北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.4 二次函数与幂函数
五年高考
1.(2014北京文,8,5分,中)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系
p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,
可以得到最佳加工时间为 ( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
答案 B
2.(2024北京,10,4分,难)已知M={(x,y)|y=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的
点集.设d是M中两点间的距离的最大值,S是M表示的图形的面积,则 ( )
A.d=3,S<1
B.d=3,S>1
C.d=√10,S<1
D.d=√10,S>1
答案 C
3.(2017北京文,11,5分,易)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 .
[1 ]
答案 ,1
2
三年模拟
基础强化练
1.(2025届延庆月考,5)若0<a<1,则 ( )
1 1
A. a3<a2 B.2a<3a
1 1
C.log >loga D.sin a>cos a
a2 3
答案 B
1 1
2.(2025届北京十五中开学测试,9)设a=t- ,b=t+ ,c=t(2+t),其中-1<t<0,则( )
t t北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a
答案 C
1
3.(2023北师大附中练习,5)已知函数f(x)=ax-2- (a>0,且a≠1),无论a取何值,f(x)图象恒
2
过定点P.若点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象大致是 ( )
A B
C D
答案 A
4.(2024北京交大附中诊断练习,9)已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任意
的实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(0,8)
C.(2,8) D.(-∞,0)
答案 B
{ x−1,x>a,
5.(2024北大附中练习,10)已知函数f(x)= 若f(x)有且只有1个极值
ax2+2x−3,x≤a,
点,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0) B.(0,1]
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
答案 C
(1)
6.(2024农大附中月考,12)幂函数的图象经过点(4,2),那么f 的值是 .
8
√2
答案
4
7.(2025届人大附中统练1,12)已知方程x2+(2m-1)x+4-2m=0的两根一个比2大,另一个比
2小,则实数m的取值范围是 .
答案 (-∞,-3)
{ mx2+1,x≥0,
8.(2025届北京市日坛中学开学测试,14)已知函数f(x)= 在(-∞,+∞)上
(m2−1)·2x,x<0
具有单调性,则实数m的取值范围是 .
答案 (1,√2]北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.(2025届房山良乡中学第一次月考,16)已知函数f(x)=x2+2(m-1)x+2.
(1)若m=2,求x∈[-2,3]时,函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)的单调递增区间为[4,+∞),求实数m的值;
(3)若函数f(x)在区间[4,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围;
(4)若函数f(x)有两个零点,求实数m的取值范围.
解析 (1)当m=2时,f(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1,x∈[-2,3],
函数在[-2,-1)上单调递减,在[-1,3]上单调递增,
则f(x) =f(-1)=1,f(x) =f(3)=17.
min max
所以函数f(x)的值域为[1,17].
(2)因为函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=1-m,
又f(x)的单调递增区间为[4,+∞),所以1-m=4,所以m=-3.
(3)因为函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=1-m,
函数在区间[4,+∞)上单调递增,所以1-m≤4,所以m≥-3.
(4)函数f(x)=x2+2(m-1)x+2有两个零点,则方程x2+2(m-1)x+2=0有两个不同的实数根,
所以Δ=4(m-1)2-4×1×2>0,化简得|m-1|>√2,解得m>1+√2或m<1−√2.
能力拔高练
1.(2025届人大附中朝阳学校月考,10)定义满足方程f'(x)+f(x)=1的解x 叫做函数f(x)的
0
“自足点”,则下列函数不存在“自足点”的是 ( )
1
A.f(x)=x2-3x B.f(x)=x+
x
C.f(x)=ln x D.f(x)=ex-sin x+3
答案 D
2.(2025届清华附中朝阳、望京学校开学考试,9)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3.若存在
[ 9]
x ,x ,…,x ∈ 0, ,使得f(x )+f(x )+…+f(x )+g(x )=g(x )+g(x )+…+g(x )+f(x ),则
1 2 n 2 1 2 n-1 n 1 2 n-1 n
n的最大值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
{ 1 1 1 }
3.(2025届北京东方红学校开学测试,10)已知集合A= −4,−3,−2, , , ,2,3 ,若
2 3 4
a,b,c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax,对数函数y=log x,幂函数y=xc中至少有两
b
个函数在(0,+∞)上单调递减的有序数对(a,b,c)的个数是 ( )
A.36 B.42
C.72 D.84北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 C
4.(2024北京交大附中诊断练习,10)已知函数f(x)=
{ 2x−1,x<a, 1 1 3
如果函数f(x)满足对任意x1∈(−∞,a),都存在x2∈(a,+∞),使得f(x2)=f(x1),则称实数a为函数f(x)的包容数.在①− ;② ;③1;④√2;⑤
−x2+2a,x≥a, 2 2 2
中,函数f(x)的包容数是 ( )
A.①③ B.②③
C.②③④ D.②④⑤
答案 B
5.(2024北大附中练习,13)能说明“若f(x)+g(x)是R上的减函数,则f(x),g(x)至少一个
是R上的减函数”为假命题的一组函数是f(x)= ,g(x)= .
答案 x2-4x;-x2+2x(答案不唯一)
{x2−3x+2a,x≤1,
6.(2024北师大二附中月考,14)已知a∈R,设函数f(x)= 若关于x的不
x−alnx,x>1,
等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围是 .
答案 [1,e]
7.(2025届北京四中期中,13)已知幂函数y=xα的图象经过
A(0,0),B(1,1),C(-1,1),D(4,2)中的三个点,则满足条件的一个α的值为 .
1 {1}
答案 取集合{α|α=2k,k∈N*}∪ 中的任意一个元素均可
2 2
8.(2025届人大附中统练1,14)已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,
则t= .
答案 1
9.(2025届海淀月考,15)对于函数y=f(x),若在其定义域内存在x ,使得x f(x )=1成立,则
0 0 0
称函数f(x)具有性质P.
(1)下列函数中具有性质P的有 .
①f(x)=-2x+2√2
②f(x)=sin x(x∈[0,2π])
1
③f(x)=x+ (x∈(0,+∞))
x
④f(x)=ln(x+1)
(2)若函数f(x)=aln x具有性质P,则实数a的取值范围是 .
答案 (1)①②④ (2){a|a≤-e或a>0}
10.(2025届人大附中统练1,16)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件
f(x-1)=f(3-x),且方程f(x)=2x有相等的根.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存
在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由.
解析 (1)∵方程ax2+bx=2x,即ax2+(b-2)x=0有相等的根,
∴Δ=(b-2)2=0,得b=2.
由f(x-1)=f(3-x)知,
b
f(x)图象的对称轴为x=- =1,得a=-1,
2a
∴f(x)=-x2+2x.
1
(2)由(1)知f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,即n≤ ,
4
而抛物线f(x)=-x2+2x的对称轴为x=1,
1
∴n≤ 时,f(x)在[m,n]上单调递增,
4
{f(m)=4m,
若满足题设条件的m,n存在,则
f(n)=4n,
{−m2+2m=4m, {m=0或m=−2,
即 解得
−n2+2n=4n, n=0或n=−2,
1
又m<n≤ ,∴m=-2,n=0,
4
这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0].
由以上知满足条件的m、n存在,且m=-2,n=0.
11.(2025届理工大附中开学测试,17)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范
围.
解析 (1)由二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3,得函数f(x)的对称轴方程为x=1,
由函数f(x)的最小值为1,设f(x)=a(x-1)2+1(a≠0)(二次函数的顶点式),
又因为f(0)=3,得f(x)=a+1=3,解得a=2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)由(1)知f(x)=2(x-1)2+1,其对称轴方程为x=1,
要使函数f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,需3a<1<a+1,
1 ( 1)
解得0<a< ,即实数a的取值范围为 0, .
3 3
(3)由(1)知函数f(x)=2x2-4x+3,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
若在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,则2x2-4x+3>2x+2m+1在
区间[-3,-1]上恒成立,
即m<x2-3x+1(分离参数)在区间[-3,-1]上恒成立,
3
设g(x)=x2-3x+1(构造函数),其对称轴方程为x= ,则g(x)在x∈[-3,-1]上单调递减,
2
所以函数g(x)的最小值为g(-1)=5,则m<5,
所以实数m的取值范围为(-∞,5).
12.(2024农大附中月考,19)已知函数f(x)=x-2,g(x)=x2-mx+4(m∈R).
(1)当m=4时,求不等式g(x)>f(x)的解集;
(2)若对任意x∈R,不等式g(x)>f(x)恒成立,求m的取值范围;
(3)若对任意x ∈[1,2],存在x ∈[4,5],使得g(x )=f(x ),求m的取值范围.
1 2 1 2
解析 (1)当m=4时,由x2-4x+4>x-2,得x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.
所以不等式g(x)>f(x)的解集为{x|x<2或x>3}.
(2)由g(x)>f(x),得x2-mx+4>x-2,
即不等式x2-(m+1)x+6>0的解集是R.
所以Δ=(m+1)2-24<0,解得-2√6−1<m<2√6-1.
所以m的取值范围是(-2√6−1,2√6-1).
(3)当x ∈[4,5]时,f(x )=x -2∈[2,3].
2 2 2
( m) 2 m2
g(x)=x2-mx+4= x− +4− .
2 4
m
①当 ≥2,即m≥4时,
2
x ∈[1,2],g(x )∈[8-2m,5-m] [2,3].
1 1
∀ { m≥4, ⊆
所以 8−2m≥2,此不等式组无解.
5−m≤3,
3 m
②当 < <2,即3<m<4时,
2 2
[ m2 ]
x ∈[1,2],g(x )∈ 4− ,5−m ⊆[2,3].
1 1 4
∀
3<m<4,
{
m2
所以 4− ≥2,此不等式组无解.
4
5−m≤3,
m 3
③当1< ≤ ,即2<m≤3时,
2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
[ m2 ]
x ∈[1,2],g(x )∈ 4− ,8−2m ⊆[2,3].
1 1 4
∀
2<m≤3,
{
m2 5
所以 4− ≥2,解得 ≤m≤2√2.
4 2
8−2m≤3,
m
④当 ≤1,即m≤2时,
2
x ∈[1,2],g(x )∈[5-m,8-2m] [2,3].
1 1
∀ { m≤2, ⊆
所以 5−m≥2, 此不等式组无解.
8−2m≤3,
[5 ]
综上,实数m的取值范围是 ,2√2 .
2
