果ꎻ
２ ５
７０－１２＝５８
Ｃ. Ｄ.
３ ７ 从正方体的 个顶点
② ８
解析 从正方体的 个顶点和中心中任取
８ ４ 中任取 个ꎬ共有 ３
个ꎬ有
４
个结果ꎬ 个点恰好构成三棱锥
３ Ｃ８ ＝５６
Ｃ９ ＝１２６ ４ 个结果ꎬ其中所取 点与
３
分两种情况:
中心共面ꎬ则这 个点在同一对角面上ꎬ共有
４
从正方体的 个顶点中取 个点ꎬ共有
４
① ８ ４ Ｃ８ ＝ ３ 个结果ꎬ因此ꎬ所选 点与中心构成三
个结果ꎬ其中四点共面有两种类型:一是四
６Ｃ４ ＝２４ ３
７０ 棱锥的有 个结果.
５６－２４＝３２
点构成侧面或底面ꎬ有 种情况ꎻ二是四点构成
６ 故从正方体的 个顶点和中心中任选 个ꎬ则
８ ４
对角面(如平面ＡＡ Ｃ Ｃ)ꎬ有 种情况ꎬ
１ １ ６ 这 个点恰好构成三棱锥的个数为
４ ５８＋３２＝
ꎬ故所求概率 Ｐ ９０ ５.故选 .
９０ ＝ ＝ Ｄ
１２６ ７
答案
Ｄ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３２４
