热点2-1函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习

热点 2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调 性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题 部分，一般与导数结合，考查难度较大。 【题型1 判断函数的单调性】 满分技巧 判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断 单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。 【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间 上是增 函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A， ，故 不是偶函数，不符题意； 对于B，因为幂函数满足 ， 且其定义域为 关于原点对称，所以 是偶函数，且 ， 所以 在区间 上是增函数，符合题意；对于C， ，故 不是偶函数，不符题意； 对于D， ， 所以 在区间 上不是增函数，不符题意.故选：B. 【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，函数 满足 ，且 ， 在 单调递减，则（ ） A． 在 单调递减 B． 在 单调递减 C． 在 单调递减 D． 在 单调递减 【答案】C 【解析】由题意知 在 单调递增， 为奇函数，在 上单调递减. 设 ，则 ， ， 所以 在 单调递增，故A错误， 设 ，则 ， ， 在 单调递增，故B错误； 设 ，则 ， ， 所以 在 单调递减，故C正确； 取 ，则 ， ， ， 此时 在 不单调递减，故D错误.故选:C. 【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数 在区间 上单调递减，则 函数 的单调增区间是 ． 【答案】 【解析】因为偶函数 在区间 上单调递减， 所以 在区间 上单调递增， 又因为 ， 则函数 的图象是由函数 的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数 的单调增区间是 ．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R，对任意 ， 且 ，都有 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是增函数 B． 是减函数 C． 是增函数 D． 是减函数 【答案】A 【解析】不妨令 ， ， 令 ， ， 又 ，∴ 是增函数．故选:A. 【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数 在定义域中满足 ，且在 上单调递减，则 可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数 的定义域是 ， ，A不是； 对于B，函数 的定义域是R，而 在 上单调递增，B不是； 对于C，函数 的定义域是R， ， ， ， 因 ，则 ，有 ，即有 ， 因此 ， 在 上单调递减，C正确； 对于D，函数 的定义域是 ， ，D不是.故选：C 【题型2 利用函数的单调性求参数】 满分技巧 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数 在 上是减函数的一个充分不必要 条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 在 上是减函数，只需要 即可， 若 ，则 ，成立； 若 ，则 是二次函数，由二次函数的性质可得， 时 恒成立. 若 ，当 和 时， ，故不成立. 所以，当 时， ，而 是 的充分不必要条件.故选：A. 【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数 在区间 上单调递减” 成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． 1 C． D． 0 【答案】D 【解析】由于函数 在 上单调递减， 函数 在区间 上单调递减， 所以函数 在 上单调递增，则 ，解得 ， 所以函数 在区间 上单调递减的充要条件为 ， 那么其成立的一个充分不必要条件可以是 .故选：D. 【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，则 即为 ， 而 图像的对称轴为 ，故 在 上单调递增， 则 ，即 的增区间为 ， 而函数 在 上单调递增，故 ， 即实数 的取值范围为 ，故选：B【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若 ，都有 成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对于 ，都有 成立，所以函数 是增函数， 则函数 和 均为增函数，且有 ， 即 ，解得 ，故选：C. 【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知 是R上的单调递减函数， 则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可得 ，解得 . 【题型3 函数的奇偶性及应用】 满分技巧 1、常见的奇函数与偶函数 （1） （ ）为偶函数； （2） （ ）为奇函数； （3） （ ）为奇函数； （4） （ ）为奇函数； （5） （ ）为奇函数；（6） 为偶函数； （7） 为奇函数； 2、函数奇偶性的应用 （1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解； （2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； （3）求参数：利用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等 性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。 【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 ，下列函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于 ，定义域为 故 ，定义域为 ， ， 即 不是奇函数，A错误； ，定义域为 ，不关于原点对称， 即 不是奇函数，B错误； ，定义域为 ，不关于原点对称， 即 不是奇函数，C错误； ，定义域为 ， ， 即 为奇函数，D正确，故选：D 【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数 为奇函数，则实数 的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】函数 有意义，有 ，解得 或 ，则函数 的定义域为 ， ，所以函数 为奇函数， 又 为奇函数，则 为偶函数， 有 ，即 ，解得 .故选：B. 【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数 ，若 为奇函数，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得当 时， ， 因为 为 上的奇函数， 所以 ，所以 ， ， 所以 （舍去），或 ， 因为 ，所以 .故选：A. 【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知 为奇函数， 为偶函数，且满 足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， 为奇函数， 为偶函数， 则 ， 所以 ，即 ，解得 .故选：B 【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数 ，则 （ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】因为 ，又因为 为奇函数，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故选：A 【题型4 奇函数+常数求值】 满分技巧 已知 为奇函数，则 ， 设 （其中 为常数），则 ， 【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数 ，且 ，则 的值为 . 【答案】0 【解析】令 ， 定义域为 或 且 ，关于原点对称， 则 ，故 为奇函数， 又 ，故 ，解得 . 【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数 为奇函数，且 ，若 ，则 ． 【答案】 【解析】因为函数 为奇函数， 所以 ， 所以 ，即 ，解得： 或 （舍去），故 ， 因为 ， ， 则 所以 ，又 ，所以 .【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数 的最大值为 ，最小值为 ，若 ，则 ． 【答案】 【解析】因为 ， 设 ，则 ， 设 ，则 ， 所以 是 上的奇函数，最大值为 ，最小值为 ， 所以 ， 由 ，得 . 【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数 在 上 的最大值和最小值分别为M，N，则 （ ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【解析】令 ，所以 最大值和最小值分别为 ， 又 ，故 为奇函数， 故 的图象关于原点对称，故 ,故选：D 【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数 的最大值和 最小值之和为4，则 ． 【答案】2 【解析】当 时， ，当 或 时， ， 所以 的定义域为 . 又 ， 设 ，则 ， ∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则 ， 则 的最大数值为 ，最小值为 ，∴ 的最大值与最小值之和为 ，得 ． 【题型5 函数的周期性及应用】 满分技巧 a （ 是不为0的常数） f xa f x f xa f xa T a T 2a （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； 1 f xa f xaf x f x T 2a T 2a （3）若 ，则 ； （4）若 ，则 ； 1 f xa f x f xa f xb T  ab T 2a a b （5）若 ，则 ； （6）若 ，则 （ ）； 【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数 是定义域为 上的奇函数，满足 ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】因为函数 是定义域为 上的奇函数，则 ，即 ， 由 ，得 ， 因此 ，即 ，则 ， 于是函数 是以4为周期的周期函数， 由 ，得 ，由 ，得 ， ， 从而 ， 所以 .故选：A 【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足 ， 当 时， ，则 （ ） A．0 B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为 在 上的奇函数，且 ， 所以 ，即 ， 所以 ，则 的周期为 ， 所以 ，故选：A【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函 数，若 ，则 ． 【答案】5 【解析】由 为奇函数， 可得 ，则 的图象关于点 对称， 又 的定义域为 ，则有 ． 由 为偶函数得 ， 则 的图象关于直线 对称，则 ， 从而 ，则 ，则 ， 故 是周期为4的偶函数，所以 ． 而 ， 所以 ， ，故 . 【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数 满足 ， ，则 . 【答案】 【解析】奇函数 满足 ，则 ， ， 故 ，函数周期为 ， . 【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的奇函数 满足 ，当 时， ，则 . 【答案】 【解析】当 时，由 可得 ， 则 ， 是周期为 的周期函数. 因为 ， ， 所以 ，得 ， ，故 ， ， 故 . 【题型6 函数的对称性及应用】 满分技巧 1、关于线对称：若函数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别 地，当a＝b＝0时，函数 关于y轴对称，此时函数 是偶函数． f 2ax2b f x 2、关于点对称：若函数 满足 ，则函数 关于点(a，b)对称，特别 地，当a＝0，b＝0时， ，则函数 关于原点对称，此时函数 是奇函数． 【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 的图象的对称轴是（ ） A． 轴 B． 轴 C．直线 D．不能确定 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 所以 为偶函数，所以 的图象的对称轴为 轴．故选：B 【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则函数 在区间 上所有零 点之和为（ ） A．16 B．32 C．36 D．48 【答案】B 【解析】依题意函数 为定义在 上的奇函数，所以 ， 又 ，所以函数 关于 轴对称，且 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以函数 是周期为4的周期函数， 且函数 的图象关于 中心对称； 令 ，得 ， 由反比例函数性质知函数 的图象关于 中心对称， 又当 时， ，结合对称性和周期性作出函数 和 的图象，如图所示， 由图可知，函数 和 的图象有8个交点，且交点关于 中心对称， 所以函数 在区间 上所有零点之和为 .故选：B 【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数 ，则方程 在区间 上的所有实根之和为（ ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【解析】由题意得， ， ， 所以 的图象关于 对称； 当 时， ； 当 时，令 可得 ， 时， ， 时， ， 在同一直角坐标系中画出 ， 在 上有且仅有3个交点， 所以所有的实根之和为 ，故选：C. 【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由 ， 记 ， ， 则 ， ， 且 单调递增， 单调递增， 则 与 都关于 中心对称且为 上的增函数, 所以 ， 故 关于 中心对称且为 上增函数， 则由 ，得 ，可得 ， 记 ，则 ， 可得 ，当且仅当 ，即 取等号， 故 的最大值为 .故选：C． 【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数 与函数 的图象 交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为 ，则实数 . 【答案】 【解析】不妨记 ， ， 函数 ，与 是奇函数且关于坐标原点对称， 所以 两个函数均是以点 为对称中心的函数， 所以三个交点其中一个必是点 ，另外两个点关于点 对称， 不妨记 ，设 ， 所以 ，即 ，解得 或 ， . 【题型7 利用函数的性质比较大小】 【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，即 ， 由于函数 是偶函数，在区间 上单调递减， 所以在 上单调递增，则 ，故选：B 【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知 ， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 则函数 定义域为 ， 且满足 ， 即 ，所以函数 为奇函数， 又由函数 ， 都是 上单调递增函数，所以 在 单调递增， 因为 且 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 ， 因为 在 单调递增，所以 ．故选：A． 【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．若 为偶函数， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 为偶函数，则 ，可知 的对称轴为 ，又因为 均只有一条对称轴 ， 可知 只有一条对称轴 ，则 ，可得 ， 所以 ， 当 时， ， 因为 在 上为增函数，则 在 上为增函数， 令 ，则 ， 当 时， ，则 在 上单调递增， 可得 ，即 ，则 ； 由 ，可得 ， 则 ；即 ，可得 ，所以 ．故选：A． 【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知 ， ， ， ， 则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 在 内单调递增，则 ，即 ； 在 内单调递增，则 ，即 ； 在 内单调递减，则 ，所以 ； 综上所述： . 又因为 在 内单调递增，所以 .故选：A. 【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知 是定义域为 的单调函数， 且 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知 ，令 ， 又因为 是定义域为 的单调函数．所以存在唯一 ，使 ，即 ， 所以 ，解得 ，所以 . 如图所示作出 与 的图象， 因为它们互为反函数，则图象关于直线 对称， 由 ，在图中作直线 ， 则与 的交点的横坐标依次为 ，可得 ， 又因为 是单调递增的， 所以 ，故选：C. 【题型8 利用函数的性质解不等式】 满分技巧 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 或 的形式， 再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反， 列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。 【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知 是偶函数， ，且当 时， 单调递 增，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，当 时， ，当 时， ， 当 或 时， ， 当 时， ，则 ， 由已知可得 ，解得 ，又 ，所以 ； 当 时， ，则 ， 由已知可得 或 ，解得 或 ， 又 ，所以 .综上，可得不等式 的解集为 .故选：A 【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数 ，则 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 的定义域为 ，且 ， 所以 为偶函数， 又当 ， 由于函数 均为单调递增函数， 所以 在 上单调递增， 又 ， ．故选：A． 【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，对任意正数 ， ，都有 ，且 ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则 ，即 ， 令 ， ，则 ，又 ，则 ， 不妨取任意正数 ， ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 在区间 上单调递增， 又 是定义在 上的奇函数，故 在区间 上单调递增， 令 ，则 ，令 ， ，则 ，∴ ， 又因为 ，即 ，由 和 ， 结合函数单调性可以得到 或 ，故选：B. 【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ， 恒成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题易知， 的定义域为R， 因为 ， 所以 为奇函数. 又 ， 函数 在 上单调递减， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减. 若对任意的 ， 恒成立，即 ， 又 为奇函数，得 ， 因为 在 上单调递减，所以 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立. 当 时， 不恒成立，不符合题意； 当 时，有 ，解得 . 综上，a的取值范围为 . 【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集 为 ．【答案】 【解析】由题可得，当 时， ， ， 当 时， ，所以函数 为偶函数． 当 时， ，此时 恒成立， 所以函数 在 上单调递增， 由 为偶函数可得，函数 在 上单调递减． 又因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ，即 或 ，解得 或 ， 所以 的解集为 ． （建议用时：60分钟） 1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则函数 是（ ） A．偶函数，且在 上是减函数 B．奇函数，且在 上是减函数 C．偶函数，且在 上是增函数 D．奇函数，且在 上是增函数 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则 ，解得 ， 则函数 定义域为 关于原点对称， 且 ，则函数 是奇函数； 且 ， 其中 在 上单调递增， 在 上单调递增， 所以函数 在 上是增函数；故选：D 2．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若 为奇函数，则 的单调减区间是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 为奇函数，且定义域为 ， 所以 ，解得 ，当 时， ，满足题意， 则 （ 或 ）， 因为二次函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 在其定义域上单调递增， 所以复合后， 的单调递减区间为 ，故选：B 3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 是定义在 上的增函数， 所以 ，解得 .故选：B 4．（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 ，显然 ， ，所以 ； 对于 ， 可构造函数 ，且 ，所以 ， 当 时 ，所以 在 单调递增， 当 时 ，所以 在 单调递减，所以 ，所以 ， 所以 ，即 ，故 ，所以 . 综上： .故选:A. 5．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 ，函数 ， 所以 是偶函数，令 ，设 ， 则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 在 上单调递增， 因为 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为不等式 ，所以 ，解得 ，或 ， 则不等式 的解集是 .故选：C. 6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ；当 时， ，则 （ ） A．-24 B．-12 C． D． 【答案】D 【解析】 . 为奇函数，故 ，所以 .故选：D. 7．（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知定义域为 的函数 满足 ， ，当 时， ，则 （ ） A． B．2 C． D．3【答案】A 【解析】因为定义域为 的函数 满足 ，则 为奇函数， 又 ，所以 ， 所以 ，则 是周期为 的周期函数， 又因为 ，即 ， 又当 时， ，所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 .故选：A 8．（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义域为 的函数 满足 ，且其图像关于直线 对称，若当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点 在函数 的图象上，则关于直线 的对称点为 ， 则 ，解得 ，则 ， 又 时， ，则 ， 又 ，所以 ， 则 ， 此图象关于 对称，所以 ，故选：D. 9．（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知 的定义域为 且 为奇 函数， 为偶函数，且对任意的 ， ，且 ，都有 ，则下列结论正 确的是（ ） A． 是偶函数 B． C． 的图象关于 对称 D． 【答案】ABC【解析】 为奇函数， 为偶函数， 所以 的图象关于点 对称且关于直线 对称，故C正确； 所以 ， ， ， ，所以 是周期函数，4是它的一个周期． ， ，故B正确； ， 是偶函数，A正确； 对任意的 ，且 ，都有 ，即 时， ，所以 在 是单调递增， ， ， ， ，∴ ，故D错．故选：ABC． 10．（2023·山东·高三校联考阶段练习）（多选）已知函数 与 的定义域均为 ， ， ，且 ， 为偶函数，下列结论正确的是（ ） A． 的周期为4 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A：由于 为偶函数，图象关于 轴对称，所以 图象关于 对称； 所以 所以 ①， 而 ②，将两式相加得： ， 则 ③，所以 ， 所以 是 的一个周期，故A正确； 对B、C、D：由A项知令 ，由③得 ，由① ， 得 ，由②得 ， 则 ，所以 ， 所以 ，故D正确； 由①令 ，得 ， ， 由 ， ，得 ， 两式相减得 ，即 ，且 关于 对称， ， 所以 ④，所以 ， 所以 是周期为 的周期函数，所以 ，故B正确； 由④令 ，得 ，所以 ， 所以 ，故C错误；故选：ABD. 11．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则 ． 【答案】1010 【解析】∵ ，∴函数 的周期 ． ∵当 时， ，∴ ， ， ∴ ， ． 故 ． 12．（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）已知 是定义在R上的偶函数，当 且 时，总有 ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】因为当 且 时，总有 ， 即当 时， ，所以 是 上的减函数， 又 ，则 是偶函数，且 在 上递减， 不等式 即为 ，也即 ， 所以 ， ， . 13．（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）设 为奇函数，若 在 的最大值为3，则 在 的最小值为 . 【答案】 【解析】 的定义域为 且为奇函数， 所以 ， ， 所以 ， ， 设 ， 则 ，所以 是奇函数，依题意可知， 在 的最大值为 ， 所以 在 的最小值为 ， 所以 在 的最小值为 . 14．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函 数． （1）求 的解析式，并判断 的单调性； （2）已知 ， ，且 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ， 在 上单调递增；（2） 【解析】（1）因为 是定义在 上的奇函数， 为偶函数， 令 ，则 ， 故 ，所以 ， 因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递增， 综上， ， 在 上单调递增. （2）因为 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， ，且 ， ，即 ，则 ， 当 时， ，则 ，即 ，故 ； 当 时， ，则 ，即 ，则 ； 综上， 的取值范围为 . 15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数 对任意 ， ，总有 ，且当 时， ， ． （1）求证： 是 上的奇函数； （2）求证： 是 上的减函数；（3）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）证明：函数 对任意 ， ，总有 ， 令 ，则 ，解得 . 令 ，得到 ，则 可证， 是 上的奇函数. （2）证明：在 上任取 、 且 ，则 ， 由（1） 是 上的奇函数， 所以 ， 因为 ，所以 . 由题可知，当 时， ，所以 .即 所以函数 是 上的减函数. （3）因为 ， 令 ，则 令 ，则 . 因为 ，所以 又因为函数 是 上的减函数，所以 ， 则 ，解得 ， 则实数 的取值范围是 .