义务教育教科书
数 学
七年级 上册
主 编 王建磐
责任编辑 平 萍
责任校对 王丽平
装帧设计 卢晓红
出 版 华东师范大学出版社
社 址 上海市中山北路3663 号 邮编200062
电 话 021
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印刷者 福建省希望彩印有限公司
开 本 787 ×1092 16 开
印 张 12. 25
字 数 224 千字
版 次 2012 年7 月第一版
印 次 2017 年7 月福建第十二次
书 号 ISBN 978
7
5617
9569
9 / G·5625
定 价 11. 40 元
出版人 王 焰
(如有印装质量问题,请与印刷厂调换或电话0591
87911211 联系)
致亲爱的同学
亲爱的同学,祝贺你跨进了中学的校门,数学世界欢迎你的到来.
摆在你面前的这本数学书是依据《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020
年)》与国家《义务教育数学课程标准(2011 年版)》,为你们提供的初中阶段六册数学教科书中
的第一本.
本书将从你所熟悉的情境入手,为你提供丰富有趣的数学知识,并设置一些让你思考和实
践的小栏目. 结合教材内容,书中还穿插了一些阅读材料,并设置了程度不一的习题供你挑选,
还有应用性、探索性和开放性的问题及综合与实践等待着你,相信你的聪明才智会得到充分的
发挥.
现在,请你打开这本书,与我们一起进入到奇妙的数学世界,领略一下数学的风采与它的
魅力.
首先展现在你面前的是“走进数学世界”. 你与你的小伙伴一起,将在轻松愉快的气氛中与
数学交朋友. 你会发现,数学并不神秘,它是那样的有用.
“有理数”将负数融入数的大家庭,建立了和谐的结构和美妙的关系,既保留了传统的优
势,又有了新的发展,数的大家庭变得更加绚丽多彩,更加充满活力,这将使我们解决问题更加
得心应手.
用字母表示数,从具体的数到一般的代数式,是数学发展的一次飞跃. “整式的加减”是这
个飞跃的良好开端,它将为我们揭示规律、解决问题提供简捷的工具. 进入这个领域,我们将会
心旷神怡,阔步前进.
接着,你见到的是一个个直观美妙的图形,“图形的初步认识”令你看到大量形状各异的空
间图形与平面图形. 认识图形大家庭的各个成员,你可以感受到其中的奥秘.
最后,“相交线与平行线”让你学会数学说理,解决一些与图形有关的问题,用数学语言表
述你的见解.
相信你会喜欢这本书,喜欢数学.
编者
目
录
第1 章 走进数学世界
数学伴我们成长/ 2
人类离不开数学/ 2
人人都能学会数学/ 5
阅读材料 华罗庚的故事/ 5
阅读材料 幻方/ 8
第2 章 有理数
2. 1 有理数/ 10
1. 正数和负数/ 10
2. 有理数/ 11
2. 2 数轴/ 15
1. 数轴/ 15
2. 在数轴上比较数的大小/ 17
2. 3 相反数/ 19
2. 4 绝对值/ 22
2. 5 有理数的大小比较/ 25
2. 6 有理数的加法/ 28
1. 有理数的加法法则/ 28
2. 有理数加法的运算律/ 32
2. 7 有理数的减法/ 35
2. 8 有理数的加减混合运算/ 38
1. 加减法统一成加法/ 38
2. 加法运算律在加减混合运算中的应用/ 39
阅读材料 中国人最早使用负数
———《九章算术》和我国古代的“正负术” / 42
2. 9 有理数的乘法/ 43
1. 有理数的乘法法则/ 43
2. 有理数乘法的运算律/ 46
2. 10 有理数的除法/ 53
2. 11 有理数的乘方/ 57
阅读材料 2
64有多大/ 59
2. 12 科学记数法/ 60
2. 13 有理数的混合运算/ 61
2. 14 近似数/ 66
2. 15 用计算器进行计算/ 69
阅读材料 从结绳记数到计算器/ 73
小结/ 74
复习题/ 76
第3 章 整式的加减
3. 1 列代数式/ 82
1. 用字母表示数/ 82
2. 代数式/ 85
3. 列代数式/ 87
3. 2 代数式的值/ 90
阅读材料 有趣的“3x +1 问题” / 93
3. 3 整式/ 95
1. 单项式/ 95
2. 多项式/ 97
3. 升幂排列与降幂排列/ 98
3. 4 整式的加减/ 101
1. 同类项/ 101
2. 合并同类项/ 102
3. 去括号与添括号/ 105
4. 整式的加减/ 109
阅读材料 用分离系数法进行整式的加减运算/ 113
小结/ 114
复习题/ 115
综合与实践 身份证号码与学籍号/ 118
第4 章 图形的初步认识
4. 1 生活中的立体图形/ 120
4. 2 立体图形的视图/ 123
1. 由立体图形到视图/ 123
2. 由视图到立体图形/ 127
4. 3 立体图形的表面展开图/ 130
4. 4 平面图形/ 133
阅读材料 七巧板/ 137
4. 5 最基本的图形———点和线/ 138
1. 点和线/ 138
2. 线段的长短比较/ 141
阅读材料 欧拉公式/ 144
4. 6 角/ 145
1. 角/ 145
2. 角的比较和运算/ 149
3. 余角和补角/ 152
小结/ 154
复习题/ 155
综合与实践 制作包装盒/ 158
第5 章 相交线与平行线
5. 1 相交线/ 160
1. 对顶角/ 160
2. 垂线/ 162
3. 同位角、内错角、同旁内角/ 166
5. 2 平行线/ 169
1. 平行线/ 169
2. 平行线的判定/ 171
3. 平行线的性质/ 175
阅读材料 九树成行/ 180
小结/ 181
复习题/ 182
数学实验附图
方格图/ 185
格点图/ 186
第1章 走进数学世界
大千世界,天上人间,无处不有数学的贡献.
让我们走进数学世界,去领略一下数学的风采.
2 ·第1 章 走进数学世界
数学伴我们成长
在你呱呱落地降临人世的第一天,医生就要检测一
下你的各项健康指标,为你量量身体的长度,称称你的体
重,这些都与数和量有关. 人来到世界上的第一天就遇到
数学,数学将伴随着你成长.
随着年龄的增长,你随时随地都在接触数学. 你开始
在大人的指导下学习数数;学习画三角形、方块和圆;用
剪刀剪出各种美丽的图案,或者用纸折出小鸟、小船等各
种形状的玩具;到商店去购买你喜欢吃的各种食品……
你会逐渐意识到这些都与数、数的运算、数的比较、图形
的大小、图形的形状和图形的位置有关.
你进入学校,开始学习数学这门学科,懂得了初步的
数学语言,知道了整数和分数,学会了加、减、乘、除;认识
了三角形、长方形、正方形、圆、长方体、正方体、圆柱和球
等图形;了解了简单的统计知识. 数学知识开阔了你的视
野,改变了你的思维方式,使你变得更聪明了.
人类离不开数学
自然界中的数学不胜枚举,如蜜蜂营造的蜂房,它的
表面就是由奇妙的数学图形———正六边形构成的. 你知
道吗,这种蜂房消耗的材料最少. 这里面竟还有一个关于
节约的数学道理呢!
蜜蜂营造的蜂房
第1 章 走进数学世界·3
人类从蛮荒时代的结绳计数,到如今用电子计算机
指挥宇宙飞船航行,任何时候都受到数学的恩惠和影响.
高耸入云的建筑物、海洋石油钻井平台、人造地球卫星等
等,都是人类数学智慧的结晶.
随着市场经济的发展,成本、利润、投入、产出、贷款、
效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁
使用,买卖与批发、存款与保险、股票与债券……几乎每
天都会碰到,而这些经济活动无一能离开数学.
2006 年以来全国食糖销售按月统计图
在许多地方,我们常见到如图1. 1 那样图案的地面,
它们分别是用同样大小的正方形和正六边形的地砖铺
成的. 这样形状的地砖能铺成平整、无空隙的地面.
图1. 1
那么除了这两种形状的地砖外,还有哪些形状的地
砖能够像图1. 1 那样铺满地面呢? 你可以在自己或同学
家里,也可以到建材商店观察一下还有哪些地砖(地板)
的图案,看看其中图形的形状.
你会发现如图1. 2 所示的各种形状的地砖,它们都
能够铺满地面.
上海东方明珠电视塔
4 ·第1 章 走进数学世界
图1. 2
现在让我们走进商场,看看购物中的数学.
某商场平时实行九八折优惠,国庆期间取消九八折
优惠,推出如下“有奖销售”活动:
一、有奖销售活动起讫日:2011 年10 月1 日起,奖券
10 000 张发完为止.
二、凡累计消费额满400 元,发奖券壹张.
三、开奖日期:2011 年10 月15 日.
四、本活动由天山公证处公证,并请顾客代表参加当天
的开奖仪式.
五、奖品设立:
特等奖2 名,各2000 元(奖品);
一等奖10 名,各800 元(奖品);
二等奖20 名,各200 元(奖品);
三等奖50 名,各100 元(奖品);
四等奖200 名,各50 元(奖品);
五等奖1000 名,各20 元(奖品).
中奖率高达12. 82% .
其中的奖品,特别是特等奖太诱人啦!
细心的小王仔细算了一下奖品的总金额:
2000 × 2 + 800 × 10 + 200 × 20 + 100 × 50 +
50 × 200 + 20 × 1000
= 51 000.
它仅占10 000 张奖券对应的最低销售总额400 ×
10 000 = 4 000 000 的1. 275% ,与平时的九八折(商场让
利2% )相差很远.
看来遇到这类“有奖销售”还得多动动脑子才行呢!
第1 章 走进数学世界·5
人人都能学会数学
数学并不神秘,不是只有天才才能学好数学,只要通
过努力,人人都能学会数学.
华罗庚的故事
宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之
变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学.
———华罗庚
我国著名的数学家华罗庚说:“聪明在于学习,天才
由于积累. ”这句话正是他一生的真实写照.
华罗庚,1910 年出生于江苏省金坛县,1924 年毕业
于该县公立初级中学. 以后,他又到上海中华职业学校读书,用不到一年半的时
间,就读完了两年的课程. 15 岁的时候,华罗庚迫于家境困难而辍学. 返回家乡
后,他一面帮助父亲在小杂货店里干活、记账,一面钻研数学.
父亲不愿意让他读书,而是让他干活. 就是在这种生活艰难、无人指导的困
境下,在一间斗室里,他以昏暗的油灯为伴,孜孜不倦地坚持自学. 20 岁时,他的
一篇论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》发表在上海《科
学》杂志上,显示出了这位20 岁青年的数学才华. 然而就在同一年,华罗庚患了
严重的伤寒病和关节炎. 在与疾病的斗争中,他意志顽强,坚韧不拔,终于战胜了
病魔,但他的左腿瘸了. 就是在此期间,他仍然努力钻研数学,接连取得了许多重
大的科研成果. 一般人从初中到大学毕业要八年时间,而华罗庚完全依靠自学,
只用了六年半的时间. 华罗庚正是凭着这种刻苦钻研的精神,终于成为举世公认
的大数学家.
6 ·第1 章 走进数学世界
从上面介绍的华罗庚的故事,我们可以看到,学好数
学要对数学有兴趣,要有刻苦钻研的精神,要善于发现和
提出问题,要善于独立思考.
学好数学还要善于把数学应用于实际问题. 下面让
我们试着来解决一个实际问题.
图1. 3 是6 级台阶侧面的示意图,如果要在台阶上
铺地毯,那么至少要买适合台阶宽度的地毯多少米?
图1. 3
要在台阶上铺地毯,实际上并不需要测出每一级台
阶的长度. 我们把图1. 3 想象为由一根绳子围成的图形,
将它拉成为一个长和宽分别为2. 8 米和1 米的长方形.
因此,台阶的总长就是
2. 8 + 1 = 3. 8 (米),
也就是至少要买适合台阶宽度的地毯3. 8 米.
解题时,善于把所给图形转化成我们熟悉的图形,往
往会给问题的解决带来方便.
去掉一个最高分和一个最低分
在歌手电视大奖赛上,全部评委亮分之后,在计算平
均分时,往往要先去掉一个最高分和一个最低分. 你知道
这是为什么吗?
大奖赛上,去掉一个最高分和一个最低分的目的,是
要略去评委评分中可能出现的异常值,使得一个或两个
评委的个人意愿不致影响参赛歌手的总成绩.
第1 章 走进数学世界·7
我们不妨看一个极端的例子. 某大奖赛有7 名评委,
他们给甲乙两选手打的分数分别是:
甲:9. 55, 9. 55, 9. 55, 9. 55, 9. 55, 9. 60, 9. 90;
乙:9. 50, 9. 60, 9. 60, 9. 60, 9. 60, 9. 60, 9. 70.
凭直觉,你认为哪个选手比较好一点?
我们用两种方式来计算一下.
(1) 直接算7 个分数的平均数.
甲的平均分:(9. 55 × 5 + 9. 60 + 9. 90) ÷ 7 = 9. 607;
乙的平均分:(9. 50 + 9. 60 × 5 + 9. 70) ÷ 7 = 9. 60.
(2) 去掉一个最高分和一个最低分,计算剩下5 个
分数的平均数.
甲的平均分:(9. 55 × 4 + 9. 60) ÷ 5 = 9. 56;
乙的平均分:(9. 60 × 5) ÷ 5 = 9. 60.
显然,用第二种方式比较符合直觉( 乙比较好一
些). 由于评委给甲打分时出现极端的最高分(9. 90),所
以直接计算7 个分数的平均数会出现偏差,而采用“去
掉一个最高分和一个最低分” 就可避免这样的偏差,显
得较为公平.
现在你对数学的印象如何? 你一定喜欢上它了,并
希望它天天陪伴你! 那么继续学习第2 章吧. 从第2 章
开始,你将在小学的基础上学到更多新的数学知识. 这些
新的数学知识一定会给你插上智慧的翅膀,使你在数学
世界里能更加自由地翱翔.
8 ·第1 章 走进数学世界
幻 方
传说在很久以前,夏禹治水来到洛水,洛水中浮起一只大乌龟,乌龟背上有
一个奇怪的图,图上有许多圈和点. 这些神秘的圈和点表示什么意思呢? 有人好
奇地数了一下龟背上的圈数和点数,再用数字表示出来,发现这里面有非常有趣
的关系:把龟背上的数填入3 × 3 的正方形方格中,不管是把横着的3 个数相加,
还是把竖着的3 个数相加,或者把斜着的3 个数相加,其和都等于15.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
洛 书
这就是我们所说的三阶幻方. 而有关幻方的最早记录,是约于公元前2200
年在我国出现的“洛书”.
构造这样的幻方是一种古老的游戏. 据说在15 世纪传入欧洲,人们把幻方
与占星术的七星———太阳、月亮、金星、木星、水星、火星与土星结合在一起,有的
还把幻方刻在银盘上当作避邪符.
对于幻方的研究吸引了众多的数学家与其他爱好者,成为一个广为热衷的
课题. 下面的图反映了四阶幻方的构造过程.
第2章 有理数
某天,沈阳的最低温度是- 2°C,表示零下2°C,可以读作“负2 摄氏度”. 这
里,出现了负数.
我们将会看到,除了表示温度以外,还有许多量需要用负数来表示. 引进了
负数,数的家庭将变得更加绚丽多彩,更加便于应用.
本章将研究有理数及其大小比较和运算.
10
·第2 章 有理数
2.1 有理数
1. 正数和负数
某天,沈阳的最低温度是- 2°C,表示零下2°C;最高
温度是13°C,表示零上13°C. 零上13°C 和零下2°C 是具
有相反意义的量,我们用正数和负数来表示.
在日常生活中,还有许多具有相反意义的量,都可以
用正数或负数来表示. 我们看几个例子:
(1) 汽车向东行驶3. 5 千米或向西行驶2. 5 千米.
如果规定向东为正,那么向西为负. 向东行驶3. 5 千
米记作3. 5 千米,向西行驶2. 5 千米记作- 2. 5 千米.
(2) 收入500 元或支出237 元.
如果规定收入为正,那么支出为负. 收入500 元记作
500 元,支出237 元记作- 237 元.
(3) 水位升高1. 2 米或下降0. 7 米.
如果规定升高为正,那么下降为负. 升高1. 2 米记作
1. 2 米,下降0. 7 米记作- 0. 7 米.
概括
在以上讨论出现的数中,像- 2、- 2. 5、- 237、
- 0. 7 这样的数是负数(negative number),像13、3. 5、
500、1. 2 这样的数是正数( positive number). 正数前面
有时也可放上一个“ + ” (读作“正”) 号,如7 可以写成
+ 7.
注意
零既不是正数,也不是负数.
你能再举
出几对日常生
活中具有相反
意义的量吗?
先规定某一
种意义为正,那么
与它相反的意义
为负. 负的量用负
数表示.
+ 7 和7 是
一样的.
第2 章 有理数·11
数的产生与发展
我们学过各种各样的数,那么,数是怎样产生并发展起来的呢?
我们知道,为了表示物体的个数或者顺序,产生了整数1, 2,
3, …;为了表示“没有”,引入了数0;有时分配、测量的结果不是整数,
需要用分数(小数)表示;为了表示具有相反意义的量,我们又引进了负
数……总之,数是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的.
练 习
(第2 题)
1. 举出几个具有相反意义的量,并用正数或负数来
表示.
2. 在中国地形图上,珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标
有表明它们高度的数(单位:米),如图所示. 这种数
表示海拔高度,它是相对于海平面来说的. 请说出
图中所示的数8844 和- 155 表示的实际意义. 海平
面的高度用什么数表示?
3. 下列各数中,哪些是正数? 哪些是负数?
+ 6, - 21, 54, 0, 22
7 , - 3. 14, 0. 001, - 999.
4. “一个数,如果不是正数,必定就是负数. ”这句话对不对? 为什么?
2. 有理数
到目前为止,我们所学过的数就可以分为以下几类:
正整数,如1, 2, 3, …;
零,即0;
负整数,如- 1, - 2, - 3, …;
12
·第2 章 有理数
正分数,如1
3 , 22
7 , 4. 5(即4 1
2 ),…;
负分数,如- 1
2 , - 2 2
7 , - 0. 3(即- 3
10),….
正整数、零和负整数统称整数(integer),正分数和负
分数统称分数(fraction).
整数和分数统称有理数(rational number).
“有理数”的英文名rational number 中的单词rational 应看成ratio
(比、比率) 的形容词形式. 因此,rational number 应该理解为“ 比率
数”,即可以表示为两个整数之商(比率)的数. 在学习了有理数的除
法(第2. 10 节)之后我们可以看到,这样的解释准确地描述了有理数
的本质.
我们可以把已经学过的数作出如下分类:
有理数
整数
正整数
零
负整数
ì
î
í
ïï
ïï
分数正分数
负分数
{
ì
î
í
ïï
ïï
把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集
(set of numbers). 所有有理数组成的数集叫做有理数集.
类似地,所有整数组成的数集叫做整数集,所有负数组成
的数集叫做负数集,所有正整数与零组成的数集叫做非
负整数集(即自然数集),如此等等.
第2 章 有理数·13
●
例
把下列各数填入表示它所在的数集的圈里:
- 18, 22
7 , 3. 1416, 0, 2012, - 3
5 , - 0. 142 857, 95% .
…
正数集
…
负数集
…
整数集
…
有理数集
●
解
22
7 , 3. 1416,
2012, 95% ,
…
- 18, - 3
5 ,
- 0. 142 857,
…
正数集 负数集
- 18, 0, 2012,
…
-18, 22
7 , 3. 1416, 0, 2012,
- 3
5 , - 0. 142 857, 95% ,
…
整数集 有理数集
练 习
1. 请说出两个正整数,两个负整数,两个正分数,两个负分数. 它们都是有理数吗?
2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 若有,请说出这样的数.
14
·第2 章 有理数
习题2. 1
1. 下列各数中,哪些是整数? 哪些是分数? 哪些是正数? 哪些是负数?
1, - 0. 10, 5
8 , - 789, 325, 0, - 20, 10. 10, 1000. 1, - 5% .
2. 下面两个圈分别表示正数集和整数集,请找出9 个数填入这两个圈中,使其中每
个圈中正好有6 个数. 你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗?
… …
正数集 整数集
(第2 题)
3. 下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2 两题中的各数填入相应的大括
号里:
正整数集:{ …};
负整数集:{
…};
整数集:{
…};
有理数集:{
…};
正有理数集:{
…};
负有理数集:{
…};
自然数集:{
…}.
4. 分别观察下面各题中依次排列的一些数,猜测它们的排列各有什么规律? 请按
你猜测的规律,接着写出后面的3 个数. 你能分别说出各题排列的数中第10 个
数、第100 个数、第200 个数、第201 个数是什么吗?
(1) 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, , , , …;
(2) 1, - 2, 3, - 4, 5, - 6, 7, - 8, , , , …;
(3) - 1, 1
2 , - 1
3 , 1
4 , - 1
5 , 1
6 , - 1
7 , , , , ….
第2 章 有理数·15
2.2 数 轴
1. 数轴
我们在小学学习数学时,就能用直线上依次排列
的点来表示自然数,它帮助我们认识了自然数的大小
关系.
如图2. 2. 1,温度计上有刻度,我们可以方便地读出
温度的度数,并且可以区分出是零上还是零下.
与温度计相仿,我们可以在一条直线上规定一个正
方向,用这条直线上的点表示正数、零和负数. 具体做法
如下:
画一条直线( 通常画成水平位置) ,在这条直线上
任取一点作为原点( origin) ,用这点表示数0. 规定直
线上从原点向右为正方向,画上箭头,则相反方向为负
方向. 再选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,
每隔一个单位长度取一点,依次标上1, 2, 3,…;从原
点向左,每隔一个单位长度取一点,依次标上- 1, - 2,
- 3,…. 如图2. 2. 2 所示.
图2. 2. 2
概括
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做
数轴(number axis).
在数轴上,除了数0 用原点表示外,要表示任何一个
不为零的有理数,可以先根据这个数的正负号确定它在
数轴上原点的哪一边(正数在原点的右边,负数在原点
的左边),再在相应的方向上确定它与原点相距几个单
能不能用直
线上的点表示有
理数? 从温度计
上能否得到一点
启发呢?
图2. 2. 1
16
·第2 章 有理数
位长度,然后画上相应的点. 例如,在数轴上表示- 4. 5,
即在原点的左边4. 5 个单位长度处画上相应的点.
●
例1
画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数
的点:
4, - 2, - 4. 5, 1 1
3 , 0.
●
解
如图2. 2. 3 所示.
图2. 2. 3
练 习
1. 下列各图表示的数轴是否正确? 为什么?
(1)
(2)
(3)
2. 在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边? 与原点距离多少个单位长度?
- 3, 4. 2, - 1, 1
2 .
3. 指出数轴上的点A、B、C、D 分别表示什么数.
(第3 题)
4. 先画出数轴,再在数轴上画出表示下列各数的点,最后按数轴上从左到右的顺序,
将这些数重新排列:
- 1. 8, 0, - 3. 5, 10
3 , 6 1
2 .
第2 章 有理数·17
2. 在数轴上比较数的大小
在小学里,我们已经学会比较两个正数的大小,那
么,引进负数后,怎样比较两个有理数的大小呢? 例如,1
与- 2 哪个大? - 1 与0 哪个大? - 3 与- 4 哪个大?
探索
(1) 任意写出两个正数,在数轴上画出表示它们
的点,较大的数与较小的数的对应点的位置有什么
关系?
(2) 1°C 与- 2°C 哪个温度高? - 1°C 与0°C 哪个温
度高? - 3°C 与- 4°C 哪个温度高? 这些关系在温度计
上表现为怎样的情形?
概括
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
由此容易得到如下大小比较法则:
正数都大于零,负数都小于零,正数都大于负数.
●
例2
将下列各数按从小到大的顺序排列,并用
“ < ”号连接起来:
3, 0, 1 5
6 , - 4.
●
解
容易知道1 5
6 < 3,再由上面的比较法则,得
- 4 < 0 < 1 5
6 < 3.
●
例3
比较下列各数的大小:
- 1. 3, 0. 3, - 3, - 5.
●
解
将这些数分别在数轴上表示出来,如图2. 2. 4.
把温度计横
过来放, 就像一
条数轴. 从这个
事实中, 能得到
怎样的启发?
在数轴上
画出表示这些
数的点, 再比
较大小, 结果
怎样?
18
·第2 章 有理数
图2. 2. 4
可以看出
- 5 < - 3 < - 1. 3 < 0. 3.
练 习
1. 判断下列有理数的大小比较是否正确,并说明理由:
(1) 2. 9 > - 3. 1;
(2) 0 < - 14;
(3) - 10 > - 9;
(4) - 5. 4 < - 4. 5.
2. 用“ < ”号或“ > ”号填空:
(1) 3. 6 2. 5;
(2) - 3 0;
(3) - 16
- 1. 6;
(4) + 1
- 10;
(5) - 2. 1
+ 2. 1;
(6) - 9
- 7.
习题2. 2
(第1 题)
(第3 题)
1. 指出数轴上A、B、C、D 各点所表示的数.
2. 画出数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:
(1) - 2. 1, - 3, 0. 5, 4 1
2 ; (2) - 50, 250, 0, - 400.
3. 如图,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3 个单位长度,再向左移动5 个
单位长度. 可以看出,终点表示的数是- 2.
已知A、B 是数轴上的点,请参照上图,完成下列填空:
第2 章 有理数·19
(1) 如果点A 表示数- 3,将点A 向右移动7 个单位长度,那么终点表示的数是
;
(2) 如果点A 表示数3,将点A 向左移动7 个单位长度,再向右移动5 个单位长
度,那么终点表示的数是 ;
(3) 如果将点B 向右移动3 个单位长度,再向左移动5 个单位长度,终点表示的
数是0,那么点B 表示的数是 .
4. 在数轴上分别画出表示下列每对数的点,并比较它们的大小:
(1) - 8, - 6; (2) - 5, 0. 1; (3) - 1
4 , 0;
(4) - 4. 2, - 5. 1;
(5) 2
3 , 3
2 ;
(6) + 1
5 , 0.
5. 画出数轴,把下列各组数分别在数轴上表示出来,并按从小到大的顺序排列,用
“ < ”号连接起来:
(1) 1, - 2, 3, - 4;
(2) - 1
3 , 0, - 3, 0. 2.
6. 下表是某年1 月份我国几个城市的平均气温,请将各城市按平均气温从高到低
的顺序排列.
北 京
上 海
沈 阳
广 州
济 南
- 5. 6°C
2. 3°C
- 16. 8°C
16. 6°C
- 3. 2°C
7. 下列各数是否存在? 如果存在,把它们找出来:
(1) 最小的正整数; (2) 最小的负整数;
(3) 最大的负整数;
(4) 最小的整数.
2.3 相反数
在数轴上,画出表示以下两对数的点:
- 6 和6, 1. 5 和- 1. 5.
这两对点有什么共同点?
20
·第2 章 有理数
如图2. 3. 1,在数轴上, -6 和6 所对应的点位于原点
的两旁,且与原点的距离相等,也就是说,它们相对于原点
的位置只有方向不同.1. 5 和-1. 5 所对应的点也是这样.
图2. 3. 1
容易看出,每对数中的两个数,都只有正负号不同.
概括
像6 和- 6、1. 5 和- 1. 5 那样,只有正负号不同的
两个数称互为相反数(opposite number),也就是说,其中
一个数是另一个数的相反数. 这里,6 和- 6 互为相反数,
6 是- 6 的相反数, - 6 是6 的相反数.
在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点
的两旁,且与原点的距离相等.
我们规定:零的相反数是零.
●
例1
分别写出下列各数的相反数:
+ 5, - 7, - 3 1
2 , 11. 2.
●
解
+ 5 的相反数是- 5, - 7 的相反数是7,
- 3 1
2 的相反数是3 1
2 ,11. 2 的相反数是- 11. 2.
我们通常在一个数的前面添上“ - ”号,表示这个数
的相反数. 例如, - 4、+ 5. 5 的相反数分别为:
- ( - 4) = 4, - ( + 5. 5) = - 5. 5.
在一个数的前面添上“ + ” 号,仍表示这个数本身.
例如:
+ ( - 4) = - 4, + ( + 12) = 12.
除零外,数
轴上还有没有
表示别的数的
点,它与原点的
距离也等于0?
第2 章 有理数·21
●
例2
化简:
(1) - ( + 10);
(2) + ( - 0. 15);
(3) + ( + 3);
(4) - ( - 20).
●
解
(1) - ( + 10) = - 10.
(2) + ( - 0. 15) = - 0. 15.
(3) + ( + 3) = + 3 = 3.
(4) - ( - 20) = 20.
练 习
1. 填空:
(1) 2. 5 的相反数是 ; (2) 是- 100 的相反数;
(3) - 5 1
5 是 的相反数;
(4) 的相反数是- 1. 1;
(5) 8. 2 和 互为相反数.
2. 化简:
(1) - ( + 0. 78);
(2) +
+ 9 1
5
(
);
(3) - ( - 3. 14);
(4) + ( - 10. 1).
3. 判断下列语句是否正确,并说明理由:
(1) 正负号相反的两个数叫做互为相反数;
(2) 相反数和我们以前学过的倒数是一样的;
(3) 一个数的相反数的相反数等于这个数.
习题2. 3
1. 分别写出下列各数的相反数:
- 2. 5, 1, 0, 3 1
2 , - 10.
22
·第2 章 有理数
2. 画出数轴,在数轴上表示下列各数及它们的相反数:
4 1
4 , - 2, 0, - 3. 75.
3. 化简:
(1) - ( - 16); (2) - ( + 25); (3) + ( - 12);
(4) + ( + 2. 1);
(5) - ( + 33);
(6) -
- 1
10
(
).
4. 试回答下列问题:
(1) 什么数的相反数大于它本身?
(2) 什么数的相反数等于它本身?
(3) 什么数的相反数小于它本身?
2.4 绝对值
观察
在一些量的计算中,有时并不注重其方向. 例如,计
算汽车行驶所耗的汽油,需要关注的是汽车行驶的路程,
而无需关注其行驶的方向.
在讨论数轴上的点与原点的距离时,只需要观察它
与原点之间相隔多少个单位长度,而与它位于原点哪一
边无关.
我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数
a 的绝对值(absolute value),记作| a| .
例如,在数轴上表示+ 5 的点与原点的距离是5,所
以+ 5 的绝对值是5,记作| + 5 | = 5 ;在数轴上表示- 6
的点与原点的距离是6,所以- 6 的绝对值是6,记作
| - 6 | = 6.
第2 章 有理数·23
(1) | + 2 | = ,
1
5
= , | + 8. 2 | = ;
(2) |0 | = ;
(3) | -3 | = , | -0. 2 | = , | -8. 2 | = .
概括
由绝对值的意义,我们可以知道:
1. 一个正数的绝对值是它本身;
2. 零的绝对值是零;
3. 一个负数的绝对值是它的相反数.
你能将上面的结论用数学式子表示吗?
1. 当a > 0 时,| a | = ;
2. 当a = 0 时,| a | = ;
3. 当a < 0 时,| a | = .
由此可以看出,任何一个有理数的绝对值总是正数
或0(通常也称非负数). 即对任意有理数a,总有
| a| ≥0.
●
例1
求下列各数的绝对值:
- 15
2 , + 1
10, - 4. 75, 10. 5.
●
解
- 15
2
= 15
2 ,
+ 1
10
= 1
10,
| - 4. 75 | = 4. 75,
| 10. 5 | = 10. 5.
怎样求一
个数的绝对
值? 从这些结
果中你能发现
什么规律?
绝对值等
于它本身的数
有哪些?
24
·第2 章 有理数
●
例2
化简:
(1)
-
+ 1
2
(
)
;
(2) -
- 1 1
3
.
●
解
(1)
-
+ 1
2
(
)
=
- 1
2
= 1
2 .
(2) -
- 1 1
3
= - 1 1
3 .
练 习
1. 求下列各数的绝对值:
- 5, 4. 5, - 0. 5, + 1, 0.
2. 填空:
(1) - 3 的正负号是 ,绝对值是 ;
(2) 10. 5 的正负号是 ,绝对值是 ;
(3) 绝对值是7 的正数是 ;
(4) 绝对值是5. 1 的负数是 .
3. 回答下列问题:
(1) 绝对值是12 的数有几个? 是什么?
(2) 绝对值是0 的数有几个? 是什么?
(3) 有没有绝对值是- 3 的数? 为什么?
习题2. 4
1. 在数轴上表示下列各数,并分别写出它们的绝对值:
- 3
2 , 5, 0, - 2, 4. 2.
第2 章 有理数·25
2. 化简:
(1) -
- 2
3
;
(2) + | - 14 | ;
(3)
-
+ 3 1
2
(
)
;
(4) | - ( - 6. 5) | .
3. 计算:
(1) | + 6 | + | - 5 | ;
(2) | - 3. 3 | - | - 2. 1 | ;
(3) | - 4. 5 | × | + 0. 2 | ;
(4)
3
2
÷
- 2
3
.
4. 下列说法是否正确? 为什么?
(1) 有理数的绝对值一定是正数;
(2) 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;
(3) 如果一个数是正数,那么这个数的绝对值是它本身;
(4) 如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是正数.
2.5 有理数的大小比较
由2. 2 节我们知道:在数轴上表示的两个有理数,右
边的数总比左边的数大;正数都大于零,负数都小于零,
正数都大于负数.
那么,怎样直接比较两个负数的大小呢?
例如, - 3 与- 5 哪个大? - 1. 3 与- 3 哪个大?
探索
在2. 2 节的例3 中,我们在图2. 2. 4 所示的数轴上,
画出了表示- 3、- 5 与- 1. 3 的点. 通过观察, 得到
- 5 < - 3, - 3 < - 1. 3.
从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗?
说说你的道理.
再找几对
负数,在数轴上
比较一下.
26
·第2 章 有理数
概括
在数轴上,表示两个负数的两个点中,与原点距离较
远的那个点在左边,也就是绝对值大的点在左边. 所以,
两个负数,绝对值大的反而小.
例如, 比较- 3
4 和- 3
2 的大小, 我们可以分两步
进行:
(1) 先分别求出它们的绝对值,并比较其大小:
- 3
4
= 3
4 ,
- 3
2
= 3
2 ,
3
2 > 3
4 ;
(2) 根据“两个负数,绝对值大的反而小”,得出结论:
- 3
4 > - 3
2 .
●
例
比较下列各对数的大小:
(1) - 1 与- 0. 01;
(2) - | - 2 | 与0;
(3) -
- 1
9
(
)与-
- 1
10 ; (4) - 3
4 与- 2
3 .
●
解
(1) 这是两个负数比较大小,因为
| - 1 | = 1, | - 0. 01 | = 0. 01,
且
1 > 0. 01,
所以
- 1 < - 0. 01.
(2) 化简
-| - 2 | = - 2.
因为负数小于0,所以
-| - 2 |
< 0.
你能从“怎
样比较零度以
下两个温度的
高低” 来解释这
个法则吗?
第2 章 有理数·27
(3) 分别化简两数,得
-
- 1
9
(
) = 1
9 ,
-
- 1
10
= - 1
10.
因为正数大于负数,所以
-
- 1
9
(
) > -
- 1
10 .
(4) 这是两个负分数比较大小,因为
- 3
4
= 3
4 = 9
12,
- 2
3
= 2
3 = 8
12,
从而
- 3
4
>
- 2
3 ,
所以
- 3
4 < - 2
3 .
练 习
1. 用“ < ”号或“ > ”号填空:
(1) 因为
- 5
3
- 3
5
,所以- 5
3
- 3
5 ;
(2) 因为| - 10 |
| - 100 | ,所以- 10
- 100.
2. 判断下列大小比较是否正确:
(1) | - 0. 23 | < | - 0. 32 | ; (2) | - 3 | < | + 3 | ;
(3)
+ 1
7
>
- 1
6
;
(4)
- 1
2
<
- 1
3
.
3. 比较下列各对数的大小:
(1) - 3
4 与- 4
5 ;
(2) - 5
8 与- 0. 618.
4. 回答下列问题:
(1) 大于- 4 的负整数有哪几个?
(2) 小于4 的正整数有哪几个?
(3) 大于- 4 且小于4 的整数有哪几个?
28
·第2 章 有理数
习题2. 5
1. 比较下列各对数的大小:
(1) - 9. 1 与- 9. 099; (2) - 8 与| - 8 | ;
(3) - 5
6 与- 7
8 ;
(4) -| - 3. 2 | 与- ( + 3. 2).
2. 将下列各数按从小到大的顺序排列,并用“ < ”号连接起来:
0, - 3. 14, - 22
7 , 2. 7, - 4, 0. 14.
3. 写出绝对值小于5 的所有整数,并在数轴上表示出来.
4. 回答下列问题:
(1) 有没有最小的正数? 有没有最大的负数? 为什么?
(2) 有没有绝对值最小的有理数? 若有,请把它写出来.
2.6 有理数的加法
1. 有理数的加法法则
问题
小明在一条东西向的跑道上,先走了20 米,又走了
30 米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,与原
来位置相距多少米?
我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解
答. 可是上述问题不能得到确定的答案,因为小明最后的
位置与行走方向有关.
第2 章 有理数·29
试验
我们必须把这一问题说得明确些. 不妨规定向东为
正,向西为负.
(1) 若两次都是向东走,很明显,一共向东走了50
米. 写成算式是
( + 20) + ( + 30) = + 50,
即小明位于原来位置的东边50 米处.
这一运算过程在数轴上可表示为图2. 6. 1.
图2. 6. 1
(2) 若两次都是向西走,则小明现在位于原来位置
的西边50 米处. 写成算式是
( - 20) + ( - 30) = - 50.
(3) 若第一次向东走20 米,第二次向西走30 米,在
数轴上(图2. 6. 2),我们可以看到,小明位于原来位置的
西边10 米处.
图2. 6. 2
写成算式是
( + 20) + ( - 30) = - 10.
(4) 若第一次向西走20 米,第二次向东走30 米,则
小明位于原来位置的( )边( )米处. 写
成算式是
( - 20) + ( + 30) = ( ).
还有哪些
可能情形? 你
能把问题补充
完整吗?
试一试, 画
出数轴, 在括号
内填上答案.
30
·第2 章 有理数
后两种情形中两个加数的正负号不同(通常可称异
号),让我们再试几次(下列算式中各个加数的正负号和
绝对值仍分别表示运动的方向和路程):
( + 4) + ( - 3) = ( ),
( + 3) + ( - 10) = ( ),
( - 5) + ( + 7) = ( ),
( - 6) + 2 = ( ).
还有两种特殊情形:
(5) 第一次向西走了30 米,第二次向东走了30 米.
写成算式是
( - 30) + ( + 30) = ( ).
(6) 第一次向西走了30 米,第二次没走. 写成算式是
( - 30) + 0 = ( ).
探索
从上述(1)!(6)所写出的算式中,你能总结出一些
规律吗?
概括
综合以上情形,有如下有理数加法法则:
1. 同号两数相加,取与加数相同的正负号,并把绝
对值相加;
2. 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的
加数的正负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
3. 互为相反数的两个数相加得零;
4. 一个数与零相加,仍得这个数.
注意
一个有理数由正负号和绝对值两部分组成,进行加
法运算时,应注意确定和的正负号及绝对值.
这里从运算
角度反映了相反
数的一个特性.
第2 章 有理数·31
●
例1
计算:
(1) ( + 2) + ( - 11);
(2) ( - 12) + ( + 12);
(3)
- 1
2
(
) +
- 2
3
(
) ;
(4) ( - 3. 4) + 4. 3.
●
解
(1) ( + 2) + ( - 11) = - (11 - 2) = - 9.
(2) ( - 12) + ( + 12) = 0.
(3)
- 1
2
(
) +
- 2
3
(
) = -
1
2 + 2
3
(
) = - 1 1
6 .
(4) ( - 3. 4) + 4. 3 = + (4. 3 - 3. 4) = 0. 9.
练 习
1. 填表:
加 数
加 数
和的组成
正负号
绝对值
和
- 12
3
-
12 - 3
- 9
18
8
- 9
16
- 9
- 5
2. 计算:
(1) 10 + ( - 4); (2) ( + 9) + 7;
(3) ( - 15) + ( - 32);
(4) ( - 9) + 0;
(5) 100 + ( - 100);
(6) ( - 0. 5) + 4. 4;
(7)
- 1. 5
(
)+ (1. 25);
(8)
- 1
2
(
)+
- 1
6
(
).
3. 填空:
(1) ( ) + ( - 3) = - 8;
(2) ( ) + ( - 3) = 8;
(3) ( - 3) + ( ) = - 1;
(4) ( - 3) + ( ) = 0.
4. 回答下列问题:
(1) 两个正数相加,和是否一定大于每个加数?
(2) 两个有理数相加,和是否一定大于每个加数?
试说出每
一小题计算的
依据.
32
·第2 章 有理数
2. 有理数加法的运算律
在小学里我们知道,数的加法满足交换律,例如
5 + 3. 5 = 3. 5 + 5;
还满足结合律,例如
(5 + 3. 5) + 2. 5 = 5 + (3. 5 + 2. 5).
引进了负数以后,这些运算律是否还成立呢? 也就
是说,上面两个等式中,将5、3. 5 和2. 5 换成任意的有
理数,是否仍然成立呢?
探索
(1) 任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分
别填入下列□和○内,并比较两个运算结果:
+ ○和○+
;
(2) 任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分
别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:
(
+ ○) + ◇和
+ (○+ ◇).
你能发现什么?
概括
有理数的加法仍满足交换律和结合律.
加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变.
a + b = b + a.
加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者
先把后两个数相加,和不变.
(a + b) + c = a + (b + c).
第2 章 有理数·33
这样,多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,
也可以先把其中的几个数相加,使计算简化.
●
例2
计算:
(1) ( + 26) + ( - 18) + 5 + ( - 16);
(2) ( - 1.75) + 1.5 + ( + 7.3) + ( - 2.25) + ( - 8.5).
●
解
(1) ( + 26) + ( - 18) + 5 + ( - 16)
= (26 + 5) + [( - 18) + ( - 16)]
= 31 + ( - 34)
= - (34 - 31)
= - 3.
(2) ( - 1.75) + 1.5 + ( + 7.3) + ( - 2.25) + ( - 8.5)
= [(- 1.75) + (- 2.25)] + [1.5 + (- 8.5)] + 7.3
= ( - 4) + ( - 7) + 7. 3
= ( - 4) + [( - 7) + 7. 3]
= ( - 4) + 0. 3
= - 3. 7 .
●
例3
10 筐苹果,以每筐30 千克为基准,超过
的千克数记作正数, 不足的千克数记作负数, 记录
如下:
2, - 4, 2. 5, 3, - 0. 5, 1. 5, 3, - 1, 0, - 2. 5.
问这10 筐苹果总共重多少?
●
解
2 + ( - 4) + 2. 5 + 3 + ( - 0. 5) + 1. 5 + 3 +
( - 1) + 0 + ( - 2. 5)
= (2 + 3 + 3) + ( - 4) + [2. 5 + ( - 2. 5)] +
[( - 0. 5) + ( - 1) + 1. 5]
= 8 + ( - 4) = 4 .
30 × 10 + 4 = 304(千克).
答:这10 筐苹果总共重304 千克.
这样的“ 交
换”、“ 结合” 给
计算带来了什么
方便?
回顾例2、
例3 的解答,思
考:将怎样的加
数结合在一起,
可使运算简便?
34
·第2 章 有理数
练 习
1. 计算:
(1) ( - 7) + ( + 10) + ( - 11) + ( - 2);
(2) 2 + ( - 3) + ( + 4) + ( - 5) + 6;
(3) ( - 9. 6) + 1. 5 + ( - 0. 4) + ( - 0. 3) + 8. 5.
2. 某天早晨的气温是- 3°C,到中午升高了5°C,晚上又降低了3°C,到午夜又降低了
4°C. 求午夜时的温度. (提示:降低了3°C 就是升高了- 3°C)
习题2. 6
1. 计算:
(1) ( - 12) + ( + 3); (2) ( + 15) + ( - 4);
(3) ( - 16) + ( - 8);
(4) ( + 23) + ( + 24);
(5) ( - 102) + ( + 102);
(6) ( - 32) + ( - 11);
(7) ( - 35) + 0;
(8) 78 + ( - 85).
2. 计算:
(1) ( - 0. 9) + ( + 1. 5);
(2) ( + 6. 5) + 3. 7;
(3) 1. 5 + ( - 8. 5);
(4) ( - 4. 1) + ( - 1. 9);
(5)
- 1
3
(
) +
- 1
6
(
);
(6) ( - 4. 2) + 4. 25.
3. 计算:
(1) ( + 14) + ( - 4) + ( - 2) + ( + 26) + ( - 3);
(2) ( - 83) + ( + 26) + ( - 41) + ( + 15);
(3) ( - 1. 8) + ( + 0. 7) + ( - 0. 9) + 1. 3 + ( - 0. 2);
(4) 1
4 +
- 3 1
3
(
) +
+ 4 3
4
(
) +
- 6 2
3
(
).
4. 列式并计算:
(1) + 1. 2 与- 3. 1 的绝对值的和;
(2) 4 2
3 与- 1
3 的和的相反数.
第2 章 有理数·35
5. 利用有理数加法解下列各题:
(1) 仓库内原存某种原料3500 千克,一周内存入和领出情况如下(存入为正,单
位:千克):
1500, - 300, - 650, 600, - 1800, - 250, - 200.
问第七天末仓库内还存有这种原料多少千克?
(2) 某公路养护小组乘车沿南北向公路巡视维护. 某天早晨从A 地出发,晚上最
后到达B 地. 约定向北为正方向,当天的行驶记录如下(单位:千米):
+ 18, - 9, + 7, - 14, - 6, + 13, - 6, - 8.
试问B 地在A 地的哪个方向? 它们相距多少千米? 如果汽车行驶每千米
耗油a 升,那么该天共耗油多少升?
2.7 有理数的减法
珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8844 米和- 155 米,你
知道珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少吗?
这一问题通常可列出算式
8844 - ( - 155).
那么,怎样进行有理数的减法呢? 我们不妨先看一
个简单的问题:
计算:
( - 8) - ( - 3).
根据减法的意义,这就是要求一个数“ ? ”,使
( ? ) + ( - 3) = - 8.
36
·第2 章 有理数
根据有理数的加法运算,有
( - 5) + ( - 3) = - 8,
所以
( - 8) - ( - 3) = - 5.
①
填空:
( - 8) + ( ) = - 5.
容易得到
( - 8) + ( + 3) = - 5.
②
比较①、②两式,我们发现: - 8“减去- 3”与“加上
+ 3”的结果是相同的,即
( - 8) - ( - 3) = ( - 8) + ( + 3).
概括
从上述结果我们可以发现:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
这就是有理数减法法则.
●
例
计算:
(1) ( - 32) - ( + 5);
(2) 7. 3 - ( - 6. 8);
(3) ( - 2) - ( - 25);
(4) 12 - 21 .
●
解
(1) ( -32) -( + 5) = ( -32) +
减号变加号
↓
(- 5
减数变相反数
↑
) = -37.
(2) 7. 3 -( -6. 8) = 7. 3 +
减号变加号
↓
6.
减数变相反数
↑
8 = 14. 1.
(3) ( - 2) - ( - 25) = ( - 2) + 25 = 23 .
(4) 12 - 21 = 12 + ( - 21) = - 9 .
这样做减法
太繁了, 能不能
找出一个法则直
接进行计算?
再举一组
数试一试,你能
发现什么规律?
你能从本节
开头“做一做” 的
问题, 来解释这
个法则吗?
注意:两处
必须同时改变
符号.
第2 章 有理数·37
练 习
1. 在下列括号内填上适当的数:
(1) ( - 2) - ( - 3) = ( - 2) + ( );
(2) 0 - ( - 4) = 0 + ( );
(3) ( - 6) - 3 = ( - 6) + ( );
(4) 1 - ( + 39) = 1 + ( ).
2. 计算:
(1) ( + 3) - ( - 2); (2) ( - 1) - ( + 2);
(3) 0 - ( - 3);
(4) 1 - 5;
(5) ( - 23. 6) - ( - 12. 4);
(6) 2
3 -
- 1
2
(
).
3. 填空:
(1) 温度3°C 比- 8°C 高 °C;
(2) 温度- 9°C 比- 1°C 低 °C;
(3) 海拔- 20 m 比- 30 m 高 m;
(4) 从海拔22 m 到- 10 m,下降了 m.
习题2. 7
1. 计算:
(1) ( - 14) - ( + 15); (2) ( - 14) - ( - 16);
(3) ( + 12) - ( - 9);
(4) 12 - ( + 17);
(5) 0 - ( + 52);
(6) 108 - ( - 11).
2. 计算:
(1) 4. 8 - ( + 2. 3);
(2) ( - 1. 24) - ( + 4. 76);
(3) ( - 3. 28) - 1;
(4) 2 -
- 3 1
2
(
).
3. 计算:
(1) [( - 4) - ( + 7)] - ( - 5);
(2) 3 - [( - 3) - 12 ];
(3) 8 - (9 - 10);
(4) (3 - 5) - (6 - 10).
38
·第2 章 有理数
(第5 题)
4. 下表是某地连续5 天内每天的最高气温与最低气温记录,在这5 天中,哪天的温
差(最高气温与最低气温的差)最大? 哪天的温差最小?
一
二
三
四
五
最高气温(°C)
- 1
5
6
8
11
最低气温(°C)
- 7
- 3
- 4
- 1
2
5. 如图为某一矿井的示意图:以地面为准,点A 的高度是+ 4. 2 米,
B、C 两点的高度分别是- 15. 6 米与- 30. 5 米. 点A 比点B 高多
少米? 比点C 呢?
6. 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离:
(1) 3 与- 2. 2; (2) 4. 75 与2. 25;
(3) - 4 与- 4. 5;
(4) - 3 2
3 与2 1
3 .
你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗?
2.8 有理数的加减
混合运算
1. 加减法统一成加法
算式( - 8) - ( - 10) + ( - 6) - ( + 4),是有理数的
加减混合运算,可以按照运算顺序,从左到右逐步计算.
也可以用有理数减法法则, 把它改写成( - 8 ) +
( + 10) + ( - 6) + ( - 4),统一为只有加法运算的和式.
在一个和式里,通常把各个加数的括号和它前面的
加号省略不写. 如上式可写成省略加号的和的形式:
- 8 + 10 - 6 - 4.
这个式子仍可看作和式,读作“负8、正10、负6、负4 的
和”. 从运算意义看,上式也可读作“负8 加10 减6 减4”.
第2 章 有理数·39
●
例1
把
+ 2
3
(
) +
- 4
5
(
) -
+ 1
5
(
) -
- 1
3
(
) -
( + 1) 写成省略加号的和的形式,并把它读出来.
●
解
+ 2
3
(
) +
- 4
5
(
) -
+ 1
5
(
) -
- 1
3
(
) - ( +1)
=
+ 2
3
(
) +
- 4
5
(
) +
- 1
5
(
) +
+ 1
3
(
) + ( - 1)
= 2
3 - 4
5 - 1
5 + 1
3 - 1.
读作“ 2
3 、- 4
5 、- 1
5 、1
3 、- 1 的和”,也可读作“ 2
3
减4
5 减1
5 加1
3 减1”.
练 习
1. 把下列各式写成省略加号的和的形式,并说出它们的两种读法:
(1) ( - 12) - ( + 8) + ( - 6) - ( - 5);
(2) ( + 3. 7) - ( - 2. 1) - 1. 8 + ( - 2. 6).
2. 按运算顺序直接计算:
(1) ( - 16) + ( + 20) - ( + 10) - ( - 11);
(2)
+ 1
2
(
)-
- 1
3
(
)+
- 1
4
(
)-
+ 1
6
(
).
2. 加法运算律在加减混合运算中的应用
联想
因为有理数的加减法可以统一成加法,所以在进行有
理数加减混合运算时,可以适当应用加法运算律,简化计算.
●
例2
计算:
(1) - 24 + 3. 2 - 16 - 3. 5 + 0. 3;
和式中第一
个加数若是正
数,正号也可以
省略不写.
40
·第2 章 有理数
(2) 0 - 21 2
3 +
+ 3 1
4
(
) -
- 2
3
(
) -
+ 1
4
(
).
●
解
(1) 因为原式表示- 24、3. 2、- 16、- 3. 5、
0. 3 的和,所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合
进行计算,即
- 24 + 3. 2 - 16 - 3. 5 + 0. 3
= ( - 24 - 16) + (3. 2 + 0. 3) - 3. 5
= - 40 + (3. 5 - 3. 5)
= - 40 + 0
= - 40.
(2) 0 - 21 2
3 +
+ 3 1
4
(
) -
- 2
3
(
) -
+ 1
4
(
)
= 0 - 21 2
3 +
+ 3 1
4
(
) +
+ 2
3
(
) +
- 1
4
(
)
= - 21 2
3 + 3 1
4 + 2
3 - 1
4
=
- 21 2
3 + 2
3
(
) +
3 1
4 - 1
4
(
)
= - 21 + 3 = - 18 .
练 习
1. 下列变形是否正确? 如果不正确,错在哪里?
(1) 1 - 4 + 5 - 4 = 1 - 4 + 4 - 5;
(2) 1 - 2 + 3 - 4 = 2 - 1 + 4 - 3;
(3) 4. 5 - 1. 7 - 2. 5 + 1. 8 = 4. 5 - 2. 5 + 1. 8 - 1. 7;
(4) - 1
3 + 3
4 - 1
6 - 1
4
= 1
4 + 3
4 - 1
3 - 1
6 .
2. 计算:
(1) 0 - 1 + 2 - 3 + 4 - 5;
(2) - 4. 2 + 5. 7 - 8. 4 + 10. 2;
(3) - 30 - 11 - ( - 10) + ( - 12) + 18;
(4) 3 1
2 -
- 2 1
4
(
)+
- 1
3
(
)- 1
4 -
+ 1
6
(
).
这样做有什
么好处? 你还有
其他解法吗?
第2 章 有理数·41
习题2. 8
1. 计算:
(1) ( - 7) - ( - 10) + ( - 8) - ( + 2);
(2) 1 +
- 1 1
2
(
) -
- 1
2
(
) -
+ 1
4
(
);
(3)
+ 1
2
(
) -
( - 2) +
+ 1
2
(
)
[
] ;
(4) ( - 1. 2) + [1 - ( - 0. 3)].
2. 将下列各式写成省略加号的和的形式,并按要求交换加数的位置:
(1) ( + 16) + ( - 29) - ( - 7) - ( + 11) + ( + 9);
(使正负号相同的加数结合在一起)
(2) ( - 3. 1) - ( - 4. 5) + ( + 4. 4) - ( + 1. 3) + ( - 2. 5);
(使和为整数的加数结合在一起)
(3)
+ 1 1
2
(
) - ( + 5) +
- 1
3
(
) -
+ 1
4
(
) +
- 5 2
3
(
);
(使分母相同或便于通分的加数结合在一起)
(4) ( - 2. 4) - ( - 4. 7) - ( + 0. 5) + ( + 3. 4) + ( - 3. 5).
(使计算简便)
3. 计算:
(1) - 3 - 4 + 19 - 11 + 2;
(2) 10 - 24 - 15 + 26 - 42 + 18;
(3) - 4. 2 + 5. 7 - 7. 6 + 10. 1 - 5. 5;
(4) 1 - 1
2 + 1
3 ;
(5) ( - 52) + ( - 19) - ( + 37) - ( - 24);
(6)
- 1
2
(
) -
- 3 1
4
(
) +
+ 2 3
4
(
) -
+ 5 1
2
(
) .
4. 计算:
(1) 13 - [26 - ( - 21) + ( - 18)];
(2) [1. 4 - ( - 3. 6 + 5. 2) - 4. 3] - ( - 1. 5);
(3)
- 2 1
4
-
- 3
4
(
) + 1 -
1 - 1
2
.
42
·第2 章 有理数
5. 列式并计算:
(1) 什么数与- 5
12的和等于- 1?
(2) - 1 减去- 5
6 与1
6 的和,所得的差是多少?
(3) - 4、5、- 7 这三个数的和比这三个数的绝对值的和小多少?
(4) 求1, - 2, 3, - 4, …, 99, - 100 这100 个整数的和.
中国人最早使用负数
———《九章算术》和我国古代的“正负术”
《九章算术》是中国古代数学最重要的经典著作之一. 这部著作的成书年
代,根据现在的考证,最迟在公元1 世纪,但其中有些数学内容,可以追溯到周代
(公元前11 世纪至公元前3 世纪). 《九章算术》采用问题集的形式,全书共有
246 个问题,分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章,
其中所包含的数学成就是十分丰富的.
引进和使用负数是《九章算术》的一项突出贡献. 在《九章算术》的“方程术”
中,当用遍乘直除算法消元(即用加减消元法解一次方程组)时,可能出现减数
大于被减数的情形,为此,就需要引进负数. 《九章算术》在方程一章中提出了如
下的“正负术”:
同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.
其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.
这实际上就是正负数和零的加减运算法则. “同名”、“异名”分别指同号、异
号;“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减.
前四句说的是正数、负数和零的减法法则,翻译成现在的语言,就是:同号两
数相减,将绝对值相减(得到差的绝对值);异号两数相减,将绝对值相加(得到
差的绝对值);零减去正数得到(与它相反的)负数,零减去负数得到(与它相反
的)正数.
第2 章 有理数·43
后四句说的就是正数、负数和零的加法法则. 你能把它翻译成现在的语
言吗?
不难看出,这与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的.
《九章算术》以后,魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现作了很自然的解
释:“两算得失相反,要令正负以名之”,并主张在筹算中用红筹代表正数,黑筹
代表负数.
在国外,负数的出现和使用要比我国迟好几百年,直到7 世纪时印度数学家
才开始使用负数. 而在欧洲,直到16 世纪,韦达(F. Viète, 1540
1603)的著作还
拒绝使用负数.
2.9 有理数的乘法
1. 有理数的乘法法则
问题1
一只小虫沿一条东西向的路线,以每分钟3 米的速
度向东爬行2 分钟,那么它现在位于原来位置的哪个方
向? 相距多少米?
我们知道,这个问题可以用乘法来解答:
3 × 2 = 6,
即小虫位于原来位置的东边6 米处.
注意:这里我们规定向东为正,向西为负.
如果上述问题变为:
能用数轴表
示这一事实吗?
动手画一画.
44
·第2 章 有理数
问题2
小虫向西以每分钟3 米的速度爬行2 分钟,那么结
果有何变化?
这时小虫位于原来位置的西边6 米处. 写成算式就是:
( - 3) × 2 = - 6.
比较问题1、问题2 中的两个算式,你有什么发现?
当我们把“3 × 2 = 6”中的一个因数“3” 换成它的相
反数“ - 3” 时, 所得的积是原来的积“6 ” 的相反数
“ - 6”. 一般地,我们有:
两数相乘,若把一个因数换成它的相反数,则所得的
积是原来的积的相反数.
3 × ( - 2) = ?
与3 × 2 = 6 相比较,这里把一个因数“2”换成了它
的相反数“ - 2”,所得的积应是原来的积“6” 的相反数
“ - 6”,即
3 × ( - 2) = - 6.
再试一试: ( - 3) × ( - 2) = ?
把它与( - 3) × 2 = - 6 对比, 这里把一个因数“2”
换成了它的相反数“ - 2”,所得的积应是原来的积“ - 6”
的相反数“6”,即
( - 3) × ( - 2) = 6.
此外,两数相乘时,如果有一个因数是0,那么所得
的积也是0. 例如, ( - 3) × 0 = 0, 0 × ( - 2) = 0.
再用数轴表示
一下
( - 3) × 2 = - 6.
把它与3 ×
( -2) = - 6 对
比,结果怎样?
如何确定两数
积的正负号和绝对
值? 从以上得出的
几个算式中,你能发
现什么规律?
第2 章 有理数·45
概括
综合以上各种情况,有如下有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
任何数与零相乘,都得零.
例如:
( - 5) × ( - 3)
同号两数相乘
( - 5) × ( - 3) = + ( )
得正
5 × 3 = 15
把绝对值相乘
所以
( - 5) × ( - 3) = 15.
再如:
( - 6) × 4
异号两数相乘
( - 6) × 4 = - ( )
得负
6 × 4 = 24
把绝对值相乘
所以
( - 6) × 4 = - 24.
●
例1
计算:
(1) ( - 5) × ( - 6); (2)
- 1
2
(
) × 1
4 .
●
解
(1) ( - 5) × ( - 6) = 30.
(2)
- 1
2
(
) × 1
4 = - 1
8 .
练 习
1. 确定下列各积的正负号:
(1) 5 × ( - 3); (2) ( - 3) × 3;
(3) ( - 2) × ( - 7);
(4) 1
2 × 1
3 .
2. 计算:
(1) 3 × ( - 4);
(2) 2 × ( - 6);
(3) ( - 6) × 2;
(4) 6 × ( - 2);
46
·第2 章 有理数
做完第3 题,你
能发现什么规律?
一个数与( - 1) 相
乘,积是什么? 一个
数与1 相乘呢?
(5) ( - 6) × 0; (6) 0 × ( - 6);
(7) ( - 4) × 0. 25;
(8) ( - 0. 5) × ( - 8);
(9) 2
3 ×
- 3
4
(
);
(10) ( - 2) ×
- 1
2
(
).
3. 计算:
(1) 3 × ( - 1);
(2) ( - 5) × ( - 1);
(3) 1
4 × ( - 1);
(4) 0 × ( - 1);
(5) ( - 6) × 1;
(6) 2 × 1;
(7) 0 × 1;
(8) 1 × ( - 1).
2. 有理数乘法的运算律
在小学里我们知道,数的乘法满足交换律,例如
3 × 5 = 5 × 3;
还满足结合律,例如
(3 × 5) × 2 = 3 × (5 × 2).
引进了负数以后,这些运算律是否还成立呢? 也就
是说,上面两个等式中,将3、5 和2 换成任意的有理数,
是否仍然成立?
探索
(1) 任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分
别填入下列□和○内,并比较两个运算结果:
× ○和○×
;
(2) 任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分
别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:
(
×○) ×◇和
× (○×◇).
你能发现什么?
第2 章 有理数·47
概括
有理数的乘法仍满足交换律与结合律.
乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变.
ab = b a.
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者
先把后两个数相乘,积不变.
(ab)c = a(b c).
根据乘法交换律和结合律,三个或三个以上的有理
数相乘,可以任意交换因数的位置,也可以先把其中的几
个数相乘.
●
例2
计算: ( - 10) × 1
3 × 0. 1 × 6.
●
解
( - 10) × 1
3 × 0. 1 × 6
= [( - 10) × 0. 1] ×
1
3 × 6
(
)
= ( - 1) × 2 = - 2.
从例2 的解答过程中,你能得到什么启发? 试直接
写出下列各式的结果:
( - 10) ×
- 1
3
(
) × 0. 1 × 6 = ;
( - 10) ×
- 1
3
(
) × ( - 0. 1) × 6 = ;
( - 10) ×
- 1
3
(
) × ( - 0. 1) × ( - 6) = .
观察以上各式,你能发现几个不等于零的有理数相
乘时,积的正负号与各因数的正负号之间的关系吗?
一般地,我们有:
几个不等于零的数相乘,积的正负号由负因数的个
数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的
个数为偶数时,积为正.
计算( - 2) ×
5 × ( - 3),有哪些
不同的算法? 哪
种算法比较简便?
48
·第2 章 有理数
几个不等于零的数相乘,首先确定积的正负号,然后
把绝对值相乘.
( - 5) ×
- 1
2
(
) × 3 × ( - 2) × 2 = ;
( - 5) × ( - 8. 1) × 3. 14 × 0 = .
几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.
●
例3
计算:
(1) 8 +
- 1
2
(
) × ( - 8) × 3
4 ;
(2) ( - 3) × 5
6 ×
- 4
5
(
) ×
- 1
4
(
);
(3)
- 3
4
(
) × 5 × 0 × 7
8 .
●
解
(1)
8 +
- 1
2
(
) × ( - 8) × 3
4
= 8 + 1
2 × 8 × 3
4 = 8 + 3 = 11.
(2) ( - 3) × 5
6 ×
- 4
5
(
) ×
- 1
4
(
)
= - 3 × 5
6 × 4
5 × 1
4 = - 1
2 .
(3)
- 3
4
(
) × 5 × 0 × 7
8 = 0.
思考
三个数相乘,如果积为负,其中可能有几个因数为负
数? 四个数相乘,如果积为正,其中可能有几个因数为
负数?
第2 章 有理数·49
练 习
1. 计算:
(1) ( - 4) × ( - 7) × ( - 25); (2)
- 3
5
(
)× 8 ×
- 4
3
(
);
(3) ( - 0. 5) × ( - 1) × 3
4 × ( - 8).
2. 计算:
(1) ( - 5) - ( - 5) × 1
5 × ( - 4);
(2) ( - 1) × ( - 7) + 6 × ( - 1) × 1
2 ;
(3) ( - 3) × ( - 7) - 3 × ( - 6);
(4) 1 - ( - 1) × ( - 1) - ( - 1) × 0 × ( - 1).
小学里我们还学过乘法对加法的分配律,例如
6 ×
1
2 + 1
3
(
) = 6 × 1
2 + 6 × 1
3 .
引进了负数以后,分配律是否还成立呢?
探索
任意选取三个有理数(至少有一个是负数),分别填
入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:
× (○+ ◇) 和
× ○+
× ◇.
你能发现什么?
概括
有理数的运算仍满足分配律.
分配律:一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分
别与这两个数相乘,再把积相加.
a(b + c) = ab + ac.
50
·第2 章 有理数
●
例4
计算:
(1) 30 ×
1
2 - 2
3 + 2
5
(
);
(2) 4. 98 × ( - 5).
●
解
(1) 30 ×
1
2 - 2
3 + 2
5
(
)
= 30 × 1
2 - 30 × 2
3 + 30 × 2
5
= 15 - 20 + 12 = 7.
(2) 4. 98 × ( - 5)
= (5 - 0. 02) × ( - 5)
= - 25 + 0. 1
= - 24. 9.
●
例5
计算:
(1) 3
4 ×
8 - 4
3 - 14
15
(
);
(2) 8 ×
- 2
5
(
) - ( - 4) ×
- 2
9
(
) + ( - 8) × 3
5 .
●
解
(1)
3
4 ×
8 - 4
3 - 14
15
(
)
= 3
4 × 8 - 3
4 × 4
3 - 3
4 × 14
15
= 6 - 1 - 7
10
= 4 3
10.
(2)
8 ×
- 2
5
(
) - ( - 4) ×
- 2
9
(
) + ( - 8) × 3
5
= ( - 8) × 2
5 + ( - 8) × 3
5 - 4 × 2
9
= ( - 8) ×
2
5 + 3
5
(
) - 8
9
= - 8 - 8
9
= - 8 8
9 .
你还有其他
的解法吗?
第2 章 有理数·51
由上面的例子可以看出,适当应用运算律,可使运算
简便. 有时需要先把算式变形, 才能应用分配律, 如
例4(2);有时可以反向运用分配律,如例5(2).
练 习
1. 计算:
(1) ( - 6) ×
- 1
2 + 1
3
(
); (2)
1
4 - 1
2 + 1
6
(
)× 12;
(3) ( - 1002) × 17.
2. 计算:
(1)
7
9 - 5
6 + 3
4
(
)× 36;
(2) 9 5
6 × 6.
习题2. 9
1. 计算:
(1) ( - 6) × ( - 7); (2) ( - 5) × 12;
(3) 0. 5 × ( - 0. 4);
(4) - 4. 5 × ( - 0. 32).
2. 计算:
(1) 1
2 ×
- 4
7
(
);
(2)
- 5
6
(
) ×
- 3
10
(
);
(3) - 4
15 × 5;
(4) ( - 0. 3) ×
- 10
7
(
).
3. 计算:
(1) - 2 × ( - 3) × ( - 4);
(2) 6 × ( - 7) × ( - 5);
(3) 100 × ( - 1) × ( - 0. 1);
(4) ( - 8) × 3
16 × ( - 1) × 1
2 ;
(5) 21 × ( - 71) × 0 × 43;
(6) - 9 × ( + 11) - 12 × ( - 8).
4. 计算:
(1)
- 1
20
(
) × 5
4 × ( - 8);
(2) 5
6 ×
- 2 2
5
(
) × 3
5 ;
(3)
1
3 - 5
7 - 2
5
(
) × 105.
52
·第2 章 有理数
队列操练中的数学趣题
一次团体操排练活动中,某班45 名学生面向老师站成一列横队.
老师每次让其中任意6 名学生向后转(不论原来方向如何),能否经
过若干次后,全体学生都背向老师站立? 如果能的话,请你设计一种
方案;如果不能,请说明理由.
问题似乎与数学无关,却又难以入手. 注意到学生站立有两个
方向,与具有相反意义的量有关,向后转又可想象为进行一次运算,
或者说改变一次正负号. 我们能否设法联系有理数的知识进行
讨论?
让我们再发挥一下想象力:假设每个学生胸前有一块号码布,上
面写“ + 1”,背后有一块号码布,上面写“ - 1”,那么一开始全体学生
面向老师,胸前45 个+ 1 的“乘积”是+ 1. 如果最后全部背向老师,则
45 个- 1 的“乘积”是- 1.
再来观察每次6 名学生向后转进行的是什么“运算”. 我们也设
想老师不叫“ 向后转”,而称这6 名学生对着老师的数字都“ 乘以
- 1”.
这样问题就解决了:每次“运算” 乘上了6 个- 1,即乘上了+ 1,
故45 个数的乘积不变(数学上称不变量),始终是+ 1. 所以要乘积变
为- 1 是不可能的.
一个难题,被有理数的简单运算别出心裁地解决了.
第2 章 有理数·53
2.10 有理数的除法
回忆
小学里已学过数的除法. 回想一下,除法的意义是什
么? 它与乘法有什么关系?
计算:
( - 6) ÷ 2.
根据除法的意义,这就是要求一个数“ ? ”,使
( ? ) × 2 = ( - 6).
根据有理数的乘法运算,有
( - 3) × 2 = - 6,
所以
( - 6) ÷ 2 = - 3.
另外,我们还知道:
( - 6) × 1
2 = - 3.
比较以上两式,即有
( - 6) ÷ 2 = ( - 6) × 1
2 .
这表明除法可以转化为乘法来进行运算.
填空:
(1) 8 ÷ ( - 2) = 8 × ( ); (2) 6 ÷ ( - 3) = 6 × ( );
(3) ( - 6) ÷ ( ) = ( - 6) × 1
3 ; (4) ( - 6) ÷ ( ) = ( - 6) × 2
3 .
做完上述填空后,你有什么发现?
54
·第2 章 有理数
小学里我们学过倒数,对于有理数仍然有:
乘积是1 的两个数互为倒数(reciprocal).
例如, - 2 与- 1
2 互为倒数, - 2
3 与- 3
2 互为倒数.
这样,有理数的除法可以转化为乘法:
除以一个数等于乘以这个数的倒数.
注意:零不能作除数.
●
例1
计算:
(1) ( - 18) ÷ 6; (2)
- 1
5
(
) ÷
- 2
5
(
);
(3) 6
25 ÷
- 4
5
(
).
●
解
(1) ( - 18) ÷ 6 = ( - 18) × 1
6 = - 3.
(2)
- 1
5
(
) ÷
- 2
5
(
) =
- 1
5
(
) ×
- 5
2
(
) = 1
2 .
(3) 6
25 ÷
- 4
5
(
) = 6
25 ×
- 5
4
(
) = - 3
10.
因为除法可以转化为乘法,所以与乘法类似,我们也
有如下有理数除法法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
零除以任何一个不等于零的数,都得零.
知道了有理数除法法则以后,我们很容易看出,有理
数就是可以表示成两个整数之商的数. 任何整数都是它
除以1 所得的商;任何正分数(带分数先化成假分数)都
是它的分子除以分母所得的商;而负分数的负号可以搬
到分子或分母上,从而把它看成两个整数(其中一个是
负整数)的商.
●
例2
把下列有理数写成整数之商:
(1) - 3 1
7 ; (2) - 2. 4.
●
解
(1) - 3 1
7 = - 22
7
= - 22
7
= ( - 22) ÷ 7.
(2) - 2. 4 = - 12
5
= 12
- 5 = 12 ÷ ( - 5).
为什么零不
能作除数?
这段文字及
后面的例题揭示
了有理数的本质.
第2 章 有理数·55
注意
本题的解答不是唯一的. 例如, - 3 1
7 = 44 ÷ ( - 14)
也是正确的解答.
●
例3
化简下列分数:
(1) - 12
3
; (2) - 24
- 16.
●
解
(1) - 12
3
= ( - 12) ÷ 3 = - (12 ÷ 3) = - 4.
(2) - 24
- 16 = ( - 24) ÷ ( - 16) = 24 ÷ 16 = 1 1
2 .
●
例4
计算:
(1)
- 3
5
(
) ÷
- 3
2
(
);
(2) - 1
2 ÷ 7
8 ×
- 3
4
(
).
●
解
(1)
- 3
5
(
) ÷
- 3
2
(
) = 3
5 ÷ 3
2 = 3
5 × 2
3 = 2
5 .
(2) - 1
2 ÷ 7
8 ×
- 3
4
(
) = 1
2 × 8
7 × 3
4 = 3
7 .
练 习
1. 写出下列各数的倒数:
(1) 5
6 ; (2) - 3
7 ; (3) - 5; (4) 1; (5) - 1; (6) 0. 2.
2. 计算:
(1) 36 ÷ ( - 3); (2) ( - 2) ÷ 1
2 ; (3) 0 ÷ ( - 5);
(4) 8 ÷ ( - 0. 2);
(5)
- 7
8
(
) ÷
- 3
4
(
);
(6) ( - 6) ÷ ( - 4) ÷
- 3
5
(
).
3. 下列计算正确吗? 为什么?
( - 3) ÷ 1
4 ÷ 1
4
= ( - 3) ÷
1
4 ÷ 1
4
(
) = ( - 3) ÷ 1 = - 3.
分数可以理解为
两个整数的商, 解答
也可以这样书写:
(1) - 12
3
= - 12
3 = - 4;
(2) - 24
- 16 = 24
16 = 1 1
2 .
先定正负号,
再算绝对值.
56
·第2 章 有理数
习题2. 10
1. 写出下列各数的倒数:
(1) - 15; (2) 0. 25; (3) 3 1
3 ; (4) - 5 2
5 .
2. 计算:
(1) ( - 42) ÷ 12; (2) ( - 56) ÷ ( - 14); (3) - 18 ÷ 0. 6;
(4) 3
5 ÷ ( - 1);
(5) - 1
4 ÷ 3
2 ;
(6) - 0. 25 ÷
- 3
8
(
).
3. 化简下列分数:
(1) - 21
7
;
(2)
2
- 12;
(3) - 54
- 8 .
4. 计算:
(1)
- 3
4
(
) ×
- 1
2
(
) ÷
- 2 1
4
(
);
(2) - 6 ÷ ( - 0. 25) × 11
24;
(3)
- 2
3
(
) ÷ 1
3 ÷
- 1
2
(
).
5. (1) 把图(1)中第一个圈里的每一个数,分别乘以( - 2),将结果写在第二个圈
里对应的位置;
(2) 把图(2)中第一个圈里的每一个数,分别除以( - 2),将结果写在第二个圈
里对应的位置.
(第5 题)
第2 章 有理数·57
2.11 有理数的乘方
在小学里,我们已经学过:
a·a 记作a
2,读作a 的平方(或a 的2 次方);
a·a·a 记作a
3,读作a 的立方(或a 的3 次方).
一般地,n 个相同的因数a 相乘:
a·a·…·a
ü
þ
ý
ï
ï
ï
ïï
n个
,
记作a
n.
例如
2 × 2 × 2 = 2
3,
( - 2)( - 2)( - 2)( - 2) = ( - 2)
4.
这种求几个相同因数的积的运算, 叫做乘方
(involution),乘方的结果叫做幂(power). 在a
n 中,a 叫
做底数(base number),n 叫做指数(exponent),a
n 读作a
的n 次方,a
n 看作是a 的n 次方的结果时,也可读作a 的
n 次幂.
例如,2
3 中,底数是2,指数是3. 2
3 读作2 的3 次方,
或2 的3 次幂.
一个数可以看作这个数本身的一次方,例如8 就是
8
1,指数1 通常省略不写.
●
例
计算:
(1) ( - 2)
3; (2) ( - 2)
4; (3) ( - 2)
5.
●
解
(1) ( - 2)
3 = ( - 2)( - 2)( - 2) = - 8.
(2) ( - 2)
4 = ( - 2)( - 2)( - 2)( - 2) = 16.
(3) ( - 2)
5 = ( - 2)( - 2)( - 2)( - 2)( - 2) = - 32.
你能以正
方形的面积和
正方体的体积
来解释平方、立
方的意义吗?
2
3 与3
2 一样
吗? 为什么?
( - 2)
3 与- 2
3 的
意义是否相同?
( -2)
4 与-2
4 呢?
58
·第2 章 有理数
根据有理数乘法法则,我们有:
正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
练 习
1. ( - 4)
5 读作什么? 其中底数是什么? 指数是什么? ( - 4)
5 是正数还是负数?
2. 计算:
(1) 10
3; (2) 10
5; (3) ( - 1)
3;
(4) ( - 1)
10;
(5) ( - 0. 1)
3;
(6)
- 3
2
(
)
4
;
(7) ( - 2)
3 × ( - 2)
2;
(8)
- 1
2
(
)
3
×
- 1
2
(
)
5
.
习题2. 11
1. 把下列各式写成乘方的形式:
(1) 6 × 6 × 6;
(2) 2. 1 × 2. 1;
(3) ( - 3)( - 3)( - 3)( - 3);
(4) 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2 .
2. 把下列各式写成乘法的形式:
(1) 3
4; (2) 4
3;
(3) ( - 1)
2;
(4) 1. 1
3.
3. 3 的平方是什么? - 3 的平方是什么? 平方得9 的数有几个? 有没有平方得- 9
的有理数?
4. 计算:
(1)
- 1 1
2
(
)
2
;
(2) ( - 0. 2)
3;
(3) - ( - 3)
4;
(4) - ( - 3)
5.
第2 章 有理数·59
2
64有多大
我们知道,642 = 4096,它并不是一个很大的数. 我们将底数和指数交换,得
到264,你能想象它有多大吗?
传说古印度人西塔发明了国际象棋而使国王非常高兴,国王决定要重赏西
塔. 西塔说:“陛下,本人不要您的重赏,只需您在本人的棋盘上赏一些麦子就行
了. 在棋盘的第1 个格子里放1 粒,在第2 个格子里放2 粒,在第3 个格子里放4
粒,在第4 个格子里放8 粒,依此类推,以后每一个格子里放的麦粒数都是前一
个格子里放的麦粒数的2 倍,直到放满64 个格子就行了. ”区区小数,几粒麦子,
这有何难,“来人!”国王令人如数付给西塔. 计数麦粒的工作开始了,第1 格内
放1 粒,第2 格内放2 粒,第3 格内放4 粒……还没有放到第20 格,一袋麦子就
空了. 一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来. 但是,麦粒数一格接一格飞快增长
着. 国王很快就看出,即使拿出全国的粮食,也兑现不了他对西塔的诺言. 原来,
所需麦粒总数为
1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 264 - 1(到高中后你自己就能推导出来)
= 18 446 744 073 709 551 615.
这些麦子究竟有多少? 若以每立方米仓库约可存放1 500 万粒麦子计算,
这些麦子的体积大约是12 000 亿立方米. 假如造一个高4 米、宽10 米的仓库存
放这些麦子,那么仓库的长度大约是0. 3 亿千米,大致是地球到太阳的距离的
0. 2 倍(地球到太阳的平均距离约为1. 496 亿千米),或绕地球赤道转750 圈(地
球赤道的周长约为40 076 千米),而要生产这么多麦子,全世界需要一千多年.
虽然国度十分富有,但要这么多的麦子,国王是怎么也拿不出来的.
可见,264 = 18 446 744 073 709 551 616 是一个很大的数.
2008 年,科学家在一个名为“因特网梅森质数大搜索” 的国际合作项目中
发现
243 112 609 - 1
是一个质数,它的位数接近1 300 万位,而264才20 位呢!
60
·第2 章 有理数
2.12 科学记数法
利用10 的幂,有时可以方便地表示日常生活中遇到
的一些较大的数,如:
光的速度大约是300 000 000 米/ 秒;
全世界人口数大约是7 000 000 000.
这样的大数,读、写都不方便,考虑到10 的幂有如下特点:
10
2 = 100, 10
3 = 1000, 10
4 = 10 000, …,即:
一般地,10 的n 次幂,在1 的后面有n 个0.
这样就可用10 的幂表示一些大数,如:
7 000 000 000 = 7 × 1 000 000 000 = 7 × 10
9.
这样,一个大于10 的数就记成a × 10
n 的形式,其中
1 ≤a < 10, n 是正整数. 像这样的记数法叫做科学记数法.
●
例
用科学记数法表示下列各数:
(1) 696 000; (2) 1 000 000; (3) 58 000.
●
解
(1) 696 000 = 6. 96 × 10
5.
(2) 1 000 000 = 1 × 10
6. (3) 58 000 = 5. 8 × 10
4.
思考
用科学记数法表示一个数时,10 的指数与原数的整
数位数有什么关系? 和同学讨论一下,再举出几个数验
证你的猜想是否正确.
练 习
1. 用科学记数法表示下列各数:
(1) 80 000;
(2) 100 000;
(3) 12 300 000.
2. 下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?
(1) 2 × 10
5;
(2) 5. 18 × 10
3;
(3) 7. 04 × 10
6.
第2 章 有理数·61
习题2. 12
1. 用科学记数法表示下列各数:
(1) 3210; (2) 50 600;
(3) 18 000 000.
2. 下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?
(1) 2 × 10
6;
(2) 6. 03 × 10
5;
(3) 5. 002 × 10
4.
3. 填空:
(1) 地球离太阳约有1 亿5 千万千米,1 亿5 千万用科学记数法表示为
;
(2) 地球上煤的储量估计为15 万亿吨以上,15 万亿用科学记数法表示为
.
4. 一天有8. 64 × 10
4 秒,一年有365 天,一年有多少秒? (用科学记数法表示)
5. 地球绕太阳每小时转动经过的路程约为1. 1 × 10
5 千米,声音在空气中每小
时约传播1. 2 × 10
3 千米. 地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪
个快?
2.13 有理数的混合运算
观察
下面的算式中有哪几种运算?
3 + 50 ÷ 2
2 ×
- 1
5
(
) - 1.
这个算式中,含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多
种运算,它是有理数的混合运算.
62
·第2 章 有理数
有理数的混合运算,应按以下顺序进行:
1. 先算乘方,再算乘除,最后算加减;
2. 同级运算,按照从左至右的顺序进行;
3. 如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里
的,然后算大括号里的.
指出下列各算式的运算顺序:
(1) 6 ÷ (3 × 2);
(2) 6 ÷ 3 × 2;
(3) 17 - 8 ÷ ( - 2) + 4 × ( - 3);
(4) 3
2 - 50 ÷ 2
2 × 1
10 - 1;
(5) - 1 2
3 ×
0. 5 - 2
3
(
) ÷ 1 1
9 ;
(6) - 1 - [1 - (1 - 0. 5 × 4
3)].
思考
(1) 2 ÷
1
2 - 2
(
)与2 ÷ 1
2 - 2 有什么不同?
(2) ( - 2) ÷ (2 × 3) 与( - 2) ÷ 2 × 3 有什么不同?
●
例1
计算:
1
3 - 1
2
(
) ÷ 1 1
4 ÷ 1
10.
●
解
1
3 - 1
2
(
) ÷ 1 1
4 ÷ 1
10
=
- 1
6
(
) × 4
5 × 10 = - 4
3 .
注意
进行分数的乘除运算时,一般要把带分数化为假分
数,把除法转化为乘法.
加法和减法叫
做第一级运算; 乘
法和除法叫做第二
级运算; 乘方和开
方(今后将会学到)
叫做第三级运算.
第2 章 有理数·63
计算: 2 1
4 ×
- 6
7
(
) ÷
1
2 - 2
(
).
练 习
1. 计算: 2 × ( - 3)
3 - 4 × ( - 3) + 15.
2. 计算: - 1 2
3 ×
1 - 2
3
(
)÷ 1
9 .
3. 计算: [12 - 4 × (3 - 10)] ÷ 4.
有理数的混合运算涉及多种运算,确定合理的运算
顺序是正确解题的关键,能用简便方法的尽量用简便方
法. 下面再看几个例子.
●
例2
计算: 3 + 50 ÷ 2
2 ×
- 1
5
(
) - 1.
●
解
3 + 50 ÷ 2
2 ×
- 1
5
(
) - 1
= 3 + 50 ÷ 4 ×
- 1
5
(
) - 1
先算乘方
= 3 + 50 × 1
4 ×
- 1
5
(
) - 1
化除为乘
= 3 - 50 × 1
4 × 1
5 - 1
确定积的符号
= 3 - 5
2 - 1
再做乘法
= - 1
2 .
最后做加减法
64
·第2 章 有理数
●
例3
计算: 1 - 1 - 0. 5 × 1
3
(
)
[
] × [2 - ( - 3)
2].
●
解
1 -
1 - 0. 5 × 1
3
(
)
[
] × [2 - ( - 3)
2]
=
1 -
1 - 1
6
(
)
[
] × (2 - 9)
=
1 - 5
6
(
) × ( - 7)
= 1
6 × ( - 7)
= - 7
6 .
●
例4
计算:
7
4 - 7
8 - 7
12
(
) ÷
- 7
8
(
) +
- 8
3
(
).
●
解
7
4 - 7
8 - 7
12
(
) ÷
- 7
8
(
) +
- 8
3
(
)
=
42
24 - 21
24 - 14
24
(
) ÷
- 7
8
(
) +
- 8
3
(
)
= 7
24 ×
- 8
7
(
) +
- 8
3
(
)
= - 1
3 - 8
3 = - 3.
也可以这样来算:
7
4 - 7
8 - 7
12
(
) ÷
- 7
8
(
) +
- 8
3
(
)
=
7
4 - 7
8 - 7
12
(
) ×
- 8
7
(
) +
- 8
3
(
)
= 7
4 ×
- 8
7
(
) +
- 7
8
(
) ×
- 8
7
(
) +
- 7
12
(
) ×
- 8
7
(
) +
- 8
3
(
)
= - 2 + 1 + 2
3 - 8
3
= - 3.
比较这两种
算法, 哪一种更
简便?
第2 章 有理数·65
练 习
1. 计算:
(1) - 2 + 2 × ( - 4)
2;
(2) - 2
2 + ( - 7) ÷
- 7
4
(
);
(3)
- 1 1
4
(
)× 2
5 × 8 - 9 ÷
- 3
2
(
)
2
.
2. 下列计算是否正确? 若不正确,试说明错在哪里,并予以改正:
(1) 74 - 2
2 ÷ 70 = 70 ÷ 70 = 1;
(2) 2 × 3
2 = (2 × 3)
2 = 6
2 = 36;
(3) 6 ÷ (2 × 3) = 6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3 = 9;
(4) 2
2
3 - ( - 2) ×
1
4 - 1
2
(
) = 4
9 -
1
2 - 1
(
) = 4
9 + 1
2
= 17
18.
习题2. 13
1. 计算:
(1) 1 - 1
2 + 1
4 - 1
8 ;
(2) 1 5
6 - 1
2 + 1
3 ;
(3) - 8 + 4 ÷ ( - 2);
(4) 3 × ( - 4) + ( - 28) ÷ 7;
(5) ( - 7) × ( - 5) - 90 ÷ ( - 15);
(6) 42 ×
- 2
3
(
) +
- 3
4
(
) ÷
- 1
4
(
).
2. 计算:
(1) 4 - 5 ×
- 1
2
(
)
3
;
(2) - 8 - 3 × ( - 1)
3 - ( - 1)
4;
(3) - 2
3 ÷ 4
9 ×
- 2
3
(
)
2
;
(4) - 1
4 - 1
6 × [2 - ( - 3)
2].
3. 计算:
(1) - 5
2 + 28
5 ÷ ( - 2) ×
- 5
14
(
);
(2) 4 × ( - 3)
2 - 5 × ( - 3) + 6;
(3) - 2 +
1 - 0. 2 ÷ 3
5
(
) × ( - 3);
(4) 1 ÷ ( - 1) + 0 ÷ 4 - ( - 4) × ( - 1).
66
·第2 章 有理数
2.14 近似数
(1) 统计班上喜欢看球赛的同学的人数.
(2) 量一量本册数学课本的宽度.
如果统计得到班上喜欢看球赛的同学的人数是
35,则35 这个数是与实际完全符合的准确数,一个也
不多,一个也不少. 如果量得课本的宽为18. 4 cm,由于
所用尺的刻度有精确度限制,而且用眼观察不可能非常
细致,因此与实际宽度常会有一点偏差. 这里的18. 4 是
一个与实际宽度非常接近的数,称为近似数(approximate
number).
在实际生活中,我们常会遇到或用到近似数,例如,
我国的陆地面积约为960 万平方千米,小李家的写字台
长120 厘米,这里的960、120 都是近似数.
使用近似数就有一个近似程度的问题,也就是精确
度的问题.
我们都知道:
π = 3. 141 59….
计算中我们需对π 取近似数:
如果结果只取整数,那么按四舍五入的法则应为3,
就叫做精确到个位;
如果结果取1 位小数,那么应为3. 1,就叫做精确到
十分位(或精确到0. 1);
如果结果取2 位小数,那么应为3. 14,就叫做精确
到百分位(或精确到0. 01);
……
你还能举出
一些日常生活中
遇到的近似数吗?
第2 章 有理数·67
概括
一般地,一个近似数四舍五入到某一位,就说这个近
似数精确到那一位.
例如,小明的身高为1. 70 米,1. 70 这个近似数精确
到百分位.
●
例1
下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到
哪一位?
(1) 132. 4; (2) 0. 0572.
●
解
(1) 132. 4 精确到十分位(即精确到0. 1).
(2) 0. 0572 精确到万分位(即精确到0. 0001).
●
例2
用四舍五入法,按括号中的要求对下列各数
取近似数:
(1) 0. 340 82(精确到千分位);
(2) 64. 8(精确到个位);
(3) 1. 5046(精确到0. 01);
(4) 130 542(精确到千位).
●
解
(1) 0. 340 82 ≈0. 341.
(2) 64. 8 ≈65.
(3) 1. 5046 ≈1. 50.
(4) 130 542 ≈1. 31 × 10
5.
注意
(1) 例2 的小题(4)中,如果把结果写成131 000,会
误认为是精确到个位得到的近似数,这里用科学记数法,
把结果写成1. 31 × 10
5,就确切地表示精确到千位.
(2) 有一些量,我们或者很难测出它们的准确值,或
者没有必要算得它们的准确值,这时通过粗略的估算就
能得到所要的近似数,有时近似数也并不总是按“四舍
五入”法得到的.
这里的近似数
1. 50 末位的0 能否
去掉? 近似数1. 50
与1. 5 相同吗?
68
·第2 章 有理数
例如,某地遭遇水灾,约有10 万人的生活受到影响.
政府拟从外地调运一批粮食救灾,需估计每天要调运的
粮食数. 如果按一个人平均一天需要0. 5 千克粮食计算,
那么可以估计出每天要调运5 万千克粮食.
又如某校初一年级共有112 名同学,想租用45 座的
客车外出秋游. 为估计需租用客车的辆数,计算得112 ÷
45 = 2. 488…, 就不能用四舍五入法,而要用“进一法”,
即应租用3 辆客车.
练 习
1. 请你举出几个准确数和近似数的实际例子.
2. 圆周率π = 3. 141 592 653…, 如果取近似数3. 142,它精确到哪一位? 如果取近似
数3. 1416 呢?
3. 下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?
(1) 127. 32; (2) 0. 0407; (3) 20. 053;
(4) 230. 0;
(5) 4. 002;
(6) 5. 08 × 10
3.
4. 用四舍五入法,对下列各数按括号中的要求取近似数:
(1) 0. 6328(精确到0. 01);
(2) 7. 9122(精确到个位);
(3) 130. 06(精确到十分位);
(4) 46 021(精确到百位).
5. 一桶玉米大约重45. 2 千克. 如图,场上有一堆玉米,大约相当于12 桶. 估计这堆
玉米大约重多少千克? (精确到1 千克)
(第5 题)
6. 王平与李明测量同一根铜管的长,按四舍五入法记录测得的结果,王平测量的记
录是0. 80 米,李明测量的记录是0. 8 米. 这两个结果是否相同? 为什么?
第2 章 有理数·69
习题2. 14
1. 下列各个数据中,哪些数是准确数? 哪些数是近似数?
(1) 小琳称得体重为38 千克;
(2) 现在的气温是- 2°C;
(3) 1 m 等于100 cm;
(4) 东风汽车厂2011 年生产汽车14 500 辆.
2. 下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位?
(1) 5. 67; (2) 0. 003 010;
(3) 1. 11 × 10
6;
(4) 1. 200.
3. 用四舍五入法,对下列各数按括号中的要求取近似数:
(1) 1102. 5 亿(精确到亿位);
(2) 0. 0792(精确到0. 001);
(3) 0. 002 91(精确到万分位);
(4) 475 301(精确到万位).
4. 量出本册数学课本封面的长度和宽度. (精确到1 mm)
2.15 用计算器进行
计算
问题
已知一个圆柱的底面半径为2. 32 cm,高为7. 06 cm,
求这个圆柱的体积.
我们知道,圆柱的体积= 底面积× 高. 因此,计算这
个圆柱的体积就要做这样的计算:
π × 2. 32
2 × 7. 06.
碰到复杂的计算,我们可以利用电子计算器(简称
计算器)来完成.
70
·第2 章 有理数
下面我们尝试运用计算器解题.
●
例1
用计算器求345 + 21. 3.
●
解
用计算器求345 + 21. 3 的过程为:
键入3
4
5
+
2
1
·
3 ,屏幕显示运算式
子345 + 21. 3, 再按= ,显示运算结果3663
10 . 若需得到小
数形式的结果,可继续按S⇔D ,显示366. 3,即
345 + 21. 3 = 3663
10
= 366. 3.
在键入数据后,也可直接按SHIFT = ,得到小数形
式的结果.
按例1 的方法,用计算器求105. 3 - 243 的值.
●
例2
用计算器求31. 2 ÷ ( - 0. 4).
●
解
用计算器求31. 2 ÷ ( - 0. 4) 的按键顺序是:
3
1
·
2
÷ ( -) 0
·
4
= .
显示结果为- 78,所以
31. 2 ÷ ( - 0. 4) = - 78.
注意
(1) 输入0. 4 时,也可以省去小数点前的0,按·
4 即可.
第2 章 有理数·71
(2) 不同型号的计算器可能会有不同的按键顺序.
如输入负数- 5,有的计算器是( - )
5 或-
5 ,有的
则为5
+ / - .
按例2 的方法,用计算器求8. 2 × ( - 4. 3) ÷ 2. 5 的值.
●
例3
用计算器求62. 2 + 4 × 7. 8.
这是加法和乘法的混合运算. 对于加、减、乘、除和乘
方的混合运算,只要按算式的书写顺序输入,计算器会按
要求算出结果. 因此,本题的按键顺序是:
6
2
·
2
+
4
×
7
·
8
= S⇔D .
显示结果为93. 4,所以
62. 2 + 4 × 7. 8 = 93. 4.
按例3 的方法,用计算器求( - 29. 4) × 2 ÷ 4. 2 ÷ ( - 7)的值.
●
例4
用计算器求2. 7
3.
●
解
用计算器求2. 7
3,可以使用求立方的专用键
x
3 ,按键顺序是:
2
·
7
x
3
=
显示结果为19. 683,所以
2. 7
3 = 19. 683.
72
·第2 章 有理数
也可以使用乘方的专用键x
■(按2
·
7
x
■后,
屏幕上出现2. 7
□),按键顺序是:
2
·
7 x
■3
= .
注意
用计算器求一个数的正整数次幂,不同的计算器可
能会有不同的按键方式.
当求一个数的平方或立方时,不少计算器都有专
用键.
(1) 按例4 的方法,求6. 3
5.
(2) 用计算器求出本节开头所提问题中圆柱的体积(结果精确到1 cm
3).
练 习
1. 用计算器计算:
(1) 27 + 308; (2) 0. 75 + 32. 04;
(3) 3. 65 - 72. 7;
(4) - 97. 9 + 34. 8;
(5) - 43 - ( - 28);
(6) 0. 147 × 63;
(7) 36 × 125;
(8) 84 ÷ ( - 24);
(9) 76 ÷ ( - 0. 19);
(10) ( - 0. 125) × ( - 18);
(11) 83 + 139 - 328 + 512;
(12) - 3. 14 + 5. 76 - 7. 19;
(13) 2. 5 × 76 ÷ ( - 0. 19);
(14) - 125 × 0. 42 ÷ ( - 7).
2. 用计算器计算:
(1) 23 × 15 + 4;
(2) 50 ÷ 2 - 20 × 3;
(3) 25 × 3 × 2 + ( - 127);
(4) 0. 84 ÷ 4 + 0. 79 × 2;
(5) - 24 × 2 + 15 ÷ 0. 75;
(6) 1. 8
3;
第2 章 有理数·73
(7) - 0. 12
4; (8) 9. 3
2;
(9) 5
6;
(10) ( - 3)
7.
3. 用计算器计算:
(1) 2. 6 × 3 - ( - 3 )
4;
(2) 4. 5
2 × 3 - ( - 24) ÷ 8;
(3) 4 + 2
2 × 7 - ( - 3) × 6.
习题2. 15
(第2 题)
1. 用计算器计算:
(1) 83 + 189 - 328 + 512;
(2) - 4. 21 - ( - 22. 5) + ( - 7. 24) - 29. 2;
(3) 43 × 97 × 985;
(4) 8
4;
(5) 3. 24 × 10
3 + 1. 2 × 10
5;
(6) 3. 12 × 10
6 ÷ ( - 2. 4 × 10
2).
2. 如图,已知圆环的外圆半径为46 mm,内圆半径为27 mm,圆
环的面积是多少mm
2? (结果精确到百位)
从结绳记数到计算器
伴随着人类的诞生,数数和记数就同时出现在人们的各项活动中,成为人类
文明史的一个重要组成部分. 我国古代早有“结绳记数”的记载,即用绳子打结作
为记录和记数的工具. 之后石块、算筹等都被用于劳动与生活. 随着人们数学知识
的增加和技术的发展,我国在元代发明了算盘及相应的珠算算法. 17 世纪,英国人
发明了计算尺. 与此同时,法国人和德国人发明了手摇计算器,进行数的四则运算.
74
·第2 章 有理数
如今,计算器已经成为人们工作与生活不可或缺的工具. 一个计算器,看起
来体积很小,但作用却极大,具有许多功能. 它既可以帮助我们进行各种复杂的
数学计算,解答现实生活中的各种数学问题,又可以帮助我们理解数学概念. 有
的计算器可以编制各种程序,有的还可以绘制各种图形,有的甚至可以进行式的
运算,真是功能强大.
由于计算器的型号各不相同,因此使用方法也未必一样. 根据输入方法,计
算器大致可分为两类,一类是按数学的书写顺序输入的,另一类是不按数学的书
写顺序输入的. 例如要输入分数2
3 ,前一类计算器带有分数专用键
,可分别
输入分子与分母,屏幕显示2
3 ;后一类计算器按相应的分数键,输入后显示23.
根据计算器的显示屏幕,计算器又可分为一行显示、两行显示以及多行显示. 不
少计算器可按数学的书写顺序输入,两行显示,可翻阅前面曾经进行的运算式
子,也可修改已输入的计算式子,许多数学表达式均与教科书通常采用的自然书
写形式一致.
我们的航船已经浩浩荡荡地驶入了奇妙的数学世界,千万别忘了带上你的
计算器,一起遨游知识的海洋.
一、知识结构
第2 章 有理数·75
二、要点
1. 本章将数集扩充到有理数,并将数的大小比较和运算推广到有
理数,建立它们新的意义和法则. 这是一个从实际经验到数学抽象的
过程. 例如,从零上和零下温度的表示抽象出负数,从比较温度高低认
识有理数的大小比较,从温度计表示温度的启发引出数轴的概念,并
概括出大小比较的法则等.
2. 用数轴上的点表示有理数,有利于直观地理解相反数和绝对值
的概念,也可以帮助我们认识有理数的大小比较和运算,使数和形很
好地结合起来.
3. 在研究有理数时,一般要考虑两个方面:一是数的符号,即是正
数、负数还是零;二是数的绝对值. 除了考虑符号外,有理数的运算(或
大小比较)往往都归结为绝对值的运算(或大小比较),注意到绝对值
是非负数,所以也就归结为我们熟知的非负数来实现. 这样的“化归”
思想在数学研究中是屡见不鲜的.
4. 有理数的本质是可以写成整数之商(之比)的数. 认识到这个本
质对理解相关的问题和将来进一步扩充数集都是至关重要的. 例如,
在以后的数学学习中,我们将会看到,实践中还存在着不能表示成两
个整数之商的数,于是就需要进一步扩充数集.
5. 数集的扩充带来了新的变化. 例如减法,在引进负数之前,被减
数不能小于减数. 而在有理数集中,任意两个有理数总能进行减法运
算,而且减法可以转化为加法. 但是,新的数集保持了原有数集的一些
重要性质,特别是数的运算律仍然成立. 这一通性在数学的进一步研
究中将起着关键作用,在下一章的学习中马上可以看到.
76
·第2 章 有理数
A组
1. 有理数2. 5、- 8、- 0. 7、3
2 、- 1
7 、0. 05 和0 中,哪些是正数? 哪些是负数?
2. 根据下表每行中的已知数,填写该行中其他的数:
原 数
原数的相反数
原数的绝对值
原数的倒数
- 2
- 7. 5
0
10
7
3. 把表示下列各数的点画在数轴上,再按从小到大的顺序,用“ < ”号把这些数连
接起来:
2. 5, - 3, 5 1
2 , - 2 1
2 , 0, - 1. 6.
4. 按照从大到小的顺序,用“ > ”号把下列各数连接起来:
- 3. 2, 1
2 , 0. 6, - 0. 6, 5, - 3. 3.
5. 在数轴上画出所有表示大于- 5,并且小于4 的整数的点. 其中最大的一个数是
多少?
6. 比较下列各对数的大小:
(1) - 6
7 与- 7
6 ;
(2) - 1. 17 与- 1. 2;
(3) - 5 4
5 与0;
(4) 1
10与- 2;
(5) 0. 001 与0. 009.
7. 计算:
(1) - 100 + 157;
(2) - 18 + ( - 32);
(3) - 9 - 27;
第2 章 有理数·77
(4) - 29 - ( - 12);
(5) - 8 × ( - 15);
(6) ( - 4) ÷
- 1
4
(
);
(7) - 56 ÷ ( - 8);
(8) 72 ÷
- 1
3
(
);
(9) ( - 0. 03) × ( - 100);
(10)
- 3
4
(
) ÷
- 5 5
8
(
).
8. 计算:
(1) 8 +
- 1
4
(
) - 5 - ( - 0. 25);
(2) - 82 + 72 ÷ 36;
(3) (3 - 4 - 5) ÷
- 1 1
5
(
);
(4) 2 1
2 × 1
4 ÷ ( - 9 + 19);
(5) ( - 1) ÷
- 1 2
3
(
) × 1
3 ;
(6)
- 1
6 + 3
4 - 1
12
(
) × ( - 48);
(7) 25 × 3
4 - ( - 25) × 1
2 + 25 ×
- 1
4
(
);
(8) ( - 81) ÷ 2 1
4 + 4
9 ÷ ( - 16).
9. (1) 平方等于4
9 的有理数有哪几个? 有没有平方等于- 4
9 的有理数?
(2) 立方等于27 的有理数有几个? 有没有立方等于- 27 的有理数?
10. (1) 互为相反数的两数和是什么?
(2) 如果两个互为相反数的数都不为0,那么它们的商是多少?
11. 用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似数:
(1) 2. 768(精确到百分位);
(2) 0. 009 493(精确到千分位);
(3) 8. 965(精确到0. 1);
(4) 17 289(精确到千位).
78
·第2 章 有理数
12. 用计算器计算:(结果精确到十分位)
(1) 56. 2 + 7. 41 × ( - 2. 12);
(2) 2. 91
4 - 1. 68;
(3) (3. 91 - 1. 45)
2 ÷ ( - 5. 62) + 49. 34.
B组
13. 根据下列语句列式并计算:
(1) - 3 与0. 3 的和乘以2 的倒数;
(2) 45 加上15 与- 3 的积;
(3) 34 与6 的商减去- 1
3 ;
(4) - 1
2 与- 5 的差的平方.
14. (1) 0 和1 之间的数的平方比原数大还是小? 立方呢? 倒数呢? 分别举例
说明;
(2) - 1 和0 之间的数的平方比原数大还是小? 立方呢? 倒数呢? 分别举例
说明.
15. 选择题
(1) 下列每对数中,不相等的一对是( ).
A. ( - 2)
3 与- 2
3
B. ( - 2)
2 与2
2
C. ( - 2)
4 与- 2
4
D. | - 2
3 | 与|2 |
3
(2) 计算( - 2)
100 + ( - 2)
101 所得的结果是( ).
A. 2
100
B.
- 1
C.
- 2
D.
- 2
100
(3) 下面各组大小关系中,正确的是( ).
A. 0 > | - 10 |
B.
- 3
101
>
- 4
102
C. | - 2 | + 35. 6 > | - 2 + 35. 6 |
D. ( - 2)
3 > ( - 2)
2
第2 章 有理数·79
(第18 题)
16. 计算:
(1) 2 - 2 ÷ 1
3 × 3;
(2) -
1
2
(
)
2
× 2
2 - ( - 5);
(3) - 1
3 - (1 + 0. 5) × 1
3 ÷ ( - 4);
(4) - 3 -
- 1 - 0. 2 × 3
5
(
) × ( - 2).
17. 下列说法是否正确? 为什么?
(1) 两个正数中,较大数的倒数反而小;
(2) 两个有理数中,较大数的倒数反而小.
18. 如图,数轴上的点A、B、O、C、D 分别表示- 5、- 1 1
2 、0、2. 5、6,回答下列问
题:
(1) C、B 两点间的距离是多少?
(2) B、D 两点间的距离是多少?
(3) A、B 两点间的距离是多少?
19. 某检修小组乘一辆汽车沿一条东西向公路检修线路,约定向东走为正,某天从
A 地出发到收工时,行走记录为(长度单位:千米):
+ 15, - 2, + 5, - 3, + 8, - 3, - 1, + 11, + 4, - 5, - 2, + 7, - 3, + 5.
收工时,检修小组在A 地的哪一边? 距离A 地多远?
20. 在1∶50 000 000 的地图上量得两地间的距离是1. 3 cm,试用科学记数法表示这
两地间的实际距离. (单位:m)
21. 试求高为0. 820 m,底面半径为0. 470 m 的圆柱的体积. (结果精确到0. 01 m
3)
22. 加工一根轴,图纸上注明它的直径是ϕ30 + 0. 03
- 0. 02. 其中,ϕ30 表示直径是30 mm,
+ 0. 03 表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0. 03 mm, - 0. 02 表示合
格品的直径最小只能比规定的直径小0. 02 mm. 那么合格品的直径最大可为多
少? 最小可为多少?
80
·第2 章 有理数
C组
23. 字母a 取怎样的有理数时,下列关系式成立?
(1) | a | = a; (2) | a | > a;
(3) | a | = - a;
(4) a > - a.
24. 回答下列问题:
(1) 由| m | = | n | , 一定能得到m = n 吗? 请说明理由;
(2) 由| m | = | n | , 一定能得到m
2 = n
2 吗? 请说明理由.
25. 如图,你能由此得出计算规律吗?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ( )
2.
由此猜测:从1 开始的n 个连续奇数之和等于多少?
选择n 的一些值,用计算器计算,验证你的猜想.
(第25 题)
本章将学习代数式. 主要研究整式及其加减法.
第3章 整式的加减
如图所示的窗框,上半部分为半圆,下半部分为6 个大小一样的长方形,长
方形的长与宽的比为3∶2. 如果长方形的长分别为0. 4 米、0. 5 米、0. 6 米等,我
们容易计算出所需材料的长度.
本章将学习代数式,主要研究整式及其加减法.
82
·第3 章 整式的加减
3.1 列代数式
1. 用字母表示数
为了测试一种皮球的弹起高度与下落高度之间的
关系,通过试验,得到下面一组数据(单位:厘米):
下落高度
40
50
80
100
150
弹起高度
20
25
40
50
75
如果我们用字母b 表示下落高度的厘米数,那么对
应的弹起高度为 (厘米).
这里,我们用字母b 表示下落高度以后,得出表示弹
起高度的式子1
2 b, 反映了这种皮球的弹起高度和下落
高度之间的数量关系.
让我们再看几个用字母表示数的例子:
(1) 如果用a、b 表示任意两个有理数,那么加法交
换律可以表示为:
a + b = b + a.
乘法交换律可以表示为:
ab = ba.
(2) 某种大米每千克的售价是4. 8 元,购买这种大
米2 千克、2. 5 千克、5 千克、10 千克各需付款多少元?
购买这种大米2 千克需付款4. 8 × 2 = 9. 6(元);
购买这种大米2. 5 千克需付款4. 8 × 2. 5 = 12(元);
购买这种大米5 千克需付款 (元);
购买这种大米10 千克需付款 (元);
如果用字母n 表示购买这种大米的千克数,那么需
付款4. 8n(元).
你能从表中
发现弹起高度与
下落高度之间有
什么数量关系吗?
你能用字母
表示有理数的其
他几个运算律吗?
用这个式子,
可由购买大米的
千克数( n),算出
所需的付款数.
第3 章 整式的加减·83
(3) 我们知道,长方形的面积等于长与宽的积. 如果
用a、b 分别表示长方形的长和宽,用S 表示长方形的面
积,则有长方形的面积公式:
S = ab.
我们可以用公式表示一些常见图形的面积,请填写下表:
图形名称
示意图
面积公式
长方形
S = ab
正方形
三角形
平行四边形
梯形
圆
从这些例子,我们可以体会到,用字母表示数之后,
有些数量之间的关系用含有字母的式子表示,看上去更
加简明,更具有普遍意义了.
●
例1
填空:
(1) 某地为了治理河山,改造环境,计划在第十二个五
年计划期间植树绿化荒山,如果每年植树绿化n 公顷,那么
这五年内可以植树绿化荒山 公顷;
84
·第3 章 整式的加减
(2) 每本练习本m 元,甲买了5 本,乙买了2 本,两
人一共花了 元,甲比乙多花了 元;
(3) 1500 米跑步测试,如果某同学跑完全程的成绩
是t 秒,那么他跑步的平均速度是 米/ 秒.
●
解
(1) 5n.
(2) (5m + 2m), (5m - 2m).
(3) 1500
t
.
注意
(1) 式子中出现的乘号,通常写作“ ·” 或省略不
写,如这里5 × n 常写作5·n 或5n;
(2) 数字与字母相乘时,数字通常写在字母前面,如
5n 一般不写成n5;
(3) 除法运算写成分数形式,如1500 ÷ t 通常写作
1500
t
(t ≠0).
练 习
1. 填空:
(第1(3)题)
(1) 一打铅笔有12 支,n 打铅笔有 支;
(2) 三角形的三边长分别为3a、4a、5a, 其周长为
;
(3) 如图,某广场四角铺上了四分之一圆形的草地,若圆
形的半径为r 米,则共有草地 平方米.
2. 我们知道:
23 = 2 × 10 + 3;
865 = 8 × 10
2 + 6 × 10 + 5;
类似地, 5984 =
× 10
3 +
× 10
2 +
× 10 + .
一个三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,这个三位数可表示为
.
这里标明t ≠0
是什么意思?
第3 章 整式的加减·85
2. 代数式
填空:
(1) 某种瓜子的单价为16 元/ 千克,购买n 千克需 元;
(2) 小刚上学的步行速度为5 千米/ 时,从小刚家到学校的路程为s 千
米,他上学需走 小时;
(3) 钢笔每支a 元,铅笔每支b 元,买2 支钢笔和3 支铅笔共需
元.
你还能举出一些用字母表示数的例子吗?
概括
在前面的研究中,出现了b、1
2 b、a + b、ab、9. 6、
4. 8n、1
2 (a + b)h、5m - 2m、1500
t
等,它们都是由数和字
母用运算符号连接所成的式子,称为代数式(algebraic
expression). 单独一个数或一个字母也是代数式.
●
例2
用代数式表示下列问题中的量:
(1) 长为a cm、宽为b cm 的长方形的周长;
(2) 开学时爸爸给小强a 元,小强买文具用去了b
元(a > b),还剩多少元?
(3) 某机关原有工作人员m 人,抽调20% 下基层工
作后,留在该机关工作的还有多少人?
(4) 甲每小时走a 千米,乙每小时走b 千米,两人同
时同地出发反向行走, t 小时后, 他们之间的距离是
多少?
86
·第3 章 整式的加减
●
解
(1) 长方形的周长是它的4 条边长之和,所
以它的周长是2(a + b)cm.
(2) 还剩(a - b)元.
(3) 下基层工作的人数是机关原有工作人员的
20% ,其人数为20 %·m,即1
5 m,所以留在机关工作的还
有m - 1
5 m
(
)人.
我们也可以这样考虑:该机关工作人员抽调20%
下基层,那么留在原机关工作的人数应是总人数的
(1 - 20% ),所以留在机关工作的还有(1 - 20% )m 人,
即4
5 m 人.
(4) t 小时后,他们之间的距离是(at + bt)千米.
练 习
1. 填空:
(1) a 千克含盐为10% 的盐水中含盐 千克;
(2) 某同学军训期间打靶成绩为10 环、8 环、8 环、7 环、a 环,则他的平均成绩为
环;
(3) 甲以a 千米/ 时、乙以b 千米/ 时( a > b )的速度同时同地出发,在一条笔直的
公路上同向前进,t 小时后他们之间的距离是 千米.
(4) 一枚古币的正面是一个半径为r 厘米的圆形,中间有一个边长为a 厘米的正
方形孔,则这枚古币正面的面积为 .
2. (1) 某种电视机每台定价为m 元,商店在节日搞促销活动,降价20% ,促销期间
每台实际售价多少元?
(2) 将(1) 的结果与例2 中小题(3) 的解答比较一下,你有什么发现? 有什么
想法?
(3) 试自己编一道与(1)的结果类似的题目,与同伴交流.
两个答案都表
示留在机关工作的
人数, 它们应该是
相等的. 以后我们
能从数学运算的角
度认识这个事实.
第3 章 整式的加减·87
3. 列代数式
某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100 米降低0. 7°C. 如
果山脚温度是28°C,那么比山脚高300 米处的温度为 ;一般地,
比山脚高x 米处的温度为 .
根据题意可知, 比山脚高300 米处的温度为
(28 - 0. 7 × 3)°C,即为25. 9°C;一般地,比山脚高x 米处
的温度为28 - 0. 7
100x
(
)°C.
在解决实际问题时,常常先把问题中有关的数量用
代数式表示出来,即列出代数式,使问题变得简洁,更具
一般性.
●
例3
设某数为x,用代数式表示:
(1) 比该数的3 倍大1 的数;
(2) 该数与它的1
3 的和;
(3) 该数与2
5 的和的3 倍;
(4) 该数的倒数与5 的差.
●
解
(1) 3x + 1. (2) x + 1
3 x.
(3) 3 x + 2
5
(
).
(4) 1
x - 5 (x ≠0).
●
例4
用代数式表示:
(1) a、b 两数的平方和;
(2) a、b 两数和的平方;
(3) a、b 两数的和与它们的差的乘积;
(4) 偶数,奇数.
88
·第3 章 整式的加减
●
解
(1) a
2 + b
2.
(2) (a + b)
2.
(3) (a + b)(a - b).
(4) 偶数是2 的整数倍,奇数是2 的整数倍加1.
所以, 偶数和奇数可分别表示为: 2n, 2n + 1(n 为
整数).
练 习
1. 用代数式表示:
(1) a 与b 的差的2 倍;
(2) a 与b 的2 倍的差;
(3) a 与b、c 两数和的差;
(4) a、b 两数的差与c 的和.
2. 填空:
(1) 三个连续整数,中间一个是n,则第一个和第三个整数分别是 、 ;
(2) 三个连续偶数,中间一个是2n,则它前一个和后一个偶数分别是 、
.
习题3. 1
1. 设a、b、c 均为有理数,根据相应的运算律填空:
(1) (a + b) + c = (加法结合律);
(2) (ab)c = (乘法结合律);
(3) a(b + c) = (分配律).
2. 有一根弹簧原长10 厘米,挂重物后,它的长度会伸长,请根据下面表格中的一些
数据填空:
所挂重物质量(克)
1
2
3
…
n
弹簧伸长量(厘米)
0. 5
1
1. 5
…
弹簧总长度(厘米)
10. 5
11
11. 5
…
第3 章 整式的加减·89
3. 试引进字母,用适当的代数式表示:
(1) 能被3 整除的整数;
(2) 除以3 余数是2 的整数.
4. 用代数式填空:
(1) 七年级全体同学参加某项国防教育活动,一共分成n 个排,每排3 个班,每
班10 人,则七年级一共有 名同学;
(2) 某班有少先队员m 名,分成两个小队,第一小队有12 名,则第二小队有
名;
(3) 在一次募捐活动中,某班35 名同学共捐款n 元,则平均每个同学捐款
元;
(4) 某班学生总数为x,其中男生人数占总数的2
5 ,则男生人数为
,女
生人数为 ;
(5) 一批零件共m 个,乙先加工n 个零件后(m > n),余下的任务由甲再做5 天
完成,则甲平均每天加工的零件数是 ;
(6) 巧克力糖每千克a 元,奶油糖每千克b 元,用6 千克巧克力糖和4 千克奶油
糖混合成10 千克混合糖,则这样得到的混合糖每千克的平均价格为
元;
(7) 某种商品n 千克的售价为m 元,则这种商品8 千克的售价为 元;
(8) 某车间有m 个工人,计划n 天做s 个零件,则平均每个工人一天要做
个零件.
5. 用代数式表示:
(1) a 的3 倍与b 的一半之和;
(2) a 与b 的差的倒数(a≠b);
(3) a 与b 两数的平方和加上它们积的两倍;
(4) a 与b 两数和的平方减去它们差的平方.
6. 用代数式表示:
(1) 底面半径为r,高为h 的圆锥的体积;
(2) 长、宽、高分别为a、b、c 的长方体的表面积和体积;
(3) 底面是边长为a 厘米的正方形,体积为v 立方厘米的长方体的高.
90
·第3 章 整式的加减
3.2 代数式的值
问题
某礼堂第1 排有18 个座位,往后每排比前一排多2
个座位. 问:
(1) 第n 排有多少个座位? ( 用含n 的代数式
表示)
(2) 第10 排、第15 排、第23 排各有多少个座位?
●
解
(1) 第2 排比第1 排多2 个座位,它的座位
数应为18 + 2 = 20;
第3 排比第2 排多2 个座位,它的座位数应为
20 + 2 = 22.
也可以这样考虑:第3 排是第1 排的后2 排,它的座
位数应比第1 排多2 × 2 个,即为18 + 2 × 2 = 22;
类似地,第4 排是第1 排的后3 排,它的座位数应比
第1 排多2 × 3 个,即为18 + 2 × 3 = 24;
……
一般地,第n 排是第1 排的后(n - 1) 排,它的座位
数应比第1 排多2(n - 1)个,即为18 + 2(n - 1).
先考察特例:
计算第2 排、第3
排、第4 排的座位
数,发现规律,再求
出第n 排的座位数.
第3 章 整式的加减·91
(2) 当n = 10 时,18 + 2(n - 1) = 18 + 2 × 9 = 36;
当n = 15 时,18 + 2(n - 1) = 18 + 2 × 14 = 46;
当n = 23 时,18 + 2(n - 1) = 18 + 2 × 22 = 62.
因此,第10 排、第15 排、第23 排分别有36 个、46
个、62 个座位.
概括
我们看到,当n 取不同数值时,代数式18 + 2(n - 1)
的计算结果也不同. 以上结果可以说:当n = 10 时,代数
式18 + 2 ( n - 1 ) 的值是36; 当n = 15 时, 代数式
18 + 2(n - 1)的值是46;等等.
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中
的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值(value of
algebraic expression).
●
例1
当a = 2, b = -1, c = -3 时,求下列各代数式
的值:
(1) b
2 - 4ac; (2) (a + b + c)
2.
●
解
(1) 当a = 2, b = - 1, c = - 3 时,
b
2 - 4ac
= ( - 1)
2 - 4 × 2 × ( - 3)
= 1 + 24
= 25.
(2) 当a = 2, b = - 1, c = - 3 时,
(a + b + c)
2
= (2 - 1 - 3)
2
= ( - 2)
2
= 4.
●
例2
某企业去年的年产值为a 亿元,今年比去年
增长了10% . 如果明年还能按这个速度增长,请你预测一
下,该企业明年的年产值将能达到多少亿元? 如果去年的
年产值是2 亿元,那么预计明年的年产值是多少亿元?
由一般到特
殊,将n 的特定值
代入求得的代数
式,计算出特定各
排的座位数.
92
·第3 章 整式的加减
●
解
由题意可得,今年的年产值为a·(1 + 10% )
亿元,于是明年的年产值为
a·(1 + 10% )·(1 + 10% )
= 1. 21a(亿元).
若去年的年产值为2 亿元,即a = 2. 当a = 2 时,
1. 21a = 1. 21 × 2 = 2. 42.
答:该企业明年的年产值将能达到1. 21a 亿元. 由去
年的年产值是2 亿元,可以预计明年的年产值是2. 42
亿元.
练 习
1. 填表:
x
2
- 2
1
2
2x
6
1
x
1
4
x2
2. 根据下列各组x、y 的值,分别求出代数式x
2 + 2xy + y
2 与x
2 - 2xy + y
2 的值:
(1) x = 2, y = 3;
(2) x = - 2, y = - 4.
3. 已知梯形的上底a = 2 cm,下底b = 4 cm,高h = 3 cm,利用梯形面积公式求这个梯
形的面积.
第3 章 整式的加减·93
习题3. 2
1. 华氏温度(
○F )与摄氏温度(°C)之间的转换关系为:
华氏度数= 摄氏度数× 9
5 + 32.
(1) 当摄氏度数为x 时,华氏度数为
;
(2) 当摄氏度数为20 时,华氏度数为
.
2. 当a = 1
2 , b = 2 时,求下列代数式的值:
(1) (a + b)
2 - (a - b)
2; (2) a
2 + 2ab + b
2.
3. 按图示的方式摆放餐桌和椅子:
(第3 题)
(1) n 张餐桌可以放多少把椅子?
(2) 8 张餐桌可以放多少把椅子? 10 张呢? 15 张呢?
有趣的“3x+1问题”
现有两个代数式:
3x + 1,
①
1
2 x.
②
如果随意给出一个正整数,记为x,那么利用这个正整数,我们都可以根据
代数式①或②求出一个对应值.
94
·第3 章 整式的加减
我们约定一个规则:若正整数x 为奇数,我们就根据①式求对应值;若正整
数x 为偶数,我们就根据②式求对应值. 例如,取正整数x 为18,它是偶数,则应
由②式求得对应值为9;而9 是奇数,应由①式求得对应值为28;同样,28 是偶
数,对应14……我们感兴趣的是,从某一个正整数出发,不断地这样对应下去,
会是一个什么样的结果呢? 也许这是一个非常吸引人的数学游戏.
下面我们以正整数18 为例,不断地做下去,如图1 所示,最后竟出现了一个
循环:4, 2, 1, 4, 2, 1, ….
18
→9
→28
→14
→7
→22
→11
↓
34
20
↓
←
40 ←
13 ←
26 ←
52 ←
17 ←
10
→5
→16
→8
→4
→2
1
→
→
图1
再取一个正整数试试看. 比如取x 为21,如图2 所示,最后结果仍是一个同
样的循环.
21
→64
→32
→16
→8
→4
→2
1
→
→
图2
大家可以再随意取一些正整数试一试,结果一定同样奇妙———最后总是落
入4、2、1 的“黑洞”. 是不是从所有的正整数出发,都落入4、2、1 的黑洞而无
一例外呢? 这就是“3x + 1 问题”,在日本和中国常称之为“角谷问题”,关于其成
立的猜想叫做“角谷猜想”,因为日本数学家角谷静夫(Shizuo Kakutani) 对此做
过研究. 西方把这个猜想叫做科拉兹猜想(Collatz Conjecture).
“3x + 1 问题”或角谷猜想通俗易懂,所以引起很多人(包括许多非数学家)
的兴趣并参与其中. 有人动用计算机,试遍了从1 到7 × 1011的所有整数,结果都
成立. 近年来一些网络计算机平台也把“3x + 1 问题”的验证列为自由参与的研
究项目,例如美国加州贝克利的开放式平台BOINC 就曾有一个项目“3x + 1@
home”. 此项目于2008 年停止后,又有平台开放了“Collatz Conjecture”项目. 大量
的验证都没有找到反例.
验证不可能把所有的正整数穷尽,角谷猜想成立需要一个数学证明! 事实
上,国内外都有人宣称证明了角谷猜想,但他们的证明都还没有获得数学界的确
认. 看来,“3x + 1 问题”的解决似乎还有一段不短的路要走.
第3 章 整式的加减·95
3.3 整 式
1. 单项式
回忆
列代数式:
(1) 若正方形的边长为a, 则正方形的面积是
;
(2) 若三角形的一边长为a,这边上的高为h,则这
个三角形的面积为 ;
(3) 若m 表示一个有理数, 则它的相反数是
;
(4) 小馨每月从零花钱中拿出x 元钱捐给希望工
程,一年下来小馨共捐款 元.
概括
上面列出的代数式都是由数与字母的乘积组成
的,这样的代数式叫做单项式( monomial). 例如,a
2、
1
2 ah、- m 等都是单项式. 单独一个数或一个字母也是
单项式.
你所列出的
这些代数式有什
么共同特点?
96
·第3 章 整式的加减
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
(coefficient). 例如, 1
2 ah 的系数是1
2 , a
2 的系数是1,
- m 的系数是- 1.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项
式的次数(degree). 例如, 1
2 ah 的次数是2, 5
4 x
2yz 的次
数是4, - m 的次数是1.
注意
(1) 当一个单项式的系数是1 或- 1 时,“1”通常省
略不写,例如ab
2 和- abc 的系数分别是1、- 1;
(2) 单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如
5
4 x
2y 不要写成1 1
4 x
2y.
●
例1
判断下列各代数式是不是单项式,如果不
是,请说明理由;如果是,请指出它的系数与次数:
(1) x + 1; (2) - 3
2 a
2b.
●
解
(1) x + 1 不是单项式,因为代数式中出现
了加法运算.
(2) - 3
2 a
2b 是单项式,它的系数是- 3
2 ,次数是3.
练 习
1. 判断下列代数式是不是单项式:
(1) a; (2) - 1
2 ; (3) x + 1
2 ; (4) x
3 ; (5) xy.
2. 说出下列单项式的系数与次数:
(1) 5a
2;
(2) mn;
(3) - 7
2 ab
2c;
(4) - 2x
2y
3 .
第3 章 整式的加减·97
3. 判断下列说法是否正确,如果不正确,请说明理由:
(1) 单项式m 既没有系数,也没有次数;
(2) 单项式5 × 10
5t 的系数是5.
2. 多项式
回忆
列代数式:
(1) 若三角形的三条边长分别为a、b、c,则三角形
的周长是 ;
(2) 某班有男生x 人,女生21 人,这个班的学生一
共有 人;
(3) 图3. 3. 1 中阴影部分的面积为 .
图3. 3. 1
概括
上面列出的代数式都是由几个单项式相加而成的.
几个单项式的和叫做多项式(polynomial). 其中,每个单
项式叫做多项式的项(term),不含字母的项叫做常数项
(constant term). 例如,多项式3x
2 - 2x + 5 有三项,它们
是3x
2、- 2x、5,其中5 是常数项.
一个多项式含有几项,就叫做几项式. 多项式里,次
数最高项的次数,就是这个多项式的次数. 例如,多项式
3x
2 - 2x + 5 是一个二次三项式.
列出的这
些代数式有什
么共同特点?
它们与单项式
有什么区别?
98
·第3 章 整式的加减
●
例2
指出下列多项式的项与次数:
(1) a
3 - a
2b + ab
2 - b
3;
(2) 3n
4 - 2n
2 + 1.
●
解
(1) 多项式a
3 - a
2b + ab
2 - b
3 的项有a
3、
- a
2b、ab
2、- b
3, 次数是3.
(2) 多项式3n
4 - 2n
2 + 1 的项有3n
4、- 2n
2、1,次数
是4.
●
例3
指出下列多项式是几次几项式:
(1) x
3 - x + 1;
(2) x
3 - 2x
2y
2 + 3y
2.
●
解
(1) x
3 - x + 1 是三次三项式.
(2) x
3 - 2x
2y
2 + 3y
2 是四次三项式.
单项式与多项式统称整式(integral expression).
练 习
指出下列多项式是几次几项式:
1. 2x + 1 + 3x
2.
2. 4x
4 + 1.
3. 2x
2 - 3xy + y
2.
4. 4x
3 + 2x - 3y
2.
3. 升幂排列与降幂排列
运用加法交换律,任意交换多项式x
2 + x + 1 中各项
的位置,可以得到哪些不同的排列方式? 在众多的排列
方式中,你认为哪几种比较有规律?
注意: 多项
式的每一项都包
括它的正负号.
第3 章 整式的加减·99
概括
在众多的排列方式中,像x
2 + x + 1 与1 + x +x
2 这样
的排列比较有规律.
这两种排列有一个共同特点,那就是x 的指数是逐
项变小(或变大) 的. 其实,这样整齐的写法除了美观之
外,还会为计算带来方便. 因而我们常常把一个多项式各
项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列. 例
如,把多项式5x
2 + 3x - 2x
3 - 1 按x 的指数从大到小的顺
序排列,则写成
- 2x
3 + 5x
2 + 3x - 1.
这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.
若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成
- 1 + 3x + 5x
2 - 2x
3.
这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.
x
2 + x + 1 是按x 的降幂排列, 1 + x + x
2 是按x 的升
幂排列.
●
例4
把多项式2r - 1 + 4
3 r
3 - r
2 按r 的升幂排列.
●
解
按r 的升幂排列为:
- 1 + 2r - r
2 + 4
3 r
3.
●
例5
把多项式a
3 + b
2 - 3a
2b - 3ab
3 重新排列:
(1) 按a 的升幂排列;
(2) 按a 的降幂排列.
●
解
(1) 按a 的升幂排列为:
b
2 - 3ab
3 - 3a
2b + a
3.
(2) 按a 的降幂排列为:
a
3 - 3a
2b - 3ab
3 + b
2.
这两种排列方
式有什么特点?
试试看, 你
能将这个多项式
按b 的升( 或降)
幂排列吗?
100
·第3 章 整式的加减
注意
(1) 重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正
负号一起移动;
(2) 含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照
其中某一字母的升幂排列或降幂排列.
练 习
1. 把多项式2x
2 + 2
5 x
3 + x - 5x
4 - 1
3 重新排列:
(1) 按x 的升幂排列; (2) 按x 的降幂排列.
2. 把多项式x
4 - y
4 + 3x
3y - 2xy
2 - 5x
2y
3 重新排列:
(1) 按x 的降幂排列;
(2) 按y 的降幂排列.
习题3. 3
1. 填表:
单项式
a
- x
1
2 abc
- a2b3
3
系 数
次 数
2. 指出下列多项式是几次几项式:
(1) 4a
2 + 3a - 1; (2) 3a - 2ab + 4b.
3. 指出下列多项式的项与次数:
(1) 2
3 xy - 1
4 ;
(2) a
2 + 2a
2b + ab
2 - b
2;
(3) 2m
3n
3 - 3m
2n
2 + 5
3 mn.
4. 把多项式3
2 x
2 + 5
3 - 3x + 1
2 x
3 按x 的升幂排列.
第3 章 整式的加减· 101
5. 把多项式2x
3y - 4y
2 + 5x
2 重新排列:
(1) 按x 的降幂排列;
(2) 按y 的升幂排列.
3.4 整式的加减
1. 同类项
回忆
前面我们学过多项式的项. 例如, 多项式3x
2y -
4xy
2 - 3 + 5x
2y + 2xy
2 + 5 有6 项,它们分别是
3x
2y, - 4xy
2, - 3, 5x
2y, 2xy
2, 5.
我们常常把具有相同特征的事物归为一类. 在多项式
的各个项中,也可以把具有相同特征的项归为一类. 在上
述多项式的6 项中,通常可以把3x
2y 与5x
2y 归为一类,
- 4xy
2 与2xy
2 归为一类, - 3 与5 归为一类.
概括
3x
2y 与5x
2y 所含的字母相同(都是x、y),并且x 的
指数都是2,y 的指数都是1;同样地, - 4xy
2 与2xy
2 所含
的字母也相同,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也相等
的项叫做同类项(similar terms).
所有的常数项都是同类项. 例如,前面提到的- 3与
5 也是同类项.
这些被归为
同一类的项有什
么相同特征?
102
·第3 章 整式的加减
●
例1
指出下列多项式中的同类项:
(1) 3x - 2y + 1 + 3y - 2x - 5;
(2) 3x
2y - 2xy
2 + 1
3 xy
2 - 3
2 x
2y.
●
解
(1) 3x 与- 2x 是同类项, - 2y 与3y 是同类
项,1 与- 5 是同类项.
(2) 3x
2y 与- 3
2 x
2y 是同类项, - 2xy
2 与1
3 xy
2 是同
类项.
●
例2
k 取何值时,3x
ky 与- x
2y 是同类项?
●
解
要使3x
ky 与- x
2y 是同类项,这两项中x 的
指数就必须相等,即k = 2.
所以当k = 2 时,3x
ky 与- x
2y 是同类项.
练 习
(第1 题)
1. 将如图所示的两个圈中的同类项用线
连起来.
2. 写出3ab
2c
3 的一个同类项. 你能写出
多少个?
3. k 取何值时, - 3x
2y
3k 与4x
2y
6 是同类
项?
2. 合并同类项
观察
如果一个多项式中含有同类项,那么我们可以把同
类项合并起来,使结果得以简化.
第3 章 整式的加减· 103
例如, 可将同类项3x
2y 与5x
2y 合并成:
3x
2y + 5x
2y = (3 + 5)x
2y = 8x
2y.
对多项式3x
2y - 4xy
2 - 3 + 5x
2y + 2xy
2 + 5, 我们可
以先运用加法交换律与结合律将同类项结合在一起,再
将它们合并起来,化简整个多项式:
= 3x
2y + 5x
2y - 4xy
2 + 2xy
2 - 3 + 5
= (3x
2y + 5x
2y) + ( - 4xy
2 + 2xy
2) + ( - 3 + 5)
= (3 + 5)x
2y + ( - 4 + 2)xy
2 + ( - 3 + 5)
= 8x
2y - 2xy
2 + 2.
概括
合并同类项的法则:
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和
字母的指数保持不变.
●
例3
合并下列多项式中的同类项:
(1) 2a
2b - 3a
2b + 1
2 a
2b;
(2) a
3 - a
2b + ab
2 + a
2b - ab
2 + b
3.
●
解
(1) 2a
2b - 3a
2b + 1
2 a
2b
= 2 - 3 + 1
2
(
)a
2b
= - 1
2 a
2b.
(2)
a
3 - a
2b + ab
2 + a
2b - ab
2 + b
3
= a
3 + ( - a
2b + a
2b) + (ab
2 - ab
2) + b
3
= a
3 + ( - 1 + 1)a
2b + (1 - 1)ab
2 + b
3
= a
3 + b
3.
用记号标出
各同类项, 便于
合并.
你能归纳出
合并同类项的一
般法则吗?
104
·第3 章 整式的加减
●
例4
求多项式3x
2 + 4x - 2x
2 - x + x
2 - 3x - 1 的
值,其中x = - 3.
●
解
3x
2 + 4x - 2x
2 - x + x
2 - 3x - 1
= (3 - 2 + 1)x
2 + (4 - 1 - 3)x - 1
= 2x
2 - 1.
当x = - 3 时, 原式= 2 × ( - 3)
2 - 1 = 17.
把x = - 3 直接代入例4 中的多项式,求出它的值.
与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?
我们回到本章导图中提出的问题:
●
例5
如图3. 4. 1 所示的窗框,上半部分为半圆,
下半部分为6 个大小一样的长方形,长方形的长和宽的
比为3∶2.
(1) 设长方形的长为x 米,用x 表示所需材料的长
度(重合部分忽略不计);
(2) 分别求出当长方形的长为0. 4 米、0. 5 米、0. 6
米时,所需材料的长度(精确到0. 1 米,取π ≈3. 14).
●
解
(1) 设长方形的长为x 米,则它的宽为2
3 x
米. 由图3. 4. 1 不难知道,做这个窗框所需材料的长度为
11x + 9·2
3 x + πx
= (11 + 6 + π)x
= (17 + π)x(米).
(2) 当x = 0. 4 时,
(17 + π)x
≈(17 + 3. 14) × 0. 4
= 20. 14 × 0. 4
= 8. 056 ≈8. 1.
先合并同类
项,再求值,比较
简便.
如果x = 0,
如何求值比较
简便?
图3. 4. 1
第3 章 整式的加减· 105
所以,当长方形的长为0. 4 米时,所需材料的长度约
为8. 1 米.
请同学们自己计算:当长方形的长分别为0. 5 米、
0. 6 米时,所需材料的长度.
练 习
1. 如果两个同类项的系数互为相反数,那么合并同类项后,结果是 .
2. 先标出下列各多项式中的同类项,再合并同类项:
(1) 3x - 2x
2 + 5 + 3x
2 - 2x - 5;
(2) a
3 + a
2b + a b
2 - a
2b - a b
2 - b
3;
(3) 6a
2 - 5b
2 + 2ab + 5b
2 - 6a
2.
3. 求下列多项式的值:
(1) 7x
2 - 3x
2 - 2x - 2x
2 + 5 + 6x,其中x = - 2;
(2) 5a - 2b + 3b - 4a - 1,其中a = - 1, b = 2;
(3) 2x
2 - 3xy + y
2 - 2xy - 2x
2 + 5xy - 2y + 1,其中x = 22
7 , y = - 1.
3. 去括号与添括号
回忆
第2 章我们学过有理数的加法结合律,即有:
a + (b + c) = a + b + c.
①
对于等式①,我们可以结合下面的实例来理解:
周三下午,校图书馆内起初有a 位同学. 后来某年级
组织同学阅读,第一批来了b 位同学,第二批又来了c 位
同学,则图书馆内共有 位同学. 我们还可以这样
理解:后来两批一共来了 位同学,因而图书馆内
共有
位同学. 由于
和
均表示
同一个量,于是,我们便可以得到等式①.
106
·第3 章 整式的加减
若图书馆内原有a 位同学. 后来有些同学因上课要离开,第一批走了
b 位同学,第二批又走了c 位同学. 试用两种方式写出图书馆内还剩下的
同学数,你能从中发现什么关系?
从上面“做一做”所得到的结果,我们发现:
a - (b + c) = a - b - c.
②
观察
观察①、②两个等式中括号和各项正负号的变化,
你能发现什么规律?
(1) a +(b +c) = a+
括号没了,正负号没变
↓
b +
↑
c.
(2) a -(b +c) = a-
括号没了,正负号却变了
↓
b -
↑
c.
概括
通过观察与分析,可以得到去括号法则:
括号前面是“ + ” 号,把括号和它前面的“ + ” 号去
掉,括号里各项都不改变正负号;
括号前面是“ - ” 号,把括号和它前面的“ - ” 号去
掉,括号里各项都改变正负号.
●
例6
去括号:
(1) a + (b - c); (2) a - (b - c);
(3) a + ( - b + c);
(4) a - ( - b - c).
去括号后,括
号内各项的正负
号有什么变化?
第3 章 整式的加减· 107
●
解
(1) a + (b - c) = a + b - c.
(2) a - (b - c) = a - b + c.
(3) a + ( - b + c) = a - b + c.
(4) a - ( - b - c) = a + b + c.
●
例7
先去括号,再合并同类项:
(1) (x + y - z) + (x - y + z) - (x - y - z);
(2) (a
2 + 2ab + b
2) - (a
2 - 2ab + b
2);
(3) 3(2x
2 - y
2) - 2(3y
2 - 2x
2).
●
解
(1) (x + y - z) + (x - y + z) - (x - y - z)
= x + y - z + x - y + z - x + y + z
= x + y + z.
(2) (a
2 + 2ab + b
2) - (a
2 - 2ab + b
2)
= a
2 + 2ab + b
2 - a
2 + 2ab - b
2
= 4ab.
(3)
3(2x
2 - y
2) - 2(3y
2 - 2x
2)
= 6x
2 - 3y
2 - 6y
2 + 4x
2
= 10x
2 - 9y
2.
练 习
1. 去括号:
(1) (a - b) + ( - c - d);
(2) (a - b) - ( - c - d);
(3) - (a - b) + ( - c - d);
(4) - (a - b) - ( - c - d).
2. 判断下列去括号是否正确,如果不正确,请说明错在哪里,并加以改正:
(1) a - (b - c) = a - b - c;
(2) - (a - b + c) = - a + b - c;
(3) c + 2(a - b) = c + 2a - b.
3. 化简:
(1) a
2 - 2(ab - b
2) - b
2;
(2) (x
2 - y
2) - 3(2x
2 - 3y
2);
(3) 7a
2b - ( - 4a
2b + 5ab
2) - 2(2a
2b - 3ab
2).
108
·第3 章 整式的加减
观察
分别把前面去括号的①、②两个等式中等号的两边
对调,并观察对调后两个等式中括号和各项正负号的变
化,你能得出什么结论?
a+b +c = a+(b
正负号均不变
↓
+
↑
c).
a-b -c = a-(b
正负号均改变
↓
+
↑
c).
概括
通过观察与分析,可以得到添括号法则:
所添括号前面是“ + ”号,括到括号里的各项都不改
变正负号;
所添括号前面是“ - ”号,括到括号里的各项都改变
正负号.
在括号内填入适当的项:
(1) x
2 - x + 1 = x
2 - ( );
(2) 2x
2 - 3x - 1 = 2x
2 + ( );
(3) (a - b) - (c - d) = a - ( ).
●
例8
计算:
(1) 214a + 47a + 53a; (2) 214a - 39a - 61a.
●
解
(1)
214a + 47a + 53a
= 214a + (47a + 53a)
= 214a + 100a
= 314a.
随着括号的
添加, 括号内各
项的正负号有什
么变化?
适当添加
括号,可使计算
简便.
第3 章 整式的加减· 109
(2)
214a - 39a - 61a
= 214a - (39a + 61a)
= 214a - 100a
= 114a.
注意
添括号与去括号的过程正好相反,添括号是否正确,
不妨用去括号检验一下.
练 习
1. 计算:
(1) 117x + 138x - 38x;
(2) 125x - 64x - 36x;
(3) 136x - 87x + 57x.
2. 在下列各式的括号内填上恰当的项:
(1) 3x
2 - 2xy
2 + 2y
2 = 3x
2 - ( );
(2) 3x
2y
2 - 2x
3 + y
3 = 3x
2y
2 - ( );
(3) - a
3 + 2a
2 - a + 1 = - ( ) - ( ).
4. 整式的加减
某中学合唱团出场时第一排站了n 名同学,
从第二排起每一排都比前一排多1 人,一共站了
四排,则该合唱团一共有
名同学参加
演唱.
110
·第3 章 整式的加减
容易知道, 第二、三、四排的人数分别为n + 1、
n + 2、n + 3. 因而该合唱团参加演唱的总人数为
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3).
要把这个式子进一步化简,实际上是要进行整式的
加减运算.
思考
在解本节的例7 时,我们所做的实质上就是整式的
加减运算. 结合已有的知识和经验,你能总结出整式加减
运算的一般步骤吗?
概括
去括号和合并同类项是整式加减的基础. 整式加减
运算的一般步骤是:
先去括号,再合并同类项.
●
例9
求整式x
2 - 7x - 2 与- 2x
2 + 4x - 1 的差.
●
解
(x
2 - 7x - 2) - ( - 2x
2 + 4x - 1)
= x
2 - 7x - 2 + 2x
2 - 4x + 1
= 3x
2 - 11x - 1.
●
例10
计算: - 2y
3 + (3xy
2 - x
2y) - 2(xy
2 - y
3).
●
解
- 2y
3 + (3xy
2 - x
2y) - 2(xy
2 - y
3)
= - 2y
3 + 3xy
2 - x
2y - 2xy
2 + 2y
3
= xy
2 - x
2y.
●
例11
先化简,再求值: 2x
2y - 3xy
2 + 4x
2y - 5xy
2,
其中x = 1, y = - 1.
●
解
2x
2y - 3xy
2 + 4x
2y - 5xy
2
= (2x
2y + 4x
2y) - (3xy
2 + 5xy
2)
= 6x
2y - 8xy
2.
怎样进行整式
的加减运算呢?
第3 章 整式的加减· 111
当x = 1, y = - 1 时,
原式= 6 × 1
2 × ( - 1) - 8 × 1 × ( - 1)
2
= - 14.
练 习
1. 填空:
(1) 3x - ( - 2x) = ;
(2) - 2x
2 - 3x
2 = ;
(3) - 4xy - ( - 2xy) = .
2. 计算:
(1) 2x
2y
3 + ( - 4x
2y
3) - ( - 3x
2y
3);
(2) (3x
2 + x - 5) - (4 - x + 7x
2);
(3) (8xy - 3y
2) - 5xy - 2(3xy - 2x
2).
3. 先化简,再求值:
(1) 2a
2 - b
2 + (2b
2 - a
2) - (a
2 + 2b
2),其中a = 1
3 , b = 3;
(2) 5(3x
2y - xy
2) - (xy
2 + 3x
2y),其中x = 1
2 , y = - 1.
习题3. 4
1. 判断下列各题中的两项是不是同类项:
(1) 4 与- 1
2 ; (2) 3
2 与a
2;
(3) 2x 与2
x ;
(4) 3mn 与3mnp;
(5) 2π x 与- 3x;
(6) 3a
2b 与3ab
2.
2. m 和n 分别取何值时,2x
my
3 与- 3xy
3n是同类项?
3. 指出多项式3x
2 - 2xy + y
2 - x
2 + 2xy 中的同类项.
4. 下列合并同类项是否正确? 若不正确,请改正:
(1) 2x + 4x = 8x
2;
(2) 3x + 2y = 5xy;
(3) 7x
2 - 3x
2 = 4;
(4) 9a
2b - 9b a
2 = 0.
112
·第3 章 整式的加减
5. 合并同类项:
(1) - 3a + 5a - 6a;
(2) 2ax
2 - 3ax
2 - 7ax
2;
(3) 2x
2 + 1 - 3x + 7 - 3x
2 + 5x;
(4) 7xy - x
2 + 2x
2 - 5xy - 3x
2.
6. 先合并同类项,再求各多项式的值:
(1) 4a
2 - 4a + 1 - 4 + 12a - 9a
2,其中a = - 1;
(2) 9a
2 - 12ab + 4b
2 - 4a
2 - 12ab - 9b
2,其中a = 1
2 , b = - 1
2 .
7. 先去括号,再合并同类项:
(1) (x - 1) - (2x + 1);
(2) 3(x - 2) + 2(1 - 2x);
(3) 2(2b - 3a) + 3(2a - 3b);
(4) (3x
2 - xy - 2y
2) - 2(x
2 + xy - 2y
2).
8. 先化简,再求值:
(1) 3x
2 + (2x
2 - 3x) - ( - x + 5x
2),其中x = 314;
(2) (5xy - 8x
2) - ( - 12x
2 + 4xy),其中x = - 1
2 , y = 2.
9. 在下列各式的括号内填上恰当的项:
(1) x
3 - 3x
2y + 3xy
2 - y
3 = x
3 + ( );
(2) 2 - x
2 + 2xy - y
2 = 2 - ( ).
10. 把多项式x
3 - 6x
2y + 12xy
2 - 8y
3 + 1 写成两个整式的和,使其中一个不含字母x.
11. 计算:
(1) 3
2 x
2 -
- 1
2 x
2
(
) + ( - 2x
2);
(2) (9x
2 - 3 + 2x) + ( - x - 5 + 2x
2);
(3) (a + b - c) + (b + c - a) + (c + a - b);
(4) 2(x - 3x
2 + 1) - 3(2x
2 - x - 2).
12. 已知M = 3x
2 - 2xy + y
2, N = 2x
2 + xy - 3y
2, 求:
(1) M - N; (2) M + N.
13. 先化简,再求值:
(1) 5x
2 - [3x - 2(2x - 3) + 7x
2],其中x = 1
2 ;
(2) 1
2 x -
2x - 2
3 y
2
(
) +
- 3
2 x + 1
3 y
2
(
),其中x = - 1
4 , y = - 1
2 .
第3 章 整式的加减· 113
用分离系数法进行整式的加减运算
我们已经学过整式的加减,知道整式的加减可以归结为合并同类项. 而合并
同类项实际上就是合并各同类项的系数. 因此,进行整式的加减,关键就是把各
同类项的系数进行加减.
如果把两个整式的各同类项对齐,我们就可以像小学时列竖式进行加减法
一样,来进行整式的加减运算了.
怎样把各同类项对齐呢? 其实,只要将参加运算的整式按同一字母进行降幂
排列,凡缺项则留出空位或添零,然后让常数项对齐(即右对齐)即可. 例如,计算
(x3 - 2x2 - 5) + (x - 2x2 - 1)
及
(x3 - 2x2 - 5) - (x - 2x2 - 1)
时,我们可以分别用下列竖式计算:
x3 - 2x2
- 5
+ )
- 2x2 + x - 1
x3 - 4x2 + x - 6
x3 - 2x2 - 5
- )
- 2x2 + x - 1
x3
- x - 4
我们发现,参与加减运算的整式都按同一字母的降幂排列后,各项排列的位
置完全表示它们所含该字母的幂的次数. 基于这个事实,我们可以不再写出字母
及其指数,只需写出系数,计算出结果后,再把字母和相应的指数补充上去,从而
使演算过程简化. 这种方法叫做分离系数法.
按分离系数法,上面第一个例题的演算过程可以简化为:
1
- 2
+ 0
- 5
+)
- 2
+ 1
- 1
1
- 4
+ 1
- 6
所以
(x3 - 2x2 - 5) + (x - 2x2 - 1) = x3 - 4x2 + x - 6.
第二个例题也可如此简化.
用分离系数法计算:
(1) (2x2 - x - 3) + (5 - 4x + x2); (2) (3y3 - 5y2 - 6) - (y - 2 + 3y2).
114
·第3 章 整式的加减
一、知识结构
二、要点
1. 用字母表示数,从数的研究过渡到代数式的研究,是数学发展
的一次飞跃. 代数式及其运算,是进一步学习数学(方程、不等式、函数
等)的基础,也是解决实际问题的工具. 学习时要注意联系实际,体会
从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法.
2. 整式包括单项式和多项式. 多项式可以看作几个单项式的和,
其中的每一个单项式是多项式的项. 多项式的项(单项式)的系数包括
正负号,在进行整式运算时不容忽视.
3. 整式的加减运算是本章学习的又一个重点. 去括号和合并同类
项是整式加减的基础.
4. 去(添)括号时,要特别注意括号前面是“ - ”号的情形:去括号
时,括号里各项都改变正负号;添括号时,括到括号里的各项都改变正
负号.
第3 章 整式的加减· 115
A组
1. 填空:
(1) 如果a 表示一个有理数,那么它的相反数是 ;
(2) 如果n 表示一个自然数,那么它的后一个自然数是 ;
(3) 一个正方形的边长是a cm,把这个正方形的边长增加1 cm 后所得到的正
方形的面积是 ;
(4) 某商品原价是x 元,提价10% 后的价格是 ;
(5) 如果一个两位数的十位数字是a,个位数字是b,那么这个两位数可表示为
;
(6) 如果甲、乙两人分别从相距s 千米的A、B 两地同时出发相向而行,他们的
速度分别为a 千米/ 时与b 千米/ 时,那么他们从出发到相遇所需要的时间
为 .
2. 用代数式表示:
(1) a 的3 倍与b 的平方的差;
(2) x 与y 平方的和;
(3) x、y 两数的平方和减去它们积的2 倍;
(4) x 的相反数与y 的倒数的和.
3. 填表:
x
- 2
- 1
0
1
2
- 2x + 1
x2 - 1
4. 若某班同学在体育达标检测中, 达标率为p, 达标人数为n, 则总人数为
. 若p = 88% ,n = 44, 则这个班有 人.
5. 填表:
单项式
x
- x2y
- x2y3
3
3
2 ax2
系 数
次 数
116
·第3 章 整式的加减
6. 填表:
多项式
x2 - 1
x2 - 2x + 3
x2 - xyz
次 数
项 数
项
7. 将下列多项式按x 的降幂排列:
(1) 3 - 2x
2 + x; (2) - 2xy + x
2 + y
2;
(3) 2x - 1 - x
3;
(4) 2x
2y - 3xy
2 - x
3 + 2y
3 .
8. 合并同类项:
(1) 2ax + 3by - 4ax + 3by - 2ax;
(2) - 2x
2 + x - 3 + x
2 - 3x;
(3) 3x
2y - xy
2 - 2x
2y + 3xy
2.
9. 填空(去括号或添括号):
(1) 2a + 3(b - c) = ;
(2) 2a - 3(b - c) = ;
(3) x
2 - xy + y
2 = x
2 - ( );
(4) x
2 - xy + y
2 = x
2 + ( ).
10. 化简:
(1) 3x + 2x
2 - 2 - 15x
2 + 1 - 5x;
(2) 3x
2 + 2xy - 4y
2 - 3xy + 4y
2 - 3x
2;
(3) - 7x
2 + (6x
2 - 5xy) - (3y
2 + xy - x
2);
(4) (2x
2 - 5x) - (3x + 5 - 2x
2).
11. 先化简,再求值:
(1) 3x
3 - [x
3 + (6x
2 - 7x)] - 2(x
3 - 3x
2 - 4x),其中x = - 1;
(2) 1
3 x
2 -
3x
2 + 3xy - 3
5 y
2
(
) +
8
3 x
2 + 3xy + 2
5 y
2
(
),其中x = - 1
2 , y = 2.
B组
12. 已知多项式A = 4x
2 - 4xy + y
2, B = x
2 + xy - 5y
2, 求:
(1) A - 3B; (2) 3A + B.
13. 把(x - y) 看作一个整体,化简:
(1) 5(x - y) + 2(x - y) - 4(x - y);
(2) 3(x - y)
2 - 4(x - y) + 7(x - y) - 6(x - y)
2.
第3 章 整式的加减· 117
14. 有这样一道题:“求(2x
3 - 3x
2y - 2xy
2) - (x
3 - 2xy
2 + y
3) + ( - x
3 + 3x
2y - y
3)
的值,其中x = 1
2 , y = - 1. ” 甲同学把“x = 1
2 ” 错抄成“x = - 1
2 ”, 但他计算
的结果却是正确的. 这是怎么回事呢?
15. 一个两位数,它的十位数字为a,个位数字为b. 若把它的十位数字与个位数字
对调,将得到一个新的两位数.
(1) 计算新数与原数的和,这个和能被11 整除吗? 为什么?
(2) 计算新数与原数的差,这个差有什么性质?
C组
(第18 题)
16. x 表示一个两位数,y 表示一个三位数,把x 放在y 的右边组成一个五位数,则
这个五位数可以表示为 .
17. 代数式x
2 + x + 3 的值为7,则代数式2x
2 + 2x - 3 的值为 .
18. 一棵桃树结了m 个桃子,有三只猴子先后来摘桃. 第
一只猴子摘走1
5 ,再从树上摘一个吃掉;第二只猴子
摘走剩下的1
5 ,再从树上摘一个吃掉;第三只猴子再
摘走剩下的1
5 ,再从树上摘一个吃掉. 用代数式表示
树上最后剩下的桃子数.
19. 某移动电话公司给用户提供了各种手机资费套餐,其中两个如下表所列:
套餐使用费
(单位:元/ 月)
套餐内包含国内
主叫通话时长
(单位:分钟)
套餐外国内主叫
通话单价
(单位:元/ 分钟)
国内
被叫
套餐内包含国
内数据流量
(单位:兆)
套餐外国内数
据流量单价
(单位:元/ 兆)
58
150
0. 25
免费
30
0. 50
88
350
0. 19
免费
30
0. 50
(1) 如果某用户某月国内主叫通话总时长为x 分钟,使用国内数据流量为y 兆
(字节),请分别写出两种套餐收费方式下该用户应该支付的费用(假定
150 ≤x ≤350,y ≥30).
(2) 如果某用户某月国内主叫通话总时长为250 分钟,使用国内数据流量为
90 兆(字节),上述两种套餐中他选哪一种较为合算?
118
·第3 章 整式的加减
身份证号码与学籍号
为了把众多的对象区分开来,人们需要使用一些方法. 如每个家
庭都有一本户口簿,这样就把一个个家庭区分开来. 我们国家为了更
仔细地区分每一个人,1987 年实行了身份证制度,每一个公民都有一
个身份证号码. 2004 年《中华人民共和国居民身份证法》正式施行,并
开始换发第二代身份证. 现在请你参加下面的调查和设计活动.
(1) 尽可能多地收集一些人(如亲属、朋友等)的身份证号码.
(2) 仔细观察各个身份证号码的相同之处与不同之处,看看身份
证号码是如何反映每一个人的各种信息的.
(3) 帮助你们学校教务处的老师,为每一个学生设计一个学籍号
码,反映出入学年份、班级、性别等信息,使得每一个同学都有自己相
应的学籍号码.
(4) 检查一下,你设计的学籍号码是否合理. 再与其他同学相互
比比看,谁的设计更为简洁有效.
第4章 图形的初步认识
观察我们周围的环境,就会发现建筑物的形状千姿百态.
这些千姿百态的建筑物美化了我们生活的空间,同时也带给我们许多遐
想:建筑师是怎样设计创造的呢? 这其中蕴涵着许多有关图形的知识.
本章我们将认识一些常见的立体图形，研究基本的平面图形.
120
·第4 章 图形的初步认识
4.1 生活中的立体图形
我们生活在三维的世界中,随时随地看到的和接
触到的物体都是立体的. 有些物体,像石头、植物等呈
现出极不规则的奇形怪状. 也有许多物体具有较为规
则的形状,如自然界中存在的橙子、苹果、西瓜等;还有
人类创造的,如蒙古包、钟楼、埃及金字塔、易拉罐、蛋
筒冰淇淋等.
仔细观察上图,我们可以发现这些物体可以抽象成某
些立体图形,它们分别与图4. 1. 1 中的一些立体图形相类
似. 相信你都认识这些立体图形. 我们把图4. 1. 1 中(1)、
(2)所表示的立体图形叫做柱体(cylinder);(4)、(5)所表
示的立体图形叫做锥体(cone);(3)表示的立体图形则叫做
球体(sphere). 你能找出和这些立体图形相类似的物体吗?
(1)
(2)
(3)
你还能举出
类似的例子吗?
比一比, 看谁举
得多.
第4 章 图形的初步认识· 121
(4)
(5)
图4. 1. 1
我们可以发现,图4. 1. 1 中的(1)、(2)都是柱体,但
还是有一定的差别:(1) 表示的图形称为棱柱(prism),
(2)表示的图形称为圆柱(circular cylinder). 同样(4)、
(5) 都是锥体, 但(4) 表示的图形称为圆锥( circular
cone),(5)表示的图形称为棱锥(pyramid).
如图4. 1. 2,棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱
柱……棱锥也有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
三棱锥
四棱锥
五棱锥
六棱锥
图4. 1. 2
我们还可以发现,图4. 1. 1 中的(1) 和(5) 与(2)、
(3)、(4)存在一定的差异,围成(1) 和(5) 的每一个面
都是平的, 像这样的立体图形, 又称为多面体
(polyhedron).
你能叫出图
4. 1. 1 中立体图
形的“名字”吗?
它们的差别
在哪里?
122
·第4 章 图形的初步认识
练 习
1. 下列图形中,上面是一些具体的物体,下面是一些立体图形,试找出与下面立体
图形相类似的实物.
实 物
立体图形
(第1 题)
2. 写出下列立体图形的名称.
(第2 题)
3. 用牙签和橡皮泥制作三棱柱、三棱锥、四棱柱、四棱锥.
第4 章 图形的初步认识· 123
习题4. 1
(1) (2) (3)
(4)
(第2 题)
1. 举5 个生活中的形状较为规则的物体,并说出和它相类似的立体图形.
2. 下面图形中为圆柱的是 .
3. 把图形与对应的图形名称用线连起来:
圆锥 圆柱 棱柱
棱锥 球
(第3 题)
4.2 立体图形的视图
1. 由立体图形到视图
工人在建造房子之前,首先要看房子的图纸. 但在平
面上画空间的物体不是一件简单的事,因为必须把它画
得从各个角度都能看得很清楚. 为了解决这个问题,可以
采用三视图法. 建筑工程师和工人为了描绘和制造各种
物体,常常使用这种方法.
124
·第4 章 图形的初步认识
视图(view)来自于投影. 投影现象广泛存在于我们
日常生活中,如图4. 2. 1,在灯光下,将两手交叉握紧,墙
上就会出现动物头部的影子;如图4. 2. 2,在阳光下,会
看到自己身体的影子. 灯光的光线可以看作是从一点发
出的,我们称这种投影为中心投影;而太阳的光线可以看
作是平行的,我们称这种投影为平行投影.
图4. 2. 1
图4. 2. 2
视图是一种特殊的平行投影. 如图4. 2. 3 是三个立
体图形在一个面的视图.
图4. 2. 3
如图4. 2. 4,从正面、上面和侧面(左面或右面)三个
不同的方向进行平行投影,可以得到三个投影,这样就可
以用平面图形去刻画一个立体图形了.
从正面得到的投影,称为主视图;从上面得到的投
影,称为俯视图;从侧面得到的投影,称为侧视图,依投影
方向不同,有左视图和右视图. 通常将主视图、俯视图与
左(或右)视图称做一个物体的三视图.
图4. 2. 4
第4 章 图形的初步认识· 125
如图4. 2. 5 是一个螺栓. 图4. 2. 6 就是它的三视图,
工人可以根据这三个图形制造出这个螺栓.
图4. 2. 5
图4. 2. 6
●
例1
画出如图4. 2. 7 和图4. 2. 8 所示的正方体
和圆柱的三视图.
●
解
如图4. 2. 9,正方体的三视图都是正方形.
图4. 2. 9
如图4. 2. 10,圆柱的主视图和左视图都是长方形,
俯视图是圆.
图4. 2. 10
观察粉笔盒、茶叶盒,试着画出它们的三视图.
图4. 2. 7
图4. 2. 8
126
·第4 章 图形的初步认识
●
例2
画出如图4. 2. 11 所示的圆锥的三视图.
●
解
圆锥的三视图如图4. 2. 12 所示.
图4. 2. 12
三视图法是描述立体图形的一种方法,以后,还会学
习更多的其他方法.
练 习
1. 画出下列立体图形的三视图.
(第1 题)
2. 图中右边是由四个相同的小长方体堆成的物体,试指出左边三个平面图形分别
是这个物体的三视图中的哪个视图.
(
)
(
)
(
)
(第2 题)
图4. 2. 11
第4 章 图形的初步认识· 127
2. 由视图到立体图形
现在我们来根据视图想象物体的形状. 让我们先观
察一些较为简单的、熟悉的物体的视图.
●
例3
图4. 2. 13 所示的是一些立体图形的三视
图,请根据视图说出立体图形的名称.
(1)
(2)
图4. 2. 13
●
解
(1) 该立体图形是长方体, 如图4. 2. 14
所示.
图4. 2. 14
(2) 该立体图形是圆锥,如图4. 2. 15 所示.
图4. 2. 15
128
·第4 章 图形的初步认识
图4. 2. 16 是一个物体的三视图,试想象该物体的
形状.
图4. 2. 16
你想出的物体形状和图4. 2. 17 所示的一样吗?
练 习
1. 如图是一个立体图形的三视图,请说出这个立体图形的名称,并画出它的大致
形状.
(第1 题)
2. 试说出几个俯视图为一个圆的物体.
图4. 2. 17
第4 章 图形的初步认识· 129
习题4. 2
(第2 题)
(第3 题)
1. 根据要求画出下列立体图形的视图.
(1)
(画左视图)
(2)
(画俯视图)
(第1 题)
2. 画出下面立体图形的三视图.
3. 如图是由6 个相同的长方体堆成的物体,试画出这一物体的主视图.
4. 改变第3 题中物体的形状,使它的俯视图分别如下图所示:
(1)
(2)
(第4 题)
试试看,还可能得到哪些俯视图?
130
·第4 章 图形的初步认识
4.3 立体图形的表面
展开图
我们知道,圆柱的侧面展开图是长方形,而在实际生
活中常常需要了解整个立体图形的表面展开的形状,如
包装一个长方体形状的物体,需要根据它的表面展开图
来裁剪纸张. 下面要讨论的是一些简单多面体的表面展
开图.
图4. 3. 1!4. 3. 3 的三个图是一些多面体的表面展
开图,你能说出这些多面体的名称吗?
图4. 3. 1
图4. 3. 2
图4. 3. 3
同一个立体图形,按不同的方式展开得到的表面展
开图是不一样的. 想想看,图4. 3. 4!4. 3. 9 的图形都是
正方体的表面展开图吗?
图4. 3. 4
图4. 3. 5
第4 章 图形的初步认识· 131
图4. 3. 6
图4. 3. 7
图4. 3. 8
图4. 3. 9
练 习
1. 下列图形是某些多面体的表面展开图,说出这些多面体的名称.
(1)
(2)
(第1 题)
2. 下列图形都是正方体的表面展开图吗?
(1)
(2)
132
·第4 章 图形的初步认识
(第3 题)
(3)
(4)
(第2 题)
3. 下面是一个多面体的表面展开图,每个面内都标注了字母,请根据要求回答问题:
(1) 如果面A 在多面体的底部,那么哪一面会在上面?
(2) 如果面F 在前面,从左面看是面B,那么哪一面会在上面?
(3) 如果从右面看是面C,面D 在后面,那么哪一面会在上面?
习题4. 3
1. 下面的图形中哪一个是四棱柱的侧面展开图?
(1)
(2)
(3)
(第1 题)
第4 章 图形的初步认识· 133
2. 下面的图形中有三棱柱的表面展开图吗?
(1)
(2)
(3)
(第2 题)
3. 下面的图形都是由6 个大小一样的正方形拼接而成的. 你还能画出一些其他不
同的拼接图形吗? 这些图形中哪些可以折成正方体?
(1)
(2)
(3)
(第3 题)
4.4 平面图形
通过前几节的学习,我们认识了由实际生活中所存在
的各种物体抽象而成的许多立体图形,其中不少立体图形
都是由平面图形围成的,而且可以通过某些平面图形描述它
的形状和特性,因此研究立体图形往往从平面图形开始.
观察图4. 4. 1 中所示的各物体,你能画出它们的表
面轮廓线的形状吗?
图4. 4. 1
你还能举出
类似的例子吗?
134
·第4 章 图形的初步认识
把你画的图形和图4. 4. 2 所示的图形相比较,看看
你所画的是否也是这几个平面图形?
八边形
圆
六边形
三角形
长方形
图4. 4. 2
这里的三角形、长方形和圆是我们早就熟悉的图形.
圆(circle)是由曲线围成的封闭图形,而其他由线段围成的
封闭图形叫做多边形(polygon). 按照组成多边形的边的条
数,多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……
图4. 4. 3
图4. 4. 4 所示的图形中有哪几个是四边形?
图4. 4. 4
图4. 4. 3 中
的几个图形是多
边形吗?
说说“是” 或
“不是”的理由.
第4 章 图形的初步认识· 135
在多边形中,三角形是最基本的图形. 如图4. 4. 5 所
示,每一个多边形都可以分割成若干个三角形.
图4. 4. 5
生活中经常可以看到由一些多边形或圆组成的优
美图案. 图4. 4. 6!4. 4. 9 是一些布料和旗帜的照片,请
你在照片上找一找你已熟悉的平面图形.
图4. 4. 6
图4. 4. 7
图4. 4. 8
图4. 4. 9
图4. 4. 6 由长方形和正方形组成;图4. 4. 7 由长方
形和五角形组成;图4. 4. 8 由正方形和六边形组成;图
4. 4. 9 由长方形和六边形组成,其中长方形和六边形还
构成了八边形.
如图4. 4. 10 所示,不少国家的国旗、团体或公司的
标志的图案都是由简单图形组合而成的. 试找出其中的
简单图形.
数一数每个
多边形中三角形
的个数, 你能发
现什么规律?
136
·第4 章 图形的初步认识
图4. 4. 10
练 习
1. 分别举出有一个表面是圆或四边形的两个物体的例子.
2. 按照图4. 4. 5 的方式分割下面的多边形,使其由几个三角形组成.
(1)
(2)
(3)
(第2 题)
习题4. 4
1. 下列图形中有几个是多边形?
(第1 题)
2. 下列图形中有几个是五边形?
(第2 题)
第4 章 图形的初步认识· 137
3. 分别把下列各图形分割成三角形,每个图形至少可以分割成多少个三角形?
(第3 题)
七 巧 板
你玩过七巧板吗? 那是我国古代人民创造的益智游戏,流传到世界上不少
国家. “七巧板”也称“七巧图”,就是用七块不同形状和大小的木板构成图形的
游戏. 相传宋朝时,有一位叫黄伯思的人,对几何图形很有研究,他热情好客,发
明了一种用6 张小桌子组成的“宴几”———请客吃饭的小桌子. 后来有人将它改
进为7 张桌子组成的宴几,可以根据吃饭人数的不同,把桌子拼成不同的形状,
比如3 人拼成三角形,4 人拼成正方形……这样用餐时人人方便,气氛更好. 再
后来,有人把宴几缩小,改变成七块板,用来拼图,逐渐演变成一种智力玩具———
七巧板,现在又拓展为九巧板、十巧板等.
“七巧板”游戏就是利用7 块木板,拼出下图所列出的各种图案. 你一定还
能想出其他的图案来.
138
·第4 章 图形的初步认识
“中国七巧板”的7 个部件中已经有3 种不同大小的三角形,用其中的4 个
部件:1 个大三角形、2 个小三角形和1 个正方形,还能拼出一个三角形. 你能想
象出来吗? 思考下列问题:
(1) 用2 块部件能拼成一个三角形吗? 3 块呢? 5 块、6 块、7 块呢?
(2) 用2 块部件能拼成正方形吗? 3 块呢?
(3) 用哪些部件能拼成长方形? 还能拼成什么样的多边形?
4.5 最基本的图形
——点和线
1. 点和线
通过前面的学习,大家一定会感叹,生活中有那么多
奇妙的图形! 其实不管是什么样的图形,它都是由一些
基本的图形构成的.
下面先看两个最基本的图形.
用削尖的铅笔轻触一张白纸,就在纸上留下了点
(point)的直观形象. 在许多图示上,点常用来表示那
些大小尺寸可以忽略的物体. 例如,在小比例尺地图
第4 章 图形的初步认识· 139
上,一个城市就常常用一个点来表示. 许多点的聚集
又可以表现不同的图形,例如,报纸上的图片、电视屏
幕上的画面,都是由浓淡不同或者色彩各异的点组
成的.
在日常生活中,一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横
道线都给我们以线段(line segment) 的形象. 实际上,线
段是无数排成行的点的聚集.
在前面抽象得到的多面体上,我们可以找到点和线
的形象. 例如,如图4. 5. 1 所示的长方体,它由6 个面组
成,两个相邻的面交于一条线段,这条线段称为棱;两条
相接的棱交于一个点,这个点称为顶点.
我们可以用如图4. 5. 2 所示的方式来表示点和线
段,其中在线段AB 中, 点A 和点B 称为线段AB 的
端点.
图4. 5. 2
“抽象”是数学的一种基本思想和基本方法. 从实际生活中的物
体、图形抽象得到的点、线、面、体等数学概念,概括了客观事物的数
学属性,但又不再是原来的事物了. 例如,抽象出来的数学上的“点”
是没有大小的,但如果我们在纸上画“点”,无论铅笔削得多尖,画出
来的点都有大小(你可以用一个放大镜看一看). 本册教科书的第2、
3 两章谈的是数与代数领域中数量和数量关系的抽象. 现在我们又从
简单图形和图形关系出发抽象出了一些最基本的几何概念. 我们还
将在此基础上进一步运用抽象等数学思想和方法,研究和解决各种
几何图形中的问题.
图4. 5. 1
140
·第4 章 图形的初步认识
如图4. 5. 3,从A 地到B 地有三条路径,你会选择哪
一条?
在实际情况中,我们都希望走的路程越短越好,当然
选择笔直的路线. 这条路线就是线段AB. 也就是我们平
时所说的基本事实:
两点之间,线段最短.
此时线段AB 的长度,就是A、B 两点间的距离.
如图4. 5. 4,把线段向一方无限延伸所形成的图形
叫做射线(ray).
图4. 5. 4
如图4. 5. 5,手电筒的光线和激光灯的光束,给我们
以射线的形象.
图4. 5. 5
如图4. 5. 6,把线段向两方无限延伸所形成的图形
叫做直线(straight line).
图4. 5. 6
图4. 5. 3
图中固定的
点O 称为射线
OC 的端点.
第4 章 图形的初步认识· 141
在纸上画出一点A 和一点B,过点A 你能画出几条
直线? 经过A、B 两点画直线,你又可以画几条?
我们可以发现这样一个基本事实:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 即两点确
定一条直线.
练 习
1. 要在墙上钉牢一根木条,至少要钉几颗钉子? 为什么?
2. 请举出生活中运用“两点之间,线段最短”的几个例子.
2. 线段的长短比较
记得你和同学是怎样比较个子高矮的吗? 可能大家
通常会有两种办法:一是让两人分别说出自己的身高,对
比一下;二是让两人背对背地站在同一块平地上,脚底平
齐,观看两人的头顶,直接比出高矮(图4. 5. 7).
那么,我们可以怎样比较两条线段的长短呢?
你一定会发现,两条线段也可以通过类似的方法来
比较长短. 对于图4. 5. 8 中的线段AB、CD,我们用刻度
尺量一下,就可以知道它们谁长谁短了. 这是第一种
方法.
图4. 5. 8
这里AB 比CD 短,我们可以记为
AB < CD(或CD > AB) .
图4. 5. 7
142
·第4 章 图形的初步认识
比较两条线段的长短的第二种方法与直接比较个
子高矮一样,就是把其中的一条线段移到另一条线段上
去加以比较. 如图4. 5. 9,将线段AB 放到线段CD 上,点
A 和点C 重合,观察另外两个端点B、D 的位置,便可确
定这两条线段的长短. 图中点B 落在线段CD 的内部,可
以知道线段AB 比CD 短,也就是AB < CD.
图4. 5. 9
如果点B 恰好与点D 重合,则可以知道两者一样
长,AB 与CD 相等,即AB = CD.
图4. 5. 10
如图4. 5. 10, MN 为已知线段,你能用直尺和圆规准确
地画一条与MN 相等的线段吗?
如图4. 5. 11,我们可以先画射线AB,然后用圆规量
出线段MN 的长,再在射线AB 上截取AC = MN, 线段
AC 就是所要画的线段.
图4. 5. 11
把一条线段分成两条相等线段的点,叫做这条线段
的中点(mid-point).
在图4. 5. 12 中,点C 是线段AB 的中点,可以写成
AC = CB = 1
2 AB, 或AB = 2AC = 2CB.
如果点B 落
在线段CD 的延
长线上呢?
第4 章 图形的初步认识· 143
图4. 5. 12
又如图4. 5. 13, AB = 6 cm, 点C 是线段AB 的中点,
点D 是线段CB 的中点,那么AD 有多长呢?
图4. 5. 13
这里A、C、D 三点在同一条直线上,线段AD 可以看
成是线段AC 与线段CD 的和,即AD = AC + CD.
由已知,可得
AC = CB = 1
2 AB = 3 cm,
CD = 1
2 CB = 1. 5 cm,
AD = AC + CD = 4. 5 cm.
练 习
(第1 题)
1. 根据所示图形填空:
(1) AB + BC = ( );
(2) AD = ( ) + CD;
(3) CD = AD - ( );
(4) BD = CD + ( ) = AD - ( );
(5) AC - AB + CD = ( ) = BC + ( ).
(第2 题)
2. 如图,已知点C 是线段AD 的中点, AC = 1. 5 cm,
BC = 2. 2 cm, 那么AD = ( )cm, BD =
( )cm.
3. 请通过直接观察分别比较三组图形中线段a、b 的长短. 再用刻度尺量一下,看看
你的观察结果是否正确.
(1)
(2)
(3)
(第3 题)
类似于数,
线段也可以相
加减.
144
·第4 章 图形的初步认识
习题4. 5
(第2 题)
1. 直线l 上有一个点. 在直线l 上,以这个点为端点的不同射线共有多少条?
2. 如图,有A、B、C、O 四个点. 分别画出以点O 为端点,
经过A、B、C 各点的射线.
3. 画出长度为5 cm 的线段AB,并用刻度尺找出它的中点.
4. 在一条直线上顺次取A、B、C 三点, 使AB = 5 cm,
BC = 2 cm, 并且取线段AC 的中点O,求线段OB 的长.
5. 读下列语句,并画出相应的图形:
(1) 点A 在直线l 上,点B 在直线l 外;
(2) 任意画一点P,过点P 画直线PQ;
(3) 任意画A、B 两点,过A、B 两点画直线AB;
(4) 任意画A、B、C 三点,过A、C 两点画直线l. 此时点B 是否一定在这条直
线上?
欧拉公式
新年晚会是我们最欢乐的时候. 会场上,悬挂着五彩缤纷的小装饰,其中有
各种各样的立体图形. 下面是常见的一些多面体:
正四面体
正方体 正八面体
正十二面体
正二十面体
请你数一下上面图中每一个多面体具有的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E),
并且把结果记入下表中.
第4 章 图形的初步认识· 145
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
V + F - E
正四面体
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体
12
20
30
令人惊奇的是,上表最后一栏中的数是完全一样的!
你若有兴趣的话,可以随意做一个多面体,看看是否还是这样的结果.
伟大的数学家欧拉(L. Euler, 1707
1783)证明了这一令人惊叹的关系式,
即欧拉公式:
顶点数+ 面数- 棱数=2.
4.6 角
1. 角
观察图4. 6. 1 中的图形,你发现它们有什么共同的
特点吗?
图4. 6. 1
生活中还有
哪些东西具有类
似的形象?
146
·第4 章 图形的初步认识
这些图形都给出了角的形象.
在小学里,我们已学习过角(angle) 的概念,角是由
两条有公共端点的射线组成的图形.
如图4. 6. 2,角更可以看成是由一条射线绕着它的
端点旋转而成的图形. 射线的端点叫做角的顶点,起始位
置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.
图4. 6. 2
如图4. 6. 3,角可以用几种不同的方法表示.
图4. 6. 3
在图4. 6. 4 中可以观察到两种特殊情况:第一种情
况是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线,这时所
成的角叫做平角(straight angle);第二种情况是绕着端点
旋转到终边和始边再次重合,这时所成的角叫做周角
(perigon).
图4. 6. 4
我们已经知道,如果把周角等分成360 份,每一份就
是1 度的角,1 度记作1°. 但是一个角的度数并不正好是
整数,这时与长度单位一样,考虑用更小一些的单位. 把
1 度等分成60 份,每一份就是1 分,记作1′;把1 分再等
分成60 份,每一份就是1 秒,记作1″.
回想一下
锐角、钝角、直
角的形状.
注意用三
个字母表示角
时,必须把表示
角的顶点的字
母写在中间.
本书中的角,
除了周角与平角
外,一般是指小于
平角的角.
第4 章 图形的初步认识· 147
1 周角= 360°.
1 平角= 180°.
1° = 60′, 1′ = 60″.
从角的度数看,大于0°,且小于90°的角是锐角;等
于90°的角是直角;大于90°,且小于180°的角是钝角.
●
例1
(1) 把18°15′化成用度表示的角;
(2) 把93. 2°化成用度、分、秒表示的角.
●
解
(1) 先把15′化成度,即
15′ =
15
60
(
)° = 0. 25°,
所以
18°15′ = 18. 25°.
(2) 因为1° = 60′, 所以
0. 2° = 60′ × 0. 2 = 12′,
因此
93. 2° = 93°12′.
还记得如图4. 6. 5 所示的八个方向吗? 那是日常生
活中经常用到的一些方向,如太阳从东方升起,又如明天
将有4!5 级西北风,等等. 但实际上,八个方向还是不够
用的. 如果要准确地表示方向,那就要借用角的表示
方式.
●
例2
如图4. 6. 6, OA 是表示北偏东30°方向的一
条射线.
图4. 6. 6
请向同桌说
明如何使用量角
器测量角的大小.
18°15′和18. 15°
相等吗? 哪一个较
大?
图4. 6. 5
148
·第4 章 图形的初步认识
仿照这条射线,画出表示下列方向的射线:
(1) 南偏东25°;
(2) 北偏西60°.
●
解
如图4. 6. 7 所示.
(1) 以正南方向的射线为始边,逆时针旋转25°,所
成的角的终边即为所求的射线.
(2) 以正北方向的射线为始边,逆时针旋转60°,所
成的角的终边即为所求的射线.
轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位
角,领航员常用地图和罗盘进行方位角的测定.
有时以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向. 如:“北偏
东30°”、“南偏东25°”、“北偏西60°”.
练 习
1. 根据图4. 6. 5 填空:
(1) 正东和正西方向所成的角是 度;
(2) 正南和西南方向所成的角是 度;
(3) 东北和西北方向所成的角是 度;
(4) 正西和东南方向所成的角是 度.
2. 用直尺画出30°、45°、60°、120°的角. 随后用量角器量一量,比一比谁画的角最为
接近.
图4. 6. 7
第4 章 图形的初步认识· 149
2. 角的比较和运算
观察如图4. 6. 8 所示的三个角,哪一个最大?
图4. 6. 8
从上图我们可以发现, ∠DEF 明显比∠AOB 及
∠CGH 小,但∠AOB 与∠CGH 的大小关系不太明显. 那
么如何比较,才能得到准确的结果呢?
你还记得比较两条线段长短的方法吗? 类似地,你
一定会想到可以采用下面的方法:
如图4. 6. 9 所示,把一个角放到另一个角上,使它们
的顶点重合,其中的一边也重合,并使两个角的另一边都
在重合的这一条边的同侧.
这时,角的大小关系就明显了,可以简单地记为
∠CGH > ∠AOB,
或∠AOB < ∠CGH.
比较角的大小,也可以用量角器分别量出角的度数,
然后加以比较. 如我们用量角器可以量出图4. 6. 8 中三
个角的度数分别为
∠AOB = 60°30′, ∠DEF = 36°, ∠CGH = 65°,
所以
∠CGH > ∠AOB > ∠DEF.
一副三角尺上的角是一些常用的角,除了可以用它们
直接画出30°、45°、60°和90°的角之外,还可以画出其他一
些特殊的角.
如图4. 6. 10 所示,用两种方法放置一副三角尺,可
以画出75°和15°的角.
图4. 6. 10
你能从比较
线段长短的方法
得到启示吗?
图4. 6. 9
在放大镜下,
一个角变大了吗?
用一副三角
尺还可以画出哪
些特殊的角?
150
·第4 章 图形的初步认识
如图4. 6. 11, ∠AOB 为已知角,试按下列步骤用圆规和直尺准确地
画一个角等于∠AOB.
图4. 6. 11
第一步:画射线O′A′;
第二步:以点O 为圆心,以适当长为半径画弧,交OA 于点C,交OB
于点D;
第三步:以点O′为圆心,以OC 长为半径画弧,交O′A′于点C′;
第四步:以点C′为圆心,以CD 长为半径画弧,交前一条弧于点D′;
第五步:经过点D′画射线O′B′.
∠A′O′B′就是所要画的角.
我们可以对角进行简单的加减运算,如:
(1) 34°34′ + 21°51′ = 55°85′ = 56°25′;
(2) 180° - 52°31′ = 179°60′ - 52°31′ = 127°29′.
观察图4. 6. 12 中的∠AOC、∠COB 和∠AOB,如何
表示它们之间的关系呢?
我们可以用熟悉的“和差”来表示:
∠AOC + ∠C OB = ∠AOB,
或
∠AOB - ∠AOC = ∠C OB,
或
∠AOB - ∠C OB = ∠AOC.
可见,两个角相加或相减,得到的和或差也是角.
图4. 6. 12
第4 章 图形的初步认识· 151
图4. 6. 13
如图4. 6. 13,用量角器和直尺在纸上画∠AOB =
84°. 然后沿点O 对折,使边OB 和OA 重合,那么折痕把
角分成了大小相等的两部分.
你也可以用量角器画出等分∠AOB 的射线OC.
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两
个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线( angular
bisector).
练 习
1. 先观察下列各组角,其中哪一个角较大? 然后用量角器量一量每个角,看看你的
观察结果是否正确.
(1)
(2)
(第1 题)
2. 请用三角尺中的角估计下列角的度数,并按大小次序用“ > ”号连接这四个角.
(第2 题)
3. 如图, ∠AOB = 55°. 画出∠BOC 的平分线OD,并计算∠AOD 的度数.
(第3 题)
152
·第4 章 图形的初步认识
3. 余角和补角
在我们所用的一副三角尺中,每块都有一个角是
90°,而其他两个角,一块是30°与60°,另一块都是45°,
它们的和都是90°.
在图4. 6. 14 中,用量角器量一量两组图中各角的大
小,发现也有这样的特殊关系.
(1)
(2)
图4. 6. 14
两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余
角(complementary angle),简称互余.
例如,如果∠1 + ∠2 = 90°, 那么∠1 是∠2 的余角,
∠2 也是∠1 的余角.
反过来,如果两个角互余, 那么把这两个角如图
4. 6. 15 那样拼在一起的话,就构成一个直角.
同样,如果两个角的和等于180°(平角),就说这两
个角互为补角(supplementary angle),简称互补.
如图4. 6. 16, ∠3 + ∠4 = 180°, 所以∠3、∠4 互为补角.
图4. 6. 16
想想看,如果∠1 与∠2 互余,∠3 与∠4 互余,∠2 =
∠4,那么∠1 和∠3 有什么关系? 相等角的补角又有什
么关系?
●
例3
已知∠α = 50°17′, 求∠α 的余角和补角.
●
解
∠α 的余角= 90° - 50°17′ = 39°43′,
∠α 的补角= 180° - 50°17′ = 129°43′.
图4. 6. 15
同角或等角
的余角相等; 同
角或等角的补角
相等.
第4 章 图形的初步认识· 153
练 习
1. 说出图中互余和互补的角.
2. 如图,有两堵围墙,有人想测量地面上所形成的∠AOB 的度数,但人又不能进入围
墙,只能站在墙外,请问该如何测量?
(第1 题)
(第2 题)
习题4. 6
(第3 题)
(第6 题)
(第8 题)
1. 填空:
(1) 77°42′ + 34°45′ = ;
(2) 108°18′ - 56°23′ = ;
(3) 180° - (34°54′ + 21°33′) = .
2. 时钟的分针,1 小时转了
度的角,1 分钟转了
度的角.
3. 如图,如果∠1 = 65°15′, ∠2 = 78°30′, 则∠3 是多少度?
4. 任意画一个∠AOB,在∠AOB 的内部引射线OC、OD,这时图
中共有几个角? 分别把它们表示出来.
5. 两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边,并且两个角的另
一条边所成的角为90°,画出图形,并求出该钝角的大小.
6. 如图,OA 是表示什么方向的一条射线? 仿照这条射线画出
表示下列方向的射线:
(1) 南偏东60°;
(2) 北偏西70°;
(3) 西南方向(即南偏西45°).
7. 72°20′的角的余角等于 ;25°31′的角的补角等
于 .
8. 在图中, EF、EG 分别是∠AEB 和∠BEC 的平分线,求
∠GEF 的度数,并写出∠BEF 的余角.
154
·第4 章 图形的初步认识
一、知识结构
二、要点
1. 本章从生活中的物体入手,认识抽象得到的立体图形与点、线、
面. “抽象”是数学的一种基本思想,由此我们可以发现和认识这些简
单的几何图形相互之间的关系,这是以后进一步抽象及学习研究的
基础.
2. 通过本章的学习,相信你体会到了周围的世界是多么的奇妙,
看到了立体图形的形状是多么的千变万化. 现在你对一些简单的立体
图形有了初步的了解,能描述它们的视图,能根据视图想象出这些物
体的形状,并能认识某些立体图形的表面展开图;你知道了“两点确定
一条直线”和“两点之间,线段最短”这两个公认的基本事实,会比较线
段的长短、角的大小等.
第4 章 图形的初步认识· 155
A组
(第1 题)
(第2 题)
(第4 题)
1. 如图是一些立体图形的视图,但是观察的方向不同,试说明下列各图可能是哪
一种立体图形的视图.
2. 如图是正方体的展开图,如果a 在后面, b 在下面, c 在左面,试说明其他各面
的位置.
3. 参看第135 页的图4. 4. 5,用类似的方法能将八边形分成几个三角形? 九边形、
十边形呢? 一般的n 边形呢? 试说明多边形的边数与所分成的三角形个数之
间的关系.
4. 如图, A、B、C 三点在一条直线上,则关于线段AB、BC 和AC 有下列等式成立:
(1) AB + BC = ;
(2) AC - BC = ;
(3) AC - AB = .
5. 在纸上画出四个点(其中任意三点不在同一条直线上),经过每两点用直尺画
一条直线,一共可以画几条? 试画出所有的直线.
6. 计算下列各题:
(1) 23°30′ = °, 13. 6° = ° ′;
(2) 52°45′ - 32°46′ = ° ′;
(3) 18. 3° + 26°34′ = ° ′.
156
·第4 章 图形的初步认识
7. 根据图形填空:
(1) ∠AOC =
+ ;
(2) ∠AOC - ∠AOB = ;
(3) ∠COD = ∠AOD - ;
(4) ∠BOC =
- ∠COD;
(5) ∠AOB + ∠COD =
- .
(第7 题)
(第8 题)
8. 如图,∠AOD =80°, ∠COD =30°,OB 是∠AOC 的平分线,求∠AOC、∠AOB 的度数.
9. 如图,已知∠α,试用量角器或三角尺画出它的余角、补角及它的角平分线.
(第9 题)
B组
10. 用6 根火柴能否摆成4 个一样大的三角形? 若能,请说明你的图形.
11. 你能用12 根火柴摆成5 个正方形吗? 能摆成6 个正方形吗? 若能,试画出你
摆成的图形.
12. 如图, ∠AOB 是直角,OC 是位于∠AOB 内的一条射线,OD 平分∠BOC, OE 平
分∠AOC,求∠EOD 的度数.
(第12 题)
第4 章 图形的初步认识· 157
(第13 题)
13. 在一张地图上有A、B、C 三地,但地图被墨迹污染, C 地
具体位置看不清楚了,但知道C 地在A 地的北偏东30°,
在B 地的南偏东45°. 你能确定C 地的位置吗?
14. (1) 一个角与它的余角相等,这个角是怎样的角?
(2) 一个角与它的补角相等,这个角是怎样的角?
(3) 互补的两个角能否都是锐角? 能否都是直角? 能否
都是钝角?
C组
15. 几个相同的正方体叠合在一起,该组合体的主视图与俯视图如图所示,那么组
合体中正方体的个数至少有几个? 至多有几个?
(第15 题)
(第16 题)
16. 如图,一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点,请你帮
它确定一条最短的路线,并说明理由.
17. 请以给定的图形“○○、△△、
”(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构
件,尽可能多地构思独特且有意义的图形,并写上一两句贴切、诙谐的解说词.
如图就是符合要求的两个图形. 你还能构思出其他的图形吗? 比一比,看谁想
得多.
(第17 题)
158
·第4 章 图形的初步认识
制作包装盒
“Happy birthday to you, ……”,当你唱着这首生日快乐歌时,你
一定还会收到你的好朋友送给你的生日礼物. 打开外面的包装盒,里
面包着的是好朋友的心意.
你知道这些包装盒是如何制作的吗? 下图是一个包装盒的几种
不同制作方法的表面展开示意图.
动手试试看,为你的心爱之物制作一个精美合身的包装盒吧.
第4 章 图形的初步认识· 159
第5章 相交线与平行线
生活中到处可见相交线与平行线,你知道它们有什么特征吗? 你能判定两
条直线平行吗?
本章将从人们所公认的一些事实出发，探索相交线与平行线的特征，
以及平行线的判定方法.
160
·第5 章 相交线与平行线
5.1 相交线
1. 对顶角
我们已经知道, 两条直线相交, 只有一个交点
(intersection point). 例如,在图5. 1. 1 中,直线AB 与直线
CD 相交, 交点为O, 可以说成“ 直线AB、CD 相交于
点O”.
图5. 1. 1
图5. 1. 2
如图5.1.2,两条直线相交形成了∠1、∠2、∠3 和∠4,
我们已经知道,有些角之间存在一定的关系,例如:
角
∠1 和∠2
∠2 和∠3
…
位置关系
相邻
相邻
…
数量关系
互补
互补
…
从位置关系与数量关系上看,图中还有哪些角之间
存在某种关系呢?
看一看,想一想,将你的发现填入下面的表中:
角
位置关系
数量关系
我们可以直观地发现图中的∠1 和∠3 是相对的两
个角,而且似乎相等.
第5 章 相交线与平行线· 161
∠1 和∠3 具有相同的顶点,且∠1 的两边OA、OC
分别与∠3 的两边OB、OD 互为反向延长线,我们把这
样的两个角叫做对顶角(opposite angles). ∠2 和∠4 也
是对顶角.
下面我们通过一个具体的例子,算算看,直观所发现
的这两个角相等的结论是否正确.
●
例1
在图5. 1. 2 中,∠1 = 30°,那么∠2、∠3 和
∠4 各等于多少度? 图中存在哪些相等关系?
●
解
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 30° = 150°,
∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 150° = 30°,
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 30° = 150°.
由此,我们得到
∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.
其实,对于任意两条直线相交形成的对顶角,由于它
们都有一个相同的补角,所以它们是相等的.
例如,图5. 1. 2 中的∠1、∠3 都和∠2 互补,即
∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 + ∠2 = 180°.
因此∠1 = ∠3,同理∠2 = ∠4.
于是我们得到对顶角的性质:
对顶角相等.
●
例2
如图5. 1. 3, 直线AB、CD 相交于点E,
∠AEC = 50°,求∠BED 的度数.
●
解
因为直线AB、CD 相交于点E,所以∠AEC
与∠BED 是对顶角. 根据对顶角相等,得
∠BED = ∠AEC = 50°.
图5. 1. 3
射线OA 的反
向延长线是指从
点A 到点O 方向
延长得到的一条
射线,即射线OB.
162
·第5 章 相交线与平行线
练 习
1. 下列各图中的∠1 和∠2 是不是对顶角?
(第1 题)
2. 说出各图中的对顶角,其中直线AB、CB 分别与直线DE 相交于点F、G,直线IJ、
KL 分别与直线MN 相交于点O、P.
(第2 题)
(第3 题)
3. 如图,∠1 与∠2 是对顶角,∠1 = 180° - α, ∠2 = 35°,则α = °.
2. 垂线
如图5. 1. 4(1),直线AB 与CD 相交于点O,我们
将直线CD 绕着点O 旋转, 使∠BOD 为直角( 如图
5. 1. 4(2)所示). 当两条直线AB、CD 所构成的四个角
中有一个为直角时,其他三个角也都成为直角,此时,
直线AB、
CD 互相垂直( perpendicular ), 记作
“AB ⊥CD”, 它们的交点O 叫做垂足( foot of a
perpendicular). 我们把其中的一条直线叫做另一条直
线的垂线(perpendicular).
你知道其中
的道理吗?
第5 章 相交线与平行线· 163
图5. 1. 4
在日常生活中,我们经常可以看到线线互相垂直的
图形(如图5. 1. 5).
图5. 1. 5
经过直线AB 外一点P,按图5. 1. 6 所示的两种方法,
画出垂直于直线AB 的直线. 这样的垂线能画多少条呢?
图5. 1. 6
如图5. 1. 7,你能经过直线AB 上一点P,画出垂直
于直线AB 的直线吗? 这样的垂线能画多少条呢?
由上述操作可以得到关于垂线的一个基本事实:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
你能再举出
一些例子吗?
图5. 1. 7
164
·第5 章 相交线与平行线
在图5. 1. 8 所示的方格纸中, 点A 是直线l 外一点,
AB 与直线l 垂直,点B 为垂足. 点A 与直线l 上各点的距
离长短不一,我们可以发现其中最短的应该是线段AB,
线段AB 叫做点A 到直线l 的垂线段.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直
线的距离. 例如,线段AB 的长度就是点A 到直线l 的距离.
图5. 1. 8
体育课上是怎样测量跳远成绩的? 你知道其中的原
因吗?
图5. 1. 9
如图5. 1. 9,小海龟位于图中点A 处,按下
述口令移动:前进3 格;向右转90°,前进5 格;
向左转90°,前进3 格;向左转90°,前进6 格;向
右转90°,后退6 格;最后向右转90°,前进1 格.
用粗线将小海龟经过的路线描出来,看一看是
什么图形.
第5 章 相交线与平行线· 165
练 习
(第1 题)
1. 如图, ∠ABD = 90°, 在下列各语句中填入适当的
文字或数字:
(1 ) 点B 在直线
上, 点D 在直线
外;
(2) 直线
与直线
相交于点A,点
D 是直线
与直线
的交点,
也是直线 与直线 的交点,又
是直线 与直线 的交点;
(3) 直线 ⊥直线 ,垂足为点 ;
(4) 过点D 有且只有 条直线与直线AC 垂直.
2. 如图所示的各个三角形中,分别过点C 画直线AB 的垂线,并量出三角形顶点C 到
直线AB 的距离. (精确到1 mm)
(第2 题)
3. 在如图所示的方格纸中,按下述要求画图并回答问题:
(1) 过点C 画线段AB 的垂线,垂足为点D;
(2) 该垂线是否经过格点(格点指的是方格纸中纵向和横向线段的交点)? 如果
经过格点,请在图中标出垂线所经过的格点;
(3) 量出点C 到线段AB 所在直线的距离(精确到1 mm).
(第3 题)
166
·第5 章 相交线与平行线
3. 同位角、内错角、同旁内角
我们知道,两条直线相交,可以得到四个角. 如图
5. 1. 10,直线a、b 相交,得到∠1、∠2、∠3、∠4. 在这些
角中,有的是相对且相等的,有的是相邻且互补的.
图5. 1. 10
而在一个平面内,一条直线l 与两条直线a、b 分别
相交于点P、Q,这可以说成“直线l 分别截直线a、b 于
点P、Q”. 两条直线被另一条直线所截,可得八个角.
如图5. 1. 11,直线l 截直线a、b,得到∠1, ∠2, …,
∠8. 从位置关系上看,这些角有的是对顶角,有的是相邻
的角;从数量关系上看,对顶角相等,相邻的角互补. 那么
除此之外,这八个角中还存在哪些关系呢?
你会发现,在一般的情况下,似乎没有其他的相等或互
补关系. 你也会发现,从位置关系上看,似乎存在某些关系.
图5. 1. 11
观察
图5. 1. 11 中的∠1 与∠5 的位置有什么关系呢?
从直线l 来看,∠1 与∠5 处于哪个位置?
从直线a、b 来看,∠1 与∠5 又处于哪个位置?
试分别指出
相等的角与互补
的角.
第5 章 相交线与平行线· 167
我们可以发现,∠1 与∠5 处于直线l 的同一侧,且
分别在直线a、b 的同一方. 这样位置的一对角就是同位
角(corresponding angles).
在图5. 1. 11 中,∠2 和∠6 也是同位角,除此以外,
同位角还有 .
观察
图5. 1. 11 中的∠3 与∠5 的位置和同位角∠1 与
∠5 相比,有什么一样? 有什么不一样?
∠3 与∠5 处于直线l 的
,直线a、b 的
. 这样位置的一对角就是内错角( alternate
interior angles).
图5. 1. 11 中,内错角还有
.
观察
图5. 1. 11 中的∠4 与∠5 的位置与同位角、内错角
相比,又有什么一样? 有什么不一样?
∠4 与∠5 处于直线l 的
,直线a、b 的
. 这样位置的一对角就是同旁内角( interior
angles on the same side).
图5. 1. 11 中,同旁内角还有
.
在图5. 1. 12 中,∠1 是直线a、b 相交所成的一个
角,用量角器量出∠1 的度数;画一条直线c,使直线c 与
直线b 相交所成的角中有一个与∠1 为一对同位角,且
这对同位角的度数相等.
图5. 1. 12
168
·第5 章 相交线与平行线
练 习
1. 如图,直线a 截直线b、c 所得的同位角有
对,它们是
;内错角有 对,它们是 ;同旁内角有
对,它们是 .
(第1 题)
(第2 题)
2. 如图,与∠1 是同位角的角是 ,与∠1 是内错角的角是 ,与∠1 是
同旁内角的角是 .
习题5. 1
1. 如图,已知直线AB 以及直线AB 外一点P. 按下述要求画图并填空:
(1) 过点P 画PC⊥AB,垂足为点C;
(2) P、C 两点间的距离是线段 的长度;
(3) 点P 到直线AB 的距离是线段 的长度;
(4) 点P 到直线AB 的距离为 (精确到1mm).
2. 如图,∠ 与∠C 是直线DE 与BC 被直线FC 所截得的同位角,∠ 与∠
是直线AB 与FC 被直线DE 所截得的内错角,∠B 与∠C 是直线AB 与FC 被直
线 所截得的同旁内角.
3. 在四条直线组成的图形中,试找出两对对顶角、两对同位角、两对内错角与两对
同旁内角. (用适当的方法表示这些角)
(第1 题)
(第2 题)
(第3 题)
第5 章 相交线与平行线· 169
5.2 平行线
1. 平行线
我们已经知道,在同一平面内不相交的两条直线叫
做平行线(parallel lines). 如图5. 2. 1,直线a 与直线b 互
相平行,记作“a ∥b”.
在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有
两种:相交或平行.
你能按照图5. 2. 2 所示的方法,画一条直线b 与已
知直线a 平行吗?
图5. 2. 2
如图5. 2. 3 所示,不少国家的国旗、团体或公司的标
志的图案是由平行线、垂线构成的.
图5. 2. 3
如果在直线a 外有一个已知点P,那么经过点P 可以画多少条直线
与已知直线a 平行? 请动手画一画.
图5. 2. 1
你能再举出
一些例子吗?
170
·第5 章 相交线与平行线
动手操作的结果表明,经过点P 只能画一条直线与
已知直线a 平行. 于是我们得到关于平行线的一个基本
事实:
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
画一条直线a,按图5. 2. 4 所示的方法,画一条直线
b 与直线a 平行,再向上推三角尺,画另一条直线c,也与
直线a 平行.
你发现直线b 与直线c 有什么关系? 你的同伴是否
也有类似的发现?
此时,你会发现直线b 与直线c 也是平行的. 这就是说:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直
线也互相平行.
练 习
1. 观察如图所示的长方体后填空:
(1) 用符号表示下列两棱的位置关系:A1B1
AB, AA1
AB, A1D1
C1D1, AD BC;
(2) A1B1 与BC 所在的直线是两条不相交的直线,它们 平行线(填“是”或“不
是”),由此可知,在 内,两条不相交的直线才能叫做平行线.
(第1 题)
(第2 题)
2. 根据下列语句,利用所给△ABC 画出图形:
(1) 过△ABC 的顶点C, 画MN ∥AB;
(2) 过△ABC 的边AB 的中点D,画平行于AC 的直线,交BC 于点E.
图5. 2. 4
第5 章 相交线与平行线· 171
2. 平行线的判定
要判定两条直线互相平行,我们无法依据它的定
义,判断这两条直线在无限延长的过程中是否永远不
相交. 那么从前面画平行线的过程,我们可以得到什么
启示呢?
在图5. 2. 2 所示的画图过程中,三角尺沿着直尺的
方向由原来的位置移动到另一个位置,三角尺紧靠直尺
的一边和直线a 所成的角在移动前的位置与移动后的位
置构成了一对同位角,其大小始终没变,因此,只要保持
同位角相等,就可以保证画出的直线与已知直线的方向
一致,即平行于已知直线.
于是,可以得到如下关于平行线的又一个基本
事实:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么
这两条直线平行. 简单地说,就是:
同位角相等,两直线平行.
例如,如图5. 2. 5,直线a、b 被直线l 所截,如果
∠1 = ∠2,那么a ∥b.
除了同位角,我们能否依据内错角或同旁内角判定
两条直线平行呢?
在图5. 2. 5 中,由于∠1 = ∠3,因此,若∠2 = ∠3,那
么就有∠1 = ∠2, 于是根据“ 同位角相等, 两直线平
行”,可得a ∥b. 这就是说:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么
这两条直线平行. 简单地说,就是:
内错角相等,两直线平行.
我们还可以得到:
同旁内角互补,两直线平行.
图5. 2. 5
你能说明其
中的理由吗?
172
·第5 章 相交线与平行线
概括
平行线的判定方法:
1. 同位角相等,两直线平行.
2. 内错角相等,两直线平行.
3. 同旁内角互补,两直线平行.
●
例1
如图5. 2. 6,直线a、b 被直线l 所截,已
知∠1 = 115°, ∠2 = 115°, 直线a、b 平行吗? 为
什么?
●
分析
由已知条件可得∠1 = ∠2. 根据内错角相
等,两直线平行,可知a ∥b.
我们用符号“∵”、“∴” 分别表示“因为”、“所以”,
于是分析中的推理过程就可以写成如下形式.
●
解
∵∠1 = 115°, ∠2 = 115°(已知),
∴∠1 = ∠2(等量代换),
∴a ∥b(内错角相等,两直线平行).
“推理”是数学的一种基本思想,包括归纳推理和演绎推理. 归纳
推理是一种从特殊到一般的推理,我们经过一些探索、操作,得到某
些猜想就是这样的过程,数与代数中由一些具体的结果,归纳得到一
般的结论也是这样的推理. 演绎推理是一种从一般到特殊的推理,它
借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论,通过推断,说明
最后结论的正确. 上面采用的就是一种演绎推理.
图5. 2. 6
括号内所写的,
就是括号前这一结
论成立的理由.
等量代换以及
等式的性质是我们
常用的推理依据.
第5 章 相交线与平行线· 173
●
例2
如图5. 2. 7, 在四边形ABCD 中, 已知
∠B = 60°, ∠C = 120°, AB 与CD 平行吗? AD 与BC
平行吗?
图5. 2. 7
●
解
∵∠B = 60°, ∠C = 120°(已知),
∴∠B + ∠C = 180°(等式的性质),
∴AB ∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
本题中,根据已知条件,无法判定AD 与BC 是否
平行.
●
例3
如图5. 2. 8,在同一平面内,直线CD、EF 均
与直线AB 垂直, D、F 为垂足. 试判断CD 与EF 是否
平行.
图5. 2. 8
●
解
∵CD ⊥AB, EF ⊥AB(已知),
∴∠ADC = ∠AFE = 90°,
∴CD ∥EF(同位角相等,两直线平行).
此例告诉我们:
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
尽可能多地举出我们周围所存在的平行线和垂线
的例子. (也可以和你的同学一起轮流举出这些直线的
例子)
174
·第5 章 相交线与平行线
练 习
(第1 题)
(第2 题)
1. 在下列解答中,填上适当的理由:
(1) ∵∠B = ∠1(已知),
∴AD ∥BC( );
(2) ∵∠D = ∠1(已知),
∴AB ∥CD( ).
2. 在下列解答中,填空:
(1) ∵∠BAD + ∠ABC = 180°(已知),
∴( )∥( )(同旁内角互补,两直线平行);
(2) ∵∠BCD + ∠ABC = 180°(已知),
∴( )∥( )(同旁内角互补,两直线平行).
3. 使用直尺、量角器和三角尺,在下面的某学校平面图上找出互相平行的直线和互
相垂直的直线.
(第3 题)
4. 根据图中给出的条件,指出互相平行的直线和互相垂直的直线.
(第4 题)
第5 章 相交线与平行线· 175
3. 平行线的性质
如图5. 2. 9,我们已经学会,借助于第三条直线与两
条已知直线构成的同位角、内错角或同旁内角判断这两
条已知直线是否平行. 那么,如果已知直线a 与直线b 平
行,即不相交,它们之间还具有什么性质呢?
为此,我们再次借助于第三条直线l,用它去截平行
直线a 与b,探索截得的同位角、内错角、同旁内角分别
有什么关系.
如图5. 2. 10,翻开你的练习本,每一页上都有许多
互相平行的横线条,随意画一条斜线与这些横线条相交,
找出其中任意一对同位角. 观察或用量角器度量这两个
同位角,你有什么发现?
你会发现它们相等.
那么,在一般情况下,如图5. 2. 11,如果直线a 与直
线b 平行,直线l 与直线a、b 分别交于点O 与点P,那么
其中的同位角∠1 与∠2 必定相等吗?
如果不相等,会出现什么情况呢?
图5. 2. 11
图5. 2. 12
此时,如图5. 2. 12,我们可以以点O 为顶点,画另一
个角∠1′,使∠1′ = ∠2,这样就画出了过点O 的另一条
直线a′. 由于∠1′ = ∠2,根据“同位角相等,两直线平
行” 的基本事实,可以得到a′ ∥b.
现在你会发现经过点O 竟有两条直线a、a′与b 平
行,这就与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与
已知直线平行”矛盾了.
图5. 2. 9
图5. 2. 10
176
·第5 章 相交线与平行线
因此∠1 与∠2 一定相等. 这就是说:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
简单地说,就是:
两直线平行,同位角相等.
有了“两直线平行,同位角相等”,我们就能用推理的
方法得出“两条平行线被第三条直线所截,内错角相等”.
如图5. 2. 13, 我们将∠1 的对顶角记为∠3, 故
∠1 = ∠3(对顶角相等).
∵a ∥b(已知),
∴∠3 = ∠2(两直线平行,同位角相等).
∴∠1 = ∠2(等量代换).
有了“两直线平行,同位角相等”,我们也可以用推
理的方法得出“两条平行线被第三条直线所截,同旁内
角互补”.
简单地说,就是:
两直线平行,内错角相等.
两直线平行,同旁内角互补.
概括
平行线的性质:
1. 两直线平行,同位角相等.
2. 两直线平行,内错角相等.
3. 两直线平行,同旁内角互补.
●
例4
如图5. 2. 14,已知直线a ∥b, ∠1 = 50°,
求∠2 的度数.
●
解
∵a ∥b(已知),
∴∠2 = ∠1(两直线平行,内错角相等).
∵∠1 = 50°(已知),
∴∠2 = 50°(等量代换).
图5. 2. 13
你能说明其
中的理由吗?
图5. 2. 14
第5 章 相交线与平行线· 177
●
例5
如图5. 2. 15,在四边形ABCD 中, AB ∥CD,
∠B = 60°, 求∠C 的度数. 能否求得∠A 的度数?
图5. 2. 15
●
解
∵AB ∥CD(已知),
∴∠B + ∠C = 180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠B = 60°(已知),
∴∠C = 180° - ∠B = 120°(等式的性质).
根据题目的已知条件,无法求出∠A 的度数.
●
例6
将如图5. 2. 16 所示的方格纸中的图形向右
平行移动4 格,再向上平行移动3 格,画出平行移动后的
图形.
图5. 2. 16
图5. 2. 17
●
解
如图5. 2. 17 所示的图形,即为原图形以及
原图形向右平行移动4 格,再向上平行移动3 格后的
图形.
从图中可以看出,原图中的每一个顶点以及每一条
边都向右平行移动了4 格,再向上平行移动了3 格.
178
·第5 章 相交线与平行线
练 习
(第1 题)
(第2 题)
(第5 题)
1. 在下列解答中,填上适当的理由:
(1) ∵AD ∥BC(已知),
∴∠1 = ∠B( );
(2) ∵AB ∥CD(已知),
∴∠1 = ∠D( ).
2. 在下列解答中,填空:
(1) ∵AD ∥BC(已知),
∴( ) + ∠ABC = 180°(两直线平行,同旁内角互补);
(2) ∵AB ∥CD(已知),
∴∠ABC + ( ) = 180°(两直线平行,同旁内角互补).
3. 如图,两条平行线a、b 被第三条直线c 所截. 若∠1 = 52°,
那么∠2 = ,∠3 = ,∠4 = .
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图,将方格纸中的图形向右平行移动3 格,再向下平行移动4 格,画出平行移动
后的图形.
5. 如图,已知直线a ∥b,∠3 = 131°, 求∠1、∠2
的度数.
抄写下面的解答过程,并填空(理由或数学式).
解 ∵∠3 = 131°( ),
又∵∠3 = ∠1( ),
∴∠1 = ( )(
).
∵a ∥b( ),
∴∠1 + ∠2 = 180°( ),
∴∠2 = ( )(等式的性质).
第5 章 相交线与平行线· 179
习题5. 2
(第2 题)
(第3 题)
1. 在同一平面内,与已知直线a 平行的直线有
条,而经过直线a 外一点
P,与已知直线a 平行的直线有且只有 条.
2. 用平移三角尺的方法可以检验出图中共有平行线
对.
3. 如图,已知∠2 = ∠4, ∠1 = ∠3, 在下列解答中,填
空(理由或数学式):
(1) ∵∠( ) = ∠( )(已知),
∴AB ∥CD ( );
(2) ∵∠( ) = ∠( )(已知),
∴AD ∥BC ( ).
4. 如图,已知∠1 = 30°, ∠B = 60°, AB ⊥AC .
(1) ∠DAB + ∠B = ;
(2) AD 与BC 平行吗? AB 与CD 平行吗? 若平行,请说明理由;若不一定,那么
再加上什么条件就平行了呢?
(第4 题)
(第5 题)
5. 如图, AD ∥BC, ∠B = 60°, ∠1 = ∠C . 那么∠C = .
6. 如图,将方格纸中的图形向左平行移动3 格,再向下平行移动4 格,画出平行移
动后的图形.
(第6 题)
(第7 题)
7. 如图,线段CD 是线段AB 经过向右平行移动
格,再向下平行移动
格后得到的线段. 线段BD 向左平行移动
格,再向下平行移
动 格后得到线段AC.
180
·第5 章 相交线与平行线
图1
图2
九树成行
你知道这样一道数学趣题吗?
有九棵树,要栽成九行,使得每行恰好有三棵树,应该如何栽树?
如图1,可能有的同学马上想到画一个正方形,再画出两条
对角线,分别连结两组对边的中点,数一数,有九个点了,图中每
条线上有了三个点,但可惜的是只有八条线. 也就是九棵树,排
成了八行,每行有三棵树,离我们的要求,还差了一条线.
看来必须寻找新的办法.
我们可以先画两条直线,在每条直线上各任取三点,交叉相
连,组成如图2(1)所示的图形.
如图2(2),交叉相连的线段在中间产生了三个交点X、Y 与Z,用你的直尺
靠上去,你发现没有,真有那么巧,它们竟然恰好在一条直线上. 画出这条线,现
在你数数看,刚好是九条线,且每条线上都有三个点. 将九棵树如图2(2)所示栽
上,就解决了这道数学趣题了.
你看! 九树成行这一数学趣题看起来比较复杂,竟然只用直尺就如此简单
地解决了. 你若感兴趣,还可进一步探索九树十行的问题,充分感受数学的魅力
与它的美. 这些问题蕴涵着的深刻的数学道理,竟有塞瓦(Giovanni Ceva,意大
利)、梅涅劳斯(Menelaus,古希腊)、帕普斯(Pappus,古希腊)等伟大数学家的贡
献呢.
第5 章 相交线与平行线· 181
一、知识结构
相交线与
平行线
—
—
相交线—
—
对顶角相等
—
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
—
平行线—
—
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
—
平行线的判定—
—
同位角相等,两直线平行
—
内错角相等,两直线平行
—
同旁内角互补,两直线平行
—
平行线的性质—
—
两直线平行,同位角相等
—
两直线平行,内错角相等
—
两直线平行,同旁内角互补
二、要点
1. 小学里我们已经学过相交线与平行线. 当时我们只是通过观
察,体会到相交线与平行线的一些基本属性. 本章在小学学习的基础
上,深入学习相交线与平行线,并通过数学说理的方法从我们所公认
的一些基本事实出发推导出平行线的判定方法、平行线的性质以及其
他一些有用的结论. 这些判定方法及性质等都是今后进一步学习几何
推理的依据.
2. “推理”是数学的一种基本思想,通过推理,我们可以深入理解
所研究的对象之间的逻辑关系,而且可以用符号和术语清晰地表达这
种关系. 本章的推理是一种演绎推理,通过这样的推理,我们可以完全
确信最后结论的正确,体现了数学的严谨性.
182
·第5 章 相交线与平行线
A组
1. 如图,点A、B、C 在一直线上,已知∠1 = 53°,∠2 = 37°,则CD 与CE 垂直吗?
(第1 题)
(第2 题)
2. 如图, 直线AB、CD 相交于点E, ∠BEF = 40°, ∠CEF = 85°, 则∠AED =
°.
3. 如图,直线AB、CD 相交于点E, EF 平分∠AED, ∠DEF = 55°,则∠BEC =
°.
(第3 题)
(第4 题)
4. 如图,要从村庄P 修一条小路,使人们自村庄P 出发到公路的距离最短,试画
出该小路,并说明理由.
5. 如图,经过直线a 外一点P 的4 条直线中,与直线a 平行的直线是
,共
有 条.
(第5 题)
(第6 题)
6. 如图,如果AB ∥CD, 那么∠A 与∠C .
第5 章 相交线与平行线· 183
B组
(第9 题)
(第10 题)
7. 如图,如果∠1 = ∠3,那么直线a 与b 平行吗? 当∠2 与∠3 满足什么关系时,
直线a 与b 平行?
(第7 题)
(第8 题)
8. 如图,已知平行直线a、b 被直线l 所截. 如果∠1 = 75°,那么∠2 =
°,
∠3 = °, ∠4 = °, ∠5 = °, ∠6 = °,
∠7 = °, ∠8 = °.
9. 如图,直线a ∥b, ∠3 = 85° ,求∠1、∠2 的度数.
抄写下面的解答过程,并填空(理由或数学式).
解
∵a ∥b ( ),
∴∠1 = ∠4 ( ).
∵∠4 = ∠3( ), ∠3 = 85° ( ),
∴∠1 = ( )(等量代换).
又∵∠2 + ∠3 = 180° ,
∴∠2 = ( )(等式的性质).
10. 如图,已知AC ⊥AE, BD ⊥BF, ∠1 = 35°, ∠2 = 35°, 则AC 与BD 平行吗?
AE 与BF 平行吗?
抄写下面的解答过程,并填空(理由或数学式).
解
∵∠1 = 35°, ∠2 = 35° ( ),
∴∠1 = ∠2 ( ),
∴( )∥( )( ).
又∵AC ⊥AE ( ),
∴∠EAC = 90° ,
∴∠EAB = ∠EAC + ∠1 = ( ) (等式的性质).
同理可得∠FBG = ∠FBD + ∠2 = ( ).
∴∠EAB = ( )(等量代换),
∴( )∥( )( ).
184
·第5 章 相交线与平行线
(第11 题)
11. 如图,如果AB ∥CD, ∠B = 37°, ∠D = 37° ,那么BC 与DE 平行吗?
抄写下面的解答过程,并填空(理由或数学式).
解
∵AB ∥CD ( ),
∴∠B = ( )( ).
∵∠B = ∠D = 37° ( ),
∴( ) = ∠D( ),
∴BC ∥DE ( ).
C组
12. 我们知道,2 条直线相交只有1 个交点,3 条直线两两相交最多能有3 个交点,4
条直线两两相交最多能有6 个交点,5 条直线两两相交最多能有10 个交点,6
条直线两两相交最多能有15 个交点…… n 条直线两两相交呢?
(第12 题)
13. 潜望镜中,两面镜子互相平行放置. 你知道为什么进入潜望镜的光线和离开潜
望镜的光线平行吗?
(第13 题)
数学实验附图· 185
数学实验附图
方格图
186
·数学实验附图
格点图
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后 记· 187
后
记
华东师大版初中数学教材是最早通过教育部审查的新课标初中数学教材
之一. 自2001 年秋季在7 个国家级实验区投入实验以来,已有分布在26 个省、
市、自治区的地市选用过或正在选用本套教材. 10 多年来,实验区的广大师生对
本套教材寄予了厚爱,为它的不断完善提出了许多宝贵意见. 根据这些意见,在
实验期间,我们对教材进行了多次修改. 在此,我们对多年来给予本套教材关心
的各级领导、广大实验区师生和各位同仁表示衷心感谢.
根据教育部的统一部署,在2012 年前要完成义务教育阶段所有新课标教
材的修订工作. 为了确保本套教材修订工作的顺利进行,在2011 年4 月至7 月
间,我们就本套教材的修订广泛征求了第一线教师的意见. 2011 年9 月在南京
召开了“华东师大版初中数学教材修订研讨会”,来自实验区的120 多名教研员
和骨干教师以及全体编写人员参加了会议. 会议期间就本套教材修订的整体框
架达成了广泛共识. 本套教材的修订稿完成后,我们又特邀有关专家和来自第
一线的教师进行了审稿. 参与本册教材审稿的有冯国卫、郭奕津等专家和教师.
尽管我们对修订工作倾注了心血,但是现在呈现在广大师生面前的修订教
材肯定还存在有待进一步完善的地方. 我们真诚希望广大师生继续关心我们的
教材,对我们的教材不断提出新的宝贵意见.
本册教材修订的撰稿人如下(以姓氏笔画为序):
王继延、李文革、李宏、吴中才、忻重义、沈加、唐复苏.
编 者
