义务教育教科书数学七年级下册_光塔笔记初中课本_初中数学_沪科版

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新时代数学编写组 编著
上海科学技术出版社
书书书主 编 吴之季 苏 淳
副 主 编 杜先能 徐子华
本册主编 徐子华
策划编辑 苏德敏
责任编辑 朱先锋 李 刚
美术编辑 陈 蕾
义务教育教科书
数 学
七年级 下册
新时代数学编写组 编著
上海世纪出版（集团）有限公司
出版
上 海 科 学 技 术 出 版 社
（上海市闵行区号景路 弄 座 邮政编码 ）
１５９ Ａ ９Ｆ １０Ｆ ２０１１０１
新华书店发行
合肥义兴印务有限责任公司印刷
开本 印张 字数
７８７×１０９２ １／１６ ９．５ １５６０００
年 月第 版 年 月第 次印刷
２０１３ １ １ ２０２２ １ １４
·
ＩＳＢＮ ９７８ ７ ５４７８ １３３２ ４／Ｇ ２５７
定价： 元
９．７１
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电话： ，邮箱：
０２１ ６４８４８０２５ ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ
审批编号：皖费核（ 年春季）第 号 举报电话：
２０２２ ０１５６ １２３１５
书书书目 录
第 章 实数 ……………………………
１
６．１ 平方根、立方根 ………………………………… ２
６．２ 实数 …………………………………………… ９
阅读与思考 无理数漫谈
…………………… １６
小结·评价 …………………………………………… １８
复习题
………………………………………… １９
第 章 一元一次不等式与不等式组 ……
２２
７．１ 不等式及其基本性质………………………… ２３
７．２ 一元一次不等式……………………………… ２８
７．３ 一元一次不等式组…………………………… ３４
７．４ 综合与实践 排队问题……………………… ３８
小结·评价 …………………………………………… ４０
复习题
………………………………………… ４１
第 章 整式乘法与因式分解 …………
４４
８．１ 幂的运算……………………………………… ４５
８．２ 整式乘法……………………………………… ５６
数学活动 求最大乘积
……………………… ６７
８．３ 完全平方公式与平方差公式………………… ６８
１
目 录８．４ 因式分解……………………………………… ７３
阅读与欣赏 巧用因式分解
………………… ７８
８．５ 综合与实践 纳米材料的奇异特性………… ８１
数学史话 杨辉三角
………………………… ８２
小结·评价 …………………………………………… ８３
复习题
………………………………………… ８４
第 章 分式 ……………………………
８８
９．１ 分式及其基本性质…………………………… ８９
阅读与思考 类比推理
……………………… ９４
９．２ 分式的运算…………………………………… ９６
９．３ 分式方程 …………………………………… １０５
阅读与思考 两个等式的研究
…………… １０９
小结·评价 ………………………………………… １１１
复习题
……………………………………… １１２
第 章 相交线、平行线与平移
…… １１５
１０．１ 相交线……………………………………… １１６
１０．２ 平行线的判定……………………………… １２３
１０．３ 平行线的性质……………………………… １２９
１０．４ 平移………………………………………… １３３
２
目 录信息技术应用 用“几何画板”软件
作图形的平移
…………… １３５
数学活动 钥匙复制原理
………………… １３７
小结·评价 ………………………………………… １３９
复习题
……………………………………… １４０
附录 部分中英文词汇索引……………………… １４３
后记………………………………………………… １４５
３
目 录实数
平方根、立方根
６．１
实数
６．２
“ ” ，
!"# $%&’()*+, ８０ -./012 3
，
45678%&920:;． <=%&’()1>?@
，
A0BCDEF ｖ GH ｖ 0IJK
２ ２
槡
ｖ ＝ ２ｇｒ．
２
（ ， ）
LM ｇ N９．８ ｍ／ｓ２ ｒ N６．４ ×１０６ ｍ
？ ———
OJM0 ｖ PQGHR ST<U5V09H
２
WX．
、 ，
!"#$%&’( )’(*+,-./ 0123 １
平方根、立方根
45678． ６．１
书书书６ ．
平方根、立方根
１
平方根
１
问题 装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这
?
种地砖 块正好铺 ，如图 ，问这种地砖一块的边长
４ １ ｍ２ ６ １
是多少？
设一块正方形地砖的边长为 ，根据题意，有
ｘ ｍ
１
ｘ２ ＝ ．
４
图 ６ １ 这是已知一个数的平方，求这个数的问题
．
一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做
ａ ａ
的平方根（ ），也叫做二次方根
ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ．
例如，由于 ，（ ） ，所以 的平方
１０２ ＝１００ －１０ ２ ＝１００ １００
根是 和 （可以合写为 ）
＋１０ －１０ ±１０ ．
的平方根是什么？
１． １６
的平方根是什么？
２． ０
有没有平方根？
３． －９
一个正数 的平方根有两个，它们互为相反数 我们用
ａ ．
槡 表示 的正的平方根，读作“根号 ”，其中 叫做被开方
ａ ａ ａ ａ
２
第 章 实 数
６数（ ）这个根也叫做 的算术平方根（
ｒａｄｉｃａｎｄ ． ａ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
），另一个负的平方根记为 槡 的平方根是 ，
ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ － ａ． ０ ０
的算术平方根也是 ，即槡 负数没有平方根
０ ０ ０ ＝０． ．
求一个数的平方根的运算叫做开平方（
ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ
）
ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ．
图 ６ ２
由上可知，开平方是平方的逆运算 根据这种关系，我们
．
可以求出一些数的平方根
．
例 判断下列各数是否有平方根，为什么？
１
； １ ； ；
２５ ０．０１６９ －６４．
４
解 因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以
，１ ， 都有平方根； 没有平方根
２５ ０．０１６９ －６４ ．
４
例 求下列各数的平方根和算术平方根：
２
（） ； （） ； （） ； （）（ ）
２
１ １ ２ ８１ ３ ６４ ４ －３ ．
解 （）因为（ ） ，所以 的平方根是 ，即
２
１ ±１ ＝１ １ ±１
槡
；的算术平方根是
± １ ＝ ±１ １ １．
（）因为（ ） ，所以 的平方根是 ，即
２
２ ±９ ＝８１ ８１ ±９
槡 ； 的算术平方根是
± ８１ ＝ ±９ ８１ ９．
（）因为（ ） ，所以 的平方根是 ，即
２
３ ±８ ＝６４ ６４ ±８
槡 ； 的算术平方根是
± ６４ ＝ ±８ ６４ ８．
３
平方根、立方根
６．１（）（ ）
２
４ －３ ＝９．
因为（ ） ，所以 的平方根是 ，也就是（ ）
２ ２
±３ ＝９ ９ ±３ －３
的平方根是 ，即 槡（ ） ；（ ） 的算术平方根
２ ２
±３ ± －３ ＝ ±３ －３
是
３．
利用计算器我们可以求一个正数的算术平方根或它的
近似值
．
例 利用计算器求下列各式的值（精确到 ）：
３ ０．０１
（）
槡
； （）
槡
； （）
槡
； （）槡５
１ ２ ２ １８３０ ３ － ０．８７６ ４ ．
７
解 （）在计算器上依次键入： 槡 ，显示结果
１ ２ ＝
是 ，精确到 ，得槡
１．４１４２１３５６２ ０．０１ ２ ≈１．４１．
（）
槡
２ １８３０ ≈４２．７８．
（）
槡
第二宇宙速度 ３ － ０．８７６ ≈－０．９４．
是指使人造卫星脱
（）在计算器上依次键入：
槡
（ ） ，
４ ５ ÷ ７ ＝
离地球引力作用范
即可得槡５
围飞向太阳，并围
≈０．８５．
７
绕太阳运动所需的
本章引言中提到的速度 是第二宇宙速度， 槡 ，
最小发射速度 ｖ ｖ ＝ ２ｇｒ
． ２ ２
其中 取 ，取 ，用计算器可求得
ｇ ９．８ ｍ／ｓ２ ｒ ６．４ ×１０６ ｍ
槡 （ ） （ ）
ｖ ≈ ２ ×９．８ ×６．４ ×１０６ ＝１１２００ ｍ／ｓ ＝１１．２ ｋｍ／ｓ ．
２
例 如图 ，跳水运动员要在空中下落的短暂过程
４ ６ ３
中完成一系列高难度的动作 如果不考虑空气阻力等其他因
．
素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间
ｔ
与下落的高度 之间应遵循下面的公式：
ｈ
１ ，
ｈ ＝ ｇｔ２
２
其中 的单位是 ，的单位是 ， 假设跳板的
图 ６ ３ ｈ ｍ ｔ ｓ ｇ ＝９．８ｍ／ｓ２．
４
第 章 实 数
６高度是 ，运动员在跳板上跳起至高出跳板 处开始
３ ｍ １．２ ｍ
下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？
解 设运动员下落到水面约需 ，根据题意，得
ｔ ｓ
１ ，
３ ＋１．２ ＝ ×９．８ｔ２
２
２ ×４．２
ｔ２ ＝
９．８
，
≈ ０．８５７１
ｔ ≈ ０．９３．
因而，运动员下落到水面约需
０．９３ ｓ．
填空：
１
（）一个正数有两个平方根，而且这两个平方根 ；
１
（） 有且只有一个平方根，它的平方根就是 ；
２
（） 数没有平方根
３ ．
判断是非：
２
（） 是 的算术平方根 （ ）
１ ４ １６ ．
（）２ 是４ 的一个平方根 （ ）
２ ．
３ ９
（）（ ） 的平方根是 （ ）
３ －５ ２ －５．
（） 的算术平方根是 （ ）
４ ０ ０．
下列各式是否有意义，说明理由：
３
（） 槡； （）槡 ； （）槡（ ）； （）槡
１ － ３ ２ －３ ３ －３ ２ ４ ０．
求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示：
４
（） ； （）
１ ４９ ２ ２５．
用计算器求下列各式的值（精确到 ）：
５ ０．０１
槡 槡
（）槡 ； （）槡 ； （） １ ； （） １
１ １２７ ２ ０．６３５ ３ ４ － ．
１７９ ３
５
平方根、立方根
６．１立方根
２
问题 要做一个容积是 的正方体木箱，
? ６４ ｄｍ３
如图 ，问它的棱长是多少？
６ ４
设正方体木箱的棱长为 ，根据题意，有
ｘ ｄｍ
ｘ３ ＝ ６４．
图 ６ ４
这是已知一个数的立方，求这个数的问题
．
一般地，如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫
ａ
做 的立方根（ ），也叫做三次方根，记作槡３ ，读
ａ ｃｕｂｅ ｒｏｏｔ ａ
作“三次根号 ”，其中 叫做被开方数， 叫做根指数
ａ ａ ３
（ ）
ｒａｄｉｃａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ．
求一个数的立方根的运算叫做开立方（
ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ
）
ｃｕｂｉｃ ｒｏｏｔ ．
在上面问题中，因为 ，所以 是 的立方根，即
４３ ＝６４ ４ ６４
槡３
６４ ＝ ４．
开立方与立方互为逆运算 根据这种关系，可求出一些
．
数的立方根
．
例 求下列各数的立方根：
５
（） ； （） ； （）
１ ２７ ２ －６４ ３ ０．
解 （）因为 ，所以 的立方根是 ，
３
１ ３ ＝ ２７ ２７ ３
即 槡３
２７ ＝ ３．
（）因为 （ ） ，所以 的立方根是 ，
３
２ － ４ ＝ － ６４ － ６４ － ４
即 槡３
－ ６４ ＝ － ４．
（）因为 ，所以 的立方根是 ，
３
３ ０ ＝ ０ ０ ０
６
第 章 实 数
６即 槡３
０ ＝ ０．
利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值
．
一 般 地，
槡 槡 对
例 用计算器求下列各数的立方根（精确到 ）： ３ －ａ ＝－ ３ ａ
６ ０． ０１
吗？
（） ； （） ； （） ； （）１３７
１ ２ ２ ７．７９７ ３ －１７．４５６ ４ ．
３９８
解 （）在计算器上依次按键： ，显
１ ２ｎｄｆ
槡３
２ ＝
示结果是 ，精确到 ，得槡３
１．２５９９２１０５ ０．０１ ２ ≈１．２６．
（）
槡３
２ ７．７９７ ≈１．９８．
请同学们自己算出第（）（）题的结果
３ ４ ．
判断是非：
１
（） 是 的立方根 （ ）
１ ３ －２７ ．
（） 的立方根是 （ ）
２ ６４ ±４．
（） 是 的立方根 （ ）
３ ０ ０ ．
填表：
２
ａ １ ８ ２７ ６４
槡３ａ
５ ６ ７ ８ ９ １０
求下列各数的立方根：
３
（） ； （） ； （） ； （）
１ １ ２ －１ ３ ８ ４ －８．
用计算器计算（精确到 ）：
４ ０．１
（）槡 ； （）槡 ； （）槡 ； （）
槡３
１
３ ３ ３
１ ２８ ２ ０．３４５ ３ －１７．６ ４ ．
４８
从上面例题及练习题可以归纳得到：
正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；
０
的立方根是
０．
７
平方根、立方根
６．１习题
６． １
判断下列各式的正误，错的请改正：
１
（）槡 （ ）
１ ４ ＝±２．
（）槡（ ） （ ）
２ －６ ２ ＝－６．
（）（ 槡） （ ）
３ ± ４ ２ ＝ ４．
（）槡 （ ）
４ －９ ＝－３．
求下列各数的平方根、算术平方根：
２
（）（ ）； （）
１ － ４ ２ ２ １ ０２ ．
用计算器求下列各数的平方根（精确到 ）：
３ ０．０１
（） ； （） ； （）５ ； （）
１ １３ ２ ０．０９６ ３ ４ π．
１３
用计算器求下列各式的值（精确到 ）：
４ ０．０１
（）槡 ； （）槡 ； （） 槡 ； （） 槡
１ ２８ ２ ０．４６２ ３ － ６５ ４ ± １８．２．
一个正方形的面积扩大到原来的 倍，问它的边长是原来的多少倍？
５ ９
估计：槡 在哪两个相邻整数之间？
６ ７２
求下列各数的立方根：
７
（）（ ）； （）（ ）
１ －２ ３ ２ －８ ２．
用计算器求下列各式的值 （精确到 ）：
８ ０．０１
（）槡 ； （）槡 ； （）
槡３
８ ； （） 槡
３ ３ ３
１ ３８７ ２ －１８ ３ － ４ ± ２４０２．
２５
如图，如果一个正方体的体积变为原来的 倍，那么它的棱长发生了怎样的变化？
９ ２７
（第９ 题） （第１０ 题）
如图，已知一球形储气罐的容积为 ，球的体积公式为 ４ （ 是球
１０ １１５ ｍ３ Ｖ ＝ πｒ３ ｒ
３
半径），求这个球形储气罐的半径（精确到 ）
０．１ ｍ ．
８
第 章 实 数
６６．
实 数
２
图 是由 条横线， 条竖线构成的方格网，
６ ５ ４ ５
它们相邻的行距、列距都是 从这些纵横线相交得
１．
出的 个点（称为格点）中，我们可以选择其中 个
２０ ４
格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形
．
你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？
图 ６ ５ 还有与这
（）有面积分别是 ，，的格点正方形吗？ 些面积不相同
１ １ ４ ９
（）有面积是 的格点正方形吗？把它 画 出 来 的格点正方形
２ ２ ．
吗？
我们看到四个边长为 的相邻正方形的对角线就围成
１
一个面积为 的格点正方形（图 ），这种正方形的边长
２ ６ ６
应是多少？
设这种正方形的边长为 ，则
ｘ ｘ２ ＝ ２．
因为 ，所以 槡
ｘ ＞ ０ ｘ ＝ ２．
图 ６ ６
９
实 数
６．２槡是一个怎样的数呢？我们用下面的方法来研
２
究它
．
因为 ， ，所以
１２ ＝ １ ＜ ２ ２２ ＝ ４ ＞ ２
槡
１ ＜ ２ ＜ ２． ①
这说明槡不可能是整数
２ ．
在 和 之间的一位小数有 ， ，…， ，那
１ ２ １．１ １．２ １．９
么槡在哪两个一位小数之间呢？
２
因为 ， ，所以
１．４２ ＝ １．９６ ＜ ２ １．５２ ＝ ２．２５ ＞ ２
槡
１．４ ＜ ２ ＜ １．５． ②
同样，在 与 之间的两位小数有 ，
１． ４ １． ５ １． ４１
，…， ，那么槡在哪两个两位小数之间呢？
１．４２ １．４９ ２
因为 ， ，
１．４１２ ＝ １．９８８１ ＜ ２ １．４２２ ＝ ２．０１６ ４ ＞ ２
所以
槡
１．４１ ＜ ２ ＜ １．４２． ③
类似地，可得
槡
１．４１４ ＜ ２ ＜ １．４１５． ④
……
像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到：
槡 …，
２ ＝ １．４１４２１３５
我们知道，有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写
成分数的形式（整数可以看作分母为 的分数）也就是说，有
１ ．
理数总可写成ｎ （ ， 是整数，且 ）的形式 例如，
ｍ ｎ ｍ≠０ ．
ｍ
１０
第 章 实 数
６２ ；
２ ＝ ＝ ２．０
１
１ ；
＝ ０．５
２
９ ··
－ ＝ －０．８１．
１１
任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数
．
反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数
形式，因此有理数是有限小数或无限循环小数
． 见本章“阅
槡
２
是一个无限不循环小数，它不是有理数
． 读 与思考”
．
此外， 槡 …，
３ ＝ １．７３２０５０８０
槡３ …，
３ ＝ １．４４２２４９５７
…
π ＝ ３．１４１５９２６５ ．
这些数都是无限不循环小数
．
无限不循环小数叫做无理数（ ）
ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ．
无理数可分为正无理数与负无理数，如槡 ， 槡 ， 是正
２ ３ π
无理数； 槡 ， 槡 ， 是负无理数
－ ２ － ３ －π ．
有理数和无理数统称为实数（ ）这样，我们认识
ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ．
的数的范围又一次扩大了，我们可以将实数按如下方式分类：
{正有理数}
有理数 零 有限小数或无限循环小数
{
负有理数
实数
{正无理数}
无理数 无限不循环小数
负无理数
循环小数如何化为分数呢？
纯循环小数
１
每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个 ；分子则
９
１１
实 数
６．２是一个循环节的数 如
．
· ３ ， · · ２１
０．３ ＝ ０．２１ ＝ ．
９ ９９
混循环小数
２
每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个 ，不循环
９
的部分有几位数字，分母中 的后面就有几个 ；分子则是第一个
９ ０
循环节及它前面的数减去不循环部分 如
．
· ２３ －２ ２１，
０．２３ ＝ ＝
９０ ９０
· · ２１３７ －２１ ２１１６
０．２ １３７ ＝ ＝ ．
９９００ ９９００
把下列各数分类填入图中：
１
， ， ， ， ， １ ，１ ， ， ， ， ，槡，
０ １ ３ －１ －２ － ０．４ －０．２５ ３．１４ π ３
２ ３
槡
槡 ３ ，槡 ， 槡 ， 槡 ３ ， ２
２ ６４ － １０ － ８ ．
２
把下列各数写成分数形式：
２
， ， ·， ··， · ·， · ·
１．５ －５ ０．７ ０．２１３ ０．３１ ２ ６ ０．７２ １ ３．
判断是非：
３
（）无限小数都是无理数 （ ）
１ ．
（）无限不循环小数是无理数 （ ）
２ ．
（）无理数是带根号的数 （ ） （第１ 题）
３ ．
（）分数是无理数 （ ）
４ ．
有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类：
正实数
{
实数 零
负实数
１２
第 章 实 数
６每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，
无理数（如槡）能用数轴上的点表示吗？
２
如图 ，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以
６ ７
原点为圆心、这个正方形对角线长为半径画弧，与数轴正半
轴的交点记作 ，那么，点 表示什么数？
Ａ Ａ
点 是画
Ａ′
圆弧时与数轴
的另一交点，它
表示什么数？
图 ６ ７
一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴
上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数
就是表示有理数 所以，把数从有理数扩充到实数以后，实
．
数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上
的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个
实数
．
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数
范围内完全一样 例如，
．
槡与 槡互为相反数，有槡 （ 槡）
２ － ２ ２ ＋ － ２ ＝ ０．
槡与 １ 互为倒数，有槡 １
２ ２ × ＝ １．
槡 槡
２ ２
任一个实数 的绝对值仍然用 表示，如
ａ ｜ ａ ｜
槡 槡， 槡 槡
｜ ３ ｜ ＝ ３ ｜ － ３ ｜ ＝ ３．
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立
１３
实 数
６．２方运算 而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然
．
适用
在实数运算 ．
中，如果遇到无
例 近似计算：
理数，并且需求 １
出结果的近似值 （） 槡 （精确到 ）；
１ ３ ＋π ０．０１
时，可以按照所
（）
槡 槡
（精确到 ）
２ ５ × ７ ０．１ ．
要求的精确度用
解 （） 槡
近似的有限小数 １ ３ ＋π ≈１．７３２ ＋３．１４２ ＝ ４．８７４ ≈４．８７．
代替无理数，再 （） 槡 槡
２ ５ × ７ ≈２．２４ ×２．６５ ＝ ５．９３６ ≈５．９．
进行计算
．
两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的
点所表示的数总是大于左边的点所表示的数 在实数范围内
．
也有：
正数大于零，负数小于零，正数大于负数
．
两个正数，绝对值大的数较大
．
两个负数，绝对值大的数反而小
．
例 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大
２
小，并用“ ”连接它们
＜ ．
， ， ， ， ，
槡 槡 槡
－１ ２ －２ － ２ ｜ －２ ２｜ ５．
解
图 ６ ８
由数轴上各点的位置，得
槡 槡 槡
－２ ＜ － ２ ＜ －１ ＜ ２ ＜｜ －２ ２｜ ＜５．
槡
你会比较 ７ －２ 与 １ 的大小吗？
３ ３
１４
第 章 实 数
６有位同学是这样比较的：
槡
用计算器求得 ７ －２ ，１ ，所以
≈ ０．２１５ ≈ ０．３３３
３ ３
槡
７ －２ １
＜ ．
３ ３
你是怎样比较的，与上述方法是否相同？
（口答）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
１
，槡， ， 槡
３
，槡，槡
３
， ·，２２， …（两个 之间依次
３．１４１５９２６ ４ －π － ８ ８ ９ ０．３ ０．１８１８８１８８８１ １
７
增加一个 ）
８ ．
近似计算（精确到 ）：
２ ０．０１
（）槡 槡；
１ ７ ＋ ５
（）１ 槡 槡
２ × ６ －２ ３ ．
４
比较下列各组数中两个数的大小：
３
槡
（） 槡， 槡； （）槡 ，槡； （） ３ －１，１
１ － ５ － ６ ２ π ３ ３ ．
２ ２
在槡，槡 ，槡 ，槡 和槡 中，介于 和 之间的无理数有
４ ９ １２ １３ １６ １７ ３ ４ ．
习题
６． ２
选择：
１
（）下列实数中，无理数的个数有（ ）
１ ．
， 槡 ， · ·，２２，槡
３
，
π － ３６ ０．２３ ５ ３．１４１６．
７
（ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 （ ） 个
Ａ １ Ｂ ２ Ｃ ３ Ｄ ４
１５
实 数
６．２（）与数轴上的点建立一一对应关系的是（ ）
２ ．
（ ）全体有理数 （ ）全体整数
Ａ Ｂ
（ ）全体自然数 （ ）全体实数
Ｃ Ｄ
写出两个介于 和 之间的无理数
２ ４ ５ ．
求下列各数的相反数和绝对值：
３
槡
槡，３，槡 ， ，槡 槡，槡
３
－ ５ －１ π －３．１４ ５ － ７ ３ －１．７３．
２
比较下列各组数的大小：
４
（） · 和 ； （） １ 和 ；
１ －３．１ －３．１ ２ － －π
１０
槡
（）槡 和 ５； （）槡 和
３ ２ ４ ２９ ５．３．
２
近似计算（精确到 ）：
５ ０．０１
（）槡 槡 槡 ；
１ ３ ＋ ５ －２ ７
（） （槡 槡）
２ ２π ３ ＋ ２ ．
无 理 数 漫 谈
（一）
公元前 世纪左右，在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯
５
（ ）的领导下，成立了一个秘密会社，也就是后人所称的
Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ
毕达哥拉斯学派，这个学派的基本信条是“万物皆数”他们所
．
说的数仅仅指整数，分数是被看成两个整数之比
．
这个学派的成员希帕索斯（ ，公元前 年左右）
Ｈｉｐｐａｓｕｓ ４７０
发现一个既不是整数，又不是整数之比的数，它就是边长为 的
１
正方形的对角线的长度 这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基
．
本信条，引起数学史上第一次基础理论的危机 希帕索斯成了毕
．
毕达哥拉斯 达哥拉斯学派的“叛逆者”，被投入了大海
图 ６ ９ ．
１６
第 章 实 数
６在此后的 多年里，人们对无理数进行了孜孜不倦的探索，
２０００
直到 世纪才真正地对无理数有一个全面的认识
１９ ．
“有理数”“无理数”两名词是由英文翻译过来的，有理数一词
的英文是“ ”，其中“ ”有两层含义：一是“比
ｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｒａｔｉｏｎａｌ
率”，二是“合理”从数学含义来说应该取前者，所以有理数实际
．
上应该是“比数”，而无理数“ ”应该是“非比数”
ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ．
但由于当初译成了“有理数”和“无理数”，经过长时间的使用，大
家也习惯了，所以沿用至今
．
（二）
“槡不是有理数”对这一事实的证明，最早出现在亚里士多
２ ．
德（ ）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派 欧几里
Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ ．
得 （ ）在《原本》中给出了证明：
Ｅｕｃｌｉｄ
假设槡是有理数，由于槡 ，故必然有两个正整数 ， ，使
２ ２ ＞０ ｎ ｍ
槡 ｎ ，
２ ＝
ｍ
而且 与 互素 （即没有 以外的公因数）
ｎ ｍ １ ．
所以有
ｎ２ （槡）
＝ ２ ２ ＝ ２．
ｍ２
也就是
ｎ２ ＝ ２ｍ２．
上面式子的右边是偶数，故左边 也是偶数，因而 应是偶
ｎ２ ｎ
数，可设 ，代入上式，得
ｎ ＝ ２ｋ
，
４ｋ２ ＝ ２ｍ２
即
２ｋ２ ＝ ｍ２．
这就得出 也是偶数，这说明 和 都是偶数，不互素，与假
ｍ ｎ ｍ
设矛盾，即槡不是有理数
２ ．
上述这种证明问题的方法，叫做反证法 在数学中，反证法是
．
一种重要的推理方法，在以后的学习中还会遇到
．
１７
实 数
６．２一、内容整理
二、主要知识回顾
如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根，其中正的平方
１ ａ ａ
根也叫做 的算术平方根 求一个数的平方根的运算叫做开平方
ａ ． ．
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根 求一个数的立
２ ａ ａ ．
方根的运算叫做开立方
．
无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数 实数可按
３ ．
如下方式分类：
正有理数
{ }
有理数 零 有限小数或无限循环小数
{
负有理数
实数
正无理数
无理数{ }无限不循环小数
负无理数
实数的加、减、乘、除、乘方、非负数开平方、实数开立方运算具有与有
４
理数相同的运算法则和运算律
．
三、自评与互评
请举例说明求平方根和求立方根问题在现实生活中的应用
１ ．
开方与什么运算互为逆运算？迄今为止，你一共学习了哪些运算？
２
数从有理数扩充到实数后，你觉得对解决问题有什么好处？请举例说明
３ ．
下列方程，应在什么数的范围内才有解？
４
（） ； （） ；
１ ２ｘ ＝ ４ ２ ２ｘ ＝ ３
（） ； （）
３ ｘ ＋５ ＝ ３ ４ ｘ２ －３ ＝ ０．
１８
第 章 实 数
６设数轴上点 和点 分别表示数 槡和槡，问哪些整数所表示的点介于 ， 之间？
１ Ａ Ｂ － ３ ５ Ａ Ｂ
比较下列各组数的大小：
２
槡
（ ）槡 槡 和 ２； （ ） 槡 和
１ ３ － ２ － ２ １２ ３．４．
３
用计算器求下列各式的值（精确到 ）：
３ ０．００１
（） 槡 ； （） 槡 ； （）槡 ； （）槡
３ ３
１ － ８４．３ ２ ± ５５．５ ３ ０．４５ ４ －３４０１２．
设面积为 的圆的半径为 ，则 是有理数还是无理数？
４ ３π ｒ ｒ
用计算器求下列各数平方根的近似值（精确到 ）：
５ ０．０１
（） ； （）３ ； （） ； （）
１ １３９．５ ２ ３ ０．００３２ ４ ３ ×１０４．
４
用计算器求下列各数立方根的近似值（精确到 ）：
６ ０．０１
（） ； （） ； （） ； （） ７３
１ １．２１ ２ ５８００００ ３ －９７８ ４ － ．
８９
一个正方体的表面积等于 ，求它的体积
７ ２９４ ｍ２ ．
槡
比较 ５ －１与３ 的大小
８ ．
２ ５
一个正方形的面积扩大为原来面积的 倍，扩大后正方形的边长是原来边长的多
９ ４
少倍？若面积扩大为原来面积的 倍呢？
ｎ
计算（精确到 ）：
１０ ０．０１
（）槡 槡 槡 ；
１ ｜３ ２ － ３ ｜ ＋２ ２
（）槡 槡
３
２ ６ ×π ÷ ５ ．
把两个半径分别是 ，的铅球熔化后做成一个更大的铅球，这个大铅球的半径是
１１ ３ ５
多少（精确到 ）？ (球的体积公式是 ４ ，其中 是球的半径)
０．１ Ｖ ＝ πｒ３ ｒ
３
（第１１ 题）
１９
小结·评价判断下列各种说法的正误：
１
（）分数都是有理数 （ ）
１ ．
（）无限循环小数都是无理数 （ ）
２ ．
（）任何数的平方根都是无理数 （ ）
３ ．
（）无理数与无理数的和一定是无理数 （ ）
４ ．
（）无理数的平方一定是无理数 （ ）
５ ．
选择题：
２
（）一个数的算术平方根是 ，比这个数大 的数是（ ）
１ ａ ２ ．
（ ） （ ）槡
Ａ ａ ＋２ Ｂ ａ ＋２
（ ） （ ）槡
Ｃ ａ２ ＋２ Ｄ ａ －２
（）已知 的平方根是 ，则 的立方根是（ ）
２ ａ ±８ ａ ．
（ ） （ ）
Ａ ±４ Ｂ ±２
（ ） （ ）
Ｃ ２ Ｄ ４
如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容
３
器内水中，使容器中的水面升高 ，如果容器的底面半径
３ ｃｍ
是 ，求正方体铁块的棱长（ 取 ，精确到 ）
１０ ｃｍ π ３．１４ ０．１ ｃｍ ．
已知一个正方体的棱长是 ，再作一个正方体，使它的体
４ ４ ｃｍ
积是原正方体体积的 倍，求所作的正方体与原正方体的表
８
面积之比
．
如图，直径为 的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上与原点 （第３ 题）
５ １
重合的一点 到达点 ，点 表示什么数？
Ｏ Ｏ′ Ｏ′
（第５ 题）
２０
第 章 实 数
６写出一个在槡与槡之间的无理数
１ ２ ３ ．
在图 的方格网中，你能画出面积为 的格点正方形吗？一共可以画几个？
２ ６ ５ ５
（）利用计算器计算下表中上一行各式，并将结果填在表中下一行相应的格里（精
３ １
确到 ）：
０．００１
原 式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡
０．００３ ０．０３ ０．３ ３ ３０ ３００ ３０００
结 果
（）你能根据槡 ，直接说出槡 ，槡 ，槡 ，槡 ，槡 ，槡 的
２ ３ ≈ １．７３２ ０．００３ ０．０３ ０．３ ３０ ３００ ３ ０００
值吗？
类似上题，把表中所有平方根换成立方根 你能根据 槡 ，直接说出
３
４ ． ３ ≈ １．４４２
槡 ，槡 ，槡 ，槡 ，槡 ，槡 的值吗？
３ ３ ３ ３ ３ ３
０．００３ ０．０３ ０．３ ３０ ３００ ３ ０００
如图是两个面积为 的正方形，试对所给图形进行分割，然后拼成面积为 的
５ １ ２
大正方形 请在图中画出分割线，并在虚线框内画出拼成的大正方形，写出大正
．
方形的边长
．
（第５ 题）
２１
小结·评价一元一次不等式与不等式组
不等式及其基本性质
７．１
一元一次不等式
７．２
一元一次不等式组
７．３
综合与实践 排队
７．４
问题
， “ ” ， “
YZ[\0]^_‘ a, bc [d efg h
” ， ，
c 0ij．klmnopqr sFc^_‘ tuvw
（ 、 ） ； ，
cJ xyXz Xz{ |}~ sFhc^[\0_‘
(cid:127)(cid:128)(cid:129)whcJ|}~．
、
!"#9:;-<=>!?@ ABAC;-<*;
，
-<D=3E 2FGHI1;-<3478．
２２
第 章 一元一次不等式与不等式组
７７．
不等式及其基本性质
１
在前面的学习中，已经知道两个数或同类的量比较，有
相等关系，也有不等关系 下面用不等号来表示数量之间的
．
不等关系，并讨论它们的性质
．
问题 用适当的式子表示下列关系：
?
（） 与 的和不大于 ；
１ ２ｘ ３ －６
（） 的 倍与 的差小于 的 倍；
２ ｘ ５ １ ｘ ３ 图 ７ １
（） 与 的差是负数
３ ａ ｂ ．
问题 雷电的温度大约是 ，比太阳表面温
? ２８ ０００ ℃
度的 倍还要高 设太阳表面温度为 ，那么 应满足的
图 ７ ２
４．５ ． ｔ ℃ ｔ
关系式是
．
问题 一种药品每片为 ，说明书上写着：“每日 不大于，即小
? ０．２５ ｇ
于或等于，用“ ”
用量 ，分 次服用”设某人一次服用 片，那 ≤
０．７５ ～２．２５ ｇ ３ ． ｘ 表示；不小于，即
么 应满足的关系式是
ｘ ． 大于 或 等 于，用
“ ”表示
用不等号（ 、 、 、 或 ）表示不等关系的式子叫 ≥ ．
＞ ≥ ＜ ≤ ≠
做不等式（ ）
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ．
甲市某天最低气温为 ，最高气温为 ，设该市这天某一时刻的气温为 ，求
１． －１℃ ５℃ ｔ℃ ｔ
应满足的数量关系
．
某段长为 的公路 ，对行驶汽车限速为（不超过） ，一辆汽车从 到
２． ３０ ｋｍ ＡＢ ６０ ｋｍ／ｈ Ａ Ｂ
的行驶时间为 ，求 满足的数量关系
ｔ ｈ ｔ ．
２３
不等式及其基本性质
７．１我们学过利用等式的基本性质解方程，类似地，在不等
式问题的求解过程中也要利用不等式的基本性质 下面我们
．
先来讨论不等式的基本性质
．
如图 ，在一台天平两端的托盘中分别放置了
７ ３
质量为 ，的物体，图中天平倾斜，这直观地说明
ａ ｂ ａ＞ｂ．
图 ７ ３
这时，如果在两端托盘中同时加上质量为 的物体，天
ｃ
平的倾斜方向会改变吗？这反映的数量关系是什么呢？
不等式有如下的基本性质：
性质 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同
１
一个整式，不等号的方向不变 即
．
如果 ，那么 ，
ａ ＞ ｂ ａ ＋ ｃ ＞ ｂ ＋ ｃ ａ － ｃ ＞ ｂ － ｃ．
对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩
大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么
天平的倾斜方向会改变吗？
２４
第 章 一元一次不等式与不等式组
７性质 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不
２
等号的方向不变 即
．
如果 ， ，那么 ，ａ ｂ
ａ ＞ ｂ ｃ ＞ ０ ａｃ ＞ ｂｃ ＞ ．
ｃ ｃ
如果 ，那么它们的相反数 与 哪
１． ａ ＞ ｂ －ａ －ｂ
个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说
明吗？
如果 ，那么 ，这个式子可理
２． ａ ＞ ｂ － ａ ＜－ ｂ
解为：
（ ） （ ）
ａ × －１ ＜ ｂ × －１ ．
这样，对于不等式 ，两边同乘以 ，会得
ａ ＞ ｂ －３
到什么结果呢？
如果 ， ，那么 与 有怎样的大
３． ａ ＞ ｂ ｃ ＜ ０ ａｃ ｂｃ
小关系？
性质 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不
３
等号的方向改变 即
．
如果 ， ，那么 ，ａ ｂ
ａ ＞ ｂ ｃ ＜ ０ ａｃ ＜ ｂｃ ＜ ．
ｃ ｃ
性质 如果 ，那么
４ ａ ＞ｂ ｂ ＜ａ．
例如，由 ，可得
３ ＞ｘ ｘ ＜３．
２５
不等式及其基本性质
７．１如图 ，设数轴上的三个点 ，， 分别表示
７ ４ Ａ Ｂ Ｃ
三个实数 ，， 从中你能发现不等式的什么性质？
ａ ｂ ｃ．
图 ７ ４
由上可得：
性质 如果 ， ，那么
５ ａ ＞ｂ ｂ ＞ｃ ａ ＞ｃ．
例如，由 ， ，可得
∠Ａ ＞ ∠Ｂ ∠Ｂ ＞ ３０° ∠Ａ ＞ ３０°．
等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不
同点？
如果 ，用不等号连接下列各式的两边：
１ ａ ＜ ｂ
（） ； （） ；
１ ４ａ ４ｂ ２ ａ －１０ ｂ －１０
（）１ １ ； （） ５ ５
３ ａ ｂ ４ － ａ － ｂ．
３ ３ ２ ２
若 ，判断下列不等式是否正确：
２ ｍ ＞ ｎ
（） （ ）
１ ｍ －７ ＜ ｎ －７．
（） （ ）
２ ３ｍ ＜ ３ｎ．
（） （ ）
３ －５ｍ ＞－５ｎ．
（）ｍ ｎ （ ）
４ ＞ ．
９ ９
如果 ， ， ，用不等号连接下列各式的两边：
３ ｘ ≥ ｙ ａ ＜ ０ ｂ ＞ ０
２６
第 章 一元一次不等式与不等式组
７（）ｘ ｙ ； （） ；
１ ２ ｂｘ ｂｙ
ａ ａ
（） ； （）
３ ２ｘ ｘ ＋ｙ ４ ａｂｘ ａｂｙ．
如图，若天平右盘中每个砝码的质量都是 ，则
４ １ ｇ
图中药品 的质量在什么范围内？
Ａ
（第 题）
４
习题
７． １
用不等式表示下列关系：
１
（） 是正数； （） 是负数；
１ ａ ２ ａ
（） 与 的和是正数； （） 减 的差是负数；
３ ａ ５ ４ ｂ ５
（） 的 倍大于或等于 ； （） 的一半小于
５ ｘ ３ ９ ６ ｙ ３．
已知 ，判断下列不等式是否成立：
２ ａ ＜ ｂ
（） （ ）
１ ａ －３ ＜ ｂ －３．
（） （ ）
２ ２ａ ＜ ２ｂ．
（） （ ）
３ －５ａ ＜－５ｂ．
（） （ ）
４ －４ａ ＋２ ＜－４ｂ ＋２．
用“ ”或“ ”填空：
３ ＞ ＜
（）如果 ，那么 ；
１ ａ －１ ＜ ｂ －１ ａ ｂ
（）如果 ，那么 ；
２ ３ａ ＞ ３ｂ ａ ｂ
（）如果 ，那么 ；
３ －ａ ＜－ｂ ａ ｂ
（）如果 ，那么 ；
４ ２ａ ＋１ ＜ ２ｂ ＋１ ａ ｂ
（）如果 ，那么 （ ） （ ）
５ ａ ＞ ｂ ａ ａ － ｂ ｂ ａ － ｂ ．
根据不等式的基本性质，将下列不等式化成“ ”或“ ”的形式：
４ ｘ ＞ ａ ｘ ＜ ａ
（） ； （） ； （）ｘ ； （）
１ ｘ －１ ＜ ３ ２ ６ｘ ＜ ５ｘ －２ ３ ＜ ５ ４ －４ｘ ＞ ３．
３
用“ ”或“ ”填空：
５ ＜ ＞
（）当 ， 时， ； （）当 ， 时， ；
１ ａ ＞ ０ ｂ ０ ａｂ ＞ ０ ２ ａ ＞ ０ ｂ ０ ａｂ ＜ ０
（）当 ， 时， ； （）当 ， 时，
３ ａ ＜ ０ ｂ ０ ａｂ ＞ ０ ４ ａ ＜ ０ ｂ ０ ａｂ ＜ ０．
比较下面各题中两个数的大小：
６
（）槡 与 槡（ ）； （）槡与槡
１ ３ －２７ － －２ ２ ２ ８ ３ ２８．
２７
不等式及其基本性质
７．１７．
一元一次不等式
２
问题 某公司的统计资料表明，科研经费每增加 万
１
元，年利润就增加 万元 如果该公司原来的年利润为
１．８ ． ２００
万元，要使年利润超过 万元，那么增加的科研经费应高
２４５
于多少万元？
图 ７ ５
设该公司增加科研经费 万元，那么年利润就增加
ｘ １．８ｘ
万元 因为年利润要超过 万元，所以
． ２４５
２００ ＋１．８ｘ ＞ ２４５．
这样，就得到了含有未知数的不等式 像这种含有一个未
．
知数，未知数的次数是 、且不等号两边都是整式的不等式叫
１
做一元一次不等式（ ）
ｌｉｎｅａｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ．
对于不等式 ：
２００ ＋１．８ｘ ＞ ２４５
当 取 时，代入原不等式左边，得
ｘ ２６
２００ ＋１．８ ×２６ ＝ ２４６．８．
当 取 时，代入原不等式左边，得
ｘ ２５
２００ ＋１．８ ×２５ ＝ ２４５．
当 取 时，代入原不等式左边，得
ｘ ２４
２００ ＋１．８ ×２４ ＝ ２４３．２．
２８
第 章 一元一次不等式与不等式组
７这就 是 说，当 取 某 些 值 （如 ）时，不 等 式
ｘ ２６
成立；当 取另外一些值（如 ， ）时，
２００ ＋１．８ｘ ＞２４５ ｘ ２５ ２４
不等式 不成立
２００ ＋１．８ｘ ＞ ２４５ ．
判断下列给出的数中哪些能使不等式
１
成立：
２００ ＋１．８ｘ ＞ ２４５
， ， ， ，
３０．５ ２４．５ ２５．５ ２２ １０．
你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？
２
能找多少个？
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不
等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集
（ ）
ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ．
由上可知，大于 的任何一个实数（如 ， 等）都
２５ ２６ ３０．５
是不等式 的解，而所有这些解的全体 （
２００ ＋１．８ｘ ＞２４５ ｘ ＞
）称为这个不等式的解集
２５ ．
求 不 等 式 解 集 的 过 程 叫 做 解 不 等 式 （
ｓｏｌｖｉｎｇ
）
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ．
例 解不等式： （ ）
１ ２ｘ ＋５ ≤７ ２ －ｘ ．
解 去括号，得
２ｘ ＋５ ≤１４ －７ｘ．
移项，得
２ｘ ＋ ７ｘ ≤１４ － ５．
合并同类项，得
９ｘ ≤９．
２９
一元一次不等式
７．２系数化成 ，得
ｘ １
ｘ ≤１．
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 如 ，
． ｘ ≤１
可用数轴上表示 的点以及左边所有点来表示（图 ）
１ ７ ６ ．
图 ７ ６
解集 包括 ，则在数轴上把表示 的点画成实
ｘ ≤ １ １ １
心点
．
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
１
（） ； （） ；
１ ２ｘ ≥－８ ２ －４ｘ ≤２
（） ； （）
３ ５ｘ －４ ≤７ｘ －１ ４ ２ｘ －５ ≥２ ＋５ｘ．
解下列不等式：
２
（） （ ） ； （） （ ）
１ ３ １ －ｘ ≤ ｘ ＋８ ２ １２ －２ｘ ≥３ ２ｘ －３ ．
解本节问题中的不等式：
３．
２００ ＋１．８ｘ ＞ ２４５．
例 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
２
４ ＋ｘ ｘ
－１ ＜ ．
３ ２
解 去分母，得
（ ）
２ ４ ＋ｘ －６ ＜ ３ｘ．
去括号，得
８ ＋２ｘ －６ ＜ ３ｘ．
移项、合并同类项，得
－ｘ ＜－２．
３０
第 章 一元一次不等式与不等式组
７系数化成 ，得
ｘ １
ｘ ＞ ２．
在数轴上表示不等式的解集（图 ）
７ ７ ．
图 ７ ７
解集 不包括 ，所以在数轴上把表示 的点画成
ｘ ＞ ２ ２ ２
空心点
．
一元一次方程的解法与一元一次不等式的解法
有哪些相同点和不同点？为什么解法会有不同？
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
１
（） ； （） ；
１ ｘ ＋５ ＞ ２ ２ ２ｘ ＜－２
（） ； （）
３ １５ －７ｘ ＞ ３ｘ ＋５ ４ ４ｘ －７ ＞ ２ｘ ＋５．
解下列不等式：
２
（）３ｘ ＋７ ； （）２ｘ ＋１ ｘ －３
１ ＞ ｘ －１ ２ ＞ ．
５ －１５ ３
当 取什么值时，代数式 的值
３ ｘ ４ｘ －１
（）大于 ； （）小于 的值
１ ７ ２ －２ｘ ＋５ ．
设 ， ， 表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况
４ ▲ ■ ●
如图所示，那么 ， ， 这三种物体的质量从大到小的顺序
▲ ■ ●
排列应为（ ）
．
（ ） ， ， （ ） ， ，
Ａ ■ ● ▲ Ｂ ■ ▲ ●
（ ） ， ， （ ） ， ，
Ｃ ▲ ● ■ Ｄ ▲ ■ ● （第４ 题）
３１
一元一次不等式
７．２例 松山公园菊花展个人票每张 元， 人以上（含
３ １０ ２０
人）的团体票 折优惠 在人数不足 人的情况下，试问
２０ ８ ． ２０
何时买 人的团体票比买个人票要便宜？
２０
解 设人数为 ，买个人票需要 元，买 人的团体
ｘ １０ｘ ２０
票需要 元，根据题意，得
２０ ×１０ ×８０％
图 ７ ８ １０ｘ ＞ ２０ ×１０ ×８０％．
解不等式，得
ｘ ＞ １６．
因为人数必须是小于 的整数，即 因此，当人
２０ ｘ ＜ ２０．
数是 ， ， 时，买 人的团体票比买个人票要便宜
１７ １８ １９ ２０ ．
学校准备用 元购买名著和辞典，其中名著每套 元，辞典每本 元 现已购买
１ ２０００ ６５ ４０ ．
名著 套，问最多还能买辞典多少本？
２０
某班级共有 名学生，准备召开元旦晚会，需租用场地和音响设备，其费用为 元，
２ ５０ ５００
同时为每位学生提供水果和点心 如果总费用预算不超过 元，问最多可以给每位
． ７５０
学生准备用于买水果和点心的费用为多少？
某种导火绳燃烧的速度是 ，一位工人点燃导火绳后以 的速度跑到距
３ ０．８ ｃｍ／ｓ ６ ｍ／ｓ
爆破点 以外的安全区，问导火绳至少要多长？
１２０ ｍ
习题
７． ２
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
１
（） ２ ； （） ；
１ － ｘ ＜－４ ２ １４ －７ｘ ≤９ －２ｘ
３
（） （ ） （ ）； （） （ ）
３ ４ ｘ －３ ≤２ ｘ －１ ４ １１ － ３ｘ ≥２ ｘ － ２ ．
设代数式 （ ）的值不大于 ，求 的取值范围
２ ３ １ －２ｘ －２ ｘ ．
３２
第 章 一元一次不等式与不等式组
７解下列不等式：
３
（） ６ｘ ＋１；
１ ２ｘ －４ ＞
２
（） １ （ ） ３ ；
２ ｘ － ４ｘ －１ ＜
２ ２
（ ）
（）４ ＋ｘ ４ ｘ ＋１ ；
３ ＋１ ≥
２ ３
（）２ｘ － ５ ｘ ＋ ２
４ ＞ ３ｘ － ．
６ ４
根据下列用数轴表示的不等式的解集，写出一个相应的含 的不等式：
４ ｘ
（第４ 题）
求满足不等式 （ ） 的所有正整数解
５ ３ ｘ －２ ＜ １２ ．
甲步行的速度为 ，先走 后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行
６ ５ ｋｍ／ｈ ３０ ｍｉｎ
的速度最快为 ，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？
６ ｋｍ／ｈ
李老师每天都是骑摩托车从家到学校，离家最初的 ，平均速度为 ，超
７． ６ ｋｍ ３０ ｋｍ／ｈ
过 后，平均速度为 这样，李老师每天从家到学校所需时间不超过
６ ｋｍ ５０ ｋｍ／ｈ．
，求李老师家到学校的距离最远是多少？
０．５ ｈ
一水果商某次按每千克 元购进一批苹果，销售过程中有 的苹果正常损耗
８． ４ ２０％ ．
问该水果商把售价定为多少时可以避免亏本？
学校举行环保知识竞赛，共有 个问题，答对一题得 分，不答或答错一题扣
９ ２０ ５ ３
分 如果王林希望自己的得分不低于 分，那么他至少应答对多少题？
． ８０
你能举出一个生活中的事例，来说明不等式 的实际意义吗？
１０ ２ｘ ＋５ ＞１１
３３
一元一次不等式
７．２７．
一元一次不等式组
３
问题 小莉带 元钱去超市买作业本，她拿了 本，
? ５ ５
付款时钱不够，于是小莉退掉一本，收银员找给她一些零钱
．
请你估计一下，作业本单价约是多少元？
设作业本的单价为 元，那么 本作业本的价格为
图 ７ ９ ｘ ５ ５ｘ
元，根据“付款时钱不够”可知：
５ｘ ＞ ５．
退掉一本，即 本作业本的价格应为 元，由于收银员
４ ４ｘ
还找了一些零钱，于是
４ｘ ＜ ５．
这里，作业本的单价 应同时满足上述两个不等式
ｘ ．
我们把这两个不等式合写在一起，并用括号括起来，就
得到一个不等式组：
，
{５ｘ ＞ ５ ①
４ｘ ＜ ５． ②
问题 某村种植杂交水稻 ，去年的总产量是
? ８ ｈｍ２
今年改进了耕作技术，估计总产量比去年增产
９４８００ ｋｇ．
（包括 和 ）那么今年水稻平均每公顷的产
２％ ～４％ ２％ ４％ ．
量将会在什么范围内？
设今年水稻平均每公顷的产量为 ，则今年水稻的总
ｘ ｋｇ
产量为 ，根据题意，得
８ｘ ｋｇ
（ ），
{８ｘ ≥９４８００ × １ ＋２％ ①
（ ）
图 ７ １０ ８ｘ ≤９４８００ × １ ＋４％ ． ②
３４
第 章 一元一次不等式与不等式组
７像上面这样，由几个含有同一个未知数的一元一次不等
式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组（
ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ
）这几个一元一次不等式解集的
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ．
公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集
．
求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组
．
例 解不等式组：
１
，
{２ｘ ＋３ ＞ ０ ①
３ ＋ｘ ＜ ３ｘ －１． ②
解 解不等式 ，得
①
ｘ ＞－１．５．
解不等式 ，得
②
ｘ ＞ ２．
在数轴上分别表示这两个不等式的解集（图 ）
７ １１ ．
利用数轴来
确定不等式组的
解集，直观方便
．
图 ７ １１
由图 可知，这两个不等式解集的公共部分，是原
７ １１
不等式组的解集，因此，原不等式组的解集是
ｘ ＞ ２．
说出下列不等式组的解集：
１
， ，
（）{ｘ ＞ ０ （）{ｘ ＜－５
１ ； ２ ；
ｘ ＞－２ ｘ ＜－１
， ，
（）{ｘ ＞ ２ （）{ｘ ＜ ０
３ ； ４
ｘ ＜ ７ ｘ ＞ ３．
解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
２
， ，
（）{２ｘ －１ ≥ ｘ ＋１ （）{５ｘ ＋６ ＞ ４
１ ； ２
ｘ ＋８ ＜ ４ｘ ＋１ １５ ＋９ｘ ＜ １０ －４ｘ．
３５
一元一次不等式组
７．３例 解不等式组：
２
，
{５ｘ －２ ＜ ７ｘ －４ ①
２ｘ －１ ３ｘ ＋１
＞ ． ②
３ ２
解 解不等式 ，得
①
ｘ ＞ １．
解不等式 ，得
②
ｘ ＜－１．
在数轴上分别表示这两个不等式的解集（图 ）
７ １２ ．
图 ７ １２
从图 可知，这两个不等式的解集无公共部分，因
７ １２
此，原不等式组无解
．
解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
１
（ ），
， {ｘ －２ ， {５ｘ －２ ＞ ３ ｘ ＋１
（）{２ｘ ＋５ ＞ ５ｘ ＋２ （） ≥１ （）
１ （ ） ； ２ ３ ３ ７ ３
２ ｘ －１ ＞ ３ｘ ； － ｘ －１ ≥７ － ｘ．
３ｘ ＋２ ≥１１ ２ ２
解本节开始的问题 ，中得到的不等式组：
２ １ ２
， （ ），
（）{５ｘ ＞ ５ （）{８ｘ ≥９４８００ × １ ＋ ２％
１ ； ２ （ ）
４ｘ ＜ ５ ８ｘ ≤９４８００ × １ ＋ ４％ ．
３６
第 章 一元一次不等式与不等式组
７说一说不等式组的解集有哪几种情况？
１
假设 ，你能很快说出下列不等式组的解 如果你有
２ ａ ＜ ｂ
困难，就求助于
集吗？
数轴吧！
， ，
（）{ｘ ＞ ａ （）{ｘ ＜ ａ
１ ； ２ ；
ｘ ＞ ｂ ｘ ＜ ｂ
， ，
（）{ｘ ＞ ａ （）{ｘ ＜ ａ
３ ； ４
ｘ ＜ ｂ ｘ ＞ ｂ．
习题
７． ３
解下列不等式组：
１
， ，
（）{２ｘ －３ ＞ ｘ －４ （）{２ｘ ＋１ ＜ ７
１ ； ２
５ｘ ＋１ ＜ ３ｘ ＋３ ７ ≥３ｘ ＋４．
解下列不等式组：
２
， {ｘ －４ ，
（）{３ｘ ＜ ６ ＋５ｘ （） ≥１
１ （ ）； ２ ５
４ｘ ＜ ２ ｘ －１ （ ） ；
２ ｘ ＋１ ≥１０
（ ），
{ｘ －４ ≥３ ｘ －２
（） （）
３ １ ＋２ｘ ； ４ １１ ＜ １ －２ｘ ＜ ２１．
＞ ｘ －１
３
某生物兴趣小组要在恒温箱中培养 ， 两种菌种， 种菌种生长的温度在
３ Ａ Ｂ Ａ ３５ ～
之间， 种菌种的生长温度在 之间，那么恒温箱的温度 应该设
３８℃ Ｂ ３４ ～３６℃ ｔ ℃
定在什么范围内？
３７
一元一次不等式组
７．３７．
综合与实践
４
排 队 问 题
在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现
象，例如，医院挂号付费、银行办理业务等 除了上述有
．
形的排队，还有大量“无形”的排队现象，例如，生产线
上的原料等待加工，因故障停止运转的机器等待工人修
理等
图 ７ １３
．
某些场合下，由于排队的人很多，人们将花费很多的时
间在等待，这使人们的工作和生活受到很大影响 同时，也使
．
人们对服务机构的服务产生不满，这无疑损害了服务机构的
效益和形象
．
服务机构通常通过增加服务窗口来减少排队，但窗口增
图 ７ １４ 加过多又会造成人力、物力的浪费，一般是根据顾客可接受
的排队等待时间来安排和调整其服务窗口的
．
如何使投入的资源较少，而顾客对得到的服务又较满
意，这就需要研究排队问题，下面我们来研究最简单的排队
问题
．
问题 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾
?
客“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每 服务一位
２ ｍｉｎ
顾客 已知当窗口开始工作时，已经有 位顾客在等待，在窗
． ６
口开始工作 后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后
１ ｍｉｎ
每 都有一位“新顾客”到达
５ ｍｉｎ ．
（）设 ， ，…， 表示当窗口开始工作时已经在等
１ ｅ ｅ ｅ
１ ２ ６
待的 位顾客， ， ，…， 表示在窗口开始工作以后，按
６ ｃ ｃ ｃ
１ ２ ｎ
先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完整（这里假
设 ， ，…， 的到达时间为 ）
ｅ ｅ ｅ ０ ．
１ ２ ６
３８
第 章 一元一次不等式与不等式组
７顾 客 …
ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ
１ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６
到达时间 … 每一位顾
／ｍｉｎ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １
服务开始时间 … 客的服务开始
／ｍｉｎ ０ ２ ４
时间都等于其
服务结束时间 …
／ｍｉｎ ２ ４ ６
到达时间吗？
（）下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待
２
的时间，试将该表格补充完整
．
顾 客 …
ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ
１ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６
等待时间 …
／ｍｉｎ ０ ２ ４ ６ ８ ８ ５
（）根据上述两个表格，能否知道“新顾客”中，哪一位是
３
第一位到达服务机构而不需要排队的？求出他的到达时间
．
（）在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经
４
服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？
（）平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察
５
服务质量，问排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间
是多少？
在上述问题中，如果问题的条件变复杂（例如，当窗口
开始工作时已经在等待的顾客非常多），使用列表方法就很
不方便，你能否用代数式表示出上面的数量，总结上面表格
中的数量关系，并根据这个关系来解决问题？
问题 在问题 的条件中，当服务机构的窗口开始工
? １
作时，如果已经有 位顾客在等待（其他条件不变），且当
１０ 在 到
ｃ
“新顾客” 离去时，排队现象就此消失了，即 为第一位 ｎ＋１
ｃ ｃ 达服务机构之
ｎ ｎ＋１
到达后不需要排队的“新顾客”，问：
前，该窗口为顾
（）用关于 的代数式来表示，在第一位不需要排队的
客服务所花费
１ ｎ
“新顾客” 到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？ 的时间小于等
ｃ
ｎ＋１
为这些顾客服务共花费了多长时间？ 于 的到达
ｃ
ｎ＋１
（）用关于 的代数式表示 的到达时间 时间
．
２ ｎ ｃ ．
ｎ＋１
（）根据（）和（）得到的代数式以及它们的数量关
３ １ ２
系，求 的值
ｎ ＋１ ．
３９
综合与实践 排队问题
７．４问题 请你选择一个排队现象进行调查，并就你调查
?
发现的问题设计一个解决方案
．
一、内容整理
二、主要知识回顾
不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些相同点与不同点？
１
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有什么联系，解一元一
２
次不等式时有哪些需要注意的事项？
三、自评与互评
举例说明生活中的不等关系
１ ．
和你的同伴互出几道题，检查一下各自对一元一次不等式和不等式组
２
的掌握情况
．
你对类比的方法有什么认识？和同伴交流自己的学习体会
３ ．
举例说明应用不等式解决实际问题的一般过程 你能编一道可用不等
４ ．
式解决的问题吗？
４０
第 章 一元一次不等式与不等式组
７填空：
１
（） 的１ 与 的差为正数，用不等式表示为 ；
１ ｘ ｘ
３
（）某种植物生长的适宜温度不能低于 ，也不能高于 ，若设该种植物生
２ １８℃ ２２℃
长的适宜温度为 ，则有不等式 ；
ｘ℃
（）恩格尔系数是指家庭日常食品支出占家庭经济收入的比例，它反映了居民家
３
庭的实际生活水平 根据联合国粮农组织提出的标准，不同类型家庭的恩格
．
尔系数如下表所示：
家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕
恩格尔系数（ ） 以上 不到
％ ５９ ５０ ～５８ ４０ ～４９ ３０ ～３９ ３０
设恩格尔系数为 ，请你用含 的不等式表示小康型家庭的恩格尔系数的范
ｎ ｎ
围 ；
（）如果 ，那么 ；
４ ａ ＋ｂ ＞ ｃ ＋ｂ ａ ｃ
（）如果 ，且 ａ ｂ ，那么
５ ｃ ＜ ０ ＞ ａ ｂ．
ｃ ｃ
在下列括号内填上不等式变形的依据：
２
（）由 ，得 ； （ ）
１ ３ｘ －５ ＞ １ ３ｘ ＞ ６
（）由 ，得 １ ； （ ）
２ －２ｘ ＞ １ ｘ ＜－
２
（）由 ，得 ； （ ）
３ １ －ｘ ＜ ３ －ｘ ＜ ２
（）由 １ １ ，得 ５ （ ）
４ ｘ ＞ ｘ ＞ ．
５ ３ ３
解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集：
３
（） （ ） ；
１ ７ －２ ｘ －３ ≤５ｘ －１
（） ｘ ｘ ＋１０
２ １ － ≤ ．
３ ２
解下列不等式组：
４
， {３ｘ －５ ，
（）{２ｘ －３ ＞ ｘ －１ （） ≤ ｘ －２
１ ； ２ ２
２ｘ ＋９ ＜ ４ｘ －１ （ ） （ ）；
３ ｘ －１ ＜ ４ ｘ －１
４１
小结·评价，
（） ； （）{ｘ －１ ＜ ０
３ １ ＜ ４ｘ －３ ＜ ５ ４
１ －ｘ ≥３．
某乡在遭遇洪水后，为排除局部低洼地的内涝，安排了抽水速度为 的
５ ２０ ｍ３／ｍｉｎ
抽水机 台同时工作，估计积水量为 ，问大约需多少时间
５ １．５ ×１０５ ～１．８ ×１０５ ｍ３
才能将积水排完？
选择：
１
（）由 能得到 ，则（ ）
１ ｘ ＜ ｙ ａｘ ＞ ａｙ ．
（ ） （ ）
Ａ ａ ≥０ Ｂ ａ ≤０
（ ） （ ）
Ｃ ａ ＞ ０ Ｄ ａ ＜ ０
（）若 ，则下列各式中，不能成立的是（ ）
２ ａ ＜ ｂ ＜ ０ ．
（ ）１ １ （ ）
Ａ ＜ Ｂ ａ －ｂ ＜ ０
ｂ ａ
（ ）ａ （ ）ａ
Ｃ ＞ １ Ｄ ＜ １
ｂ ｂ
（）若 ，则不等式 的解集是（ ）
３ ｍ ＜ ０ ｍｘ ＋ｎ ＜ ０ ．
（ ） ｎ （ ） ｎ
Ａ ｘ ＞ － Ｂ ｘ ＜－
ｍ ｍ
（ ） ｎ （ ） ｎ
Ｃ ｘ ＞ Ｄ ｘ ＜
ｍ ｍ
求不等式组 １ ＋２ｘ 的整数解
２ －２ ≤ ≤２ ．
３
三个连续自然数组成一个自然数组，其和小于 ，问这样的自然数组共有多少组？
３ １６
把它们分别写出来
．
求满足下面不等式组中整数 的最大值和最小值：
４ ｘ
 ４ ，
ｘ ＞ ｘ －２
 ３

 ３ｘ ＋２
≥２ｘ ＋１．
 ４
４２
第 章 一元一次不等式与不等式组
７如果关于 的不等式 （ ） 可化为 ３ ，试确定 的取值范围
５ ｘ １ －ｍ ｘ ＞ ３ ｘ ＜ ｍ ．
１ －ｍ
如图，数轴上 ， 两点对应实数 ，，用“ ”或“ ”填空：
６ Ａ Ｂ ａ ｂ ＞ ＜
（） ； （） ；
１ ａ ＋ｂ ０ ２ ａｂ ０
（） ； （）
３ ａ －ｂ ０ ４ ｜ａ｜ －｜ｂ｜ ０．
（第６ 题）
如果不等式 （ ） （ ）的解集是 ，那么 的取值范围是什么？
１ ａ －１ ｘ ＞ ａ －１ ｘ ＜ １ ａ
，
如果不等式组 {－ｘ ＋２ ＜ ｘ －６ 的解集是 ，那么 的取值范围是什么？
２ ｘ ＞ ４ ａ
ｘ ＞ ａ
，
方程组 {３ｘ ＋７ｙ ＝ ｋ 的解 ，都是正数，求整数
３ ｘ ｙ ｋ．
２ｘ ＋５ｙ ＝ ２０
４３
小结·评价整式乘法与因式分解
幂的运算
８．１
整式乘法
８．２
完全平方公式与
８．３
平方差公式
因式分解
８．４
综合与实践 纳米
８．５
材料的奇异特性
，
(cid:130).(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:130)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)K ｎ ｍ0I(cid:137) (cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:134)
， ， ，
(cid:135) ａ ｍ (cid:142) (cid:140)(cid:143)(cid:141)(cid:134)(cid:135) ｂ ｍ (cid:142) (cid:140)(cid:144)(cid:141)(cid:134)(cid:135) ｃ ｍ (cid:142) ３ (cid:141)(cid:134)
？
(cid:135)(cid:137)(cid:138)0(cid:138)(cid:145)(cid:146)(cid:147)-(cid:148)
，
!"#$%J<=KELM<N3 0I1OP34
78．
４４
第 章 整式乘法与因式分解
８８．
幂的运算
１
同底数幂的乘法
１
问题 我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”
计算机每秒可进行 次运算，问它工作 （
２．５７ ×１０１５ １ ｈ ３．６ ×
）可进行多少次运算？
１０３ ｓ
２．５７ ×１０１５ ×３．６ ×１０３
图 ８ １
＝ ２．５７ ×３．６ ×１０１５ ×１０３
？
＝
解决这个问题需要研究同底数幂的乘法
．
怎样计算 · ？
ａｍ ａｎ
先完成下表：
算 式 运算过程 结 果
２２ ×２３ ２ ×２ ×２ ×２ ×２ ２５
１０３ ×１０４
·
ａ２ ａ３
·
ａ４ ａ５
观察上表，发现同底数幂相乘有什么规律？
４５
幂的运算
８．１一般地，如果字母 ， 都是正整数，那么
ｍ ｎ
· （· ·…·
ａｍ ａｎ ＝ ａ ａ
４６
第 章 整式乘法与因式分解
８
      
）（· ·…·
ａ ａ ａ
个
ｍ
      
）
ａ
个
· ·…· ｎ
＝ ａ ａ
      
ａ
（ ）个
ｍ＋ｎ
＝ ａｍ＋ｎ．
由此得幂的运算性质 ：
１
· （ ， 都是正整数）
ａｍ ａｎ ＝ ａｍ＋ｎ ｍ ｎ ．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
．
例 计算：
１
（） ( １ )５ ( １ )８； （）（ ） （ ）；
１ × ２ －２ ２ × －２ ７
２ ２
（） · · ； （）（ ）·
３ ａ２ ａ３ ａ６ ４ －ｙ ３ ｙ４．
解 （） ( １ )５ ( １ )８ ( １ )５＋８ ( １ )１３
１ × ＝ ＝ ．
２ ２ ２ ２
（）（ ） （ ） （ ） （ ）
２ －２ ２ × －２ ７ ＝ －２ ２＋７ ＝ －２ ９ ＝－２９．
（） · ·
３ ａ２ ａ３ ａ６ ＝ ａ２＋３＋６ ＝ ａ１１．
（）（ ）· ·
４ －ｙ ３ ｙ４ ＝－ｙ３ ｙ４ ＝－ｙ３＋４ ＝－ｙ７．
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
１
（） ； （ ）
１ ｘ３ ＋ｘ３ ＝ ｘ６
（） · ； （ ）
２ ｘ３ ｘ３ ＝ ２ｘ３
（） · ； （ ）
３ ｃ ｃ３ ＝ ｃ３
（） （ ）
４ ｃ ＋ｃ３ ＝ ｃ４．
计算：
２
（） ； （） · ；
１ １０５ ×１０３ ２ －ａ２ ａ５
（） ·（ ）； （） ·（ ）；
３ －ｘ３ －ｘ ５ ４ ｙ８ －ｙ
（）（ ）· ·（ ）； （）（ ）·（ ）·（ ）
５ －ｘ ２ ｘ３ －ｘ ３ ６ －ｙ ２ －ｙ ３ －ｙ ．幂的乘方与积的乘方
２
怎样计算（ ）？
ａｍ ｎ
先完成下表：
算 式 运算过程 结 果
（ ）
５２ ３ ５２ ×５２ ×５２ ５６
（ ）
２３ ２
（ ）
ａ２ ３
（ ）
ａ３ ４
观察上表，发现幂的乘方有什么规律？
一般地，如果字母 ， 都是正整数，那么
ｍ ｎ
（ ）
ａｍ ｎ ＝
＝
＝ ．
由此得幂的运算性质 ：
２
（ ） （ ， 都是正整数）
ａｍ ｎ ＝ ａｍｎ ｍ ｎ ．
幂的乘方，底数不变，指数相乘
．
例 计算：
２
（）（ ）； （）（ ）； （）（ ）
１ １０５ ３ ２ ｘ４ ２ ３ －ａ２ ３．
解 （）（ ）
１ １０５ ３ ＝ １０５×３ ＝ １０１５．
（）（ ）
２ ｘ４ ２ ＝ ｘ４×２ ＝ ｘ８．
（）（ ）
３ －ａ２ ３ ＝－ａ２×３ ＝－ａ６．
４７
幂的运算
８．１计算：
１
（）（ ）； （）（ ）；
１ １０６ ３ ２ －ａ３ ４
（） （ ）； （）（ ）；
３ － ｘ３ ５ ４ －ｙ３ ２
（）（ ）·（ ）； （） ·（ ）
５ －ａ３ ２ ａ４ ３ ６ －ｘ３ －ｘ２ ３．
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
２
（）（ ） ； （ ）
１ ｘ３ ２ ＝ ｘ５
（） · ； （ ）
２ ｘ３ ｘ２ ＝ ｘ６
（） · · ； （ ）
３ ｘ２ ｘ２ ｘ２ ＝ ｘ３＋２
（） · （ ） （ ）
４ ｘ３ ｘ２ ＝ ｘ３ ２ ＝ ｘ３×２．
怎样计算（ ），（ ），（ ）？
ａｂ ２ ａｂ ３ ａｂ ４
（ ） （ ）·（ ） （ ）·（ ） ；
ａｂ ２ ＝ ａｂ ａｂ ＝ ａａ ｂｂ ＝ ａ２ｂ２
（ ） ；
ａｂ ３ ＝ ＝ ＝
（ ）
ａｂ ４ ＝ ＝ ＝ ．
一般地，如果字母 是正整数，那么
ｎ
我们知道两个 （ ）
ａｂ ｎ ＝
整数相乘时，它们
＝
都是积的因数 类
．
＝ ．
似地， 和 相乘
ａ ｂ 由此得幂的运算性质 ：
时， 和 叫做积 ３
ａ ｂ
（ ） （ 是正整数）
ａｂ 的因式 ． ａｂ ｎ ＝ ａｎｂｎ ｎ ．
积的乘方等于各因式乘方的积
．
４８
第 章 整式乘法与因式分解
８例 计算：
３
（）（ ）； （）（ ）
１ ２ｘ ４ ２ －３ａｂ２ｃ３ ２．
解 （）（ ） ·
１ ２ｘ ４ ＝ ２４ ｘ４ ＝ １６ｘ４．
（）（ ） （ ）· ·（ ）·（ ）
２ －３ａｂ２ｃ３ ２ ＝ －３ ２ ａ２ ｂ２ ２ ｃ３ ２
＝ ９ａ２ｂ４ｃ６．
例 球的体积公式是 ４ （为球的半径）已知
４ Ｖ ＝ πｒ３ ｒ ．
３
地球半径约为 ，求地球的体积（ 取 ）
６．４ ×１０３ ｋｍ π ３．１４ ．
解 ４
Ｖ ＝ πｒ３
３
４ （ ）
＝ ×３．１４ × ６．４ ×１０３ ３
３
图 ８ ２
４
＝ ×３．１４ ×６．４３ ×１０９
３
（ ）
≈１．１ ×１０１２ ｋｍ３ ．
因而，地球的体积约为
１．１ ×１０１２ ｋｍ３．
计算：
１
（）（ ）； （）（ ）
１ ２ ×１０３ ３ ２ －３ ×１０４ ２．
计算：
２
（）（ ）； （）（ ）
１ ３ｍ ２ ２ －２ａ３ｂ２ｃ ２．
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
３
（）（ ） ； （ ）
１ ａ３ｂ ３ ＝ ａ３ｂ３
（）（ ） ； （ ）
２ ６ｘｙ ２ ＝ １２ｘ２ｙ２
（） （ ） ； （ ）
３ － ３ｘ３ ２ ＝ ９ｘ６
（）（ ） （ ）
４ －２ａｘ２ ２ ＝－４ａ２ｘ４．
球的表面积公式为 已知地球半径约为 ，求地球的表面积
４ Ｓ ＝ ４πｒ２． ６．４ ×１０３ ｋｍ
（ 取 ）
π ３．１４ ．
４９
幂的运算
８．１同底数幂的除法
３
怎样计算 ？
ａｍ ÷ａｎ
先完成下表：
算 式 运算过程 结 果
３ ×３ ×３ ×３ ×３
３５ ÷３２ ３３
３ ×３
４６ ÷４３
ａ４ ÷ａ２
ａ５ ÷ａ３
观察上表，发现同底数幂相除有什么规律？
一般地，如果字母 ， 都是正整数（ ），那么
ｍ ｎ ｍ ＞ ｎ
ａｍ ÷ａｎ ＝
＝ ．
由此得幂的运算性质 ：
４
（ ， ， 都是正整数，且 ）
ａｍ ÷ ａｎ ＝ ａｍ－ｎ ａ≠０ ｍ ｎ ｍ ＞ ｎ ．
同底数幂相除，底数不变，指数相减
．
计算：
１
（） ； （）（ ） （ ）；
１ ａ１０ ÷ａ５ ２ －ｘｙ ３ ÷ －ｘｙ
（）（ ） （ ）； （）（ ）
３ ａ －ｂ ５ ÷ ｂ －ａ ４ ４ ｙｍ ２ ÷ｙｍ．
５０
第 章 整式乘法与因式分解
８下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
２
（） ； （ ）
１ ａ１０ ÷ａ２ ＝ ａ５
（） ； （ ）
２ ｘ５ ÷ｘ４ ＝ ｘ
（） ； （ ）
３ ａ３ ÷ａ ＝ ａ３
（）（ ） （ ） ； （ ）
４ －ｂ ４ ÷ －ｂ ２ ＝－ｂ２
（）（ ） （ ） ； （ ）
５ －ｘ ６ ÷ －ｘ ＝ ｘ６
（）（ ） （ ）
６ －ｙ ３ ÷ｙ２ ＝ ｙ．
我们已经得到了当 时， （ ）的
ｍ ＞ ｎ ａｍ ÷ａｎ ａ≠０
运算法则，那么当 （ ， 都是正整数）时，
ｍ ≤ ｎ ｍ ｎ
（ ）又如何计算呢？
ａｍ ÷ａｎ ａ ≠０
（）当被除式的指数等于除式的指数（即 ）时，
１ ｍ ＝ ｎ
例如，
， ，
３３ ÷３３ １０８ ÷１０８ ａｎ ÷ａｎ．
容易看出所得的商都是 另一方面，仿照同底数幂的
１．
除法性质进行计算，得
，
３３ ÷３３ ＝ ３３－３ ＝ ３０
， 比较两种
１０８ ÷１０８ ＝ １０８－８ ＝ １００
算法，你有什么
ａｎ ÷ａｎ ＝ ａｎ－ｎ ＝ ａ０． 发现？
这样就出现了零次幂 我们约定：
．
（ ）
ａ０ ＝ １ ａ ≠０ ．
任何一个不等于零的数的零次幂都等于
１．
（）当被除式的指数小于除式的指数（即 ）时，
２ ｍ ＜ ｎ
５１
幂的运算
８．１例如，
， ，
３２ ÷３５ １０４ ÷１０８ ａｍ ÷ａｎ．
那么可以通过分数约分，得
３２ ３２ １ ，
３２ ÷３５ ＝ ＝ ＝
３５ ３２ ×３３ ３３
１０４ １０４ １ ，
１０４ ÷１０８ ＝ ＝ ＝
１０８ １０４ ×１０４ １０４
ａｍ １ １ （ ）
ａｍ ÷ａｎ ＝ ＝ ＝ ｐ ＝ ｎ －ｍ ．
ａｎ ａｎ－ｍ ａｐ
另一方面，仿照同底数幂的除法性质进行计算，得
，
３２ ÷３５ ＝ ３２－５ ＝ ３－３
，
１０４ ÷１０８ ＝ １０４－８ ＝ １０－４
正整数次幂
的运算性质同样 ａｍ ÷ａｎ ＝ ａｍ－ｎ ＝ ａ－ｐ．
适合于零次幂和 这样就出现了负整数次幂 我们约定：
．
负整数次幂
． １ （ ， 是正整数）
ａ－ｐ ＝ ａ ≠０ ｐ ．
ａｐ
任何一个不等于零的数的 （ 是正整数）次幂，等于
－ｐ ｐ
这个数的 次幂的倒数
ｐ ．
有了上述约定，我们再遇到计算 时，就不必限制
ａｍ ÷ａｎ
了
ｍ ＞ ｎ ．
例 计算：
５
（） ； （） ( １ )０ ( １ ) －２；
１ １０６ ÷１０６ ２ ÷
７ ７
（）（ ） （ ）
３ －２ ３ ÷ －２ ５．
解 （）
１ １０６ ÷１０６ ＝ １０６－６ ＝ １００ ＝ １．
（ ）
（） ( １ )０ ( １ ) －２ ( １ )０－ －２ ( １ )２ １
２ ÷ ＝ ＝ ＝ ．
７ ７ ７ ７ ４９
（）（ ） （ ） （ ） （ ）
３ －２ ３ ÷ －２ ５ ＝ －２ ３－５ ＝ －２ －２
１ １
＝ （ ） ＝ ．
－２ ２ ４
５２
第 章 整式乘法与因式分解
８计算：
１
（ １ ） ３９ ÷３７ ； （ ２ ）( ３ )４ ÷ ( ３ )３；
８ ８
（）( ２ )５ ( ２ )６
３ － ÷ － ．
５ ５
计算：
２
（）（ ） （ ）； （）（ ） （ ）；
１ －ｘ １０ ÷ －ｘ ７ ２ －ｍ ５ ÷ －ｍ ９
（） ； （）（ ） （ ）；
３ ４ｍ＋２ ÷４ｍ－２ ４ ｘｙ ５ ÷ －ｘｙ ２
（）（ ） （ ）
５ －２ｘｙ ５ ÷ －２ｘｙ ５．
用分数或小数表示下列各数：
３
（
１
）
５－３
； （
２
）
２．１ ×１０－４
； （
３
）(
－
２ )－２； （
４
）（
－４
）
－３．
３
前面我们学过用科学记数法来表示一些绝对值大于
１０
的数，例如， 可记作 那么，绝对值小于
２２８００００ ２．２８ ×１０６． １
的数如何表示呢？不难得出
１ １ ，
０．０００００１ ＝ ＝ ＝ １０－６
１００００００ １０６
－４．３ －４．３
－０．０００４３ ＝ ＝ ＝－４．３ ×１０－４．
１００００ １０４
可见，绝对值小于 的数可记成 的形式，其中
１ ±ａ ×１０－ｎ
， 是正整数， 等于原数中第一个不等于零的数
１ ≤ ａ ＜ １０ ｎ ｎ
字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），这种记数
方法也是科学记数法
．
例 用科学记数法表示下列各数：
６
（） ； （）
１ ０．０００７６ ２ －０．０００００１５９．
解 （）
１ ０．０００７６ ＝ ７．６ ×０．０００１ ＝ ７．６ ×１０－４．
（）
２ －０．０００００１５９ ＝－１．５９ ×０．０００００１ ＝－１．５９ ×１０－６．
５３
幂的运算
８．１用科学记数法表示较大或较小的数，有利于按幂的运算
性质简化计算
．
用科学记数法表示下列各数：
１
， ， ， ，
０．０６０２ －０．００６０２ ０．００００６０２ １５３．８ －３４０００．
水是由氢、氧两种元素组成的，个氢原子的质量为
２ １ １．６７４ ×
， 个氧原子的质量为 个氢原
１０－２７ ｋｇ １ ２．６５７ ×１０－２６ｋｇ． １
子与 个氧原子的质量哪个大？
１
雷达发出的微波以 的速度射向飞机，飞机再
３ ３ ×１０５ ｋｍ／ｓ
将微波反射回来，经 后雷达站收到反射微波，试
１２．６ μｓ （第３ 题）
问飞机与雷达站的距离是多少千米？（ ）
１ μｓ ＝ １０－６ ｓ
习题
８． １
计算：
１
（） · ； （） ·（ ）；
１ ａ３ ａ ２ －ｂ －ｂ ２
（） ； （） · ·
３ ３ ×３３ －３ ×９ ４ ｂ ｂ２ ｂ３．
计算：
２
（）（ ）； （） （ ）；
１ ａ５ ３ ２ － ａ２ ４
（）（ ）； （）（ ）· ；
３ －ａ３ ３ ４ ａ２ ３ ａ４
（） ·（ ）； （）（ ） （ ）
５ －ｘ ｘ２ ３ ６ ｘ３ ４ ＋ ｘ４ ３．
计算：
３
（）（ ）； （）（ ）；
１ ５ａ２ ２ ２ －４ａ３ ２
（）（ ）； （）（ ） （ ）
３ －２ｘ２ｙ ５ ４ －３ｘ２ ３ ＋ ２ｘ３ ２．
填空：
４
（）（ ） （ ） ；
１ －ａ２ ３ ÷ －ａ２ ＝
（）（ ） （ ） ；
２ ａｂ ５ ÷ ａｂ ３ ＝
５４
第 章 整式乘法与因式分解
８（） ( １ )２ （ ） （ ） ；
３ － ÷ －２ ３ ÷ －２ －２ ＝
２
（） （ ）
４ ÷ ａ２ｂ３ ＝ ａ６ｂ８．
选择：
５
（） 与 的关系是（ ）
１ ３－２ ３２ ．
（ ）互为相反数 （ ）互为倒数
Ａ Ｂ
（ ）和为零 （ ）绝对值相等
Ｃ Ｄ
（）下列运算正确的是（ ）
２ ．
（ ） （ ） ·
Ａ ａ５ ÷ａ２ ＝ ａ３ Ｂ ａ ａ３ ＝ ａ３
（ ）（ ） （ ）（ ）
Ｃ ａ２ ３ ＝ ａ５ Ｄ ａｂ３ ２ ＝ ａｂ６
选择：
６
（）( ２ ) ２０１１ （ ） （ ） 的结果是（ ）
１ × １．５ ２０１０ × －１ ２０１０ ．
３
（ ）２ （ ） ２
Ａ Ｂ －
３ ３
（ ）３ （ ） ３
Ｃ Ｄ －
２ ２
（）若 ( ３ ) －２， ( π ) ０， ，则 ， ， 三个数的大小关系
２ ａ ＝ － ｂ ＝ － ｃ ＝０．７５－１ ａ ｂ ｃ
４ ２
是（ ）
．
（ ） （ ）
Ａ ａ ＞ｂ ＞ｃ Ｂ ｃ ＞ａ ＞ｂ
（ ） （ ）
Ｃ ａ ＞ｃ ＞ｂ Ｄ ｃ ＞ｂ ＞ａ
计算：
７
（）（ ） · ； （） （ ）；
１ ａ３ ２ ÷ａ４ ａ ２ ｘ６ ÷ ｘ４ ÷ｘ２
（） （ ）； （）（ ） （ ）·（ ）
３ ２ａ３ ＋ａ６ ÷ －ａ ３ ４ －５ａ３ ２ ＋ －３ａ２ ２ －ａ２ ．
计算：
８
（） ( ２ )０ ； （） ( １ )０ ；
１ － ×１０－２ ２ ×４－２ ×２４
３ ８
（） ( １ )２０１０； （）
３ ２２０１０ × ４ ２２２ ×２５１１．
２
一微型电子元件的直径约为 ，合多少米？（ 是长度单位，叫做纳米，
９ ５０ ０００ ｎｍ ｎｍ
）
１ ｎｍ ＝１０－９ ｍ
５５
幂的运算
８．１８．
整式乘法
２
单项式与单项式相乘
１
问题 光的速度大约是 ，从太阳系以外
? ３ ×１０５ ｋｍ／ｓ
距离地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要 年才能
４
到达地球，年以 计算，试问地球与这颗恒星的距离
１ ３ ×１０７ ｓ
约为多少千米？
图 ８ ３
地球与比邻星的距离应是（ ） （ ）
３ ×１０５ × ４ ×３ ×１０７ ｋｍ．
这个式子应如何计算呢？
（ ） （ ）
３ ×１０５ × ４ ×３ ×１０７
＝ ４ ×３ ×３ ×１０５ ×１０７
＝ ４ ×３２ ×１０１２
（ ）
＝ ３．６ ×１０１３ ｋｍ ．
因而，地球与这颗恒星的距离约为
３．６ ×１０１３ ｋｍ．
５６
第 章 整式乘法与因式分解
８上面的运算应用了哪些性质？
１．
如果把上面算式中的数字换成字母 例如
２． ．
，该如何计算呢？
ｂｃ５ ×ａｂｃ７
完成下面计算：
３．
· （ ）·（ · ）·（· ）
４ｘ２ｙ ３ｘｙ２ ＝ ４ ×３ ｘ２ ｙ
；
＝
·（ ）
５ａｂｃ －３ａｂ
［ （ ）］·（· ）·（· ）·
＝ ５ × －３ ａ ｂ ｃ
＝ ．
从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法
的法则吗？
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因
式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作
为积的一个因式
．
例 计算：（ ） ( １ )
１ －４ａｂｃ ａｂ ．
２
解 （ ） ( １ ) ( １ ) ·
－４ａｂｃ ａｂ ＝ －４ × ａ２ｂ２ｃ ＝－２ａ２ｂ２ｃ．
２ ２
计算：
１
（） · ； （）２ ·５ ；
１ ２ｘ２ ３ｘ３ ２ ａ２ｂ３ ａｂｃ
５ ６
（ ３ ）（ －２．５ｘ２ ）·（ －４ｘ ） ２ ； （ ４ ）（ －４ｘ２ｙ ）（ －ｘｙ ） ２( － １ ｙ３ ) ．
２
５７
整式乘法
８．２计算：
２
（）（ ） （ ） （ ）；
１ ４ ×１０５ × ５ ×１０６ × ３ ×１０４
（） ·（ ） （ ）·
２ ２ａ２ －２ａ ２ ＋ ２ａ３ ５ａ．
计算 节中的问题
３ ８１ ．
“勇气”号探测器于北京时间 年 月 日在火星上
４． ２００４ １ ４
成功登 陆 “勇 气”号 探 测 器 是 按 第 二 宇 宙 速 度
．
（ ）飞行了 个月后到达火星的，此时，它飞行 “勇气”号探测器在火星上
１１．２ ｋｍ／ｓ ６
了多少千米？（ 个月按 天计算）
１ ３０ （第４ 题）
怎样计算 ？
１５ａ４ｂ３ｘ２ ÷３ａ２ｂ３
我们知道，计算 ，就是要求一个单项
１５ａ４ｂ３ｘ２ ÷３ａ２ｂ３
式，使它与 相乘的积等于
３ａ２ｂ３ １５ａ４ｂ３ｘ２．
因为 （ ）·（ ） ，
５ａ２ｘ２ ３ａ２ｂ３ ＝ １５ａ４ｂ３ｘ２
所以
１５ａ４ｂ３ｘ２ ÷３ａ２ｂ３ ＝ ５ａ２ｘ２．
分析所得式子，能得到什么规律？
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因
式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商
的一个因式
．
例 计算：
２
（） ； （）
１ ３２ｘ５ｙ３ ÷８ｘ３ｙ ２ －７ａ８ｂ４ｃ２ ÷４９ａ７ｂ４．
解 （）
１ ３２ｘ５ｙ３ ÷８ｘ３ｙ
（ ）
＝ ３２ ÷８ ｘ５－３ｙ３－１
＝ ４ｘ２ｙ２．
５８
第 章 整式乘法与因式分解
８（）
２ －７ａ８ｂ４ｃ２ ÷４９ａ７ｂ４
［（ ） ］
＝ －７ ÷４９ ａ８－７ｂ４－４ｃ２
１
＝ － ａｃ２．
７
例 “卡西尼”号土星探测器历经 年多、行程约
３ ７
后进入环绕土星运行的轨道
３．５ ×１０９ ｋｍ ．
（）它的这一行程相当于地球赤道多少圈？（已知地球
１
半径约 ， 取 ）
６．４ ×１０３ ｋｍ π ３．１４
（）这一行程如果由速度是 的汽车来完成，
２ １００ ｋｍ／ｈ
需要行驶多少年？（ 年按 天计算）
１ ３６５ 图 ８ ４
（）这一行程如果由速度是 的短跑飞人来完
３ １０ ｍ／ｓ
成，需要跑多少年？
你还能用
解 （） （ ）
１ ３．５ ×１０９ ÷ ２ ×３．１４ ×６．４ ×１０３ 什么方法，让人
（圈）
感受 到
≈８．７ ×１０４ ． ３． ５ ×
探测器的行程相当于地球赤道约 圈 的长度？
８７０００ ． １０９ｋｍ
（） （ ） （年）
２ ３．５ ×１０９ ÷ ３６５ ×２４ ×１００ ≈４．０ ×１０３ ．
探测器的行程相当于由速度为 的汽车行驶约
１００ ｋｍ／ｈ
年
４０００ ．
（） （ ）
３ ３．５ ×１０９ ÷ ３６５ ×２４ ×３．６ ×１０３ ×１０ ×１０－３
（年）
≈１．１ ×１０４ ．
探测器的行程相当于由速度为 的短跑飞人跑约
１０ ｍ／ｓ
年
１１０００ ．
计算：
（） （ ）； （） ；
１ １５ａｂ３ ÷ －５ａｂ ２ －１０ａ２ｂ３ ÷６ａｂ２
（） ； （）（ ） （ ）
３ ６ａ２ｂ ÷３ａｂ ４ ９ ×１０８ ÷ ３ ×１０５ ．
５９
整式乘法
８．２单项式与多项式相乘
２
问题 一个施工队修筑一条路面宽为 的公路，第
? ｎ ｍ
一天修筑 长，第二天修筑 长，第三天修筑 长，
ａ ｍ ｂ ｍ ｃ ｍ
天共修筑路面的面积是多少？
３
先按题意画图 ，结合图形考虑有几种计算方法？
８ ６
图 ８ ５
图 ８ ６
方法一： 天共修筑路面的总长为 （ ） ，因为
３ ａ ＋ｂ ＋ｃ ｍ
路面的宽为 ，所以 天共修筑路面
ｎ ｍ ３ ｍ ２．
方法二：先分别计算每天修筑路面的面积，然后相加，
则 天共修筑路面
３ ｍ２．
因此，有
＝ ．
运用乘法分 事实上，因为代数式中的字母都表示数，因此，根据乘法
配律，把单项式与 分配律，可得到
多项式的相乘转
（ ）
ｎ ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝ ｎａ ＋ｎｂ ＋ｎｃ．
化为单项式与单
项式的相乘
． 单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别
相乘，再把所得的积相加
．
例 计算：
４
（）（ ）（ ）；
１ －２ｘ ｘ２ －ｘ ＋１
６０
第 章 整式乘法与因式分解
８（） （ ） （ ）
２ ａ ａ２ ＋ａ －ａ２ ａ －２ ．
解 （） （ ）（ ）
１ －２ｘ ｘ２ －ｘ ＋１
（ ） （ ）·（ ） （ ）·
＝ －２ｘ ｘ２ ＋ －２ｘ －ｘ ＋ －２ｘ １
＝ －２ｘ３ ＋２ｘ２ －２ｘ．
（） （ ） （ ）
２ ａ ａ２ ＋ａ －ａ２ ａ －２
· · ·
＝ ａ ａ２ ＋ａ ａ －ａ２ ａ ＋２ａ２
＝ ａ３ ＋ａ２ －ａ３ ＋２ａ２
＝ ３ａ２．
计算：
１
（） ·（ ）； （）( ４ )（ ）
１ ５ｘ ３ｘ ＋４ ２ ５ａ２ － ａ ＋１ －３ａ ．
３
化简：
２
（） （ ） （ ） （ ）；
１ ｘ ｘ２ ＋３ ＋ｘ２ ｘ －３ －３ｘ ｘ２ －ｘ －１
（）（ ）·（ ） ·( １ )
２ －ａ －２ａｂ ＋３ａ ａｂ － ｂ －１ ．
３
某长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，问这个长方体的体积
３ ａ ＋１ ａ ３
是多少？
（第３ 题）
如何计算 （ ） ？
ａ ＋ｂ －ｃ ÷ｍ
根据 １ ，可把除法转化为乘法，由此得到
ａ ÷ｂ ＝ ａ ×
ｂ
（ ）
ａ ＋ｂ －ｃ ÷ｍ
（ ） １
＝ ａ ＋ｂ －ｃ ×
ｍ
６１
整式乘法
８．２１ １ １
＝ ａ × ＋ｂ × －ｃ ×
ｍ ｍ ｍ
＝ ａ ÷ｍ ＋ｂ ÷ｍ －ｃ ÷ｍ．
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个
单项式，再把所得的商相加
．
例 计算：
５
（）（ ） ；
１ ２０ａ２ －４ａ ÷４ａ
（）（ ） （ ）；
２ ２４ｘ２ｙ －１２ｘｙ２ ＋８ｘｙ ÷ －６ｘｙ
（）［ （ ） （ ）］
３ ６ｘｙ２ ｘ２ －３ｘｙ ＋ －３ｘｙ ２ ÷３ｘ２ｙ２．
解 （） （ ）
１ ２０ａ２ －４ａ ÷４ａ
＝ ２０ａ２ ÷４ａ －４ａ ÷４ａ
＝ ５ａ －１．
（） （ ） （ ）
２ ２４ｘ２ｙ －１２ｘｙ２ ＋８ｘｙ ÷ －６ｘｙ
（ ） （ ）
＝ ２４ｘ２ｙ ÷ －６ｘｙ －１２ｘｙ２ ÷ －６ｘｙ
（ ）
＋８ｘｙ ÷ －６ｘｙ
４
＝－４ｘ ＋２ｙ － ．
３
（） ［ （ ） （ ）］
３ ６ｘｙ２ ｘ２ －３ｘｙ ＋ －３ｘｙ ２ ÷３ｘ２ｙ２
［ ］
＝ ６ｘ３ｙ２ －１８ｘ２ｙ３ ＋９ｘ２ｙ２ ÷３ｘ２ｙ２
＝ ２ｘ －６ｙ ＋３．
计算：
（）（ ） ；
１ ６ａ２ｂ ＋３ａ ÷ａ
（）（ ） （ ）；
２ ４ｘ３ｙ２ －ｘ２ｙ２ ÷ －２ｘ２ｙ
（）（ ） （ ）；
３ ２０ｍ４ｎ３ －１２ｍ３ｎ２ ＋３ｍ２ｎ ÷ －４ｍ２ｎ
（）［ （ ） （ ）］ （ ）
４ １５ ａ ＋ｂ ３ －９ ａ ＋ｂ ２ ÷３ ａ ＋ｂ ２．
６２
第 章 整式乘法与因式分解
８多项式与多项式相乘
３
问题 一块长方形的菜地，长为 ，宽为 现将它的
? ａ ｍ．
长增加 ，宽增加 ，求扩大后的菜地面积
ｂ ｎ ．
先按题意画图 ，结合图形考虑有几种计算方法？
８ ７
图 ８ ７
方法一：扩大后菜地的长是 ，宽是 ，所以它的
ａ ＋ｂ ｍ ＋ｎ
面积是
．
方法二：先算 块小长方形的面积，再求总面积，扩大
４
后菜地的面积是
．
把 （ ）
因此，有 ａ ＋ｂ
看作一个整体，
（ ）（ ） （ ）与（ ）
ａ ＋ｂ ｍ ＋ｎ ＝ ａｍ ＋ｂｍ ＋ａｎ ＋ｂｎ． ａ ＋ｂ ｍ ＋ｎ
的相乘就转化
为单项式与多
上面的运算还可以把 （ ）看作一个整体运用分配
ａ ＋ｂ
项式的相乘
律，再根据单项式与多项式的乘法法则，得 ．
这两个多
多项式与多项式的乘法法则：
项式叫做所得
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一 积的因式
．
个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加
．
６３
整式乘法
８．２例 计算：
６
（）（ ）（ ）； （）（ ）（ ）
１ －２ｘ －１ ３ｘ －２ ２ ａｘ ＋ｂ ｃｘ ＋ｄ ．
解 （） （ ）（ ）
１ －２ｘ －１ ３ｘ －２
（ ）· （ ）·（ ） （ ）·
＝ －２ｘ ３ｘ ＋ －２ｘ －２ ＋ －１ ３ｘ
（ ） （ ）
＋ －１ × －２
＝－６ｘ２ ＋４ｘ －３ｘ ＋２
＝－６ｘ２ ＋ｘ ＋２．
（） （ ）（ ）
２ ａｘ ＋ｂ ｃｘ ＋ｄ
· · ·
＝ ａｘ ｃｘ ＋ａｘ ｄ ＋ｂ ｃｘ ＋ｂｄ
（ ）
＝ ａｃｘ２ ＋ ａｄ ＋ｂｃ ｘ ＋ｂｄ．
例 计算：
７
（）（ ）（ ）； （）（ ）（ ）
１ ａ ＋ｂ ａ２ －ａｂ ＋ｂ２ ２ ｙ２ ＋ｙ ＋１ ｙ ＋２ ．
解 （） （ ）（ ）
１ ａ ＋ｂ ａ２ －ａｂ ＋ｂ２
· · · ·
＝ ａ ａ２ －ａ ａｂ ＋ａ ｂ２ ＋ｂ ａ２
· ·
－ｂ ａｂ ＋ｂ ｂ２
＝ ａ３ ＋ｂ３．
（） （ ）（ ）
２ ｙ２ ＋ｙ ＋１ ｙ ＋２
＝ ｙ３ ＋２ｙ２ ＋ｙ２ ＋２ｙ ＋ｙ ＋２
＝ ｙ３ ＋３ｙ２ ＋３ｙ ＋２．
计算：
１
（）（ ）（ ）； （）（ ）（ ）
１ ２ｎ ＋６ ｎ －３ ２ ３ｘ －ｙ ３ｘ ＋ｙ ．
计算：
２
（）（ ）（ ） （ ）（ ）；
１ ３ａ －２ ａ －１ ＋ ａ ＋１ ａ ＋２
（）（ ）（ ） （ ）
２ ３ａ ＋２ ３ａ －２ －９ａ ａ －１ ．
计算：
３
（）（ ）（ ）； （）（ ）（ ）
１ ｘ －ｙ ｘ２ ＋ｘｙ ＋ｙ２ ２ ｘ ＋１ ｘ２ －２ｘ ＋３ ．
６４
第 章 整式乘法与因式分解
８习题
８． ２
计算：
１
（）（ ）（ ）； （） ( ３ )( ２ ) ；
１ －５ａ２ｂ ２ａｂ２ｃ ２ － ａｘ － ｂｘ３
４ ３
（）（ ）（ ）； （） ( １ ) · ·（ ）
３ ２ ×１０４ ６ ×１０５ ４ ｘ ２ｘ３ －３ｘ２ ．
２
计算：
２
（）（ ）（ ）；
１ ｍｎ ２ －ｍ２ｎ
（）（ ） ( １ )２；
２ ２ｍ ３ － ｍ
４
（） （ ）；
３ ｘ２ｙ３ －２ｘ ４ｘｙ３
（）（ ）· ( ２ ) （ ）·
４ ３ｍ２ｎ ｍ２ｎ２ － －１０ｍ ｍ３ｎ３．
３
在 的土地上，一年内所得到的太阳能相当于燃烧 煤所产生的
３ １ ｋｍ２ １．３ ×１０５ ｋｇ
能量 我国陆地面积约为 ，求我国陆地一年内得到的太阳能相当于
． ９．６ ×１０６ ｋｍ２
燃烧多少千克煤所产生的能量
．
计算：
４
（）（ ）（ ）；
１ ３ｙ －６ －ｙ
（）（ ） ( ４ ) ；
２ －３ｘ ４ｘ２ － ｘ ＋１
３
（）（ ）（ ）；
３ －ｘｙ ２ｘ －５ｙ －１
（）（ ）（ ）；
４ ４ｙ －１ ｙ －５
（）（ ）（ ）；
５ ２ｘ ＋３ ４ｘ ＋１
（） ( ３ )( ２ )
６ ｘ ＋１ ｘ －３ ．
４ ３
化简：
５
（） （ ） （ ）；
１ ５ｘ ２ｘ ＋４ ＋ｘ ｘ －１
（） （ ） （ ）
２ ２ａ ａ２ ＋３ａ －２ －２ ａ３ ＋２ａ２ －ａ ＋１ ．
计算：
６
（） （ ）；
１ １２ａ３ｂ２ ÷ －４ａ２
（）（ ）
２ －３ｘ２ｙ ２ ÷３ｘ４ｙ２．
６５
整式乘法
８．２计算：
７
（）（ ） ；
１ １６ｍ２ －２４ｍｎ ÷８ｍ
（）（ ） （ ）
２ ９ｘ２ｙ －６ｘｙ２ ÷ －３ｘｙ ．
计算：
８
（）（ ） ；
１ ２５ｘ２ －１０ｘｙ ＋１５ｘ ÷５ｘ
（）（ ） （ ）
２ ４ａ３ －１２ａ２ｂ －２ａｂ２ ÷ －４ａ ．
据调查，我国每年消费一次性筷子约 亿双，耗费木材 ，假如一
９ ４５０ １．６６ ×１０６ ｍ３
棵生长了 年的大树相当于 的木材，则：
２０ １ ｍ３
（） 木材能生产多少双一次性筷子？
１ １ ｍ３
（）我国每年消费一次性筷子所消耗的木材要砍伐多少棵生长了 年的大树？
２ ２０
先化简，再求值：
１０
（） （ ） （ ） （ ），其中 １ ， ， ；
１ ａ ｂ －ｃ －ｂ ｃ －ａ ＋ｃ ａ －ｂ ａ ＝ ｂ ＝－１ ｃ ＝－２
２
（）（ ）（ ） （ ）（ ），其中 ，
２ ｘ －ｙ ｘ －２ｙ － ３ｘ －２ｙ ｘ －３ｙ ｘ ＝ ４ ｙ ＝－１．
解方程：
１１
（）（ ）（ ） （ ）（ ）；
１ ｘ －３ ｘ －２ ＋１８ ＝ ｘ ＋９ ｘ ＋１
（）（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）
２ ｘ －６ ｘ２ ＋ｘ ＋１ －ｘ ｘ ＋１ ｘ －１ ＝ ｘ ２ －５ｘ ．
计算：
１２
（）（ ）（ ）；
１ ｘ ＋１ ｘ２ －ｘ ＋１
（）（ ）（ ）
２ ３ｘ ＋１ ｘ２ －２ｘ ＋３ ．
在一个边长为 的正方形地块上，辟出一部分作为花坛，下面给出几种设计方
１３ ａ
案，请你分别写出花坛（图中绿色部分）面积 的表达式，并计算当 时
Ｓ ａ ＝ １０
面积 的值
Ｓ ．
（第１３ 题）
６６
第 章 整式乘法与因式分解
８求 最 大 乘 积
将数字 ， ， ， ， 组成一个 位数和一个
１． １ ２ ３ ４ ５ ３ ２
位数，每个数字仅用一次 怎样分这 个数字，使组成的
． ５
两个数的乘积最大？
请你任选 个不同的数字，按问题 的要求，组
２． ５ １
成一个 位数和一个 位数，使这两个数的乘积最大
３ ２
（试验时可借助计算器）
．
（）根据问题 和问题 ，猜想合乎要求的 位
３． １ １ ２ ３
数和 位数的特点；
２
（）若这 个数字分别为 ， ， ， ， ，且有
２ ５ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ａ ＞
（ ），根据你的猜想写出这两个
ｂ ＞ ｃ ＞ ｄ ＞ ｅ ｅ ≠ ０ ３
位数和 位数
２ ．
将第 题和第 题中的结果改为使乘积最小，求
４． １ ２
所组成的两个数
．
６７
整式乘法
８．２８．
完全平方公式与平方差公式
３
由多项式乘法可得乘法公式
（ ）
ａ ＋ ｂ ２ ＝ ａ２ ＋２ａｂ ＋ ｂ２． ①
（ ）
ａ － ｂ ２ ＝ ａ２ －２ａｂ ＋ ｂ２． ②
上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为完全平
方公式（ ）
ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍ ．
完全平方公式用语言叙述是：两个数的和（或差）的平
方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 倍
２ ．
完全平方公式，除直接由乘法得到，你还可通
过图形面积割补的方法得到吗（图 ）？
８ ８
（ ） （ ）
ａ ＋ｂ ２ ＝ ａ２ ＋２ａｂ ＋
（ ） （ ）
ａ －ｂ ２ ＝ ａ２ － ＋ｂ２
图 ８ ８
６８
第 章 整式乘法与因式分解
８这两个公式中的 式也可在 式中用 代替 而
② ① －ｂ ｂ
得出
．
例 利用乘法公式计算：
１
（）（ ）； （）（ ）
１ ２ｘ ＋ｙ ２ ２ ３ａ －２ｂ ２．
解 运用公式计算，要先识别 ， 在具体式子中分别
ａ ｂ
表示什么
．
利用乘法公式计算：
１．
（）（ ）； （）（ ）；
１ ３ｘ ＋１ ２ ２ ａ －３ｂ ２
（）( ｙ )２； （）（ ）
３ ２ｘ ＋ ４ －２ｘ ＋３ｙ ２．
２
如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去
２． ３ ｃｍ
宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少
，求原正方形的边长
８４ ｃｍ２ ．
（第２ 题）
６９
完全平方公式与平方差公式
８．３由多项式乘法计算：
１．
（）（ ）（ ）；（）（ ）（ ）
１ ３ｍ ＋１ ３ｍ －１ ２ ｘ２ ＋ｙ ｘ２ －ｙ ．
你能得到（ ）（ ）的计算公式吗？
２． ａ ＋ｂ ａ －ｂ
这个公式称为平方差公式（
ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ
），用语言如何表述？
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ ｓｑｕａｒｅｓ
你能设计一个图形来说明上面公式吗？
３．
例 利用乘法公式计算：
２
（） ； （）（ ）（ ）（ ）
１ １９９９ ×２００１ ２ ｘ ＋３ ｘ －３ ｘ２ ＋９ ．
解 （）
１ １９９９ ×２００１
（ ） （ ）
＝ ２０００ －１ × ２０００ ＋１
＝ ２０００２ －１２
＝ ３９９９９９９．
（） （ ）（ ）（ ）
２ ｘ ＋３ ｘ －３ ｘ２ ＋９
（ ）（ ）
＝ ｘ２ －９ ｘ２ ＋９
＝ ｘ４ －８１．
利用乘法公式计算：
１
（）（ ）（ ）； （）( １ )( １ )；
１ ２ａ ＋５ｂ ２ａ －５ｂ ２ ｘ －３ ｘ ＋３
２ ２
（）（ ）（ ）； （）（ ）（ ）
３ ｙ －２ｘ －２ｘ －ｙ ４ ｘｙ ＋１ ｘｙ －１ ．
利用乘法公式计算：
２
（） ； （）
１ ５９８ ×６０２ ２ ９９９２．
７０
第 章 整式乘法与因式分解
８例 计算：
３
（）（ ）； （）（ ）
１ ａ ＋ｂ ＋ｃ ２ ２ ａ －ｂ ３．
解 （） （ ）
１ ａ ＋ｂ ＋ｃ ２
［（ ） ］
＝ ａ ＋ｂ ＋ｃ ２
（ ） （ ）
＝ ａ ＋ｂ ２ ＋２ ａ ＋ｂ ｃ ＋ｃ２
＝ ａ２ ＋２ａｂ ＋ｂ２ ＋２ａｃ ＋２ｂｃ ＋ｃ２
＝ ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ ＋２ａｂ ＋２ａｃ ＋２ｂｃ．
（） （ ）
２ ａ －ｂ ３
（ ）（ ）
＝ ａ －ｂ ａ －ｂ ２
（ ）（ ）
＝ ａ －ｂ ａ２ －２ａｂ ＋ｂ２
＝ ａ３ －２ａ２ｂ ＋ａｂ２ －ａ２ｂ ＋２ａｂ２ －ｂ３
＝ ａ３ －３ａ２ｂ ＋３ａｂ２ －ｂ３．
计算：
１
（）（ ）； （）（ ）
１ ａ ＋ｂ ３ ２ ｘ －５ ３．
计算：
２．
（ ）
ａ －ｂ －ｃ ２．
习题
８． ３
计算：
１
（） ( １ )２； （） ( １ )２
１ ４ｘ ＋ ２ ｍ －２ｎ ．
２ ４
计算：
２
（）（ ）（ ）；
１ ２ｍ ＋３ｎ ２ｍ －３ｎ
（） ( １ )( １ ) ；
２ －３ａ － ｂ －３ａ ＋ ｂ
２ ２
（）（ ）（ ）；
３ －４ｘ ＋ｙ ｙ ＋４ｘ
７１
完全平方公式与平方差公式
８．３（）（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）
４ ｘ ＋ｙ ｘ －ｙ ＋ ｙ －ｚ ｙ ＋ｚ － ｘ ＋ｚ ｘ －ｚ ．
计算：
３
（）（ ）（ ）；
１ ｙ ＋３ ２ ３ －ｙ ２
（）（ ）（ ）；
２ ２ａ ＋ｂ ＋１ ２ａ ＋ｂ －１
（）（ ）（ ）
３ ａ －２ｂ －３ ａ ＋２ｂ ＋３ ．
先化简，再求值：
４
（ ）（ ） （ ），其中 ２
５ｙ ＋１ ５ｙ －１ － ５ｙ ＋２５ｙ２ ｙ ＝ ．
５
解方程：
５
（） ( １ )２ ( １ )( １ ) １ ；
１ ｘ ＋ － ｘ － ｘ ＋ ＝
４ ４ ４ ４
（）（ ）（ ） （ ）
２ ｘ ＋１ ｘ －１ － ｘ ＋２ ２ ＝ ７．
解不等式：
６
（ ）（ ） （ ）（ ）
２ ｘ ＋４ ｘ －４ ＜ ｘ －２ ２ｘ ＋５ ．
填空：
７
（）［（ ） （ ）］ （ ） ；
１ ＋ ２ ＝ ４ｘ２ ＋ ＋９ｙ２
（）［ （ ）］［ （ ）］ （ ） ；
２ ｘ ＋ ｘ ＋ ＝ ｘ２ ＋ ＋６
（） （ ） （ ）
３ ｘ２ ＋３ｘ ＋ ＝ ｘ ＋ ２．
如果多项式 加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方，那么这个
８ ４ｘ２ ＋１
单项式是什么？
计算：
９
（）（ ）； （）（ ）
１ ２ｘ ＋３ ３ ２ ２ａ －ｂ －３ｃ ２．
已知 ， ，求 的值
１０． ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝ ０ ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ ＝ ３ ａｂ ＋ｂｃ ＋ｃａ ．
一个圆的半径为 ，若半径减少 ，那么这个圆的面积减少多少？
１１． ｒ ｃｍ ２ ｃｍ
７２
第 章 整式乘法与因式分解
８
书书书８．
因式分解
４
在小学，我们学过整数的因数分解，例如，
，
６ ＝ ２ ×３
３０ ＝ ２ ×３ ×５．
类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘
积的形式，例如，
（ ），
ａ２ ＋２ａｂ ＋ｂ２ ＝ ａ ＋ｂ ２
（ ），
ａ２ －２ａｂ ＋ｂ２ ＝ ａ －ｂ ２
（ ）（ ），
ａ２ －ｂ２ ＝ ａ ＋ｂ ａ －ｂ
（ ）
ｎａ ＋ｎｂ ＋ｎｃ ＝ ｎ ａ ＋ｂ ＋ｃ ．
像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做
因式分解（ ），也叫做把这个多项式分解因式
ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ．
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
（） （ ） ，
１ ｍ ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝ ｍａ ＋ｍｂ ＋ｍｃ
（ ）；
ｍａ ＋ｍｂ ＋ｍｃ ＝ ｍ ａ ＋ｂ ＋ｃ
（）（ ） ，
２ ａ －７ ２ ＝ａ２ －１４ａ ＋４９
（ ）；
ａ２ －１４ａ ＋４９ ＝ ａ －７ ２
（）（ ）（ ） ，
３ ｘ ＋３ ｘ －３ ＝ｘ２ －９
（ ）（ ）
ｘ２ －９ ＝ ｘ ＋３ ｘ －３ ．
下面介绍因式分解的两种基本方法
．
７３
因式分解
８．４提公因式法
１
由 （ ） ，可得
ｍ ａ ＋ｂ ＋ｃ ＝ ｍａ ＋ｍｂ ＋ｍｃ
（ ）
ｍａ ＋ｍｂ ＋ｍｃ ＝ ｍ ａ ＋ｂ ＋ｃ ．
我们来分析一下 的特点：它的每一项都
ｍａ ＋ｍｂ ＋ｍｃ
含有一个相同因式 ， 叫做各项的公因式（
ｍ ｍ ｃｏｍｍｏｎ
）如果把这个公因式提到括号外面，这样
ｆａｃｔｏｒ ． ｍａ ＋
就分解成两个因式的积 （ ），即
ｍｂ ＋ｍｃ ｍ ａ ＋ｂ ＋ｃ
（ ）
ｍａ ＋ｍｂ ＋ｍｃ ＝ ｍ ａ ＋ｂ ＋ｃ ．
这种因式分解的方法叫做提公因式法
．
例 把下列各式分解因式：
１
（） ； （）
１ ４ｍ２ －８ｍｎ ２ ３ａｘ２ －６ａｘｙ ＋３ａ．
解 （）
１ ４ｍ２ －８ｍｎ
· ·
＝ ４ｍ ｍ －４ｍ ２ｎ
（ ）
＝ ４ｍ ｍ －２ｎ ．
最 后 一 项 （）
２ ３ａｘ２ －６ａｘｙ ＋３ａ
提取后还有因
３ａ · · ·
数 ＝ ３ａ ｘ２ －３ａ ２ｘｙ ＋３ａ １
１． （ ）
＝ ３ａ ｘ２ －２ｘｙ ＋１ ．
例 把下列各式分解因式：
２
（） （ ） （ ）；（） （ ） （ ）
１ ２ｘ ｂ ＋ｃ －３ｙ ｂ ＋ｃ ２ ３ｎ ｘ －２ ＋ ２ －ｘ ．
解 （） （ ） （ ）
１ ２ｘ ｂ ＋ｃ －３ｙ ｂ ＋ｃ
（ ）（ ）
＝ ｂ ＋ｃ ２ｘ －３ｙ ．
（） （ ） （ ）
２ ３ｎ ｘ －２ ＋ ２ －ｘ
与
２ －ｘ ｘ － （ ） （ ）
有什么关系？ ＝ ３ｎ ｘ －２ － ｘ －２
２ （ ）（ ）
＝ ｘ －２ ３ｎ －１ ．
７４
第 章 整式乘法与因式分解
８填空：
１
（） （ ）； （） （ ）
１ ６ｘ３ －１８ｘ２ ＝ ｘ －３ ２ －７ａ２ ＋２１ａ ＝－７ａ ．
把下列各式分解因式：
２
（） ； （）
１ ｎｐ －ｎｑ ２ －ｘ３ｙ －ｘ２ｙ２ ＋ｘｙ．
把下列各式分解因式：
３
（） （ ） （ ）； （） （ ） （ ）；
１ ３ ａ ＋ｂ ２ ＋６ ａ ＋ｂ ２ ｍ ａ －ｂ －ｎ ａ －ｂ
（） （ ） （ ）； （） （ ） （ ）
３ ６ ｘ －ｙ ３ －３ｙ ｙ －ｘ ２ ４ ｍｎ ｍ －ｎ －ｍ ｎ －ｍ ２．
公式法
２
运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解
的方法叫做公式法
．
例 把下列各式分解因式：
３
（） ； （） ；
１ ｘ２ ＋１４ｘ ＋４９ ２ ９ａ２ －３０ａｂ ＋２５ｂ２
（） ； （）
３ ｘ２ －８１ ４ ３６ａ２ －２５ｂ２．
解 （）
１ ｘ２ ＋１４ｘ ＋４９
· ·
＝ ｘ２ ＋２ ｘ ７ ＋７２
（ ）
＝ ｘ ＋７ ２．
（）
２ ９ａ２ －３０ａｂ ＋２５ｂ２
（ ） （ ）
＝ ３ａ ２ －２ ×３ａ ×５ｂ ＋ ５ｂ ２
（ ）
＝ ３ａ －５ｂ ２．
（）
３ ｘ２ －８１
＝ ｘ２ －９２
（ ）（ ）
＝ ｘ ＋９ ｘ －９ ．
（）
４ ３６ａ２ －２５ｂ２
（ ） （ ）
＝ ６ａ ２ － ５ｂ ２
（ ）（ ）
＝ ６ａ ＋５ｂ ６ａ －５ｂ ．
７５
因式分解
８．４把下列各式写成完全平方的形式：
１
（） （ ）； （）１６ （ ）；
１ ０．８１ｘ２ ＝ ２ ２ ｍ２ｎ４ ＝ ２
２５
（） （ ）； （） １ （ ）
３ ｙ２ －８ｙ ＋１６ ＝ ２ ４ ｘ２ ＋ｘ ＋ ＝ ２．
４
把下列各式分解因式：
２
（） ； （） ； （） ；
１ ｘ２ ＋２ｘ ＋１ ２ ｙ２ －４ ３ １ －６ｙ ＋９ｙ２
（） ； （） ； （）
４ １ －３６ｎ２ ５ ９ｎ２ ＋６４ｍ２ －４８ｍｎ ６ －１６ ＋ａ２ｂ２．
在因式分解的过程中，有时提取公因式与利用公式两种
方法要同时使用
．
例 把下列多项式分解因式：
４
（） ；
１ ａｂ２ －ａｃ２
（）
２ ３ａｘ２ ＋２４ａｘｙ ＋４８ａｙ２．
解 （）
１ ａｂ２ －ａｃ２
（ ） （提取公因式）
＝ ａ ｂ２ －ｃ２
（ ）（ ） （用平方差公式）
＝ ａ ｂ ＋ｃ ｂ －ｃ ．
（）
２ ３ａｘ２ ＋２４ａｘｙ ＋４８ａｙ２
（ ） （提取公因式）
＝ ３ａ ｘ２ ＋８ｘｙ ＋１６ｙ２
（ ） （用完全平方公式）
＝ ３ａ ｘ ＋４ｙ ２．
把下列多项式分解因式：
（） ； （） ； （） ；
１ ２ｘ３ －３２ｘ ２ ９ａ３ｂ３ －ａｂ ３ ｍｘ２ －８ｍｘ ＋１６ｍ
（） ； （） ； （）
４ －ｘ４ ＋２５６ ５ －ａ ＋２ａ２ －ａ３ ６ ２７ｘ２ｙ２ －１８ｘ２ｙ ＋３ｘ２．
７６
第 章 整式乘法与因式分解
８例 把下列各式分解因式：
５
（） ；
１ ｘ２ －ｙ２ ＋ａｘ ＋ａｙ
（）
２ ａ２ ＋２ａｂ ＋ｂ２ －ｃ２．
分析：在（）式中，把第一、二项作为一组，可以用平方
１
差公式分解因式，其中一个因式是 （ ）；把第三、四项
ｘ ＋ ｙ
作为 另 一 组，在 提 取 公 因 式 后，另 一 个 因 式 也 是
ａ
（ ）；在（）式中，把前三项作为一组，它是一个完全平
ｘ ＋ｙ ２
方 式 （ ）；把 第 四 项 作 为 另 一 组，那 么
ａ ＋ ｂ ２ － ｃ２
（ ） 是平方差形式的多项式，可再次利用公式分
ａ ＋ｂ ２ －ｃ２
解因式
．
解 （）
１ ｘ２ －ｙ２ ＋ａｘ ＋ａｙ
（ ） （ ）
＝ ｘ２ －ｙ２ ＋ ａｘ ＋ａｙ
（ ）（ ） （ ）
＝ ｘ ＋ｙ ｘ －ｙ ＋ａ ｘ ＋ｙ
（ ）（ ）
＝ ｘ ＋ｙ ｘ －ｙ ＋ａ ．
（）
２ ａ２ ＋２ａｂ ＋ｂ２ －ｃ２
（ ）
＝ ａ２ ＋２ａｂ ＋ｂ２ －ｃ２
（ ）
＝ ａ ＋ｂ ２ －ｃ２
（ ）（ ）
＝ ａ ＋ｂ ＋ｃ ａ ＋ｂ －ｃ ．
从本例可以看出，因式分解有时需先分组，分组后利用
提取公因式或运用公式进行分解
．
把下列各式分解因式：
（） ； （） ；
１ ４ａ２ －ｂ２ ＋４ａ －２ｂ ２ ｘ２ －２ｘｙ ＋ｙ２ －１
（） ； （）
３ ９ｘ２ ＋６ｘ ＋２ｙ －ｙ２ ４ ｘ２ －ｙ２ ＋ａ２ －ｂ２ ＋２ａｘ ＋２ｂｙ．
７７
因式分解
８．４习题
８． ４
把下列各式分解因式：
１
（） ；
１ ａｘ －ａｙ ＋ａｚ
（） ；
２ ６ａ２ｂ －１５ａｂ２ ＋３０ａ２ｂ２
（） （ ） （ ）；
３ １０ａ ｘ －ｙ ２ －５ｂ ｙ －ｘ
（） （ ）（ ） （ ）（ ）
４ ｘ ａ －ｘ ａ －ｙ －ｙ ｘ －ａ ｙ －ａ ．
速算：
２
（） ；
１ ３．１４ ×７．５ ＋３．１４ ×２．５
（） ；
２ ４．２９８ ×３．２５６ －３．２５６ ×３．２９８
（） ；
３ １００４２ －９９６２
（）
４ ６５２ ＋２ ×３５ ×６５ ＋３５２．
某串联电路中电流 （单位 ）、电阻 ， ， （单位 ）
３ Ｉ Ａ Ｒ Ｒ Ｒ Ω
１ ２ ３
与电压 （单位 ）有下列关系： 当
Ｕ Ｖ Ｕ ＝ ＩＲ ＋ＩＲ ＋ＩＲ ．
１ ２ ３
， ， ， 时，求
Ｒ ＝ ２１．３ Ｒ ＝ ４２．５ Ｒ ＝ １６．２ Ｉ ＝ １．２５ Ｕ
１ ２ ３
的值
． （第３ 题）
把下列各式分解因式：
４
（） ； （） ；
１ ｘ２ －６ａｘ ＋９ａ２ ２ ４ｘ２ －１００
（） ； （）
３ ２５ｍ２ －８０ｍ ＋６４ ４ ０．４９ｘ２ －１４４ｙ２．
把下列各式分解因式：
５
（） ； （） ；
１ ｙ４ －ｙ２ ２ ３ａｘ２ －３ａｙ２
（） ； （） （ ） （ ）
３ ４ｘ３ －８ｘ２ ＋４ｘ ４ ａ２ －２ａ ｂ ＋ｃ ＋ ｂ ＋ｃ ２．
巧用因式分解
年 月 日， 岁的数学家欧拉（ ）收到另一位
１７２９ １２ １ ２２ Ｌ．Ｅｕｌｅｒ
数学家哥德巴赫（ ）寄来的一封信，信中有这么一
Ｃ． Ｇｏｌｄｂａｃｈ
７８
第 章 整式乘法与因式分解
８段话：
“你知道费马（ ）在一本书注中提出的一个素数表达
Ｐ．Ｆｅｒｍａｔ
式吗？这就是‘一切形如 （ 是正整数）的数都是素数’
２２ｎ－１ ＋１ ｎ ．
据我所知，他过世已半个世纪了，迄今还没有人能证明它，你是否
相信这个结论？”
原来，费马在作出上述结论前，曾作过如下验算：
当 时，
ｎ ＝ １
； 欧拉
２２ｎ－１ ＋１ ＝ ２２０ ＋１ ＝ ２ ＋１ ＝ ３ 图 ８ ９
当 时，
ｎ ＝ ２
；
２２ｎ－１ ＋１ ＝ ２２ ＋１ ＝ ５
当 时，
ｎ ＝ ３
；
２ ２ｎ－１ ＋１ ＝ ２２２ ＋１ ＝ ２４ ＋１ ＝ １７
当 时，
ｎ ＝ ４
；
２２ｎ－１ ＋１ ＝ ２２３ ＋１ ＝ ２８ ＋１ ＝ ２５７
当 时，
ｎ ＝ ５
２２ｎ－１ ＋１ ＝ ２２４ ＋１ ＝ ２１６ ＋１ ＝ ６５５３７．
其结果都是素数，但是 取任何正整数时情况又会怎样呢？
ｎ
费马猜想，可能也是素数
．
欧拉收到哥德巴赫的来信后，进行了认真思考 由于当时没
．
有计算机，大于 的任一自然数代入验算都是很繁琐的，欧拉对
５
时的计算可谓“巧夺天工”请看：
ｎ ＝ ６ ．
当 时，
ｎ ＝ ６
２２ｎ－１ ＋１
＝ ２２５ ＋１
＝ ２３２ ＋１
（ ）
＝ ２ ×２７ ４ ＋１
＝ ２４ ×１２８４ ＋１
（ ）
＝ １ ＋１５ ×１２８４ ＋１
［ （ ）］
＝ １ ＋５ × １２８ －１２５ ×１２８４ ＋１
７９
因式分解
８．４（ ）
＝ １ ＋５ ×１２８ ×１２８４ ＋１ －５４ ×１２８４
（ ） （ ）（
＝ １ ＋５ ×１２８ ×１２８４ ＋ １ ＋５２ ×１２８２ １ ＋
）（ ）
５ ×１２８ １ －５ ×１２８
（ ）［ （ ）（ ）］
＝ １ ＋５ ×１２８ １２８４ ＋ １ ＋５２ ×１２８２ １ －５ ×１２８
＝ ６４１ ×６７００４１７．
这里，欧拉用因式分解解决了一个历史悬案 ———形如
（ 为正整数）的数不一定是素数，从而推翻了费马的
２２ｎ－１ ＋１ ｎ
猜想 此后，人们把一切形如 （ 为正整数）的数称为
． ２２ｎ－１ ＋１ ｎ
“费马数”，数学家们随后又发现了 个费马数是合数 除了费
４５ ．
马算出的前 个之外，目前还没有一个费马数被证明是素数；这
５
些费马数的因子分解是当今数论的热门研究问题，因此在保密
通信中有应用 但这种形式的费马数中究竟有几个素数、几个合
．
数，至今仍是一个诱人的谜
．
费马猜想是根据几个特殊值计算归纳得出的，这种归纳推
理方法是科学研究中常用的思想方法，这个方法对于发现规律、
猜想未知十分重要 但是由它得到的结论不一定正确，还须进一
．
步得到证明
．
８０
第 章 整式乘法与因式分解
８８．
综合与实践
５
纳 米 材 料 的 奇 异 特 性
前面，我们已经学过长度单位———纳米（
１ ｎｍ ＝
），下面我们对纳米材料的一些特性做简单的介绍
１０－９ ｍ ．
纳米材料是用结构尺寸在 范围内的纳米颗
１ ～１００ ｎｍ
粒制成的，它有许多奇异的特性 例如，常规银块熔点约
．
，而银纳米颗粒在 时即熔化，纳米颗粒结合成常
９００℃ １００℃
规材料时的烧结温度也明显降低 一些高温陶瓷的制造，因
．
烧结温度显著降低，大大降低了制造工艺难度和制造成本
．
由纳米颗粒烧结的陶瓷，还具有很好的韧性，纳米二氧化钛
陶瓷在室温下可以弯曲，塑性形变高达 ，纳米陶瓷是不
１００％
容易摔碎的
．
形成纳米材料这些奇异特性的原因是纳米材料颗粒的
表面积之和与同体积的常规材料相比成倍增长，从而使得位
于颗粒表面的活性很强的原子数占总原子数的比例也随之
成倍上升 下面我们对一个正方体进行 细分，探究
． ｎ ×ｎ ×ｎ
细分后表面积的变化情况
．
问题 在图 中，分别将边长为 的正方体，
? ８ １０ １ ｃｍ
切割成 个边长为 和 个边长为
２ ×２ ×２ ０． ５ ｃｍ ５ × ５ × ５
的小正方体，在图中画出切割线 对这两种分割，分别
０．２ ｃｍ ．
求各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比
．
图 ８ １０
８１
综合与实践 纳米材料的奇异特性
８．５问题 将一个边长为 的正方体，切割成
? １ ｃｍ ｎ ×ｎ ×
个边长为 １ 的小正方体，求各小正方体的表面积之和
ｎ ｃｍ
ｎ
与原正方体的表面积之比
．
问题 说出当 （即小正方体边长为 ）时，
? ｎ ＝１０７ １ ｎｍ
各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比
．
请估计，随着 值的增大，小正方体边长的缩小，各小正
ｎ
方体的表面积之和与原正方体的表面积之比的变化趋势
．
问题 将问题 中的正方体边长改为 ，结果如何？
? ２ ａ ｃｍ
纳米材料具有的独特性质，带来了奇妙的应用前景，工
程技术人员已经制成了直径只有 的纳米发动机，只
１ ～２ ｎｍ
有米粒大小却能运转的汽车，只有黄蜂大小却能升空的直升
机，质量在 以下的纳米卫星……纳米技术的研究和
０．１ ｋｇ
开发将引发一场新的工业革命
．
杨 辉 三 角
年，我国宋代数学家杨辉写了一本书 ———《详解九章算
１２６１
法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，如图 这个数字
８ １１．
三角形原名“开方作法本源图”，是 年间北宋人贾宪做
１０５０ ～１１００
的 后来，我们就把这种数字三角形叫做贾宪三角或杨辉三角
． ．
杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表，如图
８ １２．
观察图 右侧的系数表，你发现了什么规律？你能写出
８ １２
（ ），（ ），…展开式的各项系数吗？
ａ ＋ｂ ７ ａ ＋ｂ ８
在世界各地，继贾宪之后有不少人都发现了这个三角表，其中，
法国数学家帕斯卡（ ）发现这个表后，把它应用于数学的许
图 ８ １１ Ｂ． Ｐａｓｃａｌ
多方面，并取得了成果，国外把这个三角表叫做帕斯卡三角
．
８２
第 章 整式乘法与因式分解
８图 ８ １２
一、内容整理
二、主要知识回顾
幂的运算性质：
１
（） · （ ， 都是正整数）；
１ ａｍ ａｎ ＝ ｍ ｎ
（）（ ） （ ， 都是正整数）；
２ ａｍ ｎ ＝ ｍ ｎ
（）（ ） （ 是正整数）；
３ ａｂ ｎ ＝ ｎ
（） （ ， ， 都是正整数）
４ ａｍ ÷ａｎ ＝ ａ ≠０ ｍ ｎ ．
学习整式的乘法，掌握单项式乘法的法则是关键，而单项式乘法是以
２
同底数幂的乘法的性质为依据的
．
８３
小结·评价乘法公式：
３
（）（ ） ；
１ ａ ±ｂ ２ ＝
（）（ ）（ ）
２ ａ ＋ｂ ａ －ｂ ＝ ．
在 （ ， ， 都是正整数）中，当 时，规定
４ ａｍ ÷ａｎ ＝ ａｍ－ｎ ａ ≠０ ｍ ｎ ｍ ＝ ｎ
；当 时，如 （ 是正整数），则规定
ａ０ ＝ ｍ ＜ ｎ ｍ － ｎ ＝－ｐ ｐ ａ－ｐ ＝
．
因式分解最基本方法是提公因式法和公式法
５ ．
三、自评与互评
整式乘法与因式分解有什么关系？怎样检验因式分解是否正确？
１
总结一下因式分解的方法与步骤，并与同伴交流
２ ．
科学记数法，分别在七年级上册“有理数”一章和本章学习，为什么分
３
这两次学习？
两个正数相乘，常可看作某种图形的面积，结合本章学习举出一些用
４
图形表示某些等式的例子
．
填空：
１
（）（ ）（ ） ；
１ －３ａｂｃ －８ａｂｄ ＝
（）（ ） ；
２ －２ｍ２ｎ３ ３ ＝
（） ( １ ) （ ） ；
３ － ａｂ －１０ａ ＋５ｂ ＝
５
（） ( １ ) ；
４ ２ｘ ｘ２ － ｘ ＋４ ＝
２
（）（ ）（ ）
５ ｘ ＋１ ｘ ＋３ ＝ ．
计算：
２
（）（ ）（ ） （ ）（ ）；
１ ２ａ －１ ａ －４ － ａ ＋３ ａ －１
（） （ ）（ ）；
２ ｔ２ － ｔ ＋１ ｔ －５
８４
第 章 整式乘法与因式分解
８（）（ ）（ ）；
３ ｘ ＋１ ｘ２ ＋ｘ ＋１
（）（ ）（ ）
４ ２ｘ ＋３ ｘ２ －ｘ ＋１ ．
计算：
３
（） ( １ )２ ( １ )２；
１ ｘ －ｙ ＋ ｘ ＋ｙ
３ ３
（） ( １ )( １ ) ；
２ ｘ ＋２ｙ － ｘ －２ｙ ＋
２ ２
（）（ ）（ ） （ ）（ ）；
３ ａ ＋１ ２ ａ －１ ２ － ａ ＋２ ２ ａ －２ ２
（） ( １ )( １ )( １ )
４ ｘ － ｘ２ ＋ ｘ ＋ ．
３ ９ ３
计算：
４
（） （ ）；
１ ８ｘ２ｙ２ｚ ÷ －４ｘｙ２ｚ
（）（ ） （ ） ( １ ) ；
２ ２ｘｙ ３ ÷ ４ｘ２ｙ ｘｙ
４
（）（ ） ( １ ) ；
３ ４ｘ２ －ｘｙ ÷ － ｘ
２
（）［ （ ） （ ） ］ （ ）
４ ｙ ｘ －ｙ ＋ｘ ｘ ＋ｙ －ｘ２ ÷ －ｙ ．
先化简，再求值：
５
（） （ ） （ ），其中 １ ；
１ ２ｘ ｘ２ －ｘ ＋１ －ｘ ２ｘ２ ＋２ｘ －３ ｘ ＝－
２
（） ( １ )( １ ) ( １ )２，其中 １ ，
２ ２ｘ － ｙ ２ｘ ＋ ｙ － ２ｘ － ｙ ｘ ＝ ｙ ＝－１．
２ ２ ２ ４
解方程 （组）：
６
（） （ ） （ ）（ ） （ ）；
１ ３ｘ ｘ ＋２ ＋ ｘ ＋１ ｘ －１ ＝ ４ ｘ２ ＋８
（ ） （ ） ，
（）{ｘ ｙ －５ －ｙ ｘ －２ ＝ １２
２
（ ） （ ） （ ）
２ｘ ６ｙ －１ ＋４ｙ ２ －２ｘ ＝ ４ ｘｙ ＋３ ．
求不等式（ ）（ ） （ ）（ ）的正整数解
７ ３ｘ ＋４ ３ｘ －４ ＞ ９ ｘ －２ ｘ ＋３ ．
镭完全蜕变后，释放出的热量相当于 煤燃烧的热量，据估计地壳里
８ １ ｔ ３．７５ ×１０５ ｔ
含 镭，试求这些镭完全蜕变后释放出的热量相当于多少吨煤燃烧的
１ ×１０７ ｔ
热量
．
８５
小结·评价如图是一个机器零件的截面，写出它的面积表达式，并计算当 时的
９ ａ ＝ １０ ｃｍ
面积
．
（第９ 题） （第１０ 题）
如图，有一长方形空地，其长为 ，宽为 ，现要在该空地种植两条防风带（图中阴
１０ ａ ｂ
影部分），其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形，用代数式表示剩
余空地的面积
．
填空：
１１
（） （ ）（ ）；
１ ９ａ４ｂ２ － ＝ ３ａ２ｂ ＋５ｃ ３ａ２ｂ －
（）１ １ ( １ )２
２ ｍ２ ＋ ｍｎ ＋ ＝ ｍ ＋ ．
４ ３ ２
把下列各式分解因式：
１２
（） ； （）（ ） （ ）
１ ｘ２ ＋６ａｘ ＋９ａ２ ２ ｘ －２ａ ２ －ａ ２ａ －ｘ ．
如果二次三项式 是一个完全平方式，求 的值
１３ ４ｘ２ ＋ｍｘ ＋３６ ｍ ．
填空：
１
（）已知 （ ） ，则 ， ；
１ ２ｘ －ａ ２ ＝ ｂ ＋４ｘ２ －１２ｘ ａ ＝ ｂ ＝
（）如果 可分解为（ ）（ ），则 ， ；
２ ｘ２ ＋ａｘ －６ ｘ ＋ｂ ｘ ＋２ ａ ＝ ｂ ＝
（）如果 在整数范围内可分解因式，则整数 ；
３ ｘ２ －ａｘ ＋１５ ａ ＝
（）如果 ， ，那么 ， ；
４ ａｍ ＝ ６ ａｎ ＝ ３ ａｍ＋ｎ ＝ ａｍ－ｎ ＝
（）已知 （ ） ，（ ） ，则 ， ；
５ ｘ ＋ｙ ２ ＝ ７ ｘ －ｙ ２ ＝ ５ ｘ２ ＋ｙ２ ＝ ｘｙ ＝
（）
６ ２０００２ －２００１ ×１９９９ ＝ ．
８６
第 章 整式乘法与因式分解
８为参加“爱我校园”摄影比赛，小明同学将参与植树活动的照片放大为长 ，宽
２ ａ ｃｍ
３ 的长方形，又在四周加上宽为 的相框，用代数式表示这幅摄影作品
ａ ｃｍ ２ ｃｍ
４
（带相框）的面积
．
比较 与 的大小
３ ２１００ ３７５ ．
已知 ， ，求 的值
４ ｘ ＋ｙ ＝ ３ ｘｙ ＝ １ ｘ２ ＋ｙ２ ．
计算：
５
（）（ ）（ ）； （）（ ） （ ）
１ ２ －３ｙ ９ｙ２ ＋６ｙ ＋４ ２ ｘ ＋２ ３ － ｘ －２ ３．
分解因式：
１
（）１ ； （）
１ ｘ４ －８ ２ ｘ４ ＋７ｘ２ －８．
２
分解因式：
２
（） ； （） ；
１ ａ４ －ａ３ ＋ａ２ －ａ ２ ４ａ２ －９ｂ２ ＋ｃ２ －４ａｃ
（）（ ） （ ）
３ ａｘ ＋ｂｙ ２ ＋ ｂｘ －ａｙ ２．
计算：
３．
（ ）（ ）
ａ ＋ｂ ＋ｃ ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ －ａｂ －ｂｃ －ｃａ ．
试说明 （ ） （ ） （ 是整数）能被 整除
４ ｎ ＋７ ２ － ｎ －５ ２ ｎ ２４ ．
（）计算：
５ １
（ ）（ ） ；
ａ －１ ａ ＋１ ＝
（ ）（ ） ；
ａ －１ ａ２ ＋ａ ＋１ ＝
（ ）（ ） ；
ａ －１ ａ３ ＋ａ２ ＋ａ ＋１ ＝
（）由此，猜想：（ ）（ … ）
２ ａ －１ ａ９９ ＋ａ９８ ＋ａ９７ ＋ ＋ａ２ ＋ａ ＋１ ＝ ．
（）请你利用上式的结论，求 … 的值
３ ２１９９ ＋２１９８ ＋ ＋２２ ＋２ ＋１ ．
８７
小结·评价分式
分式及其基本性质
９．１
分式的运算
９．２
分式方程
９．３
，
K,(cid:149)(cid:150)+(cid:151)(cid:152)B(cid:153)(cid:154)0D(cid:155) (cid:127)(cid:156)(cid:157)(cid:137)(cid:158)(cid:159)h(cid:160)5
，
2¡¢£V ⁄(cid:152)¥ƒ92BC．
，
kb§１ ６００ ｋｍ 0¤?[\92(cid:130)¥ƒ BC⁄(cid:152)
， ，
２５％' 92r\“«, ４ ｈ ‹›(cid:155)fi¥ƒ⁄Bfl0B
C(cid:176)牽
、
!"QP#$%N<=?@LIR N<’S2FG
HT1OP34AU+V78．
８８
第 章 分 式
９９．
分式及其基本性质
１
问题 有两块稻田，第一块是 ，每公顷收水稻
? ４ ｈｍ２
，第二块是 ，每公顷收水稻 ，这两块稻
１０５００ ｋｇ ３ ｈｍ２ ９０００ ｋｇ
田平均每公顷收水稻
ｋｇ．
如果第一块是 ，每公顷收水稻 ，第二块是
ｍ ｈｍ２ ａ ｋｇ
，每公顷收水稻 ，则这两块稻田平均每公顷收水稻
ｎ ｈｍ２ ｂ ｋｇ
ｋｇ．
图 ９ １
问题 一个长方形的面积为 ，如果它的长为
? Ｓ ｍ２
，那么它的宽为
ａ ｍ ｍ．
上面问题中出现了代数式ａｍ ＋ｂｎ 和 Ｓ，它们有什么共
ｍ ＋ｎ ａ
同特征？与整式有什么不同？
一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那 分式是两
ａ ｂ ｂ
个整式相除的
么式子 ａ 叫做分式（ ）其中 叫做分式的分子 商，正如分数可
ｆｒａｃｔｉｏｎ ． ａ
ｂ 看成两个整数
（ ）， 叫做分式的分母（ ）
ｎｕｍｅｒａｔｏｒ ｂ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ． 相除的商一样
．
整式和分式统称为有理式（ ），即
ｒａｔｉｏｎａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
整式
有理式{
分式
例 （）当 取何值时，分式 ４ 有意义？
１ １ ｘ
ｘ －２
（）当 是什么数时，分式 ｘ＋４ 的值为零？
２ ｘ
２ｘ －３
解 （）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以
１
８９
分式及其基本性质
９．１外，分式都有意义
．
由 ，
ｘ －２ ＝ ０
如无特别说
解得
明，本章出现的分
式都有意义
． ｘ ＝ ２．
因而，当 时，分式 ４ 有意义
ｘ≠２ ．
ｘ －２
（）由 ，
２ ｘ ＋４ ＝ ０
解得
ｘ ＝－４．
当 时，分母
ｘ ＝－４ ２ｘ －３ ＝－８ －３ ＝－１１ ≠０．
因而，当 时，分式 ｘ ＋４ 的值为零
ｘ ＝－４ ．
２ｘ －３
下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？
１．
１ ，ａ ， １ ， ｘ ，ａ ＋ｂ，ｘ ＋２，３
－ ．
２ ３ ｘ ＋ｙ ２ ａｂ ｘ －２ π
为何值时，分式ｘ ＋２有意义？
２． ｘ
ｘ －３
解下列问题：
３．
（）一箱苹果售价 元，箱子与苹果总质量为 ，箱子质量为 每千克苹果的
１ ａ ｍ ｋｇ ｎ ｋｇ．
售价为多少元？
［第３（１）题］ ［第３（２）题］
（）已知轮船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），甲、乙两地的航
２ ａｋｍ／ｈ ｂｋｍ／ｈ ａ ＞ ｂ
程为 ，船从甲地顺江而下到乙地需多少时间？从乙地返回甲地需多少时间？
ｓｋｍ
９０
第 章 分 式
９完成下面等式的填空，并说出从左到右变化的依据：
（ ）
（）１ ２ ； （ ）
１ ＝ （ ）＝
３ １２
（ ）
（）６ ３ （ ）
２ ＝ （ ）＝ ．
１８ ３
与分数类似，分式有如下的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的
整式，分式的值不变 即
．
·
ａ ａ ｍ ａ ÷ｍ （， ， 都是整式，且 ）
＝ · ＝ ａ ｂ ｍ ｍ ≠０ ．
ｂ ｂ ｍ ｂ ÷ｍ
例 根据分式的基本性质填空：
２
（ ）
（）ｘ２ ； （）－ａ ａ ；
１ ＝ ２ ＝ （ ）
２ｘｙ ２ｙ －５ｂ
（） ａ ＋ｂ １ ；（） ａ ２ａ
３ ＝ （ ） ４ ＝ （ ）．
ａ２ｂ ＋ａｂ２ ａ ＋ｂ
解 （）ｘ２ ｘ
１ ＝ ．
２ｘｙ ２ｙ
（）－ａ ａ
２ ＝ ．
－５ｂ ５ｂ
（） ａ ＋ｂ １
３ ＝ ．
ａ２ｂ ＋ａｂ２ ａｂ
（） ａ ２ａ
４ ＝ ．
ａ ＋ｂ ２ａ ＋２ｂ
填空：
１．
（ ） （ ）（ ）
（）ａ －ｂ ； （） ａ －１ ａ ＋２ ａ ＋２ ；
１ ＝ ２ （ ）（ ）＝－（ ）
ａｂ ａ２ｂ ａ ＋３ １ －ａ
９１
分式及其基本性质
９．１（ ）
（） ５ｍ２ｎ２ ； （） ｘ －１ １
３ ＝ ４ ＝ （ ）．
ｍ２ｎ ＋ｎ２ｍ ｍ ＋ｎ ｘ２ －２ｘ ＋１
下列等式从左边到右边是怎样得到的？
２．
（ ）
（）ａ ａｃ （ ）； （）ｘ ｘ －ｙ ｘ
１ ＝ ｃ ≠０ ２ ＝ ．
３ｂ ３ｂｃ ｘ２ －ｙ２ ｘ ＋ｙ
分式的基本性质是分式化简和运算的依据
．
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因
式约去叫做分式的约分（ ）
ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎ ．
前面例 中的第（）（）（）小题就是约分
２ １ ２ ３ ．
例 约分：
当分式的分 ３
子和分母是多项 （）８ｘｙ２ ； （）ａ２ －ｂ２；
１ ２
式时，要先分解 １２ｘ２ｙ ａ ＋ｂ
因式，再约分
． （）ａ２ －２ａ； （） ｘ２ －１
３ ４ ．
４ －ａ２ ｘ２ －２ｘ ＋１
·
解 （）８ｘｙ２ ４ｘｙ ２ｙ ２ｙ
１ ＝ · ＝ ．
１２ｘ２ｙ ４ｘｙ ３ｘ ３ｘ
（ ）（ ）
（）ａ２ －ｂ２ ａ ＋ｂ ａ －ｂ
２ ＝ ＝ ａ －ｂ．
ａ ＋ｂ ａ ＋ｂ
（ ）
（）ａ２ －２ａ ａ ａ －２ ａ ａ
３ ＝ （ ）（ ）＝ （ ）＝ － ．
４ －ａ２ － ａ ＋２ ａ －２ － ａ ＋２ ａ ＋２
（ ）（ ）
（） ｘ２ －１ ｘ ＋１ ｘ －１ ｘ ＋１
４ ＝ （ ） ＝ ．
ｘ２ －２ｘ ＋１ ｘ －１ ２ ｘ －１
像２ｙ ， ａ ，ｘ ＋１ 这样，分子与分母只有公因式
－ １
３ｘ ａ ＋２ ｘ －１
的分式，叫做最简分式（ ）约分通常
ｆｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ｌｏｗｅｓｔ ｔｅｒｍｓ ．
是把分式化成最简分式或者整式
．
９２
第 章 分 式
９约分：
１．
（ ） （ ）
（）５ｘｙ； （）－３ｍｎ； （） ａ －ｂ ２； （）６ａ ｂ －１
１ ２ ３ （ ） ４ （ ）．
２０ｘ２ ６ｍｎ２ ｂ －ａ ３ ８ａｃ １ －ｂ
约分：
２．
（） ｘ２ －９ ； （）ｘ２ｙ ＋ｘｙ２
１ （ ） ２ ．
ｘ －３ ２ ｘ２ －ｙ２
下面的约分对不对？如果不对，应怎样改正？
３．
（ ）
（）－ａ ＋ｂ ； （） ａ －ｂ ２ ； （）ｍ２ －ｎ２
１ ＝ １ ２ ＝ ｂ －ａ ３ ＝ ｍ －ｎ．
ａ －ｂ ｂ －ａ ｍ －ｎ
习题
９． １
解下列问题：
１．
（）三角形的面积为 ，如果它的一边长为 ，那么
１ Ｓ ｍ２ ａ ｍ
该边上的高为多少米？
（）若将一棱长为 的正方体钢坯锻造成底面半径为
２ ａ ｍ
的圆柱，则这个圆柱的高为多少米？
ｒ ｍ
（）某种地砖一箱能铺 ，客厅的面积为 ，现给客
３ ａ ｍ２ ｂ ｍ２
厅铺这种地砖，应买多少箱？
（）一台插秧机的插秧速度相当于 个熟练农民的插秧
４ ａ
［第１（４）题］
速度，若一个熟练农民每时能插 ，则一台插秧
ｍ ｈｍ２
机插完 的水稻需要多少时间？
ｎ ｈｍ２
当 取什么值时，下列分式无意义？
２． ｘ
（） ｘ ； （） ｘ －１
１ ２ ．
２ｘ －３ ５ｘ ＋１０
填空：
３．
（ ）
（）ｙ （ ）； （）ｘ －２ １ ；
１ ＝ ｙ ≠０ ２ ＝ （ ）
ｘ ｘｙ ｘ２ －４
９３
分式及其基本性质
９．１（）ｙ３ ａｙ３ ； （）ａ －ｂ ａ２ －ｂ２ （ ）
３ ＝ （ ） ４ ＝ （ ） ａ ≠－ｂ ．
４ａｘ ｂ
不改变分式的值，将下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
４．
１ １
ａ －
（）０．１ｘ －０．２ｙ； （） ２ ３
１ ２ ．
０．５ｘ ＋０．３ｙ １ １
ｂ ＋
４ ３
不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分
５．
子与分母按降幂排列：
（）３ａ２ －１； （）ｘ －ｘ２ ；
１ ２
１ －ａ １ ＋２ｘ２
（）－１ ＋２ｘ －ｘ２； （）－ａ２ ＋ａ －１
３ ４ ．
－２ｘ ＋１ １ －ａ －ａ２
约分：
６．
（）－１５ｘ； （） －２ａｃ２ ； （） ｘ －ｙ ；
１ ２ ３ （ ）
２０ｘ２ －１４ａ２ｂｃ ｙ －ｘ ３
（）ｘ２ －９； （）ａ２ ＋２ａｂ ＋ｂ２； （）ｘ２ －１
４ ５ ６ ．
６ －２ｘ ａ２ －ｂ２ ｘ －ｘ２
先化简，再求值：
７．
（） ｘ２ －５ｘ ，其中 ；
１ ｘ ＝ ２．５
ｘ２ －１０ｘ ＋２５
（）ａ２ －９ｂ２，其中 ，
２ ａ ＝ －４ ｂ ＝２．
ａｂ ＋３ｂ２
类 比 推 理
在学习一元一次不等式的解法 （ 时，是与解 ） 一元一次方程对比
＜ ｃ
进行的 由于两者标准形式类似 ，解的依据也是类
． ａｘ ＋ｂ ＝ ｃ
＞ ｃ
９４
第 章 分 式
９似的基本性质 因此，在学过一元一次方程解法后，很容易通过类
．
比，去研究一元一次不等式的解法
．
分式与分数分别是整式与整式、整数与整数相除的表述形
式，当分式中分子与分母以数值代替字母时，它就是分数 这样可
．
以通过与分数类比，来学习分式的性质与运算
．
两类事物具有相同的结构、特征，当我们已了解其中一类事
物的某些属性后，往往可去认识、猜测另一类事物是否也有类似
的属性，这种思考问题的方法，称作类比
．
类比和归纳一样，也是科学研究中常用的方法，比如在人类
对太空的探求中，发射探测器登陆火星，任务之一是了解火星上
是否曾经有水的存在 因为火星与地球同是太阳系中行星，地球
．
上有生物，火星上是否也有呢？而从地球上知道水是生命之源，
如果火星上有过水，可推测它可能存在过生物
．
类比可启发我们去猜想、去思考，因此，我们要学会用类比的
思想方法去发现新问题、探求新规律
．
思考 整数与整式也有类似的属性，请你类比整数中公因
１
数和最大公因数的概念，给出几个整式的公因式和最大公因式的
概念
．
思考 类比求两个整数的最大公因数的方法，求下列各组
２
整式的最大公因式：
（） ， ；
１ ｘ３ｙ ｘ２ｙ２
（）（ ）（ ），（ ）（ ）（ ）
２ ｘ －１ ２ ｘ －３ ｘ －１ ｘ －２ ｘ －３ ２．
思考 像３ ，５ ， ８ 这样的分子和分母只有公因数 的
３ － １
４ ６ ９
分数叫做最简分数 求最简分数时只要约去分子和分母的最大公
．
（ ）（ ）（ ）
因数，类似地，把分式 ３ ｘ －１ ｘ ＋２ ｘ －５ 化成最简分式时，
（ ）（ ）（ ）
ｘ －１ ｘ －３ ｘ －５
你要约去的是什么公因式？
９５
分式及其基本性质
９．１９．
分式的运算
２
分式的乘除
１．
你还记得分数的乘除运算吗？
１．
（）２ ６ ； （）( ５ ) ( ２ ) ；
１ × ＝ ２ － × － ＝
３ ５ ７ ５
（）３ ( ３ ) ； （）( ４ ) ２
３ ÷ － ＝ ４ － ÷ ＝ ．
６ ４ ２１ ７
任给下面式子中 ， ， ， 一组数值，如 ， ， ，
２． ａ ｂ ｃ ｄ ａ ＝２ ｂ ＝３ ｃ ＝ －２ ｄ ＝
，求下面两式子的值，再任选一组 ， ， ， 的值进行计算，从中你能得出
－３ ａ ｂ ｃ ｄ
什么结论？
（）ａ·ｃ ，ａｃ ； （）ａ ｃ ，ａｄ
１ ＝ ＝ ２ ÷ ＝ ＝ ．
ｂ ｄ ｂｄ ｂ ｄ ｂｃ
与分数乘除类似，分式乘除的法则为：
两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积
的分母
．
两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除
式相乘
．
例 计算：
分式运算的 １
结果要尽量约简
．
（）６ｘ·－１０ｙ２； （）９ａ２ｂ２ ３ａｂ３
１ ２ ÷ ．
５ｙ ３ｘ３ ２ｃ ８ｃ２
解 （） ６ｘ·－１０ｙ２
１
５ｙ ３ｘ３
９６
第 章 分 式
９·（ ）
６ｘ －１０ｙ２
＝ ·
５ｙ ３ｘ３
４ｙ
＝－ ．
ｘ２
（） ９ａ２ｂ２ ３ａｂ３
２ ÷
２ｃ ８ｃ２
９ａ２ｂ２·８ｃ２
＝
２ｃ ３ａｂ３
１２ａｃ
＝ ．
ｂ
例 计算： ｘ －１ ｘ２ －１ （ ）（ ）
２ ÷ ． 原式 ｘ－１ · ｘ＋２ ｘ－２
＝（ ） （ ）（ ）
ｘ２ －４ｘ ＋４ ｘ２ －４ ｘ－２ ２ ｘ＋１ ｘ－１
解 ｘ －１ ｘ２ －１ ｘ＋２
÷ ＝（ ）（ ）．
ｘ２ －４ｘ ＋４ ｘ２ －４ ｘ－２ ｘ＋１
先约分后相乘可使运算简化！
ｘ －１ ·ｘ２ －４
＝
ｘ２ －４ｘ ＋４ ｘ２ －１
（ ）（ ）
ｘ －１ ｘ２ －４
＝ （ ）（ ）
ｘ２ －４ｘ ＋４ ｘ２ －１
（ ）（ ）（ ）
ｘ －１ ｘ －２ ｘ ＋２
＝ （ ）（ ）（ ）
ｘ －２ ２ ｘ －１ ｘ ＋１
ｘ ＋２
＝ （ ）（ ）．
ｘ －２ ｘ ＋１
怎样计算( ａ)２，( ａ)３，( ａ)４？
ｂ ｂ ｂ
( ａ)２ ａ·ａ ａ２；
＝ ＝
ｂ ｂ ｂ ｂ２
( ａ)３ ；
＝ ＝
ｂ
( ａ)４
＝ ＝ ．
ｂ
９７
分式的运算
９．２一 般 地，( ａ)ｎ （ 是 正
＝ ＝ ｎ
ｂ
整数）
．
即 ( ａ)ｎ
＝ ．
ｂ
分式乘方的法则为：
分式乘方就是把分子、分母分别乘方
．
根据负整数次幂的意义，可知：
( ａ)ｎ （ ） ａｎ
＝ ａｂ－１ ｎ ＝ ａｎｂ－ｎ ＝ ．
ｂ ｂｎ
这就是说，分式的乘方( ａ)ｎ 可以转化为积的乘方
ｂ
（ ）
ａｂ－１ ｎ．
计算：
１．
（）－ａ２·１０ｂ２； （）３ａｂ ２１ａ２ｂ；
１ ２ ÷
５ｂ３ ７ａｃ ４ｘｙ １０ｘ２ｙ
（） · ２ｘ ； （）１２ｘｙ （ ）
３ －３ｘｙ２ （ ） ４ ÷４ ｘｙ ２．
３ｙ ２ ５
计算：
２．
（）２ｘ ＋２·ｘ２ －４； （）ｘ －ｙ （ ）
１ ２ ÷ ｘ２ －２ｘｙ ＋ｙ２ ．
ｘ －２ ｘ ＋１ ｘ ＋ｙ
计算：
３．
（）(ｂ２)３ （ ）； （）( ｘ )２·( ｙ２)３ （ ）
１ ÷ －ｂ６ｃ ２ － ÷ ｘｙ ４．
ａｃ ｙ ｘ
体育课上，李明和王亮进行单人定位投篮练习 李明投 次中
４． ． ａ ｂ （第４ 题）
次，王亮投 次中 次，问李明投篮的命中率是王亮的几倍？
ｍ ｎ
９８
第 章 分 式
９分式的加减
２．
下面再来复习分数的加减运算：
１．
（）３ １ ； （）( ３ ) １ ；
１ ＋ ＝ ２ － － ＝
２ ２ ４ ４
（）( ２ ) ( １ ) ； （）( １ ) ( １ )
３ － ＋ － ＝ ４ － － ＋ ＝ ．
５ ３ ２ ３
类比分数的加减运算，下面分式的加减运算如何进行？
２．
（）ｂ ｃ ； （）ｂ ｃ ；
１ ＋ ２ －
ａ ａ ａ ａ
（）ｂ ａ ； （）ｂ ａ
３ ＋ ４ － ．
３ａ ２ｂ ３ａ ２ｂ
与分数类似，在计算异分母分式的加减时，要利用分式的
基本性质，先把分母不相同的分式化成分母相同的分式，再进
行加减 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分
．
（ ）
ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ．
例 通分：
３
（） １ ， １ ， １ ；
１
３ａ２ｂ ４ａｂ２ １２ａｂ
（） １ ， １ ， １
２ ．
ｘ２ －ｙ２ ｘ２ ＋２ｘｙ ＋ｙ２ ｘ２ ＋ｘｙ
解 （） ， ， 中系数的最小公倍数为 ，
１ ３ａ２ｂ ４ａｂ２ １２ａｂ １２
字母 的最高次幂为 ，字母 的最高次幂为 ，故公分母
ａ ａ２ ｂ ｂ２
为
１２ａ２ｂ２．
通分后分别为： １ ４ｂ ，
＝
３ａ２ｂ １２ａ２ｂ２
９９
分式的运算
９．２１ ３ａ ，
＝
４ａｂ２ １２ａ２ｂ２
１ ａｂ
＝ ．
１２ａｂ １２ａ２ｂ２
（） （ ）（ ），
２ ｘ２ －ｙ２ ＝ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ
（ ），
ｘ２ ＋２ｘｙ ＋ｙ２ ＝ ｘ ＋ｙ ２
（ ），
ｘ２ ＋ｘｙ ＝ ｘ ｘ ＋ｙ
故公分母为 （ ）（ ）
ｘ ｘ ＋ｙ ２ ｘ －ｙ ．
（ ）
通分后分别为： １ ｘ ｘ ＋ｙ ，
＝ （ ）（ ）
ｘ２ －ｙ２ ｘ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ ２
（ ）
１ ｘ ｘ －ｙ ，
＝ （ ）（ ）
ｘ２ ＋２ｘｙ ＋ｙ２ ｘ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ ２
（ ）（ ）
１ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ
＝ （ ）（ ）．
ｘ２ ＋ｘｙ ｘ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ ２
异分母分式通分时，关键是确定公分母 通常取各分母
．
所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最
简公分母
．
在求最简公分母时应注意：
（）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系
１
数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（）当分母是多项式时，一般应先分解因式
２ ．
通分：
１．
（）ａ ，ｂ ， ｃ ； （） ３ ， ５
１ ２ ．
２ｂ ３ａ ４ａｂ ２ｘ２ｙ ３ｘｙ２
通分：
２．
（） １ ， ｘ －１ ， １ ； （） １ ， １ ， １
１ ２ ．
ｘ ＋１ ｘ２ ＋２ｘ ＋１ ｘ －１ ｘ －１ ｘ２ －１ ｘ２ ＋ｘ
１ ００
第 章 分 式
９与分数加减类似，分式加减的法则为：
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减
．
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再
加减
．
例 计算：
４
（）ｂ ａ ＋ｂ； （） ａ ａ －３
１ － ２ ＋ ．
２ａ ２ａ ａ －１ １ －ａ
解 （） ｂ ａ ＋ｂ
１ －
２ａ ２ａ
（ ）
ｂ － ａ ＋ｂ
＝
２ａ
ｂ －ａ －ｂ
＝
２ａ
ａ
＝－
２ａ
１
＝－ ．
２
（） ａ ａ －３
２ ＋
ａ －１ １ －ａ
注意：
１ －ａ
ａ ａ －３
（ ）
＝ － ＝－ ａ －１ ．
ａ －１ ａ －１
（ ）
ａ － ａ －３
＝
ａ －１
３
＝ ．
ａ －１
例 计算：
５
（） ３ ４ ； （）ｍ －１５ ２
１ ＋ ２ － ．
２ｘ２ ５ｘ ｍ２ －９ ３ －ｍ
解 （） ３ ４
１ ＋
２ｘ２ ５ｘ
１５ ８ｘ
＝ ＋
１０ｘ２ １０ｘ２
１ ０１
分式的运算
９．２８ｘ ＋１５
＝ ．
１０ｘ２
（） ｍ －１５ ２
２ －
ｍ２ －９ ３ －ｍ
（ ）
ｍ －１５ ２ ｍ ＋３
＝ （ ）（ ）＋（ ）（ ）
ｍ ＋３ ｍ －３ ｍ ＋３ ｍ －３
ｍ －１５ ＋２ｍ ＋６
＝ （ ）（ ）
ｍ ＋３ ｍ －３
３ｍ －９
＝ （ ）（ ）
ｍ ＋３ ｍ －３
（ ）
３ ｍ －３
＝ （ ）（ ）
ｍ ＋３ ｍ －３
３
＝ ．
ｍ ＋３
计算：
１．
（）３ １ ； （） ２ｙ ｙ
１ － ２ － ．
ｘ ２ｘ １ －ｘ ｘ －１
计算：
２．
（）ｃ ｃ ； （） １ １ ；
１ ＋ ２ －
ａ ｂ ｘ ＋１ ｘ －１
（）ａ ｂ ａ２ ＋ｂ２； （）１ １ ｘ ＋２ｙ
３ － － ４ ＋ － ．
ｂ ａ ａｂ ３ｘ ２ｙ ６ｘｙ
计算：
３．
（） ２ ５ ； （） ２ａ １
１ － ２ － ．
３ｘ２ ６ｘ ａ２ －４ｂ２ ａ －２ｂ
学校有一块面积为 的操场，七年级（）班的 位同学承担了清除操场杂草的任务
４． ｍ ２ ａ ．
若平均每位同学每时能清除面积为 的杂草，则全班清除全部杂草需要多少时间？
ｎ
七年级（）班有 位同学，若平均每位同学每时能清除面积为 的杂草，则两班合作
１ ｂ ｋ
要比七年级（）班单独完成提前多少时间？
２
１ ０２
第 章 分 式
９分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方，再乘
除，后加减 如果有括号，先进行括号里的运算
． ．
例 (ｘ －１ ｘ ) ｘ ( ｘ )２
６ － － ÷ ．
ｘ ｘ ＋１ ｘ２ －１ ｘ －１
解 (ｘ －１ ｘ ) ｘ ( ｘ )２
－ － ÷
ｘ ｘ ＋１ ｘ２ －１ ｘ －１
（ ）
ｘ２ －１ －ｘ２ ｘ · ｘ －１ ２
＝ （ ） －
ｘ ｘ ＋１ ｘ２ －１ ｘ２
－１ ｘ －１
＝ （ ）－ （ ）
ｘ ｘ ＋１ ｘ ｘ ＋１
－ｘ
＝ （ ）
ｘ ｘ ＋１
１
＝－ ．
ｘ ＋１
计算：
（）（ ）· ａ２ ｂ２ ； （）( １ １ ) １ ；
１ ａ ＋ｂ ＋ ２ － －１ ÷
ａ２ －ｂ２ ｂ －ａ ｍ －１ ｍ ＋１ ｍ２ －１
（） １ ； （） ４ １ １
３ ａ －１ ＋ ４ ＋ ＋ ．
１ －ａ ｘ２ －４ ｘ ＋２ ２ －ｘ
习题
９． ２
计算：
１．
（）３ａ·８ｂ； （）ｘｙ３ ｘｙ ；
１ ２ ÷
４ｂ ９ａ２ ８ｃ２ｄ ２ｃｄ２
１ ０３
分式的运算
９．２（）ａ －ｂ· ａｂ ； （） ｘｙ ·６ｘ －９ｙ
３ ４ ．
ｂ ２ａ －２ｂ ２ｘ －３ｙ ２ｘ２ｙ２
计算：
２．
（）ｘ２ －１·ｘｙ －ｘ； （） １ ·ｘ －ｙ；
１ ２ （ ）
ｘ －ｘ２ １ －ｙ ｙ －ｘ ２ ｘ ＋ｙ
（）（ ） ｘ －ｙ； （）ｘ －３ （ ）
３ ｘｙ －ｘ２ ÷ ４ ÷ ｘ２ －６ｘ ＋９ ．
ｘｙ ｘ２ ＋ｘ
计算：
３．
（ ）·（ ）
（）( ｘｙ) ( ｘ )２； （） ３ｘ－１ｙ－２ ２ ｘ２ｙ２ ３；
１ － ÷ － ２ （ ）
ａ ａ ３ｘｙ３ －２
（）（ ）·( ａ )３ ( ａ )４
３ －ａ２ － ÷ － ．
ｂ ｂ
计算：
４． （ ）
（） ｂ ３ (２ｂ２)０ ( ｂ ) －３； （）（ ） ｘ２ －２ｘｙ ＋ｙ２·ｘ －ｙ
１ ÷ × － ２ ｘｙ －ｘ２ ÷ ．
２ａ２ ３ａ ａ ｘｙ ｘ２
计算：
５．
（）２ｘ ＋７ ｘ ＋３ ； （） ３ｃ ３ｄ ＋ｃ
１ － ２ － ．
３ｘ ＋１ ３ｘ ＋１ ｃ －ｄ ｄ －ｃ
计算：
６．
（）３ｘ ＋１ ２ｙ －１； （） ２ｂ２ ；
１ － ２ ａ ＋ｂ ＋
３ｘ ２ｙ ａ －ｂ
（）ａ －１ ａ ； （） １ ｍ －３
３ ＋ ４ ＋ ．
ａ２ －１ ａ ＋１ ｍ２ －ｍ ｍ２ －１
计算：
７．
（）( １ )·ｘ －１ １ ； （）３ －ａ ( ５ )
１ ｘ － － ２ ÷ ａ ＋２ － ．
１ －ｘ ｘ ｘ ２ａ －４ ａ －２
（）若 １ ，求( ａ２ －４ １ ) ａ ＋１ 的值；
８． １ ａ ＝ － ÷
２ ａ２ －４ａ ＋４ ａ －２ ａ ＋２
（）若 ， ，求( ４ｘｙ )( ４ｘｙ )的值
２ ｘ ＝ １００ ｙ ＝ ９９ ｘ －ｙ ＋ ｘ ＋ｙ － ．
ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ
两地之间的空中航线全程 ，飞行时间需用 ，两地之间的铁路线全长是空中
９． ｓ ｋｍ ａ ｈ
航线全程的 倍，火车运行的时间为 ，求飞机速度是火车速度的多少倍
ｍ ｂ ｈ ．
１ ０４
第 章 分 式
９９．
分式方程
３
如何解决本章引言中提出的问题呢？
设某列车提速前的速度为 ，那么提速后的速度
ｘ ｋｍ／ｈ
应为（ ）
１ ＋２５％ ｘ ｋｍ／ｈ．
列车提速前后走完 所需时间分别为１６００ 和
１６００ ｋｍ ｈ
ｘ
１６００ ，根据题意，得
（ ） ｈ
１ ＋２５％ ｘ
１６００ １６００
－（ ） ＝ ４．
ｘ １ ＋２５％ ｘ 图 ９ ２
像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程
（ ）
ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
如何解分式方程１６００ １６００ ？
－ ＝ ４
ｘ ５
ｘ
４
方程两边同乘以最简公分母５ ，得
ｘ
４
去分母后，
，
２０００ －１６００ ＝ ５ｘ 分式方程就转化
解这个整式方程，得
为整式方程了！
ｘ ＝ ８０．
把 代入上述分式方程检验：
ｘ ＝ ８０
１ ０５
分式方程
９．３左边 １６００ １６００ 右边
＝ － ＝ ４ ＝ ．
８０ ５
×８０
４
所以 是该分式方程的解
ｘ ＝ ８０ ．
因而，列车提速前的速度为
８０ ｋｍ／ｈ．
解方程２ －ｘ １ ，把解得的根代入原方
＝ －２
ｘ －３ ３ －ｘ
程中检验，你发现了什么？
解方程 ２ －ｘ １ ，
＝ －２
ｘ －３ ３ －ｘ
可得
ｘ ＝ ３．
把 代入检验时，方程中分式的分母为零，分式无意
ｘ ＝３
义，所以 不是原方程的根，原方程无解
ｘ ＝ ３ ．
是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式
ｘ ＝ ３
方程的根，但不是原方程的根，像 这样的根，称为增根
想一想为什 ｘ ＝ ３
么会产生增根？
（ ）解分式方程时可能产生增根，所以必须
ｅｘｔｒａｎｅｏｕｓ ｒｏｏｔ ．
验根
．
例 解方程：ｘ －１ ｘ
１ －２ ＝ ．
ｘ ＋３ ３ －ｘ
解 方程两边同乘以最简公分母（ ）（ ），得
ｘ ＋３ ｘ －３
（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）
ｘ －１ ｘ －３ －２ ｘ ＋３ ｘ －３ ＝－ｘ ｘ ＋３ ．
展开，得
ｘ２ －４ｘ ＋３ －２ｘ２ ＋１８ ＝－ｘ２ －３ｘ．
解方程，得
ｘ ＝ ２１．
检验：当 时，（ ）（ ）
ｘ ＝ ２１ ｘ ＋３ ｘ －３ ≠０．
１ ０６
第 章 分 式
９因而，原方程的根是
ｘ ＝ ２１．
解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分
母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是
否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根
即为增根，应舍去
．
由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程
的步骤吗？把你的结论与同伴交流
．
解方程：
１．
（）５ ３ ； （） １ ３ －ｘ
１ ＝ ２ １ － ＝ ．
ｘ ｘ －２ ｘ －４ ｘ －４
防汛期间，县指挥部组织人力到 远的堤上抢修堤坝， 人骑摩托车先走，
２． ３０ ｋｍ ２ １５ ｍｉｎ
后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达 已知汽车速度是摩托车
．
速度的 倍，求这两种车的速度
１．５ ．
例 有一并联电路，如图 ，两电阻阻值分别为 ，
２ ９ ３ Ｒ
１
，总电阻阻值为 ，三者关系为：
Ｒ Ｒ
２
１ １ １
＝ ＋ ．
Ｒ Ｒ Ｒ
１ ２
若已知 ， ，求
Ｒ Ｒ Ｒ．
１ ２
解 方程两边同乘以 ，得
ＲＲ Ｒ
１ ２
， 图 ９ ３
Ｒ Ｒ ＝ ＲＲ ＋ＲＲ
１ ２ ２ １
即 （ ）
Ｒ Ｒ ＝ Ｒ Ｒ ＋Ｒ ．
１ ２ １ ２
１ ０７
分式方程
９．３因为 ， 都是正数，所以
Ｒ Ｒ Ｒ ＋Ｒ ≠０．
１ ２ １ ２
两边同除以（ ），得
Ｒ ＋Ｒ
１ ２
Ｒ Ｒ
１ ２
Ｒ ＝ ．
Ｒ ＋Ｒ
１ ２
例 七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活
３
动，已知甲班每天比乙班多种 棵树，如果分配给甲、乙两
１０
班的植树任务分别是 棵和 棵，问两个班每天各植树
１５０ １２０
多少棵，才能同时完成任务？
解 设乙班每天植树 棵，那么甲班每天植树（ ）
ｘ ｘ ＋１０
棵，甲班完成任务需 １５０ 天，乙班完成任务需１２０天
．
ｘ ＋１０ ｘ
要求同时完成任务，即 应满足下列等式：
ｘ
１５０ １２０
＝ ．
ｘ ＋１０ ｘ
解方程，得
ｘ ＝ ４０．
检验： 是原方程的根
ｘ ＝４０ ．
此时
ｘ ＋１０ ＝５０．
因而，当乙班每天植树 棵，甲班每天植树 棵时，两
４０ ５０
个班能同时完成任务
．
在公式 ｐ １ ｐ ２ 中， ，用 ， ， 表示出
１． ＝ ｐ ≠０ ｐ ｐ Ｖ Ｖ ．
２ １ ２ １ ２
Ｖ Ｖ
２ １
小华和姐姐都用计算机输入 个汉字，姐姐的输入速度是小华的 倍，结果姐姐
２． １ ５００ ３
比小华少用 完成，求他们各自的打字速度
２０ ｍｉｎ ．
甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每时比乙多生产 个，甲生产 个零件与乙生产
３． ８ １６８
个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每时各生产多少个零件？
１４４
１ ０８
第 章 分 式
９习题
９． ３
某地修建一条轻轨铁路，要使工程提前 个月完成，需将原定的工作效率提高
１． ３
如果设原计划完成这项工程用 个月，那么 应满足怎样的方程？
１２％． ｘ ｘ
已知水流的速度是 ，轮船顺流航行 与逆流航行 所需时间相
２． ３ ｋｍ／ｈ ６６ ｋｍ ４８ ｋｍ
等，设轮船在静水中的速度为 ，那么 应满足怎样的方程？
ｘ ｋｍ／ｈ ｘ
解下列方程：
３．
（） ６ ３ ； （） ｘ ５ ；
１ － ＝ ０ ２ － ＝ １
ｘ ＋４ ｘ －１ ２ｘ －５ ５ －２ｘ
（）ｘ ＋１ ｘ －３； （） ２ ３ ６
３ ＝ ４ ＋ ＝ ．
ｘ －２ ｘ －４ ｘ ＋１ ｘ －１ ｘ２ －１
（）已知 ｒ （ ），求 ；
４． １ Ｒ ＋ ＝ ｓ ｓ ≠ Ｒ ｎ
ｎ
（）已知 ｍ －ａ （ ），求
２ ｅ ＝ ｅ ≠－１ ａ．
ｍ ＋ａ
车间加工 个零件后，采用了新工艺，工效是原来的 倍，这样，加工同样个
５． １２００ １．５
数的零件就少用了 ，问采用新工艺前后每时各加工多少个零件？
１０ ｈ
在争创全国卫生城市的活动中，某市“青年突击队”决定义务清除重达 的垃
６． １００ ｔ
圾 开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使清除垃圾的速度比原计划提高了
．
倍，提前 完成了任务，“青年突击队”原计划每时清除多少吨垃圾？
１ ４ ｈ
两个等式的研究
前面我们学过很多等式，例如完全平方公式和平方差公式，
通过观察我们会发现很多等式具有非常有趣的规律 下面给出两
．
个例子，请你通过观察，总结规律并解答问题：
我们知道，（ ） ，改变公式写法，得
１ ｋ ＋１ ２ ＝ｋ２ ＋２ｋ ＋１
（ ）
ｋ ＋１ ２ －ｋ２ ＝２ｋ ＋１．
１ ０９
分式方程
９．３对上面的等式，依次令 ，，，…，，得
ｋ ＝１ ２ ３ ｎ
，
２２ －１２ ＝３ ＝２ ×１ ＋１
，
３２ －２２ ＝５ ＝２ ×２ ＋１
，
４２ －３２ ＝７ ＝２ ×３ ＋１
，
５２ －４２ ＝９ ＝２ ×４ ＋１
……
（ ）
ｎ ＋１ ２ －ｎ２ ＝２ｎ ＋１．
（）把这 个式子左右两边分别相加，能得到怎样的结果？
１ ｎ
（）记 … 根据上述结果，你能求出 的
２ Ｓ ＝１ ＋２ ＋３ ＋ ＋ｎ． Ｓ
１ １
公式吗？
（）上面我们从公式 （ ） 入手，从一般到
３ ｋ ＋１ ２ ＝ ｋ２ ＋２ｋ ＋１
具体，根据 的不同取值，得到一系列等式，从而求出 （前 个
ｎ Ｓ ｎ
１
自然数的和）的公式 仿上，记 … ，请构建一
． Ｓ ＝１２ ＋２２ ＋３２ ＋ ＋ｎ２
２
个等式，然后利用它求出
Ｓ ．
２
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不
２
仅限于整数求和 如
．
１ １ ，
１ － ＝ ①
２ １ ×２
１ １ １ ，
－ ＝ ②
２ ３ ２ ×３
１ １ １ ，
－ ＝ ③
３ ４ ３ ×４
１ １ １ ，
－ ＝ ④
４ ５ ４ ×５
……
（）继续写出上述第 个算式，并把这些算式两边分别相
１ ｎ
加，会得到什么结果？你能写出下面的求和公式吗？
１ １ １ … １
＋ ＋ ＋ ＋ （ ）．
１×２ ２×３ ３×４ ｎ ｎ＋１
（）根据上面的算式，在小于 的正整数中，求出 个数，
２ １００ １０
使得它们的倒数和等于
１．
１ １０
第 章 分 式
９一、内容整理
二、主要知识回顾
形如ａ （， 为整式，且 中含有字母）的式子叫做分式 整式和分式
１． ａ ｂ ｂ ．
ｂ
统称为有理式
．
分式的基本性质：
２．
·
ａ ｍ ，ａ ÷ｍ （， 是整式，且 ）
· ＝ ＝ ａ ｂ ｍ ≠０ ．
ｂ ｍ ｂ ÷ｍ
分式的运算法则：
３．
（）分式的乘除：ａ· ｃ ，ａ ｃ
１ ＝ ÷ ＝ ．
ｂ ｄ ｂ ｄ
（）分式的加减：ａ ｃ ，ｂ ｄ
２ ± ＝ ± ＝ ．
ｂ ｂ ａ ｃ
解分式方程的基本思想是把它转化为 方程，在分式方程求解
４．
过程中有可能产生 ，所以解分式方程必须
．
三、自评与互评
本章的知识，从分式的概念、性质到运算法则，都是通过和分数
１．
的有关知识类比得到的 类比是一种重要的数学思想方法，你能举例说
．
明前面哪些知识的学习也是运用这种思想方法得到的吗？与同学进行
交流
．
解分式方程与解一元一次方程有何联系和区别？
２．
１ １１
小结·评价联系生活实际，提出一个可通过建立分式方程解决的问题，请你的同
３．
学去解决，并对他的解答作出评价
．
填空：
１．
（）某家庭每天需用大米 ，家中存有 天的用米量，如果每天少用 的大
１ ｍ ｋｇ ｘ ｎ ｋｇ
米，那么存有的大米能用 天；
（）当 时，分式 ４ｘ 有意义；
２ ｘ
ｘ ＋１
（）当 时，分式 ２ｘ 的值为零；
３ ｘ
２ －ｘ
（）当 时，分式 １ 的值为负
４ ｘ ．
３ ＋ｘ
计算：
２．
（） ａ２ｂ ＋ａｂ２ · ａ －ｂ ； （） １ ４ ；
１ ２ ÷
ａ２ －２ａｂ ＋ｂ２ ａｂ ＋ｂ２ ｘ －２ ４ －ｘ２
（）( １ )( １ )
３ １ － －１ ．
１ －ｘ ｘ２
计算：
３
（）ｘ ＋ｙ ｘ －ｙ； （）ａ －ｂ ｂ －ｃ ｃ －ａ；
１ － ２ ＋ ＋
ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ ａｂ ｂｃ ｃａ
（） ２ｘ ； （） １ ６ ｘ －１
３ －ｘ ＋１ ４ － － ．
ｘ ＋３ ｘ －３ ｘ２ －９ ６ ＋２ｘ
先化简，再求值：
４．
２ｘ ＋６ （ ）·ｘ －２，其中
÷ ｘ ＋３ ｘ ＝ ３．
ｘ２ －４ｘ ＋４ ｘ ＋３
解方程：
５．
（）３ｘ －１ ２ ； （）ｘ －６ ｘ －４
１ ＝ ２ ＋ ＝ ２．
ｘ ＋２ ３ ｘ －３ ｘ －５
１ １２
第 章 分 式
９（）已知 ａ ｂ （ ），求 ；
６． １ ＋ ＝ １ ｂ ≠ ｙ ｘ
ｘ ｙ
（）已知 ｙ －ｎ （ ），求
２ ｋ ＝ ｋ ≠０ ｘ．
ｘ －ｍ
甲、乙两人同时在计算机上输入一份书稿， 后，甲因另有任务，由乙又单独输入
７． ４ ｈ
完成 已知甲输入 的稿件，乙需输入 问甲、乙单独输入完这份书稿各需
５ ｈ ． ４ ｈ ６ ｈ．
多少时间？
五一期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校 的市科技馆参观，男生
８． ２５ ｋｍ
在班长的带领下骑自行车提前 出发，女生在王老师的带领下乘客车前往，
８０ ｍｉｎ
结果两队同时到达 若客车速度是自行车速度的 倍，求各队的速度
． ３ ．
高湾村准备用 的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽
９． ８０ ｈｍ２
误农时，工作效率比原计划提高了 倍，结果提前 天完工 求工程队原计划
１．５ ２０ ．
每天建多少公顷大棚
．
填空：
１．
（）如果 ，那么ｘ －ｙ ；
１ ｘ２ －４ｘｙ ＋４ｙ２ ＝ ０ ＝
ｘ ＋ｙ
（）如果 ｘ ｙ ，那么 ７ｘ２ －ｙ２
２ ＝ ＝ ．
２ ３ ｘ２ －２ｘｙ ＋３ｙ２
计算：
２
（ ） （ ）
（） ２ａｂ２ －２ ａ２ｂ ２； （）ｘ２ ＋ｙ２ －ｚ２ ＋２ｘｙ
１ （ ）（ ） ２ ．
３ａ３ｂ ２ ａｂ３ －２ ｘ２ －ｙ２ ＋ｚ２ －２ｘｚ
计算：
３．
（）( １ １ ) ( １ １ )；
１ － ÷ ＋
ｘ２ －２ｘ ＋１ ｘ２ ＋２ｘ ＋１ ｘ ＋１ ｘ －１
（） ａ ｂ ｃ ；
２ （ ）（ ）＋（ ）（ ）＋（ ）（ ）
ａ －ｂ ａ －ｃ ｂ －ｃ ｂ －ａ ｃ－ａ ｃ－ｂ
（） １ １ １ １
３ （ ）＋（ ）（ ）＋（ ）（ ）＋（ ）（ ）．
ｘ ｘ ＋１ ｘ ＋１ ｘ ＋２ ｘ ＋２ ｘ ＋３ ｘ ＋３ ｘ ＋４
１ １３
小结·评价某单位将沿街的店面房出租，第一年租给一家公司获租
４．
金 万元，第二年租给一些个体经营户获租金 万元
６ ７．２ ．
已知第一年每间店面房的租金比第二年少 元，问这
１０００
两年每间店面房的租金各是多少元？
某市自来水公司计费方法如下：若每户每月用水不超过
５．
，则每立方米收费 元；若每户每月用水超过
５ ｍ３ １． ５０
（第４ 题）
，则超出部分需加收一定费用 月份小华妈妈缴了
５ ｍ３ ．９
元的水费，而小莉妈妈缴了 元的水费，小华家的用水量恰好是小莉家
１７．５０ ２７．５０
的２ ，你能求出超过 的部分每立方米加收多少元吗？
５ ｍ３
３
某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路 若让两队合做， 天可
６． ． ２４
以完工，需费用 万元；若让两队合做 天后，剩下的工程由乙队做，还需 天
１２０ ２０ ２０
才能完成，这样只需费用 万元 问：
１１０ ．
（）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
１
（）甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
２
解下列方程组：
 ４ ３ ，  ４ ６ ，
＋ ＝ １０ ＋ ＝ ３
（）  ｘ ｙ （） ｘ ＋ｙ ｘ －ｙ
１  ２ 
 ９ ７ ；  ９ １
 － ＝－５  － ＝ １．
 ｘ ｙ ｘ －ｙ ｘ ＋ｙ
１ １４
第 章 分 式
９相交线、平行线与平移
相交线
１０．１
平行线的判定
１０．２
平行线的性质
１０．３
平移
１０．４
，
(cid:127)(cid:128)–†‡·0(cid:181)-¶•M ‚„”»0…‰(cid:136)(cid:190)¿
(cid:127)(cid:128)b”…‰(cid:192)`2…‰0•´．
、 ，
!"#$%WXY &ZY*&[=\]*?@ 0
34AU^_=+V78．
１ １５
小结·评价１０．
相 交 线
１
图 １０ １
观察剪刀剪东西的过程，可以将剪刀的两片刀
刃边沿看作是两条相交直线，如图 （）中虚线
１０ １ １
所示 把这两条相交直线用图 （）表示，在剪
． １０ １ ２
东西的过程中， 与 这两个角的位置和
∠ＡＯＣ ∠ＢＯＤ
大小始终保持怎样的关系？
在图 （）中，直线 与 相交于点 ， 和
１０ １ ２ ＡＢ ＣＤ Ｏ ∠１
在图 （）
１０ １ ２ 有公共顶点 ，并且它们的两边分别互为反向延长线，
中，还有其他角 ∠３ Ｏ
这样的两个角叫做对顶角（ ）
能 构 成 对 顶 ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅｓ ．
角吗？
在图 （）中， 与 的大小有什么关
１０ １ ２ ∠１ ∠３
系？你能说明具有这种关系的道理吗？
１ １６
第 章 相交线、平行线与平移
１０由 ， ，得
∠１ ＋∠２ ＝ １８０° ∠３ ＋∠２ ＝ １８０° ∠１ ＝ ∠３．
（为什么？）
由此可得：对顶角相等
．
判断下列各图中 与 是否为对顶角，并说明理由
１． ∠１ ∠２ ．
（第１ 题）
如图，两条直线相交， ，求 和 的度数
２． ∠１ ＝ ３５° ∠２ ∠３ ． （第２ 题）
将十字街口的两条道路看作两条直线，如图 （）中的 和 ，
１０ ２ ２ ＡＢ ＣＤ
它们相交于点 ，形成 个角 如果 ，那么其他 个角的度数
Ｏ ４ ． ∠ＡＯＣ ＝ ９０° ３
各是多少？为什么？
图 １０ ２
１ １７
相 交 线
１０．１在两条直线 和 相交所成的 个角中，如果有一
ＡＢ ＣＤ ４
个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“ ”，读
ＡＢ⊥ＣＤ
作“ 垂直于 ”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
ＡＢ ＣＤ
（ ），它们的交点 叫做垂足（
ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ｌｉｎｅ Ｏ ｆｏｏｔ ｏｆ ａ
）
ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ．
两条直线垂直的例子很多，如图 所示的地砖间的
１０ ３
缝隙，围棋盘上的方格线等
．
你能再举出一些两条直线互相垂直的例子吗？
图 １０ ３
用三角尺画垂线
１． ．
仿照下面图 的画图办法，过已知直线
１０ ４ ｌ
上（或外）的一点 画直线，使它与直线 垂直
Ｐ ｌ ．
图 １０ ４
用折纸方法画垂线
２． ．
仿照图 所示的方法，折出经过点 与直
１０ ５ Ｐ
线 垂直的折痕，用直尺沿折痕画出直线
ｌ ．
图 １０ ５
１ １８
第 章 相交线、平行线与平移
１０通过上面的操作，你知道过一点画已知直线的垂线，能
画几条吗？
关于直线的垂线，有如下基本事实：
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
．
有时，我们说线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线
段所在直线、射线所在直线与该直线互相垂直
．
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的
垂线
．
如图 ，点 在直线 外，在直线 上任
１． １０ ６ Ｐ ｌ ｌ
意取一些点 ， ， ， ，把这些点分别与点 连
Ａ Ｂ Ｃ Ｏ Ｐ
接，得到线段 ， ， ， ，其中
ＰＡ ＰＢ ＰＣ ＰＯ ＰＯ ⊥ ｌ ．
观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条
线段最短？
图 １０ ６
点 在直线 外，把一根细绳的一端用图钉
２． Ｐ ｌ
固定在点 处，拉紧细绳，按图 所示步骤进行
Ｐ １０ ７
操作
．
图 １０ ７
观察细绳上的标记点 （垂直拉紧时的垂足）
Ｏ
位置的变化，你有什么发现？
１ １９
相 交 线
１０．１在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段（连
接直线外一点与垂足形成的线段）最短
．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线
的距离
．
如图 ，沙坑中留下一位同学跳远的足印，
１０ ８
如何测量这位同学的跳远成绩？为什么这样量？
图 １０ ８
如图，在三角形 中， 是 中点，连接 ，请分别画出自点 ， 向 所作的
１． ＡＢＣ Ｄ ＢＣ ＡＤ Ｂ Ｃ ＡＤ
垂线（垂足为 ， ）
Ｅ Ｆ ．
（第１ 题） （第２ 题）
（）如图，用三角尺画出点 到直线 的垂线段；
２． １ Ａ ＢＣ
（）画出点 到直线 的垂线段
２ Ｂ ＡＣ ．
１ ２０
第 章 相交线、平行线与平移
１０如图，直线 表示一条公路，点 是一所学校所在的位置，要修一条从学校到公路的道
３． ｌ Ｐ
路，如何修才能使道路最短？画出所修道路的示意图
．
（第３ 题）
习题
１０． １
如图，直线 与 相交形成 个角，其中 与 有
１． ｌ ｌ ４ ∠１ ∠２
１ ２
怎样的位置关系？ 与 又有怎样的位置关系？
∠１ ∠３
图中哪些角的大小相等？为什么？
如图，直线 ， ， 相交于点 ， ，
２． ｌ
１
ｌ
２
ｌ
３
Ｏ ∠１ ＝ ４０° ∠２ ＝ （第１ 题）
，求 的度数
５０° ∠３ ．
（第３ 题）
（第２ 题）
如图，直线 ， 相交于点 ， ， ，垂足为 ，求 ，
３． ＡＢ ＣＤ Ｏ ∠ＡＯＣ ＝３５° ＥＯ⊥ＣＤ Ｏ ∠ＤＯＢ
的度数
∠ＢＯＥ ．
１ ２１
相 交 线
１０．１两把完全一样的三角尺如图放置，其中
４．
， ，在边
∠ＡＯＢ ＝６０° ∠ＣＯＢ ＝３０° ＯＣ
所在直线上任取一点 ，分别测量点
Ｍ Ｍ
到边 ， 所在直线的距离，你能得
ＯＡ ＯＢ
到什么结论？
（第４ 题）
如图 ， 是一条灌溉渠，要铺设管道将渠水引到 ，
１０ ９ ＡＢ Ｃ
两个用水点
Ｄ ．
图 １０ ９
现有两种方法：
（）分别从点 ， 向 作垂线，， 分别为垂足，沿
１ Ｃ Ｄ ＡＢ Ｅ Ｆ
， 铺设管道
ＥＣ ＦＤ ．
（）连接 交 于点 ，沿 ， 铺设管道
２ ＣＤ ＡＢ Ｐ ＰＣ ＰＤ ．
问这两种铺设管道的方法，哪一种节省材料，为什么？
１ ２２
第 章 相交线、平行线与平移
１０１０．
平行线的判定
２
如图 ，双杠上的两条木杠，黑板的上下两边，把它
１０ １０
们看作直线时，都给我们平行直线的形象
．
图 １０ １０
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线（
ｐａｒａｌｌｅｌ
） 如 图 ，两 条 直 线 和 平 行，记 作
ｌｉｎｅｓ ． １０ １１ ＡＢ ＣＤ
“ ”，读作“ 平行于 ”
ＡＢ ∥ ＣＤ ＡＢ ＣＤ ．
图 １０ １１
如图 ，点 在直线 外，按照图示的方法
１０ １２ Ｐ ｌ
过点 画直线 的平行线，你能画几条？
Ｐ ｌ
图 １０ １２
１ ２３
平行线的判定
１０．２关于平行线，有如下的基本事实：
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线
．
如图 ，如果直线 ，
１０ １３ ａ∥ｃ ｂ
，想一想直线 与 有怎样的位
∥ｃ ａ ｂ
置关系？
图 １０ １３
通过上面观察有：
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平
行 即
．
如果直线 ， ，那么直线
ａ∥ｃ ｂ∥ｃ ａ∥ｂ．
画平行线时，在三角尺移动的过程中（图 ），直尺
１０ １２
边 起着“基准线”的作用，它将保持直线 与直尺边
ＡＢ ｌ ＡＢ
的夹角 和直线 与直尺边 的夹角 相等，使得所画
∠１ ｌ′ ＡＢ ∠２
直线 与直线 平行
ｌ′ ｌ ．
现在要研究在同一平面内的两条直线 和 是否平行，
ａ ｂ
同样也需要一条“基准线”，通过它与直线 和 的夹角来
ａ ｂ
进行讨论
．
如图 ，两条直线 和 被第三条直线 （相当于
１０ １４ ａ ｂ ｃ
“基准线”）所截，其中 和 ，分别在直线 和 相同的
∠１ ∠５ ａ ｂ
一侧，并且位于直线 的同旁，具有这样位置关系的一对角
ｃ
叫做同位角（ ）
ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｎｇｌｅｓ ．
同样， 与 都在直线 和 之间，并且位于直线
∠３ ∠５ ａ ｂ ｃ
的两旁，具有这样位置关系的一对角叫做内错角（
ａｌｔｅｒｎａｔｅ
图 １０ １４ ）； 与 都在直线 和 之间，并且位于
ｉｎｔｅｒｉｏｒ ａｎｇｌｅｓ ∠４ ∠５ ａ ｂ
直线 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角
ｃ
１ ２４
第 章 相交线、平行线与平移
１０（ ）
ｉｎｔｅｒｉｏｒ ａｎｇｌｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｉｄｅ ．
在图 中，还有哪几对同位角、内错角、同旁内角？
１． １０ １４
如图，直线 ， 被直线 所截，与 成内错角的
２． ＡＢ ＣＤ ＣＥ ∠１
是 ；与 成同旁内角的是 ；直线 ， 被
∠１ ＡＢ ＣＤ
直线 所截，与 成内错角的是 ；与 成同旁内
ＤＥ ∠２ ∠２
角的是
． （第２ 题）
如图， 与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 与
３． ∠１ ∠Ｄ ∠１ ∠Ｂ ∠３ ∠４ ∠Ｂ ∠ＢＣＤ ∠２
分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们中的每
∠４
一对角分别叫做什么角？
（第３ 题）
如图 ，在用三角尺和直尺画平行线时，
１０ １２
三角尺紧靠着直尺移
动，所画直线 与 平
ｌ′ ｌ
行，这 时 与
∠１ ∠２
相等
．
如图 ，在画
１０ １５
平行线时，如三角尺移
动过程中没紧靠直尺
（这时 ），所 图 １０ １５
∠２ ＞ ∠１
画直线 与 平行吗？
ｌ′ ｌ
可以看到，同位角 和 是否相等，决定了直线 与
∠１ ∠２ ｌ
是否平行 由此我们得到如下基本事实：
ｌ′ ．
１ ２５
平行线的判定
１０．２两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行 简单地说，同位角相等，两直线平行
． ．
这是判定两条直线平行的第 种方法
１ ．
木工师傅在画线时，用一种叫做角尺的工具画榫（ ）眼线 如图，把角尺的一边紧靠木
１． ｓǔｎ ．
料的边 ，滑动角尺画出的两条直线 和 就是平行线 你能说出这样做的依据吗？
ＡＢ ＣＤ ＥＦ ．
（第１ 题） （第２ 题）
如图，如果油轮 和油轮 继续沿着这两条航线航行，它们会有相撞的危险吗？为
２． Ａ Ｂ
什么？
读语句，画图形：
３．
（）点 是直线 外一点，直线 经过点 ，与直线 平行；
１ Ｐ ＡＢ ＣＤ Ｐ ＡＢ
（）直线 ， 相交于点 ，点 是直线 ， 外一点，直线 经过点 ，且与直
２ ＡＢ ＣＤ Ｏ Ｐ ＡＢ ＣＤ ＥＦ Ｐ
线 平行，交直线 于点
ＡＢ ＣＤ Ｅ．
如图 ，直线 ，
１０ １６ ａ
被直线 所截，如果内
ｂ ｃ
错角 和 相等，你能
∠２ ∠４
根据上面的基本事实，说
明直线 吗？
ａ ∥ ｂ
图 １０ １６
１ ２６
第 章 相交线、平行线与平移
１０由于 ，又 （为什么？），故 ，
∠２ ＝∠４ ∠２ ＝∠１ ∠１ ＝∠４
即同位角相等，根据上面的基本事实，得直线 这样，我
ａ∥ｂ．
们可以得到判定两条直线平行的第 种方法：
２
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这
两条直线平行 简单地说，内错角相等，两直线平行 你能说明
． ．
类似地，利用同旁内角（ 与 ）之间的关系，根据上 道 理 吗？与 同
∠３ ∠４
面的基本事实，我们可以得到判定两条直线平行的第 种 伴交流一下
．
３
方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那
么这两条直线平行 简单地说，同旁内角互补，两直线
．
平行
．
如图，如果 ， ， ，可以判定哪些直线平行？判定的依据分
１． ∠１ ＝４７° ∠２ ＝４７° ∠３ ＝４７°
别是什么？
（第１ 题） （第２ 题） （第３ 题）
如图，若 ， ，可以判定哪两条直线平行？判定的依据是
２． ∠Ａ ＝ ６２° ∠Ｂ ＝ １１８°
什么？
如图，已知 平分 ， 由 平分 ，得 ，又因
３． ＡＣ ∠ＤＡＢ ∠１ ＝ ∠２． ＡＣ ∠ＤＡＢ ∠１ ＝
为 ，所以 所以
∠１ ＝ ∠２ ∠２ ＝ ． ＡＢ∥ ．
１ ２７
平行线的判定
１０．２习题
１０． ２
读语句、画图形：
１．
（）在图（）中，画 交 于点 ，画 交 于点 ；
１ １ ＤＥ ∥ ＢＣ ＡＣ Ｅ ＤＦ ∥ ＡＣ ＢＣ Ｆ
（）在图（）中，画 交 于点
２ ２ ＡＥ ∥ ＤＣ ＢＣ Ｅ．
（第１ 题） （第２ 题）
看图填空：
２．
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
１ ∠１ ＝ ∠２ ∥
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
２ ∠３ ＝ ∠４ ∥
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
３ ∠５ ＝ ∠ＤＡＢ ∥
（）要得到 ，需 ，依据是 ；
４ ＡＤ ∥ ＢＣ ∠ＤＡＢ ＋ ＝１８０°
（）要得到 ，需 ，依据是
５ ＡＢ∥ＤＣ ＋ ＝１８０° ．
如图，如果直线 ， ， ， 分别为垂足，那么直线 和 平行
３． ＡＢ⊥ＢＤ ＣＤ⊥ＢＤ Ｂ Ｄ ＡＢ ＣＤ
吗？为什么？由此你能得到什么结论？
（第３ 题） （第４ 题）
如图，已知 与 互补， ，试指出图中哪几组直线互相平行，并说明
４． ∠１ ∠Ｅ ∠１ ＝ ∠Ｂ
理由
．
１ ２８
第 章 相交线、平行线与平移
１０１０．
平行线的性质
３
如图 ，练习本上的横线都是相互平行
１０ １７
的，从中任选两条分别记为 ， ；画一条直线
ＡＢ ＣＤ ＥＦ
分别与 ， 相交得 个角
ＡＢ ＣＤ ８ ．
（）任选一对同位角（如 与 ），量一量它
１ ∠１ ∠５
们的度数，它们的大小有什么关系？
（）再任选一对同位角（如 与 ），量一量
２ ∠２ ∠６
它们的度数，它们的大小有什么关系？
图 １０ １７
由此你能得到什么结论？
平行线有如下性质：
本性质在
性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 后面学习时将
１ ．
简单地说，两直线平行，同位角相等 给出证明
．
．
在图 中，当 时，你还会发现内错
１０ １７ ＡＢ∥ＣＤ
角 和 的大小有什么关系？同旁内角 和
∠３ ∠５ ∠４
之间又有什么关系？能说明理由吗？
∠５
１ ２９
平行线的性质
１０．３由平行线的性质 ，可以推得平行线的另外两个性质：
１
性质 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
２ ．
简单地说，两直线平行，内错角相等
．
性质 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互
３
补 简单地说，两直线平行，同旁内角互补
． ．
例 如图 ，已知 点 ， ， 分别在三角形
１０ １８ Ｄ Ｅ Ｆ ＡＢＣ
的边 ， ， 上，且 ，
ＡＢ ＡＣ ＢＣ ＤＥ ∥ ＢＣ ∠Ｂ ＝ ４８°．
（）试求 的度数；
１ ∠ＡＤＥ
（）如果 ，那么 与 平行吗？
２ ∠ＤＥＦ ＝ ４８° ＥＦ ＡＢ
解 （）因为 ，所以
１ ＤＥ ∥ ＢＣ ∠ＡＤＥ ＝ ∠Ｂ ＝ ４８°．
（）由（），得 ，而 ，所以
２ １ ∠ＡＤＥ ＝ ４８° ∠ＤＥＦ ＝ ４８°
图 １０ １８
根据“内错角相等，两直线平行”，可以得
∠ＡＤＥ ＝ ∠ＤＥＦ．
到
ＥＦ ∥ ＡＢ．
看图填空：
１．
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
１ ＤＥ∥ＢＣ ∠ＡＤＥ ＝
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
２ ＤＥ∥ＢＣ ∠ＤＦＢ ＝
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
３ ＤＥ∥ＢＣ ∠Ｃ＋ ＝１８０°
（）由 ，可以得到 ，依据是 ；
４ ＤＦ∥ＡＣ ∠ＡＥＤ ＝
（）由 ，可以得到 ，依据是 （第１ 题）
５ ＤＦ ∥ ＡＣ ∠Ｃ ＝ ．
如图，直线 ，直线 分别交 于点 、交 于点 ，且 ，求
２． ＡＢ ∥ ＣＤ ＥＦ ＡＢ Ｅ ＣＤ Ｆ ∠ＡＥＦ ＝９０°
的度数 由此你能得到直线 与直线 有怎样的位置关系？
∠ＤＦＥ ． ＥＦ ＣＤ
（第２ 题） （第３ 题）
如图，在四边形 中， ， ，试求 的度数
３． ＡＢＣＤ ＡＤ∥ＢＣ ∠Ｃ ＝７１° ∠Ｄ ．
１ ３０
第 章 相交线、平行线与平移
１０
书书书习题
１０． ３
看图填空：
１．
（）由 ，可以得到 ，依据是 ，再由
１ ∠Ａ ＝ ∠Ｃ ∥
，可以得到 ，依据是 ；
∥ ∠Ｂ ＝ ∠Ｄ
（）由 ，可以得到 ，依据是
２ ＥＦ ∥ ＢＯ ∠ＥＦＯ ＝ ．
（第１ 题） （第２ 题）
如图， 内有一点 ：
２． ∠ＡＯＢ Ｐ
（）过点 画直线 交 于点 ；
１ Ｐ ＰＣ ∥ ＯＢ ＯＡ Ｃ
（）过点 画直线 交 于点 ；
２ Ｐ ＰＤ ∥ ＯＡ ＯＢ Ｄ
（）写出图中互补的角；
３
（）写出图中相等的角
４ ．
如图，已知 ， 是 的平分线， ， ，求
３． ＤＥ∥ＢＣ ＣＤ ∠ＡＣＢ ∠Ｂ ＝７０° ∠ＡＣＢ ＝５０° ∠ＥＤＣ
与 的度数
∠ＢＤＣ ．
（第３ 题） （第４ 题）
如图， ， ， ，求 的度数
４． ＡＤ ∥ ＢＣ ＡＢ ∥ ＥＣ ∠Ｂ ＝ ６０° ∠ＡＤＥ ．
１ ３１
平行线的性质
１０．３潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪
器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察 如图 ，
． １０ １９
，根据光的反射原理，可以得到 ，
ＡＢ∥ＣＤ ∠１ ＝∠２ ∠３ ＝∠４．
假如某人在观察时， ，试求 的度数
∠４ ＝ ４５° ∠１ ．
图 １０ １９
１ ３２
第 章 相交线、平行线与平移
１０１０．
平 移
４
如图 ，传送带上的货物，随着传送带的运动，从一
１０ ２０
处被移动到另一处；吊车上的物体，随着吊车的运动被上下
（或左右）移动，这些都反映了日常生活中，物体沿着某一方
向平行移动的现象
．
图 １０ ２０
在用直尺和三角尺画平行线时（图 ），三角尺的
１０ ２１
位置变化，反映了在平面内一个图形（三角形）沿着一条直
线平行移动的情况
．
图 １０ ２１
如图 （），在一张硬纸上剪下一个四边形
１． １０ ２２ １ ．
图 １０ ２２
１ ３３
平 移
１０．４如图 （），用剪得的四边形纸片，先在
２． １０ ２２ ２
纸上画出四边形 ，再把直尺靠紧边 ，将四
ＡＢＣＤ ＤＣ
边形纸片沿着直尺移动到另一位置，画出纸片移动
后的四边形
Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．
如图 （），连接 ， ， ， ，这
１０ ２２ ３ ＡＡ′ ＢＢ′ ＣＣ′ ＤＤ′
些线段的位置、大小分别有怎样的关系？
在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种
图形的变换叫做平移（ ）平移时，原图形上的所有
ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ．
点都沿同一个方向移动相同的距离 原图形上一点 平移后
． Ａ
成为点 ，这样的两点叫做对应点
Ａ′ ．
一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应
点的线段互相平行（或在同一条直线上）且相等
．
平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小
．
平移在建筑、印染、雕刻等领域有着广泛的应用 图
．
中的图案都可以看作是由一个基本图形经过平移得
１０ ２３
到的
．
图 １０ ２３
１ ３４
第 章 相交线、平行线与平移
１０用“几何画板”软件作图形的平移
打开“几何画板”软件，任意画出一个图形并选中，选择
１．
“变换”菜单中的“平移”命令（图 ），在弹出的“平移”对
１０ ２４
话框的“平移变换”选项中选择“直角坐标”选项，再在“水平方
向”和“垂直方向”的“固定距离”中分别输入 和 （图
９ ５
），点击“平移”按钮，得到平移后的新图形
１０ ２５ ．
图 １０ ２４ 图 １０ ２５
选中平移前后相对应的两个点 ， ，选择“构造”菜单
２． Ａ Ａ′
中的“线段”命令（图 ），得到线段 同理，可得线段
１０ ２６ ＡＡ′．
，
ＢＢ′ ＣＣ′．
选中线段 ， ， ，选择“度量”菜单中的“长度”
３． ＡＡ′ ＢＢ′ ＣＣ′
命令（图 ），得到这些线段的长度（图 ）
１０ ２７ １０ ２８ ．
图 １０ ２６ 图 １０ ２７
１ ３５
平 移
１０．４选中点 和线段 ，选择
４． Ｂ ＣＣ′
“构造”菜单中的“平行线”命令（图
），得到过点 平行于线段
１０ ２９ Ｂ
的直线（图 ）
ＣＣ′ １０ ３０ ．
观察度量的结果和线段 ，
ＡＡ′
， 的位 置 关 系，你 发 现 了
ＢＢ′ ＣＣ′
什么？ 图 １０ ２８
图 １０ ２９ 图 １０ ３０
类比图 制作小鸟图案（有条件的同学可用计算机
１０ ３１
来完成），自行制作一个图案：
图 １０ ３１
１ ３６
第 章 相交线、平行线与平移
１０钥匙复制原理
观察钥匙复制机（图 ）复制钥匙的过
１． １０ ３２
程，你能说出复制的原理吗？
图 １０ ３２
根据你所发现的复制钥匙的原理，在图
２
的左边画出与右边钥匙的形状和大小相同的
１０ ３３
图形
．
图 １０ ３３
在工厂里，靠模车床加工特殊形状的工件时，也
是根据上述原理来完成的
．
１ ３７
平 移
１０．４习题
１０． ４
如图，由图形 经过平移得到的图形是（ ）
１． Ｐ ．
（第１ 题）
将图形 平移至新位置，得到图形 ，请用量角器和直尺测量移动方
２． ＡＢＣＤ Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′
向与水平方向所成的角度以及平移距离
．
（第２ 题）
搜集应用平移制作的图案，带到班上进行交流
３． ．
１ ３８
第 章 相交线、平行线与平移
１０一、内容整理
二、主要知识回顾
对顶角的性质：
１． ．
垂线的相关基本事实和性质：
２．
（）过一点有且只有 条直线垂直于已知直线；
１
（）在连接直线外一点与直线上各点的线段中， 最短
２ ．
平行线的判定方法：
３．
（）两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行；
１
（）两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行；
２
（）两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行
３ ．
平行线的相关基本事实和性质：
４．
（）经过直线外一点，有且只有 条直线平行于这条直线；
１
（）如果两直线平行，那么同位角 ，内错角 ，同旁内角
２
．
确定平移的要素是：（）方向；（）距离
５． １ ２ ．
经过平移得到图形的形状和大小 ，一个图形和它经过平移后所
得的图形中，连接各组对应点的线段
．
三、自评与互评
结合“内容整理”和“主要知识回顾”，检查自己是否掌握了本章所学
１．
的知识
．
寻找日常生活中的相交线、平行线的例子或图片，并与同伴进行交流
２． ．
把本章内容与小学已学过的内容比较，有些什么新认识？与同伴交流
３． ．
１ ３９
小结·评价如图，直线 ， ， 相交于点 ：
１． ＡＢ ＣＤ ＥＦ Ｏ
（）写出 ， 的对顶角；
１ ∠ＥＯＤ ∠ＥＯＣ
（）如果 ， ，求 和 的度数
２ ∠ＡＯＥ ＝ ３０° ∠ＢＯＤ ＝ ６０° ∠ＣＯＦ ∠ＣＯＢ ．
（第１ 题） （第２ 题）
观察图形，回答下列问题：
２．
（） 的同位角是哪些角？
１ ∠１
（） 的内错角是哪些角？
２ ∠２
（） 的同旁内角是哪些角？
３ ∠３
如图：
３．
（）已知 ，写出图中相等的角与互补的角；
１ ＤＥ ∥ ＢＦ
（）写出使 成立的条件，你能写出多少个？
２ ＤＥ ∥ ＢＦ
（第３ 题） （第４ 题） （第５ 题）
如图， ， ，直线 与 平行吗？为什么？
４． ∠１ ＝１３５° ∠２ ＝６０° ａ ｂ
如图，直线 ， 与直线 相交于点 ， ， ，
５． ＡＢ ＣＤ ＥＦ Ｐ Ｑ ∠ＡＰＥ ＝ ∠ＣＱＥ ∠ＡＰＱ ＝
，求 、 、 的度数
２∠ＣＱＥ ∠ＡＰＱ ∠ＣＱＥ ∠ＢＰＦ ．
下列判断两条直线垂直的方法是否正确？
６．
１ ４０
第 章 相交线、平行线与平移
１０（）若两条直线相交所成的 个角相等，则这两条直线互相垂直 （ ）
１ ４ ．
（）若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则该直线也垂直于平行
２
直线中的另一条 （ ）
．
（）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直 （ ）
３ ．
如图， ， ，且 ，指出图中的平行线
７． ＡＢ ⊥ ＢＣ ＣＤ ⊥ ＢＣ ∠１ ＝ ∠２ ．
（第７ 题） （第８ 题）
如图，已知 ， ， ，试写出图中
８． ∠１ ∶∠２ ∶∠３ ＝ ２ ∶３ ∶４ ∠ＡＦＥ ＝ ６０° ∠ＢＤＥ ＝ １２０°
互相平行的直线，并给出判定的依据
．
如图，点 在点 的北偏西 的方向上，点 在点 的北偏西 的方向上
１． Ｃ Ｂ ６０° Ｃ Ａ ３０° ．
（）试求 的度数；
１ ∠Ｃ
（）若 ，则点 在点 的什么方向上？
２ ＡＢ ⊥ ＢＣ Ａ Ｂ
（第１ 题） （第２ 题）
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，请说明 与 的位
２． ＡＥ ∠ＣＡＢ ＣＥ ∠ＡＣＤ ∠１ ＋∠２ ＝９０° ＡＢ ＣＤ
置关系
．
１ ４１
小结·评价如图，点 在 上， ， ，那么 与 平行吗？请
３． Ｂ ＡＣ ＢＤ ⊥ ＢＥ ∠ＥＢＣ ＋∠Ｃ ＝ ９０° ＣＦ ＢＤ
说明理由
．
（第３ 题） （第４ 题）
如图，直线 ，直线 分别交 ， 于点 ， ， 平分 ，交
４． ＡＢ∥ＣＤ ＥＦ ＡＢ ＣＤ Ｅ Ｆ ＥＧ ∠ＢＥＦ ＣＤ
于点 ，已知 ，求 的度数
Ｇ ∠ＥＦＧ ＝ ７２° ∠ＥＧＦ ．
如图，已知 ， ，， 分别是垂足，又 ，那么 平
１． ＡＤ⊥ＢＣ ＥＧ⊥ＢＣ Ｄ Ｇ ∠ＧＥＣ ＝ ∠３ ＡＤ
分 吗？为什么？
∠ＢＡＣ
（第１ 题） （第２ 题）
如图，已知 ， ，垂足分别为 ，，且 ，那么 与
２． ＢＤ⊥ＡＣ ＥＦ⊥ＡＣ Ｄ Ｆ ∠１ ＝ ∠２ ∠ＡＤＧ
相等吗？请说明理由
∠Ｃ ．
１ ４２
第 章 相交线、平行线与平移
１０附录 部分中英文词汇索引
中 文 英 文 页 码
平方根
ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ２
被开方数
ｒａｄｉｃａｎｄ ２
算术平方根
ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ３
开平方
ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ３
立方根
ｃｕｂｅ ｒｏｏｔ ６
根指数
ｒａｄｉｃａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ６
开立方
ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｕｂｉｃ ｒｏｏｔ ６
无理数
ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ １１
实数
ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ １１
不等式
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ２３
一元一次不等式
ｌｉｎｅａｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ２８
解集
ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｔ ２９
解不等式
ｓｏｌｖｉｎｇ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ２９
一元一次不等式
ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｗｉｔｈ ｏｎｅ
组 ３５
ｕｎｋｎｏｗｎ
完全平方公式
ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍ ６８
平方差公式
ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ ｓｑｕａｒｅｓ ７０
因式分解
ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ７３
公因式
ｃｏｍｍｏｎ ｆａｃｔｏｒ ７４
分式
ｆｒａｃｔｉｏｎ ８９
分子
ｎｕｍｅｒａｔｏｒ ８９
分母
ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ８９
有理式
ｒａｔｉｏｎａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ８９
约分
ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎ ９２
最简分式
ｆｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ｌｏｗｅｓｔ ｔｅｒｍｓ ９２
通分 ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｃｏｍｍｏｎ
９９
ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ
分式方程
ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ １０５
１ ４３
附录 部分中英文词汇索引（续表）
中 文 英 文 页 码
增根
ｅｘｔｒａｎｅｏｕｓ ｒｏｏｔ １０６
对顶角
ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅｓ １１６
垂线
ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ｌｉｎｅ １１８
垂足
ｆｏｏｔ ｏｆ ａ ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ １１８
平行线
ｐａｒａｌｌｅｌ ｌｉｎｅｓ １２３
同位角
ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｎｇｌｅｓ １２４
内错角
ａｌｔｅｒｎａｔｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ａｎｇｌｅｓ １２４
同旁内角
ｉｎｔｅｒｉｏｒ ａｎｇｌｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｉｄｅ １２４
平移
ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ １３４
１ ４４
附录 部分中英文词汇索引年，我们根据《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修
１９９９
订版）》，编写了一套华东版初中数学教材，经三年实验后，于 年报教育部
２００２
经全国中小学教材审定委员会审查通过
．
年，国家颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》及《全日制义务教
２００１
育数学课程标准（实验稿）》，正式启动了新一轮中小学课程、教材改革 本套
．
教科书就是根据课程标准，在吸取了华东版教材实验过程中的经验后重新编
写的，并于 年经全国中小学教材审定委员会初审通过 现教育部决定全
２００４ ．
面启动义务教育课程标准实验教材的修订工作，我们已切实把《义务教育数学
课程标准（ 年版）》的要求落实到新修订的教材中，使教材的质量进一步
２０１１
得到提升，特色更加鲜明
．
本套教材在送审和实验过程中，得到了许多专家、学者、教研人员与广大
师生的关爱，特别是人民教育出版社张孝达先生与陈宏伯先生直接参与教材
的整体设计和章节审稿，他们以实际行动给予我们很大的支持与鼓舞，我们衷
心地感谢他们
．
为了做好这次的修订工作，我们调整并充实了编写队伍，本套教科书编写
组主要人员有：
吴之季 苏 淳 杜先能 徐子华 郭要红 胡 涛 陈先荣 王南林
胡茂侠 邱广东
本册主要编写人员有：
曹太飞 宋延钧 许晓天 陈先荣 江兴代 吴中才 查建敏 刘德华
马 林 白 莽 苏明强 李庆社 徐 勇 曾令鹏
此外，参与本册修改工作的还有：
蒋 振 司擎天 王应楼 许胜发 马太平 田 杰 胡根保 周学普
张文著 丁遵标 李国凯
教材建设是一项长期任务，需要通过实验、修改，反复锤炼 这不仅需要
．
全体编写人员的努力，还要有广大师生的积极支持与参与，恳请使用本套教材
的师生批评指正
．
新时代数学编写组
年 月
２０１３ ９
１ ４５
附录 部分中英文词汇索引说 明
本书下列图片由东方 提供： 章头图、图 张
ＩＣ Ｐ１ ６ ３
侃、 第 题图 天鹰、图 、图 、图 、
Ｐ８ １０ ７ ５ ７ １０ ７ １３
图 、 章头图、图 、图 、 第 题图
７ １４ Ｐ４４ ８ ２ ８ ４ Ｐ５８ ４
、 章 头 图 严 大 明、 章 头 图 茹 伟 珍、
ＮＡＳＡ Ｐ８８ Ｐ１１５
图 （）、图 （）
１０ ２ １ １０ ２０ １ ．