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专题 05 各类基本初等函数
【练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知图象开口向上的二次函数 ，对任意 ，都满足 ，
若 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【详解】由 ，得函数 图象的对称轴是直线 ，
又二次函数 图象开口向上，若 在区间 上单调递减，
则 ，解得 ．
故选：B.
2．（2021·新疆·新源县第二中学高三阶段练习（理））已知函数 是 上的单调函数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于函数为增函数，所以函数在每一段上都为增函数，且还要满足 ，从而可求出实数 的
取值范围.【详解】解：因为函数 是 上的单调函数，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
故选：B
3．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知幂函数 与 的部分图象如图所示，直线 ，
与 ， 的图象分别交于A､B､C､D四点，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】把 用函数值表示后变形可得．
【详解】由 得 ，即 ，
所以 ，
故选：B．
4．（2022·宁夏·银川市第六中学高三阶段练习）已知 ， ， ，则 的大小关系为A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用 等中间值区分各个数值的大小．
【详解】 ，
，
，故 ，
所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判定f(x)为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f(x)<13的解集，利用平移变换思想得到
f(x-2)<13的解集.
【详解】依题意知 为偶函数，其图象关于 轴对称，当 时， 单调递增，且 ，所以
的解集为 .将 的图象沿 轴向右平移 个单位长度后可得 的图象，所以不等式
的解集为 .
故选:B.
【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解
关于f(x-a)的不等式常常可以先求相应的关于f(x)的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.
6．（2021·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））在 中，，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用给定条件结合对数运算可得 ，再利用正弦定理角化边即可判断得解.
【详解】因 ，则有 ，
即有 ，于是得 ，
在 中，由正弦定理 得： ，
所以 是直角三角形.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数 ， ，且 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函
数的单调性即可求解.
【详解】解：因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，
所以函数 的图象恒过定点 ，故选项A、B错误；
当 时，函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，又 在 和 上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
8．（2022·北京·高三专题练习）若不等式 在 内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象与性质，分 和 两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即
可求解.
【详解】当 时，由 ，可得 ，则 ，
又由 ，此时不等式 不成立，不合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
此时函数 在 上单调递增，
又由 在 上单调递增，
要使得不等式 在 内恒成立，
可得 ，解得 .
故选：A.
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数
解析式对应正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由函数图象过点 可得 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.
【详解】由图可得 ，即 ，
单调递减过点 ，故A正确；
为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
10．（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较 的大小，计算出 ，利用基本不等式得 ，而 ，
从而可比较大小．
【详解】由题意可知，对于选项AB，因为 ，所以 ，又因为 ，
且 ，所以 ，则 ，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且 ，所以 ，故选项C正
确，选项D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换
底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．
11．（2022·河北·安新县第二中学高三阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据函数 和 的单调性，即可判断A是否正确；作出函数函数
的函数图象，根据图像即可判断B是否正确；作出函数 的函数图象，根据图像即
可判断C是否正确；利用诱导公式，即可判断D是否正确.
【详解】因为函数 是单调递减函数，所以 ；
函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，故A正确；
作出函数 的函数图象，如下图所示：
由图象可知， ；故B正确；作出函数 的函数图象，如下图所示：
当 时，可知 ；故C错误；
， ，
,
所以 ，故D错误.
故选：AB.
12．（2020·全国·高三阶段练习）设函数 ，则（ ）．
A． 在 上单调递增 B． 的最小值是2
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
【答案】BC
【解析】先根据 可判断C正确，AD错误，再根据基本不等式即可判断B正确．
【详解】解：对A，D，C， ，
，
即 ，
即 的图象关于直线 对称，故C正确，函数 的图象关于直线 对称，故AD错误；
对B， ，
，
当且仅当“ ”，即“ ”时取等号，故B正确.
故选：BC.
三、填空题
13．（2021·广东·横岗高中高三阶段练习）已知函数 ， ，若 在区间 上的最大
值是3，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分 和 两个范围分别
证明a≤0时符合题意.
【详解】由题易知 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
下证 时， 在 上最大值为3.
当 时， ， ;
当 ，若 ，即 ，
则 ，满足;
若 ，即 ，
此时 ，而 ，满足;
因此， 符合题意.
【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时
符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.
14．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（理））函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂
函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
【答案】27
【分析】由对数函数的图象所过定点求得 点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后
可得函数值．
【详解】由题意 ， ，则 ，定点A为(2,8)，
设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.
故答案为：27
15．（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知 为R上的奇函数，且 ，
当 时， ，则 的值为______．
【答案】 ##-0.8
【分析】由题设条件可得 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有 ，根据已知解
析式求值即可.
【详解】由题设， ，故 ，即 的周期为2，
所以 ，且 ，
所以 .
故答案为： .
16．（2019·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））函数 且 的图象恒过定点 ，若点在直线 上，其中 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【详解】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以
的最小值为
考点：本题考查基本不等式求最值
点评：解决本题的关键是求出A点坐标，注意利用基本不等式的条件
四、解答题
17．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)求 在 上的值域；
(2)解不等式 ；
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）令 ，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；
（2）将不等式整理为 ，可得 ，由指数函数单调性可解不等式求得结果．
【详解】（1）令 ，当 时， ，则可将原函数转化为 ，
当 时， ；当 时， ；
∴ 在 上的值域为 ；（2）∵ ，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，即不等式 的解集为
18．（2022·天津市建华中学高三阶段练习）已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式 .
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1）首先求出函数 的对称轴，再根据题意得到 ，即可得到答案.
（2）首先将 得到 ，再分类讨论解不等式即可.
【详解】（1） 的对称轴为 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 .
（2）因为 ，
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时，解集为 .
19．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（文））已知函数 的定义域是 .
（1）求实数 的取值范围;
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2） .【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出 恒成立，然后通过 即可得出结果；
（2）本题首先可根据 得出 ，然后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）因为函数 的定义域是 ，
所以 恒成立，
则 ，解得 ， 的取值范围为 .
（2） ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
20．（2020·江苏·扬州市邗江区第一中学高三阶段练习）设函数 ．
(1)若函数 的图象关于原点对称，求函数 的零点 ；
(2)若函数 在 ， 的最大值为 ，求实数 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）通过 ，求出 ．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可．
（2）利用换元法令 ， ， ，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．
【详解】（1）解： 的图象关于原点对称，
为奇函数，
，
，
即 ， ．所以 ，所以 ，
令 ，
则 ，，又 ，
，解得 ，即 ，
所以函数 的零点为 ．
（2）解：因为 ， ，
令 ，则 ， ， ，
对称轴 ，
当 ，即 时， ， ；
②当 ，即 时， ， （舍 ；
综上：实数 的值为 ．
21．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 在 的值域
(2)若关于x的方程 有解，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）依题意可得 ，令 ，则 ，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得 有解，参变分离可得 有解，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：∵ ， ，
令 ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，而对称轴 ，开口向上，∴当 时 ，当 时 ，
∴ 的值域是 .（2）解：方程 有解，
即 有解，
即 有解，
∴ 有解，
令 ，则 ，
∴ .
22．（2021·陕西·西安市长安区第七中学高三阶段练习（文））已知函数 （ 为常数）是奇函数.
（1）求 的值与函数 的定义域.
（2）若当 时， 恒成立.求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，定义域为 或 ；（2） .
【分析】（1）根据函数是奇函数，得到 ，求出 ，再解不等式 ，即可求出定义域；
（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出 的最小值，即可得出结果.
【详解】（1）因为函数 是奇函数，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，令 ，解得 或 ，
所以函数的定义域为 或 ；
（2） ，当 时，所以 ，所以 .
因为 ， 恒成立，
所以 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.
【提能力】
一、单选题
1．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）已知 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知： ，即 ， ，即 ，
，即 ，综上可得： .本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，
不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，
则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的
比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
2．（2020·四川·仁寿一中高三阶段练习（理））已知函数 ，若 ， ，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出图像，设 ，根据图像确定 ，再把 写成关于t的函数，求函数的值域.
【详解】设 ，根据图像 有两个交点， ，
，即 ，则
在 上单调递减，
当 时， ；当 时， ；
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数零点求范围，解题的关键是利用已知条件将 写成关于t的函数，再结
合图像求出t的取值范围，即转化为求函数的值域问题，考查学生的转化能力与数形结合思想，属于基础题.
3．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数 若 的最小值为 ，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等
式组，解不等式组得到a的取值范围.【详解】当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
即当 时，函数 的最小值为 ；
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，
则满足 解得 ．
故选：A．
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））已知实数 ，若关于 的方程
有三个不同的实数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出 图象，令 ，数形结合，可得 时 有1个根， 时 有2个根，将所
求转化为 ，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.
【详解】作出 图象，如图所示，令 ，
当 时， 与 图象有1个交点，即 有1个根，
当 时， 与 图象有2个交点，即 有2个根，
则关于 的方程 转化为 ，由题意得 ，解得 ，
方程 的两根为 ，
因为关于 的方程 有三个不同的实数，
则 ，解得 ，满足题意.
故选：A
5．（2021·北京市第一六一中学高三阶段练习）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公
共点，则 的取值可以是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】对 分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】（1）当 时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则 ，
因为 ，所以此种情况不存在；
（2）当 时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则 ，
因为 ，所以 .综上， 的取值范围是
故选：A
6．（2022·福建·莆田一中高一阶段练习）若对 ，函数 始终满足 ，则函数
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】确定 ， ，排除AD； ，排除C，得到答案.
【详解】当 时，函数 始终满足 ， ，故 .
，排除AD；
，排除C.
故选：B7．（2022·广东·佛山市三水区实验中学高一阶段练习）已知函数 的图象经过定点 ，那么使
得不等式 在区间 上有解的 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 可求得 ，进而得到 ，根据对数真数大于零可确定 ；将不等式化为
，根据对数函数单调性，结合分离变量法可得 ，根据不等式有解可知
，令 ，将问题转化为求解 在 上的最大值的问题，利用二次函数性
质可求得最大值，结合 可得结果.
【详解】 ， ，解得： ， ；
当 时， 恒成立，若 ，则 ；
由 得： ，
，即 ；
令 ， ， ，即 ；
令 ，则当 时， ，
，又 ， ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
8．（2021·吉林长春·高三阶段练习（理））已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是
（ ）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】A
【分析】结合对数函数和二次函数的单调性求解．
【详解】 是增函数，
在 上递减，在 递增，
因此 在 上递减，则有 ，解得 ．
故选：A．
二、多选题
9．（2022·广东中山·高三期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数 B．函数 是奇函数
C．函数 在 上为增函数 D．函数 的值域为
【答案】AD
【分析】利用函数单调性的定义及判定方法，可判定A正确，B错误；利用复合函数的单调性可判定C不正确，D
正确.
【详解】由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，
所以函数 是偶函数，所以A正确，B错误；
由函数 ，
当 时， ，且 单调递增，
所以 在区间 单调递减；
当 时， ，且 单调递增，所以 在区间 单调递增，所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ，所以C不正确，D正确.
故选：AD.
10．（2022·辽宁·大连佰圣高级中学有限公司高三期中）下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】ABC
【分析】A.利用对数函数的单调性判断；B.利用指数函数和幂函数的单调性判断； C.利用作差法判断；D.取特殊
值判断.
【详解】A. 因为 ，所以 ，故正确
B.因为 在 上递增，则 ，因为 在 上递减，则 ，所以
，故正确；
C. 因为 ，所以 ， ，故正确；
D. 当 时， ，故错误；
故选：ABC
11．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．若 ， ，则
C．
D．若 ， ，则【答案】BCD
【分析】由 ，根据 为 上的增函数，所以 ，再逐项分析判断即可得解.
【详解】因为 为 上的增函数，所以 .
因为函数 在 上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误；
因为函数 在 上单调递减，
所以当 ， ， 时， ，故B正确；
因为 在 上单调递增，所以当 时， ，故C正确；
因为函数 在 上单调递增，
所以当 ， ， 时， ，故D正确.
故选：BCD.
12．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 为奇函数
C．函数 在区间 上的最大值与最小值之和为0
D．设 ，则 的解集为
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】对于A： ，定义域为 ， ，
则 为奇函数，故A错误；
对于B： ，定义域为 ，，
则 为奇函数，故B正确；
对于C： ， ， 都为奇函数，
则 为奇函数，
在区间 上的最大值与最小值互为相反数，
必有 在区间 上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D： ，则 在 上为减函数，
，则 在 上为减函数，
则 在 上为减函数，
若 即 ，
则必有 ，解得 ，
即 的解集为 ，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．（2023·上海·高三专题练习）关于 的函数 的最大值记为 ，则 的解析式
为__________.
【答案】
【分析】将函数看成关于 的二次函数，配方得到对称轴为 ，再由 ， ，判断对称轴与区间的位置
关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值．
【详解】 ，， ，
当 时， 的最大值为 时 ，
当 时， 的最大值为 时 ，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思
想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体思想的应用及离对称轴最远的点对应的函数值为最大值．
14．（2023·全国·高三专题练习）函数 图象过定点 ，点 在直线 上，则
最小值为___________.
【答案】 ##4.5
【分析】根据指数函数过定点的求法可求得 ，代入直线方程可得 ，根据
，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】当 时， ， 过定点 ，
又点 在直线 上， ，即 ，
， ， ，
（当且仅当
，即 ， 时取等号），
的最小值为 .故答案为： .
15．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（理））已知函数 ， ，
若 存在2个零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】由 存在2个零点，可知函数 的图象与直线 有两个不同的交点，画出函数图象，根
据图象求解即可
【详解】由 ，得 ，
所以 存在2个零点，可得函数 的图象与直线 有两个不同的交点，
的图象如图所示，
由 ，得
所以直线 恒过点 ，
由图可知，当 时，直线与 的图象恒有两个不同的交点，
当 时，设直线 与函数 相切于点 ，
由 ，得 ，则 ，解得 ，
所以当 时，直线与 的图象恒有两个不同的交点，
综上，当 ，或 时，直线与 的图象恒有两个不同的交点，
所以实数m的取值范围为 ，
故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则
_____.
【答案】
【分析】根据指数的运算律计算出 的值，由此可计算出所求代数式的值.
【详解】 ， ，
，
因此， .
故答案为 .
【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出 为定值，考查计算
能力，属于中等题.
四、解答题
17．（2022·山东·宁阳县第四中学高三阶段练习）若函数 在区间 上有最大值4和最小值1，设 ．
(1)求a、b的值；
(2)若不等式 在 上有解，求实数k的取值范围；
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由二次函数在 上的单调性最大值和最小值，从而求得 ；
（2）用分离参数法化简不等式为 ，然后令 换元，转化为求二次函数的最值，从而得参数
范围．
【详解】（1） ，对称轴 ，
在 上单调递增，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）知 化为 ，
即 ，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
问题化为 ，
记 ，对称轴是 ，因为 ，所以 ，
所以 ．
18．（2022·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数 ，
.（1）判断 的奇偶性和单调性；
（2）若对任意 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）函数 是奇函数，在 上单调递增；（2） .
【分析】（1）结合对数的真数大于零求得 的定义域，由 判断出 为奇函数，结合函数的
单调性的知识来判断出 的单调性.
（2）将问题转化为 ，先求得 ，然后对 进行分类讨论，由 列不等式来求得 的
取值范围.
【详解】（1）要使 有意义，只需 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，关于原点对称.
又因为 ，
所以函数 是奇函数.
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增.
（2）对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
等价于 ，
由（1）知 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
，
函数 的对称轴为 ，
当 时， ，则 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，则 ，解得 ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围是 .
19．（2022·河南·固始县高级中学第一中学模拟预测（文））已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求实数 ， 的值；
（2）判断 的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， （2） 在 上单调递增，证明见解析（3） 的取值范围为 .
【分析】（1）根据 得到 ，根据 计算得到 ，得到答案.
（2）化简得到 ， ，计算 ，得到是增函数.
（3）化简得到 ，参数分离 ，求函数 的最大值得到答案.
【详解】（1）因为 在定义域R上是奇函数.所以 ，
即 ，所以 ．又由 ，即 ，
所以 ，检验知，当 ， 时 ，原函数是奇函数.
（2） 在 上单调递增.证明：由（1）知 ，
任取 ，则 ，
因为函数 在 上是增函数，且 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在R上单调递增.
（3）因为 是奇函数，从而不等式 等价于 ，
因为 在 上是增函数，由上式推得 ，
即对一切 有 恒成立，设 ，
令 ，
则有 ， ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
20．（2022·河南·固始县高级中学第一中学模拟预测（文））已知函数 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设 ，把函数转化为二次函数，利用二次函数性质可得值域；
（2）设 换元，分类 时不等式成立，在 时，分离参数后应用函数单调性求得最小值得结论．
【详解】（1）设 ，由 得 ，
，
所以 时， ， 或0时， ，
所以所求值域为 ；
（2）设 ，又 ，所以 ，不等式 为 ，
即 ，
，不等式显然成立，
时，不等式化为 ，
,当且仅当 时，等号成立，所以 ．
综上， ．
21．（2022·河南·沈丘县长安高级中学高三阶段练习（理））已知函数 且 ）为定义在R
上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数 在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数 有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）先根据奇函数满足 可得 ，再设 ，证明 即可；
（2）化简可得 恒成立，再讨论 为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可；
（3）将题意转化为方程 有两个不相等的正根，
【详解】（1）证明：由函数 为奇函数，有 ，解得 ，
当 时， ， ，符合函数
为奇函数，可知 符合题意．
设 ，有，
由 ，有 ，有 ，故函数 在 上单调递增；
（2）由
．
（1）当 时，不等式为 恒成立，符合题意；
（2）当 时，有 ，解得 ，
由上知实数 的取值范围为 ；
（3）由 ，方程 可化为 ，
若函数 有且仅有两个零点，相当于方程 有两个不相等的正根，
故有 ，即 解得 ．
故实数 的取值范围为 ．
22．（2021·新疆昌吉·模拟预测（理））设函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，若对 ，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)函数 的值域为 .；(2)
【分析】(1)由已知 ，利用基本不等式可求函数 的值域；(2)由对
可得函数函数 在 上的值域包含与函数 在 上的值域，由此可求正实数a的取值范围．
【详解】(1) ，
，则 ，当且仅当 时取“=”，
所以 ，即函数 的值域为 .
(2)设 ，因为 所以 ，函数 在 上单调递增，
则函数 在 上单调递增， ，设 时，函数 的值域为A．由题意知 ．函数
图象的对称轴为 ，
当 ，即 时，函数 在 上递增，则 ，解得 ，
当 时，即 时，函数 在 上的最大值为 ， 中的较大者，而 且
，不合题意，
当 ，即 时，函数 在 上递减，则 ，满足条件的 不存在，
综上， ．
