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专题 02 函数及其应用、指对幂函数
易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及
解析式的求算）
已知函数的具体解析式求定义域的方法
法1：若 是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域
的交集.
法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自
变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.
函数解析式的常见求法
法1：配凑法：已知 ，求 的问题，往往把右边的 整理或配凑成只含 的式
子，然后用 将 代换.
法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数 可
设为 ，其中 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出 即可.
法3：换元法：已知 ，求 时，往往可设 ，从中解出 ，代入 进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.
法4：解方程组法：已知 满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还有其他未知量，如
(或 )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 ．
分段函数
第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解
析式求值．
第二步：当出现 的形式时，应从内到外依次求值．
第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
结论：复合函数：
一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 可以表示成 的函数，那么称这个函数
为函数 和 的复合函数，记作 ，其中 叫做复合函数 的外层
函数， 叫做 的内层函数.
抽象函数的定义域的求法：
(1)若已知函数 的定义域为 ，则复合函数 的家义域由 求出.
(2)若已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 在 时的值域.
易错提醒：函数的概念
①一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中唯一确定的
与之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数.记作： ，
.集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合 叫做值域，记为 .
②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
③函数表示法：函数书写方式为 ，④函数三要素：定义域、值域、对应法则.
⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零：
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④零次幂或负指数次幂的底数不为零；
⑤三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
⑥已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两点：
①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
基本初等函数的值域
① 的值域是 .
② 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为
．
③ 的值域是 .
④ 且 的值域是 .
⑤ 且 的值域是 .
分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，
即分段函数问题，分段解决．
例 1．函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得 ，解得 ，则定义域为 ，
故选：C.
变式1：设 ，若 ，则 （ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【详解】因为 的定义域为 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，可得 ，不合题意；
若 ，则 ，可得 ，解得 ；
综上所述： .
所以 .故选：A.
变式2：已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得 ，
所以 ．
故选:C.变式3：已知函数 ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D． 的值域为
【答案】B
【详解】对选项A， ，故A错误；
对选项B， ，故B正确．
对选项C，因为 ，所以 ，
，故C错误；
对选项D，当 时， ，函数 的值域为 ，
当 时， ，
函数 的值域为 ，又因为 时， ，
所以当 时，函数 的值域为 ，
综上，函数 的值域为 ，故D错误．
故选：B1．已知函数 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 ，则 ,
令 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
2．给出下列 个函数，其中对于任意 均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，当 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符合；
对于B，当 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符合；
对于C，当 时， ；当 时， ，与函数定义矛盾，不符合；
对于D，令 ，则 ，所以 ，令 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，符合.
故选：D.
3．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，且 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.
4．已知函数 满足 ，则 可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A， ，则 ， ，不满足 ；
对于B， ，则 ， ，不满足 ；
对于C， ，则 ， ，不满足 ；
对于D， ，当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ，
即此时 满足 ，D正确，
故选：D
5．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D．
6．集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由题意可得： ， ，
所以 .
故选：B.
易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）
1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2.函数 在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3.函数的单调定义中的 、 有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。
4.求函数的单调区间必须先求定义域。
5.判断函数单调性常用以下几种方法：
方法1：定义法：一般步骤为设元 作差 变形 判断符号→得出结论.
方法2：图象法：如果 是以图象形式给出的，或者 的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确
定单调性.
方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及
增减性质进行判断；
6.求函数最值（值域）的常用方法
方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
结论：
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
结论1：若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
结论2：若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或
减）函数；
结论3：若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
结论4：若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
易错提醒：1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， 当 时，都有 ，符号一致那么就说
在区间 上是增函数．
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，符号相反那么就说
在区间 上是减函数．
①属于定义域 内某个区间上；
②任意两个自变量 ， 且 ；
③都有 或 ；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在区间 上具
有单调性， 称为函数 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数.2．函数的最值
前提：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
条件：（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 结论 为最大值
（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 结论 为最小值
例．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设函数 ，
则函数 是由二次函数 与指数函数 复合而成的.
当 时，由于函数 单调递减，
而二次函数 的图象开口向上，
在区间 上不可能单调递减，
则函数 在区间 上不可能单调递增，故不满足题意；
当 时，函数 单调递增，
要使函数 在区间 上单调递增，
则二次函数 在区间 上单调递增，
又其对称轴为 ，故 ，所以 .故选：C.
变式1．下列函数中，满足“对任意的 ，使得 ”成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，“对任意的 ，使得 ”，则函数 在 上为减函
数.
对于选项A， ，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在 上递减，符合题意；
对于选项B， ，其导数 ，所以 在 上递增，不符合题意；
对于选项C， 为一次函数，所以 在 上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知， 在 上单调递增，不符合题意.故
选：A.
变式2．若定义在 上的函数 同时满足：① 为奇函数；②对任意的 ，
且 ，都有 ，则称函数 具有性质 ．已知函数 具有性质 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意的 ，且 ，都有 ，即对任意两个不相等的正实数 不妨设 ，都有 ，
所以有 ，
所以函数 是 上的减函数，
又因为 为奇函数，即有 ，有 ，
所以有 ，
所以 为偶函数，所以 在 上单调递增．
当 ，即 时，有 ,由 ，得 ，
所以 ，解得 ，此时无解；
当 ，即 时，由 ，得 ，
所以 ，解得 或 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
故选：C.
变式3．定义在 上的函数 满足：对 ，且 都有 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】根据题意：当 时，
，
当 时,
可得函数 在 单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出 与 图象.
得 ，则不等式的解集为 ，
故选：B.
1．已知函数 ，若对于一切的实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知函数 的定义域为 ，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 恒成立，
故函数 是 上的单调递增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时，左边 成立，故 符合题意；
当 时，有 ，解得： ，
综上所述： 的取值范围为： .
故选：D.
2．已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意的 ，都有 ，且 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意的 ，都有 ，此时 ，则 ，
所以 在 单调递减，
因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 在 单调递减， ，
所以当 和 时， ；当 和 时， .
由 ，即 ，
所以 或 或 或 ，
所以 或 或 或 无解，
所以原不等式解集为
故选：D
3．已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，
又函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
所以不等式 ，即 ，
等价于 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D
4．已知函数 的定义域为 ， 的图象关于点 对称， ，且对任意的 ，
，满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 的图象关于点 对称， 的图象关于点 对称， 是定义在 上的奇函
数，
对任意的 ， ， ，满足 ， 在 上单调递减，所以 在
上也单调递减，
又 所以 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以由 可得 或 或 ，
解得 或 ，即不等式 的解集为 ．
故选：C.5．已知函数 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ．
因为 的定义域为R， ，
所以 为奇函数，
因此 ．
又 ，
所以 ．
当 时， 单调递增，而 为奇函数，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故 的取值范围为 ．
故选：D.
6． 为定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对任意的 ，都有 ，则，
令 ，则 在 上单调递增，
因为 为定义在 上的偶函数，
所以 ，即 为偶函数，
又 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，
所以 的解集为 ，
故选：A.
7．函数 ，其中 ，则满足 的 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，当 时， ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，故 ，
当 时， ，显然函数 在 上为减函数，
此时， .因为 ，
令 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，故 ，
综上可知，函数 在 上为减函数，
令 ，则函数 在 上单调递减，
又因为 ，所以， 等价于 ，
结合函数 的单调性可得 ，故原不等式的解集为 .
故选：A.
8．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，则 ，
同理，当 时， ，则 ，
且 ，可知函数 为奇函数；
当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，即 ，即 ，所以 在 单调递增，且 为奇函数，所以 在 上单调递增.
则 ，
即 ，即 ，
可得 ，且 ，所以 ，解得 ，
所以解集为 .
故选:A
9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认
识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，
这也正是导数的几何意义．设 是函数 的导函数，若 ，对 ， ，且 ，
总有 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】A选项，根据 可得， 在R上单调递增，
因为 ，所以 ，A正确；
B选项，因为 ， ，且 ，总有 ，
所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知， 表示函数图象上的各点处的切线斜率，
显然随着 的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为 ，所以 ，B正确；C选项， ，结合函数图象可知 ，C错误，D正
确.
故选：ABD
10．设函数 ，则（ ）
A． 的一个周期为 B． 在 上单调递增
C． 在 上有最大值 D． 图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【详解】对A： ，故 不是 的
周期，A错误；
对B：令 ，则 ，
则 ，
∵ ，则 ，
∴ 在 上单调递增，且 ，又∵ 在 上单调递增，故 在 上单调递增，B正确；
对C：∵ ，则 ，
∴ ，则 ，
又∵ 在 上单调递增，且 ，
∴ 在 上最大值为 ，
即 在 上有最大值 ，C错误；
对D： ，故 图象的一条对称轴
为直线 ，D正确.
故选：BD.
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．当 时， 或1
C．若函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为
D．若函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于选项 ，由 ，可知函数 为奇函数，故 选项正确；
对于选项 ，由 ，解得 或 ，故B选项正确；
对于选项 ，由 ，有 ，当 时，函数 仅有一个零点0，当 时，必有 ，有 ，可得 ，故C选项错误；
对于选项D，由 ，可知满足题意只需
当 时， ，有 ，即 ，
所以 ，由 ，有 ，
则 ，可知当 时， 和 恒成立，
，有 .故D选项正确.
故选：ABD.
易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、
周期性、对称性）
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(7)复合函数 的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
2.周期性技巧
结论1：若对于非零常数m和任意实数x，等式 f (x+m)=−f (x) 恒成立，则 f (x) 是周期函数，且 2m 是
它的一个周期.
证明：
f (x+2m)=f (x+m+m)=−f (x+m)=f (x)∴T=2m
也可理解为：平移m个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的
距离为
2m ，∴T=2m结论2：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 (其中 为常数， )，
则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
f (x−a+a)=f (x−a+b)⇒f (x)=f (x+b−a)
∴T=|b−a|
证明：
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x前的正负.
结论3：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 (其中 为常数，
)，则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
f (x−a+a)=−f (x−a+b)
证明： 先向左平移a个单位得
⇒f (x)=−f (x+b−a) 令b−a=m'⇒f (x)=−f (x+m')
如同结论1
结论4：定义在 上的函数 ，对任意的 ，若有 ，(或 )(其
中 为常数， )，则函数 是周期函数， 是函数的一个周期.
1 1
f (x+a)=± f (x+2a)=f (x+a+a)=± =f (x)
f (x) f (x+a)
∴T=2|a|
证明： ，
f (a+x)=f (a−x) f (b+x)=f (b−x)
结论5:定义在 上的函数 ，对任意的 ，有 且 ，
(其中
a,b
是常数，
a≠b
)则函数
y=f (x)
是周期函数，
2|a−b|
是函数的一个周期.
x=a,x=b
另 一 种 题 干 出 现 的 信 息 ： ① 若 的 图 象 关 于 直 线 都 对 称 ， 则 等 价 于
f (a+x)=f (a−x) f (b+x)=f (b−x)
T=2|a−b|
且 ，则 为周期函数且 .
T=2|a|
②若 为偶函数且图象关于直线x=a对称，则 为周期函数且
证明：
f (a+x)=f (a−x)
向左平移a个单位，得
f (x−a+a)=f (a−[x−a])⇒f (x)=f (2a−x) ⇒f (x)=f (2b−x) ⇒f (2a−x)=f (2b−x)
，同理 ，
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x前的正负.秒出周期
结论6:若定义在 上的函数 对任意实数 ，恒有
f (x)=f (a+x)+f (x−a)
成立(
a≠0
)，
6|a|
则 是周期函数，且 是它的一个周期.
f (x)=f (a+x)+f (x−a)⇒f (x+a)=f (x+2a)+f (x)
证明：由函数
⇒f (x)=f (x+2a)+f (x)+f (x−a)⇒f (x−a)=−f (x+2a)
，向右平移a个单位得
f (x)=−f (x+3a)⇒f (x+3a+3a)=−f (x+3a)=f (x)
∴T=6|a|
easy
口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很 .
结论7:若对于非零常数m和任意实数x，等式 成立，则 是周期函数，且 4m 是
它的一个周期.
证明：
1 1
f (x+2m)=− f (x+2m+2m)=− =f (x)
f (x)
如同结论4，
f (x+2m) ∴T=4m
结论8:若对于非零常数m和任意实数x，等式 成立，则 是周期函数，且 2m 是
它的一个周期.
证明：
∴T=2m结论9:若对于非零常数m和任意实数x，等式 成立，则 是周期函数，
3m
且 是它的一个周期.
证明： 得
∴T=3m
A(a,y ),B(b,y )
结论10:①若定义在 上的函数 的图象关于两点 0 0 都对称，则 是周期函数，
2|b−a|
且 是它的一个周期.
A(a,0)
2|a|
②若奇函数 的图象关于点 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
y=f (x) f (a+x)+f (a−x)=2 y f (b+x)+f (b−x)=2y
证明：函数 满足 0且 0，
f (x)=2y −f (2a−x)=2y −f (2b−x)⇒f (2a−x)=f (2b−x)
则 0 0
利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）⇒只研究x前的正负.秒出周期
结论11:①若定义在 上的函数 的图象关于点
A(a,y
0
)
和直线
x=b
都对称，则 是周期函数，
4|b−a|
且 是它的一个周期.
4|a|
②若奇函数 的图象关于直线x=a对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期.
y=f (x) f (a+x)+f (a−x)=2 y f (b+x)=f (b−x)
证明：函数 满足 0且 ，
f (x)=2y −f (2a−x)=f (2b−x)⇒f (x)=2y −f (2b−2a+x)=2y −f (2a−x)
则 0 0 0
∴f (2b+x)=2y −f (2a+x)⇒f (x)=2y −f (2b−2a+x)
0 0∴f (x)=2y −f (2b−2a+x)=2y +f (4b−4a+x)−2y ∴T=4|b−a|
0 0 0
3.对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
结论：
1.(1)如果一个奇函数 在原点处有定义，即 有意义，那么一定有 .
(2)如果函数 是偶函数，那么 .
2.函数周期性常用结论
对 定义域内任一自变量的值 :
(1)若 ，则 .
(2)若 ，则 .
(3)若 ，则 .
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称.
(2)若对于 上的任意 都有 或 ，则 的图象关于直线 对
称.
(3)若函数 是奇函数，则函数 的图象关于点 中心对称.
易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别
1．函数的奇偶性
由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ， 也在
定义域内(即定义域关于原点对称)．
2．函数的对称性(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
例 ．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是奇函数，所以 ，则 ．
又 是偶函数，所以 ，所以 ．
故选：C.
变式1．已知函数 是定义域为 的偶函数， 是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 是以4为周期的函数 D． 的图象关于 对称
【答案】B
【详解】因为函数 是定义域为 的偶函数，所以 ，
因为 是奇函数，所以 ，
将 换成 ，则有 ，
A：令 ，所以 ，因此本选项正确；
B：因为 ，所以函数 关于点 对称，
由 ，可得 ， 的值不确定，因此不能确定 的值，所以本选项不正确；
C：因为 ，
所以 ，
所以 ，因此 是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为 ，
所以 ，
因此有 ，
所以函数 的图象关于 对称，
由上可知 是以4为周期的函数，
所以 的图象也关于 对称，因此本选项正确，
故选：B.
变式2．已知函数 ，下列结论中：①当 时， 的最小值为3；②函数
是奇函数；③函数 的图象关于点 对称 ；④ 是 图象的一条切线，
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】①当 时， , ,当且仅当 即 时
等号成立，所以 最小值是3，正确；
②函数 ，记 ，其定义域是 ，，因此 是奇函数，正确；
③ 的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得 的图象，因此 的图
象关于点 对称，正确；
④ ，由 得 或 ， ， ，
因此直线 和 都是函数 图象的切线，④正确，
故选：D．
变式3．已知定义域为 的函数 满足 ， ，当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以4为函数 的周期，
所以 ．故选：C．
1．已知函数 的定义域为 ， ，当 时， ，则
的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B【详解】由 可得函数 为奇函数，
又 可知 ，
所以 ，可得 ，
即 ，因此 是周期为 的奇函数，
则 ，代入计算可得 .
故选：B
2．定义在R上的奇函数 满足 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【详解】根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，则 ，且 ，
又函数 是偶函数，则 ，变形可得 ，
则有 ，进而可得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
则 .
故选：C.
3．已知函数 与 的定义域均为 ， ， ，且 ，
为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A． 的周期为4 B．
C． D．
【答案】ACD【详解】由于 为偶函数，图象关于 轴对称，
所以 图象关于 对称，
所以 ，
所以 ①，
而 ②，
两式相加得 ，则 ③，
所以 ，
所以 是 的一个周期，A选项正确.
由③令 得 ，
由①令 得 ，
由②令 得 ，则 ，
所以 ，
所以 ，C选项正确.
由①令 得 ，
由 ，
得 ，
两式相减得 ，即 ，
且 关于 对称， ，所以 ④，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，所以 ，所以B选项错误.
由④令 得 ，所以 ，
所以 ，所以D选项正确.
故选：ACD.
4．已知函数 和其导函数 的定义域都是 ，若 与 均为偶函数，则（ ）
A．
B． 关于点 对称
C．
D．
【答案】BD
【详解】假设 ，则 ， 都为偶函数，则所设函数 符合题意，此
时 ，所以A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
令 ，则 ，所以 关于点 对称，故B正确；
因为 均为偶函数，所以 ，所以函数 的图象关于直线 对称，即
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，又 ， ，
所以 ，所以无法确定 的值，所以C错误；
又 ， ，所以 ，又 ，所以 ，
由 知函数 周期为4，则 的周期也为4，则
，所以 D正确.
故选：BD
5．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且 ，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令 ，得，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，
所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同时求导，得
，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
6．已知函数 的定义域为 ，并且对 ，都有 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的图象关于 对称
B．函数 为偶函数
C．
D．若 时， ，则 时，
【答案】ACD
【详解】由 可知函数关于直线 轴对称，故A正确；
由 可得 ，又 ，
所以 ，故函数 为奇函数，故B错误；
因为 ，所以 ，故 为函数周期，
又 ，
所以 ，故C正确；由 知函数关于 成中心对称，
当 时，设 为函数 图象上任意一点，
则 在函数 图象上，且 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
7．已知函数 的定义域为 ，函数 的图象关于点 对称，且满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．函数 是奇函数
B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 是最小正周期为2的周期函数
D．若函数 满足 ，则
【答案】ABD
【详解】因为函数 的图象关于点 对称，所以 ，所以函数 是奇函数，故
A正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 为偶函数.故B正确；
因为 ，所以 是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因为 ，所以 ，那么 ，
所以 也是周期为4的函数，
，因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
8．已知定义在 上的偶函数满足 ，且当 时， 是减函数，则下列四个命题
中正确的是（ ）
A．
B．直线 为函数 图象的一条对称轴
C．函数 在区间 上存在3个零点
D．若 在区间 上的根为 ，则
【答案】AB
【详解】对于A，因为 ，所以周期 ，故A正确；
对于B，因为 为偶函数，所以 ，又 ，
所以 ，所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，若当 时， 无零点，则根据周期性和对称性可推出 无零点，故C错误；
对于D，因为 的图象关于直线 对称，且 的周期 ，
又 在区间 上的根为 ，所以 ，故D错误.
故选：AB.
易错点四： 遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数）1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线 的交点纵坐标的大小反映.一般地，
在区间 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 轴(简记为“指大、图低”)，在区间 上，
幂函数中指数越大，图象越远离 轴(不包括幂函数 ，在区间 上，幂函数中指数越大，函数图
象越靠近 轴(简记为“指大图低")，在区间 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 轴.
2、对于函数 ，若是二次函数，就隐含 ，当题目未说明是二次函数时，就要分
和 两种情况讨论.在二次函数 中， 的正负决定抛物线开口的方向 的
大小决定开口大小) 确定抛物线在 轴上的截距， 与 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).
3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函
数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非
端点），
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比
较大小，最后确定最值.
结论：
1.幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2．实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根 ⇔
⇔
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 ⇔
3.一元二次方程 的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正
负.
设 为实系数方程 的两根，则一元二次 的根的分布
与其限定条件如下所示.
① ，
限定条件
②限定条件
③
限定条件
在区间 内没有实根
y
m n x
O
限定条件
y
O m n x
限定条件y
O m n x
限定条件
y
O m n x
限定条件
y
m n
O x
限定条件
在区间 内有且只有一个实根y
n
m
O x
限定条件
y
m n
x
O
限定条件
在区间 内有两个不等实根
y
m
n x
O
限定条件4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区
间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意
对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；
③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数
值正负.
易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）
（1）一般式： ；
（2）顶点式： ；其中， 为抛物线顶点坐标， 为对称轴方程.
（3）两点式： ，其中， 是抛物线与 轴交点的横坐标.
与 轴相交的弦长
当 时，二次函数 的图像与 轴有两个交点 和
， .
例 1若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设函数 ，则函数 是由二次函数 与指数函数 复合而成的.
当 时，由于函数 单调递减，
而二次函数 的图象开口向上，
在区间 上不可能单调递减，
则函数 在区间 上不可能单调递增，故不满足题意；
当 时，函数 单调递增，
要使函数 在区间 上单调递增，
则二次函数 在区间 上单调递增，
又其对称轴为 ，故 ，
所以 .
故选：C.
变式1．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 为开口方向向上，对称轴为 的抛物线，
又 在 上单调递减， ，解得： .
故选：B.
变式2．已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】 在 上单调递增；
∴ ，
解得 ；
所以实数a的取值范围为 ．
故选：A．
变式3．已知 是定义域为 的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足
，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题可得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
联立 解得 ，
又因为对任意的 ，都有 成立，所以 ，所以 成立，
构造 ，
所以由上述过程可得 在 单调递增，
(i)若 ，则对称轴 ，解得 ；
(ii) 若 ， 在 单调递增，满足题意；
(iii) 若 ，则对称轴 恒成立；
综上， ，
故选：B.
1．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因 为开口向下的二次函数，对称轴为 ，故函数在 上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为 ，故函数在 上单调递减，且 ，因此函数
在R上单调递减，则 ，即
，
解得 或 ，所以实数 的取值范围是 。
故选：D
2．若幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】C
【详解】由幂函数的定义可知， ，即 ，解得 或 .
当 时， ，在 上单调递增，不合题意;
当 时， ，在 上单调递减，符合题意，故 .
故选：C.
3．已知函数 在 上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 在 上为奇函数,
所以，解得 ，又 ，
，解得 ，解得 ，
所以 ， ，
由 与 在定义域 上单调递增，所以 在定义域 上单调递增，
则不等式 ，即 ，等价于 ，所以 ，解得 ，即不等式的解集为 .
故选：C
4．已知 为奇函数，当 时， ，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
且 ，所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ，
则
所以 .
故选：A
5．已知 的解集是 ，则下列说法正确的是（ ）A．不等式 的解集是
B． 的最小值是
C．若 有解，则m的取值范围是 或
D．当 时， ， 的值域是 ，则 的取值范围是
【答案】ABD
【详解】因 的解集是 ，则 是关于x的方程 的二根，且 ，
于是得 ，即 ，
对于A，不等式 化为： ，解得 ，A正确；
对于B， ， ，
当且仅当 ，即 时取“=”，B正确；
对于C， ，令 ，则 在 上单调递增，
即有 ，因 有解，则 ，解得 或 ，
C不正确；
对于D，当 时， ，则 ， ，
依题意， ，由 得， 或 ，因 在 上的最小值为-3，
从而得 或 ，因此 ，D正确.
故选：ABD6．已知函数 ，函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若 有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若 有4个不同的零点 ，则
D．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
【答案】BCD
【详解】解：令 得 ，即
所以 零点个数为函数 与 图像交点个数，
故，作出函数 图像如图，
由图可知， 有3个不同的零点，则a的取值范围是 ，故A选项错误；
有4个不同的零点，则a的取值范围是 ，故B选项正确；有4个不同的零点 ，此时 关于直线 对称，所以 ，故C
选项正确；
由C选项可知 ，所以 ，由于 有4个不同的零点，a的取值范围是
，故 ，所以 ，故D选项正确.
故选：BCD
7．已知函数 (即 ， )则（ ）
A．当 时， 是偶函数 B． 在区间 上是增函数
C．设 最小值为 ，则 D．方程 可能有2个解
【答案】ABD
【详解】 ：当 时， ，即 ，
所以 ，所以 是偶函数，故正确；
：当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
综上， 在 上是增函数，故 正确；
：当 时， ，
当 时， ，
因为不能确定 的大小，所以最小值 无法判断，故 错误；：令 ，
当 时， ， 有2个解，故 正确.
故选：ABD
8．已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【详解】当 , ，
当且仅当 时,等号成立，
当 时, 为二次函数，要想在 处取最小，
则对称轴要满足 ,且 ,
即 ，解得 ,
故选：BCD.
9．设 ，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【详解】由题意，函数 ，令 ，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为 ，
当 时，即 时，可得 ，
此时函数 在 单调递减，在 上单调递增，且
可得 在 递减，在 上递增，且 ；
当 时，即 时，可得 ，
此时函数 在 单调递减，在 上单调递增，
由复合函数的单调性，可得 在 递减，在 上递增，且 ，
此时选项B符合题意；
当当 时，即 时，此时函数 有两个零点，
不妨设另个零点分别为 且 ，
此时函数 在 单调递减，在 上单调递增，
可得 在 递减，在 上递增，且 ，
则 在 递减，在 上递增，且 ，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
10．关于 的方程 ，下列命题正确的有（ ）
A．存在实数 ，使得方程无实根
B．存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根C．存在实数 ，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
【答案】AB
方程化为关于 的二次方程 .
当 时，方程 无实根，故原方程无实根.
当 时，可得 ，则 ，原方程有两个相等的实根 .
当 时，方程 有两个实根 ，由 可知， ， .
因为 ，所以 无实根， 有两个不同的实根.
综上可知：A，B项正确，C，D项错误.
故选：AB
易错点五： 根式奇偶讨论（指对数函数考点）
指数
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底
数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用
函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
对数：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.|
3. ，且 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数 以1为分界：当 时，是增函数；当 时，是减函数.注意
对数函数图象恒过定点 ，且以 轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
第一步：求出函数的定义域；
第二步：判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及
其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
结论：
1.画指数函数 ，且 的图象，应抓住三个关键点:
2.在第一象限内，指数函数 且 的图象越高，底数越大.
3.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如 的函数的定义域就是 的定义域.求形如 的函数的值域，应先求出 的值域，再由单调性求出 的值域.若 的范围不确定，
则需对 进行讨论.
求形如 的函数的值域，要先求出 的值域，再结合 的性质确定出 的值域.
(2)判断复合函数 的单调性
令 ，如果复合的两个函数 与 的单调性相同，那么复合后的函数 在
上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数 在 上是减函数.
换底公式的两个重要结论
(1) (2) .其中 ，且 ，且 .
对数函数 ，且 的图象过定点 ，且过点 ，函数图象只在第一、四象限.
易错提醒：根式的性质：当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.当
为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
例 ．设函数 的定义域为 ，其图象关于直线 对称，且 .当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为偶函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减
【答案】AC
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 ，所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
又因函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 为偶函数，故A正确；
当 时， ，
，故B错误；
因为 为偶函数且 的图象关于直线 对称，
所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
因为当 时， ，
而函数 在 都是减函数，
所以函数 在 是减函数，
又因 为偶函数，
所以 在区间 上单调递增，故D错误.
故选：AC.
变式1、设偶函数 在 上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ；
又因为偶函数 在 上单调递增，则 ，
所以 ， ，
且由函数 为偶函数知 在 上单调递减，故
对于选项A和B，∵ ， 在 上单调递减，
∴ ，故A错误，B正确；
对于选项C和D，∵ ， ，函数 为偶函数，
在 上单调递减，
∴ ，故C正确，D错误.
故选：BC.
变式2、已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为1 B． ，
C． D．
【答案】ACD
【详解】 ，当且仅当 时， 取得最小值1，A正确．
因为当且仅当 时， 取得最小值，且最小值为1，所以 ，所以 ，B错误．因为 ，所以 ，又 ，且 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 ，C正确．
因为 ，所以 ，所以，D正确．
故选：ACD
变式3、已知 ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由 可知，若 ，则 ，则 不成立，
又 时， ，故 ，
又 ，则 可看作 的图象与直线 交点的横坐标，
作出 与 的图象如图，
结合图象可知 ，故A错误，B正确；
由 ， ，得 ，
故 ，C正确；令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
由于 ，故 ，即 ，
故 ，D正确，
故选：BCD
1．下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图像恒过定点
B．“ ”的必要不充分条件是“ ”
C．函数 的最小正周期为2
D．函数 的最小值为2
【答案】AB
【详解】对于A，令 ，则 ，即 ，
所以函数 的图像恒过定点 ，故A正确；
对于B， 不能推出 ，而 能推出 ，
所以“ ”的必要不充分条件是“ ”，故B正确；
对于C，因为 ，令 等价于 ，
所以 ①，令 等价于 ，
所以 ②，由①②可得： ，
所以函数 的最小正周期为4，故C错误；对于D，函数 ，令 ，
则 ，由双勾函数的性质知 在 上单调递增，
故 ，故函数 的最小值为2错误，故D错误.
故选：AB.
2．某数学课外兴趣小组对函数 的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中
正确的命题有（ ）
A．函数 的图象关于 轴对称
B．当 时， 是增函数，当 时， 是减函数
C．函数 的最小值是
D．函数 与 有四个交点
【答案】AC
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，所以函数 是偶函数，其图象关于 轴对称，故A正确；
当 时， ，由 的性质可知其在 上是减函数，
在 上是增函数，所以由复合函数单调性可知， 在 上是减函数，
在 上是增函数，又 是偶函数，图像关于 轴对称，故B不正确；
当 时， （当且仅当 时取等号），又 是偶函数，所以函数 的最小值是 ，故C正确；
由函数定义可得，函数 与 不可能有四个交点，故D不正确.
故选：AC.
3．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数 在定义域上为奇函数，则
B．已知 的值域为 ，则 的取值范围是
C．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
D．已知函数 ，则函数 的值域为
【答案】ABD
【详解】选项A：函数 在定义域上为奇函数，
则 ，即 ，即 ，
即 ，整理得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，该函数定义域为 ，满足 ，符合题意，
当 时， ，由 可得 ，此时函数定义域为 ，满足
，符合题意，
综上所述 ，选项A说法错误；
选项B：因为 的值域为 ，
所以函数 的值域 满足 ，所以 ，解得 ，所以B说法错误；
选项C：由 得 ，所以 的定义域为 ，选项C说法正确；
选项D：因为函数 ，
所以 ， ，
当 时， ，
令 ， ，则 ，
即函数 的值域为 ，选项D说法错误；
故选：ABD
4．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数 在定义域上为奇函数，则
B．已知 的值域为 ，则a的取值范围是
C．已知函数 满足 ，且 ，则
D．已知函数 ，则函数 的值域为
【答案】ABD
【详解】对于A，函数 为奇函数，
所以， ，即 ，即 ，
即 ，整理可得 ，即 ，
所以， ，解得 ，
当 时， ，该函数的定义域为 ，满足 ，合乎题意，当 时， ，
由 可得 ，此时函数 的定义域为 ，满足 ，合乎题意.
综上所述， ，故A错误；
对于B，因为 的值域为 ，
则函数 的值域 满足 ，
则 ，解得 ，故B错误；
对于C，函数 满足 ，则 ，
故 的周期为 ，因为 ，则 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ．则 ，
又
，
故函数 的值域为 ，故D错误：
故选：ABD. 资料来源：微信公众号 智慧学库
5．已知定义域为 的函数 满足 ， 的部分解析式为
，则下列说法正确的是（ ）A．函数 在 上单调递减
B．若函数 在 内满足 恒成立，则
C．存在实数 ，使得 的图象与直线 有7个交点
D．已知方程 的解为 ，则
【答案】BCD
【详解】因为 ，所以函数 为奇函数，
函数 的图象如图所示，
对于选项A，函数在 上不单调，故A错误；
对于选项B， ，结合图象可知 ，故B正确：
对于选项C，令 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
将 代入 中，得到 ，
分析可得，当 时， 的图象与直线 有7个交点，故C正确；对于选项D，当方程 的解为4个时， ，不妨设 ，根据对称性可得
.
分析图象可知，当 时，方程 的解为3个， ，
又因为 ， ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
6．下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b满足 ，则
C． 的最小值为
D．已知正实数a、b，若 ，则 的最小值为9
【答案】BD
【详解】当 时， ,A选项错误;
, , ,B选项正确;
,当 即 ,C选项错误;
正实数a、b，若 ，则 ,
,
即 时取等号，D选项正确.
故选:BD.7．已知函数 ，实数 ， 满足 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】∵ ，∴ ，
∴ 或 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，故A不正确，B正确；
又由 有意义知 ，从而 ，
于是 .
所以 .
从而 .
又 ，所以 ，
故 .
解得 或 （舍去）.
把 代入 解得 .
所以 ， ，故C正确，D不正确.
故选：BC.8．已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的定义域为R
B． 一定存在最小值
C． 的图象关于直线 对称
D．当 时， 的值域为R
【答案】AC
【详解】对于A：若 ，则 ，则二次函数 的图象恒在 轴的上方，
即 恒成立，所以 的定义域为R，故A正确；
对于B：若 ，则 的定义域为 ，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数 为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图象，
此时对称轴为直线 ，故C正确；
对于D：若 ，则 ，故 的值域不是R，故D错误.
故选：AC.
