文档文本内容
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亲爱的同学们：
欢迎你们使用本套义务教育教科书！
数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人类文化的重要组成部分。通
过本套教科书，能够获得良好的数学教育，在数学上得到不同程度的发展。
希望这套数学教科书能够陪伴你度过一个充满智慧、乐趣的初中！
前 言
栏目说明
思考
思考是数学发展的前提，
不要放弃任何一个独立思考
的机会，甚至在别人已经说
出答案而你还没有找到例子
或思路的时候也不要放弃。
交流
将你的思路和方法记录
下来，有条理地向其他同学
或老师表达，耐心倾听他们
的意见，调整自己的思路或
方法。
探索
严谨观察、细致分析、
大胆猜想、细心验证、不
断反思，直到找到满意的结
论，体会数学探索的艰辛与
乐趣。
实践
学好数学不仅要勤于动脑，也
要勤于动手。动手画图、计算、列
式、填表，将实际问题转化为数学
问题，用数学的方法解决问题。
你将遇到富有趣味性、挑战性的数学问题。这些问
题需要你在理解的基础上，运用所学的数学知识和方法，
寻求解决问题的思路和线索，猜想与验证结论，并将解
决问题的整个过程有条理地记录下来，和同学们分享。
综合与实践
数学既能锤炼思维又具
有广泛应用的事实将在这里
得到充分的体现。你将尝试
综合运用所学的数学概念、
原理、方法和思想去解释和
解决实际生活中的问题与现
象，经历制定方案、调查研究、
收集数据、整理数据、分析
数据、做出判断、发现规律
等过程，感受到数学的魅力。
阅读理解
数
学
文
化
你将会发现数学发展的悠久历史，体验数学家探索数学
的艰辛与快乐，感受数学对其他学科的巨大贡献。数学是人
类文化的重要组成部分。
探 究 学 习
你将面对一个新的情境，需要你发现和提出问题，独立
思考，通过归纳、概括、类比、证明，得到新的猜想或规律，
或者得到一个崭新的方法。
? ?
? ?问题解决
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第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一 不等式与不等式的基本性质… ………………………………… 2
4.1 不等式……………………………………………………… 2
4.2 不等式的基本性质………………………………………… 4
习题4 - 1… ……………………………………………………… 7
二 一元一次不等式… ……………………………………………… 8
4.3 不等式的解集……………………………………………… 8
4.4 一元一次不等式及其解法………………………………… 11
习题4 - 2… ……………………………………………………… 14
三 一元一次不等式组… …………………………………………… 16
4.5 一元一次不等式组及其解法……………………………… 16
习题4 - 3… ……………………………………………………… 19
综合与实践 如何上网最划算… …………………………………… 21
阅读理解 符号“ > ”和“ < ”的由来……………………………… 21
回顾与整理… ………………………………………………………… 23
复习题… ……………………………………………………………… 25
一 二元一次方程和二元一次方程组… …………………………… 28
5.1 二元一次方程和它的解…………………………………… 28
5.2 二元一次方程组和它的解………………………………… 30
习题5 - 1… ……………………………………………………… 33
二 二元一次方程组的解法… ……………………………………… 35
5.3 用代入消元法解二元一次方程组………………………… 35
5.4 用加减消元法解二元一次方程组………………………… 38
目 录
1
1
第五章 二元一次方程组
27
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
*5.5 三元一次方程组…………………………………………… 42
习题5 - 2… ……………………………………………………… 45
5.6 二元一次方程组的应用…………………………………… 47
习题5 - 3… ……………………………………………………… 51
阅读理解 我国古代有趣的百鸡问题… …………………………… 52
阅读理解 矩阵的简单介绍… ……………………………………… 54
回顾与整理… ………………………………………………………… 57
复习题… ……………………………………………………………… 59
一 整式的加减法… ………………………………………………… 62
6.1 整式的加减法……………………………………………… 62
习题6 - 1… ……………………………………………………… 65
二 整式的乘法… …………………………………………………… 66
6.2 幂的运算…………………………………………………… 66
习题6 - 2… ……………………………………………………… 72
6.3 整式的乘法………………………………………………… 73
习题6 - 3… ……………………………………………………… 81
6.4 乘法公式…………………………………………………… 84
习题6 - 4… ……………………………………………………… 91
三 整式的除法… …………………………………………………… 93
6.5 整式的除法………………………………………………… 93
习题6 - 5… ……………………………………………………… 99
阅读理解 杨辉三角… …………………………………………… 100
回顾与整理… ……………………………………………………… 102
复习题… …………………………………………………………… 104
2
5
1
1
6
第六章 整式的运算
61
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8.1 因式分解………………………………………………… 146
8.2 提公因式法……………………………………………… 147
习题8 - 1… …………………………………………………… 150
一 观察与实验… ………………………………………………… 108
7.1 观察……………………………………………………… 108
7.2 实验……………………………………………………… 110
习题7 - 1… …………………………………………………… 111
二 归纳与类比… ………………………………………………… 113
7.3 归纳……………………………………………………… 113
7.4 类比……………………………………………………… 117
习题7 - 2… …………………………………………………… 118
三 猜想与证明… ………………………………………………… 120
7.5 猜想……………………………………………………… 120
7.6 证明……………………………………………………… 121
习题7 - 3… …………………………………………………… 126
四 简单几何图形中的推理… …………………………………… 127
7.7 几种简单几何图形及其推理…………………………… 127
习题7 - 4… …………………………………………………… 136
综合与实践 面积怎么丢失了… ………………………………… 138
阅读理解 从两架飞机相撞谈直觉思维… ……………………… 139
阅读理解 从鲁班发明锯条谈类比推理… ……………………… 140
回顾与整理… ……………………………………………………… 141
复习题… …………………………………………………………… 142
3
第七章 观察、猜想与证明
107
第八章 因式分解
145
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
一 数据的收集、整理与表示… ………………………………… 162
9.1 总体与样本……………………………………………… 162
9.2 数据的收集与整理……………………………………… 163
综合与实践 运动会成绩整理… ………………………………… 165
9.3 数据的表示——扇形统计图…………………………… 167
9.4 用计算机绘制统计图…………………………………… 169
习题9 - 1… …………………………………………………… 170
二 平均数、众数和中位数… …………………………………… 171
9.5 平均数…………………………………………………… 171
9.6 众数和中位数…………………………………………… 175
习题9 - 2… …………………………………………………… 179
综合与实践 利用树叶的特征对树木分类… …………………… 180
阅读理解 谁的解法对… ………………………………………… 180
回顾与整理… ……………………………………………………… 182
复习题… …………………………………………………………… 183
第九章 数据的收集与表示
附录
185
161
8.3 公式法…………………………………………………… 151
探究学习 对二次三项式因式分解的探究… …………………… 155
习题8 - 2… …………………………………………………… 156
阅读理解 爱因斯坦的速算… …………………………………… 157
回顾与整理… ……………………………………………………… 158
复习题… …………………………………………………………… 159
4
第四章
一元一次不等式和一元一次不等式组
在现实世界中，两个量之间不仅有相等关
系，还有不等关系，而且随处可见．这一章我
们将要研究两个量之间的不等关系，学习有关
不等式的概念、性质以及一元一次不等式和一
元一次不等式组的解法等内容，并研究如何运
用这些知识来解决一些简单的问题.
2
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
4.1
不等式
思考
1. 你能举出生活中一些表示不等关系的例子吗？
2. 你知道不等关系怎样用数学符号表示吗？
探索
1. 在电脑前连续工作不宜超过1 小
时，怎样用不等式表示？
2. 如图4 - 1，高速公路上对机动
车时速的限制怎样用不等式表示？
符号“ > ”、“ < ”、“ ≠ ”都是不等号，用它们可以分别表示两个量
或两个表达式之间大于、小于、不等于的数量关系. 例如4 > - 1，2x > 5，
a ≠ b，5 - 9 < 3 + 7 等. 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．
比如，太阳的体积比地球大，如果用a，b 分别表示太阳、地球的
体积，那么就可表示成：a > b .
又如，2011 年底北京地区注册博物馆数量已超过159 家，如果用n
表示博物馆数，那么就可表示成：n > 159．
我们还经常把大于号“ > ”和等号“ = ”结合起来使用，写成“ ”，
读作“大于或等于”，也就是“不小于”；同样地，符号“ ”读作“小
于或等于”，也就是“不大于”．用符号“ ”或“ ”连接起来的式子
也叫做不等式．
一 不等式与不等式的基本性质
图4 - 1
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
3
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例1 用不等式表示下面的不等关系：
( 1 ) 张平的年龄比杨洋大；
( 2 ) 某种电梯标明 “载客不超过13 人”；
( 3 ) 北京某一天的最低气温是 - 3 ℃，最高气温是12 ℃．
解：( 1 ) 设张平的年龄为a，杨洋的年龄为b.
张平的年龄比杨洋大，用不等式表示为
a > b.
( 2 ) 设电梯的载客人数为x.
载客不超过13 人，用不等式表示为
x 13.
( 3 ) 设北京某一天的气温为x ℃.
最低气温是 - 3 ℃，最高气温是12 ℃，用不等式表示为
- 3 x 12．
空气质量指数（Air Quality Index 简称AQI）是描述空气质量的一
个标准. 当AQI 的值在0 和50 之间时，空气质量状况为优，基本无空
气污染，人们可正常活动. 某市去年空气质量为优的天数占全年天数的
60%，通过节能减排，今年要实现超过80% 的目标，需要增加空气质量
为优的天数设为x 天，试用不等式表示这个关系.
交流
练习
1. 用不等式表示下列关系：
( 1 ) 哥哥存款x 元，弟弟存款y 元，兄弟二人的存款总数少于1 000 元；
例2 用不等式表示下列关系：
( 1 ) a 的一半大于3 ；
( 2 ) x 与6 的差是负数；
( 3 ) x 的5 倍不小于20 ；
( 4 ) b 的1
5 与7 的和是非正数.
解： ( 1 ) a
2 > 3 ；
( 2 ) x - 6 < 0 ；
( 3 ) 5x 20 ；
( 4 ) 1
5 b + 7 0.
4
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
我们学习过等式的性质，不等式是否也有类似的性质呢？
在4. 1 节的练习中我们练习过用“ > ”或“ < ”填空：
( 1 ) 6 + 5 9 + 5 ；
( 2 ) 6 + ( - 3 ) 9 + ( - 3 ) ；
( 3 ) 6 × 5 9 × 5 ；
( 4 ) 6 ÷ 3 9 ÷ 3 ；
( 5 ) 6 × ( - 5 ) 9 × ( - 5 ) ；
( 6 ) 6 ÷ ( - 3 ) 9 ÷ ( - 3 ) .
从中我们可以看到，对于不等式6 < 9 ：
( 1 ) 当不等式两边同时加上5 时，不等号的方向 ；
( 2 ) 当不等式两边同时加上- 3 时，不等号的方向 ；
( 3 ) 当不等式两边同时乘5 ( 即+ 5 ) 时，不等号的方向 ；
( 4 ) 当不等式两边同时除以3 ( 即+ 3 ) 时，不等号的方向 ；
( 5 ) 当不等式两边同时乘 - 5 时，不等号的方向 ；
( 6 ) 当不等式两边同时除以 - 3 时，不等号的方向 .
( 2 ) 今年父亲的年龄是40 岁，儿子的年龄是13 岁，x 年后父亲的年龄与儿子的
年龄的关系.
2. 用不等式表示：
( 1 ) a 是正数；
( 2 ) b 不是负数；
( 3 ) x 与8 的和小于6 ；
( 4 ) y 的一半大于6.
3. 用“ > ”或“ < ”填空：
( 1 ) 6 + 5 9 + 5 ；
( 2 ) 6 + ( - 3 ) 9 + ( - 3 ) ；
( 3 ) 6 × 5 9 × 5 ；
( 4 ) 6 ÷ 3 9 ÷ 3 ；
( 5 ) 6 × ( - 5 ) 9 × ( - 5 ) ；
( 6 ) 6 ÷ ( - 3 ) 9 ÷ ( - 3 ) .
4. 举出生活中的两个不等关系，并用不等式表示．
4. 2
不等式的基本性质
探索
请你做一些类似的计算进行比较，并从中概括出不等式的性质.
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
5
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一般地，不等式具有下面的基本性质：
不等式的基本性质
1. 不等式两边都加上( 或减去) 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
2. 不等式两边都乘( 或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边都乘( 或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．
思考
1. 不等式的基本性质和等式的基本性质有什么相同之处，
有什么不同之处？
2. 怎样用数学式子表示不等式的这些性质？
不等式的基本性质可表示为：
1. 如果a > b，那么a ± c > b ± c ；
2. 如果a > b，且c > 0，那么ac > bc ( 或 a
c
b
c
>
) ；
3. 如果a > b，且c < 0，那么ac < bc ( 或 a
c
b
c
<
) .
例1 设a > b，用不等号连接下列各题中的两个式子，并说明理由：
( 1 ) a - 3 与b - 3 ；
( 2 ) 2a 与2b ；
( 3 ) - 1
2 a 与- 1
2 b .
解：( 1 ) 根据不等式的基本性质1，在不等式a > b 的两边都加上- 3，不
等号的方向不变，所以得
a - 3 > b - 3.
( 2 ) 根据不等式的基本性质2，在不等式a > b 的两边都乘2，不等号的方
向不变，所以得
2a > 2b.
( 3 ) 根据不等式的基本性质3，在不等式a > b 的两边都乘- 1
2 ，不等号的
方向改变，所以得
- 1
2 a < - 1
2 b .
乘负数时别忘了
改变不等号的方向！
6
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
如果a，b，c 为有理数，其中c ≠ 0，而且a > b > c，下列不等式中
哪些正确？
( 1 ) ab > bc ；
( 2 ) a + b > b + c ；
( 3 ) a
c
b
c
>
.
交流
1. 设a < b，用“ < ”或“ > ”填空：
( 1 ) a + c b + c ；
( 2 ) 4a 4b ；
( 3 ) - 7a - 7b ；
( 4 ) a
6 b
6 ．
不等式的两边都除以- 2，
不等号的方向要改变！
例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x < a 或x > a 的形式：
( 1 ) x - 1 < 1 ；
( 2 ) 6x > 5x - 1 ；
( 3 ) 1
3
5
x >
；
( 4 ) - 2x < - 3．
解：( 1 ) 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上1，不等号的方
向不变，得
x < 2 .
( 2 ) 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都减去5x，不等号的方
向不变，得
x > - 1 .
( 3 ) 根据不等式的基本性质2，不等式的两边都乘 3，不等号的方向不变，得
x > 15 .
( 4 ) 根据不等式的基本性质3，不等式的两边都除以- 2，不等号的方向改
变，得
x > 3
2 .
练习
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
7
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习 题 4 - 1
基础
1. 根据下列数量关系，列出不等式：
( 1 ) 5x 与4 的和是负数；
( 2 ) x 小于它的相反数；
( 3 ) y 的1
4 与x 的1
3 的和不大于0 ；
( 4 ) m 的3 倍大于或等于10 ；
( 5 ) 2a 与3b 的差是非负数.
2. 用不等式表示下列不等关系：
( 1 ) 学生甲的身高是a 厘米，学生乙的身高是b 厘米，甲与乙身高的差是正数.
( 2 ) 姐姐每月上网20 小时，妹妹每月上网x 小时，妹妹每月上网的时间超过了姐姐
上网时间的2 倍.
( 3 ) 小明家每月的电话费m 元在150 元以内( 不含150 元 ) .
3. 设a > b，用“ > ”或“ < ”填空：
( 1 ) a - 5
3 b - 5
3 ；
( 2 ) a + c b + c ；
( 3 ) 26a 26b ；
( 4 ) - 2
3 a - 2
3 b .
4. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x < a 或 x > a 的形式：
( 1 ) x + 2 > 1 ；
( 2 ) 10 + x < 9 ；
( 3 ) 6 - x > 5 ；
( 4 ) 2x > - 3．
5. 下列数值中哪些能使不等式x + 3 < 6 成立？
0， - 2. 5， - 4， 3， π， 4， 4. 5．
2. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x < a 或x > a 的形式：
( 1 ) x - 2 < 3 ；
( 2 ) 4x > 3x - 5 ；
( 3 ) 1
10
7
10
x <
；
( 4 ) - 8x < 10．
3. 当x = - 3，x = 0，x = 2，x = 7， x = 8 时，不等式x - 2 < 5 分别成立吗？
8
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
提升
1. 用“ > ”、“ = ”或“ < ”填空：
( 1 ) 如果a - b < 0，那么a b ；
( 2 ) 如果a - b = 0，那么a b ；
( 3 ) 如果a - b > 0，那么a b ；
( 4 ) 如果b > 0，那么a + b a ；
( 5 ) 如果b = 0，那么a + b a ；
( 6 ) 如果b < 0，那么a + b a.
2. 用“ < ”或“ > ”填空：
( 1 ) 当a > 0，b 0 时，ab > 0 ；
( 2 ) 当a > 0，b 0 时，ab < 0 ；
( 3 ) 当a < 0，b 0 时，ab > 0 ；
( 4 ) 当a < 0，b 0 时，ab < 0.
3. 用“ > ”或“ < ”填空：
( 1 ) 如果a > b，那么b a ；
( 2 ) 如果a > b，b > c，那么a c.
拓展
判断以下各题的结论是否正确，并说明理由：
( 1 ) 如果a > b，那么1
1
a
b
<
；
( 2 ) 如果a > b，c = d，那么ac > bd ；
( 3 ) 如果ac 2 > bc 2，那么a > b ；
( 4 ) 如果ax < b，且a ≠ 0，那么x < b
a ；
( 5 ) 如果ab > 0，那么a
b > 0 ；
( 6 ) 如果a，b，c 为有理数，其中c ≠ 0，而且a > b > c，那么a - b > b - c．
由4. 2 节练习第3 题的结果我们知道，当x = - 3，x = 0，x = 2 时，不等
式x - 2 < 5 成立；当x = 7，x = 8 时，不等式x - 2 < 5 不成立．与方程类似，
4.3
不等式的解集
二 一元一次不等式
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
9
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思考
不等式x - 2 < 5 还有其他的解吗？这个不等式有多少个解？
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
可以发现，当x 取小于7 的任何一个数时，不等式x - 2 < 5 都成立；而当
x 取大于或等于7 的任何一个数时，不等式x - 2 < 5 都不成立．也就是说，任
何一个小于7 的数都是不等式x - 2 < 5 的解，x - 2 < 5 有无穷多个解．
我们把不等式x - 2 < 5 所有的解组成一个集合，称为不等式x - 2 < 5 的
解的集合，简称解集．x < 7 表示了不等式x - 2 < 5 的解集．
一般来说，一个不等式的所有解组成的集合，简称为这个不等式的解集.
不等式的解集，可以在数轴上直观地表示出来．
例如，不等式x - 2 < 5 的解集x < 7，可以用数轴上表示7 的点的左边部
分来表示，如图4 - 2.
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
图4 - 2
用空心的小圆圈说明
所表示的范围不包括表示
7 的点．
不等式x + 5 4 的解集 x - 1 可以用数轴上表示- 1 的点和它的右边部分
来表示，如图4 - 3．
−4
−3
−2
−1
0
1
2
图4 - 3
用实心的小圆点说明
所表示的范围包括表示- 1
的点．
10
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
如何用含x 的不等式表示图4 - 4 和图4 - 5 中所表示的不等式的解
集？表示 - 5， - 4. 999，- 1
π ，0，0. 5，2. 999，3，22
7 的点分别在哪个
不等式的解集中？
交流
−5
−6
−4
−3
−2
−1
0
图4 - 4
−1
0
1
2
3
图4 - 5
练习
1. 在数轴上表示下列不等式的解集：
( 1 ) x 0 ；
( 2 ) x > - 3. 5 .
2. 下列在数轴上表示的不等式的解集是否正确？如果不正确，该如何改正？
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
( 1 ) x < - 3
2 ；
( 2 ) x - 5 .
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
3. 分别用含x 的不等式表示下列数轴中所表示的不等式的解集：
( 1 )
−1
0
1
2
3
5
4
( 2 )
−1
0
1
2
3
4
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11
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像x - 2 < 5，x + 5 4，y - 1 < 1，6x > 5x - 1，1
3
5
x >
，…的不等式，它
们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0，我们把
这样的不等式叫做一元一次不等式.
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
同解一元一次方程类似，解一元一次不等式的过程，就是要利用不等式的
基本性质将不等式变形成x < a 或x > a 的形式．
4.4
一元一次不等式及其解法
思考
在解方程时“移项要变号”的法则，在解不等式的变形中
是否仍然成立？为什么？
例1 解不等式2 + 5x > 12，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得
5x > 12 - 2．
合并同类项，得
5x > 10．
根据不等式的基本性质2，两边都除以5，把系数化为1，得
x > 2．
这个不等式的解集在数轴上表示，如图4 - 6．
1
0
2
3
6
7
8
5
4
图4 - 6
这一过程是否相当于把2
变号后移到了不等号的右边？
可以发现，解一元一次不等式与解一元一次方程类似，也可以“移项”，
即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向.
12
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
例2 解不等式 x
x
−
>
−
1
2
2 2
1
3
，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得
3( x - 1 ) > 4( 2x - 1 )．
去括号，得
3x - 3 > 8x - 4．
移项，得
3x - 8x > 3 - 4．
合并同类项，得
- 5x > - 1．
两边都除以 - 5，得
x < 1
5 ．
这个不等式的解集在数轴上表示，如图4 - 7.
与解方程比较
解方程 x −1
2 = 2 2
1
3
x −
.
解：去分母，得3( x - 1 ) = 4( 2x - 1 )．
去括号，得 3x - 3 = 8x - 4．
移项，得 3x - 8x = 3 - 4．
合并同类项，得 - 5x = - 1．
两边都除以- 5，得 x = 1
5 ．
一元一次方程的解只有
一个，而一元一次不等式的
解有无穷多个.
−4
−3
−2
−1
0
1
1
5
图4 - 7
解一元一次不等式的一般步骤是什么？它和解一元一次方程的主要
区别在哪里？
交流
练习
1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
( 1 ) 0. 3x < 0. 8 - 0. 1x ；
( 2 ) 10 + 3x - 5 ；
( 3 ) 2( x + 5 ) < 13 + 5x ；
( 4 ) 3( x + 2 ) 4( x - 1 ) + 6．
2. 解不等式：x
x
+
-
4
6
3
x - 4 .
3. 求下列不等式的正整数解：
( 1 ) 2x - 1 3 ；
( 2 ) - 3x + 2 > - 10．
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
13
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
0
20
30
10
40
26 2
11
图4 - 8
例3 当x 取何值时，代数式1
3( 2 - x ) 的值比代数式3x - 1 的值小？
解：根据题意，得
1
3( 2 - x ) < 3x - 1 .
去分母，得 2 - x < 3( 3x - 1 ) .
去括号，得 2 - x < 9x - 3 .
移项，得 - x - 9x < - 3 - 2 .
合并同类项，得 - 10x < - 5 .
系数化为1，得 x > 1
2 .
所以当x 取大于1
2 的值时，代数式1
3( 2 - x ) 的值小于代数式3x - 1 的值.
例4 两位搬运工人要将若干箱同样的货物用电梯运到楼上. 已知一箱
货物的质量是55 千克，两位工人的体重之和是160 千克，电梯的载重量是
1 600 千克，算一算两位工人一次最多能运多少箱货物.
解：设两位工人一次最多能运x 箱货物.
根据题意，得 55x + 160 1 600 .
解这个不等式，得
55x 1 600 - 160 .
55x 1 440 .
x 26 2
11.
解集在数轴上表示，如图4 - 8.
你能先估计一下一次
大概能运几箱吗？
由于货物是按箱计算的，所以符合题意的解只能取整数26.
答：两位工人一次最多能运26 箱货物.
14
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
思考
一次知识竞赛共有15 道题. 竞赛规则是：答对
1 题记8 分，答错1 题扣4 分，不答记0 分. 结果神
箭队有2 道题没答，飞艇队答了所有题，两队的成绩
都超过了90 分. 请你分析一下两队分别至少答对几
道题.
练习
1. 当x 取何值时，代数式6x + 7 的值：
( 1 ) 小于1 ； ( 2 ) 不小于1 ； ( 3 ) 是负数； ( 4 ) 是非负数.
2. 到6 月份为止，小力集邮票91 张，小亮集邮票53 张. 从7 月份开始，小力每
月集邮票10 张，小亮每月集邮票4 张，那么至少从几个月后小力的邮票张数
比小亮的2 倍还多？
基础
1. 下面不等式的两种解法对不对？如果不对，怎样改正？
解不等式 - 4x - 3 2x + 6 .
解法1 ： - 4x - 2x 6 + 3 .
- 6x 9 .
∴ x - 1. 5 .
解法2 ： - 3 - 6 2x + 4x .
6x - 9 .
∴ x - 1. 5 .
习 题 4 - 2
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
15
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
−1
0
1
2
3
5
4
A
−3 −2 −1
0
1
2
B
−2 −1
0
1
2
3
C
−3
−5 −4
−2
−1
0
1
D
( 2 ) 不等式3 - 7x < 12 - 5( x - 1 ) 的解集是( ) .
A. x > 7
B. x < - 7
C. x > - 7
D. x > - 10
3. 在数轴上表示下列不等式的解集：
( 1 ) x > 4 ；
( 2 ) x 0 ；
( 3 ) x 2 ；
( 4 ) x < - 3
2 .
4. 用含x 的不等式表示下列数轴所表示的解集：
2. 选择题：
( 1 ) 不等式x - 3 3x + 1 的解集在数轴上表示如下，正确的是( ) .
( 1 )
−1
−2
0
1
2
( 2 )
−2
−1
−3
0
1
( 3 )
0
1
−1
2
−3
−2
−1
( 4 )
−2.5
−3
−2
−1
−4
0
1
5. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
( 1 ) 2( 5 - 2x ) - 3( x - 2 ) ；
( 2 ) 2( x - 1 ) - 3( 2x + 1 ) 0 ；
( 3 ) 1
3( 1 - 2x ) < 3
2 ( 2x -1 ) ；
( 4 ) x
x
x
x
-
+
+
<
+
+
2
1
3
1
8
6
.
6. 当x 在什么范围内取值时，代数式 - 2x + 1 的值：
( 1 ) 是负数；
( 2 ) 大于- 3 ；
( 3 ) 小于- 3x + 5 ；
( 4 ) 不大于4x - 7.
7. 求不等式3( x + 1 ) 5x + 9 的负整数解，并在数轴上表示出来.
8. 一双鞋的成本是50 元，那么定价至少是多少元，打8 折后才不会亏本？
16
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
提升
1. k 取什么值时，代数式 1
2 1
5
1
3
2
3
4
2
2
−
−
(
) +
−
k
k
k
k
(
) 的值：
( 1 ) 小于0 ；
( 2 ) 等于0 ；
( 3 ) 大于0 .
2. 王老师要用1 000 元去买60 元一套和90 元一套的两种演出服装共15 套，请问王老师
最多能买90 元一套的服装多少套？
3. 姐姐现有存款300 元，每月存款60 元；妹妹现有存款200 元，每月存款20 元. 几个月后，
姐姐的存款是妹妹存款的2 倍以上？
4. 某旅游公司规定，旅游大巴的个人零售票价是每人10 元，20 人以上( 含20 人 ) 的团
体票价可以享受8 折优惠．蓝鸟小队参加活动的同学预计在16 人左右，分析一下他们
如何购票更实惠.
拓展
1. x 取哪些整数时，能使下面各题中的两个不等式都成立：
( 1 ) x + 1 > 3 与x - 6 < 0 ；
( 2 ) 2x - 4 与2x 4 ；
( 3 ) x
2 > - 3 与 - x 1 ；
( 4 ) 2x 7 与4x < 23 .
2. 在进行矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后要在爆破前转移到300 米以外的安
全地区. 已知引火线的燃烧速度是0. 8 厘米/ 秒，人离开的速度是5 米/ 秒，算一算引
火线至少需要多少厘米.
4.5
一元一次不等式组及其解法
三 一元一次不等式组
思考
从北京到天津某地，有几条可供选择的路线，它们的路程
在240 千米到300 千米之间( 包括240 千米和300 千米)，如
果汽车的平均速度是每小时80 千米，那么从北京到天津某地
所需的行驶时间大约在什么范围内？
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
17
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
设汽车从北京到天津某地大约需要x 小时，根据题意，汽车行驶的距离
80x 千米应该在240 千米到300 千米之间. 即行驶时间x 应同时满足不等式
80x 240
①
和
80x 300.
②
由于不等式①和②是同时存在的，我们可以把这两个不等式放在一起，写
为
80
240
80
300
x
x
，
的形式，这样就组成一个一元一次不等式组.
不等式组中的各个不等式的解集的公共部分，就是不等式组中x 的可取
值的范围.
由不等式①解得 x 3.
由不等式②解得 x 3. 75.
在同一数轴上表示不等式①、②的解集，如图4 - 9.
3.75
3
图4 - 9
可以看出，使不等式①、②同时成立的x 的值是3 和3.75 之间的所有数( 包
括3 和3.75 )，记作3 x 3.75．它们是不等式①、②的解集的公共部分．不
等式①、②的解集的公共部分，叫做由不等式①、②所组成的一元一次不等式
组的解集．
这样，上面问题的答案应该是：从北京到天津某地大约需要3 至3.75 小时．
一般地，当两个或两个以上的含有同一个未知数的一元一次不等式合在一
起时，就组成了一个一元一次不等式组. 不等式组中的几个一元一次不等式的
解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集. 求不等式组的解集的
过程叫做解不等式组.
解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每个不等式的解集，
再确定这些解集的公共部分．利用数轴可以直观地确定出不等式组的解集.
例1 解不等式组
3x - 2 < 2x - 5，
x
x
2
1
2
2
3
-
<
-
.
①
②
18
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
解：解不等式①，得x < - 3.
解不等式②，得x < - 1.
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图4 - 10．
−3
−5
−4
−2
−1
0
1
图4 - 10
比- 3 还小的数一定
都比- 1 小!
所以这个不等式组的解集是x < - 3.
例2 解不等式组
5x - 6 2x + 6， ①
3x - 4 > 4( x - 1 ) .
②
解：解不等式①，得x 4.
解不等式②，得x < 0.
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图4 - 11 .
−3
−2
−1
0
1
2
3
5
4
图4 - 11
x 4 与x < 0
这两个解集没有公
共部分.
由图4 - 11 可以看出，这两个不等式的解集没有公共部分，就说不等式组
无解．
例3 求适合不等式 - 11 < - 2a - 5 3 的a 的整数解．
解：由 - 11 < - 2a - 5 3，得
解一元一次不等式组的一般步骤是什么？一元一次不等式组一定有
解吗？
交流
解这个不等式组，得
所以原不等式的解集为- 4 a < 3．
适合原不等式的整数解是- 4， - 3， - 2， - 1，0，1，2．
−
−
> −
−
−
2
5
11Ὂ
2
5
3
a
a
.
a
a
<
−
3Ὂ
4.
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
19
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
1. 填表：
不等式组
x
x
>
> -
2
1
，
x
x
<
< -
2
1
，
x
x
>
< -
2
1
，
x
x
<
> -
2
1
，
在数轴上表示不等式的解集
不等式组的解集
2. 解下列不等式组：
( 1 )
3
2
2
3
2
1
4
7
x
x
x
x
+
<
-
-
>
-
(
)
，
；
( 2 )
，
； ( 3 )
2
1
3
1
3
1
2
3
2
x
x
x
-
<
-
>
+
.
，
3. 求适合不等式 - 10 3x - 7 < 8 的所有的整数解.
习 题 4 - 3
基础
1. 填表：
不等式组
( a > b )
在数轴上表示不等式的解集
不等式组的解集
x
a
x
b
>
>
，
b
a
x
x
a
x
b
<
>
，
x
a
x
b
<
<
，
x
a
x
b
>
<
，
3
2
2
1
4
3
3
2
x
x
x
x
+
>
−
−
−
(
)
20
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
2. 解下列不等式组：
( 1 )
，
；
( 2 )
2
1
0
2
1
1
(
)
x
x
+
<
-
<
，
；
( 3 )
，
；
( 4 )
x
x
x
x
2
3
1
2
3
3
2
0
-
< -
-
-
-
<
(
)
(
)
.
，
3. 求同时适合不等式6
5
7
4
7
x
x
+
>
+
和不等式8x + 3 < 4x + 40 的x 的整数解.
4. 求适合不等式 - 12 6x - 10 < 23 的非正整数解.
9
0 1
1
1
0 2
1
−
−
−
−
.
.
x
x
1
2
1
2
1
3
7
1
x
x
+
−
> −
x
x
x
> −
−
>
−
2
3
0
6
0
3
2
2
4
5
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
+
−
<
−
+
>
.
拓展
1. 试求下列不等式组的解集：
( 1 )
，
，
；
( 2 )
，
，
2. k 取什么值时，解方程6x - k = 0 得到的x 的值：
( 1 ) 都小于1 ；
( 2 ) 都不小于1 .
3. 把若干颗花生分给若干只猴子 . 如果每只猴子分3 颗，就剩下8 颗；如果每只猴子分
5 颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5 颗．求猴子有多少只，花生有多少颗.
提升
1. 长比宽多8 米的长方形花坛，它的周长在120 米和180 米之间( 包括120 米和180
米 )，那么它的宽可能在什么范围内？
2. 一个两位数，它的个位上的数字比十位上的数字大3，并且这个两位数小于44 且大于
25，求这个两位数．
3. 某校在一次课外活动中，需要抽调一部分学生并把他们平均编为9 个组. 如果每组比
预定人数多1 人，那么所需学生总数超过200 人；如果每组比预定人数少1 人，那么
所需学生总数不到190 人. 求每组学生的预定人数是多少.
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
21
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
综合与实践
如何上网最划算
某地区家用电脑上网实行两种收费标准，包月制或计时制.
包月制：每月50 元( 限一部个人住宅电话上网 ) .
计时制：每小时3 元.
两种收费制都要缴纳话费0. 02 元/ 分.
请你根据上面上网收费的两种标准，分析一下在什么情况下
选用哪种收费标准比较实惠.
也可了解你所居住地区的上网收费情况，解决类似问题.
符号“ > ”和“ < ”的由来
在符号“ > ”和“ < ”出现之前，人们用文字、缩写或象征性
记号来表示不等关系．
1629 年，生于法国的荷兰数学家吉拉德( A. Girard，1595 —
1632) 在他所著的《代数新发现》里，使用了下面象征性的记号表示
不等式：
AffB 表示 A > B ； BξA 表示B < A.
显然，它书写起来比文字简洁许多，但是记起来并不方便，而
且不能突出它们对称的特征. 因此，后人认为它更像繁体字的简化，
并不是理想的不等号，使用者寥寥无几.
1631 年，创用乘号“ × ”的奥特雷德在一本广为流行的著作《数
学入门》里，创用符号“
”表示“大于”，符号“
”表示
阅读理解
数
学
文
化
22
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
“小于”. 这种符号具有明显的对称性、和谐性，到了18 世纪还有
人在使用，但书写起来，还是不及符号“ > ”和“ < ”来得干脆利落，
最终还是被淘汰了.
同年，在英国数学家、天文学家托马斯· 哈里奥特( T. Harriot，
1560 — 1621 ) 逝世10 周年之际，人们为了纪念他在数学研究方面的
丰功伟绩，出版了他的遗著《分析术实例》. 该书内容之丰富，论
述之深刻，曾被大数学家沃利斯赞美不绝，尤其是书中大于和小于
符号的首次创立永载史册. 书中写道：
大于的记号：a > b 表示a 量大于b 量；
小于的记号：a < b 表示a 量小于b 量．
托马斯· 哈里奥特
这对符号一出现，立刻得到一些学者的赞许和使用．如果按照
国际惯例，以出版时间作为诞生时间的话，不等号“ > ”、“ < ”是
1631 年诞生的，但若从作者创用的时间来看，还要提早10 ~ 20 年，
至少应该从1621 年算起．
符号“ > ”和“ < ”始创于17 世纪，直到18 世纪初才被广泛应用，
整整花了一个世纪的时间.
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
23
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
本章我们以熟悉的生活实际为背景，研究了两个量之间的不
等关系，探讨了不等式和它的基本性质，一元一次不等式和一元
一次不等式组的解法，以及应用一元一次不等式解决一些简单问
题．
1. 用不等式可以表示两个量之间的不等关系．不等式的基本
性质与等式的基本性质很类似，主要区别是：在等式两边都乘( 或
除以 ) 同一个不等于零的数时，所得结果仍是等式；在不等式两
边都乘( 或除以 ) 同一个正数时，不等号的方向不变，而在不等式
两边都乘( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变．
2. 解一元一次不等式和解一元一次方程也很类似，主要异同
点对比如下：
标准形式
一元一次方程
ax + b = 0 ( a ≠ 0 )
一元一次不等式
ax + b > 0 或 ax + b < 0 ( a ≠ 0 )
解法步骤
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤系数化为1
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤系数化为1
注意：在步骤①和⑤中，如果乘
数或除数是负数，要改变不等号
的方向
解
只有一个解
有无数多个解
3. 一元一次不等式组的解集是这个不等式组中各个不等式的
解集的公共部分．解不等式组的一般步骤是：
( 1 ) 求出不等式组中每个不等式的解集；
( 2 ) 借助数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
24
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
学习
指导
不等式组的解集．
4. 列一元一次不等式解实际问题的一般步骤如下：
1. 现实生活中的数量关系既有相等的，也有不等的．方程和
不等式是我们研究相等与不等关系的两个重要工具．一元一次不
等式是研究不等关系的基本工具，也是学习其他不等式和其他知
识的基础．
2. 一元一次不等式与一元一次方程，有许多类似之处，要特
别注意它们之间的相同点和不同点．这是学好本章内容很重要的
学习方法．
3. 不等式的基本性质是解一元一次不等式和解一元一次不等
式组的依据．
4. 在不等式两边都乘同一个数( 正数、零、负数 )，会出现三
种不同的情形．以不等式5 < 6 为例，在不等式5 < 6 两边都乘同
一个数a 时，有下面三种情形：
① 5a < 6a ( a > 0 ) ； ②5a = 6a ( a = 0 ) ； ③5a > 6a ( a < 0 )．
请注意：如果在不等式的两边都乘零( 情形② )，就改变了问
题的性质，不能用它对不等式进行变形．
5. 借助数轴可以直观地表示不等式的解集，这有助于我们确
定一元一次不等式组的解集．在数轴上表示x > a 与x a ( 或x < a
与x a ) 这两个解集时，用空心圆圈还是用实心圆点是有区别的，
空心圆圈表示不含a，而实心圆点表示含有a．
6. 把实际问题中的不等关系抽象为不等式，需要把实际问题
中一些表示不等关系的词语准确地转化为数学符号．比如， “大
实际问题
实际问题的解
不等式的解
设未知数
找出不等关系
检验
选择
列不等式
回
答
解
不
等
式
知识
要点
第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组
25
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
学习
指导
于”、“超过”等一般抽象为“ > ”；“小于”、“不足”等一般抽象
为“ < ”；“不大于”、“不小于”一般抽象为“ ”、“ ”．
7. 借助不等式或不等式组解决实际问题时，在求出不等式或
不等式组的解集以后，要认真地检验它是否符合实际问题．
基础
1. 判断题：
( 1 ) 如果a < b，那么 - 3a < - 3b ； ( )
( 2 ) 如果a < b，那么 - 5 + a < - 5 + b ；
( )
( 3 ) 如果a > b，那么-
< -
a
b
3
3 . ( )
2. 如果x > y，试用不等号连接下列各对式子：
( 1 ) x + 2 与 y - 2 ；
( 2 ) - ( x - y ) 2 与0 ；
( 3 ) - 5x 与 - 5y ；
( 4 ) x
5 与y
5 .
3. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上：
( 1 ) -
< -
2
3
1
x
；
( 2 ) 6x - 3 > 2x + 7 ；
( 3 ) 2
3( 5 - x ) 6 ；
( 4 ) 2
1
5
3 1
10
(
)
(
)
−
−
x
x .
4. x 取什么值时，代数式2
7
3
x +
的值：
( 1 ) 是正数； ( 2 ) 是负数； ( 3 ) 是零.
5. 求下列不等式的正整数解：
( 1 ) 2x - 5 < 5 - 2x ；
( 2 ) 4x - 6 7x - 15.
6. 解下列不等式组：
( 1 )
4
3
1
2
4
x
x
x
>
-
<
，
；
( 2 )
x
x
+
>
+
>
5
0
3
6
，
；
复 习 题
26
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
( 3 )
，
；
( 4 )
，
；
( 5 )
，
；
( 6 )
，
7. 解不等式：
( 1 )
；
( 2 ) -
< -
-
-
< -
8
6
3
2
4
5
x
.
8. ( 1 ) 一个两位数加上它的一半，所得的数大于45 且小于48，求这个两位数；
( 2 ) 一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，已知它大于36 且小于68，
求这个两位数.
9. 某次数学竞赛中出了10 道题，每答对1 题得5 分，每答错1 题或不答扣3 分. 问至少
要答对几道题，得分才不低于10 分.
提升
1. 求 x
x
x
x
−
−
+
≤
−
−
2
8
6
1
1
3 的非负整数解.
2. 有理数a，b 在数轴上的位置如图所示，用“ > ”或“ < ”填空：
( 1 ) a - b 0 ；
( 2 ) a + b 0 ；
( 3 ) | a | | b | .
3. 一个负整数的45% 与2 的和的3 倍不小于这个数的75%，求满足条件的所有负整数.
拓展
1. 求下列不等式组的整数解：
( 1 )
，
；
( 2 )
，
，
2. 学校图书馆准备购买定价分别为8 元和14 元的杂志和小说共80 本，计划用钱在750
元到850 元之间（包括750 元和850 元），那么14 元一本的小说最少可以买多少本？
最多可以买多少本？
b
a
0
( 第2 题 )
5
1
3
1
1
2
2
1
5
x
x
x
x
+
+
−
−
(
)
1
3
1
1
2
2
5
1
4
x
x
x
x
−
<
+
−
2
3
2
1
6
3
1
2
2
2
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
>
−
2
3
1
4
4
1
2
2
2
3
x
x
x
x
x
−
>
−
−
−
−
+
.
−
−
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
+
>
−
−
−
≤
−
1
4
1
2
1
4
1
2
2
1
2
(
)
3
1
2
2
8
3
3
7
3
2
8
2
(
)
(
)
.
x
x
x
x
x
x
+
<
+
−
−
−
+
>
第五章
二元一次方程组
在新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取积分方法记分，
每答对1 题得分，每答错1 题扣分. 在猜谜活动中，王强答对了7 道题，
答错了3 道题，共获得50 分；李翔答对了8 道题，答错了1 道题，共
获得62 分. 问答对1 道题得多少分，答错1 道题扣多少分.
解决这类问题要用到二元一次方程组的知识. 本章我们将要学习二
元一次方程组的解法，并研究如何利用它来解决一些实际问题.
28
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
5.1
二元一次方程和它的解
现在我们来研究章前页提出的问题.
思考
1. 如果我们用方程的知识来解决上述问题，
首先要想清楚问题中都涉及了哪些数量，这些数量
中哪些是已知量，哪些是未知量.
2. 是否可以设两个未知数，列出含有这两个
未知数的方程来求解呢？
如果设答对1 题得x 分，答错1 题扣y 分，那么根据x，y 之间的
关系，我们可以得到下面两个方程：
7x - 3y = 50 ； 8x - y = 62.
交流
这两个方程和我们已经学习过的一元一次方程有什么区别和联系？
它们之间有什么相同点和不同点？
上面的两个方程中，每一个方程都含有两个未知数x，y，并且含未知数
的项的次数都是1，我们把这样的方程叫做二元一次方程.
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次
方程的一个解.
例如，当x = 1，y = 1 时，方程3x + 8y = 11 左右两边的值相等，我们就把
一 二元一次方程和
二元一次方程组
第五章 二元一次方程组
29
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
x = 1，y = 1 叫做方程3x + 8y = 11 的一个解，记作
x
y
=
=
1
1.
，
方程3x + 8y = 11 的解
要这样联立在一起表示.
思考
怎样确定二元一次方程ax + by = c ( 其中a，b，c 是已知数，
且a ≠ 0，b ≠ 0 ) 的一个解？
只要我们给出x ( 或y ) 的一个值，把它代入方程中，就可以将方程
转化为含有另一个未知数y ( 或x ) 的一元一次方程，从而求出相应的
y ( 或x ) 的一个值. 这样的一对x，y 的值就是这个二元一次方程的一
个解.
例1 已知：2x + 5y = 7，用含y 的代数式表示x.
解：由2x + 5y = 7，得
2x = 7 - 5y.
x
y
=
-
7
5
2
.
例2 求出二元一次方程3x + 2y + 4 = 0 的任意3 个解.
解：由3x + 2y + 4 = 0，得
2y = - 3x - 4.
y
x
= -
+
3
4
2
.
令x 分别取 - 1，0，2，代入y
x
= -
+
3
4
2
中，得出的y 的值分别为：
- 1
2 ， - 2， - 5.
所以
x
y
= 0
= -
2
，
；
x
y
= −1
= −
1
2
，
；
x
y
=
= -
2
5
， 是二元一次方程3x + 2y + 4 = 0
的3 个解.
一般地，一个二元一次方程有无数个解.
就是把y 看做“已知
数”，解关于x 的方程.
可以把x 看做“已
知数”，把原方程化为
用x 表示y 的形式.
30
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
为了研究章前页提出的问题，我们在5. 1 节列出了两个二元一次方
实践
请填写下表，并指出二元一次方程3x + 2y = 17 的所有正整数解.
3x + 2y = 17
x
…
y
…
通过“实践”，你能否体会求
二元一次方程的正整数解的方法？
练习
1. 把下列二元一次方程改写成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的
形式：
( 1 ) x - 3y = 13 ； ( 2 ) 3x + 2y = 5 ； ( 3 ) 4x - 5y + 6 = x + 3y - 4.
2. 填写下表，使表中的每一对x，y 的值都是方程2x - 3y = 5 的一个解：
2x - 3y = 5
x
- 3
6
- 23
- 2
3
y
- 2
7
- 5
4
3.
x
y
= -
=
1
3
，
是不是方程3x + y = 0 和x + 3y = 8 的公共解？
x
y
=
=
1
1
，
是不是方程
2x - y = 1 和3x + y = 5 的公共解？请你检验一下.
5.2
二元一次方程组和它的解
通过填表我们知道，二元一次方程3x + 2y = 17 的正整数解为：
x
y
=
=
1
7
x
y
=
=
3
4
，
，
，
；
；
x
y
=
=
5
1.
第五章 二元一次方程组
31
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
实践
请你填写下表，并指出既是方程7x - 3y = 50 的解，又是方程
8x - y = 62 的解的一对x，y 的值是什么？
7x - 3y = 50
x
…
- 1
2
5
8
11
…
y
…
…
8x - y = 62
x
…
- 1
2
5
8
11
…
y
…
…
通过填表，我们知道
x
y
=
=
8
2
，
既是方程7x - 3y = 50 的解，又是方
程8x - y = 62 的解，即
x
y
=
=
8
2
，
是方程组
7
3
50
8
62
x
y
x
y
-
=
-
=
，
的解.
例1 判断
x
y
= -
=
2
1
，
是不是方程组
x
y
x
y
+
=
-
= -
3
1
2
5
9
， 的解.
解：把
x
y
= -
=
2
1
，
代入方程x + 3y = 1 的左右两边，
左边 = - 2 + 3 × 1 = 1，右边 = 1.
程. 由于在这个问题中，两位同学的得分情况是一起出现的，所以两个方
程应同时成立. 据此，我们把方程7x - 3y = 50 和8x - y = 62 放在一起，写
为
7
3
50
8
62
x
y
x
y
-
=
-
=
的形式. 这样就组成了一个二元一次方程组.
一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个
二元一次方程组. 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个
未知数的值( 即两个方程的公共解)，叫做二元一次方程组的解.
32
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
∵ 左边 = 右边，
∴
x
y
= -
=
2
1
，
是方程x + 3y = 1 的解.
把
x
y
= -
=
2
1
，
代入方程2x - 5y = - 9 的左右两边，
左边 = 2 × ( - 2 ) - 5 × 1 = - 9，右边 = - 9.
∵ 左边 = 右边，
∴
x
y
= -
=
2
1
，
是方程2x - 5y = - 9 的解.
所以
x
y
= -
=
2
1
，
是方程组
x
y
x
y
+
=
-
= -
3
1
2
5
9
，
的解.
例2 已知
，
x
y
= -
=
1
2
是关于x，y 的方程组
ax
y
x
by
+
=
-
=
3
1
2
4 的解，求
a + b 的值.
解：∵
，
x
y
= -
=
1
2
是方程组
ax
y
x
by
+
=
-
=
3
1
2
4 的解，
∴ 把x = - 1，y = 2 分别代入两个方程，得
- a + 6 = 1，
- 2 - 2b = 4.
解得
a = 5，
b = - 3.
∴ a + b = 5 + ( - 3 ) = 2.
练习
1. 在 ①
x
y
=
=
3
0
，
；
②
，
；
x
y
=
= -
0
1 ③
x
y
=
=
1
1
ˈ
这三对数值中， 是方程
x + 2y = 3 的解， 是方程x + y = 2 的解，因此 是方程
第五章 二元一次方程组
33
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
组
，
x
y
x
y
+
=
+
=
2
3
2
的解.
2. 如果
，
x
y
= -
=
1
2
1
是方程组
，
ax
y
x
by
+
=
-
=
2
1
3
2 的解，那么a，b 的值是多少？
基础
1. 请判断下面给出的x，y 的值是不是方程3x + 2y = 5 的解：
( 1 )
，
；
x
y
=
= -
2
1
2
( 2 )
，
x
y
= -
=
1
4.
2. 把下列方程写成用含x 的代数式表示y 的形式：
( 1 ) 2x + 3y = 0 ；
( 2 ) x - 2y + 5 = 0 ；
( 3 ) 3x - 2y = x + 5y ；
( 4 ) 2x + 4 = 3( 2y - 2 ) .
3. 判断
，
x
y
=
= -
2 15
4 24
.
.
是不是方程4x + y = 3. 46 和方程x - 3y = 14. 87 的公共解. ( 可以用计
算器检验 )
4. 在下面每一个二元一次方程组的后面给出了一对x 和y 的值，判断这对值是不是前面
方程组的解：
( 1 )
，
；
x
y
x
y
-
=
+
=
2
5
2
1
x
y
=
= −
3
1
Ὂ
( 2 )
，
；
3
4
5
2
3
2
x
y
x
y
-
=
+
=
x
y
=
= −
1
1
2
Ὂ
( 3 )
，
2
1
3
2
2
x
y
x
y
-
=
+
=
.
x
y
=
=
1
1
Ὂ
习 题 5 - 1
34
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
提升
1. 根据下列关系列出二元一次方程，并写出它的4 个解：
( 1 ) x 的3 倍比y 大7 ；
( 2 ) 小明用10 元买了x 张60 分的邮票和y 张80 分的邮票.
2. 求满足方程3x + y = 5 的非负整数解.
3. 已知
，
x
y
=
= -
1
1 是二元一次方程组
，
ax
y
b
x
by
+
=
-
=
2
4
3
的解，求a，b 的值.
4. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是13，请写出满足条件的所有的两位数.
拓展
已知二元一次方程3x - 2y = 5 ：
( 1 ) 方程3x - 2y = 5 的整数解有多少个？请写出其中的任意3 个解.
( 2 ) 写出使| x | + | y | 的值最小的整数解.
( 3 ) 3x - 2y = 5 的整数解有规律吗？试写出它的规律.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
问题解决
让我们和王晓、张磊一起做一个数学游戏.
王晓对张磊说：
“请你想一个0 与10 之间的整数，将它乘7，
再加上5，把得数乘3，再加上你想的另一个0 与10 之间的整数，
然后从这个得数中减去8，说出你的最后计算结果.”
当张磊说出最后计算出的结果是121 时，王晓很快就说
出了张磊前后两次心里想的整数分别是5 和9.
请你思考：
1. 王晓为什么能很快地知道张磊两次想的整数分别是5
和9 ？请你写出解决这个问题的一般方法.
2. 如果王晓请张磊想的数不是“0 与10 之间的整数”，而
是“任意的正整数”，那么这个问题能否得到解决？为什么？
第五章 二元一次方程组
35
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
5.3
用代入消元法解二元一次方程组
探索
怎样求出二元一次方程组
，
y
x
x
y
=
-
-
=
5
2
2 的解？
怎样消去一个未知数，转化
为一元一次方程去求解呢？
是否可以把上面的解法运用到下面例题的求解中？
二 二元一次方程组的解法
思考
能否通过我们已经学习过的一元一次方程的解法来求这个二元一次方
程组的解？
由于有相等关系：y = 5 - x，所以y 和5 - x 可以互相替代. 如果我们
把方程x - 2y = 2 中的y 用5 - x 替代，就得到一个关于x 的一元一次
方程x - 2( 5 - x ) = 2，从而可以求出x 的值. 化简方程得
3x = 12.
x = 4.
把x = 4 代入方程y = 5 - x 中，得
y = 1 .
所以原方程组的解是
，
x
y
=
=
4
1.
运用上节所学知识可以验证，
当
x
y
=
=
4
1
， 时，方程组成立.
36
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
例
解下列二元一次方程组：
( 1 )
，
；
x
y
x
y
-
=
-
=
3
3
2
5
( 2 )
，
3
2
5
4
3
1
x
y
x
y
+
=
-
=
.
解：( 1 )
①
②
，
.
x
y
x
y
-
=
-
=
3
3
2
5
由①，得y = x - 3.
③
把③代入②，得
3x - 2( x - 3 ) = 5.
解这个方程，得
x = - 1.
把x = - 1 代入③，得
y = - 4.
所以原方程组的解是
x
y
= -
= -
1
4.
，
( 2 )
，
3
2
5
4
3
1
x
y
x
y
+
=
-
=
.
①
②
由①，得y
x
=
-
5
3
2
. ③
把③代入②，得4x - 3 ×
x
-
5
3
2
= 1.
解得x = 1.
把x = 1 代入③，得y = 1.
所以原方程组的解是
x
y
=
=
1
1.
，
请你心算检验，
，
x
y
=
=
1
1 是不是方程组
，
3
2
5
4
3
1
x
y
x
y
+
=
-
=
的解.
这个方程组与前面“探索”
中给出的方程组在形式上有什
么不同？怎样变形可以使它与
前面的方程组有相同的形式？
只要用含有x 的代数式
表示y 就可以了.
求出x 的值后，要代
入③，再求出y 的值.
我们可以把方程①变形为用
含有x 的代数式表示y，通过代换
求解.
第五章 二元一次方程组
37
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数x ( 或y ) 表示另一个
未知数y ( 或x ) 的代数式，然后把它代入另一个方程中，消去未知数y ( 或x )，
得到关于x ( 或y ) 的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一
次方程组的解.
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫
做代入消元法，简称代入法.
1. 在上面例题的求解中是怎样消去y 的？
2. 用消去x 的方法能否解上面的例题？
3. 通过以上例题的解题过程，你能否总结出一种解二元一次方程
组的一般方法.
交流
如图5 - 1，得原方程组的解是
x
y
=
=
1
1.
，
图5 - 1
我们还可以用图形计算器求解二元一次方程组. 以上面的例题 ( 2 )
为例，按键步骤如下：
38
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
探索
*用图形计算器解二元一次方程组
0 1
205
1 1
2
11
1
113
2
.
.
.
x
y
x
y
+
=
-
=
，
练习
用代入消元法解下列方程组：
( 1 )
，
；
y
x
x
y
=
-
+
=
3
1
2
3
8
( 2 )
，
；
x
y
x
y
-
=
+
=
3
1
3
2
6
( 3 )
，
；
x
y
x
y
+
=
-
=
3
1
3
3
( 4 )
，
2
3
7
4
0
x
y
x
y
-
=
+
=
.
5.4
用加减消元法解二元一次方程组
思考
请你观察方程组
，
3
2
1
2
3
x
y
x
y
+
=
-
=
的结构特点，想一想，除了
可以用代入法解方程组外，是否还有其他的解法.
通过观察我们发现，这个方程组的两个方程中分别含有2y 和 - 2y
的项，它们的系数互为相反数，因此它们的和为零，所以我们还可以用
下面的方法解这个方程组.
解：
，
3
2
1
2
3
x
y
x
y
+
=
-
=
.
①
②
这两个方程中含y 的项的
系数互为相反数，把两个方程
相加就可以消去y，进而求解.
第五章 二元一次方程组
39
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
① + ②消去y，得
4x = 4.
x = 1.
把x = 1 代入①，得
2y = - 2.
y = - 1.
所以原方程组的解是
x
y
=
= -
1
1 .
，
请你检验，
，
x
y
=
= -
1
1 是不是方程组
，
3
2
1
2
3
x
y
x
y
+
=
-
=
的解.
例1 解方程组
，
2
3
5
3
1
x
y
x
y
+
=
+
=
.
解：
①
②
，
2
3
5
3
1
x
y
x
y
+
=
+
=
.
① - ②，得
x = 4.
把x = 4 代入②，得
4 + 3y = 1.
y = - 1.
所以
，
x
y
=
= -
4
1 是原方程组的解.
1. 分析上面的解题过程，请你总结一下这类方程组具有什么特点，
可以运用怎样的方法求解.
2. 如果一个二元一次方程组中，两个方程的某个未知数的系数相
同或互为相反数时，可以运用什么方法求解？
交流
40
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，
可以把方程的两边分别相加( 当某个未知数的系数互为相反数时 ) 或相减( 当
某个未知数的系数相等时 ) 来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而
求得二元一次方程组的解.
像上面这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
例2 用加减消元法解下列方程组：
( 1 )
3
2
14
5
6
x
y
x
y
+
=
-
=
，
；
( 2 )
，
2
3
3
3
2
7
x
y
x
y
-
=
-
=
.
解：( 1 )
② × 2，得
10x - 2y = 12.
③
① + ③，得
13x = 26.
x = 2.
把x = 2 代入①，得
6 + 2y = 14.
y = 4.
所以
，
x
y
=
=
2
4 是原方程组的解.
怎样创造条件，运用
加减消元法求解？
①
②
，
.
3
2
14
5
6
x
y
x
y
+
=
-
=
思考
如果二元一次方程组的两个方程中，不含有系
数互为相反数( 或相等 ) 的两项，我们是否可以对方
程进行变形，把它转化为可以运用加减消元法求解
的二元一次方程组呢？
第五章 二元一次方程组
41
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
( 2 )
①
②
，
2
3
3
3
2
7
x
y
x
y
-
=
-
=
.
① × 3，得
6x - 9y = 9.
② × 2，得
6x - 4y = 14.
④ - ③，得
5y = 5.
y = 1.
把y = 1 代入①，得
2x - 3 = 3.
x = 3.
所以
x
y
=
=
3
1
，
是原方程组的解.
怎样根据方程组的特点选择恰当的方法，使求解的过程比较简捷？
请你试举两例加以说明.
交流
练习
1. 用加减消元法解下列方程组：
( 1 )
4
3
5
2
4
1
x
y
y
x
-
=
-
=
，
；
( 2 )
，
3
2
1
2
3
18
x
y
x
y
+
=
-
=
.
2. 选择适当的方法解下列方程组：
( 1 )
，
；
3
5
2
2
3
x
y
x
y
-
=
-
=
( 2 )
，
；
4
3
18
2
8
x
y
x
y
-
=
-
=
( 3 )
，
；
x
y
x
y
-
=
+
= -
2
5
3
5
( 4 )
，
3
7
2
3
7
x
y
x
y
+
=
+
=
.
③
④
42
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
思考
*5.5
三元一次方程组
请你运用解二元一次方程组的经验，试解方程组
，
，
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
-
=
-
+
=
5
3
1.
我们已经知道，解二元一次方程组思路的核心就是消元 . 通过观察，
我们可以发现方程组中第2 个和第3 个方程中分别有y 和 - y， - z 和z，
它们均互为相反数.
解：
①
②
③
，
，
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
-
=
-
+
=
5
3
1.
② + ③，得
2x = 4.
x = 2.
把x = 2 代入①，得
2 + y + z = 5.
y + z = 3. ④
把x = 2 代入②，得
2 + y - z = 3.
y - z = 1. ⑤
④ + ⑤，得
2y = 4.
y = 2.
把y = 2 代入④，得
2 + z = 3.
z = 1.
所以，原方程组的解为
，
，
x
y
z
=
=
=
2
2
1.
第五章 二元一次方程组
43
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
一般地，像上面方程组中的每个方程，都含有三个未知数，并且含有未知
数的项的次数都是1，我们把这样的方程叫做三元一次方程.
像上面的方程组这样，含有相同的未知数的三个三元一次方程合在一起，
就组成一个三元一次方程组. 使三元一次方程组中三个方程左右两端的值都
相等的三个未知数的值( 即三个方程的公共解 )，叫做三元一次方程组的解.
对于三元一次方程组，我们仍然可以运用代入消元法或加减消元法，消去
三元一次方程组中的一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次
方程来解方程组.
例
解方程组：
( 1 )
；
，
，
y
x
z
x
y
z
x
y
z
=
+
+
-
=
-
+
=
2
2
3
5
2
3
( 2 )
5
3
21
3
4
22
4
2
3
14
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
-
=
-
-
=
+
-
= -
，
，
.
解：( 1 )
①
②
③
，
，
y
x
z
x
y
z
x
y
z
=
+
+
-
=
-
+
=
2
2
3
5
2
3.
把 ①代入②，得
2x + 2( x + z ) - 3z = 5.
4x - z = 5. ④
把 ①代入③，得
这里根据方程组中方程的
特点，选择运用了代入消元法.
x - ( x + z ) + 2z = 3.
z = 3.
把z = 3 代入④，得
x = 2.
把x = 2，z = 3 代入①， 得
y = 5.
所以，原方程组的解为
，
，
x
y
z
=
=
=
2
5
3.
( 2 )
①
②
③
5
3
21
3
4
22
4
2
3
14
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
-
=
-
-
=
+
-
= -
，
，
.
根据方程组中各方程系数
的特点，先消去哪个未知数？
44
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
① - ②，得
2x + y = - 1. ④
① × 3，得
15x - 9y - 3z = 63.
⑤
⑤ - ③ ，得
11x - 11y = 77.
x - y = 7. ⑥
④ + ⑥， 得
3x = 6.
x = 2.
把x = 2 代入⑥， 得
y = - 5.
把x = 2，y = - 5 代入①，得
z = 4.
所以，原方程组的解为
，
，
x
y
z
=
= -
=
2
5
4
.
同④消去的未知数一样.
我们也可以借助图形计算器解三元一次方程组. 现在试用图形计
算器解下面的三元一次方程组
，
，
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
-
+
=
+
-
= -
2
5
2
7
3
2
.
按键步骤如下：
第五章 二元一次方程组
45
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
如图5 - 2，得原方程组的解是
x
y
z
=
= −
=
1
1
3
14
3 .
，
，
练习
基础
1. 用代入消元法解下列方程组：
( 1 )
，
；
2
5
3
2
3
x
y
x
y
-
=
+
= -
( 2 )
，
；
x
y
x
y
-
=
+
=
2
3
3
2
习 题 5 - 2
解下列方程组：
( 1 )
，
，
；
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
-
=
-
+
= -
+
+
=
6
2
7
3
2
7
( 2 )
，
，
；
2
0
4
2
5
2
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
=
-
+
=
( 3 )
，
，
x
y
y
z
z
x
+
=
+
= -
+
= -
8
3
1
.
*
图5 - 2
46
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
( 3 )
，
；
x
y
x
y
-
=
-
=
3
7
4
9
22
( 4 )
，
5
2
3
10
3
4
x
y
x
y
-
=
-
=
.
2. 用加减消元法解下列方程组：
( 1 )
，
；
2
1
2
3
x
y
x
y
+
=
-
=
( 2 )
，
；
x
y
x
y
-
=
-
= -
3
5
3
1
( 3 )
，
；
4
3
4
2
6
11
x
y
x
y
-
=
-
=
( 4 )
，
3
4
9
2
3
7
x
y
x
y
-
=
-
=
.
3. 解下列方程组：
( 1 )
3
2
4
5
x
y
x
y
=
-
=
，
；
( 2 )
，
；
2
5
1
5
2
17
x
y
x
y
-
=
+
=
( 3 )
，
；
3
5
3
3
3
11
x
y
x
y
+
=
-
=
( 4 )
，
2
3
7
3
2
8
x
y
x
y
+
=
+
=
.
4. 解方程组
，
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
= -
+
-
-
=
4
2
3
1
6
4 2
16
(
)
(
)
.
提升
1. 已知：当x = - 3 和 x = 2 时，代数式kx + b 的值分别是 - 4 和11.
( 1 ) 求k，b 的值；
( 2 ) 求x 为何值时，代数式kx + b 的值为1
2 .
2. 如果关于x，y 的方程组
，
3
5
2
1
ax
by
bx
ay
-
=
-
=
的解是
，
x
y
=
=
1
2， 试求a，b 的值.
*3. 解下列方程组：
( 1 )
，
，
；
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
-
=
-
-
=
+
-
=
2
5
2
4
3
3
10
( 2 )
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
=
−
+
= −
0
4
2
5
4
2
1.
，
拓展
1. 已知关于x，y 的二元一次方程组
，
3
3
5
4
x
y
a
x
y
a
-
=
-
=
-
的解满足x < y，试求a 的取值范围.
第五章 二元一次方程组
47
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
2. 由于粗心，在解方程组
，
□
△
x
y
x
y
-
=
-
=
2
5
7
4
时，小明把系数□抄错了，得到的解是
，
；
x
y
= -
= -
1
3
10
3
小亮把常数△抄错了，得到的解是
，
x
y
= -
= -
9
16 . 请你帮助他们纠正解题中
的错误，写出□，△所代表的数，并求原方程组的解.
5.6
二元一次方程组的应用
例1 李威喜欢集邮，他有中国邮票和外国邮票共335 张，其中中国邮票
的张数比外国邮票的张数的3 倍少17 张. 他有中国邮票和外国邮票各多少张？
分析：题目中含有两个未知数，中国邮票与外国邮票的张数. 根据题意，
这两个未知数要同时满足以下两个关系：
( 1 ) 中国邮票的张数 + 外国邮票的张数 = 335 ；
( 2 ) 中国邮票的张数 = 3 × 外国邮票的张数 - 17.
解：设李威有中国邮票x 张，外国邮票y 张，根据题意列出方程组，得
x
y
x
y
+
=
=
-
335
3
17 .
，
①
②
把②代入①，得
3y - 17 + y = 335.
解这个方程，得
y = 88.
把y = 88 代入②，得
x = 3 × 88 - 17 = 247.
∴
x
y
=
=
247
88.
，
答：李威有中国邮票247 张，外国邮票88 张.
48
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
例2 某校七年级( 1 )、( 2 ) 两班的同学积极参加全民健身活动，为此两
班到同一商店购买体育用品. 已知七年级( 1 ) 班购买了3 个篮球和8 副羽毛球
拍共用了442 元，七年级( 2 ) 班购买了同样的5 个篮球和6 副羽毛球拍共用了
480 元，问每个篮球和每副羽毛球拍各多少元.
解：设每个篮球x 元，每副羽毛球拍y 元，根据题意列方程组，得
②
①
① × 5，得
15x + 40y = 2 210. ③
② × 3，得
15x + 18y = 1 440. ④
③ - ④，得
22y = 770.
y = 35.
把y = 35 代入①，得
x = 54.
∴
，
x
y
=
=
54
35.
答：每个篮球54 元，每副羽毛球拍35 元.
例3 张强与李毅二人分别从相距20 千米的A，B 两地出发，相向而
行. 如果张强比李毅早出发30 分钟，那么在李毅出发后2 小时，他们相遇；
如果他们同时出发，那么1 小时后两人还相距11 千米. 求张强、李毅每小时
各走多少千米.
分析：如果设张强、李毅每小时各走x 千米、y 千米，那么根据题意画出
示意图，如图5 - 3.
图5 - 3
( 2 )
x Ӣዛ
22Ӣዛ
y Ӣዛ
A ڡ
B ڡ
( 1 )
1/6x Ӣዛ
3x Ӣዛ
A ڡ
B ڡ
ᄱ᥅
सू3/6࠵ᡌᄊሮ
ౄඅ3࠵ᡌᄊሮ
3y Ӣዛ
3
8
442
5
6
480
x
y
x
y
+
=
+
=
.
第五章 二元一次方程组
49
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
解：设张强每小时走x 千米，李毅每小时走y 千米，根据题意列方程组，得
，
2 5
2
20
20
11
.
(
)
.
x
y
x
y
+
=
-
+
=
解这个方程组，得
，
x
y
=
=
4
5.
答：张强每小时走4 千米，李毅每小时走5 千米.
例4 用一些长短相同的小木棍按图5 - 4 所示的方式，连续摆正方形或
六边形，要求相邻的图形只有一条公共边. 已知摆放的正方形比六边形多4 个，
并且一共用了110 根小木棍，问连续摆放的正方形和六边形各多少个.
图5 - 4
ĀĀ
ĀĀ
我们可以列表分析：
连续摆放的个数/ 个
使用小木棍的根数/ 根
正方形
x
4 + 3( x - 1 ) = 3x + 1
六边形
y
6 + 5( y - 1 ) = 5y + 1
关 系
正方形比六边形多4 个
共用了110 根小木棍
解：设连续摆放了x 个正方形和y 个六边形，那么连续摆x 个正方形
用了( 3x + 1 ) 根小木棍，连续摆y 个六边形用了( 5y + 1 ) 根小木棍，根据题意
列方程组，得
x
y
x
y
=
+
+
+
+
=
4
3
1
5
1
110
(
)
(
)
.
①
②
，
50
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
思考
列二元一次方程组解决实际问题的主要
步骤是什么？
练习
1. 为支援西部开发，东方投资公司和南方发展有限公司共投资267 万元. 已知东
方投资公司比南方发展有限公司多投资17 万元，这两个公司各投资多少万元？
2. 小明家某月共缴纳电话费和上网费135. 8 元，已知他家的电话费比上网费少
35. 6 元，这个月小明家的电话费和上网费各多少元？
3. 学校和博物馆相距24 千米. 已知王盟比李婷每小时多走1 千米，他们分别从
学校和博物馆同时出发相向而行，3 小时后相遇，王盟和李婷每小时各走多少
千米？
把①代入②，整理，得
8y = 96.
y = 12.
把y = 12 代入①，得
x = 16.
∴
，
x
y
=
=
16
12.
答：连续摆放了16 个正方形和12 个六边形.
第五章 二元一次方程组
51
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
习 题 5 - 3
基础
1. 一个长方形的周长是100 厘米，当这个长方形的长减少10 厘米、宽增加10 厘米时，
长方形恰好变为一个正方形，原来长方形的长和宽各是多少？
2. 在美化校园的劳动中，七年级( 1 ) 班比七年级( 2 ) 班多植树12 棵，已知两个班共植树
50 棵，两班各植树多少棵？
3. 王洋家去年结余了16 000 元 . 今年又增加了新的养殖项目，预计到年底可以结余
25 000 元，并且今年的收入比去年增加20%，支出增加10% . 去年的收入和支出各是
多少元？ ( 结余 = 收入 - 支出 )
4. 东、西两个车站相距153 千米，甲、乙两车同时从东、西两个车站相向而行，3 小时
后两车相遇，已知甲车比乙车多走15 千米，甲、乙两车的
速度各是多少？
5. 我国古代的数学著作《孙子算经》中有这样一道“鸡兔同笼”
题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡
兔各几何. 你能列二元一次方程组解这道题吗？
6. 如图，用4 块相同的小长方形木块拼成一个大长方形，小
长方形木块的长和宽各是多少？
提升
1. 一个梯形上底的2 倍比下底短3 厘米，上底、下底的和的一半为18 厘米，这个梯形的
上底、下底的长各是多少厘米？
2. 已知代数式kx + b，当x = - 3，x = 2 时，代数式的值分别是4 和 - 11，求当代数式的
值为 - 3 时，x 的值.
3. 已知x，y 是有理数，求满足( 2x - y + 1 ) 2 + | 5x - 2y - 3 | = 0 的x，y 的值.
4. 如果5a
m + nb 2 与 - 12a 3b
m - n 是同类项，求m，n 的值.
5. 已知关于x，y 的二元一次方程组
3
4
2
2
3
x
y
m
x
y
m
-
=
+
=
+
， 的解x，y 是一对相反数，试求m
的值.
6. 已知关于x，y 的二元一次方程组
，
2
2
3
1
x
y
m
x
y
m
-
=
+
=
-
的解满足x < y，求m 的取值范围.
( 第6 题 )
40 cm
52
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
7. 中学生百队足球杯赛规定，胜1 场得3 分，平1 场得1 分，负1 场得0 分. 在这次
杯赛中红帆队共赛8 场，一共得了17 分，其中踢平的场数是所负场数的2 倍. 试问
该队胜、负各多少场.
拓展
在学校为七年级同学进行体检时，校医室的体重计出现了故障，只能称出60 千克以上的
质量，恰好参加体检的大多数同学的体重不足60 千克. 要使体检顺利进行，你能利用方
程组的知识，为校医设计一种称体重的方案吗？
我国古代有趣的百鸡问题
我国古代有个广为流传的“百鸡问题”. 它的原文是这样叙述的：
“今有鸡翁一，直 ①钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一. 凡百
钱买鸡百只，问鸡翁母雏几何.”它的意思是：五文钱可以买1 只
公鸡，三文钱可以买1 只母鸡，一文钱可以买3 只小鸡. 现在要用
一百文钱买100 只鸡，问可以买公鸡、母鸡、小鸡各多少只. 这个
问题与我国南北朝时期的北魏数学家张丘建有关.
公元5 世纪末，张丘建出生在一个贫苦的家庭里，父亲靠劳作
辛辛苦苦挣钱养活全家.
张丘建从小聪明好学，特别喜欢看数学书，十二三岁就读完了
中国古代三大数学名著《周髀算经》、《九章算术》和《孙子算经》.
邻居们有了难题都来问他，他都能很快地解决，因此，大家称他“张
神童”.
民间的传说很快传到了宰相的耳朵里，他为了试试张丘建的本
①“直”同现代文中的“值”，指价值.
阅读理解
数
学
文
化
第五章 二元一次方程组
53
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
事，特地把他的父亲叫到府中，给了他父亲一百文钱，让他买公鸡、
母鸡、小鸡共100 只送来，鸡的价钱如前所述.
他的父亲闷闷不乐地回到家中，不住地唉声叹气. 张丘建问清
缘由后，叫父亲不要着急. 第二天，张丘建让父亲带上4 只公鸡、
18 只母鸡和78 只小鸡去见宰相. 宰相一看，这100 只鸡正好值一百
文钱. 宰相心中暗喜，但他却不动声色地又给了张丘建父亲一百文
钱，让他再送100 只鸡来，但是不能和这次送的一样.
张丘建让父亲带上8 只公鸡、11 只母鸡和81 只小鸡给宰相，宰
相见后赞叹不已. 宰相为了再考考张丘建，又给了张丘建父亲一百
文钱，要他再送100 只鸡来，但是不能和前两次送过的一样，张丘
建思考片刻后，让父亲给宰相送去12 只公鸡、4 只母鸡和84 只小鸡.
宰相真正认识到张丘建的才华，认为“张神童”果然名不虚传，
于是把他招进府中加以培养. 张丘建刻苦好学，在数学方面取得了
很大的成就，他写出了著名的《张丘建算经》. 这本著作是我国古代
著名的十大“算经”之一，“百鸡问题”就收录在其中.
如果你想了解更多的我国古代数学问题，请上网或去图书馆查
阅，用以开阔你的视野，增长你的学识.
探索
请你用列方程组的方法来表示“百鸡问题”，并求出它的解.
54
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
矩阵的简单介绍
这是中华人民共和国成立60
周年国庆阅兵式中女民兵方阵的照
片. 在数学中也可以把一些数字排
成一个方阵.
把下面日历中的某些数字框起
来，可以研究它们之间的某种关系.
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
30
24
25
26
27
28
29
我们可以把框起来的数用下面矩形①数表的形式表示：
4
5
6
11 12 13
18 19 20
（1）
又如，王宏君、李小明、张萍和李力四位同学某次考试的语文、
数学、英语的成绩，也可以排列成一个矩形数表：
85
93
95
97
82
93
79
89
94
87
85
83
（2）
语文
数学英语
王宏君
李小明
张 萍
李 力
阅读理解
数
学
文
化
① 矩形即长方形.
䪐᷸䩄 ᷰ₧一㪅㔝䥯丨
55
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
经过44 年的努力和拼搏，中国足球队终于在2001 年冲出了亚洲，
走向了世界. 下面表格中的内容是亚洲十强赛B 组的比赛结果：
队 名
胜
平
负
中 国
6
1
1
阿联酋
3
2
3
乌兹别克斯坦
3
1
4
卡塔尔
2
3
3
阿 曼
1
3
4
表中的数据也可以排成一个矩形数表：
( 3 )
像( 1 )、( 2 )、( 3 ) 这样把几个数排列成一个矩形的数表，两边
用括号括起来，就得到一个矩阵. 像( 1 ) 中的矩形数表是正方形的，
这样的矩阵也叫方阵.
在数学中常用一个大写字母表示矩阵，例如
A =
−
2
5
1
1
1
3
，
B =
−
7
4
2
等.
对于二元一次方程组
2
5
1
3
x
y
x
y
−
=
+
=
，
，
我们可以把x，y 的系数分
离出来组成一个矩阵：
2
5
1
1
−
，这个矩阵叫做二元一次方程组的系
数矩阵；如果把方程右边的常数也对应写进去，得到的矩阵叫做二元一
规定：胜一场得3 分，
平一场得1 分，负一场得
0 分，你能计算一下各队
的总积分吗？
1
4
3
3
4
1
1
3
2
3
6
3
2
3
1
56
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
次方程组的增广矩阵. 矩阵在研究多元一次方程组中有广泛的应用.
用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方
程中未知数的系数进行变换的过程.
下面我们把解方程组
x
y
x
y
+
=
+
=
7
3
2
18
，
的过程与相对应的矩阵放
在一起，请你观察方程组的变形与对应的矩阵之间的变化有什么关
系，各矩阵中的数是怎样得到的.
x
y
x
y
+
=
+
=
7
3
2
18.
①
②
，
1
1
7
3 2 18
① × 2，得
，
2
2
14
3
2
18
x
y
x
y
+
=
+
=
.
②
③
2 2 14
3 2 18
② - ③，得
，
②
④
x
y
x
y
+
=
+
=
0
4
3
2
18.
1
0
4
3
2 18
④ × ( - 3 ) + ②，得
，
⑤
④
x
y
x
y
+
=
+
=
0
4
0
2
6.
1
0
4
0
2 6
⑤÷2，得
，
④
⑥
x
y
x
y
+
=
+
=
0
4
0
3.
1
0
4
0
1
3
∴
，
x
y
=
=
4
3.
解二元一次方程组与矩阵的对应非常有意思吧.
矩阵在数学和其他学科中还有许多的应用，有兴趣的同学可以
从图书馆或互联网上查找、阅读这方面的材料.
第五章 二元一次方程组
57
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
本章学习的知识主要有：二元一次方程、二元一次方程的解、
二元一次方程组及其解法、二元一次方程组的应用.
1. 二元一次方程和它的解.
一般地，经过整理后，可化为ax + by = c ( 其中a，b，c 是
已知数，且a ≠ 0，b ≠ 0 ) 的方程叫做二元一次方程. 使二元一
次方程的左右两边相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个
解. 我们把它们联立在一起，写成
，
x
m
y
n
=
=
的形式.
一般地，一个二元一次方程有无数个解. 对于一个二元一次
方程我们总可以把它改写为用含一个未知数的代数式表示另一个
未知数的形式，这种表示方法对今后的学习很有帮助.
2. 二元一次方程组和它的解法.
把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起，就组成
一个二元一次方程组. 这两个二元一次方程的公共解叫做这个二
元一次方程组的解.
解二元一次方程组的基本思想是通过消元把二元一次方程
组转化为一元一次方程去求解. 消元的方法有代入消元法和加
减消元法.
二元一次方程组
一元一次方程
转化
代入消元或加减消元
3. 二元一次方程组的应用.
应用二元一次方程组可以解决许多实际问题. 解决问题的关
键是弄清问题中含有的两个独立的相等关系，进而通过设出两个
未知数，列出由两个方程组成的方程组来求解.
注意：解后要对求出的解进行验证，看它是否符合实际问题.
58
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
学习
指导
1. 转化、化归的方法是解决许多问题的基本方法.
我们应注意运用转化、化归的方法学习二元一次方程组的解
法.
世界上许多事物都是可以互相转化的. 当我们遇到新问题或
比较复杂的问题时，总是希望把问题化归为我们已经掌握的、熟
悉的、较为简单的问题去解决，这是解决许多问题的基本思路. 在
探求二元一次方程组的解法时，则是通过具体的代入消元法和加
减消元法来实现这种转化的.
2. 学会观察、分析和比较.
选择恰当的方法解二元一次方程组，可以使求解的过程简捷、
明了，这就要在求解前认真观察二元一次方程组的特点，通过分析、
比较来选择适当的方法.
实际上，做任何事情，我们一般都要先观察思考，进行分析、
比较，再决策实施. 这是一种良好的思维习惯，也是今后处理问
题所必需具有的素质. 学习数学不仅仅使我们学到一些数学知识，
更重要的是使我们学会用数学的眼光去分析问题和解决问题，养
成良好的思维习惯，使我们变得更加聪明.
3. 注重应用，在解决问题中学会创造.
应用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题，能使我
们分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识得到提高.
第五章 二元一次方程组
59
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
基础
1. 如果( m - 3 )x + 2y |m - 2| + 8 = 0 是关于x，y 的二元一次方程，试求m 的值.
2. 请判断下面的两对数是不是方程2x - y = 5 的解：
( 1 )
x
y
=
= -
2
1
2 ；
，
( 2 )
，
x
y
= -
=
1
4.
3. 填空：
( 1 ) 在方程2x - 3y = - 1 中，当x = - 3
2 时，y = ；当y = - 3 时，x = .
( 2 ) 已知方程3x + y - 1 = 0，如果用含x 的代数式表示y，那么y = ；
如果用含y 的代数式表示x，那么x = .
4. 解下列方程组：
( 1 )
；
，
3
2
1
3
x
y
x
y
-
=
-
=
( 2 )
，
；
x
y
x
y
+
= -
-
= -
3
5
3
4
2
( 3 )
，
；
y
x
x
y
-
=
-
=
3
2
2
6
( 4 )
，
；
5
3
2
2
3
x
y
x
y
+
=
-
=
( 5 )
，
；
3
4
2
6
x
y
x
y
-
=
+
=
( 6 )
，
2
3
7
3
2
3
x
y
x
y
+
=
+
=
.
5. 一个正方体，其中有一对相对的面上的数的和是29，差是7，这两个数各是多少？
6. 实验中学到信息中心和图书馆的距离之和为13. 5 千米. 已知实验中学到信息中心的距
离比它到图书馆的距离远4 千米，那么实验中学到信息中心和图书馆的距离各是多少
千米？
7. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和是11，如果个位上的数字比十位上的
数字大5，求这个两位数.
8. 有60 公顷土地需要绿化，计划在上面种植经济植物和常绿植物. 如果经济植物和常绿
植物各占50%，那么需要投资42 万元；如果经济植物占40%，常绿植物占60%，那
么需要投资40. 8 万元. 种植每公顷经济植物和常绿植物各需要投资多少万元？
9. 每年的3 月12 日是植树节. 某校七年级有183 名学生参加植树节活动，在活动中男生
平均每人挖3 个树坑，女生平均每人种6 棵树，这样恰好使挖好的树坑都能种上树. 该
年级参加植树的男、女生各有多少人？
复 习 题
60
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
提升
1. 某工厂车间生产甲、乙两种零部件，已知1 个甲零部件和2 个乙零部件配套成一个完
整产品，每个工人每天可生产14 个甲零部件或20 个乙零部件. 现有60 名工人，问应
安排多少个工人生产甲零部件，多少个工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零
部件刚好配套.
2. 如图，用火柴棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍. 如果搭建三角形
和正方形共用了77 根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5 个，那么一共
能连续搭建三角形、正方形各多少个？
( 第2 题 )
3. 一个梯形，如果两底之和是18，两底之差是10，且梯形的高恰好等于一底的长度，求
这个梯形的面积.
4. 在学校合唱节上，七年级( 1 ) 班、( 2 ) 班共有80 人参加歌咏比赛，两班合出1 名指挥，
如果( 1 ) 班比( 2 ) 班参加唱歌的人数多7 人，两个班各有多少人参加这次歌咏比赛？
*5. 解下列方程组：
( 1 )
2
5
2
3
2
7
x
y
y
z
z
x
+
=
+
= -
+
=
，
，
；
( 2 )
，
，
3
2
1
4
2
7
x
y
z
x
y
z
x
y
z
-
+
=
-
+
=
+
-
=
.
拓展
1. 已知关于x，y 的二元一次方程组
，
x
y
x
my
-
=
-
=
4
10
5
和
，
3
4
2
1
x
y
n
x
my
+
=
+
=
的解相同，试求m，n
的值.
2. 七年级( 1 ) 班计划用100 元购买甲、乙、丙三种小礼品作为联欢会的奖品，它们的单
价分别为4 元、3 元和1 元. 如果甲种礼品不得少于10 件，乙种礼品比甲种礼品多3 件，
并且购买甲种礼品的总金额不得超过50 元，那么适合以上要求的购买方案有几种？请
你协助班委会制定购买礼品的方案.
……
……
第六章
整式的运算
5
1
1
1
4
6
从下面的运算中，你能发现什么规律吗？
1 × 3 = 3 = 2 2 - 1，
2 × 4 = 8 = 3 2 - 1，
3 × 5 = 15 = 4 2 - 1，
4 × 6 = 24 = 5 2 - 1，
……
如果你能发现规律，请用代数式把这个规律表示出来.
你能用几何图形来表示上面运算中的数量关系吗？
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
62
数学 七年级 下册
6.1
整式的加减法
例1 先用横线标出同类项，然后合并同类项：
( 1 ) 3x 2 - 2xy + 3y 2 - 3xy + 2y 2 - x 2 ；
( 2 ) 2a 2b + 3ab 2 + a 3 - 5 - a 2b - 3ab 2 + 8.
解：( 1 ) 3x 2 - 2xy + 3y 2 - 3xy + 2y 2 - x 2
= ( 3 - 1 )x 2 + ( - 2 - 3 ) xy + ( 3 + 2 ) y 2
= 2x 2 - 5xy + 5y 2 ；
( 2 ) 2a 2b + 3ab 2 + a 3 - 5 - a 2b - 3ab 2 + 8
= ( 2 - 1 ) a 2b + ( 3 - 3 )ab 2 + a 3 + ( - 5 + 8 )
= a 3 + a 2b + 3.
为了计算方便，把多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小的顺序排
列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列. 反之，叫做把多项式按这个字
母升幂排列. 在例1( 1 ) 中，2x 2 - 5xy + 5y 2 就是按字母x 的降幂排列，而对于
字母y 则是升幂排列.
我们已经学习过整式的概念，并会通过去括号、合并同类项把整式化简 .
1. 回忆一下什么叫单项式，什么叫多项式，什么叫同类项.
2. 合并同类项需要按怎样的法则进行？
3. 去括号法则是什么？
交流
当同类项的系数
互为相反数时，出现
了什么特殊情况？
一 整式的加减法
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
63
实践
1. 把多项式2x 2 - 5xy + 5y 2 按字母y 降幂排列.
2. 把多项式a 3 + a 2b + 3 按字母a 升幂排列.
例2 先去括号，再合并同类项：
( 1 ) m 2n + mn + ( 3m 2n - 2mn - 5 ) ；
( 2 ) 2x 2 - 3y 2 + 1 - ( x 2 - 2xy - y 2 - 4 ) .
解：( 1 ) m 2n + mn + ( 3m 2n - 2mn - 5 )
= m 2n + mn + 3m 2n - 2mn - 5
= 4m 2n - mn - 5 ；
( 2 ) 2x 2 - 3y 2 + 1 - ( x 2 - 2xy - y 2 - 4 )
= 2x 2 - 3y 2 + 1 - x 2 + 2xy + y 2 + 4
= x 2 + 2xy - 2y 2 + 5.
去掉括号和括号前的
“ + ”或“ - ”时，区别
是什么？
练习
先去括号，再合并同类项：
( 1 ) 5ab 2 - 2a 2b + ( a 2b - 6ab 2 - 2 ) ；
( 2 ) 9 - m 2 + 2n 2 - ( 6n 2 - 3m 2 - 5 ) ；
( 3 ) 2xy 2 - 3x 2y - 5xy - ( 5xy - 3x 2y - 3xy 2 ) .
整式的加减就是单项式、多项式的加减. 利用去括号法则与合并同类项
的方法，我们就可以进行整式的加减运算.
例3 求3x 2 - 5xy + 6y 2 与4x 2 - 4xy - 7y 2 的和与差.
解：( 3x 2 - 5xy + 6y 2 ) + ( 4x 2 - 4xy - 7y 2 )
= 3x 2 - 5xy + 6y 2 + 4x 2 - 4xy - 7y 2
= 7x 2 - 9xy - y 2 ；
怎样把文字语言“翻译”
成数学式子？
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
64
数学 七年级 下册
思考
在上面例3 的运算中，每步运算的根据是什么？你
能说出做整式加减运算的步骤吗？
( 3x 2 - 5xy + 6y 2 ) - ( 4x 2 - 4xy - 7y 2 )
= 3x 2 - 5xy + 6y 2 - 4x 2 + 4xy + 7y 2
= - x 2 - xy + 13y 2.
例4 计算：
( 1 ) 3( a 2 - 4a + 3 ) + 5( - 5a 2 + a - 2 ) ；
( 2 ) 3m 2 - 4( 2m 2 - 3mn + 2n 2 ) + 7n 2.
解：( 1 ) 3( a 2 - 4a + 3 ) + 5( - 5a 2 + a - 2 )
= 3a 2 - 12a + 9 - 25a 2 + 5a - 10
= - 22a 2 - 7a - 1 ；
( 2 ) 3m 2 - 4( 2m 2 - 3mn + 2n 2 ) + 7n 2
= 3m 2 - 8m 2 + 12mn - 8n 2 + 7n 2
= - 5m 2 + 12mn - n 2.
练习
1. 计算：
( 1 ) ( 3x 2 - y 2 - 2xy ) + ( y 2 - xy - 2x 2 ) ；
( 2 ) ( 8ab - a 2 + b 2 ) - ( a 2 - b 2 + 8ab ) .
2. 求7x 2 - 5y 2 - xy 与 - 4x 2 - 3xy + y 2 的和与差.
在运算中都使用
了哪些运算律？应当
注意什么问题？
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
65
练习
计算：
( 1 ) 5( 11x 3 - 2x 2 ) + 2( x 3 + x 2 ) ；
( 2 )
x
y
2 3
2
y
2
3
2
3
3
3
2
x y
y
−
(
) −
+
(
) .
基础
1. 把下列多项式按字母x 先做降幂排列，再做升幂排列：
( 1 ) 7x - 12x 2 + 9 ；
( 2 ) 6 + 4x 2 - 3x - x 3.
2. 计算：
( 1 ) ( 5x 2 + 2 - x ) + ( - x 2 - 5x - 3 ) ；
( 2 ) ( 2x 2 - 3x + 1 ) - ( 5 - 3x + x 2 ) ；
( 3 ) ( 4a + 6b + 3c ) + ( 4c - 2b - 5a ) ；
( 4 ) ( x 3 - 3x 2y + 3xy 2 ) - ( x 3 - 3x 2y - 3xy 2 - y 3 ) .
3. 计算：
( 1 ) 2
1
2
3
4
1
2
a
a
a
a
−
+
(
) −
−
+
(
)；
( 2 ) 1
2 3
4
2
3
4
2
1
2
2
(
)
(
)
x
x
x
x
-
-
-
-
-
.
提升
1. 长方形的宽为3a + 2b，长比宽多a - b，求这个长方形的周长.
2. 三个连续奇数，中间一个是2n - 1，那么这三个数的和是多少？
3. 已知A = 2x 2 - 5xy - 3y 2，B = 2x 2 + 3xy - 4y 2，且A + B - C = 0，求C.
习 题 6 - 1
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
66
数学 七年级 下册
思考
1. 10 3 秒可以做10 8 × 10 3 次运算，那么10 8 × 10 3 = ？
2. 怎样进行同底数幂的乘法运算呢？
拓展
对于有理数x，y，定义新运算x * y = ax + by + c，其中a，b，c 是常数，等式右边是通常
的加法与乘法运算. 已知3 * 5 = 15，4 * 7 = 28，求1 * 1 的值.
6.2
幂的运算
1. 同底数幂的乘法
有一种电子计算机，每秒可以做10 8 次运算，
那么10 3 秒可以做多少次运算呢？
a m · a n ( m，n 都是
正整数 ) 等于什么？
实践
计算：10 2 × 10 3 = ；
10 3 × 10 5 = ；
10 5 × 10 4 = .
试说出每个运算步骤的根据，并观察条件与结论中指数的关系.
计算：a 2 · a 3 = ；
a 3 · a 5 = ；
a 5 · a 4 = .
二 整式的乘法
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
67
思考
说出每个运算步骤的根据，并猜想：
a m · a n = .
你能写出运算步骤吗？
实际上，根据幂的意义，有
a m · a n = a · a · … · a · a · a · … · a
m 个a n 个a
= a · a · … · a
( m + n ) 个a
= a m + n.
这就是说，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂乘法的运算性质
a
m·a
n = a
m + n ( m，n 都是正整数 ) .
当三个或三个以上的同底数幂相乘时，是否也符合上述性
质？请你把三个同底数幂相乘的性质用公式表示出来.
例1 计算：
( 1 ) 3 5 × 3 6 ；
( 2 ) x 3 · x 12.
解：( 1 ) 3 5 × 3 6 = 3 5 + 6 = 3 11 ；
( 2 ) x 3 · x 12 = x 3 + 12 = x 15.
例2 计算：
( 1 ) a 2 · a 3 · a 5 ；
( 2 ) x · x 2 · x 3 · x 4.
解：( 1 ) a 2 · a 3 · a 5 = a 2 + 3 + 5 = a 10 ；
( 2 ) x · x 2 · x 3 · x 4 = x 1 + 2 + 3 + 4 = x 10.
例3 计算：x · x 4 + x 3 · x 2
解：x · x 4 + x 3 · x 2
= x 1 + 4 + x 3 + 2
= x 5 + x 5
= 2x 5.
注意：字母 x 的
指数是1，而不是0 ！
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
68
数学 七年级 下册
练习
1. 口答：
( 1 ) 10 × 10 5 ；
( 2 ) 5 3 × 5 4 × 5 6 ；
( 3 ) x · x 6 ；
( 4 ) m 2 · m · m 3 ；
( 5 ) b · b · b ；
( 6 ) y 3 · y 5 · y 2 · y 3.
2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正过来.
( 1 ) x 3 · x 2 = x 6 ；
( 2 ) a 3 · a 3 = 2a 3 ；
( 3 ) m 5 · m 5 = m 10 ；
( 4 ) y · y 3 = y 3 ；
( 5 ) x 2 · x 2 = 2x 4 ；
( 6 ) n 3 · n 3 = 2n 9.
3. 计算：
( 1 ) a · a 3 + a 2 · a 2 ； ( 2 ) x 3 · x 2 - x · x 4.
实践
计算： ( 10 3 ) 2 = ；
( 5 2 ) 4 = ；
( a 2 ) 3 = .
说出每个运算步骤的根据，并猜想：
( a m ) n = .
你能写出运算步骤吗？
实际上，根据幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，有
( a m ) n = a m · a m · … · a m
n 个a m
=
= .
2. 幂的乘方
现在我们来研究幂的乘方有什么运算性质.
即( a m ) n 等于什么？( m，n 都是正整数 )
我们已经遇到过类似
的问题，想一想应该按怎
样的思路去研究.
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
69
这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方的运算性质
( a
m )
n = a
mn ( m，n 都是正整数 ) .
例4 计算：
( 1 ) ( 10 5 ) 2 ；
( 2 ) ( x 5 ) 6 ；
( 3 ) ( x 2 ) 10 ；
( 4 ) ( y 2 ) 3 · y.
解：( 1 ) ( 10 5 ) 2 = 10 5 × 2 = 10 10 ；
( 2 ) ( x 5 ) 6 = x 5 × 6 = x 30 ；
( 3 ) ( x 2 ) 10 = x 2 × 10 = x 20 ；
( 4 ) ( y 2 ) 3 · y = y 2 × 3 · y = y 6 + 1 = y 7.
练习
1. 计算：
( 1 ) ( 5 2 ) 6 ；
( 2 ) ( x 4 ) 3 ；
( 3 ) ( x 100 ) 20 ；
( 4 ) ( a 5 ) 2 · a 3 ；
( 5 ) ( x 3 ) 3 · ( x 2 ) 5.
2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正过来.
( 1 ) ( x 2 ) 5 = x 7 ；
( 2 ) x 4 + x 4 = x 8 ；
( 3 ) x 2 · x 3 = x 6 ；
( 4 ) a 2 · ( a 3 ) 2 = a 8 ；
( 5 ) ( a m ) n = ( a n ) m ( m，n 都是正整数 ) .
3. 积的乘方
下面我们用类似的方法，来研究积的乘方有什么运算性质.
即：当n 是正整数时，怎样计算( ab ) n ？
你能用已有的经验，设计
出研究问题的思路吗？
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
70
数学 七年级 下册
思考
实践
计算： ( ab) 2 = ；
( ab ) 3 = ；
( ab ) 4 = .
说出每个运算步骤的根据，并猜想：
( ab ) n = .
实际上，根据幂的意义和乘法的交换律、结合律，有
( ab ) n =
=
= .
这就是说，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂
相乘.
积的乘方的运算性质
( ab )
n = a
nb
n ( n 是正整数 ) .
上面的性质对于两个以上因式的积的
乘方是否也适合？
比如，( abc ) n = ( n 是正整数).
例5 计算：
( 1 ) ( - 5y ) 3 ；
( 2 ) ( 2m 2n ) 4 ；
( 3 ) ( - 3x 2y 3 ) 2.
解：( 1 ) ( - 5y ) 3 = ( - 5 ) 3 · y 3 = - 125y 3 ；
( 2 ) ( 2m 2n ) 4 = 2 4 · ( m 2 ) 4 · n 4 = 16m 8n 4 ；
( 3 ) ( - 3x 2y 3 ) 2 = ( - 3 ) 2 · ( x 2 ) 2 · ( y 3 ) 2 = 9x 4y 6.
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
71
练习
1. 计算：
( 1 ) ( 2m ) 2 ； ( 2 ) ( a 2b 3 ) 4 ； ( 3 ) ( - a 3b 2 ) 2 ； ( 4 ) ( - 2x 3y 4 ) 3.
2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正过来.
( 1 ) ( xy 2 ) 3 = xy 6 ；
( 2 ) ( 3ab ) 2 = 6a 2b 2 ；
( 3 ) ( - 2m 2 ) 2 = - 4m 4 ；
( 4 ) ( - 2x 2y 3 ) 3 = 8x 6y 9.
思考
- a n ( n 是正整数 ) 表示的意义是什么？
( - a ) n ( n 是正整数 ) 表示的意义是什么？它
们有什么不同？
例6 计算：
( 1 ) - x 2 · x 4 ；
( 2 ) ( - m ) · ( - m ) 3.
解：( 1 ) - x 2 · x 4 = - ( x 2 · x 4 ) = - x 2 + 4 = - x 6 ；
( 2 ) ( - m ) · ( - m ) 3 = ( - m ) 1 + 3 = ( - m ) 4 = m 4.
例7 计算：
( 1 ) x · x 2 · x 3 + ( x 2 ) 3 + ( - 3x 3 ) 2 ；
( 2 ) ( - a 3 ) 2 · a 3 - ( 3a 3 ) 3 + a 2 · a 7.
解：( 1 ) x · x 2 · x 3 + ( x 2 ) 3 + ( - 3x 3 ) 2
= x 6 + x 6 + 9x 6
= 11x 6 ；
( 2 ) ( - a 3 ) 2 · a 3 - ( 3a 3 ) 3 + a 2 · a 7
= a 6 · a 3 - 27a 9 + a 9
= a 9 - 27a 9 + a 9
= - 25a 9.
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
72
数学 七年级 下册
练习
1. 计算：
( 1 ) ( - x ) 4 · ( - x ) 6 ；
( 2 ) - a 3 · a ；
( 3 ) ( - m ) 2 · m 3 ；
( 4 ) - x · x 2 · x 3.
2. 计算：
( 1 ) ( - m ) 4 · m + m 2 · ( - m ) 3 ；
( 2 ) a 10 · a 5 - ( - 2a 5 ) 3 + ( - a 3 ) 5.
基础
1. 计算：
( 1 ) x 3 · x 3 ；
( 2 ) m 2 · m 3 ；
( 3 ) a 3 + a 3 ；
( 4 ) x 2 · x 2 · x 2 ；
( 5 )10 2 · 10 · 10 5 ；
( 6 ) y 3 · y 2 · y 4.
2. 计算：
( 1 ) x 2 · x 5 - x 3 · x 4 ；
( 2 ) m 3 · m 3 + m · m 5 ；
( 3 ) a · a 3 · a 2 + a 2 · a 4 ；
( 4 ) x 2 · x 4 + x 3 · x 2 · x.
3. 计算：
( 1 ) ( x 4 ) 2 ；
( 2 ) ( m 3 ) 6 ；
( 3 ) - ( a 5 ) 2 ；
( 4 ) - ( y 2 ) 3.
4. 计算，并说明运算的依据.
( 1 ) ( x 2 ) 4 ；
( 2 ) x 2 · x 4 ；
( 3 ) ( m 5 ) 5 ；
( 4 ) m 5 · m 5.
5. 计算，并说明运算的依据.
( 1 ) x 3 + x 3 ；
( 2 ) x 3 - x 3 ；
( 3 ) ( x 3 ) 3 ；
( 4 ) ( xy ) 3.
6. 计算：
( 1 ) ( x 2y ) 3 ；
( 2 ) ( - mn 3 ) 2 ；
( 3 ) ( - x 2y 3 ) 5 ；
( 4 ) - ( - 3xy 3 ) 3.
7. 下面的运算对不对？如果不对，请改正过来.
( 1 ) ( - x 5 ) 2 = - x 7 ；
( 2 ) ( xy 2 ) 5 = xy 10 ；
( 3 ) ( 2mn ) 3 = 6m 3n 3 ；
( 4 ) ( - 2a 3 ) 2 = - 4a 5.
8. 计算：
( 1 ) - x 3 · x 4 ；
( 2 ) - a · ( - a ) 4 ；
( 3 ) - y 3 · ( - y ) 2 ；
( 4 ) - ( - a ) 5 · ( - a ) .
习 题 6 - 2
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
73
提升
1. 计算：
( 1 ) ( - x ) 5 · x 2 · ( - x ) 4 ；
( 2 ) - a 2 · ( - a ) 4 · ( - a ) 3 ；
( 3 ) - m 4 · m 6 · ( - m ) 8 ；
( 4 ) - ( - p ) 5 · ( - p ) 3 · ( - p ) 2.
2. 计算：
( 1 ) ( - 2 ) 5 · ( - 2 ) 7 · 2 6 ；
( 2 ) (
)
(
)
(
)
5
3
4
−
−
−
1
2
1
2
1
2
·
·
；
( 3 ) 10 2 · 10 · 10 m ( m 是正整数 ) ；
( 4 ) 3 n · ( - 3 ) 5 · 3 n ( n 是正整数 ) .
3. 把下列各式化成( x - y ) n 的形式：
( 1 ) ( x - y ) · ( x - y ) 3 · ( x - y ) 2 ；
( 2 ) ( x - y ) 3 · ( y - x ) 2 · ( y - x ) ；
( 3 ) ( x - y ) · ( x - y ) 4 · ( y - x ) 4 ；
( 4 ) ( x - y ) · ( y - x ) 3 · ( y - x ) 4.
4. 计算：( m，n 是正整数 )
( 1 ) ( - a ) m · a n ；
( 2 ) [ - 5 m · ( - 5 ) n ] 2.
5. 用简便方法计算：
( 1 )
−
× ( )
6
1
6
8
8
5
(
)
；
( 2 ) ( - 8 ) 2 003 × ( - 0. 125 ) 2 000.
拓展
已知：2m = 3，2n = 5. 求23m + 2n 的值.
6.3
整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘
实践
某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是7. 9 × 10 3 米/ 秒，那么这颗
卫星绕地球运行一年( 一年以3. 2 × 10 7 秒计算 ) 走过的路程是多少米？
你在运算中应用了什么运算律和运算性质？
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
74
数学 七年级 下册
根据单项式的概念、运算律和同底数幂的乘法性质，做下列计算：
( 1 ) 2x · 3xy ； ( 2 ) 3xy 2 · 4x 3y ； ( 3 ) 3ab 2 · a 2b 3c.
由计算的过程和结果，你能归纳出单项式与单项式相乘的运算方法吗？
一般地，单项式相乘，先把它们的系数相乘，作为积的系数；再把相同字
母的幂相乘所得的积，分别作为积的因式，并把只在一个单项式里出现的字母
的幂也作为积的因式.
例1 计算：
( 1 ) ( - 3m 3n 2 ) · ( 7mn 3) ；
( 2 ) 4
3
3
2
2
3
x y
x
−(
)
·
.
解：( 1 ) ( - 3m 3n 2 ) · ( 7mn 3 )
= [( - 3 ) × 7] · ( m 3 · m ) · ( n 2 · n 3 )
= - 21m 4n 5 ；
( 2 ) 4
3
3
2
2
3
x y
x
−(
)
·
=
× -(
)
⋅
⋅
⋅
= -
4
3
3
2
2
2
3
3
3
(
)
.
x
x
y
x y
例2 计算：
( 1 ) 2
1
2
3
2
2
xy
x yz
xz
⋅-(
) ⋅-
(
)
；
( 2 ) 2x 6y 2 · x 3y + ( - 25x 8y 2 ) ( - xy ) .
练习
1. 计算：
( 1 ) 7x 2 · 5x 3 ；
( 2 ) 3mn · ( - 2m 2n 3 ) ；
( 3 ) −
⋅−
1
2
4
2
3 b
a
a
(
) ；
( 4 )
−
3
1
6
2
xy
x y
·
−
(
)
.
2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正过来.
( 1 ) 3x 2 · 5x 3 = 15x 6 ；
( 2 ) 3m 3 · 2m 3 = 6m 3 ；
( 3 ) 7a 3b 2 · 2abc = 14a 4b 3 ；
( 4 ) 2xy · 3x 2y = 6x 3y.
按照怎样的顺
序进行运算？
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
75
解：( 1 ) 2
1
2
3
2
2
xy
x yz
xz
⋅-(
) ⋅-
(
)
=
× -(
) × -
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
1
2
3
2
2
(
)
(
) (
) (
)
x x
x
y
y
z z
= 3x 4y 2z 3 ；
( 2 ) 2x 6y 2 · x 3y + ( - 25x 8y 2 ) ( - xy )
= 2x 9y 3 + 25x 9y 3
= 27x 9y 3.
练习
1. 计算：
( 1 ) ( 6a 2b ) · ( - 2ab 2c ) ·
-(
)
1
4
2
3
b c
；
( 2 ) ( - 0. 2x 3y ) · ( - 0. 3x 2y 3 ) · ( 25xyz ) .
2. 计算：
( 1 ) -(
) +
⋅
1
4
5
6
3
3
2
a b c
abc
ab
(
) ；
( 2 ) ( - 2x 2 ) ( xy 3 ) - 2x 2y ( - 4xy 2 ) .
3. 光的速度大约是3 × 10 5 千米/ 秒，太阳光射到地球上约需5 × 10 2 秒，那么地
球和太阳之间的距离大约是多少米？( 用科学记数法表示 )
2. 单项式与多项式相乘
在学习了单项式乘法的基础上，我们来研究单项式与多项式的乘法.
思考
是否能把单项式与多项式相乘，转化为单项式与单项式相
乘？转化的依据是什么？
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
76
数学 七年级 下册
所以，单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘多项式的每一项，再把
所得的积相加.
例3 计算：
( 1 ) - 2xy · ( 3x 2 + 2xy - y 2 ) ；
( 2 ) ( 2ab 2 - ab + 4b ) · ab.
解：( 1 ) - 2xy · ( 3x 2 + 2xy - y 2 )
= ( - 2xy ) · ( 3x 2 ) + ( - 2xy ) · ( 2xy ) + ( - 2xy ) · ( - y 2 )
= - 6x 3y - 4x 2y 2 + 2xy 3 ；
( 2 ) ( 2ab 2 - ab + 4b ) · ab
= ( 2ab 2 ) · ( ab ) - ( ab ) · ( ab ) + ( 4b ) · ( ab )
= 2a 2b 3 - a 2b 2 + 4ab 2.
例4 计算：2
1
2
5
2
2
2
2
x
xy
y
x
x y
xy
⋅
+
(
) -
⋅
-
(
) .
解：2
1
2
5
2
2
2
2
x
xy
y
x
x y
xy
⋅
+
(
) -
⋅
-
(
)
= x 3y + 2x 2y 2 - 5x 3y + 5x 2y 2
= - 4x 3y + 7x 2y 2.
要防止在运算中产
生符号的错误！
a
b
c
m
m ( a + b + c ) = .
图6 - 1
如果用字母m 表示单项式，用a + b + c 表示多项式，单项式与多项式相
乘就是进行形如
m ( a + b + c )
的运算.
由于代数式中的字母都表示数，所以乘法对加法的分配律对于代数式仍然
成立，从而有
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc.
这个运算律可以用图6 - 1 所示的几何图形加以说明.
这个运算可以依照
哪个运算律来进行？
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
77
练习
1. 计算：
( 1 ) 2x( 3x 2 + 1 ) ；
( 2 ) -
-
(
)
4 3
2
1
4
2x
x ；
( 3 ) -
-
-
(
)
2
3
7
2
1
2
y
y
y
；
( 4 ) 5
3
2
3
2
2
2
x
xy
y
x y
-
+
(
) ⋅
.
2. 计算：
( 1 ) - x 2( - 2xy ) + 3x( x 2y - 1 ) ；
( 2 ) x
x
x
x
-
+
+
-
+
1
2
1
1
3
1
2
(
)
(
) .
例5 如图6 - 2，计算四边形AECF 的面积.
D
G
C
A
H
B
7a
6b
E
F
图6 - 2
分析：四边形AECF 的面积即长方形ABCD 的面积减去梯形ADGF、三角
形GCF、三角形AHE、梯形HBCE 四个部分的面积.
解：四边形AECF 的面积为
7
6
1
2 3
6
5
1
2 3
2
1
2 6
2
1
2 2
6
a
b
b
b
a
b
a
a
b
b
b
a
⋅
-
+
⋅
-
⋅
⋅
-
⋅
⋅
-
+
⋅
(
)
(
)
=
-
-
-
-
=
42
45
2
3
6
4
13
2
ab
ab
ab
ab
ab
ab
3. 多项式与多项式相乘
下面研究多项式与多项式的乘法. 形如( m + n ) ( a + b + c) 的运算应当怎
.
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
78
数学 七年级 下册
样进行？
思考
是否能够把多项式与多项式相乘转化为单项式与
多项式相乘？
探索
以上多项式与多项式乘法的意义，
可以用图6 - 3 解释吗？请你试一试.
这就是说，多项式和多项式相乘可以这样进行：用其中一个多项式的每一
项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
例6 计算：
( 1 ) ( x + 3y ) ( 5x + 6y ) ；
( 2 ) ( 2a - 3b ) ( a + 4b ) .
解：( 1 ) ( x + 3y ) ( 5x + 6y )
= 5x 2 + 6xy + 15xy + 18y 2
= 5x 2 + 21xy + 18y 2 ；
( 2 ) ( 2a - 3b ) ( a + 4b )
= 2a 2 + 8ab - 3ab - 12b 2
= 2a 2 + 5ab - 12b 2.
如果先把( m + n ) 看做一个单项式，就可以把多项式与多项式相乘
转化为单项式与多项式相乘. 利用我们已经学过的知识，可以知道
( m + n ) ( a + b + c)
= ( m + n ) a + ( m + n ) b + ( m + n ) c
= ma + na + mb + nb + mc + nc.
a
b
c
n
m
图6 - 3
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
79
练习
思考
你能找到形如( x + a ) 和( x + b ) 的两个一次二项式
相乘的规律吗？
( x + a ) ( x + b ) = .
例7 计算：
( 1 ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) ；
( 2 ) ( m - 2 ) ( m + 3 ) .
解：( 1 ) ( x + 1 ) ( x + 4 )
= x 2 + x + 4x + 4
= x 2 + ( 1 + 4 ) x + 4
= x 2 + 5x + 4 ；
( 2 ) ( m - 2 ) ( m + 3 )
= m 2 - 2m + 3m - 6
= m 2 + ( - 2 + 3 ) m - 6
= m 2 + m - 6.
例8 计算：
( 1 ) ( 3x - 2 ) ( x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ；
( 2 ) ( a - b ) ( a 2 + 3ab + b 2 ) .
解：( 1 ) ( 3x - 2 ) ( x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 )
= 3x 2 - ( 3 + 2 )x + 2 + x 2 + ( 2 + 1 )x + 2
= 4x 2 - 2x + 4 ；
( 2 ) ( a - b ) ( a 2 + 3ab + b 2 )
= a 3 + 3a 2b + ab 2 - a 2b - 3ab 2 - b 3
= a 3 + 2a 2b - 2ab 2 - b 3.
1. 计算：
( 1 ) ( x + 4 ) ( x + 7 ) ；
( 2 ) ( a + 5 ) ( a - 9 ) ；
( 3 ) ( y - 3 ) ( y + 10 ) ；
( 4 ) ( m - 12 ) ( m - 11 ) .
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
80
数学 七年级 下册
例9 如图6 - 4，用含有x 的代数式表
示槽型钢材的体积.
解：槽型钢材的体积为
V = 2x · 3x · ( 2x + 7 ) - x · x · ( 2x + 7 )
= 6x 2( 2x + 7 ) - x 2( 2x + 7 )
= 12x 3 + 42x 2 - 2x 3 - 7x 2
= 10x 3 + 35x 2.
2. 计算：
( 1 ) ( 2a - 3b ) ( 2a + 3b + 4 ) ；
( 2 ) ( 3a - 1 ) ( a + 1 ) + ( 2a + 3 ) ( 2a - 7 ) ；
( 3 ) ( x - 1 ) ( 3x - 2 ) - ( x + 1 ) ( x + 2 ) ；
( 4 ) ( x + y ) ( x 2 - xy + y 2 ) .
想一想，不规则
几何体的体积常用什
么方法计算.
练习
如图，用代数式表示下面各图中几何体的体积.
2x
3x − 5
x
( 1 )
2x + 4
x
( 2 )
图6 - 4
2x
x
x
2x + 7
x
x
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
81
习 题 6 - 3
基础
1. 计算：
( 1 ) 5x 3 · 4xy ；
( 2 ) ( - 3ab 2 ) · ( - 2a 2b ) ；
( 3 ) ( - 6xy 2z 3 ) · 3x 2y 3 ；
( 4 ) ( xy ) 3 · ( - x 3y 2 ) .
2. 计算：
( 1 ) ( 3x 4y ) · ( - 2xy 3 ) 4 ；
( 2 ) ( - 5m 2n 3 ) 2 · ( 4m 4n ) 2 ；
( 3 ) −(
) −(
)
3
5
2
3
2
3
x y
xy
·
；
( 4 )
-(
) ⋅(
)
4
7
1
2
2
2
3
3
ab
a b c
.
3. 计算：
( 1 ) ( 2 × 10 5 ) × ( 6 × 10 4 ) ；
( 2 ) ( 2. 4 × 10 3 ) × ( 3. 2 × 10 8 ) ；
( 3 ) ( 0. 8 × 10 8 ) × ( 1. 5 × 10 6 ) 3 ；
( 4 )
1
2
10
4
10
2
5
3 3
×
(
) ×
×
(
) .
4. 计算：
( 1 ) - ( a 2b ) 3 + 2a 2b · ( - 3a 2b ) 2 ；
( 2 )
-(
) +
⋅
3
4
5
6
3
2
2
a b c
abc
ab
(
)
.
5. 如图所示是角钢的截面.
( 1 ) 写出表示截面面积的代数式；
( 2 ) 当a = 13. 56 mm，b = 19. 98 mm，t = 6. 25 mm 时，用计算器求出它的面积( 精
确到1 mm 2 ) .
a
b
t
t
( 第5 题 )
a
2a
a
3
( 第6 题 )
6. 如图，计算长方体的表面积和体积.
7. 计算：
( 1 ) 2x 2( x - y + 1 ) ；
( 2 ) -
-
+
(
)
4
1
2
1
4
2
x x
x
；
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
82
数学 七年级 下册
( 3 ) ( 3x 2y - 3xy 2 ) ( - xy ) ；
( 4 ) 5
4
9
1
3
2
2
m
m
m n
-
+
(
) -
(
)
.
8. 计算：
( 1 ) (
)
2
2
5
8
9
16
2
2
x
x
x
⋅
-
-
(
) ；
( 2 ) - a 2( - 2ab ) + 3a( a 2b - 1 ) ；
( 3 ) ( - 2ab 2 ) 2 · ( 3a 2b - 2ab - 4b ) ；
( 4 ) 2ab( a 2b + ab - ab 2 ) - ab 2( a 2 - 3ab + 2a ) .
9. 计算：
( 1 ) ( 3x - 1 ) ( x + 5 ) ；
( 2 ) ( 3x + 4 ) ( 4x - 9 ) ；
( 3 ) ( 5a - 6b ) ( 3a - 2b ) ；
( 4 ) 1
2
4
2
1
4
x
y
-
(
)
-
(
) .
10. 计算：
( 1 ) ( x - 3y ) ( x - 6y - 1 ) ；
( 2 ) ( 3a - b ) ( 3a + b + 5 ) ；
( 3 ) ( 2x - 1 ) ( x 2 - x - 1 ) ；
( 4 ) 2x( x 2 - 2x + 3 ) - ( x + 5 ) ( 2x - 3 ) ；
( 5 ) 3( 2a + 1 ) ( 2a - 1 ) - 4( 3a - 2 ) ( 3a + 5 ) .
提升
1. 计算：
( 1 ) ( - 2a ) 6 - ( - 3a 3 ) 2 - [ - ( 2a ) 2 ] 3 ；
( 2 ) ( - 3ab 3 ) 3 · ( 4a 2b ) 2 + 5a 4b 5 · 18a 3b 6.
2. 光的速度大约是3 × 10 5 千米/ 秒，从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星( 比邻星 ) 发
出的光，需要4 年时间才能到达地球. 如果1 年以3. 2 × 10 7 秒计算，求这颗恒星与地
球之间的距离.
3. 如图，计算变压器铁芯片截面的面积( 长度单位：cm ) .
4. 边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求图中绿色部分的面积.
( 第3 题 )
a
a
2a
2a
2a
4a
1.5a
( 第4 题 )
a
a
2a
2a
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
83
( 第7 题 )
x
2x
x
3x + 5
x
x
5. 先化简，再求值：
( 1 ) 6m
2 - 5m ( - m + 2n - 1 ) + 4m
-
-
-
(
)
3
5
2
3
4
m
n
，其中m = - 1，n = 1
20 ；
( 2 ) 3( - 4x + y ) ( x - y ) + 2( 3x - 2y ) ( x + 3y )，其中x = - 2，y = 1.
6. 解方程：
( 1 ) x ( x + 3 ) - x ( 1 - 2x ) = 9 + 3x 2 ；
( 2 ) 6x 2 - ( 2x + 3 ) ( 3x - 2 ) = 0.
7. 观察如图所示零件：
( 1 ) 用含x 的代数式表示零件的体积；
( 2 ) 当x = 206. 56 mm 时，求零件的体积. ( 利用计算器计算 )
拓展
1. ( 1 ) 在一个边长为a 的正方形地块上，开辟出一部分作为花坛. 下面给了四种设计方案，
请你分别写出花坛( 图中绿色部分 ) 面积S 的表达式，并计算当a = 10 m 时的花坛
面积.
( 2 ) 请你再给出另外两种设计方案，并计算当a = 10 m 时的花坛面积.
( 1 )
a
2
a
2
a
3
a
3
a
3
a
6
a
6
a
6
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( 第1 题 )
2. 某农场有一块长方形耕地，尺寸如图所
示. 要在这块土地上沿东西方向挖2 条主
干水渠，宽均为a 米；沿南北方向挖3 条
支水渠，宽均为b 米. 那么挖完水渠以后，
余下的耕地面积为多少？
( 第2 题 )
200 m
150 m
b
b
b
a
a
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
84
数学 七年级 下册
1. 完全平方公式
6.4
乘法公式
探索
学校操场中有一块边长为108 m 的正方形空地，为购买草坪进行绿
化，需要计算空地的面积，你能通过画图求得这块正方形空地的面积吗？
通过画图，我们发现可以将这个正方形分割
成四部分（如图6 - 5），即两个正方形和两个一
模一样的长方形，分别口算四部分的面积就可以
求得整个正方形的面积.
思考
如果这块正方形空地的边长是a + b ，那么它的面积是
多少呢？你能用整式乘法的知识进行解释吗？
图6 - 6
a
ab
ab
ab
ab
a2
a2
b2
b2
a
b
b
+
+
如图6 - 6，我们发现( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 可以利用多项式和多
项式相乘的知识进行解释：
( a + b ) 2
= ( a + b ) ( a + b )
= a 2 + ab + ab + b 2
= a 2 + 2ab + b 2.
图6 - 5
100 m
8 m
8 m
100 m
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
85
思考
这个规律用文字语言如何表述? 怎样
形式的整式乘法可以使用它简化运算?
两数和的完全平方公式
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2.
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2 倍.
我们把这个规律叫做两数和的完全平方公式.
在公式中，字母a 和b 可以是含字母的代数式，也可以是单独的数. 在
运用公式进行运算时，应注意区分哪个是a，哪个是b.
例1 运用两数和的完全平方公式计算：
( 1 ) ( x + 3 ) 2 ；
( 2 ) ( 3m + 4n ) 2.
解：( 1 ) ( x + 3 ) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9 ；
( 2 ) ( 3m + 4n ) 2 = ( 3m ) 2 + 2 · ( 3m ) · ( 4n ) + ( 4n ) 2 = 9m 2 + 24mn + 16n 2.
( a + b ) 2 = a 2 + 2 · a · b + b 2
( a + b ) 2 = a 2 + 2 · a · b + b 2
为了运用公式，
需要将谁看成a，将
谁看成b ？
练习
运用两数和的完全平方公式计算：
( 1 ) ( x + 2 ) 2 ； ( 2 ) ( 7 + m ) 2 ； ( 3 ) ( 5x + 2y ) 2 ； ( 4 )
2
2
2
x
y
+
(
) .
例2 运用两数和的完全平方公式计算：
( 1 ) 107 2 ；
( 2 ) ( a + b + c) 2.
分析：( 1 ) 将107 2 写成( 100 + 7 ) 2，转化为可用两数和的完全平方公式的
形式；( 2 ) 把a + b 看成一个整体，将( a + b + c ) 2 写成[( a + b ) + c] 2 的形式，
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
86
数学 七年级 下册
通过做第( 2 ) 题，
你能发现什么规律吗？
交流
仿照用正方形和长方形面积表示两数和的完全平方公式的方法，试
解释两数差的完全平方公式，并与同学交流你的想法和结果.
就可以应用公式了.
解：( 1 ) 107 2
= ( 100 + 7 ) 2
= 100 2 + 2 × 100 × 7 + 7 2
= 11 449 ；
( 2 ) ( a + b + c ) 2
= [( a + b ) + c] 2
= ( a + b ) 2 + 2( a + b )c + c 2
= a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2
= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.
思考
两数差的完全平方公式如何推导？你
能把这个公式用文字语言表述出来吗？
例3 运用两数差的完全平方公式计算：
( 1 ) ( 2x - 1 ) 2 ；
( 2 ) ( 3m - 2n ) 2.
解：( 1 ) ( 2x - 1 ) 2
= ( 2x ) 2 - 2 · 2x · 1 + 1 2
= 4x 2 - 4x + 1 ；
( 2 ) ( 3m - 2n ) 2
= ( 3m ) 2 - 2 · 3m · 2n + ( 2n ) 2
= 9m 2 - 12mn + 4n 2.
想一想，怎样
与公式相对应.
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2 倍.
两数差的完全平方公式
( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2.
两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平方公式.
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
87
练习
1. 运用完全平方公式计算：
( 1 ) 102 2 ；
( 2 ) 199 2.
2. 运用完全平方公式计算：
( 1 ) ( x + 3y ) 2 ；
( 2 ) ( 4m - 5n ) 2 ；
( 3 ) ( x - 2y ) 2 - ( 2x + y ) 2 ；
( 4 ) 1
2
3
2
2
x
y
-
(
) .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
问题解决
发现和运用规律：
( 1 ) 观察15 2 = 225，25 2 = 625，35 2 = 1 225，45 2 = 2 025，…，
你能发现和猜想出什么规律吗？如果能，请证明这个规律.
( 2 ) 运用已经证明的规律计算：
55 2，75 2，85 2，95 2，105 2，195 2.
如图6 - 7，ab 表示的是哪部分图
形的面积？重复减去的面积怎么办？
图6 - 7
a
a
b
b
2. 平方差公式
思考
前面我们学习了两数和的平方、两数差的平方，它们的结
果都是三项，如果用两数的和与两数的差相乘，结果如何呢？
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
88
数学 七年级 下册
实践
计算下面各题：
( 1 ) ( a + 5 ) ( a - 5 ) = ；
( 2 ) ( m + 3 ) ( m - 3 ) = ；
( 3 ) ( 3x + 7 ) ( 3x - 7 ) = ；
( 4 ) ( 5a + b ) ( 5a - b ) = ；
( 5 ) ( n + 3m ) ( n - 3m ) = ；
( 6 ) ( x + 2y ) ( x - 2y ) = .
通过计算你发现了什么规律？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
思考
整式乘法具有怎样的特点时，可以用这个规律
去简化计算？如何推导这个规律呢？
( a + b ) ( a - b )
= a 2 - ab + ab - b 2
= a 2 - b 2 .
我们把这个规律叫做平方差公式.
平方差公式
( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2.
怎样用图6 - 8 中图形的
面积来解释平方差公式？
图6 - 8
a
a
b
b
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
b
思考
类似的，可以利用多项式和多项式相乘的知识进行解释：
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
89
例4 运用平方差公式计算：
( 1 ) ( m + 8 ) ( m - 8 ) ；
( 2 ) ( 2a + 5b ) ( 2a - 5b ) .
解：
注意：( 1 ) 应用这个公式的条件是：两个因式中有一项完全相同，另一项
互为相反数；
( 2 ) 公式中的a 和b 可以表示数或代数式.
例5 运用平方差公式计算：
( 1 ) ( 4y + 3x ) ( 3x - 4y ) ；
( 2 ) ( - 4a - 1 ) ( 4a - 1 ) .
解：( 1 ) ( 4y + 3x ) ( 3x - 4y )
= ( 3x + 4y ) ( 3x - 4y )
= ( 3x ) 2 - ( 4y ) 2
= 9x 2 - 16y 2 ；
怎样转化为符合
公式条件的形式？
( 1 ) ( m + 8 ) ( m - 8 ) = m 2 - 8 2 = m 2 - 64 ；
( 2 ) ( 2a + 5b ) ( 2a - 5b ) = ( 2a ) 2 - ( 5b ) 2 = 4a 2 - 25b 2.
( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2
( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2
( 2 ) ( - 4a - 1 ) ( 4a - 1 )
= ( - 1 - 4a ) ( - 1 + 4a )
= ( - 1 ) 2 - ( 4a ) 2
= 1 - 16a 2.
( - 4a - 1 ) ( 4a - 1 )
= - ( 4a + 1 ) ( 4a - 1 )
= - [( 4a ) 2 - 1 2] = - ( 16a 2 - 1 )
= 1 - 16a 2.
或
练习
1. 运用平方差公式计算( 口答 ) ：
( 1 ) ( x - y ) ( x + y ) ；
( 2 ) ( x + 3y ) ( x - 3y ) ；
( 3 ) ( 2 + a ) ( 2 - a ) ；
( 4 ) ( 1 - 3m ) ( 1 + 3m ) .
2. 运用平方差公式计算：
( 1 ) ( x + 2y ) ( - x + 2y ) ；
( 2 ) ( 3m - 5n ) ( 5n + 3m ) ；
( 3 ) ( - 1 + x ) ( - 1 - x ) ；
( 4 ) ( - 2b - 5 ) ( 2b - 5 ) .
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
90
数学 七年级 下册
例6 运用平方差公式计算：
( 1 ) 59. 8 × 60. 2 ；
( 2 ) ( p + q ) ( p 2 + q 2 ) ( p - q ) .
解：( 1 ) 59. 8 × 60. 2
= ( 60 - 0. 2 ) ( 60 + 0. 2 )
= 60 2 - ( 0. 2 ) 2
= 3 600 - 0. 04
= 3 599. 96 ；
( 2 ) ( p + q ) ( p 2 + q 2 ) ( p - q )
= ( p + q ) ( p - q ) ( p 2 + q 2 )
= ( p 2 - q 2 ) ( p 2 + q 2 )
= p 4 - q 4.
例7 计算：
( 1 ) ( 2x + 1 ) ( 2x - 1 ) - ( 3 - 2x ) ( - 2x - 3 ) ；
( 2 ) ( 3a - 4b ) ( 4b + 3a ) - ( 2b - a ) ( 2b + 3a ) .
解：( 1 ) ( 2x + 1 ) ( 2x - 1 ) - ( 3 - 2x ) ( - 2x - 3 )
= ( 2x + 1 ) ( 2x - 1 ) + ( 3 - 2x ) ( 3 + 2x )
= [( 2x ) 2 - 1] + [3 2 - ( 2x ) 2]
= 4x 2 - 1 + 9 - 4x 2
= 8 ；
( 2 ) ( 3a - 4b ) ( 4b + 3a ) - ( 2b - a ) ( 2b + 3a )
= [( 3a ) 2 - ( 4b ) 2] - ( 4b 2 + 6ab - 2ab - 3a 2 )
= 9a 2 - 16b 2 - 4b 2 - 4ab + 3a 2
= 12a 2 - 4ab - 20b2.
练习
运用平方差公式计算：
( 1 ) 97 × 103 ；
( 2 ) 1. 02 × 0. 98 ；
( 3 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 4 ) ( x + 2 ) ；
( 4 ) ( 2a + 3b ) ( 4a + 5b ) ( 2a - 3b ) ( 5b - 4a ) .
不符合公式时，还
要按一般的方法运算.
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
91
习 题 6 - 4
基础
1. 填空：
( 1 ) 107 2 = ( + ) 2 = ( ) 2 + 2 ( ) ( ) + ( ) 2 = ( ) ；
( 2 ) 93 2 = ( - ) 2 = ( ) 2 - 2 ( ) ( ) + ( ) 2 = ( ) ；
( 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) = ( ) 2 - ( ) 2.
2. 运用完全平方公式计算：
( 1 ) ( a - 2b ) 2 ；
( 2 ) ( 3x + 2y ) 2 ；
( 3 ) ( 4a - 3b ) 2 ；
( 4 ) ( - 2 - x ) 2 ；
( 5 ) ( 1. 5 + 2x ) 2 ；
( 6 )
3
2
2
3
2
a
b
-
(
) .
3. 运用完全平方公式计算：
( 1 ) 0. 98 2 ；
( 2 ) 895 2 ；
( 3 ) 109 2 ；
( 4 ) 14. 5 2.
例8 运用乘法公式计算( 2y + x ) 2( x - 2y ) 2.
分析：运用加法交换律，将2y + x 变形为x + 2y，这样( x + 2y ) ( x - 2y )
符合平方差公式，然后运用积的乘方公式将原式变形为[( x + 2y ) ( x - 2y )] 2，
再运用乘法公式计算.
解：( 2y + x ) 2( x - 2y ) 2
= [( x + 2y ) ( x - 2y )] 2
= ( x 2 - 4y 2 ) 2
= x 4 - 8x 2y 2 + 16y 4.
例9 有一个正方形花园，如果它的边长增加3 米，那么花园面积将增
加39 平方米，求原来花园的面积.
解： 如图6 - 9，设原正方形花园的边长为x米，那么增加后的边长为( x + 3 )米.
由题意，得
( x + 3 ) 2 - x 2 = 39.
x 2 + 6x + 9 - x 2 = 39.
x = 5.
∴ x 2 = 25.
答： 原来花园的面积为25 平方米.
x
x
3
3
3x
3x
32
x2
图6 - 9
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
92
数学 七年级 下册
4. 运用平方差公式计算：
( 1 ) ( x + 2y ) ( x - 2y ) ；
( 2 ) ( 3a - 2b ) ( 3a + 2b ) ；
( 3 ) ( - 1 + 4x ) ( - 1 - 4x ) ；
( 4 ) ( - 4a - b ) ( b - 4a ) ；
( 5 ) 29. 8 × 30. 2 ；
( 6 ) 10. 98 × 11. 02.
5. 计算：
( 1 ) ( x + 4 ) ( x 2 + 16 ) ( x - 4 ) ；
( 2 )
x
x
x
-
(
)
+
(
)
+
(
)
1
3
1
9
1
3
2
；
( 3 ) ( x - 3y ) ( x + 3y ) - ( x + y ) ( x - y ) ；
( 4 ) ( 2a - b ) ( b + 2a ) - ( 2b - 3a ) ( 2b + 3a ) .
6. 运用乘法公式计算：
( 1 ) ( x + y - 1 ) 2 ；
( 2 ) [( 2a + b ) ( b - 2a )] 2 ；
( 3 ) ( a + b - 2c ) ( a - b + 2c ) ；
( 4 ) x
x
x
-
(
)
-
(
)
+
(
)
1
2
1
4
1
2
2
.
提升
1. 填空：
( 1 ) ( 5a + 2b ) ( ) = 25a 2 - 4b 2 ；
( 2 ) ( 2x + y ) ( ) = y 2 - 4x 2 ；
( 3 ) ( ) ( a - 1 ) = 1 - a 2.
2. 先化简，再求值：( 5y + 1 ) ( 5y - 1 ) - 5( y + 25y 2 )，其中y = 2
5 .
3. 解方程：( x + 1 ) ( x - 1 ) - ( x + 2 ) ( x - 3 ) = 9.
4. 解不等式：( 3x + 4 ) ( 3x - 4 ) < 9( x - 2 ) ( x + 3 ) .
5. 你能再想出一种用几何图形演示的方法来说明平方差公式吗？
6. 化简求值：
( 1 ) ( x + y ) 2 - ( x - y ) 2，其中x = 2
3 ，y = 3
2 ；
( 2 ) 5( a + b ) ( a - b ) - [2( a + b )] 2 - ( a - b ) 2，其中a = 1
3 ，b = 1
2 .
7. 解方程：( 4x + 5 ) 2 - ( 4x + 5 ) ( 4x - 5 ) = 0.
8. 解不等式：2y( 1 + 3y ) ≤3( y - 2 ) 2 + 3( y + 2 ) 2.
9. 现有一张正方形纸片，如果边长缩短3 厘米，那么所得的
正方形的面积就比原正方形的面积减少27 厘米 2，求原正
方形的边长.
10. 如图，一块直径为a + b 的圆形钢板，从中挖去直径分别
为a 与b 的两个圆，求剩下钢板的面积. (
φ
表示圆的直
径 )
( 第10 题 )
φ
a
φ
b
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
93
11. 比较下面各算式结果的大小：( 在横线上选填“ > ”、“<”或“ = ” )
4 2 + 3 2 2 × 4 × 3 ；( - 2 ) 2 + 1 2 2 × ( - 2 ) × 1 ；
2 2 + 7 2 2 × 2 × 7 ；11 2 + 12 2 2 × 11 × 12.
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论，并加以证明.
拓展
1. 计算：3
1
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
2
2
4
4
8
8
16
16
+
(
(
(
(
)
)
)
+
+
+
(
+
)
) .
2. 观察下列等式：
9 - 1 = 8，16 - 4 = 12，25 - 9 = 16，36 - 16 = 20，….
这些等式反映出正整数间的某种规律. 设n 表示正整数，试写出第n 个等式的表达式，
并加以证明.
6.5
整式的除法
1. 同底数幂的除法
实践
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
3
÷
=
×
×
×
×
×
×
= ；
10 6 ÷ 10 2 =
；
2 3 ÷ 2 3 = ；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
5
÷
=
×
×
×
×
×
×
= ；
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
2
6
÷
=
×
×
×
×
×
×
=
.
三 整式的除法
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
94
数学 七年级 下册
思考
根据上面的计算，你能归纳出a m ÷ a n ( a ≠ 0，m，n 都是
正整数 ) 的运算公式吗？
可以发现：
当m > n 时，所得的商是a m - n ；
当m = n 时，所得的商是1 ；
当m < n 时，所得的商是
1
an m
-
.
能否把三种情况的计算方法统一呢？
我们发现，在上面的计算中出现了1，1
22 ，1
104 这样的结果. 当规
定2 0 = 1，2
1
2
2
2
-
=
，10
1
10
4
4
-
=
时，就可以把三种情况的计算方法统
一运用公式a m ÷ a n = a m - n 来计算了.
一般地，我们规定：
( 1 ) 一个不等于零的数的零次幂等于1，即
a 0 = 1( a ≠ 0 ) ；
( 2 ) 任何一个不等于零的数a 的 - p ( p 是正整数 ) 次幂，等于a 的p
次幂的倒数，即
a
a
a
p
p
-
=
≠
1
0
(
) .
这样，我们就得到了同底数幂的除法运算性质：同底数的幂相除，
底数不变，指数相减.
同底数幂除法的运算性质
a m ÷ a n = a m - n ( a ≠ 0，m，n 都是正整数) .
例1 计算：
( 1 ) x 7 ÷ x 3 ；
( 2 ) m 2 ÷ m 5 ；
( 3 ) ( ax ) 4 ÷ ax ；
( 4 ) -(
) ÷ -(
)
1
2
1
2
3
6
my
my
.
这里用到了分类
讨论思想！
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
䪐⃑䩄 㓘式䗨弴䫻
95
解：( 1 ) x 7 ÷ x 3 = x 7 - 3 = x 4 ；
( 2 ) m
m
m
m
m
2
5
2
5
3
31
÷
=
=
=
-
-
；
( 3 ) ( ax ) 4 ÷ ax = ( ax ) 4 - 1 = ( ax ) 3 = a 3x 3 ；
= −(
) ÷ −(
)
= −(
)
= −(
)
=
−(
)
=
−
3 6
−
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
8
3
6
3
3
3
3
my
my
my
my
my
m y .
−
( 4 )
关键是把 - 1
2 my
看做一个整体！
练习
1. 计算：
( 1 ) x 4 ÷ x 2 ；
( 2 ) x 3 ÷ x 3 ；
( 3 ) ( - 3 ) 5 ÷ ( - 3 ) 2 ；
( 4 ) ( - 2x ) 3 ÷ ( - 2x ) 2 ；
( 5 ) ( - m 2n ) 5 ÷ ( - m 2n ) 2 ；
( 6 ) ( - xy 3 ) 4 ÷ ( - xy 3 ) 6.
2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正过来.
( 1 ) x 6 ÷ x 2 = x 3 ；
( 2 ) m 3n ÷ m n = m 3 ；
( 3 ) ( - x ) 4 ÷ ( - x ) 2 = - x 2 ；
( 4 ) ( - a ) 5 ÷ ( - a ) 2 = a 3.
我们已经学过用科学记数法把绝对值大于1 的数记作a × 10 n 的形式，其
中a 是含有一位整数的小数，n 等于原数的整数部分的位数减去1. 比如：
298 000 = 2. 98 × 10 5，
- 3 245 000 = - 3. 245 × 10 6.
对于绝对值小于1 的数，怎样用科学记数法表示呢？
∵
0 1
1
10
10
1
. =
=
- ，0 01
1
100
1
10
10
2
2
.
=
=
=
−，0.001
1
1 000
1
10
10
3
3
=
=
=
−
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
96
数学 七年级 下册
∴
0. 00…01 ＝10
- n ( n 是正整数 ) .
n 个0
当绝对值小于1 的数记为a × 10 - n 的形式时，其中a，n 是怎样
的数？
交流
例3 已知1 纳米 = 1
109 米. 如果某种植物花粉的直径是35 000 纳米，
那么这种花粉的直径等于多少米？请用科学记数法表示.
解：35 000
1
10
3 5
10
10
3 5
10
9
4
9
5
×
=
×
×
=
×
-
-
.
.
( 米 ) .
答：这种花粉的直径等于3. 5 × 10 - 5 米.
练习
用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 2 503 000 ；
( 2 ) 0. 050 56 ；
( 3 ) 0. 000 038 9 ；
( 4 ) - 0. 000 451.
你能发现零的个数
与指数的关系吗？
这样，绝对值小于1 的数也可以用科学记数法来表示.
例2 用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 0. 000 04 ；
( 2 ) - 0. 000 007 18.
解：( 1 ) 0. 000 04 = 4 × 10 - 5 ；
( 2 ) - 0. 000 007 18 = - 7. 18 × 10 - 6.
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
97
一般地，单项式与单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除，所得的商
作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数作为商的因式.
例4 计算：
( 1 ) 36a 3b 4 ÷ 9a 2b ；
( 2 ) - 3x 2y 4m ÷ 12x 2y.
解：( 1 ) 36a 3b 4 ÷ 9a 2b
a
b
= 36
9
−
−
3 2
4 1
= 4ab 3 ；
( 2 ) - 3x 2y 4m ÷ 12x 2y
x
= −
= −
−
−
3
12
1
4
3
m
y m
y
2 2
4 1
思考
怎样做单项式与单项式的除法
运算呢？比如，6x 2yz 3 ÷ 3xz 2 = ？
2. 单项式除以单项式
我们可以利用乘法与除法
的关系来试一试.
你能再举一个例子试一试，并观察、归纳出单项式除以单项式的运
算法则吗？
交流
练习
计算：
( 1 ) 6a 2b ÷ ( - 2ab ) ；
( 2 ) - 10x 3y 3 ÷ 6xy 2 ；
( 3 ) - 21x 3y 4z ÷ ( - 7x 3y 3 ) ；
( 4 ) - 42a 7b 3 ÷ ( - 6a 2b 3 ) .
.
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
98
数学 七年级 下册
可以发现，一般地，多项式除以单项式，就是用这个单项式去除多项式的
每一项，再把所得的商相加.
例5 计算：
( 1 ) ( 12x 3 - 18x 2 + 6x ) ÷ ( - 6x ) ；
( 2 ) ( 42a 3b 4 + 28a 2b 3 - 2ab 2 ) ÷ 7ab 2.
解：( 1 ) ( 12x 3 - 18x 2 + 6x ) ÷ ( - 6x )
= 12x 3 ÷ ( - 6x ) - 18x 2 ÷ ( - 6x ) + 6x ÷ ( - 6x )
= - 2x 2 + 3x - 1 ；
( 2 ) ( 42a 3b 4 + 28a 2b 3 - 2ab 2 ) ÷ 7ab 2
= 42a 3b 4 ÷ 7ab 2 + 28a 2b 3 ÷ 7ab 2 - 2ab 2 ÷ 7ab 2
=
+
-
6
4
2
7
2
2
a b
ab
.
你能归纳出多项式除以单项式的运算法则吗？
交流
练习
计算：
( 1 ) ( 5a 2b - 4ab ) ÷ ab ；
( 2 ) ( 12x 2y - 8xy ) ÷ 8xy ；
( 3 ) ( 4mn 3 - 6m 3n 2 ) ÷ ( - 2mn 2 ) ；
( 4 ) ( 5x 3 + 10x 2 + 5x ) ÷ 5x.
要防止在运算中
产生符号的错误！
怎样做多项式除以单项式的运算呢？我们能不能把
多项式除以单项式转化为单项式除以单项式呢？
思考
3. 多项式除以单项式
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
99
基础
1. 计算：
( 1 ) x 10 ÷ x 7 ；
( 2 ) x 2 ÷ x 6 ；
( 3 ) ( ab ) 6 ÷ ( ab ) 3 ；
( 4 )
a
a
−(
) ÷
−(
)
1
3
1
3
4
.
2. 计算：
( 1 ) ( y 2 ) 8 ÷ y 8 ；
( 2 ) ( x 3 ) 5 ÷ ( x 2 ) 6 ；
( 3 ) - a 9 ÷ ( a 2 ) 3 ；
( 4 ) ( x - y ) 2 ÷ ( x - y ) 6.
3. 用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 0. 000 25 ；
( 2 ) - 0. 000 008 2 ；
( 3 ) - 34 650 000 ；
( 4 ) - 0. 000 564 7.
4. 一个电子的静止质量m e 约为5. 485 8 × 10 - 4 原子质量单位，用小数把它表示出来.
5. 计算：
( 1 ) 63x 3y 8 ÷ ( - 7x 2y 5 ) ；
( 2 ) - 12a 6b 3 ÷ 1
2 a 2b 2 ；
( 3 ) -
÷ -(
)
3
4
5
8
3
2
4
2
x y m
xy
；
( 4 )
-(
) ÷
2
3
1
3
4
2
2
m n
m n .
6. 计算：
( 1 ) ( 8x 4 - 5x 3 ) ÷ ( - 2x 2 ) ；
( 2 ) ( 45a 3b 2 - 12a 2b 3 ) ÷ 3a 2b ；
( 3 ) ( - 28xy 3 + 77xy 2 - 84x ) ÷ ( - 7x ) ；
( 4 )
-
-
+
(
) ÷
5
12
3
4
1
12
2
2
2
xyz
x yz
xy z
xyz .
提升
1. 计算：
( 1 ) ( x 2·x 3 ) 4 ÷ ( x 3·x ) 5 ；
( 2 ) x 2·x 4 - x 3·x 4 ÷ x.
2. 计算：
( 1 )
-(
) - -(
)
+ -(
)
-
1
2
1
2
1
2
2
2
0
；
( 2 ) 0. 5 - 2 × ( - 0. 5 ) 0 + ( - 0. 5 ) 2 × 0. 5 - 1.
习 题 6 - 5
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
100
数学 七年级 下册
3. 计算：
( 1 ) 5r 4c 3 ÷ ( - 5r 2c ) 2 ；
( 2 ) 45( x 2y 3z ) 2 ÷ ( - 3x 4y 5z 2 ) .
4. 计算：
( 1 ) [( 2x + y ) 2 - y ( y + 4x ) - 8x] ÷ 2x ；
( 2 ) [( a + b ) ( a - b ) - ( a - b ) 2 + 2b ( a - b )] ÷ 4b.
5. 雷达发出的微波以3 × 10 5 千米/ 秒的速度射向飞机，飞机再将微波反射回来，经过12. 6
微秒后雷达收到反射微波. 试问飞机与雷达之间的距离是多少千米. ( 1 微秒 = 10 - 6 秒 )
6. 请按下列流程：
n
+ n
÷ n
- n
平方
结果，分别计算当
n = 3，5，7，9 等数时的结果. 你能发现什么规律？请说明理由.
拓展
1. 观察下列各式，你会发现什么规律？
1 × 3 + 1 = 4 = 2 2 ；
2 × 4 + 1 = 9 = 3 2 ；
3 × 5 + 1 = 16 = 4 2 ；
……
请写出第n 行式子（n 是正整数）.
2. 已知a 是一个正数，比较 1
1
1
1
0
a
a
a
( )
( )
-
,
,
的大小.
3. 已知：m，n 为正整数，m + 3 n 能被11 整除. 求证：m + 3 n + 5 也能被11 整除.
杨辉三角
在学习过两数和的完全平方公式( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 以后，
不妨将公式从两个方面进行推广：一是从指数推广，研究( a + b ) 3，
( a + b ) 4，…，找出展开式的项、项数、次数和系数的规律；二是从
项数推广，研究( a + b + c ) 2，( a + b + c + d ) 2，…，找出展开式的项、
项数、次数和系数的规律.
阅读理解
数
学
文
化
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
101
下面讨论第一方面的问题.
我们知道：
( a + b ) 1 = a + b ；
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ；
( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 ；
( a + b ) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 ；
……
借助图6 - 10 所示的系数表，请你观察分析并概括展开式中项
的组成、项数、次数和系数的规律.
图6 - 10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
6
……
有了这样一个系数表，我们就能很容易地写出( a + b ) 5，( a + b ) 6
等展开式各项的系数，再研究项数与次数的规律，就不难写出各项了.
请同学们研究讨论展开式的项、项数与次数的规律，写出
( a + b ) 5，( a + b ) 6 的展开式，并用多项式的乘法加以验证.
上面所列出的二项展开式的系数表，在我国宋朝数学家杨辉
1261 年所著的《详解九章算法》中就已经出现，人们称它为“杨辉
三角”. 西方人认为这个表是法国数学家帕斯卡1654 年发现的，称
它为“帕斯卡三角形”，它比杨辉的发现晚了近400 年. 实际上，在
我国北宋数学家贾宪所著的《开方作法本源》中，已经出现了这个
系数表，所以此表也称为“贾宪三角”，它比帕斯卡的发现早了近
600 年，这体现了中华民族古代灿烂的文化.
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
102
数学 七年级 下册
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
本章学习的主要内容是：整式的加减法运算和整式的乘除法
运算，后者又包括幂的运算和乘法公式等.
1. 整式的加减法.
运用去括号法则，通过合并同类项进行整式的加减法运算.
2. 幂的运算.
( 1 ) 同底数的幂相乘.
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加. 用式子表示为：
a
m · a
n = a
m + n ( m，n 都是正整数 ) .
( 2 ) 幂的乘方.
幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：
( a
m ) n = a
mn ( m，n 都是正整数 ) .
( 3 ) 积的乘方.
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相
乘. 用式子表示为：
( ab )
n = a
nb
n ( n 是正整数 ) .
( 4 ) 同底数的幂相除.
同底数的幂相除，底数不变，指数相减. 用式子表示为：
a
m ÷ a
n = a
m - n ( a ≠ 0，m，n 都是正整数 ) .
( 5 ) 规定a 0 = 1( a ≠ 0 ) ；a - p = 1
a p ( a ≠ 0，p 是正整数 ) .
3. 整式的乘法.
( 1 ) 单项式与单项式相乘.
单项式与单项式相乘，先把它们的系数相乘，再把相同字母
的幂相乘所得的积，分别作为积的因式，并把只在一个单项式里
出现的字母的幂也作为积的因式.
( 2 ) 单项式与多项式相乘.
单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘多项式的每一项，
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
103
知识
要点
学习
指导
再把所得的积相加.
( 3 ) 多项式与多项式相乘.
多项式与多项式相乘，就是用其中一个多项式的每一项去乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
4. 乘法公式.
( 1 ) 两数和( 差 ) 的完全平方公式.
两个数的和( 差 ) 的平方，等于它们的平方和，加上( 减去 )
它们的积的2 倍. 用式子表示为：
( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2.
( 2 ) 平方差公式.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 用
式子表示为：
( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2.
5. 整式的除法.
( 1 ) 单项式除以单项式.
单项式除以单项式，把系数和同底数的幂分别相除，所得的
商作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指
数作为商的因式.
( 2 ) 多项式除以单项式.
多项式除以单项式，用这个单项式去除多项式的每一项，再
把所得的商相加.
1. 学习整式的运算性质与法则，应注意运用类比的思想方法，
通过与整数的运算性质和法则相比较，理解整式的运算性质和法则.
2. 在研究整式的运算性质和法则的过程中，多次运用了由具
体到抽象，由特殊到一般的思维方法，体现了“特殊—一般—特殊”
的认识规律. 我们需要深刻地领会和体验这些方法与规律.
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
104
数学 七年级 下册
学习
指导
3. 在本章对问题的探究过程中，经常运用“转化”的思想方
法. 比如多项式与多项式相乘，首先要转化为多项式乘单项式，再
转化为单项式乘单项式，最后转化为有理数的运算和幂的运算. 转
化思想是解决数学问题的一种常用方法，需要认真掌握.
基础
1. 下面运算中，结果正确的是( ) .
A. a 2 · a 4 = a 8
B. x + x = 2x
C. ( 2xy ) 3 = 6x 3y 3
D. ( - a 3 ) 4 = a 7
2. 下面运算中，结果正确的是( ) .
A. 2a 2 + 3a 2 = 5a 4
B. ( 2a 2 ) 3 = 8a 5
C. 2a 3( - a 2 ) = - 2a 5
D. 6a 2m ÷ 2a m = 3a 2
3. 下面运算中，结果正确的是( ) .
A. ( 2a - 3b ) 2 = 4a 2 - 9b 2
B. ( a + b ) 2 = a 2 + b 2
C. 1
2
1
4
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
(
) =
+
+
D. 0 3
0 2
9
100
3
25
1
25
2
2
2
.
.
a
b
a
ab
b
-
(
) =
+
+
4. 下面运算中，结果错误的是( ) .
A. ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2
B. ( a - b ) 2 = a 2 - b 2
C. a 3 · b · b = a 3b 2
D. ( a 2 ) 3 = a 6
5. 计算：
( 1 ) ( - x ) 3 · x 2 · ( - x ) 4 ；
( 2 ) - ( - a ) 2 · ( - a ) 7 · ( - a ) 4 ；
( 3 ) ( - b ) 4 · ( - b ) 2 - ( - b ) 5 · ( - b ) ；
( 4 ) ( - x ) 7 · ( - x ) 2 - ( - x ) 4 · x 5.
6. 计算：
( 1 ) - ( a 4 ) 2 · ( a 2 ) 3 ；
( 2 ) ( - a 3 ) 2 · ( - a 2 ) 3 ；
( 3 ) ( ab 2 ) 2 · ( - a 3b ) 3 · ( - 5ab ) ；
( 4 ) ( ab ) 3 · 2a 2 · ( 2a 2b 3 ) 2.
复 习 题
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第六章 整式的运算
105
7. 计算：
( 1 ) ( 2x 4 ) · ( 3x 3 ) ；
( 2 ) ( - 5ab 2 ) · ( - 2bd 2 ) ；
( 3 ) -(
) ⋅-(
)
1
4
2
2
3
ab
a bc
；
( 4 ) -
⋅
⋅-(
)
3
2
1
3
8
3
2
4
ab c
a bc
abc
.
8. 计算：
( 1 ) 3( a - 2b + c ) - 4( 2a + b - c ) + 5( 3a + b - 2c) ；
( 2 ) 4 1
2
1
3
2 2
1
1
6 3
2
a
a
a
+
(
) -
-
+
+
(
)
(
) ；
( 3 ) - 3
2 x ( 2 - 3x + 4x 2 - 6x 4 ) ；
( 4 ) 6
2
1
3
1
2
2
4
3
2
xy
xy
xy
-
(
) + -(
) .
9. 计算：
( 1 ) ( 3x + 4y ) ( 2x - y ) ；
( 2 ) ( 2x - 7y ) ( 2x + 4y ) ；
( 3 ) ( 2x + y ) ( 4x 2 - 2xy + y 2 ) ；
( 4 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) .
10. 计算：
( 1 ) 3
1
2
2
x -
(
) ；
( 2 ) -
+
(
)
0 3
1
2
2
. x
y
；
( 3 ) ( 2y + 3x ) ( - 3x - 2y ) ；
( 4 ) ( 3a - b + c ) ( 3a + b - c ) .
11. 计算：
( 1 ) a
a
-
(
)
+
(
)
1
6
1
6
；
( 2 ) ( - xy + 0. 5 ) ( - xy - 0. 5 ) ；
( 3 ) ( x n + 1 ) ( x n - 1 ) ；
( 4 ) ( 2x + 3y ) ( 2x - 3y ) ( 4x 2 + 9y 2 ) .
12. 计算：
( 1 ) ( xy ) 5 ÷ ( - xy ) ；
( 2 ) ( x 3 ) 2 · ( x 4 ) 3 ÷ ( x 2 ) 4 ；
( 3 ) ( x 4 ) 3 ÷ ( x 3 )2 · ( x 2 ) 4 ；
( 4 ) ( a x - 1 ) 2 · a x + 1 ÷ a 2x - 1.
13. 计算：
( 1 ) ( - 3ab 2 ) 3 ÷ ( - 3ab 2 ) ；
( 2 ) 48x 3y 6 ÷ 8x 3y ；
( 3 ) ( 8a 2b - 4ab 2 ) ÷ ( - 4ab ) ；
( 4 ) ( 25m 4n 3 + 15m 3n 2 - 10m 2n ) ÷ 5m 2n.
提升
1. 解方程：
( 1 ) ( 2x + 1 ) ( x + 5 ) = ( x - 2 ) ( 2x + 5 ) ；
( 2 ) 2( 2y + 1 ) 2 - 8( y + 1 ) ( y - 1 ) = 0.
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
106
数学 七年级 下册
2. 解不等式：
( 1 ) 2( x - 2 ) ( x + 3 ) > ( 2x - 1 ) ( x + 5 ) ；
( 2 ) ( 3x + 4 ) ( 3x - 4 ) < 9( x - 2 ) ( x + 3 ) .
3. 如图，大圆的直径为a，大圆和小圆的直径之差为d.
( 1 ) 求小圆的直径与绿色部分的面积S ；
( 2 ) 当a = 5. 12 cm，d = 2. 24 cm，π 取3. 14 时，求绿色部分的面
积S ( 用计算器计算，结果精确到1 cm 2 ) .
拓展
1. 如图，各正方形的图案中，每条边上有n ( n ≥2 ) 个圆点，每个图中圆点的总数是S.
按此规律推测出S 与n 的关系式为 .
( 第3 题 )
2. 当x，y 为何值时，多项式x 2 + y 2 - 4x + 6y + 28 有最小值？求出这个最小值.
3. 有一个同学发现了一个有趣的数学规律：
3 2 = 2 + 2 2 + 3，4 2 = 3 + 3 2 + 4，5 2 = 4 + 4 2 + 5，….
即一个正整数的平方等于它前面一个相邻数加上这个相邻数的平方，再加上这个数本
身的和. 他试了许多数都对，但无法对所有的数都进行试验. 请你用学过的数学知识
和方法帮助他解决这个问题，并说明这是怎样的一个规律.
4. 观察、归纳：
( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 ；
( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = x 3 - 1 ；
( x - 1 ) ( x 3 + x 2 + x + 1 ) = x 4 - 1 ；
……
写出一般的表达式，并计算1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 63.
n = 2，S = 4
n = 4，S = 12
n = 3，S = 8
( 第1 题 )
哥德巴赫猜想
命题1
每一个大于4 的偶数都可以
表示为两个奇素数之和.
命题2
每一个大于7 的奇数都可以
表示为三个奇素数之和.
你知道哥德巴赫猜想吗？这颗被人们誉为数学
王冠上的“宝石”吸引了众多的数学爱好者. 我国
著名数学家陈景润为证明哥德巴赫猜想做出了突出
的贡献. 到目前为止，陈景润的结果仍是最佳结果. 虽
然现在的研究离攻克它看似只有一步之遥，但这一
步却又是那么遥远……
猜想终究还是猜想，它在未经过理论上的论证
之前，还不能和真理画上等号.
第七章
观察、猜想与证明
108
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
一 对有理数的认识
2.1
负数的引入
7.1
观察
历史上的很多发明创造源于观察. 例如鲁班观察丝茅草，发明了锯条；
瓦特观察水烧开后水壶盖被水蒸气顶开，发明了蒸汽机……
交流
1. 在一个晴朗的夜晚，如果你在野外迷失了方向，你有办法确定
朝北的方向吗？结合图7 - 1 加以说明.
图7 - 1
一 观察与实验
瓦特塑像
蒸汽机
认识来源于实践，观察与实验是我们认识事物的重要方法. 学习数学同
样如此，通过观察与实验，我们可以发现许多规律.
第七章 观察、猜想与证明
109
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
2. 在图7 - 2 中，有一条直线a，一条射线b 和一条线段c. 请观察
它们的位置，并动脑筋思考一下，a，b，c 之间有没有交点. 动手画一画，
和你观察得出的结论进行比较.
图7 - 4
4
1
5
4
3
1
2
6
2
图7 - 5
通过以上的问题，你认为只凭观察做出的判断可靠吗？
我们知道，观察是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，
还需要经过验证. 正如恩格斯所说：“单凭观察所得的经验，是决不能充分证
明必然性的. ”
图7 - 3
A
B
C
D
图7 - 2
a
c
b
3. 在图7 - 3 中，AB，CD 是两条线段. 请
观察AB，CD 的长短一样吗？量一量，然后和
你观察得出的结论进行比较.
4. 如图7 - 4，请观察，图中的4 条红色线
条是直的吗？动手画一画，并和你观察的结论
进行比较.
5. 在一个正方体模型的六个面上，分别标
上数字1，2，3，4，5，6. 图7 - 5 是从三个不同方向看到的几个数字. 观
察图形中的数字特点，那么，“1”相对面上的数字是 ；“2”
相对面上的数字是 ；“3”相对面上的数字是 .
110
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想
或理论而进行的操作或活动.
练习
1. 观察图中的∠AOB 和∠CO′D，你
认为哪一个角大？用量角器量一量，
并和你观察得出的结论进行比较.
2. 观察图中有多少个三角形.
3. 观察下列交通标志，看看它们是否
具有对称性.
4. 观察树的年轮，你可以得到什么结论？
7.2
实验
探索
1. 有12 个乒乓球，它们的形状、大小和颜色都相同，其中有11 个
球的质量相等，有1 个球略重一点. 你能用最少的次数找出这个质量略重
的乒乓球吗？可以用天平验证.
( 第4 题 )
( 第3 题 )
A
B
D
C
O
( 第1 题 )
( 第2 题 )
O′
第七章 观察、猜想与证明
111
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
2. 用图7 - 6 所示的两块形状、
大小相同的三角尺，你能拼出多少
个形状不同的三角形？能拼出多少
个形状不同的四边形？
图7 - 6
练习
1. 图中的两条紫色的线条是平行的吗？
2. 画一条直线、一条射线和一条线段，使它们一共有
三个交点.
( 第1 题 )
基础
1. 如图，AB 是一条线段，P1 A = P1 B，P2 A = P2 B，P3 A = P3 B，判断P1，P2，P3 三点的位
置有什么特点. 用直尺量量看.
2. 如图，OM 为∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上的一点，PA ⊥OA 于点A，
PB ⊥OB 于点B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线
OM 上再取几个不同位置的点P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？
习 题 7 - 1
O
P
M
B
A
( 第2 题 )
( 第1 题 )
P1
P2
P3
A
B
112
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
3. 观察下列网格中的图形，判断它们周长的大小.
( 第3 题 )
4. 观察给出的两个图形，你能分别用一笔画出来吗？试试看. ( 每部分既不能重复，也不
能遗漏 )
5. 用剪刀把长方形纸片剪成两部分，使剪得的两部分恰能拼接成一个三角形，并画出拼
接后的示意图.
提升
1. 图中可以观察到的正方体共有多少个？说说你是怎样观察的.
( 第4 题 )
( 1 )
( 2 )
( 第5 题 )
( 第1 题 )
( 第2 题 )
2. 观察这个立体图，你能发现图中有什么错误吗？
3. 手拿一枚硬币，向上抛出若干次( 比如50 次 )，统计一下硬币落地后正面朝上的次
数. 计算它占抛出总次数的百分比是多少.
第七章 观察、猜想与证明
113
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
交流
归纳、类比是寻求规律与结论的两个重要的方法.
拓展
小明和小白分别用七巧板拼出一个人的形状，但是小明发现他拼出的人形少了一只脚，
脚跑到哪里去了？拼拼看.
7.3
归纳
1. 已知：如图7 - 7 ( 1 )，在线段AB 上取1 个点
C，图中共有 条线段；如图7 - 7 ( 2 )，在线
段AB 上取2 个点C，D，图中共有 条线段；
如图7 - 7 ( 3 )，在线段AB 上取3 个点C，D，E，
图中共有 条线段( 均包括线段AB 在内 ) . 如
果在线段AB 上取9 个点，那么共有多少条线段？你
能算得出来吗？如果在AB 上取99 个点呢？
A
A
B
B
C
C
D
A
B
C
D
E
( 2)
( 3)
( 1 )
图7 - 7
二 归纳与类比
114
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
2. 我们曾学过三角形的3 个内角的和等于180°. 观察图7 - 8，我们
看到四边形可以被分成2 个三角形，那么四边形4 个内角的和等于多
少度？五边形可以被分成3 个三角形，那么五边形5 个内角的和等于
多少度？
图7 - 8
你能归纳出六边形6 个内角的和等于多少度吗？n 边形呢？
下面我们把同学们得出的结论归纳、整理如下：
1. 设在线段AB 上取1 个点时，得到线段的总数为S 1 ；取2 个点时，得
到线段的总数为S 2 ；取3 个点时，得到线段的总数为S 3……那么S 1 = 3，S 2 = 6，
S 3 = 10，….
我们把3，6，10 分解成几个正整数的和，得
S 1 = 3 = 1 + 2，
S 2 = 6 = 1 + 2 + 3，
S 3 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4.
我们发现得到的线段总数可以分解成若干个正整数的和，其中：
( 1 ) 第一个加数是1 ；
( 2 ) 各个加数都是连续的整数；
( 3 ) 最后一个加数比所取点的个数多1.
于是
S 9 = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10 = 55，
S 99 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5 050.
2. 三角形的内角和等于180°，即180° = ( 3 - 2 ) × 180° ；
四边形的内角和等于360°，即360° = ( 4 - 2 ) × 180° ；
五边形的内角和等于540°，即540° = ( 5 - 2 ) × 180°.
我们发现它们的内角和分别等于边数与2 的差再乘180°，因此，六边形
的内角和 = ( 6 - 2 ) × 180° = 720°，n 边形的内角和 = ( n - 2 ) × 180°.
以上规律是从几个特殊的情况中归纳出来的，我们可以根据这个规律去解
第七章 观察、猜想与证明
115
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
探索
一张薄圆饼，如果不许把饼折叠，只能用刀去切这张圆饼，请同学们
共同探讨以下几个问题：
1. 切一刀，最多可以切成 块；
2. 切两刀，最多可以切成 块；
3. 切三刀，最多可以切成 块.
把得出的结果分解成若干个正整数的和，你能归纳出什么规律？
照此规律回答：如果切十刀，那么最多可以切成多少块？
决类似的问题. 这种根据一些( 但不是全部 ) 特殊情况归纳出一般性的结论的
方法，叫做不完全归纳法.
练习
1. 一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律画出的第10 个图案
是 ；在前16 个图案中有 个“
”，第2012 个图案
是 .
2. 李祥用棋子摆出了四个不同的图案( 如图 ). 请你仔细观察其中的规律，然后画
出按此规律排列的第五个图
案，看一看第五个图案中一共
有多少个棋子. 你能归纳出一
个一般性的结论吗？
3. 探究2
n 的结果的个位数字的
规律，并说出2
1 000 的个位数
字( n 是正整数 ) .
……
( 第1 题 )
( 第2 题 )
116
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
交流
关于不完全归纳法的可靠性问题，有人请教大数学家欧拉，他举出了下面
的例子：
对于代数式a 2 + a + 41，把其中的a 分别用一些自然数代入：
当a = 0 时，a 2 + a + 41 = 41 ；
当a = 1 时，a 2 + a + 41 = 43 ；
当a = 2 时，a 2 + a + 41 = 47 ；
当a = 3 时，a 2 + a + 41 = 53.
人们发现41，43，47，53 都是质数.
继续往下算，一直计算到：
当a = 38 时，a 2 + a + 41 = 1 523 ；
当a = 39 时，a 2 + a + 41 = 1 601.
由以上40次实验得到的值都是质数，这时有人就断定无论a取什么自然数，
代数式a 2 + a + 41 的值都是质数.
恰恰当a = 40 时，a 2 + a + 41
= 40 2 + 40 + 41
= 40( 40 + 1 ) + 41
= 41 × 41
= 41 2.
当a = 40 时，a 2 + a + 41 的值不是一个质数，而是一个合数. 因此，上面
用不完全归纳法得出的结论是错误的.
运用不完全归纳法可以由一些特殊性的前提，得出一般性的结论，帮助我
们认识和发现事物的规律，在数学的学习过程中起着重要的作用. 但同时我们
也要注意它的局限性，因为借助不完全归纳法得到的结论有时可能是不正确的.
利用不完全归纳法得到的结论都是正确的吗？
下面的问题也许会给我们一些启示：
刘丽同学在第一次、第二次、第三次、第四次能力检测中都得了第
一名. 同学们说：“下一次能力检测的第一名非她莫属. ”你认为这种判
断可靠吗？
第七章 观察、猜想与证明
117
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
7.4
类比
在7. 3 节我们研究了这样一个问题：在一条线段上取若干个点，然后数线
段的条数. 我们运用不完全归纳法发现了其中的规律.
现在我们要研究另外一个问题：在一个角的内部，
从顶点引出若干条射线，求图中共有多少个小于平角
的角.
通过比较我们发现，这两个问题有类似之处，于
是我们仿照数线段的方法去处理数角的问题，就能较
快地找到思路.
对照图7 - 9，请你计算图中小于平角的角的个数：
S 1 = ；
S 2 = ；
S 3 = ；
……
那么 S 9 = ；
S 99 = .
处理这类问题时运用了类比的方法.
通过对两个或两类研究对象进行比较，找出它们之间某些属性的相同点或
相似点，以此为依据，推测它们的其他属性也可能有相同或相似的结论，这
种推理方法称为类比. 科学上不少重要的假设，都是通过类比提出来的；数
学上不少重要的发现，也是由类比提供的线索. 牛顿曾把地球上物体的运动，
特别是自由落体运动与天体运动进行类比，提出了万有引力定律. 德国著名
的物理学家开普勒曾说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的
老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的. ”
A
B
C
D
E
O
图7 - 9
交流
小明在学习解不等式时，类比解方程的方法解不等式-
+
-
>
2
4
3
0
x
，
118
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
练习
1. 如图，在一个三角形的一条边上取四个点，把这些点与这条边所对的顶点连接
起来. 问图中共有多少个三角形. 请你通过与数线段或数角的问题进行类比来
思考.
2. 柳青同学通过学习已经知道：在如图所示的正方形ABCD 中，如果各边都被
三等分，那么图中正方形的总数为3 × 3 + 2 × 2 + 1 × 1 = 14. 于是，他把这种计
算方法类比到图中长方形EFGH 中，已知该长方形各边上最短的线段分别相等，
于是得出图中正方形的总数为3 × 4 + 2 × 3 + 1 × 2 = 20. 你认为他得出的结论
正确吗？
( 第1 题 )
A
B
C
D
E
F
G
H
( 第2 题 )
基础
1. 能被3 整除的数有什么特点呢？先观察下面一组数：
21——由于2 + 1 = 3，3 能被3 整除，所以21 也能被3 整除；
504——由于5 + 0 + 4 = 9，9 能被3 整除，所以504 也能被3 整除；
习 题 7 - 2
他的做法对吗？给你带来了什么启示？
解方程：-
+
-
=
2
4
3
0
x
.
去分母得 - 2x + 4 = 0.
移项得 - 2x = - 4.
系数化1 得 x = 2.
解不等式：-
+
-
>
2
4
3
0
x
.
去分母得 - 2x + 4 > 0.
移项得 - 2x > - 4.
系数化1 得 x > 2.
第七章 观察、猜想与证明
119
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
3 762——由于3 + 7 + 6 + 2 = 18，18 能被3 整除，所以3 762 也能被3 整除.
请你按照上述方法判断21 534 768 能否被3 整除.
2. 从下面的关系中归纳出规律，然后进行计算：
1 × 3 = 3，而3 = 2 2 - 1 ；
3 × 5 = 15，而15 = 4 2 - 1 ；
5 × 7 = 35，而35 = 6 2 - 1 ；
……
将你归纳出的规律用只含一个字母的式子表示出来，第n 行式子是： （n
是正整数），并按此规律计算：19 × 21 = .
提升
1. 观察下面三个等式：
7 2 = 49 ；
67 2 = 4 489 ；
667 2 = 444 889.
依据你归纳出来的规律回答：6 667 2 = .
用计算器验算结果的正确性.
2. 刘虹用类比的方法，将解方程的方法运用到解不等式中. 你认为她解不等式的方法正
确吗？为什么？
拓展
如图，一段楼梯共有五个台阶. 现在规定：上楼时，每次只能
迈一个台阶或两个台阶. 问从楼梯底部到楼梯顶部一共有多少
种不同的迈法？试用不完全归纳的方法进行探求.
解关于x 的不等式：ax < b ( a ≠ 0 ) .
解：ax < b.
∵ a ≠ 0，
∴ x
b
a
<
.
解关于x 的方程：ax = b ( a ≠ 0 ) .
解：ax = b.
∵ a ≠ 0，
∴ x
b
a
=
.
120
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
交流
用两根长度都是12 厘米的细铁丝，分别围成一个正方形和一个圆
( 图7 - 10 ) . 猜想：这两个图形的面积哪一个大？并进行验证.
你能分别计算出
它们的面积吗？
图7 - 10
科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现. ”
我们借助于以往的经验或直觉思维，对某一命题做出猜测，这便是猜
想. 其中最有代表性的猜想便是章前页提到的哥德巴赫猜想.
1742 年，德国数学家哥德巴赫在给大数学家欧拉的一封信中，提出了把
一个整数表示成奇素数之和的猜测，这就是著名的“哥德巴赫猜想”.
每一个大于4 的偶数都可以表示为两个奇素数之和，如6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，
14 = 3 + 11 = 7 + 7，….
每一个大于7 的奇数都可以表示为三个奇素数之和，如9 = 3 + 3 + 3，
11 = 3 + 3 + 5，….
尽管这只是一种猜想，但屡经检验都没有被推翻. 有人甚至对3.3 × 10
7
以下的每一个大于4 的偶数一一进行检验，都表明它是正确的，随着计算机技
术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立. 但是自然数是
无限的，检验还不能代替证明. 200 多年来，众多的数学家为解决这一猜想付
出了艰辛的劳动，但迄今为止，这一猜想尚未得到彻底的解决.
通过观察、实验、归纳、类比可以得出猜想，这是认识事物的有效途径
之一.
7.5
猜想
三 猜想与证明
第七章 观察、猜想与证明
121
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
用观察、实验、归纳、类比、猜想等方法，可以发现很多规律，但是，有
时也可能出现一些偏差.
请你先仔细观看图7 - 11 中的三个图，然后和同学一起讨论下面的问题.
练习
1. 天安门广场的面积约为4. 4 × 10 5 平方米. 估计一下，它的百万分之一大约相
当于( ) .
A．教室地面的面积
B．黑板的面积
C．课桌面的面积
D．铅笔盒盖的面积
2. 观察下列等式，然后做出猜想，它的第n 个等式怎样表示 ( n 是自然数 ) .
9 × 0 + 1 = 1 ；
9 × 1 + 2 = 11 ；
9 × 2 + 3 = 21 ；
9 × 3 + 4 = 31 ；
9 × 4 + 5 = 41 ；
……
7.6
证明
图7 - 11
a
a
b
b
( 1 )
( 2 )
( 3 )
思考
观察下面的点阵图和相应的等式，做出猜想：
第n 个点阵图相对应的等式是 .
n = 5，
……
n = 4，
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ；
n = 3，
1 + 3 + 5 = 3 2 ；
n = 2，
1 + 3 = 2 2 ；
n = 1，
1 = 1 2 ；
；
122
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
交流
通过观察、实验、归纳、类比、猜想得出的结论还需要通过证明来确认它
的正确性.
1. 生活中的说理
同学们还记得“曹冲称象”的故事吗？
叙述一下这个故事，并回答下面的问题：为
什么石头的质量可以表示大象的质量？这里
用到了一个大家公认的事实——等量代换.
探索
请同学们用扑克牌做一个推理的游戏：桌面上有三张扑克牌，排成
一排，已知：
“至少”的含义是什么？
练习
1. 甲、乙、丙、丁四个人共有三个姓. 甲说：
“我和你们三人都不同姓. ”乙说：
“我
( 1 ) K右边的两张牌中至少有一张是A；
( 2 ) A 左边的两张牌中也有一张是A；
( 3 ) 黑桃左边的两张牌中至少有一张
是梅花；
( 4 ) 梅花右边的两张牌中也有一张是梅花.
你能判断出这三张扑克牌各是什么吗？
交流
1. 图7 - 11( 1 ) 中，a，b 两条线段哪一条长一些？
2. 图7 - 11( 2 ) 中，a，b 两条线段之间哪一端宽一些？
3. 图7 - 11( 3 ) 中，两个红色的圆哪一个大一些？
第七章 观察、猜想与证明
123
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
和丙、丁也不同姓. ”那么，甲、乙、丙、丁四个人中，哪两个人同姓呢？你
是怎样推断的？
2. 从前有一个国王，他企图谋杀一个大臣. 国王对这个大臣说：“我已经写好了两
个阄，一个写有‘杀’字，另一个写有‘赦’字. 你从里面抓一个，抓到哪
一个，我就按上面的方法处置你. ”这位聪明的大臣已事先得知两个阄上写的
都是“杀”字，无论他抓到哪一个，都逃脱不了死亡的命运，但这位大臣动用
逻辑的方法想出了一个好主意，从而免去了杀身之祸. 你知道这位大臣想出的
是什么主意吗？他这样做的依据是什么？
例1 请在括号内填写解方程的根据.
3x - 2 = x + 4.
3x - x = 4 + 2 ( ) .
2x = 6 ( ) .
x = 3 ( ) .
解： 3x - 2 = x + 4.
3x - x = 4 + 2 ( 等式的基本性质1 ) .
2x = 6 ( 逆用乘法对加法的分配律 ) .
x = 3 ( 等式的基本性质2 ) .
例2 已知：如图7 - 13，C，D 是线段AB 上的两个点，且AC = BD，
试判断：AD 等于BC 吗？为什么？
交流
2. 数学中的说理
设●、▲、■分别表示三种不同的物体. 现用天平称了两次，结果
如图7 - 12 所示. 请你根据天平显示的情况判断这三种物体中，哪种物
体最重，并说明理由.
图7 - 12
( 1 )
( 2 )
124
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
解：AD = BC.
因为 AC = BD ( 已知 )，
CD = CD ( 已知 )，
所以 AC + CD = BD + CD ( 等式的基本性质1 ) .
即 AD = BC.
你还能用其他方法说明AD 与BC 相等吗？
3. 定义、命题、基本事实、定理
在数学中，进行运算或判断时都离不开推理. 推理时经常要用到定义、
命题、基本事实、定理等作为推理的依据，并用规范、简明的数学语言进行表
达. 下面先学习四个有关的概念.
( 1 ) 定义：对一个名词或术语的意义的说明叫做定义.
比如，含有未知数的等式叫做方程，就是方程的定义；
又如，直线上一点和它一旁的部分叫做射线，就是射线的定义.
( 2 ) 命题：判断某一件事情的语句叫做命题.
例如：“两条直线相交，有且只有一个交点”，“两个奇数的和是偶数”都
是命题.
命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项. 命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面接
的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论.
例如：“两条直线相交，有且只有一个交点”，可以写成“如果两条直线
相交，那么它们有且只有一个交点”. 其中“两条直线相交”是题设，“有且
只有一个交点”是结论.
上面所举出的两个命题都是正确的，也就是说，如果题设成立，那么结论
一定成立，像这样的命题，称之为“真命题”.
还有一些命题，题设成立时，结论不一定成立. 例如：“两个锐角的和是
钝角”，“有理数的绝对值是正数”，它们都是不正确的命题，称之为“假命
题”. 假命题可以通过举反例加以说明. 例如利用“0 的绝对值是0，而不是
正数”，来说明“有理数的绝对值是正数”是一个假命题.
命题的题设和结论可以互换. 例如：“如果x = 1，那么x 2 = 1”，交换题设
和结论后为“如果x 2 = 1，那么x = 1”. 这两个命题称为互逆命题，其中一个
叫做“原命题”，另一个叫做原命题的“逆命题”. 原命题成立，逆命题不一
定成立.
A
B
C
D
图7 - 13
第七章 观察、猜想与证明
125
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
( 3 ) 基本事实.
人们在长期实践中获得的一些真命题，可以直接作为推理依据的事实。如
我们已经知道的“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”，“过一点有且只
有一条直线与已知直线垂直”，它们都是基本事实.
在实际中还常用到一些事实：
① 等量加等量，和相等. 即：
如果a = b，那么a + c = b + c.
② 等量减等量，差相等. 即：
如果a = b，那么a - c = b - c.
③ 等量的同倍量相等. 即：
如果a = b，那么ac = bc.
④ 等量的同分量相等. 即：
如果a = b，且c ≠ 0，那么a
c
b
c
=
.
⑤ 等量代换. 即：
如果a = b，b = c，那么a = c.
( 4 ) 定理：用逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的真命题叫做定理.
例3 已知：如图7 - 14，BE 是∠ABC 的角平分线，∠1 = ∠C.
求证：∠2 = ∠C.
证明：∵ BE 是∠ABC 的平分线 ( 已知 )，
∴ ∠1 = ∠2 ( 角平分线的定义 ) .
∵ ∠1 = ∠C ( 已知 )，
∴ ∠2 = ∠C ( 等量代换 ) .
A
B
C
D
E
1
2
图7 - 14
注意∠1、∠2 与∠C 的关系.
例4 已知：如图7 - 15，∠1 + ∠2 = 90°，
∠1 + ∠3 = 90°. 试判断∠2 和∠3 的关系.
解：∵ ∠1 + ∠2 = 90° ( 已知 )，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 ( 等量减等量，差相等 ) .
∵ ∠1 + ∠3 = 90° ( 已知 )，
∴ ∠3 = 90° - ∠1 ( 等量减等量，差相等 ).
∴ ∠2 = ∠3 ( 等量代换 ) .
即∠2 与∠3 相等.
1
2
3
图7 - 15
126
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
۳ᆩ
1. 假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的
新旧程度不同：在甲城市中，面值10 元、50 元和100 元的三种人民币的新旧程度基
本相同；在乙城市中，面值10 元的人民币比较旧，而面值50 元和100 元的人民币比
较新. 你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？
2. 一张长方形的纸对折后出现一条折痕( 如图 ) ；继续对折出现三条折痕；再继续对折，
出现七条折痕……那么，当对折四次后，一共出现多少条折痕？猜猜看.
习 题 7 - 3
( 第2 题 )
第1 次
第2 次
第3 次
3. 如图所示的大小相同的两个长方形中，各有若干个三角形，设第一个长方形中绿色部
分的面积为m，第二个长方形中绿色部分
的面积为n，试判断m，n 的大小关系.
4. 指出下列命题的题设和结论，并判断它们
是真命题还是假命题，如果是假命题，请
举出一个反例.
( 1 ) 三条边都相等的三角形是等边三角形；
( 2 ) 一个负数与一个正数的和是负数；
( 3 ) 平角的度数是180°.
5. 判断命题| a | = a 的真假.
提Ӥ
1. 已知正数a 比它的倒数小，那么a 的取值范围是 .
2. 试判断三个连续奇数的和是哪一个正整数的倍数，为什么？
3. 甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士，一个是工人. 现在只知道丙比工人年龄大，
甲和护士不同岁，护士比乙年龄小. 请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由.
( 第3 题 )
第七章 观察、猜想与证明
127
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
1. 余角、补角
如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角.
如图7 - 16，在三角尺中，∠A = 30°，∠B = 60°，有∠A + ∠B = 90°，那
么称∠A 与∠B 互为余角.
类似的，如果两个角的和等于180°，那么称这
两个角互为补角.
由第125 页的例4，不难总结出：
同角( 或等角 ) 的余角相等.
类似的，还可以总结出：
同角( 或等角 ) 的补角相等.
4. 我们知道，三角形的内角和为180°，四边形的内角和
为360°，五边形的内角和为540°……它们的内角和随着
边数的增加而增加. 图中的∠1，∠2，∠3 叫做三角形
ABC 的外角. 猜想：当多边形的边数增加时，它们的外
角的和有无变化？
拓展
如图，某人从A 处出发，向东走10 米到达B 处，再向左转72°
走10 米到达C 处……照此方法行走，拐过4 次弯后再走10 米，
他在何处？
A
B
C
1
2
3
( 第4 题 )
72°
72°
A
B
C
A
B
C
图7 - 16
7.7
几种简单几何图形及其推理
四 简单几何图形中的推理
128
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
交流
1. 如图7 - 17，OC ⊥AB 于点O，
∠1 = ∠2，问：图中共有多少对互为余
角的角？
A
B
C
D
E
O
1
2
图7 - 17
注意互为余角的两个角只和这两个
角的度数有关，与这两个角的位置无关.
2. 如图7 - 18，O 是直线AB 上一点，∠1 = ∠2. 问：图中共有多
少对互为补角的角？
C
D
A
B
1
2
O
图7 - 18
2. 对顶角
如果两个角有共同的顶点，并且其中一个角的
两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么称
这两个角互为对顶角.
如图7 - 19，直线AB，CD 相交于点O，我们
称∠1 与∠2 为对顶角，∠3 与∠4 也是对顶角.
A
B
C
D
1
2
3
4 O
图7 - 19
实践
已知：如图7 - 20，直线AB，CD 相交于点O，
∠1 = 65°，你能求出∠2 的度数吗？改变∠1 的度
数再试一试. 你从中发现了什么规律？
A
B
C
D
1
2
O
图7 - 20
注意∠1 = ∠2
这一条件！
已知：如图7 - 20，直线AB，CD 相交于点O .
求证：∠1 = ∠2 .
证明：∵ AOB 是直线，
∴ ∠1 + ∠COB = 180° .
第七章 观察、猜想与证明
129
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
∵ COD 是直线，
∴ ∠2 + ∠COB = 180° .
∴ ∠1 = ∠2 ( 同角的补角相等 ) .
由此得到对顶角的性质：
对顶角相等.
例
如图7 - 21，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥AB 于点O，
∠COE = 55°，求∠BOD 的度数.
解：∵ OE ⊥AB 于点O ( 已知 )，
∴ ∠AOE = 90° ( 垂直定义 ) .
∵ ∠COE = 55° ( 已知 )，
∴ ∠AOC = ∠AOE - ∠COE = 90° - 55° = 35°.
∵ 直线AB，CD 相交于点O ( 已知 )，
∴ ∠BOD = ∠AOC = 35° ( 对顶角相等 ) .
B
D
O
A
C
E
图7 - 21
练习
1. 下面的图中∠1 与∠2 是对顶角吗？
B
B
C
C
O
O
D
D
O′
1
1
2
A
A
2
B
C
O
D
1
2
A
B
B
B
C
C
C
O
O
O
D
D
D
O′
1
1
2
2
A
A
A
2
1
( 第1 题 )
2. 如图，AB，CD 相交于点O，OE 是∠AOD 的
角平分线，又∠COB = 120°，求∠1 的度数.
B
C
O
D
1
E
A
2
( 第2 题 )
130
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
3. 平行线
我们在第三章中曾学过“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”，
平行线应用很广泛. 怎样准确地作平行线呢？可以利用三角尺与直尺，照
图7 - 22 的方法去做.
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB ；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD.
这样，就得到AB ∥CD.
A
B
E
C
F
D
1
2
3
4
5
6
7
8
图7 - 23
你能说出∠1 与
∠2 的位置特点吗？
实践
请你动手作一条直线AB，在直线AB 外作一点C，然后过点C 作
AB 的平行线，你能作出几条？
通过作图，可以发现：
基本事实 过直线外一点有且只有一条直线
与这条直线平行.
按上述方法作平行线的根据是什么呢？请你
猜想它和图7 - 22 中的∠1 = ∠2 是否有关.
两条直线AB，CD 被直线EF 所截，得到八
个角( 图7 - 23 ) . 其中∠1 与∠2，∠3 与∠4，
∠5 与∠6，∠7 与∠8 分别叫做同位角；∠3 与
∠8，∠1 与∠6 分别叫做内错角；∠1 与∠8，
∠3 与∠6 分别叫做同旁内角.
B
B
E
1
2
F
C
D
A
A
C
D
图7 - 22
第七章 观察、猜想与证明
131
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
1. 指出图中的同位角、内错角和同旁内角.
2. 指出图中的内错角.
1
2
3
4
5
( 第1 题 )
1
2 3
4
5
6
( 第2 题 )
下面我们利用计算机演示当“三线八角”满足什么条件时，AB ∥CD.
用计算机画出图7 - 24，直线AB，CD 被直线EF 所截，EF 与AB，CD
的交点分别为点M，N . 分别显示八个角的测量值，然后让直线AB 绕点M
旋转，各个角的测量值就会发生变化. 观察图形的变化，当这八个角的测量
值具有哪些关系时，AB 与CD 平行？
通过以上的计算机演示，我们发现，当∠1 = ∠2 或∠3 = ∠4 或∠5 = ∠6
或∠7 = ∠8 时，直线AB 与CD 平行. 用推三角尺作平行线的方法就是依据这
个道理. 人们在长期实践中总结出判定两条直线平行的方法：
基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同
位角相等，那么这两条直线平行( 简记为：同位角相等，
两直线平行 ) .
如图7 - 25，用符号语言表示：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ AB ∥CD.
1
2
A
B
C
D
E
F
图7 - 25
图7 - 24
1
2
7
8
3
4
5
6
A
B
C
D
E
M
N
F
1
2
7
8
3
4
5
6
A
B
C
D
E
M
N
F
∠1 = 96.10°
∠2 = 124.07°
∠3 = 83.90°
∠4 = 55.93°
∠5 = 96.10°
∠6 = 124.07°
∠7 = 83.90°
∠8 = 55.93°
∠1 = 116.80°
∠2 = 116.80°
∠3 = 63.20°
∠4 = 63.20°
∠5 = 116.80°
∠6 = 116.80°
∠7 = 63.20°
∠8 = 63.20°
132
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
我们看到，∵ ∠2 = ∠3 ( 对顶角相等 )，
且 ∠1 = ∠3 ( 已知 )，
∴ ∠1 = ∠2 ( 等量代换 ) .
这样由上面的基本事实不难推出AB ∥CD.
由此得到：
判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直
线平行( 简记为：内错角相等，两直线平行 ) .
如图7 - 26，用符号语言表示：
∵ ∠1 = ∠3，
∴ AB ∥CD.
类似的，还可以推出：
判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果同
旁内角互补，那么这两条直线平行( 简记为：同旁内
角互补，两直线平行 ) .
如图7 - 27，用符号语言表示：
∵ ∠1 + ∠3 = 180°，
∴ AB ∥CD.
1
2
3
A
B
C
D
E
F
图7 - 27
练习
1. 已知：如图，直线AB，CD 被直线ED 所截，
∠1 = 130°，∠2 = 50°. 求证：AB ∥CD. ( 请用
三种方法证明 )
A
F
B
C
D
1
2
E
( 第1 题 )
思考
如图7 - 26，直线AB，CD 被
直线EF所截，当内错角∠1 = ∠3时，
你能推出AB ∥CD 吗？
1
2
3
A
B
C
D
E
F
图7 - 26
䪐ᵧ䩄 夦⭃ɀ䊀し与嬥㕲
133
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
平行线有什么性质呢？
实践
下面请同学们做一个实验：
每人在练习本上作两条平行线AB，CD，再任意作一条直线EF，使
它和AB，CD 分别相交，然后用量角器分别度量其中任意一组同位角，
看看它们的度数之间有什么关系.
已知：如图7 - 28，直线AB，CD 被EF 所截，AB ∥CD.
求证：∠1 = ∠2.
在此采用一种特殊的方法：假设∠1 ≠ ∠2，过
点O 作直线A′B′，使∠EOB′ = ∠2. 根据“同位角
相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD. 这样，过点
O 就有两条直线AB，A′B′ 平行于CD，这与“过直
线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾，
说明∠1 ≠ ∠2 的假设是不对的，于是有∠1 = ∠2.
我们称这种方法为反证法.
于是得到平行线的性质：
性质定理 两条平行线被第三条直线所截，得到
的同位角相等( 简记为：两直线平行，同位角相等 ) .
如图7 - 29，用符号语言表示：
∵ AB ∥CD，
∴ ∠1 = ∠2.
A
B
E
D
B′
F
C
A′
O
1
2
图7 - 28
2. 已知：如图，∠1 = ∠3，∠2 = ∠3. 求证：AB ∥CD.
A
B
C
E
D
1
2 3
( 第2 题 )
A
B
E
D
C
F
1
2
图7 - 29
134
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
思考
如图7 - 31，直线AB ∥CD，
它们被直线EF 所截，那么同旁内
角∠1 与∠2 之间有什么关系？
不难发现：
性质定理 两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补
( 简记为：两直线平行，同旁内角互补 ) .
如图7 - 31，用符号语言表示：
∵ AB ∥CD，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°.
A
B
E
D
C
F
2
1
图7 - 31
思考
如图7 - 30，直线AB ∥CD，
它们被直线EF 所截. 不经过度量，
你能推出内错角∠2 和∠3 之间有
什么关系吗？
A
B
E
D
C
F
1
2
3
图7 - 30
不难推出，因为AB ∥CD，由“两直线平行，同位角相等”得
∠1 = ∠2，又因为∠1 = ∠3，所以∠2 = ∠3.
由此得到平行线的另一个性质：
性质定理 两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等( 简
记为：两直线平行，内错角相等 ) .
如图7 - 30，用符号语言表示为：
∵ AB ∥CD，
∴ ∠2 = ∠3.
第七章 观察、猜想与证明
135
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
交流
练习
1. 已知：如图，AE ∥BC，∠1 = ∠2. 求证：∠B = ∠C.
2. 已知：如图，AB ∥DE，BC ∥EF. 求证：∠B = ∠E.
( 第1 题 )
如图7 - 32，AB，CD 相交于点O，
如果∠A = ∠B，那么∠C 与∠D 之间有
什么关系？为什么？
A
B
C
O
D
图7 - 32
实践
用推三角尺作平行线的方法作直线AB 的平行线CD，再作直线CD
的平行线EF. 请你观察并判断直线AB 与EF 的位置关系，并尝试说明
理由.
由此得出性质：平行于同一条直线的两条直线平行.
如图7 - 33，用符号语言表示：
∵ AB ∥CD，EF ∥CD，
∴ AB ∥EF.
A
B
C
D
E
F
图7 - 33
B
E
D
C
A
1
2
A
B
E
F
C
G
D
( 第2 题 )
136
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
基础
1. 把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，图中AB 与CD 平行吗？
请说明理由.
习 题 7 - 4
A
B
C
D
( 第1 题 )
A
B
C
D
l
( 第2 题 )
2. 如图，把一块三角尺的一条直角边贴在直线l 上，沿它的另一条直角边作出直线AB，
再按照同样的方法作出直线CD. AB 与CD 平行吗？为什么？由此可总结出：垂直于
同一条直线的两条直线平行.
3. 图中的三个六边形中，每个角都等于120°. 图中有平行线吗？如果有，请指出来，并
说明它们为什么平行.
( 第3 题 )
( 第4 题 )
4. 用两块形状、大小相同的三角尺拼成如图所示的图形. 图中有平行线吗？如果有，请
指出来，并说明理由.
5. 用三块形状、大小相同的三角尺拼成如图所示的图形. 图中有平行线吗？请说明理由.
A
C
D
E
B
( 第5 题 )
A
C
D
E
B
150°
( 第6 题 )
第七章 观察、猜想与证明
137
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
6. 如图，在长方形ABCD 中，欲从点C 作一条线CE 与AB 边交于点E，使∠CEA = 150°.
应该怎样作？
7. 已知：如图，四边形ABCD，点E 是AB 的
延长线上的一点.
( 1 ) 如果∠CBE = ∠A，那么可以判定哪两条
直线平行？根据是什么？
( 2 ) 如果∠CBE = ∠C，那么可以判定哪两条
直线平行？根据是什么？
( 3 ) 如果∠C + ∠CBA = 180°，那么可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
提升
1. 如图，∠A，∠B，∠1，∠2，∠3 都等于60°. 求证：AB ∥CE. ( 用三种方法证明 )
A
B
C
D
E
( 第7 题 )
A
B
C
D
E
1
2
3
( 第1 题 )
A
B
C
D
( 第2 题 )
2. 已知：如图，AB ∥CD，AD ∥BC . 求证：∠A = ∠C，∠B = ∠D.
3. 已知：如图，CBA，CDE 都是射线，点F 是∠ACE 内一点，且∠1 = ∠C，∠1 = ∠2.
试判断FD ∥AC 吗？为什么？
4. 已知：如图，AB ∥CD，直线MN 分别与
AB，CD 交于点E 和点G，EF ∥GH. 求证：
∠1 = ∠2.
5. 已知：如图，∠A + ∠D = 180°. 求证：
∠B + ∠C = 180°.
B
H
A
G
N
E
M
F
C
D
1
2
( 第4 题 )
( 第3 题 )
A
B
C
D
E
F
1
2
A
B
C
D
( 第5 题 )
138
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
综合与实践
拓展
1. 一口井深8 尺①，一只蜗牛从井底往上爬，白天爬3 尺，夜里往下滑2 尺. 如果蜗牛
从某一天清晨往上爬，那么几天可以爬到地面？
2. 如图，直线AB，CD 被直线EF 所截，交点分别为G，N，
GH，NM 是两条射线. 问：图中共有多少对内错角？
A
C
H
M
F
N
G
B
E
D
( 第2 题 )
①1 尺= 1
3 米.
面积怎么丢失了
已知：如图7 - 34 ( 1 )，有一个边长为13 的正方形ABCD，
按图中所示的方法将它分割成两个直角三角形和两个梯形，再
将这个正方形沿分割线剪开，得到四个小图形. 有位同学用如
图7 - 34 ( 2 ) 的形式拼了一个长方形.
当计算它们的面积时，却发现正方形的面积为13 × 13 = 169，
而长方形的面积为8 × 21 = 168 . 想想看，丢失的面积跑到哪里
去了？
图7 - 34
( 1 )
( 2 )
13
13
8
8
8
8
5
5
5
5
13
A
D
B
C
8
8
8
8
5
5
5
5
第七章 观察、猜想与证明
139
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
①1 英尺 ≈ 0. 304 8 米.
从两架飞机相撞谈直觉思维
1965 年12 月4 日，在美国纽约某机场上空，一架由螺旋桨推
进的大型客机“LC1049”和一架波音707 型喷气客机正一高一低相
对飞行. 由于机场上空云量多，在10 000 多英尺
①的高空出现了一
条倾斜的白色云带. 两架飞机的驾驶员都产生了一种错觉，以为对
方就要和自己相撞. 于是两架飞机的驾驶员都急忙采取措施，想避
开对方，高的向下降，低的向上升，结果造成两机相撞. “LC1049”
飞机在迫降时起火，造成四人死亡、 多人受伤的悲剧. 事后经过严密
的调查，发现造成这次事故的元凶竟是“视错觉”.
我们知道，观察是人们认识事物的一种重要方
法. 靠人的眼睛观察事物，在很多情况下都能够得
到正确的结论. 但是，单凭眼睛观察，在某些情
况下可能由于角度、视觉等原因，会造成错觉，出
现偏差，也就是说眼睛有时也会欺骗人.
请看图7 - 35，观察平面M 左边的直线a 和右
边的直线b，c，d 中的哪一条在一条直线上. 也许
你会认为a 和c 在一条直线上. 其实，只要用直尺
比一下，就会发现a 和b 在一条直线上. 这是由于
a 和b 之间有一个平面M 干扰了我们的视觉，使我们产生了错觉. 前
面提到的两机相撞事件，就是因为两机之间有一条倾斜的白色云带，
它的情况和图7 - 35 中的情况类似.
以上的例子说明，有时候只凭眼睛观察做出的判断会出现一些
误差甚至错误，虽然如此，但是观察仍然不失为人们认识事物的一
种重要方法.
a
M
b
c
d
图7 - 35
阅读理解
数
学
文
化
140
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
从鲁班发明锯条谈类比推理
春秋时期，鲁国有一位杰出的工匠叫鲁班. 有一次，他负责承
造一座大宫殿，需要很多木材. 他吩咐徒弟们上山去砍伐大树，但
当时还没有发明锯子，只能用斧头去砍，砍得很慢，木料供应不上. 鲁
班十分着急，他决定亲自上山看看.
山很陡，路很不好走. 鲁班爬山
时，用手拉着丝茅草，一用力，手就
被草划破了，流了血. 当时鲁班感到
很惊奇，一棵小草竟会这么厉害. 由
于他急着上山，也没有仔细想. 回来
的路上，他拔下一棵丝茅草，决定带
回去看个究竟. 到家后，他左看右看，
发现丝茅草的两边有许多小细齿. 这
些细齿虽小，却很锋利，往手上一拉，手就被划破了. 这提醒了鲁
班，他想：如果像丝茅草那样，把铁片打成带齿的形状，用它去锯
树，不是同样锋利吗？于是，他和铁匠一起试制了一条带齿的铁片，
拿去锯树，果然成功了. 有了锯子，木料供应的速度问题得到解决，
盖宫殿的任务如期完成.
鲁班发明锯子的过程，就是运用了类比推理的方法. 鲁班根据
丝茅草有锋利的小细齿可以划破手指的事实，进行类比推理，把铁
片做成带细齿的形状去锯树，这样便发明了锯子.
在数学中，应用类比推理的地方也是很多的，我们以后还会经
常接触到.
阅读理解
数
学
文
化
第七章 观察、猜想与证明
141
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
知识
要点
学习
指导
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
1. 观察、实验、归纳、类比、猜想是人们认识事物的重要方法，
但是按这些方法得出的结论还需要上升到理性认识.
2. 推理是人们研究问题的一种重要方法. 定义、基本事实、
定理都可以作为推理的依据.
3. 平行线的判定方法与平行线的性质是互逆的.
两直线平行
同位角相等
性质
判定
两直线平行
内错角相等
性质
判定
两直线平行
同旁内角互补
性质
判定
另外，判定两条直线平行还有一种方法：
平行于同一条直线的两条直线平行.
1. 认识从实践开始. 要善于观察周围的事物，利用观察、实验、
归纳、类比、猜想等方法去发现事物的规律.
2. 数学是思维的体操. 要学会运用说理、推理的方法去处理
问题，提高思维的严谨性.
3. 推理能力的培养是一个循序渐进的过程，要慢慢体会推理
过程，逐步提高推理能力.
142
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
基础
1. 你能用6 根火柴棍首尾相接拼出4 个三角形吗？试试看.
2. 将数学、物理、化学、英语四门课分配给四位教师，甲可以教物理、化学；乙可以教数学、
英语；丙可以教数学、物理、化学；丁只能教化学. 为了使他们都有工作，并且每人
只教一门课，那么只能派 教师教数学.
3. 有一组数5，8，13，21，34，…，照此规律，这组数的第9 个数是 .
4. 有一个正方体的木块，表面都涂上同样的颜色，将木块按如图所示的方法切成若干个
小正方体，那么：
( 1 ) 只有一面有颜色的小正方体共有 个；
( 2 ) 只有两面有颜色的小正方体共有 个；
( 3 ) 只有三面有颜色的小正方体共有 个；
( 4 ) 各面都没有颜色的小正方体共有 个.
5. 画出如图所示的图案.
( 第4 题 )
6. 已知：如图，AB，CD 相交于点E，∠A = ∠1，∠B = ∠2. 求证：AC ∥BD.
7. 已知：如图，∠1 = ∠4，∠2 = ∠3. 求证：AB ∥CD.
8. 已知：如图，AB ∥DF，BC ∥DE. 求证：∠1 = ∠2.
复 习 题
A
B
E
F
C
D
1
2
( 第8 题 )
A
B
E
F
C
D
1
2
3
4
( 第7 题 )
( 第5 题 )
A
B
C
E
D
1
2
( 第6 题 )
第七章 观察、猜想与证明
143
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
提升
1. 已知：如图，CB ⊥BD 于点B，BD ⊥DE 于点D，∠1 = ∠2 . 求证：AB ∥DF.
2. 已知：如图，AB ∥CD，CD ∥EF . 求证：∠B + ∠BDF + ∠F = 360°.
3. 已知：如图，DE ∥BC，BE ∥FG . 求证：∠1 = ∠2.
A
B
C
F
E
D
1
2
( 第1 题 )
A
B
C
D
F
E
( 第2 题 )
A
B
C
E
G
D
F
1
2
( 第3 题 )
A
B
C
M
E
D
F
( 第4 题 )
A
B
C
D
F
E
( 第5 题 )
A
B
C
D
F
E
G
( 第6 题 )
4. 已知：如图，AB ∥CD，BE ∥FD . 求证：∠B + ∠D = 180°.
5. 已知：如图，DE ∥AB，DF ∥AC . 求证：∠A = ∠FDE.
6. 已知：如图，AB ∥CD，AC ∥DE，CD ∥EF，DE ∥FG . 求证：∠A = ∠F.
144
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
拓展
1. 图( 1 ) 是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图( 2 ) 所示的位置依次翻到第1 格、
第2 格、第3 格、第4 格，这时小正方体朝上一面的字是( ) .
A. 北 B. 京 C. 精 D. 神
( 第1 题 )
ᛡ
Ӓ
1
2
3
4
ᛡ
Ӓ
̛
ድ
ᇸ
( 1 )
( 2 )
2. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：
f ( 1 ) = 1 + 2
1 ， f ( 2 ) = 1 + 2
2 ， f ( 3 ) = 1 + 2
3 ， f ( 4 ) = 1 + 2
4 ，…
( 1 ) 利用以上运算的规律写出f ( n ) = ( n 是正整数 ) ；
( 2 ) 计算 f ( 1 ) · f ( 2 ) · f ( 3 ) · … · f ( 100 ) = .
3. 有一个棋盘，共有64 个小方格. 如果在第1 个方格内放1 粒米，在第2 个方格内放2
粒米，在第3 个方格内放4 粒米，在第4 个方格内放8 粒米……以后每一个方格内放
的数量都等于上一个方格内数量的2 倍，那么，当64 个方格都放满后，请你估计第
64 个方格内有多少粒米.
第八章
因式分解
我们学习过整数的乘法运算，并且会把一个整
数分解为几个质数的积的形式.
类似的，我们学习了整式的乘法运算. 你是否也
能把一个整式分解为几个整式的积的形式呢？
ma + mb + mc m( a + b + c )
因式分解
整式乘法
m
+ m
a
b
c
a
b
c
+ m
m
146
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
思考
你还能举出类似的例子吗？观察一下，等号两边
的整式各有什么特征.
8.1
因式分解
回忆整数的乘法运算，我们已经会求几个整数的积，并且可以把一个整数
分解为几个质数的积的形式. 例如：
6 = 2 × 3 ；
84 = 2 2 × 3 × 7 ；
360 = 2 3 × 3 2 × 5.
其中，每一个质数都是原来整数的一个约数( 或因数 ) .
类似的，我们也做过以下一些变形，把一些整式写成了几个整式的积的
形式：
36x 5y 6 = ( 2xy ) · ( 3x 2y 2 ) · ( 6x 2y 3 ) ；
7. 037 × ( - 14 ) + 7. 037 × ( - 10 ) + 7. 037 × ( + 24 ) = 7. 037 × ( - 14 - 10 + 24 ) ；
6a 2b + 10a 2b + 15a 2b = ( 6 + 10 + 15 )a 2b.
又如：
x 2 - 4 = ( x + 2 ) ( x - 2 ) ；
x 2 + 6x + 9 = ( x + 3 ) 2 ；
……
这些等式都表示了一个整式化为几个整式的积的形式. 其中，每一个分解
后的整式称做原来整式的一个因式.
对其中的多项式所做的变形，我们定义如下：把一个多项式化为几个整式
乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做将多项式分解因式.
可以看出，因式分解和整式乘法是相反方向的变形. 如：
x 2 - 4 ( x + 2 ) ( x - 2 )
因式分解
整式乘法
第八章 因式分解
147
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
练习
下列从左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
( 1 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) = x 2 - 25 ；
( 2 ) x 2 - 9 = ( x + 3 ) ( x - 3 ) ；
( 3 ) x 2 + x + 1 = x( x + 1 ) + 1 ；
( 4 ) m 2n + mn 2 + m = m( mn + n 2 + 1 ) .
1. 填空：
( 1 ) 6x + 14y = ( 3x + 7y ) ；
( 2 ) 3xy + 6xz = 3x ( ) ；
( 3 ) 7m 3 - 49m 2 = ( m - 7 ) ；
( 4 ) 3x + 6xy + 12xz = 3x ( ) .
8.2
提公因式法
思考
多项式ma + mb + mc 的各项分别由哪些因式组成？它们的
相同的因式是什么？怎样将这个多项式因式分解？
把等式m ( a + b + c ) = ma + mb + mc 反过来，得到ma + mb + mc =
m ( a + b + c ).
我们把各项都含有的因式叫多项式各项的公因式. 比如多项式
ma + mb + mc 的公因式是m，可以将它提取出来，得到公因式m 与多项
式a + b + c 的乘积，这种因式分解的方法就叫做提公因式法.
148
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) mx - my ；
( 2 ) abc - acd ；
( 3 ) 9x 3 - 6x 2 - 18x ；
( 4 ) 2mn - 4m 2n + 2m.
思考
1. 怎样确定多项式各项的公因式？
2. 遇到多项式的首项系数是负数该怎么办？
例1 把下列各式分解因式：
( 1 ) 6x 4y 3 - 12x 2y 4z ；
( 2 ) - 3a 2x + 6axy - 3a.
解：( 1 ) 6x 4y 3 - 12x 2y 4z
= 6x 2y 3 · x 2 - 6x 2y 3 · 2yz
= 6x 2y 3 ( x 2 - 2yz ) ；
( 2 ) - 3a 2x + 6axy - 3a
= - ( 3a 2x - 6axy + 3a )
= - 3a ( ax - 2xy + 1 ) .
首项系数的符号
有什么特点？
在多项式的因式分解中应当注意什么？
交流
可以看到，多项式的各项的公因式可以这样组成：
( 1 ) 公因式的系数，是多项式中各项系数的最大公约数；
( 2 ) 公因式中字母的指数，是各项中都含有的字母的指数中次数最低的；
( 3 ) 遇到多项式的首项系数为负时，要把负号提取出来，并把括号内各项
都改变符号；
( 4 ) 因式分解后要注意检查提取公因式后的另一个因式的项数与分解前是
否一致，不要丢项.
结果中的“1”还用写吗？
第八章 因式分解
149
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
把下列各式分解因式：
( 1 ) 6a 2b - 10ab 2 ；
( 2 ) 3abc 2 - 15ab 2c + 9a 2bc ；
( 3 ) - 2m 3 - 7mn + 14mn 3 ；
( 4 ) 56x 3yz + 14x 2y 2z - 21x 4y.
例2 把下列各式分解因式：
( 1 ) 3a ( x + y ) - 2b ( x + y ) ；
( 2 ) 12 ( m - n ) 3 + 18 ( n - m ) 2 ；
( 3 ) 4p 2 ( a + 3 ) - 3p 2 ( a + 3 ) 2.
解：( 1 ) 3a ( x + y ) - 2b( x + y )
= ( x + y ) ( 3a - 2b ) ；
( 2 ) 12 ( m - n ) 3 + 18 ( n - m ) 2
= 12 ( m - n ) 3 + 18 ( m - n ) 2
= 6 ( m - n ) 2[2( m - n ) + 3]
= 6 ( m - n ) 2 ( 2m - 2n + 3 ) ；
( 3 ) 4p 2 ( a + 3 ) - 3p 2 ( a + 3 ) 2
= p 2 ( a + 3 ) [4 - 3( a + 3 )]
= p 2 ( a + 3 ) ( - 3a - 5 )
= - p 2 ( a + 3 ) ( 3a + 5 ) .
第( 2 ) 题有公因式吗？
公因式是什么？
练习
把下列各式分解因式：
( 1 ) 5x ( a - b ) - 7y ( a - b ) ；
( 2 ) a ( a + b ) - 5 ( a + b ) ；
( 3 ) xy ( x - y ) - x ( y - x ) ；
( 4 ) 5m ( p 2 - q ) 3 - 4n ( q - p 2 ) 2.
150
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
习 题 8 - 1
基础
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 6a 4b 3 - 12a 2b 4c ；
( 2 ) 8m 3n 2 - mn 3p ；
( 3 ) 15x 3y 2 - 10x 2y ；
( 4 ) - 18a 2b 4 + 27a 3b 3.
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) - 8a 2b - 4ab + 12b 2 ；
( 2 ) 12x 3y 3 - 8x 2y 3 + 4x 2y 2 ；
( 3 ) - 4x 3y 2 + 28x 2y - 2xy ；
( 4 ) - 4a 3b 4 + 12a 2b 5 - 16ab 6.
提升
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) ( 2x + y ) ( 2x - 3y ) - 3x ( 2x + y ) ；
( 2 ) 4a ( m - n ) - 2b ( n - m ) ；
( 3 ) 7m ( x - 5 ) 3 - 2n ( x - 5 ) 2.
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 3p 2 ( a - x ) - 2p 2 ( x - a ) ；
( 2 ) a ( x + y ) + b ( x + y ) - c ( x + y ) ；
( 3 ) 3a 2b ( 2x - y ) - 6ab 2 ( y - 2x ) .
拓展
用简便方法计算下列各题：
( 1 ) 2. 89 × 3. 51 + 3. 11 × 3. 51 - 3. 51 × 4 ；
( 2 ) π R 2
1 + π R 2
2 - π R 2
3，其中π 取3. 14，R 1 = 8，R 2 = 15，R 3 = 16.
第八章 因式分解
151
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
8.3
公式法
1. 运用平方差公式分解因式
把平方差公式( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 反过来，就得到因式分解的公式：
具有怎样特征的多项式可以运用这个公式进行因式分解？
交流
例1 把下列各式分解因式：
( 1 ) 4m 2 - n 2 ；
( 2 ) 1 - 25x 2y 2.
分析：
( 1 ) 4m 2 - n 2 = ( 2m ) 2 - ( n ) 2 = ( 2m + n ) ( 2m - n ) .
a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
( 2 ) 同理可找到本题中的a = 1，b = 5xy.
解：( 1 ) 4m 2 - n 2
= ( 2m ) 2 - n 2
= ( 2m + n ) ( 2m - n ) ；
( 2 ) 1 - 25x 2y 2
= 12 - ( 5xy ) 2
= ( 1 + 5xy ) ( 1 - 5xy ) .
思考
把4m 2 化为( 2m ) 2，25x 2y 2 化为( 5xy ) 2 的根据是什么？
平方差公式
a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) .
也就是，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
152
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
练习
练习
1. 填空：
( 1 ) 4x 2 = ( ) 2 ；
( 2 ) 4
9 y 2 = ( ) 2 ；
( 3 ) 49a 4 = ( ) 2 ；
( 4 ) 100m 4n 2 = ( ) 2 ；
( 5 ) 0. 01x 2y 6 = ( ) 2 ；
( 6 ) 9
25 x 4y 2 = ( ) 2.
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 25 - x 2 ；
( 2 ) 9 - y 2 ；
( 3 ) 81x 2 - 64y 2 ；
( 4 ) 0. 25a 2 - b 2.
把下列各式分解因式：
( 1 ) ( x + m ) 2 - ( x + n ) 2 ；
( 2 ) z 2 - ( x + y ) 2 ；
( 3 ) 49 ( a + 3b ) 2 - c 2 ；
( 4 ) ( m + n - 3 ) 2 - ( 3m - 2n ) 2.
例2 把( 2x + 3y ) 2 - ( 3x + 2y ) 2 分解因式.
解：( 2x + 3y ) 2 - ( 3x + 2y ) 2
= [( 2x + 3y ) + ( 3x + 2y )][( 2x + 3y ) - ( 3x + 2y )]
= ( 2x + 3y + 3x + 2y ) ( 2x + 3y - 3x - 2y )
= 5( x + y ) ( y - x ) .
2. 运用完全平方公式分解因式
把完全平方公式( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 反过来，就得到因式分解的
公式：
怎样才能运用平方差
公式分解因式？
第八章 因式分解
153
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
例3 把下列各式分解因式：
( 1 ) x 2 + 6x + 9 ；
( 2 ) 16m 2 - 40mn + 25n 2 ；
( 3 ) x 4 - 2x 2y 3 + y 6 ；
( 4 ) ( m + n ) 2 - 12( m + n ) + 36 .
分析：对于复杂的题目，如第( 2 ) 小题，仍然可以用以下方式找到公式中
的a，b.
看一看，它们符合
完全平方公式吗？
具有怎样特征的多项式可以运用这两个公式分解因式？
交流
也就是，两个数的平方和，加上( 或减去 ) 这两个数的积的2 倍，等于这
两个数的和( 或差 ) 的平方.
完全平方公式
a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b ) 2.
16m 2 - 40mn + 25n 2 = ( 4m ) 2 - 2 · ( 4m ) · ( 5n ) + ( 5n ) 2 = ( 4m - 5n ) 2 .
a 2 - 2 · a · b + b 2 = (a - b) 2
解：( 1 ) x 2 + 6x + 9
= x 2 + 2 · x · 3 + 3 2
= ( x + 3 ) 2 ；
( 2 ) 16m 2 - 40mn + 25n 2
= ( 4m ) 2 - 2 · ( 4m ) · ( 5n ) + ( 5n ) 2
= ( 4m - 5n ) 2 ；
( 3 ) x 4 - 2x 2y 3 + y 6
= ( x 2 ) 2 - 2x 2y 3 + ( y 3 ) 2
= ( x 2 - y 3 ) 2 ；
( 4 ) ( m + n ) 2 - 12 ( m + n ) + 36
= ( m + n - 6 ) 2.
154
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
思考
运用完全平方公式分解因式时，结果是“和”的完全平方，
还是“差”的完全平方，由什么决定？
练习
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) x 2 + 10x + 25 ；
( 2 ) 9y 2 - 6y + 1 ；
( 3 ) 1 - 20m + 100m 2 ；
( 4 ) m 2 + 4mn + 4n 2.
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 4x 2 - 28xy + 49y 2 ；
( 2 ) 4m 6 + 52m 3n 2 + 169n 4 ；
( 3 ) 36m 2 - 12m 3 - 27m ；
( 4 ) 64x 6 + 80x 3y 2 + 25y 4.
例4 把下列各式分解因式：
( 1 ) 2x 2 - 18 ；
( 2 ) 256m 4 - 81n 4 ；
( 3 ) 16x 2 - ( x 2 + 4 ) 2 ；
( 4 ) 81a 4 - 72a 2b 2 + 16b 4.
解：( 1 ) 2x 2 - 18
= 2 ( x 2 - 9 )
= 2 ( x + 3 ) ( x - 3 ) ；
( 2 ) 256m 4 - 81n 4
= ( 16m 2 ) 2 - ( 9n 2 ) 2
= ( 16m 2 + 9n 2 ) ( 16m 2 - 9n 2 )
= ( 16m 2 + 9n 2 ) ( 4m + 3n ) ( 4m - 3n ) ；
( 3 ) 16x 2 - ( x 2 + 4 ) 2
= ( 4x ) 2 - ( x 2 + 4 ) 2
= - ( x 2 + 4x + 4 ) ( x 2 - 4x + 4 )
= - ( x + 2 ) 2 ( x - 2 ) 2 ；
第八章 因式分解
155
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
探 究 学 习
( 4 ) 81a 4 - 72a 2b 2 + 16b 4
= ( 9a 2 - 4b 2 ) 2
= ( 3a + 2b ) 2 ( 3a - 2b ) 2.
例5 把下列各式分解因式：
( 1 ) 16x 2y - 16x 3 - 4xy 2 ；
( 2 ) ( x 2 + 1 ) 2 - 4x ( x 2 + 1 ) + 4x 2.
解：( 1 ) 16x 2y - 16x 3 - 4xy 2
= 4x ( 4xy - 4x 2 - y 2 )
= - 4x ( 4x 2 - 4xy + y 2 )
= - 4x ( 2x - y ) 2 ；
( 2 ) ( x 2 + 1 ) 2 - 4x ( x 2 + 1 ) + 4x 2
= ( x 2 + 1 ) 2 - 2 · ( x 2 + 1 ) · 2x + ( 2x ) 2
= [( x 2 + 1 ) - 2x] 2
= ( x 2 - 2x + 1 ) 2
= ( x - 1 ) 4.
对二次三项式因式分解的探究
1. 我们学习过( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab，请你由此探
究一个将二次项系数是1 的二次三项式进行因式分解的公式.
试用你得到的公式，将下列二次三项式分解因式：
( 1 ) x 2 - 5x + 6 ；
( 2 ) x 2 - x - 12.
2. 对于二次项系数不为1 的二次三项式，能用上面类似的方法
进行因式分解吗？
试用你想到的方法，将下列二次三项式分解因式：
( 1 ) 3x 2 - 11x + 10 ；
( 2 ) 6x 2 - 11x - 10.
156
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
习 题 8 - 2
基础
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 1 - a 2 ；
( 2 ) 4x 2 - 25y 2 ；
( 3 ) ( 2a + x ) 2 - ( a - x ) 2 ；
( 4 ) 4 ( a + 2b ) 2 - 25 ( a - b ) 2.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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问题解决
1. 经过怎样的转化，可以将下面的多项式进行因式分解？从
中可以找到什么规律？
( 1 ) 2x 3 + x 2 - 6x - 3 ；
( 2 ) x 2 - x - 4y 2 + 2y ；
( 3 ) a 2 + b 2 + 2ab - c 2 ；
( 4 ) a 2 - c 2 + 2bc - b 2.
2. 分解因式：x 3 + x 2 - 12.
通过变形进行因式分解比较困难，图形计算器可以直接完成
这个过程.
按键步骤如下：
如图8 - 1，所以x 3 + x 2 - 12 = ( x - 2 ) ( x 2 + 3x + 6 ) .
图8 - 1
第八章 因式分解
157
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) - 4 + b 2 ；
( 2 ) 16
25
9
49
2
2
x
y
-
；
( 3 ) - 4 + 12x - 9x 2 ；
( 4 ) x 2y 2 - 4xy + 4.
提升
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 4m ( a - b ) - 2n ( b - a ) ；
( 2 ) x ( x - y ) 2 - xy ( y - x ) 2 ；
( 3 ) 81a 4 - 16b 4 ；
( 4 ) ( a - b ) - ( a 2 - b 2 ) .
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) a 2b - b 3 ；
( 2 ) 18m 2n 2 - 12mn + 2 ；
( 3 ) ( n 2 + 1 ) 2 + 4n ( n 2 + 1 ) + 4n 2.
3. 把下列各式分解因式：
( 1 ) ( p + q ) 2 - 2r ( p + q ) + r 2 ；
( 2 ) 9 ( 2x - y ) 2 - 6 ( 2x - y ) + 1 ；
( 3 ) ( x + 2y ) 2 - 10 ( x + 2y ) + 25 ；
( 4 ) ( x + a ) 2 - 6 ( x + a ) ( x - b ) + 9 ( x - b ) 2.
拓展
1. 两个连续奇数的平方差能被8 整除吗？试说明理由.
2. 一块边长为a = 82. 4 m 的正方形草坪，在四个角各修建一个边长为b = 6. 2 m 的正方形
花坛，问余下的草坪面积多大.
爱因斯坦的速算
爱因斯坦( 1879 — 1955 ) 是一位著名的物
理学家，他在数学方面也有很高的造诣.
有一天，他生病在家. 一位朋友前去探望，
为了让爱因斯坦消遣，出了一道计算题：2 976 ×
2 924 . 题目刚刚出完，爱因斯坦就脱口而出
“8 701 824”. 这位朋友十分惊讶，他请爱因
爱因斯坦
阅读理解
数
学
文
化
158
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
斯坦说出是怎样计算的 . 爱因斯坦说，他把2 976 拆成29 和76，把
2 924 拆成29 和24，他发现前面两位数字都是29，后面两位数字分
别是76 和24，而它们的和是100 . 分别计算29 × ( 29 + 1 ) = 29 × 30 =
870，76 × 24 = ( 50 + 26 ) ( 50 - 26 ) = 50
2 - 26
2 = 1 824，然后将870 和
1 824 连着写出来，就得到乘积8 701 824 . 这位朋友对爱因斯坦善于
观察数字特征、灵活运用数学知识的能力十分佩服.
那么，爱因斯坦速算的理论根据是什么呢？
设 29 = a，76 = b，24 = c，
那么 2 976 = 100a + b，2 924 = 100a + c，且b + c = 100.
由 ( 100a + b ) ( 100a + c ) = 10 000a 2 + 100a ( b + c ) + bc
= 10 000a 2 + 100a × 100 + bc
= 10 000a ( a + 1 ) + bc.
这样，2 976 × 2 924 = 10 000 × 29 × ( 29 + 1 ) + 76 × 24
= 870 × 10 000 + 1 824
= 8 701 824.
通过爱因斯坦速算的故事，你可以想到什么呢？
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
本章学习的主要内容是因式分解的概念和因式分解的基本
方法.
1. 因式分解的概念.
把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式
因式分解，也叫做将多项式分解因式.
2. 因式分解的基本方法.
第八章 因式分解
159
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
知识
要点
学习
指导
( 1 ) 提公因式法.
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) .
( 2 ) 公式法.
a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) ；
a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b ) 2.
1. 学习多项式的因式分解，应当注意运用类比的思想方法，
通过与整数的因数分解相比较，加深对因式分解概念的理解.
2. 注意提高观察式子结构特点的能力，加强把一个式子看做
一个字母的换元思想的练习，为今后应用因式分解打好基础.
3. 要透彻理解多项式的乘法运算与因式分解变形的联系与区
别. 它们都可以看做整式的恒等变形，但变形的方向正好相反.
复 习 题
基础
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 5m 2n - 15mn 2 ；
( 2 ) a 4 - a 3 - a 2 ；
( 3 ) - 7x 3y 2 - 21x 2y 3 ；
( 4 ) - 4a 3b 4 + 12a 2b 5 - 16ab 6.
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 4ab 2 - 8a 2b ；
( 2 ) - 15xy - 5x 2 ；
( 3 ) x 3y 3 + x 2y 2 - xy ；
( 4 ) - 27x 2y + 9xy 2 - 18xy.
3. 把下列各式分解因式：
( 1 ) ( x - y ) 3 - ( y - x ) 2 ；
( 2 ) 5a 2( x - y ) + 10a ( y - x ) ；
( 3 ) ( m - n ) 2 - 10 ( n - m ) + 25 ；
( 4 ) ( x + y ) 2 - 2( x + y ) ( x - y ) + ( x - y ) 2.
160
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
4. 把下列各式分解因式：
( 1 ) x 2 + 12xy + 36y 2 ；
( 2 ) 1 - 8xy 2 + 16x 2y 4 ；
( 3 ) x 4 - 8x 2 + 16 ；
( 4 ) 4 ( x - y ) 2 - 4 ( x - y ) + 1.
5. 把下列各式分解因式：
( 1 ) 18x 3 - 27x 4 - 3x 2 ；
( 2 ) x 4 - 18x 2 + 81 ；
( 3 ) 16a 2b 4 - 8ab 2c 2 + c 4 ；
( 4 ) 9 ( 2x - y ) 2 - 6 ( 2x - y ) + 1.
提升
1. 把下列各式分解因式：
( 1 ) a ( x - 3 ) ( y - 2 ) + b ( 3 - x ) ( 2 - y ) ；
( 2 ) 6x ( a 2 - b 2 ) - 18y ( a - b ).
2. 把下列各式分解因式：
( 1 ) x
y
xy
2
2
9
2
3
+
-
；
( 2 ) 16n 2 ( n - 3 ) 2 + 72n ( n - 3 ) + 81.
3. 写出一个二项式，再把它分解因式. ( 要求：二项式含有字
母a 和b，系数、次数不限，并能先用提公因式法再用公式
法分解 )
4. 如图，在半径为R 的圆形钢板上，冲去半径为r 的四个小圆，
利用因式分解计算当R = 7. 8 cm，r = 1. 1 cm 时剩余部分的
面积 . ( π 取3. 14 )
拓展
1. 把下列各式分解因式，并从中归纳出新的因式分解方法.
( 1 ) 8ax + 12ay - 10bx - 15by ；
( 2 ) 2ab - a 2 - b 2 + 4.
2. 把两个相同的三位数连续写在一起，就得到一个六位数，我们称它为“连续数”. 比如
234 234，378 378，926 926，…，请你试说明任何一个连续数都可以被7，11，13 整除.
( 第4 题)
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
第九章
数据的收集与表示
中国以2010 年11 月1 日零时为标准时点进
行了第六次全国人口普查. 普查结果显示：全
国总人口为1 370 536 875 人. 其中：普查登记
的大陆31 个省、自治区、直辖市和现役军人的
人口共1 339 724 852 人，香港特别行政区人口
为7 097 600 人， 澳门特别行政区人口为552 300
人，台湾地区人口为23 162 123 人.
162
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
9.1
总体与样本
当我们打开电视或浏览网页时，许多信息都是通过各种数据传递给我们
的. 比如，2010 年北京的空气质量优良天数占全年总天数的88. 4%，比2005
年提高了14. 3 个百分点. 又如，在2010 年第六次全国人口普查中，同2000
年第五次全国人口普查相比，每10 万人中具有大学文化程度的由3 611 人上
升为8 930 人. 你知道它们都是怎么得到的吗？
在上面“交流”的第1 题中，由于被调查的人数不是很多，我们可以对
40 个人逐一进行问卷调查，然后加以整理 . 这种方法叫做全面调查( 也称为
普查 ) .
在第2 题中，由于河中水量很大，不可能对全部水质进行化验，所以可以
采用抽样的方法对一部分水质进行化验，然后对整条河流的水质进行评估. 这
种方法叫做抽样调查.
在第3 题中，要对灯泡的使用寿命进行统计，必须进行“破坏性试验”，
当统计出某只灯泡的使用寿命时，它也就作废了，所以我们不可能对每一只灯
泡都逐一试验，也只能采用抽样的方法进行调查.
1. 某校七年级( 1 ) 班共有40 名学生，现打算对他们每个人最喜欢
的体育项目进行统计，你打算采用什么方法？
2. 要想了解某条河流的水质情况，你打算采用什么方法？
3. 某电器厂开发研制了一种新型节能灯，年产量50 万只. 现打算
了解这种型号节能灯的使用寿命，可以采用什么方法？
交流
一 数据的收集、整理与表示
第九章 数据的收集与表示
163
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
思考
在对数据进行统计时，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的
每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个
样本，样本中个体的数量叫做样本的容量.
在前面讲到的节能灯的例子中，欲统计这种型号节能灯的平均使用寿
命，我们可以随机抽取500 只节能灯进行试验 . 这50 万只节能灯的使用寿
命是总体，其中每只节能灯的使用寿命是个体，所抽取的500 只节能灯的
使用寿命是总体中的一个样本，样本的容量是500 .
练习
1. 举一个应用全面调查方法的例子.
2. 举一个应用抽样调查方法的例子.
9.2
数据的收集与整理
问题 调查、分析某校七年级( 2 ) 班男生身高的状况.
调查目的 了解该班男生身高状况，并作为三年中跟踪调查的依据.
调查范围 七年级( 2 ) 班全体男生.
调查方法 由校医务室提供该班男生入学后体检的有关数据.
数据整理 根据调查目的，选择你认为合适的方法对数据加以整理.
我国的杂交水稻育种专家袁隆平被誉为“杂交水稻之父”.
在一次育种试验中，为了测算一块800 亩① 试验田里新培育的
杂交水稻的产量，随机对其中的10 亩杂交水稻的产量进行了检
测. 在这个例子中，请指出总体、个体、样本、样本的容量各
是什么.
①1 亩≈ 666. 7 平方米.
164
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
校医务室提供的数据如下( 单位：厘米 ) ：
白 羽166， 曹利刚165， 冯小军164， 郭宏志167，
高 枫173， 靳江川161， 金石开163， 康建军158，
李立春160， 雷 鸣164， 柳叶宏168， 刘源源170，
马 刚165， 苏 岩171， 田丰收162， 王风歧165，
俞力平169， 朱 平159， 张欣欣162， 赵凯雨168.
下面是甲、乙两个同学对以上数据进行的整理：
甲认为如果能对他们的身高从小到大进行排序，那么将有利于观察某个男
生在所有男生中身高的位置，于是他设计了表格1.
表格1
( 单位：厘米 )
1
康建军：158
6
田丰收：162
11
马 刚：165
16
赵凯雨：168
2
朱 平：159
7
金石开：163
12
曹利刚：165
17
俞力平：169
3
李立春：160
8
雷 鸣：164
13
白 羽：166
18
刘源源：170
4
靳江川：161
9
冯小军：164
14
郭宏志：167
19
苏 岩：171
5
张欣欣：162
10
王风歧：165
15
柳叶宏：168
20
高 枫：173
乙认为如果把身高按范围进行分类，那么将能了解该班男生身高的大致分
布情况，于是他设计了表格2.
表格2
( 单位：厘米 )
范 围
画 记
频 数
160 以下( 含160 )
3
161 ~ 165 ( 含165 )
正
9
166 ~ 170 ( 含170 )
正
6
170 以上
2
其中频数是指在某个范围内数据的个数.
第九章 数据的收集与表示
165
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
综合与实践
甲、乙两个同学采取的整理方法各有什么特点？你认为他们整理数
据的方法合理吗？你还有其他的整理方法吗？
交流
实践
请了解本班的同学是否喜欢某电视节目.
调查的结果适用于学校的全体同学吗？适用于本地区的电视观
众吗？
如果不适用，应该
如何改进调查方法？
运动会成绩整理
在某校秋季田径运动会上，学校规定了获得1 ~ 6 名的得分标
准如下：
名 次
1
2
3
4
5
6
得 分
7 分
5 分
4 分
3 分
2 分
1 分
接力比赛
成绩加倍
破校纪录
成绩加倍
大会公布的女生比赛成绩如下：
七年级( 1 ) 班：百米赛跑
第1 名，第3 名，第6 名；
铅球比赛
第2 名，第3 名；
跳高比赛
第3 名，第4 名；
跳远比赛
第1 名，第4 名；
400 米接力
第1 名.
166
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
练习
1. 下列调查中，适合用普查方法的是( ) .
A. 了解一批科学计算器的使用寿命
B. 了解北京电视台《北京新闻》栏目的收视率
C. 了解某种奶制品中蛋白质的含量
D. 了解某班学生对“北京精神”的知晓率
七年级( 2 ) 班：百米赛跑
第2 名，第5 名；
铅球比赛
第4 名，第5 名；
跳高比赛
第1 名，第6 名；
跳远比赛
第3 名，第5 名；
400 米接力
第2 名.
七年级( 3 ) 班：百米赛跑
第4 名；
铅球比赛
第1 名( 破校纪录 )，第6 名；
跳高比赛
第2 名，第5 名；
跳远比赛
第2 名，第6 名；
400 米接力
第3 名.
请你根据以上的名次和规定，对各班所得的分数加以整理，
并对其成绩加以排序. 以下的表格可供参考.
七年级( 1 ) 班
七年级( 2 ) 班
七年级( 3 ) 班
百米赛跑
铅球比赛
跳高比赛
跳远比赛
400 米接力
项目
得分
班次
第九章 数据的收集与表示
167
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
2. 各小组分别搜集下列数据，并对数据加以整理.
( 1 ) 全班同学中姓氏分布情况；
( 2 ) 全班同学中订阅杂志数量情况；
( 3 ) 全班同学中最喜欢某种球类运动的人数；
( 4 ) 全班同学中最喜欢某部电视剧的人数.
9.3
数据的表示——扇形统计图
我们能用条形统计图和折线统计图直观且有效地表示收集、整理的数据，
下面学习如何用扇形统计图来表示数据.
例
在某次数学测试中，满分为100 分，测试内容及所占分值的分布
情况如下.
一元一次不等式( 组 ) ：15 分； 二元一次方程组：15 分；
整式的运算：25 分；
观察、猜想与证明：20 分；
因式分解：10 分；
数据的收集与表示：15 分.
试用扇形统计图表示本次测试内容所占分值的分布情况.
分析：如图9 - 1，在圆中，点O 是圆心，
OA，OB 是半径，在圆周上A，B 两点间的曲线
称为圆弧.
两条半径OA，OB 与弧AB 组成的图形叫
做扇形，两条半径所夹的角叫做圆心角.
由于顶点在圆心的周角的度数为360°，因
此可以计算出扇形的圆心角的度数占周角的百
分比. 比如，当扇形的圆心角∠AOB = 72° 时，
这个扇形占圆面积的20%，即72
360
1
5
°
° =
= 20% .
解：先分别计算出各测试内容的分数占总分的百分比，再计算出表示每个
百分比的扇形圆心角的度数，列出下表：
O
A
B
图9 - 1
168
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
测试内容
所占分值
百分比
圆心角度数
一元一次不等式( 组 )
15
15%
360° × 15% = 54°
二元一次方程组
15
15%
360° × 15% = 54°
整式的运算
25
25%
360° × 25% = 90°
观察、猜想与证明
20
20%
360° × 20% = 72°
因式分解
10
10%
360° × 10% = 36°
数据的收集与表示
15
15%
360° × 15% = 54°
然后用量角器画出这些扇形( 如图9 - 2 ) .
ʷЋʷˀरጸ
̄Ћʷவሮጸ
டरᄊᤂካ
ࠣnjਇˁ
ڂरѬᝍ
ᄊஆᬷˁ᛫ᇨ
15
15
15
10
20
25
图9 - 2
15
15
15
25
20
10
ʷЋʷˀरጸ
̄Ћʷவሮጸ
டरᄊᤂካ
ࠣnjਇˁ
ڂरѬᝍ
ᄊஆᬷˁ᛫ᇨ
图9 - 3
这种用扇形表示数据的方法，称为扇形统计图.
我们还可以把扇形统计图画成图9 - 3 的形式.
第九章 数据的收集与表示
169
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
七年级( 3 ) 班共有40 名同学，骑自行车上学的有10 人，乘公交车上学的有15 人，
步行的有10 人，家长用车送的有5 人. 试用扇形统计图表示出该班同学采用不同
方式上学的人数.
条形统计图、折线统计图和扇形统计图分别适用于哪一类的实际
问题？
交流
9.4
用计算机绘制统计图
用计算机软件Microsoft Excel 2003 制作扇形统计图的方法如下：
打开Microsoft Excel 2003，将需要制图的数据输入到单元格中（图9 - 4），
选中需要制图的数据所在的单元格（图9 - 5），单击 插入 — 图表 ，此时
会出现一个“图表向导- 4 步骤之1 - 图表类型”对话框，在“标准类型”中
选择“饼图”（图9 - 6）；单击 下一步，进入“图表向导- 4 步骤之2 - 图
表源数据”；继续单击 下一步，进入“图表向导- 4 步骤之3 - 图表选项”，
在“数据标志”中选择“百分比”（图9 - 7）；最后单击 完成 即可，所得
图表如图9 - 2 所示.
条形统计图和折线统计图的制作方法与扇形统计图的制作方法类似，只是
在出现“图表向导- 4 步骤之1 - 图表类型”对话框时，在“标准类型”中选
择“条形图”或“折线图”即可.
170
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
图9 - 4
图9 - 5
习 题 9 - 1
基础
1. 要统计全班同学登上八达岭长城的人数情况，你准备采取哪种方法进行调查？
2. 要想了解北京市市民习惯使用左手的人数占全市人口的比例，你认为应采用哪种调查
方法？
3. 要想测算北京市市民拥有手机的人数占全市人口的比例，你认为应采取什么调查方法？
4. 某班在为西部地区儿童捐赠的图书中，文史类共80 本，科普类共60 本，教辅类共120 本，
其他共140 本. 试用扇形统计图反映出捐赠的各类图书的情况.
图9 - 6
图9 - 7
第九章 数据的收集与表示
171
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
提升
对世界四大洋的面积取近似值，它们的面积如下所示.
北冰洋：1. 3 × 10 7 千米2 ；
印度洋：7. 5 × 10 7 千米2 ；
大西洋：9. 3 × 10 7 千米2 ；
太平洋：1. 8 × 10 8 千米2.
试用计算机绘制扇形统计图表示世界四大洋的面积.
拓展
查询有关资料，自编三道题目，分别用条形统计图、折线统计图和扇形统计图加以表示.
9.5
平均数
问题一 小莉和小颖到射箭场练习射箭，教练让每人各射了5 箭，她们的
成绩如下( 单位：环 ) .
小莉：4，6，5，10，3.
小颖：5，7，8，4，6.
教练问她们俩：“你们认为谁的射箭成
绩好一些？”
小莉说：“我有一个满分10 环，所以
我的成绩好. ”
小颖说：“我的平均成绩比小莉的高，所以我的成绩好. ”
你觉得小莉和小颖谁说得有道理呢？
1. 算术平均数
把一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫做这组数据的算术
平均数，简称平均数.
二 平均数、众数和中位数
172
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
实践
分别计算小莉和小颖5 次射箭成绩的算术平均数.
探索
求数据102，104，106，108，103，107 的算术平均数. 用不同的
计算方法试一试.
解法1 ：1
6 × ( 102 + 104 + 106 + 108 + 103 + 107 )
= 1
6 × 630
= 105 ；
解法2 ：1
6 × ( 102 + 104 + 106 + 108 + 103 + 107 )
= 1
6 × [( 100 + 2 ) + ( 100 + 4 ) + ( 100 + 6 ) + ( 100 + 8 ) + ( 100 + 3 ) +
( 100 + 7 )]
= 1
6 × ( 600 + 30 )
= 100 + 5
= 105.
小莉： 1
5 ( 4 + 6 + 5 + 10 + 3 ) = 1
5 × 28 = 5. 6 ( 环 ) .
小颖： 1
5 ( 5 + 7 + 8 + 4 + 6 ) = 1
5 × 30 = 6. 0 ( 环 ) .
显然小颖的平均成绩高于小莉的平均成绩，因此小颖的射箭成绩好一些.
第九章 数据的收集与表示
173
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
求下列各组数据的算术平均数：
( 1 ) 2 007，2 012，2 001，2 002，2 008，2 003，2 004 ；
( 2 ) 991，993，995，992，990，997，999，998，1 000 .
在解法2 中，由于各数据都很接近100，因此把100 作为一个基数，再求
出每个数据与100 的差，求出差2，4，6，8，3，7 的算术平均数，然后再加
上100 就可以了，这种求算术平均数的方法称为简化计算法.
一组数据的算术平均数的计算公式如下：
设n 个数据分别为x 1，x 2，x 3，…，x n，它们的算术平均数为x-，那么
在青年歌手大奖赛中，八位评委给选手甲的打分分别为：8. 84，
9. 32，9. 41，9. 63，9. 75，9. 78，9. 72，9. 96 . 去掉一个最高分，去掉一
个最低分，然后求出其余数据的平均值，以此作为这位选手的最后得
分. 为什么要去掉最高分和最低分呢？
交流
x
n
= 1 ( x 1 + x 2 + x 3 + … + x n ) .
.
简化计算法的计算公式如下：
设接近平均数的常数为a，n 个数据与a 的差分别为 x 1 - a，x 2 - a，x 3 - a，
…，x n - a，这些数据的算术平均数为 ，那么n 个数据的算术平均数x 为：
2. 加权平均数
问题二 在一次有20 人参加的数学竞赛中，其中得90 分的有3 人，得
174
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
练习
求下列数据的平均数：
1，1，2，2，3，3，3，5，5，5，6，6，6，7，8，8，8，8，8.
用科学计算器求平均数快捷、准确.
例
8 袋小麦的质量分别为( 单位：千克 ) ：
97，98，98，99，100，101，101，102.
求这8 袋小麦质量的平均数.
85 分的有6 人，得80 分的有5 人，得75 分的有4 人，得70 分的有2 人. 计
算这些同学数学竞赛的平均成绩.
解：x =
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
+
+
+
=
3
90
6
85
5
80
4
75
2
70
3
6
5
4
2
1620
20
= 81( 分 ) .
即这些同学数学竞赛的平均成绩是81 分.
在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权数，简称为这个
数据的权 . 按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.
加权平均数的计算公式为：
如果数据x 1 出现f 1 次，x 2 出现f 2 次，x 3 出现f 3 次……x k 出现f k 次，这
组数据的平均数为x-，那么
x
n
= 1 ( f 1x 1 + f 2 x 2 + f 3 x 3 + … + f k x k ) .
( 其中n = f 1 + f 2 + f 3 + … + f k )
第九章 数据的收集与表示
175
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
解：步骤如下：
具体操作
结 果
A 型计算器
97
98
2
99
100
101
2
102
8
99. 5
B 型计算器
97
98
2
99
100
101
2
102
8
99. 5
答：这8 袋小麦质量的平均数为99. 5( 千克 ) .
实践
为了检查一批盒装牙签的数量，随机抽出100 盒进行抽样检测，检
测结果如下表所示：
根 数
71
72
73
74
75
76
77
78
79
盒 数
7
16
19
20
16
15
4
1
2
1. 试用科学计算器求出每盒牙签数量的平均数.
2. 如果这批盒装牙签有10 000 盒，试估计这批牙签的总数量.
9.6
众数和中位数
思考
我们看到：在全班45 名同学中，一天平均睡眠为8 小时的人数最多，
为了了解某班同学的睡眠状况，对全班45 名同学一天的
平均睡眠时间统计如下：
平均睡眠时间/ 时
7. 5
8
8. 5
9
人 数
12
26
6
1
你认为该班同学的睡眠状况合理吗？
176
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
我们看到：在以上表示气温的数据中，29 ℃出现的频数最多，我们就说
这组数据中的众数是29 ℃.
将一组数据按大小依次排列，处于中间位置的那
个数( 或中间两数的平均数 )，叫做这组数据的中位
数. 中位数可以刻画一组数据的集中趋势.
例1 某校篮球队五名主力队员的身高分别为
( 单位：米 ) ：1. 68，1. 80，1. 76，1. 75，1. 70 . 在这组
数据中，中位数是多少？
解：将这组数据由小到大排列如下：
1. 68，1. 70，1. 75，1. 76，1. 80.
由于这组数据的个数是奇数，所以这组数据的中位数为1. 75 ( 米 ) .
例2 李萍同学在八次跳绳中，每半分钟跳的次数分别为：20，31，26，
34，37，28，29，32 . 求这组数据的中位数.
解：将这组数据由小到大排列如下：
20，26，28，29，31，32，34，37.
由于这组数据的个数是偶数，处于中间位置的数据是29 和31，我们取这
两个数的平均数作为这组数据的中位数，即
29
31
2
30
+
=
.
所以这组数据的中位数是30 ( 次 ) .
交流
某城市7 月份的日平均气温统计如下：
日平均气温/℃
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
天 数
1
2
2
3
3
4
5
6
4
1
在日平均气温这组数据中，众数是多少？
我们称8 小时为这组数据的众数.
一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
第九章 数据的收集与表示
177
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
1. 一组数据5，4，4，3，4，3，2，3，5，3 的众数是多少？
2. 一组数据11，3，4，4，6，11，10，11，5 的众数是多少？
3. 孙斌同学七次投掷铅球的成绩记录如下( 单位：米 ) ：
5.1，5. 3，5. 8，5. 9，5. 0，5. 2，5. 8.
指出这组数据的中位数.
4. 某班生物小组的八名同学各用10 粒种子做发芽实验，几天后种子的出芽数分别
为：
8，7，10，6，5，4，9，6.
求以上数据的众数和中位数.
5. 在某次数学能力测试中，七年级( 1 ) 班第1 小组七名同学的成绩如下( 单位：分 ) ：
50，80，72，95，63，78，100.
求这组数据的中位数.
思考
1. 当一组数据的个数是奇数时，如何求它的中位数？
2. 当一组数据的个数是偶数时，如何求它的中位数？
3. 中位数是否会受到按大小顺序排列后极端数值的影响？
交流
某校为了合理地安排早自习的时间，随机地对该校20 名同学从家
到学校所用的时间进行了调查，数据如下( 单位：分 ) ：
15
35
50
10
60
80
40
30
20
120
30
45
15
35
25
30
45
30
55
60
用什么统计方法能比较科学地表示学生从家到学校所用的时间？
同学甲认为：采用求算术平均数的方法把20 个数据全部用上了，因此以
178
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
它作为根据比较科学 . 他得出的统计结果为：
1
20 × 830 = 41. 5 ( 分 ) .
同学乙认为：采用众数的方法可以代表较多的人的实际情况，结果比较可
靠. 于是他先列了一个表，如下：
时间/ 分
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
80
120
频 数
1
2
1
1
4
2
1
2
1
1
2
1
1
从表中看出所用时间的众数是30，于是他把30( 分 ) 作为统计结果.
同学丙认为：平均数法受到极端数值( 比如120 分 ) 的影响比较大，而利
用众数的方法只能反映出其中一部分的状况，也存在缺点，因此他认为中位数
可以比较客观地反映出实际情况. 所以他把这组数据由小到大排列如下：
10 15 15 20 25 30 30 30 30 35 35 40 45 45 50 55 60 60 80 120
处于最中间的两个数是35，35. 把它们的平均数35( 分 ) 作为统计结果简便、
可靠.
在统计中，采用的方法不同，得到的结论也可能不同.
例3 某公司共有15 人，他们的月工资情况如下表 . 计算该公司的月工
资的平均数、中位数和众数.
职 务
经 理
副经理
职 员
人 数
1
2
12
月工资/ 元
5 000
2 000
800
解：该公司月工资的中位数和众数均为800 元，而月工资的平均数为
5 000
1
15
2 000
2
15
800
12
15
×
+
×
+
×
= 1 240 ( 元 ) .
所以，该公司的月工资的平均数、
中位数和众数分别是1 240 元，800 元，
800 元.
你能解释它们的
实际意义吗？
第九章 数据的收集与表示
179
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
练习
为了了解某种灯泡的使用寿命，随机抽取100 只进行使用寿命试验，数据如下：
寿命/ 时
450
550
650
750
850
只 数
20
19
30
21
10
分别求出灯泡使用寿命这组数据的平均数、众数和中位数.
习 题 9 - 2
基础
1. 一组数据3，8，6，7，x 的平均数是6，求x 的值.
2. 在一次歌咏比赛中，六个评委给周小红打的分数分别为：8. 1，7. 5，8. 3，8. 4，9. 0，8. 0 .
为了尽可能减少人为因素的影响，去掉一个最高分，去掉一个最低分，那么，周小红
的平均分是多少？
3. 已知数据x 1，x 2，x 3 的平均数是5，求数据x 1 + 1，x 2 + 1，x 3 + 1 的平均数.
4. 5 个数的平均数是8，其中4 个数的和是36，求另一个数的值.
5. 有5 个数，前3 个数的平均数是6，后2 个数的平均数是8，求这5 个数的平均数.
提升
1. 春季运动会上12 名男生的跳高成绩如下( 单位：厘米 ) ：
158，157，161，158，158，165，160，164，158，166，165，164.
这组数据的众数是多少？
2. 某同学在报纸上查阅了5 月1 日—5 月15 日某地最高气温的一组数据，列成下表：
日 期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
气温/℃
20
24
23
26
23
21
18
19
22
23
26
27
26
28
29
180
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
( 1 ) 求前10 天最高气温的众数；
( 2 ) 求后10 天最高气温的众数.
3. 一组数据2，4， - 3，0，x 的中位数是1，求x 的值.
4. 已知a < b < c < d，一组数据a，a，b，c，d，b，c，c 中，它的众数是 ，中
位数是 .
拓展
一组数据 - 3， - 2，1，3，6，x 的中位数是1.
( 1 ) 求x 的值；
( 2 ) 求这组数据的平均数.
谁的解法对
有一个数学问题：某人上山的速度是v，沿原路返回的速度是
2v，问此人上山、下山的平均速度 v 是多少.
综合与实践
利用树叶的特征对树木分类
( 1 ) 收集三种不同树木的树叶，每种树叶的数量相同，比如，
每种树选10 片树叶.
( 2 ) 分类测量每种树叶的长和宽，列表记录所得到的数据.
( 3 ) 分别计算出树叶的长宽比，估计每种树木树叶的长宽比.
( 4 ) 验证估计的结果.
阅读理解
数
学
文
化
第九章 数据的收集与表示
181
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
小明看完题目后，他联想到求两个数x 1，x 2 的平均数的方法，
即x
x
x
=
+
1
2
2
，于是他很快便得出了这道题的答案：v
v
v
v
=
+
=
2
2
3
2 .
小军不同意小明的解法，他说：“这个问题和学过的求平均数的
问题不完全一样，它涉及路程、速度、时间之间的关系 . 由于下山
速度是上山速度的2 倍，所以当路程不变时，下山所用时间等于上
山所用时间的一半. ”于是他得出了下面的答案：
设上山时间为t 1，下山时间为t 2，由于下山速度是上山速度的2
倍，所以下山时间为上山时间的一半，即t
t
2
1
1
2
=
.
∴
v
v
v
v
v
=
+
+
=
+
=
2
3
2
2
1
2
1
1
1
t
t
t
t
t .
小刚说：“速度的和除以时间的和不等于平均速度，平均速度应
该等于路程的和除以时间的和，所以应该采用下面的方法求解. ”小
刚的解法是：
设单程的路程为s，根据题意，得上山所用的时间为s
v ，下山所
用的时间为s
2v . 那么往返所用的时间和为s
s
v
v
+ 2
.
∴ 往返的平均速度v 为
s
s
W
W
W
W
W
=
+
+
=
=
s
s
s
s
2
2
3
2
4
3 .
请你分析，小明、小军、小刚三位同学谁说得有道理.
182
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
1. 为了对生活中的事物做出合理的决策或可靠的预测，必须
掌握数据的收集、整理方法，并会对结果作科学的分析和恰当的
描述.
2. 数据的收集和整理的步骤是：
( 1 ) 明确收集数据的目的.
( 2 ) 确定被调查对象的范围.
( 3 ) 选择收集与整理的方法.
( 4 ) 写出分析报告.
3. 采用绘制扇形统计图可以鲜明生动地表示数据的百分比.
4. 用平均数( 或加权平均数 )、众数和中位数可以描述一组数
据的集中趋势.
( 1 ) 平均数公式： x
n
= 1 ( x 1 + x 2 + x 3 + … + x n ) ；
.
( 2 ) 加权平均数公式： x
n
= 1 ( f 1 x 1 + f 2 x 2 + f 3 x 3 + … + f k x k ) .
( 其中n = f 1 + f 2 + f 3 + … + f k )
( 3 ) 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组
数据的众数.
( 4 ) 中位数：一组数据按大小顺序依次排列，处于中间位置
的数( 或中间两数的平均数 )，叫做这组数据的中位数.
1. 为了适应国民经济和科学技术的发展，收集与整理数据的
意义显得更加重要，所以要认真学习统计的基础知识，加强统计
观念，提高对事物的分析、决策和预测能力.
2. 正确掌握数据的收集、整理和表示的方法，养成认真、严
谨的好习惯.
学习
指导
第九章 数据的收集与表示
183
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
3. 注意留心身边的各种问题，加强收集数据的意识，熟悉收
集、整理和表示数据的方法.
4. 要学会选择合理、简捷的表示数据的方法，学会用计算机
绘制统计图的方法.
5. 掌握用平均数、众数和中位数从各种不同的角度分析一组
数据的集中趋势的方法，让平均数、众数和中位数等数据在解决
实际问题中发挥应有的作用.
基础
1. 为了了解全班同学体重的状况，李新同学把一次体检中25 名男同学的体重作了记录，
整理如下( 单位：千克 ) ：
45
49
55
58
54
50
57
44
60
62
61
51
53
56
48
52
54
50
47
59
52
58
54
51
49
请你设计一种统计的方法，对该班男生的体重进行分类，并提出建议.
复 习 题
学习
指导
2. 对全班同学最喜欢的体育项目进行统计， 并把统计的结果设计成统计表. 这属于哪类调查？
3. 对10 天的天气状况进行观测、记录，并设计一个统计表.
4. 全班同学每人分别投掷硬币两次，统计一下，正面朝上的次数共出现多少次，统计它
占总投掷次数的百分比.
5. 统计一下全班同学家中收藏有中国古代四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、
《红楼梦》的数目，并分别用条形统计图和扇形统计图加以表示.
6. “众志成城，抗震救灾”. 某小组7 名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区. 他们捐款
的数额分别是( 单位：元 ) ：50，20，50，30，50，25，135. 分别求这组数据的众数
和中位数.
7. 某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织同学开展植树造林活动. 为了解全校
同学的植树情况，学校随机抽查了100 名同学的植树情况，将调查数据整理如下表：
植树棵数/ 棵
4
5
6
8
10
人 数
30
22
25
15
8
那么这100 名同学平均每人植树多少棵？如果该校共有1 000 名同学，请根据以上调
查结果估计该校同学共植树多少棵.
184
x+3
2
x+3
2
y=kx+b
m≥-1
y=kx+b
m≥-1
数学 七年级 下册
提升
1. 对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3，有以下几种说法：
( 1 ) 众数是2 ；
( 2 ) 众数与中位数的数值不等；
( 3 ) 中位数与平均数相等；
( 4 ) 平均数与众数的数值相等.
其中正确的结论有( ) 个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 一组数据为x，19，20，43，且20 < x < 28，它们的平均数为一个整数，求这组数据的
平均数.
3. 已知数据x 1，x 2，x 3，x 4 的平均数为10，求数据x 1 + 1，x 2 + 2，x 3 + 3，x 4 + 4 的平均数.
4. 已知m 个数据的平均数为a，n 个数据的平均数为b，那么这( m + n ) 个数据的平均数
是多少？
5. 在一次数学竞赛中，某班同学分成三组 . 甲组16 人的平均分数为75 分，乙组10 人的
平均分数为76 分，丙组14 人的平均分数为80 分 . 求全班同学的平均成绩.
6. 数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，数据y 1，y 2，y 3，…，y n 的平均数为y ，那
么数据2 x 1 - y 1，2 x 2 - y 2，2 x 3 - y 3，…，2 x n - y n 的平均数是多少？
7. 在一次数学比赛中，七年级( 1 ) 班得100 分的有4 人，得95 分的有6 人，得90 分的
有10 人，得85 分的有5 人，得80 分的有7 人，得75 分的有8 人，得70 分的有3 人，
得65 分的有4 人，得60 分的有3 人. 分别求出该班数学比赛成绩的平均分、众数和
中位数.
拓展
1. 现有20 道选择题，评分标准为：答对1 题得3 分，答错1 题扣1 分，不答得0 分. 某
学生答对12 题，答错5 题，3 题未答. 求该学生的得分及平均每题的得分. ( 结果保
留1 位小数 )
2. 有一组数据各不相等，那么将这组数据的平均数与这组数据中的数进行比较，正确的
结论是( ) .
A. 这组数据的平均数大于这组数据中的每一个数
B. 这组数据的平均数小于这组数据中的每一个数
C. 这组数据的平均数一定等于其中的某一个数
D. 这组数据的平均数至少大于其中的一个数，且至少小于其中的一个数
3. 已知数据a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 的平均数为k 1 ；a 6，a 7，a 8，a 9，a 10 的平均数为k 2 . k 1
与k 2 的平均数为k，a 1，a 2，a 3，…，a 8，a 9，a 10 的平均数为m，那么k 与m 的大小
关系是( ) .
A. k > m
B. k < m
C. k = m
D. 不能确定
附录
185
AB⊥CD
△ABC
⊙O
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△ABC
⊙O
中 文
英 文
页 码
不等式
inequality
2
解 集
solution set
9
一元一次不等式
linear inequality with one unknown
11
二元一次方程组
system of linear equations with two unknowns
31
代入消元法
elimination by substitution
37
加减消元法
elimination by addition-subtraction
40
定 义
definition
124
命 题
proposition
124
余 角
complementary angle
127
补 角
supplementary angle
127
对顶角
vertical angles
128
因式分解
factorization
146
公因式
common factor
147
总 体
population
163
个 体
individual
163
样 本
sample
163
算术平均数
arithmetic mean
171
众 数
mode
176
中位数
median
176
部分中英文词汇索引
附 录
