义务教育教科书·数学七年级上册_光塔笔记初中课本_初中数学_北京版

初中数学7年级上扉页.pdf 1 2013/7/5 9:35:48
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K2023 年 6 月第 11 次印刷yy==kkxx++bb mm
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OO △△AABBCC
前 言
亲爱的同学们：
欢迎你们使用本套义务教育教科书！
数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人类文化的重要组成部分。通
过本套教科书，能够获得良好的数学教育，在数学上得到不同程度的发展。
栏目说明
思 考 交 流 探 索
思考是数学发展的前提， 将你的思路和方法记录 严谨观察、细致分析、
不要放弃任何一个独立思考 下来，有条理地向其他同学 大胆猜想、细心验证、不
的机会，甚至在别人已经说 或老师表达，耐心倾听他们 断反思，直到找到满意的结
出答案而你还没有找到例子 的意见，调整自己的思路或 论，体会数学探索的艰辛与
或思路的时候也不要放弃。 方法。 乐趣。
? ? ? ?
实 践 问题解决
学好数学不仅要勤于动脑，也 你将遇到富有趣味性、挑战性的数学问题。这些问
要勤于动手。动手画图、计算、列 题需要你在理解的基础上，运用所学的数学知识和方法，
式、填表，将实际问题转化为数学 寻求解决问题的思路和线索，猜想与验证结论，并将解
问题，用数学的方法解决问题。 决问题的整个过程有条理地记录下来，和同学们分享。
探 究 学 习 综合与实践
你将面对一个新的情境，需要你发现和提出问题，独立 数学既能锤炼思维又具
思考，通过归纳、概括、类比、证明，得到新的猜想或规律， 有广泛应用的事实将在这里
或者得到一个崭新的方法。 得到充分的体现。你将尝试
综合运用所学的数学概念、
文数 原理、方法和思想去解释和
阅 读 理 解
化学 解决实际生活中的问题与现
象，经历制定方案、调查研究、
你将会发现数学发展的悠久历史，体验数学家探索数学 收集数据、整理数据、分析
的艰辛与快乐，感受数学对其他学科的巨大贡献。数学是人 数据、做出判断、发现规律
类文化的重要组成部分。 等过程，感受到数学的魅力。
希望这套数学教科书能够陪伴你度过一个充满智慧、乐趣的初中！
编者 2012年10月yy==kkxx++bb mm
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目 录
第一章 有理数 1
一 对有理数的认识 ……………………………………………… 2
1.1 负数的引入 ……………………………………………… 2
1.2 用数轴上的点表示有理数 ……………………………… 5
1.3 相反数和绝对值 ………………………………………… 8
习题1 - 1 ………………………………………………………14
二 有理数的四则运算 ……………………………………………17
1.4 有理数的加法 ……………………………………………17
1.5 有理数的减法 ……………………………………………23
1.6 有理数加减法的混合运算 ………………………………26
习题1 - 2 ………………………………………………………34
1.7 有理数的乘法 ……………………………………………36
1.8 有理数的除法 ……………………………………………41
1.9 有理数的乘方 ……………………………………………45
1.10 有理数的混合运算 ……………………………………50
习题1 - 3 ………………………………………………………52
1.11 数的近似和科学记数法 ………………………………54
1.12 用计算器做有理数的混合运算 ………………………57
习题1 - 4 ………………………………………………………59
阅读理解 我国古代数学家对负数的研究 ………………………61
回顾与整理 …………………………………………………………62
复习题 ………………………………………………………………65
第二章 一元一次方程 69
一 等式和方程 ……………………………………………………70
2.1 字母表示数 ………………………………………………70
2.2 同类项与合并同类项 ……………………………………76
2.3 等式与方程 ………………………………………………80
1x+3
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2
2.4 等式的基本性质 …………………………………………83
习题2 - 1 ………………………………………………………85
二 一元一次方程和它的解法 ……………………………………88
2.5 一元一次方程 ……………………………………………88
探究学习 绝对值方程 ……………………………………………99
习题2 - 2 …………………………………………………… 100
三 一元一次方程的应用 ……………………………………… 101
2.6 列方程解应用问题 …………………………………… 101
习题2 - 3 …………………………………………………… 110
阅读理解 “方程”名称的来源 ………………………………… 113
回顾与整理 ……………………………………………………… 115
复习题 …………………………………………………………… 117
第三章 简单的几何图形 119
一 对图形的认识 ……………………………………………… 120
3.1 平面图形与立体图形 ………………………………… 120
3.2 某些立体图形的展开图 ……………………………… 121
3.3 从不同方向观察立体图形 …………………………… 122
习题3 - 1 …………………………………………………… 124
二 直线、射线、线段 ………………………………………… 125
3.4 点、线、面、体 ……………………………………… 125
3.5 直线、射线、线段 …………………………………… 127
习题3 - 2 …………………………………………………… 133
三 角 …………………………………………………………… 135
3.6 角及其分类 …………………………………………… 135
3.7 角的度量与角的换算 ………………………………… 138
3.8 角平分线 ……………………………………………… 140
习题3 - 3 …………………………………………………… 141
四 两条直线的位置关系 ……………………………………… 143
3.9 两条直线的位置关系 ………………………………… 143
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3.10 相交线与平行线 …………………………………… 144
*3.11 用计算机绘图 ……………………………………… 148
习题3 - 4 …………………………………………………… 149
回顾与整理 ……………………………………………………… 150
复习题 …………………………………………………………… 151
附录 152
3y=kx+b m
≥-1
AB⊥CD ⊙
O △ABC
第一章
有理数
同学们在小学了解了负数的意义，那么与负数
有关的加、减、乘、除运算应该如何进行呢？
纳米技术在现代科技各领域有广泛的应用，已
知 1 米 = 1 000 000 000 纳米，那么如何简洁地表
示1 000 000 000呢？
这些都是学习本章时要解决的问题.
1
第一章 有理数
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2
一 对有理数的认识
1.1
负数的引入
3
在数学课中我们曾经学习了自然数 ( 如 0，1，2，3，… ) 和分数 ( 如 ，
5
11 7
， ，… )，我们还学习了小数 ( 如 2. 84，0. 333…，0. 056，… )，而且我
23 4
们知道，小数只是分数的另一种形式.
交 流
1. 你能举出生活中“用自然数或分数来表示量的多少”的例子吗？
2. 你了解“光年”和“纳米”的意义吗？请设法查阅资料，了解
这两个词的意义，说说1光年和1纳米的大小.
实际上，在生活中这些类型的数还是不够用，我们还需要学习其他的数 .
交 流
1. 在我们的身边，你见到过“负数”吗？在哪里见到过？
2. 你怎样理解“负数”的意义？在什么情况下要用“负数”？
在足球比赛中，某足球队的净胜球数是“- 3”( 读作“负 3”) ；龙庆峡
冰雪节时，某天的气温是“- 12 ℃”；某精密仪器上的钛金属零件的误差一
定要控制在“± 0. 02 mm”( 也就是 + 0. 02 mm 和 - 0. 02 mm ) 以内……可见，
像“- 3”，“- 12”，“- 0. 02”，…这样的“负数”已经在我们的生活中被广
泛地应用了 .
2
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实际上，“负数”也是用来表示一类量的多少的 . 这类量都有这样的共
同特征：一定存在着和它们意义相反的量 . 例如：“净胜球数是 - 3”，表示
的是“输了 3 个球”. 在这里，“负数”描述的是“输球数”的多少，而“输
球数”是和“赢球数”意义相反的量.
1.“- 12 ℃”、“- 0. 02 mm”也有类似的情况吗？怎
样说明它们的意义？
2. 请举出你所了解的其他的例子来说明这种情况 .
思 考
我们知道，表示具有相反意义的量的多少时，其中一种量可以用原来学
过的除 0 以外的自然数和分数来表示，现在我们称它们为正整数和正分数，
统称正数 . 这时，为了进一步强调它们是正数，还可以在它们的前面加上一
3 13
个正号“+”，如 + 1，+ 3，+ 76，+ 3. 56，+ 0. 08，+ ，+ ，…. 和它
5 7
们意义相反的量就用“负数”来表示，这时，在除 0 以外的自然数和分数的
前面加上一个负号“- ”，得到的数就叫做负数，如 - 2，- 7，- 4. 76，
5 37
- 0. 045，- ，- ，…. 除此以外，我们还规定，“0”既不是正数，也
9 6
不是负数 .
应当注意，正数的“+”可以写，也可以不写 . 例如，5，23，0. 59，0. 003 4，
3 73
， ，…都是正数.
4 8
思 考
我们原来认为，“0”表示的是“没有”. 在我们引
入了“负数”以后，它是否又有了新的意义？这种新的
意义是什么？
当仓库中最后一台洗衣机运出后，仓库中洗衣机的库存量记作“0”，
3
第一章 有理数
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这时，它表示“没有”. 但是当我们说“气温达到 0 ℃时，水将结成冰”，却
决不意味着那时“没有温度”，只是说那时的温度恰好处于“正”、“负”之间. 这
说明，在引入了负数以后，“0”还表示“+”与“- ”之间的分界点 .
你能举出其他的用“0”表示正负之间的分界点的例子吗？
这样，我们对数的认识发展了，知道的数的范围也扩大了 .
交 流
1. 你学习过哪些数，这些数可以怎样分类？
2. 各类数之间有怎样的包含关系？
事实上，我们知道的数可以分为整数( 包括正整数、零和负整数 )和分数( 包
括正分数和负分数 ) 两大类 . 整数和分数合并在一起，统称为有理数 . 下面介
绍一种有理数的分类方法：
正整数

整数零
 

负整数
有理数
 正分数
分数
负分数
其他的分类方法有： .
练 习
1. 下列各数哪些是正数，哪些是负数？
2 9
7，- ，3. 14，0，- 25，- 0. 003，+ 400， ，- 0. 75，- 8.
3 2
2. ( 1 )当A地高于海平面152米时，记作“海拔+ 152米”，那么B地低于海平面
23米时，怎样记录它的海拔？
( 2 )当升降机运行时，如果下降13米记作“- 13米”，那么当它上升了25米时，
怎样记录？
4
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3. 一台铣床加工10个零件，检测时，发现有3个超出设计尺寸( 称为“正误差” )，
超出的尺寸分别为0. 010毫米、0. 014毫米和0. 009毫米；有2个比设计尺寸小
( 称为“负误差” )，不足的尺寸分别为0. 008毫米和0. 011毫米.请用有理数分
别记录这些产品的误差值 .
1.2
用数轴上的点表示有理数
思 考
在生活中，你见到过用刻在一条笔直物件上的刻度来“表
示某种量的多少”的用具吗？你都能举出哪些用具？
事实上，我们使用的各种直尺上的刻度就表
示了零和一些正数；温度计上的刻度表示的就不
仅是零和一些正数，还表示了一些负数 .
这说明，直线上的一些点可以和各有理数对
应起来，所有的有理数都可以用一条直线上的点
来表示 . 这就是说，我们可以用直线上的点来表
示所有的有理数 .
实 践
用纸、笔和刻度尺完成下面的操作：
( 1 ) 画一条水平的直线，再在直线的右端画一个指向右方的箭头，
我们规定，它所指的方向为正方向 .
( 2 )在这条直线上确定一个点，这个点叫做原点，并用原点表示数字0 .
( 3 ) 选择一个适当的长度作为单位长度，从原点开始，在直线上原
点的两侧，连续截取和单位长度相等的线段，可以得到多个分点 .
5
第一章 有理数x+3
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2
( 4 )在原点右侧各分点下面从左向右顺次写出1，2，3，4，…；在
原点左侧各分点下面从右向左顺次写出- 1，- 2，- 3，- 4，…. 我们就
得到了如图1 - 1所示的一条直线.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
图1 - 1
像这样规定了正方向、原点和单位长度的直线叫做数轴 . 正方向、原点和
单位长度是数轴缺一不可的三个要素.
有了数轴，每一个有理数都可以在数轴上确定一个表示它的点，各有理数
之间的一些关系就可以由数轴上的点的位置关系来表示，研究各有理数之间的
这些关系就有了直观的形象.
交 流
1 4
1. 怎样在数轴上确定表示3，- 2，0， ，- ，7，…的点？
2 5
2. 在以厘米为单位长度的数轴上，是否有表示 1 光年、- 1 纳米的
点？如果有，请描述一下怎样在数轴上表示这两个数的点的位置 .
我们不仅要会在数轴上确定表示有理数的点，还应会读出数轴上的点表示
的有理数 . 例如：在图 1 - 2 所示数轴上，A，B，C，D，E，F，G 各点表示
3
的数分别是+ 3，0，- 2，+ 5，- 7，+ 和- 3. 5 .
2
E G C B F A D
−7 −3.5 −2 0 +(cid:14980) 3 +3 +5
2
图1 - 2
6
数学 七年级 上册
D C A B E
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−2 −1 0 1 2 3 4yy==kkxx++bb mm
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OO △△AABBCC
E G C B F A D
E − 7 G − 3 . 5 C − 2 B 0 F + (cid:14980) 3 2 A + 3 D + 5
练 习 −7 −3.5 −2 0 +(cid:14980) 3 +3 +5
2
1. 读出下面数轴上A，B，C，D，E各点表示的有理数 .
D C A B E
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
D C A B E
( 第1题 )
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
3 4
2. 把和下列各有理数对应的点画在数轴上：2，- 1， ，0，- ，3. 5 .
2 5
−2 −1 0 1 2 3 4
−2 −1 0 1 2 3 4
( 第2题 )
有了数轴以后，全体有理数都能用从左到右排列在数轴上的点表示出
来. 对于正数和零来说，排列在右面的点所表示的数比排列在左面的点所表示
的数大.
交 流
如果在引入了负数以后，仍沿用这一规则，那么负数和正数、负
数和零、负数和负数的大小关系将是怎样的？
如果在引入了负数以后，仍沿用这一规则，那么负数和正数、负数和零、
负数和负数的大小关系可以归纳为：
( 1 )任何负数小于任何正数；
( 2 )任何负数都小于零；
( 3 ) 在用数轴上的点表示负数时，右面的点表示的负数总比左面的点表示
的负数大.
3 7
例如，表示- 3，5，0，- ， ，- 1，3的点排列在数轴上的状况如图1 - 3
2 4
所示：
7
第一章 有理数x+3
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2
−3 7
2 4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
图1 - 3
3 7
所以它们的大小关系是：- 3 < - < - 1 < 0 < < 3 < 5 .
2 4
练 习
1. 读出下面数轴上点A，B，C，D，E，F表示的有理数，并把这些有理数按从小
到大的顺序用不等号连接起来：
A BC D E F
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
( 第1题 )
2. 把和下面的有理数对应的点画在数轴上，并把这些有理数按从大到小的顺序用
不等号连接起来：
1 4 5
- 2， ，4，0，- ，1. 5，- 5，- .
3 5 4
1.3
相反数和绝对值
在科研分析中，经常会用到一些标准样品 . 在这些样品的标签上标示有
“± 0.001 g”等字样“. ± 0.001”是“+ 0.001”
和“- 0.001”合并在一起的简便写法.
我们说，“+ 0.001”和“- 0.001”是
一对“相反数”.
我们已经知道，有理数包括正数、负
数和零，而每一个负数都可以认为是由省
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略了“ + ”的“正数”前面放上一个“ - ”得到的 . 如：+ 1 和 -1，+ 3. 45
和 - 3. 45，+ 7 和- 7 ， ……
9 9
实 践
用纸、笔和刻度尺完成下面的操作：
( 1 ) 画出数轴；
9
( 2 ) 在数轴上分别确定表示± 1，± 3，± ，± 6，± 10的点；
2
( 3 ) 观察这5对点，说一说每对点在位置上有怎样的特征.
我们可以得到数轴上的5对点( 如图1 - 4 )：
−9
−3 −1 1 3
9
2 2
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
图1 - 4
9
不难发现，其中表示 ± 1 ( 或 ± 3，± ，± 6，± 10 ) 的点分别分布在原点
2
的两侧，而且到原点的距离相等. 我们说，像这样的两个点表示的数中，一个
数叫做另一个数的相反数，或说它们互为相反数.
9
例如：± 1，± 3，± ，± 6，± 10 中的每一对数都是一对相反数；我们
2
9 9
也常说，1和- 1，3和- 3， 和- ，6和- 6，10和- 10分别互为相反数.
2 2
另外还规定，0的相反数仍是0. 这样，每一个有理数都有了它的相反数.
由于正数前面的“+”可以省略，所以，我们可以认为：
一个数前面放上一个“+”，得到的仍是这个数；一个数前面放上一个“- ”，
得到的就是它的相反数.
( )
8 8
这样一来，就有+ - = - ；- ( - 3 ) = + 3.
5 5
9
第一章 有理数
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思 考
1. 你认为应当怎样化简具有多重符号的数，
如+ { -   - (+ 8 )  } ？
2. 化简有多重符号的数时，怎样能够迅速确
定最终所得有理数的符号？说说你的理由.
练 习
1. 求下列各数的相反数：
3 27
4，6，0，- ，+ 37， ，0. 001.
4 43
2. 化简下列有理数的表达式：
( 1 ) + ( + 7 )，+ ( - 4 )，- ( + 34 )，- ( - 7. 8 )；
( 2 ) + { +   - (- 0.7 )  } ，- { -   + ( - 3 4 )  } .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
1. 化简： - ( - ( - ( - …( - 1 )… ) ) )
?
2n个负号
?
现在来看另一方面的问题.
再观察图 1 - 4 数轴上的 5 对相反数，每一对都是一个为正数，另一个为
10
数学 七年级 上册
          
( n是大于0的自然数 ).
2. 化简： - ( - ( - ( - …( - 1 )… ) ) )
m个负号
          
( m是大于0的自然数 ).
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负数，是不相同的两个数；在数轴上表示它们的点在原点两侧，是不相同的两
个点，但是，这两个点到原点的距离却相等，这是互为相反数的两个数的共同
特征.
我们把数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作 | a | .
例如，如图 1 - 5( 1 ) 所示，数轴上表示 + 7 的点到原点的距离是 7 个单位
长度，所以+ 7的绝对值仍是+ 7，记作
| + 7 | = + 7；
如图 1 - 5( 2 ) 所示，数轴上表示 - 5 的点到原点的距离是 5 个单位长度，
所以- 5的绝对值是+ 5 ，记作
| - 5 | = + 5.
77(cid:724)(cid:724)(cid:1261)(cid:1261)(cid:879)(cid:879)(cid:6850)(cid:6850)(cid:2319)(cid:2319) 55(cid:724)(cid:724)(cid:1261)(cid:1261)(cid:879)(cid:879)(cid:6850)(cid:6850)(cid:2319)(cid:2319)
00 ++77 −−55 00
( 1 ) ( 2 )
图1 - 5
特殊地，我们规定，0的绝对值仍是0，记作
| 0 | = 0.
交 流
5
1. 怎样求25，- ，- 0. 16，0，16 545，- 0. 000 1的绝对值？
12
2. 我们怎样用语言来叙述求一个有理数的绝对值的法则？
由于有理数分为正数、负数和零三类，所以可以分三类不同的情况来叙述
这个法则：
有理数绝对值的求法
正数的绝对值是它自身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值仍是0 .
11
第一章 有理数x+3
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2
也就是：
当a是正数时， | a | = a；
当a是负数时， | a | = - a；
当a是0时， | a | = 0 .
练 习
1. 求下列各有理数的绝对值：
34 7
+ 3，- 9，- 1 250，+ ，+ 0. 000 456，- ，0.
51 15
2. 一个负数的绝对值可能小于零吗？为什么？
3.“一个有理数的绝对值一定是正数”，这个说法正确吗？为什么？
学习了有理数的绝对值以后，我们可以说，“绝对值相同，但符号相反
的两个数互为相反数”.
在实际生活中，是否存在只需考虑数的绝对值
而暂时不考虑它的符号的例子？如果有，请举出这
样的例子.
思 考
例1 计算：
( 1 ) | + 5 | - | - 3. 4 | - | 0 | + | - 1. 9 | ；
2 5 3
( 2 ) - + + - - .
3 6 2
12
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解：( 1 ) | + 5 | - | - 3. 4 | - | 0 | + | - 1. 9 |
= 5 - 3. 4 - 0 + 1. 9
= 1. 6 + 1. 9
= 3. 5；
2 5 3
( 2 ) - + + - -
3 6 2
2 5 3
= + -
3 6 2
= 0.
4
例2 求出绝对值分别是12， ，0的有理数.
7
解：因为 | + 12 | = | - 12 | = 12，所以绝对值是12的有理数是+ 12或- 12；
4 4 4 4 4 4
因为 + = - = ，所以绝对值是 的有理数是+ 或- ；因为只有0的绝
7 7 7 7 7 7
对值是0，所以绝对值是0的有理数只有0.
思 考
1.“一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原
点越近”，这个说法正确吗？为什么？
2. 是否能根据比较两个有理数的绝对值的大小，来
比较两个负数的大小？
根据“一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近”和“数
轴上表示两个负数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，
可以推想出：“两个负数中，绝对值较大的数反而小”. 所以可以通过比
较它们的绝对值的大小来比较这两个负数的大小.
22
例3 比较- 和- π的大小.
7
22
解：因为 - ≈ 3.142 9，
7
13
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
…
| - π | = 3. 141 5 ，
22
又因为 - > - π ，
7
22
所以 - < - π .
7
练 习
1. 计算：
1 1 1
( 1 ) | - 7 | + |+ 16 | - |- 22 | + | 0 | ； ( 2 ) - - + - - .
2 3 6
2. 比较下列每组数的大小：
( 1 ) + 8和+ 7； ( 2 ) - 3和- 4；
2 3 2 3
( 3 ) 和 ； ( 4 )- 和- ；
3 4 3 4
2 2
( 5 ) - 1 000和- 0. 01； ( 6 ) - 和- .
3 5
习 题 1 - 1
基础
1. 北京2月份某一天的最高温度是零上4 ℃，最低温度是零下7 ℃，用正数和负数表示
这两个温度.
2. 水库水位上升0. 12 m记作+ 0. 12 m，下降0. 23 m记作什么？
3. 以海平面为基准，高于海平面为正. 用正数或负数表示下面列出的量的多少：
( 1 )珠穆朗玛峰高出海平面8 844. 43 m；
( 2 )亚洲西部地中海旁有一个“死海”，它的湖面低于海平面392 m.
14
数学 七年级 上册
数学1章最终.indd 14 2013-6-8 9:54:45yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
4. 粮库某月前5天进出粮食的记录如下：
日 期 1 2 3 4 5
进出粮食/吨 - 32 + 84 - 26 - 56 + 68
其中以运进为正，说出各天记录的实际意义.
5. 在下列各数中哪些是正数？哪些是负数？有没有既不是负数，也不是正数的数？
7 11 2
- 28，0. 016，+ ，- ， ，0，- 0. 072，- 284，1 290，1.
8 12 3
6. 把下列各数填在相应的大括号里：
- 0. 1，- 9， 5 ，0，+ 16. 71，+ 1，- 17 ，4，- 26，1 082，- 3. 8.
12 3
正整数：{ }； 负分数：{ }；
整 数：{ }； 负 数：{ }.
7. 判断数的属性，在适当的空格里打“√”.
自然数 整 数 分 数 正 数 负 数 有理数
5 √ √ √ √
1
3
11
-
2
- 7. 1
- 9
0
3. 141 59
8. 回答下列问题：
( 1 )数轴上会不会有两个不同的点表示的却是同一个数？
( 2 )数轴上会不会有一点表示两个不同的数？
9. 把表示 3和- 3的点画在数轴上，指出这两个点到原点的距离是多少. 再画出表示
1 1
-3 的点，然后回答表示- 3和-3 的两个点中哪一个在右边，哪一个离原点较远.
2 2
15
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
1
10.在数轴上距离原点4 个单位长度的点表示的数有几个？它们表示的数是什么？
3
11.比较下列每对数的大小：
( 1 ) 5 和 4 ； ( 2 ) - 8和- 6；
4 3
( 3 ) - 1和1； ( 4 ) 1和- 1 000；
4 3
( 5 ) - 3. 14和- 3. 142； ( 6 )- 和+ ；
5 4
( 7 ) 0. 72和- 5 ； ( 8 ) - 5 和- 3 ；
8 4 4
3
( 9 ) - 1. 8和- 2. 01； ( 10 ) - 和0. 273.
11
1
12.在- 12，- ，- 0. 2，- 3. 14，0，- 10中，最大的数是什么？最小的数是什么？
2
13.下表是我国几个城市某年1月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列起来.
城 市 北 京 广 州 重 庆 哈尔滨
气温/℃ - 5. 2 14. 2 3. 1 - 20. 4
14.化简下列各数：
( 1 ) - ( - 18 )； ( 2 ) - ( + 20 )； ( 3 ) + ( + 32 )；
( ) ( )
10 2
( 4 ) - - ； ( 5 ) + ( - 7. 08 )； ( 6 ) - + .
3 5
15.下列各对数中，哪些数相等？哪些数互为相反数？
( 1 ) + ( - 4 )和- ( + 4 )； ( 2 ) - ( - 4 )和- 4；
( 3 ) + ( - 4 )和+ 4； ( 4 ) - ( + 4 )和- ( - 4 )；
( 5 ) + ( + 4 )和- ( - 4 ).
16.在数轴上画出表示下列各数的点，并分别用绝对值符号表示，再求出它们的绝
对值：
1 1
- 4，-1 ，0，+ 2，3 .
2 4
提升
1. 判断题：
( 1 ) | - 6 | = | + 6 | ； ( )
( 2 )符号相反而绝对值相等的两个数互为相反数； ( )
16
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( 3 )当a是有理数时，总有 | a | > 0； ( )
( 4 ) | - 1 000 | > 0； ( )
( 5 )负数的绝对值都是正数； ( )
( 6 )有理数的绝对值一定不是负数. ( )
2. 回答下列问题，并说明理由：
2
( 1 )绝对值是 的数有几个？是什么？
3
( 2 )绝对值是0的数有几个？是什么？
( 3 )有没有绝对值是- 3. 5的数？
3. 计算：
( 1 ) | - 64 | + | - 28 | + | + 27 | ； ( 2 ) | - 16 | + | - 24 | - | - 30 | ；
2 11 2
( 3 ) | - 0. 8 | - -
15
； ( 4 ) -
4
× -
15
.
4. 用“>”、“=”或“<”填空：
2 1
( 1 ) | 0. 32 | | - 0. 32 | ； ( 2 ) - ；
7 6
( 3 ) | 0. 02 | | - 0. 000 2 | ； ( 4 ) | - 5 | | 5 | .
5. 写出比- 3. 5大，且比+ 7. 5小的所有整数，并用“<”将它们与这两个数连接起来.
二 有理数的四则运算
1.4
有理数的加法
交 流
联系生活中的事例，你认为应当怎样做下面的加法运算才算合理？
计算的结果应是什么数？
( 1 ) 怎样求同号的两个有理数的和？
①( + 5 ) + ( + 3 ) = ？ ②( - 5 ) + ( - 3 ) = ？
17
第一章 有理数
数学1章最终.indd 17 2023-3-22 15:35:43x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( 2 ) 怎样求互为相反数的两个有理数的和？
③( + 5 ) + ( - 5 ) = ？ ④( - 3 ) + ( + 3 ) = ？
( 3 ) 除相反数外，怎样求符号相反的两个有理数的和？
⑤( + 5 ) + ( - 3 ) = ？ ⑥( - 5 ) + ( + 3 ) = ？
( 4 ) 怎样求0和任意一个有理数的和？
⑦0 + ( + 7 ) = ？ ⑧( - 4 ) + 0 = ？
比如，在生活中有这样的例子：某公司把收入金额记为正数，支出金
额记为负数，那么连续收入 5 万元和 3 万元的总和应是收入 8 万元；连续
支出 5 万元和 3 万元的总和应是支出 8 万元 . 由此可知，上面①、②两式
的计算结果应为：
( + 5 ) + ( + 3 ) = + 8，
( - 5 ) + ( - 3 ) = - 8.
再如，把电梯上升的楼层数记为正数，下降的楼层数记为负数，那
么，电梯先上升 5 层，再下降 5 层，结果它停止在原位；电梯先下降 3 层，
再上升 3 层，它也停在原位 . 由此可知，上面③、④两式的计算结果应为：
( + 5 ) + ( - 5 ) = 0，
( - 3 ) + ( + 3 ) = 0.
同学们还可以举出很多其他方面的例子，来说明⑤、⑥、⑦、⑧的算
法，并得到下面的结果：
( + 5 ) + ( - 3 ) = + 2， ( - 5 ) + ( + 3 ) = - 2，
0 + ( + 7 ) = + 7， ( - 4 ) + 0 = - 4.
1. 你能举出更多的例子来说明两个有理数应当怎样相加吗？
2. 两个有理数相加可以分为几种不同的情况？你能归纳出有
理数相加的法则吗？
思 考
18
数学 七年级 上册
数学1章最终.indd 18 2023-3-22 15:35:43yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
通过以上讨论，我们可以归纳出下面的有理数加法法则：
有理数加法法则
同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加；
异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对
值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数的和为0；
0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数.
例1 计算：
( 1 ) ( + 26 ) + ( + 67 )； ( 2 ) ( - 2. 3 ) + ( + 7. 8 )；
( ) ( ) ( )
3 1 5
( 3 ) - + - ； ( 4 ) + + ( - 1. 375 )；
4 2 6
你认为，应先确定和
( 7 ) 的符号，还是先计算和的
( 5 ) ( - 0. 673 ) + 0； ( 6 ) 0 + + . 绝对值？
11
解：( 1 ) ( + 26 ) + ( + 67 ) = + ( 26 + 67 ) = + 93；
( 2 ) ( - 2. 3 ) + ( + 7. 8 ) = + ( 7. 8 - 2. 3 ) = + 5. 5；
( ) ( ) ( )
3 1 3 1 5
( 3 ) - + - = - + = - ；
4 2 4 2 4
( ) ( )
5 11 5 13
( 4 ) + + ( - 1. 375 ) = - - = - ；
6 8 6 24
( 5 ) ( - 0. 673 ) + 0 = - 0. 673；
( )
7 7
( 6 )0+ + = + .
11 11
例2 计算：
( 1 ) ( - 12 ) + ( - 4. 5 ) + ( + 10. 7 )；
( ) ( )
5 2
( 2 ) - + ( + 5 )+ - .
6 3
解：( 1 ) ( - 12 ) + ( - 4. 5 ) + ( + 10. 7 )
= ( - 16. 5) + ( + 10. 7 )
= - 5. 8；
19
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( ) ( )
5 2
( 2 ) - + ( + 5 )+ -
6 3
( ) ( )
25 2
= + + -
6 3
( ) ( )
25 4
= + + -
6 6
7
= + .
2
例3 利用计算器计算：
( 1 ) - 26. 15 + ( + 13. 12 ) + ( - 128. 79 )；
( ) ( )
15 7 22
( 2 ) + - + - .
4 6 3
解：( 1 )
具体操作 结 果
A型计算器 26. 15 13. 12 128. 79
- 141. 82
B型计算器 26. 15 13.12 128.79
( 2 )
具体操作 结 果
15 4 7 6
A型计算器
22 3
19
-
4
15 4 7 6
B型计算器
22 3
20
数学 七年级 上册
数学1章最终.indd 20 2013-6-8 9:54:49yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
练 习
1. 计算( 说出应用法则的过程 )：
( 1 ) ( + 5 ) + ( + 8 )； ( 2 ) ( - 2 ) + ( - 9 )；
( 3 ) ( + 7 ) + ( - 7 )； ( 4 ) 0 + ( - 1. 5 )；
( 5 ) ( - 17 ) + ( + 19 )； ( 6 ) ( + 23 ) + ( - 34 )；
( )
5
( 7 ) ( - 110 ) + 0； ( 8 ) ( - 2. 5 ) + + .
2
2. 计算( 表示出应用法则的过程 )：
( ) ( )
7 2
( 1 ) ( - 3. 5 ) + ( + 4. 1 )； ( 2 ) - + - ；
5 5
( ) ( ) ( ) ( )
17 5 23 13
( 3 ) - + + ； ( 4 ) + + - .
32 32 8 4
3. 计算：
( ) ( )
13 21
( 1 ) ( + 16 ) + ( + 8)； ( 2 ) + + - ；
4 4
( ) ( )
2 5
( 3 ) ( - 21 ) + ( - 53 )； ( 4 ) - + - ；
3 6
( )
11
( 5 ) 0 + - ； ( 6 ) ( - 7. 2 ) + ( + 3. 2 ).
23
思 考
1. 你认为加法交换律和结合律在有理数的加法中依然成
立吗？请举出一些例子来验证( 可以利用计算器 ) .
2. 交换律和结合律在有理数加法运算中能起什么作用？
加法交换律和结合律在有理数加法运算中依然成立：
加法交换律 加法结合律
a + b = b + a； ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
21
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
例4 运用加法交换律和结合律做简便运算.
( 1 ) ( - 23 ) + ( + 39 ) + ( - 83 ) + ( + 11 )；
( 2 ) ( - 41 ) + ( + 33 ) + ( + 41 ) + ( - 33 )；
( ) ( ) ( ) ( )
13 3 8 19
( 3 ) + + + + - + - .
5 7 5 7 同号的数先相加.
解：( 1 ) ( - 23 ) + ( + 39 ) + ( - 83 ) + ( + 11 )
= [( - 23 ) + ( - 83 )] + [( + 39 ) + ( + 11 )]
= ( - 106 ) + ( + 50 )
= - 56；
相反数先相加.
( 2 ) ( - 41 ) + ( + 33 ) + ( + 41 ) + ( - 33 )
= [( - 41 ) + ( + 41 )] + [( - 33 ) + ( + 33 )]
= 0；
( ) ( ) ( ) ( )
13 3 8 19
( 3 ) + + + + - + - 同分母的数先相加.
5 7 5 7
( ) ( ) ( ) ( )
 13 8   3 19 
= + + - + + + -
 5 5   7 7 
( )
= (+ 1 )+ - 16
7
9
= - .
7
练 习
计算：
( 1 ) ( + 13 ) + ( - 22 ) + ( - 18 ) + ( + 6 )；
( )
1
( 2 ) ( - 0. 125 ) + ( - 7. 3 ) + + + ( + 2. 3 )；
8
( ) ( ) ( ) ( )
10 25 11 17
( 3 ) - + - + + + + .
3 4 3 4
22
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
你能求出绝对值小于 2 012 的所有整数的和吗？说说你
?
是怎样计算的.
1.5
有理数的减法
6 ℃/ - 4 ℃
4 ℃/ - 6 ℃
6 ℃/ - 5 ℃
7 ℃/ - 3 ℃ 6 ℃/ - 5 ℃
7 ℃/ - 2 ℃
7 ℃/ - 3 ℃
7 ℃/ - 2 ℃
7 ℃/ - 2 ℃
7 ℃/ - 3 ℃
7 ℃/ - 2 ℃
下表列出的是北京市连续四周的周最高和最低平均气温：
第1周 第2周 第3周 第4周
最高平均气温/℃ + 6 0 + 4 - 2
最低平均气温/℃ + 2 - 5 - 2 - 5
周平均温差/℃
23
第一章 有理数
数学1章最终.indd 23 2023-3-22 15:35:53x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
实 践
求每周的周平均温差时，应运用哪一种运算？你认为计算结果应是
什么？请列出算式，并写出计算结果.
显然，这个问题应使用减法运算. 虽然我们还不知道有理数减法运算应当
怎样进行，但是根据常理，我们可以知道问题的答案分别是 4 ℃，5 ℃，6 ℃
和3 ℃. 我们可以利用它来探究有理数减法究竟应当怎样进行.
我们已经知道，减法是已知被减数和减数求差的运算，是加法的逆运算.
交 流
1. 让我们根据上面的问题来研究一下，是否可以用加法的知识来
做求差的运算？
2. 是否能直接把减法转化为加法来求差？猜想一下，完成这个转
化的法则应是什么.
3. 自己设计一些有理数的减法，用计算器检验你归纳的减法法则
是否正确.
做减法运算 ( - 2 ) - ( - 5 ) 就是求一个与 - 5 的和是 - 2 的数，也就是求
等式
( - 5 ) + ( + 3 ) = - 2
的括号中应填写的数.不难知道这个数是+ 3，这就是说，有
( - 5 ) + ( + 3 ) = - 2.
这说明，我们可以通过把减法转化为加法来求两个有理数的差.
另一方面，我们有
( - 2 ) - ( - 5 ) = + 3，
( - 2 ) + ( + 5 ) = + 3，
也就是
( - 2 ) - ( - 5 ) = ( - 2 ) + ( + 5 ) = + 3，
其中，( + 5 ) 恰是 ( - 5 ) 的相反数，于是产生这样的猜想：“减去一个数，只需
24
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
加上这个数的相反数.”
经过验证，可知有理数减法法则是：
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
例1 计算：
( )
15
( 1 ) ( - 5 ) - ( + 3 )； ( 2 ) 0 - - ；
8
( ) ( )
9 2
( 3 ) ( + 3. 7 ) - ( + 6. 5 )； ( 4 ) - - - .
2 3
解：( 1 ) ( - 5 ) - ( + 3 ) = ( - 5 ) + ( - 3 ) = - 8；
( ) ( )
15 15 15
( 2 ) 0 - - = 0 + + = ；
8 8 8
( 3 ) ( + 3. 7 ) - ( + 6. 5 ) = ( + 3. 7 ) + ( - 6. 5 ) = - 2. 8；
( ) ( ) ( ) ( )
9 2 9 2 23
( 4 ) - - - = - + + = - .
2 3 2 3 6
例2 计算：
( 1 ) ( - 34 ) - ( + 56 ) - ( - 28 )；
( ) ( )
29 47
( 2 ) ( + 25 ) - - - + .
3 2
解：( 1 ) ( - 34 ) - ( + 56 ) - ( - 28 )
= - 34 + ( - 56 ) + ( + 28 )
= - 90 + ( + 28 )
= - 62；
( ) ( )
29 47
( 2 ) ( + 25 ) - - - +
3 2
( ) ( )
29 47
= + 25 + + + -
3 2
( )
83
= + 25 + -
6
67
= .
6
25
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
练 习
1. 计算( 说出应用法则的过程 )：
( 1 ) ( - 5 ) - ( - 5 )； ( 2 ) ( - 5 ) - ( + 5 )；
( 3 ) ( + 5 ) - ( - 5 )； ( 4 ) ( + 5 ) - ( + 5 )；
( 5 ) ( + 7 ) - 0； ( 6 ) 0 - ( + 7 )；
( 7 ) 0 - ( - 7 )； ( 8 ) ( - 7 ) - 0；
( 9 ) ( + 17 ) - ( - 17 )； ( 10 ) ( - 17 ) - ( + 17 ).
2. 计算( 表示出应用法则的过程 )：
( )
1
( 1 ) - - ( + 0. 5 )； ( 2 ) ( + 0. 6 ) - ( + 1 )；
2
( 3 ) ( + 5 ) - ( - 3. 75 )； ( 4 ) ( - 7. 25 ) - ( - 0. 25 ).
3.计算：
( ) ( ) ( )
1 1 3
( 1 ) ( - 6 ) + ( + 6 ) - ( - 7 )； ( 2 ) + - - - + ；
2 2 4
( ) ( )
1 3
( 3 ) - - + - ( - 0. 75 ).
4 8
1.6
有理数加减法的混合运算
1. 代数和
思 考
1. 在生活中哪里会用到有理数加减法的混合
运算？举出你想到的例子.
2. 既然减法可以转化为加法，那么加减法的混
合运算可以怎样进行？
26
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
3. 有理数加减法的混合运算统一为加法以后，
是否可能产生简洁的形式和更方便的算法？
我们来看一个加减法的混合运算
( - 4 ) + ( + 18 ) - ( - 3 ) - ( + 13 ) + ( - 2 ).
先把它统一为加法运算，得
( - 4 ) + ( + 18 ) + ( + 3 ) + ( - 13 ) + ( - 2 ).
由于都是加号连接，所以不妨省略“+”，使得式子更加简洁，得
- 4 + 18 + 3 - 13 - 2. ①
在过去，① 式被看做是有加法和减法的算式，而在代数中，我们可以理
解为它是有理数的加法算式，也就是理解为“负4，正18，正3，负13和负2
的和”.
这样，我们把省略了加号的几个有理数的和的式子叫做这几个数的代数和.
于是，它的计算过程就可以写为
( - 4 ) + ( + 18 ) - ( - 3 ) - ( + 13 ) + ( - 2 )
统一为加法
= ( - 4 ) + ( + 18 ) + ( + 3 ) + ( - 13 ) + ( - 2 )
写为省略加号的代数和
= - 4 + 18 + 3 - 13 - 2
运用交换律调整顺序
= - 4 - 13 - 2 + 18 + 3
运用结合律分别做加法
= - 19 + 21
= 2.
( ) ( ) ( )
例1 计算： -
5
-
7
- +
8
+
1
+ -
19
.
6 4 3 2 12
7
分析：观察算式的结构可以知道，算式尚未写成代数和的形式 . 其中-
4
( )
1 8
和+ 前面的加号已经省略，只需先把- + 转化为加法，再把尚未省略的加
2 3
号略去，就转化为代数和的形式了.
27
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( ) ( ) ( )
5 7 8 1 19
解：= - - - + + + -
6 4 3 2 12
( ) ( ) ( )
5 7 8 1 19
= - - + - + + -
6 4 3 2 12
5 7 8 1 19
= - - - + -
6 44 3 2 12
76
= -
12 这个式子应看做5个
= - 19 . 有理数的和.
3
例2 学校餐厅购进大米 20 袋，每袋标准质量为 50 千克 . 但由于大米
在装袋时有误差，运输时有亏损，所以入库时需要知道误差的数值. 经过精确
称量后每袋质量登记如下( 单位：千克 )：
49. 9， 49. 8， 50. 1， 48. 8， 49. 6， 50. 0， 49. 8， 49. 3， 49. 8， 50. 2，
49. 8， 49. 8， 50. 1， 49. 8， 49. 5， 50. 0， 49. 8， 49. 7， 49. 6， 48. 7.
请你设计一种简便的方法，计算这批大米总质量的误差.
解：我们把多于标准质量的数量记为正数，少于标准质量的数量记为负
数，得
- 0. 1， - 0. 2， + 0. 1， - 1. 2， - 0. 4， 0， - 0. 2， - 0. 7， - 0. 2， + 0. 2，
- 0. 2， - 0. 2， + 0. 1， - 0. 2， - 0. 5， 0， - 0. 2， - 0. 3， - 0. 4， - 1. 3.
再用计算器求它们的代数和，得算式
( 0. 1 × 2 + 0. 2 ) + ( - 0. 1 - 0. 2 × 7 - 0. 3 - 0. 4 × 2 - 0. 5 - 0. 7 - 1. 2 - 1. 3 )
= 0. 4 + ( - 6. 3 )
= - 5. 9 ( 千克 ).
怎样理解这个算式？
答：这批大米共缺少5. 9千克.
练 习
1. 把下列各算式统一为加法，再写成省略加号的代数和的形式，最后求出计算
结果.
( ) ( )
7 5 23
( 1 ) ( + 5 ) - ( - 3 ) + ( - 7 ) - ( + 12 )； ( 2 ) + - - - .
3 2 6
28
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2. 观察下列算式，作为代数和，哪些加数的加号已被省略了？把其他各减法统一
为加法，再写成省略加号的代数和的形式，最后求出计算结果.
( 1 ) ( + 5 ) - 7- ( - 4 ) + ( - 5 ) + 10；
( ) ( )
1 4 7
( 2 ) − + + − + ( - 3 ).
2 3 4
1 26 16 7
3. 计算：- - -1+ -4.5+ .
2 5 5 3
2. 去括号和添括号
有些加减法混合运算的算式中是含有括号的，我们来研究这类算式的
各种算法. 例如下面的算式：
( )
1 6 8
- - .
3 7 3
1. 观察这个算式，如果按照运算顺序的规定，应当
怎样计算？
8 1
2. 我们发现，括号内的一个加数- 和括号外的
3 3
是同分母的分数，如果对它们先做计算，就能使运算简
便 . 那么，怎样才能对它们先做计算呢？这种做法的依
据是什么？
思 考
8 1
要想实现- 和 先做计算，就必须去掉算式中的括号，然后再根据加法
3 3
的交换律和结合律进行 . 我们已经知道，“某数减去若干个数的和，可以逐个
减去各个加数”，按照这个法则，就有
29
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( )
1 6 8
= - -
3 7 3
( ) ( )
1 6 8
= - + - -
3 7 3
1 6 8
= - +
3 7 3
1 8 6
= + -
3 3 7
6
= 3-
7
15
= .
7
可见，在某些时候，如果能把算式中的括号去掉，就能使运算简便.
交 流
1. 形如m - ( a + b - c )的算式可以选择几种不同的算法？
2. 如果我们选择先去掉括号的算法，你能从上面的研究中概括出
“去掉前面带有减号( 或负号 )的括号”的法则吗？
3. 与此类似，对于形如m + ( a + b - c )的算式，如果我们选择先去
掉括号的算法，那么你能概括出“去掉前面带有加号 ( 或正号 ) 的括号”
的法则吗？
由于存在加法结合律，所以“去掉前面带有加号的括号”可以任意地进
行. 而“去掉前面带有减号的括号”以后，进行的是减法运算. 根据减法的运
算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，可以概括出去括号的法则.
去括号法则
当括号前面是“+”时，去掉括号和它前面的
“+”，括号内各数的符号都不改变；
当括号前面是“-”时，去掉括号和它前面的
“-”，括号内各数的符号都要改变.
30
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
于是
把括号连同它前面的符号
一起去掉！
m + ( a + b - c ) = m + a + b - c；
想一想，这里的“+”是
怎样得到的.
m - ( a + b - c ) = m - a - b + c.
想一想，这里的“-”是
怎样得到的.
例3 计算：
( )
3 3 1
( 1 ) 2 + + - - 4 + ；
4 8 4
( )
39 11 3 22
( 2 ) - - - .
7 7 5 5
( )
3 3 1
解：( 1 ) 2 + + - - 4 +
4 8 4
3 3 1
= 2+ - - 4 +
4 8 4
3 1 3
= 2+ + - 4-
4 4 8
3
= -1-
8
11
= - ；
8
( )
39 11 3 22
( 2 ) - - -
7 7 5 5
39 11 3 22
= - + +
7 7 5 5
31
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
= 4 + 5
= 9.
( )
例4 简便地计算：-
5
+
7
- -
1
+
5 
.
4 3 4 3 
( )
5 7 1 5 
解：= - + - - + 先去小括号，还是
4 3 4 3 
先去中括号？
( )
5 7 1 5
= - + + -
4 3 4 3
5 7 1 5
= - + + -
4 3 4 3
2
= -1+
3
11
= - .
3
练 习
先去掉算式中的括号，再做计算：
( 1 ) 26. 5 + ( 34. 2 - 65. 4 + 73. 5 ) - 58. 6； ( 2 ) 598 - ( - 269 + 119 - 402 )；
( ) ( )
17 7 3 18 3
( 3 ) + - +2+ ； ( 4 ) - 0.6- -1 .
6 6 2 7 7
下面我们再来研究添括号法则.
交 流
1.“添括号”和“去括号”是不是方向相反的变形？
2.如果我们把一个算式先实施了“添括号”的步骤以后，再实施“去
括号”的步骤，那么这个算式是不是应该恢复为原来的样子？
3.“添括号”应有怎样的法则呢？
32
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
添括号法则是：
添括号法则
添上前面带有“+”的括号时，括号内各
数的符号都不改变；
添上前面带有“-”的括号时，括号内各
数的符号都要改变.
于是
想一想，添括号后怎样
处理字母 a 的符号.
m + a + b - c = m + ( a + b - c ) ；
m - a - b + c = m - ( a + b - c ) .
例5 把下列算式分别放入前面带有“+”和带有“-”的括号内：
27 5 37 8 6
( 1 ) 3+ - ； ( 2 ) - + -8+ .
7 2 8 5 7
解：( 1 )放入前面带有“+”的括号内，得
( )
27 5
+ 3+ - .
7 2
放入前面带有“-”的括号内，得
( )
27 5
- -3- + .
7 2
( 2 )放入前面带有“+”的括号内，得
( )
37 8 6
+ - + -8+ .
8 5 7
放入前面带有“-”的括号内，得
( )
37 8 6
- - +8- .
8 5 7
33
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
例6 把下面算式中的后三个数放入前面带有“+”的括号内，再把算式
中的后四个数放入前面带有“-”的括号内：
27 13 9
58- +17 - - .
2 25 13
解： 把算式中的后三个数放入前面带有“+”的括号内，得
( )
27 13 9
58- + 17 - - .
2 25 13
把算式中的后四个数放入前面带有“-”的括号内，得
( )
27 13 9
58- -17 + + .
2 25 13
练 习
1. 把下列算式分别放入前面带有“+”和“-”的括号内：
5 19 3
( 1 ) 26 - 15 + 73； ( 2 ) - - +17- .
13 5 10
2. 把下面算式中的前三个数放入前面带有“+”的括号内，再把算式中的后四个
数放入前面带有“-”的括号内：
5 3 5 1 1 5
+2- - + - - .
7 7 6 4 3 8
习 题 1 - 2
基础
1. 计算：
( 1 ) ( + 4 ) + ( + 7 )； ( 2 ) ( - 3 ) + ( - 8 )；
( 3 ) ( + 5 ) + ( - 5 )； ( 4 ) 0 + ( - 2. 5 )；
( 5 ) ( - 13 ) + ( + 15 )； ( 6 ) ( + 34 ) + ( - 45 )；
( )
7
( 7 ) ( - 130 ) + 0； ( 8 ) ( - 3. 5 ) + + .
2
34
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2. 计算：
( ) ( )
5 2
( 1 ) ( + 1. 5 ) + ( + 6. 1 )； ( 2 ) - + + ；
3 3
( ) ( ) ( ) ( )
17 5 31 17
( 3 ) - + + ； ( 4 ) + + - ；
42 42 8 4
( )
27
( 5 ) ( - 6. 25 ) + ( + 3. 75 )； ( 6 ) ( + 4. 25 ) + − ；
4
( ) ( ) ( ) ( )
5 2 3 8
( 7 ) - + - ； ( 8 ) - + + .
9 3 2 3
3. 计算：
( 1 ) ( + 8 ) + ( - 10 ) + ( - 2 ) + ( + 1 )；
( 2 ) ( - 5 ) + ( + 6 ) + ( - 3 ) + ( - 9 ) + ( + 4 ) + ( + 7 )；
( 3 ) ( + 0. 65 ) + ( - 1. 9 ) + ( - 0. 1 ) + ( + 0. 65 )；
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 4 1 1
( 4 ) + + - + + + - + - ；
2 3 5 2 3
( ) ( )
10 50
( 5 ) - + ( + 15. 5 ) + - + ( - 5. 5 ).
3 3
4. 计算：
( ) ( )
1 15
( 1 ) + + ( - 3. 5 ) + ( - 2. 5 ) + + ；
16 16
( ) ( )
21 8
( 2 ) ( + 1 ) + − + − + ( - 9. 5 )；
2 3
( ) ( )
13 11
( 3 ) ( + 0. 5 ) + - + ( - 2. 75 ) + + .
4 2
5. 计算：
( 1 ) 8 - ( - 15 )； ( 2 ) - 24 - ( + 6 )；
( )
7 17
( 3 ) 0 - ( - 7 )； ( 4 ) - + ；
2 4
( )
43 17
( 5 ) - - - ； ( 6 ) - 8. 3 - 0；
8 4
( 7 ) 8. 48 - ( - 8. 45 )； ( 8 ) 46. 75 - ( + 93. 125 ).
6. 计算：
( ) ( )
77 15 15
( 1 )- - + - - ；
6 4 2
( 2 ) 43. 375 - ( - 37. 5 ) - 101. 625.
35
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
7. 计算，并用计算器验证计算结果是否正确：
( 1 ) ( - 1. 8 ) - ( + 3. 52 ) - ( - 2. 57 ) + ( - 1. 97 )；
( ) ( )
57 23
( 2 ) ( - 4. 2 ) + ( - 3. 58 ) - - + - ；
25 50
( 3 ) - 0. 5 + 3. 25 - 2. 75 - ( - 5. 5 ) - 0. 15.
8. 先去掉算式中的括号，再做计算：
( ) ( )
2 1 1 5
( 1 ) 2 + 1+ - ； ( 2 ) - -2+ .
5 3 2 2
9. 把下列算式分别放入前面带有“+”和带有“-”的括号内：
5 3 1 5 3 5
( 1 ) + - ； ( 2 ) - + -12- .
6 7 7 7 5 9
10. 先去掉算式中的括号，再做计算：
( 1 ) 26. 4 -[- 3. 67 + ( 45. 21 - 49. 76 ) + 8. 74]；
27
(
17
) (
46 18
)
( 2 ) - -2+ - - .
5  5 15 5 
11. 计算：
( ) ( )
31 7 4 1
( 1 )- - + + ； ( 2 ) - + + ；
4 2 5 2
( )
22 8
( 3 ) - | - 14 | + | - 12 | ； ( 4 ) - - + - .
7 21
12. 一天早晨的气温是-9 ℃，中午上升了12 ℃，半夜又下降了7 ℃，半夜的气温是多少？
11 16
13. 一个水利勘察队，第一天沿江向上游走了 千米，第二天继续向上游走了 千米，
2 3
14 11
第三天沿原路返回，向下游走了 千米，第四天继续向下游走了 千米，这时勘察
3 2
队离出发点多少千米？是在出发点的上游还是下游？
14. 有10箱苹果的质量各不相等，为了计算简便，今以每箱20千克为标准，超过标准质
量的数记作正数，不足的数记作负数，所做记录如下：
- 3. 5， 2， - 0. 5， - 1， 1， 2. 5， - 2， 1. 5， - 1. 1， - 0. 4.
求10箱苹果的总质量是多少千克.
1.7
有理数的乘法
我们来研究怎样做有理数的乘法.
36
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
交 流
公园中有一条东西向的道路，甲、乙两名同学在该道路上锻炼. 他
们同时从同一起点出发，甲同学以每秒5米的速度向东行进，乙同学以每
秒5米的速度向西行进.那么，4秒后甲、乙两名同学分别在什么位置？
按照上面的叙述，列出的算式是什么？计算的结果应是什么？
向东和向西行进的速度都是具有方向的量 . 如果我们规定：向东为正，
向西为负，那么甲同学的速度可以记作 + 5 米 / 秒，乙同学的速度可以记作
- 5米/秒. 乙 甲
(cid:5941) (cid:716)
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
4秒后甲同学应在起点东侧20米处，用算式表示为
( + 5 ) × ( + 4 ) = + 20.
4秒后乙同学应在起点西侧20米处，用算式表示为
( - 5 ) × ( + 4 ) = - 20.
实 践
猜想下列两组算式的计算结果，并用计算器验证.
( 1 ) ①( + 3 ) × ( - 2 )； ( 2 ) ①( - 3 ) × ( - 2 )；
②( + 5 ) × ( - 4 )； ②( - 5 ) × ( - 4 )；
③( + 6 ) × ( - 7 ) . ③( - 6 ) × ( - 7 ) .
验证可知：
( 1 ) ①( + 3 ) × ( - 2 ) = - 6； ( 2 ) ①( - 3 ) × ( - 2 ) = + 6；
②( + 5 ) × ( - 4 ) = - 20； ②( - 5 ) × ( - 4 ) = + 20；
③( + 6 ) × ( - 7 ) = - 42 . ③( - 6) × ( - 7 ) = + 42.
根据以上的事实和相应的计算结果，你能发现“积的符号”
与“因数的符号”之间的关系吗？尝试用自己的话表达你发现
的有理数乘法的法则.
思 考
37
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
我们可以得到以下有理数乘法法则：
有理数乘法法则
同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，
并把绝对值相乘；
任何有理数和0相乘都得0.
例1 计算：
( ) ( )
17 3
( 1 ) ( - 3 ) × ( + 8 )； ( 2 ) - × + ；
6 4
( ) ( ) ( )
8 12 3
( 3 ) ( - 2. 3 ) × - ； ( 4 ) + × + ；
5 5 4
( )
2
( 5 ) - × 0. 先确定积的符号，
5
再计算两数绝对值的积.
解：( 1 ) ( - 3 ) × ( + 8 ) = - ( 3 × 8 ) = - 24；
( ) ( ) ( )
17 3 17 3 17
( 2 ) - × + = - × = - ；
6 4 6 4 8
( ) ( )
8 23 8 92
( 3 ) ( - 2. 3 ) × - = + × = + ；
5 10 5 25
( ) ( ) ( )
12 3 12 3 9
( 4 ) + × + = + × = + ；
5 4 5 4 5
( )
2
( 5 ) - ×0 = 0 .
5
我们知道，加法交换律和结合律在有理数的加法运算中依然适用 . 那么，
与乘法有关的运算律呢？
实 践
请你举出一些有理数乘法的例子，用计算器验证乘法交换律、结合
律和乘法对加法的分配律在有理数的乘法运算中仍然成立.
38
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
验证可知，乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配律，在有理数的运算
中也依然适用.
乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律
ab = ba； ( ab ) c = a ( bc )； a ( b + c ) = ab + ac.
例2 利用运算律做较简便的计算，并用计算器验证计算结果是否正确.
( ) ( )
11 8
( 1 ) ( - 0. 36 ) × + × - ；
4 11
( )
2 3 1
( 2 ) - - × ( - 24 )；
3 4 12
( )
31 24
( 3 ) ( - 64 ) × - + ( - 64 ) × .
7 7
( ) ( )
11 8
解：( 1 ) ( - 0. 36 ) × + × -
4 11 这里为什么先做分数运算呢？
( ) ( )
 11 8 
= ( - 0. 36 ) × + × -
 4 11 
= ( - 0. 36 ) × ( - 2 )
= 0. 72；
( )
2 3 1
( 2 ) - - × ( - 24 )
3 4 12
用乘法对加法的分配律
去掉分母.
2 3 1
= × ( - 24 ) - × ( - 24 ) - × ( - 24 )
3 4 12
= - 16 + 18 + 2
= 4；
( )
31 24
( 3 ) ( - 64 ) × - + ( - 64 ) ×
7 7 逆用乘法对加法的分配律.
( )
 31 24
= ( - 64 ) × - +
 7 7 
= ( - 64 ) × ( - 1 )
= 64.
39
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
例3 要制造一个棱长为 6 厘米的正方体工件，但由于有加工误差，
实际测量制得的工件的长、宽、高分别为5. 99厘米、5. 97厘米和6. 03厘米，
那么它的体积比原来设计的大了还是小了？大了或小了多少立方厘米 ( 精
确到0. 01立方厘米 )？
分析：由于有加工误差，实际生产出的工件并不是十分精确的正方体，
而可以看做长方体 . 用计算器计算制作出的工件的体积与原工件设计体积
相差多少，再根据差的符号来判断制得的工件是大了还是小了.
解：5. 99 × 5. 97 × 6. 03 - 6 × 6 × 6
≈ 215. 635 - 216
= - 0. 365
≈ - 0. 37( 立方厘米 ).
答：制得的工件体积比原来设计的小了，体积约小了0. 37立方厘米.
在算式中，为什么有的步骤用“=”，有的步骤用“ ≈ ”？
思 考
练 习
1. 计算：
( ) ( )
2 7
( 1 ) ( - 24 ) × ( + 5 )； ( 2 ) - × + ；
7 4
( ) ( )
5 97
( 3 ) ( - 10. 2 ) × - ； ( 4 ) - ×0 .
2 12
2. 利用运算律做较简便的计算：
( ) ( )
3 8
( 1 ) ( - 3. 5 ) × - × - ；
4 7
( )
1 1 3 1
( 2 ) - - + - × ( - 48 )；
12 36 4 6
( 3 ) 7. 307 × ( - 14 ) + 7. 307 × ( - 10 ) + 7. 307 × ( + 24 ).
40
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
1.8
有理数的除法
由于除法是乘法的逆运算，也就是已知乘积和一个因数，求另一个因数的
运算，那么，我们是否可以运用有理数乘法的知识，去探求有理数的除法应当
怎样进行？
交 流
1. 对于除法运算( - 8 ) ÷ ( + 4 )，你能用乘法的知识求出商来吗？如
果能，所得的商应是什么数？
2. 请你举出更多有理数除法的例子试一试，并用计算器检验你求
得的结果是否正确.
3. 你能由此归纳出和有理数乘法法则类似的有理数除法法则吗？
归纳出这个法则，再用计算器验证你归纳出的法则是否正确.
经过验证，我们可以得到有理数除法法则( 一 )：
有理数除法法则( 一 )
同号两数相除得正，异号两数相除得负，
并把绝对值相除；
0 不能做除数，0 除以任何不为零的数
都得 0.
例1 运用有理数除法法则( 一 )做下列除法：
( ) ( )
5 15
( 1 ) ( + 28 ) ÷ ( - 7 )； ( 2 ) + ÷ - ；
12 4
( ) ( )
4 11
( 3 ) ( - 0. 24 ) ÷ - ； ( 4 ) 0 ÷ - .
5 23
解：( 1 ) ( + 28 ) ÷ ( - 7 ) = - ( 28 ÷ 7 ) = - 4；
( ) ( ) ( ) ( )
5 15 5 15 5 4 1
( 2 ) + ÷ - = - ÷ = - × = - ；
12 4 12 4 12 15 9
41
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( )
4
( 3 ) ( - 0. 24 ) ÷ -
5
= ( - 0. 24 ) ÷ ( - 0. 8 )
= + ( 0. 24 ÷ 0. 8 )
= + 0. 3；
( )
11
( 4 ) 0 ÷ - = 0.
23
在很多情形下，我们把分数线也看做除号，于是除法的法则也可以用来处
理分数中分子、分母和分数本身的符号.
例2 化简：
-36 −2 35
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) - .
4 4 -15
−
5
-36 36
解：( 1 ) = - = -9；
4 4
−2 ( 5 ) 5
( 2 ) = + 2× = + ；
4 4 2
−
5
( )
35 35 7
( 3 ) - = - - = + .
-15 15 3
1. 通过做“例 2”中的除法运算，你能概括出在不改变分数的值的
条件下，分数的分子、分母的符号和分数本身的符号的变化规律吗？
2. 怎样用简洁、准确的语言叙述这个规律？
思 考
这个规律可以叙述为：
分数的分子、分母和分数本身的符号中
同时有两个改变时，分数的值不变.
利用这个规律，我们可以在不改变分数的值的条件下，把分数的分子、分
母的符号都化为正号.
42
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
练 习
1. 计算：
( 1 ) - 36 ÷ ( - 12 )； ( 2 ) - 9 ÷ ( + 18 )；
( ) ( )
2 5
( 3 ) + ÷ - ； ( 4 ) - 6. 5 ÷ ( + 1. 3 )；
3 2
( 5 ) ( - 51 ) ÷ ( - 17 ).
2. 化简：
-24 -27
( 1 ) ； ( 2 ) ；
6 -9
32 0
( 3 ) ； ( 4 ) .
-40 -7
思 考
在以前学习的除法运算中，我们曾运用过
“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”
的法则 . 这个法则在有理数的除法运算中仍然
可以运用吗？为什么？
前面第 41 页的例 1 说明，在运用有理数除法法则 ( 一 ) 的过程中，
当商的符号确定以后，商的绝对值的计算就和以前学习的除法相同，
也就是，仍运用了“除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数”
这个法则 . 另一方面，如果在有理数中，我们仍然规定，有理数 a ( a ≠ 0 )
1 1
的倒数为 ，那么，根据有理数除法法则 ( 一 )，则 3，- 7， ，
a 5
3 1 1 8
- ，- 0. 25 的倒数就分别是 ，- ，5，- ，- 4. 于是，前面的例 1
8 3 7 3
又有下面的解法：
43
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( )
1
解：( 1 ) ( + 28 ) ÷ ( - 7 ) = ( + 28 ) × - = - 4；
7
( ) ( ) ( ) ( )
5 15 5 4 1
( 2 ) + ÷ - = + × - = - ；
12 4 12 15 9
( ) ( )
4 5
( 3 ) ( - 0. 24 ) ÷ - = ( - 0. 24 ) × - = + 0. 3；
5 4
( ) ( )
11 23
( 4 ) 0 ÷ - = 0 × - = 0.
23 11
这说明，“除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数”这个法则在有
理数中依然适用. 于是，我们又得到有理数除法法则( 二 )：
有理数除法法则( 二 )
某数除以一个不为零的数，
等于乘这个数的倒数.
例3 用有理数除法法则( 二 )计算：
( ) ( )
5 8
( 1 ) ( - 2. 4 ) ÷ + ； ( 2 ) - ÷ ( - 0. 72 ).
3 15
( )
5
解：( 1 ) ( - 2. 4 ) ÷ +
3
( )
3
= ( - 2. 4 ) × +
5
= ( - 2. 4 ) × ( + 0. 6 )
= - 1. 44；
( )
8
( 2 ) - ÷ ( - 0. 72 )
15
( ) ( )
8 18
= - ÷ -
15 25
( ) ( )
8 25
= - × -
15 18
20
= + .
27
44
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
练 习
1. 写出下列各数的倒数：
5 7 14
1， - 1， - 0. 01， - ， 0. 15， - ， ， - 8. 2.
8 2 3
2. 计算：
( ) ( )
4 4 3 5
( 1 ) ÷ ( - 12 )； ( 2 )- ÷ - ； ( 3 ) - 5 ÷ - ；
7 7 28 8
( ) ( ) ( )
29 17 49
( 4 ) 0 ÷ - ； ( 5 ) - 1 ÷ - ； ( 6 ) 1 ÷ - ；
80 10 4
( ) ( )
3 11
( 7 ) ( - 9 ) ÷ - ； ( 8 ) ( - 15. 4 ) ÷ - .
10 4
1.9
有理数的乘方
思 考
在你的生活中是否遇到过这样的问题，根据问题列出的算
式是2个、3个或3个以上的相同数的连乘积？
在生物学中，有这样的问题：1个细胞，每过1小时就可以分裂为2
个同样的细胞，那么5小时以后，这个细胞可繁殖成多少个同样的细胞？
列出的式子为
2 × 2 × 2 × 2 × 2.
我国古代的数学书中有这样的话：“一尺①之棰，日取其半，万世而
不竭.”那么，10天之后，这个“一尺之棰”还剩多少？
列出的式子为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
× × × × × × × × × .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
① 古代的长度计量单位，不同时期的标准不同.今1尺 = 1 米.
3
45
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
“一尺之棰，日取其半”，如果问10个月之后还剩多少，
10年之后还剩多少，那么列出的式子将是什么样子？
思 考
显然，我们遇到了如何写出这个烦琐的式子的麻烦，我们需要创设一种新
的表示方法来表示这样的运算.我们把
a × a写为a 2 ；
a × a × a写为a 3；
2 × 2 × 2 × 2 × 2写为2 5 ；
( )10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
× × × × × × × × × 写为 ；
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
……
一般地，我们把几个相同的因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做
幂.如果有n个a相乘，可以写为a n，也就是
aaa…a = a n，
n个a
其中，a n 叫做 a 的 n 次方，也叫做 a 的 n 次幂 . a 叫做幂的底数，a 可以取任
何有理数；n叫做幂的指数，n可取任何正整数.
n
a 幂的指数
幂的底数
幂
特殊地，a可以看做a的一次幂，也就是说a的指数是1.
例1 计算：
( )9
1
( 1 ) ( - 3 ) 4； ( 2 ) ( - 5 ) 3 ； ( 3 ) + ； ( 4 ) ( - 1 ) 2 301.
3
解：( 1 ) ( - 3 ) 4 = ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) = + 81；
( 2 ) ( - 5 ) 3 = ( - 5 ) ( - 5 ) ( - 5 ) = - 125；
( )9 ( )( )( ) ( )
1 1 1 1 1 1
( 3 ) + = + + + � + =
3 3 3 3 3 19 683；
9个
46
数学 七年级 上册
          
数学1章最终.indd 46 2023-3-22 15:36:29yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( 4 )( - 1 )2 301 = ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 )…( - 1 ) = - 1.
2 301个
例2 利用计算器计算：
( )4
5
( 1 ) 23. 125 5 ( 精确到0. 01 )； ( 2 ) - ( 精确到0. 001 ).
13
解：( 1 )
具体操作 结 果
23. 125 5 FLOAT 0123456789
A型计算器
6613155. 08
B型计算器 23. 125 5 62 6613155. 08
∴ 23. 125 5 ≈ 6 613 155. 08；
( 2 )
具体操作 结 果
5 13 4
FLOAT 0123456789
A型计算器
0. 022
5 13
B型计算器 0. 022
4 63
( )4
5
∴ - ≈ 0. 022.
13
交 流
1. 当底数是负数，指数是任意正整数时，幂的符号是确定的吗？
如果是不确定的，在什么条件下才能确定幂的符号？
47
第一章 有理数
          
数学1章最终.indd 47 2023-3-22 15:36:34x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
2. - a n 和 ( - a ) n ( n 是任意正整数 ) 的意义相同吗？如果不相同，
区别在哪里？
3. - a n 和 ( - a ) n ( n 是任意正整数 ) 的计算结果总是相同的吗？如
果不是，那么，在什么情况下相同，在什么情况下不相同？
在做幂的运算时，要注意幂式中括号的意义：
( - a ) n 表示 n 个 ( - a ) 相乘，它的计算结果随 n 的取值的不同而不同，
即有
a n ( n 是正偶数 )，
( - a ) n = ( - a ) ( - a ) ( - a ) … ( - a ) =
- a n ( n 是正奇数 ).
n个
- a n表示n个a的乘积的相反数，即有
例3 计算：
( 1 ) ( - 3 ) 5； ( 2 ) - 3 4；
( 3 ) [ - ( - 5 ) ] 3 ； ( 4 ) - [ + ( - 2 ) ] 7.
解：( 1 ) ( - 3 ) 5 = ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) ( - 3 ) = - 243；
( 2 ) - 3 4 = - ( 3 × 3 × 3 × 3 ) = - 81；
( 3 ) [ - ( - 5 ) ] 3 = ( + 5 ) 3 = + 125；
( 4 ) - [ + ( - 2 ) ] 7= - ( - 2 ) 7 = - ( - 128 ) = + 128.
例4 据统计，2009 年底北京市的人口总数已经从 2008 年底的 1 695
万人增加到 1 755 万人 ①. 如果保持这样的增长率，请用计算器计算 ( 精确到
1 万人 ) ：
( 1 )到2010年底、2011年底时，北京市的人口总数分别约是多少万人？
*( 2 )到2014年底时，北京市的人口总数约是多少万人？
分析：解决问题的关键在于要先求出从2008年底到2009年底北京市的人
口总数的增长率.
① 以上数据摘自“北京统计年鉴”.
48
数学 七年级 上册
          
- a n = - ( aaa…a ).
n个
    yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
解：( 1 ) 用计算器计算，从 2008 年底到 2009 年底北京市的人口总数的增
长率为
1 755-1 695
× 100% ≈ 0. 035 4 × 100% = 3. 54%.
1 695
所以，到2010年底时，北京市的人口总数是
1 755 × ( 1 + 3. 54% ) ≈ 1 817 ( 万人 )；
到2011年底时，北京市的人口总数是
[ 1 755 × ( 1 + 3. 54% ) ] × ( 1 + 3. 54% )
= 1 755 × ( 1 + 3. 54% ) 2
≈ 1 881( 万人 ).
答：到2010年底、2011年底时，北京市的人口总数分别约是1 817万人、
1 881万人.
*( 2 ) 通过观察我们发现，这些算式在结构上是相似的，我们还注意到，幂
的指数等于所求的年份与2009年相差的年数. 由于2009年与2014年相差5年，
所以到2014年底时，北京市的人口总数是
1 755 × ( 1 + 3. 54% ) 5 ≈ 2 088( 万人 ).
答：到2014年底时，北京市的人口总数约是2 088万人.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
已知一个正数，它的立方数等于它与1的和.
?
( 1 )估计一下，这个数应在哪两个连续整数之间；
( 2 )用计算器探求这个数的近似数( 精确到0. 001 ).
练 习
1. 计算：
( 1 ) 3 5； ( 2 ) 2 4； ( 3 ) ( - 2 ) 4； ( 4 ) ( - 1 ) 3；
( )4
1
( 5 ) ( - 15 ) 3； ( 6 ) ； ( 7 ) ( - 0. 1 ) 3； ( 8 ) ( + 0. 01 ) 2；
2
49
第一章 有理数
数学1章最终.indd 49 2013-4-17 16:12:14x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( )4 ( )3
2 3
( 9 )- ； ( 10 )- .
3 4
2. 计算：
34
( 1 ) 0. 5 3； ( 2 ) ； ( 3 ) - 4 4；
10
33
( 4 ) - 1. 5 2； ( 5 ) - ； ( 6 ) - ( - 2 ) 4.
4
3. 计算：
( 1 ) + ( - 3 ) 5； ( 2 ) - 5 3； ( 3 ) - ( - 5 ) 3； ( 4 ) - ( - 2 ) 6.
1.10
有理数的混合运算
我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，其中加和减称
为第一级运算，乘和除称为第二级运算，乘方称为第三级运算. 要做好有理数
的混合运算，应按照有理数混合运算的顺序进行，即：
( 1 ) 同级运算中应按从左到右的顺序进行；不同级的运算，按“先乘方，
再乘除，最后加减”的顺序进行.
( 2 ) 在有括号的情形下，先做括号内的运算，再做括号外的运算；如果有
多层括号，那么由里到外依次进行.
要做好有理数的混合运算，必须认真观察算式的运算结构的特点，熟练运
用运算律和运算性质，合理安排运算顺序.
例1 计算：36 × ( - 2- 7 ) - ( - 28 + 14 ) ÷ ( + 7 ).
分析：本例中算式的运算结构是求积与商的差，括号内则是代数和 . 运算
顺序是先求括号内的代数和，再分别求积和商，最后求差.
解：36 × ( - 2 - 7 ) - ( - 28 + 14 ) ÷ ( + 7 )
= 36 × ( - 9 ) - ( - 14 ) ÷ ( + 7 )
= - 324 - ( - 2 )
= - 324 + 2
= - 322.
50
数学 七年级 上册
数学1章最终.indd 50 2023-3-22 15:36:37yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( )
例2 计算：- 3 4 ÷ ( - 27 ) -  (-2 )× - 4 +(-2 )3 .
 3 
分析：先考虑中括号内的运算. 中括号内是求积与幂的和，而且积与幂的
运算可以同时进行 . 再把中括号内的运算看做一个整体，原式就可以看做求商
与中括号内运算结果的差，其中又应先求幂再求商，最后求出差来.
( )
4
解：- 3 4 ÷ ( - 27 ) - ( - 2 ) × - + ( - 2 ) 3
3
( )
8
= - 81 ÷ ( - 27 ) - + + ( - 8 )
3
( )
16
= + 3 - -
3
16
= 3 +
3
25
= .
3
练 习
计算，并用计算器检验计算结果：
( 1 ) - 21 + 14 ÷ ( - 7 )； ( 2 ) 17 - 8 ÷ ( - 2 ) + 4 × ( - 5 )；
( ) ( )
5 2 7
( 3 ) ( - 4 ) × ( - 3 ) - 5 × ( - 7 ) - 2 4； ( 4 )- × 0.5- ÷ - ；
3 3 6
( 5 )- 3 ×   -32 × ( - 2 )3 -2   .
2  3 
51
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
习 题 1 - 3
基础
1. 计算：
( ) ( )
7 17
( 1 ) ( - 5 ) × ( - 3 )； ( 2 ) - × + ；
3 14
( )
8
( 3 ) ( + 2. 25 ) × - ； ( 4 ) ( - 2. 5 ) × 0.
15
2. 计算：
( ) ( ) ( )
9 8 7 5 11
( 1 ) - × ( - 2. 3 ) × + ； ( 2 ) - +2- × ( - 36 )；
4 9 9 12 6
( ) ( ) ( )
15 15 15
( 3 )-8× - +12× - -4× - .
29 29 29
3. 化简：
-18 -144 -9
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) .
-3 12 72
4. 计算：
( 1 ) ( - 60 ) ÷ ( - 1. 5 )； ( 2 ) ( - 0. 1 ) ÷ ( + 100 )；
( ) ( )
25 123
( 3 ) - ÷ ( + 5. 4 )； ( 4 ) - ÷ ( + 15 ).
6 4
5. 计算：
24
( 1 )7 3； ( 2 ) ( - 0. 25 ) 2； ( 3 ) - 3 4； ( 4 ) - ( - 1 ) 10； ( 5 )- .
5
6. 计算：
3 2 1
( 1 ) ( - 12 ) ÷ ÷ ； ( 2 ) - 6 ÷ × ( - 3 )；
4 3 3
( )
3
( 3 ) ( - 374 ) ÷ ( - 7 ) ÷ ( + 9 )； ( 4 ) 24 ÷ - ÷ ( + 0. 1 )；
4
( ) ( )3 ( ) ( ) ( )
1 2 7 3 3
( 5 ) - ÷ + ÷ ( + 0. 9 )； ( 6 ) - × - ÷ - .
21 7 3 4 2
7. 计算：
( ) ( ) ( ) ( )4
3 2 3 2 15
( 1 ) + + - × - ； ( 2 ) - × -1；
5 5 8 3 4
52
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
 1 ( 2 ) ( 1 2 ) ( 5 ) ( 7 )
( 3 )- 42÷ - ÷ - ； ( 4 ) - × - ÷ - ；
 3 7  2 3 3 6
37  ( 123 ) ( 5 5 ) ( 5 ) ( 5 )
( 5 ) - -15÷ - ； ( 6 ) - - ÷ - - + .
2  4  4 6  4 6 
提升
1. 计算：
 ( 18 )
( 1 )1-0.2× -3-4× -5.3 ；
 5 
( ) ( )
22 22 4 7 22
( 2 )- × - × ÷ - ；
7 7 3 22 21
( 3 ) { 0.85 -  12 + 4 × (3 - 10 )  } ÷ 5.
2. 计算：
( 1 ) 2 2 + ( - 2 ) 3 × 5 - ( - 0. 28 ) ÷ ( - 2 ) 2；
( )2 ( )2 ( )
( 2 ) ( - 2 ) 3 ×
1
- 3 × ( - 5 ) 2 + -
5
÷ -
1
.
2 6 6
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
1999 年数学家利用大型计算机确定了 2 6 972 593 - 1 是一个质
?
数.你们知道这个数有多大吗？
经过探究可知，当正整数n很大时，2 n - 1的位数约为n × 0. 301，
? 而且已知型号是A4的打印纸的纸面大小为297 mm × 210 mm；录
入数码字时，一个5号数码字所占面积约为3. 6 mm × 5. 2 mm. 请
你算一算，如果每张打印纸都布满数字，需要用多少张A4的打印
? 纸才能把这个巨大的质数打印出来.
53
第一章 有理数x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
1.11
数的近似和科学记数法
1. 数的近似
探 索
用计算器寻求一个正数，使这个正数的平方恰好等于2.
不难发现，我们寻求不到这个正数的精确值，我们发现
1. 4 2 = 1. 96 < 2， 1. 5 2 = 2. 25 > 2；
1. 41 2 = 1. 988 1 < 2， 1. 42 2 = 2. 016 4 > 2；
1. 414 2 = 1. 999 396 < 2， 1. 415 2 = 2. 002 225 > 2；
……
所以，只能寻求到和这个数越来越接近的 1. 4，1. 5 ；1. 41，1. 42 ；1. 414，
1. 415 ；…一组又一组的近似数，我们把和精确值近似的数叫做这个精确值
的一个近似值 .
一般地说，为了更加接近精确值，在各种近似程度上的近似值的最后一位
都是由四舍五入得到的 . 最后一个数字在哪一位，就说它是精确到哪一位的近
似值.
9 1 699
例1 分别求 ， 和 的近似值( 精确到0. 000 1 ).
7 12 20 000
9
解：因为 = 1. 285 714 2…，所以精确到 0. 000 1 的近似值是 1. 285 7，
7
记作
9
≈ 1. 285 7.
7
1
因为 = 0. 083 333…，所以精确到0. 000 1的近似值是0. 083 3，记作
12
1
≈ 0. 083 3.
12
54
数学 七年级 上册
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≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
699
因为 = 0. 034 95，所以精确到0. 000 1的近似值是0. 035 0，记作
20 000
699
≈ 0. 035 0.
20 000 你认为能把末位
的0去掉吗？
练 习
1. 求出下列各数的近似值( 精确到0. 001 )：
5 20
( 1 ) π； ( 2 ) ； ( 3 ) .
7 13
2. 指出下列各近似值分别精确到哪一位：
( 1 ) 2. 780； ( 2 ) 0. 001 2 .
3. 用计算器探求平方数是3的数精确到0. 000 1的近似值.
2. 科学记数法
在日常生活和科学研究中，我们经常遇到数目很大的数. 比如：
( 1 )地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米；
( 2 )我国第六次人口普查人数约为1 370 000 000人；
( 3 )太阳半径约为696 000 000米.
写出和读出这些很大的数都很不方便，常用的计算器也只能显示出 8 到
10位数字，也很难显示这些很大的数.
那么，怎样表示这些数目很大的数呢？我们可以借助科学记数法的形式加
以表示. 比如：
( 1 ) 149 000 000可以表示成1. 49 × 10 8；
( 2 ) 1 370 000 000可以表示成1. 37 × 10 9；
( 3 ) 696 000 000可以表示成6. 96 × 10 8.
观察 1. 49 × 10 8，1. 37 × 10 9，6. 96 × 10 8 这三个用科学记数法表
示的数，它们在形式上有什么共同特点？前一个因数应是怎样的数？
后一个因数应是怎样的数？怎样确定以10为底的幂的指数？
思 考
55
第一章 有理数x+3
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≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
可以看出，科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的，前一个因数是含
有一位整数的小数，后一个因数是以 10 为底的幂，幂的指数是比原数的整数
部分的位数少1的整数.
一般地，一个大于10的数A可以表示成a × 10 n的形式，即有
A = a × 10 n，
其中1 a < 10，n是比A的整数部分的位数少1的正整数.
这种记数方法叫做科学记数法.
例2 用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 12 500； ( 2 ) 35. 92； ( 3 ) 10 000 000.
解：( 1 )12 500 = 1. 25 × 10 4；
( 2 ) 35. 92 = 3. 592 × 10；
( 3 ) 10 000 000 = 1 × 10 7.
例3 用科学记数法表示下列各数：
( 1 )地球与太阳的最远距离为150 000 000千米；
( 2 ) 领陆是指国家主权管辖下的陆地及其底土，是国家领土的基本组成部
分，我国领陆总面积约9 600 000平方千米；
( 3 ) 2004 年 1 月 4 日，“勇气”号火星车经过 206 天的飞行，成功降落在
火星表面，这是人类探索太空的一个伟大创举 . 请以秒为单位写出“勇气”号
在太空飞行的时间( 使用计算器 ) .
解：( 1 ) 1. 5 × 10 8( 千米 )；
( 2 ) 9. 6 × 10 6( 平方千米 )；
( 3 ) 206 × 24 × 60 × 60 = 17 798 400 = 1. 779 84 × 10 7( 秒 ).
使用计算器用科学记数法表示数的方法如下所示：
具体操作 结 果
F L O S C I E N G
A型计算器
17798400 1. 77984 × 10 7
7617798400 17798400
B型计算器
1. 77984 × 10 7
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数学 七年级 上册
数学1章最终.indd 56 2023-6-20 16:13:48yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
练 习
1. 用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 13 500； ( 2 ) 329. 506； ( 3 ) 12. 010 101.
2. 用科学记数法表示下列题目中的数：
( 1 ) 1 000 000 000；
( 2 )青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是2 500 000平方千米；
( 3 )月球表面某一时刻的温度高达127 ℃；
( 4 )以纳米为单位表示0. 873米.
1.12
用计算器做有理数的混合运算
科学计算器的记忆系统有保留中间运算结果的作用，所以在做有理数的混
合运算时，只要依照算式原来的顺序进行操作，就能得到正确的计算结果.
例1 用计算器计算：
( 1 ) - 5. 2 × ( 2. 97 + 1. 63 ) ÷ ( 6. 22 - 3. 62 )；
( 2 ) 2 × 3. 13 × 4. 2 3 - 8. 2 × 1. 6 ( 精确到0. 001 ).
解：( 1 )
具体操作 结 果
5. 2 2. 97 1. 63
A型计算器
6. 22 3. 62
- 9. 2
5. 2 2. 97 1. 63
B型计算器
6. 22 3. 62
∴ - 5. 2 × ( 2. 97 + 1. 63 ) ÷ ( 6. 22- 3. 62 ) = - 9. 2.
57
第一章 有理数
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yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( 2 )
具体操作 结 果
2 3. 13 4. 2 3 8. 2
FLOAT 0123456789
A型计算器 1. 6
450. 671
2 3. 13 4. 2 3 8. 2 1. 6
B型计算器 450. 671
63
∴ 2 × 3. 13 × 4. 2 3 - 8. 2 × 1. 6 ≈ 450. 671.
例2 我们已经知道，光在真空中一年内所走的路程叫做 1 光年 . 据测
定，光在真空中的传播速度约为 300 000 千米 / 秒，请用计算器计算 1 光年相
当于多少千米，并用科学记数法表示出来.
解：300 000 × 365 × 24 × 60 × 60
= 9. 460 8 × 10 12 ( 千米 ) .
答：1光年相当于9. 460 8 × 10 12千米.
探 索
1. 你能设法测出你的数学课本所用的每一张纸的厚度是多少毫
米吗？
2. 把一张这样厚的纸对折起来，沿折痕裁开，再叠摞在一起；然
后把叠起来的两张纸再对折起来，再裁开，再叠摞在一起……想象一下，
如此反复进行20次，你能估计出最后这摞纸的厚度是多少吗？
3. 用计算器算一算这摞纸的厚度是多少，看看你估计的误差有
多大 .
58
数学 七年级 上册
数学1章最终.indd 58 2013-6-4 15:05:11yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
练 习
1. 用计算器计算( 结果精确到0. 1 )：
( 1 ) 26. 3 × 102 + 109 ÷ 0. 8；
( 2 ) ( 23. 2 + 4. 2 ) × 3. 42 - 3. 7；
( 3 ) - 5. 2 × ( 2. 6 - 1. 24 ) + 2. 2 × ( - 1. 6 )；
( 4 ) 6. 23 - ( 4. 26 - 3. 19 ) × ( - 5. 2 )；
( 5 ) 372 ÷ 16 + 42 × 12. 6 .
2. 用计算器计算( 结果精确到0. 01 )：
( 1 ) 5. 43 3 - [ 27. 9 - 5 × ( 4. 37 - 2. 4 ) 5]；
8.2×(3.17-4.27)-2.43
( 2 )
-5.6×(-2.1)5 +213× 3 .
4
3. 某种呢绒布每米69. 23元，请制出一个1 ~ 9米的价格表( 间隔1米，结果精确
到0. 01 ).
习 题 1 - 4
基础
1. 按要求对下列各数取近似值：
( 1 ) 0. 004 23 ( 精确到0. 001 )； ( 2 ) 81. 739 ( 精确到个位 ).
2. 用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 83 500； ( 2 ) 1 044 000 000； ( 3 ) 39 260 000.
3. 利用计算器计算( 结果精确到0. 1 )：
( 1 ) ( 23. 78 - 19. 42 ) ÷ 12. 6 + 32 × 0. 2；
( 2 ) ( 56. 2 - 34. 7 + 21. 8 ) × ( 7. 22 - 3. 64 × 2. 5 )；
( 3 ) ( 96 × 32% ) ÷ ( 25 × 16% )；
( 4 ) [54. 6 × 2. 2 - 4. 2 × ( 3. 73 × 2- 6. 2 × 2. 2 )] × ( - 32 )；
-7.2+4.22 ×(2.7-1.73)
( 5 ) .
24×0.02-(3.2×1.4-45)
59
第一章 有理数x+3
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≥≥--11
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2
4. 某地有4个生产草莓的农户，草莓每千克售价4. 70元. 结算时利用自定义常数键做计
算，请把计算结果填入下面的结算表：
户 别 甲 乙 丙 丁
售出总数/千克 12 560 8 973 9 600 11 525
总金额/元
求售出的草莓总数和4个农户的总收入，并对结果做复核.
5. 大米每千克3. 56元，请制作一张从1千克到20千克的价目表( 间隔为1千克 ).
6. 某年发行的国库券5年期的年利率为2. 63%，下表列出的是5人购买国库券的金额，
请计算并填写5年到期时每人应得到的本金和利息共多少.
( 单位：万元 )
姓 名 李先同 胡 乐 杨 菲 吴 天 常京生
购国库券金额 2. 4 8. 5 4. 9 0. 8 12. 45
5年到期时的本金和利息之和
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
报载，“勇气”号火星探测器经过漫长的 206 昼夜，飞
?
行了 4. 8 亿千米，终于在 2004 年 1 月 4 日北京时间 12 时 35
分成功地登上了火星，开始对火星上可能存在的生命进行搜
寻 . 你可以根据这些资料推算出“勇气”号平均每秒飞行约
?
多少千米吗？
60
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
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文数
阅 读 理 解
化学
我国古代数学家对负数的研究
我们的祖先创造了灿烂的数
学文化，负数的概念和正负数的
运算最早出现在中国 . 2 000 多
年前的战国、秦、汉时代，积累
了很多意义重大的数学成就，其
中就包括了负数的引入，后经西
汉时期许多学者整理增补，形成
刘徽注《九章算术》
了一部不朽的辉煌巨著《九章算
术》. 魏、晋时伟大的数学家刘徽约于263年给《九章算术》作注时，
在“方程”章中明确提出：
“今两算得失相反，要令正负以名之.”
可见远在 1 700 多年前，他已明确地引入了具有相反意义的量，
并提出“正”和“负”的一对术语，沿用至今 .
《九章算术》给出了正负数的加减法法则：
“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之.其异名相除，
同名相益，正无入正之，负无入负之.”
其前四句为减法法则，后四句为加法法则.
到了 1299 年，数学家朱世杰在他撰写的《算学启蒙》中又给出
了正负数的乘法法则：
“同名相乘为正，异名相乘为负.”
这些史实说明，中国古代数学家早已完成了对正负数及其运算
的研究.
61
第一章 有理数x+3
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2
回 顾 与 整 理
知 识
要 点 本章的知识主要是由有理数的概念和有理数的运算两部分
组成 .
1. 为了表示具有相反意义的量的大小，我们引入了负数，从
而使我们对数的认识扩大到有理数.
有理数常用的分类方法有：
正有理数
整数 
( 1 ) ( 2 )0
分数 
负有理数
2. 规定了原点、正方向和单位长度的直线组成数轴，每一个
有理数都能在数轴上确定表示它的点.
数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值，a 的绝
对值表示为 | a | . 正数的绝对值是它自身，负数的绝对值是它的相
反数，0的绝对值仍是0.
a ( a > 0 )，

| a | =0 ( a = 0 )，

- a ( a < 0 ).
3. 绝对值相同而符号相反的两个有理数，其中一个数叫做
另一个数的相反数；一个数的前面放上一个“-”，得到的就是这
个数的相反数，即 - a 是 a 的相反数，- ( - a ) 是 -a 的相反数；
在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两侧，并且到原点的距
离相等 .
4. 在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数
大.两个负数中，绝对值较小的那个数较大.
62
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5. 有理数加法法则：
知 识
要 点 ( 1 )同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加.
( 2 ) 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大
的绝对值减去较小的绝对值；相反数的和为0.
( 3 ) 0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数.
6. 有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
这样，减法可以转化为加法，得到省略加号的代数和，从而
把加减混合运算统一为加法，再做加法运算.
7. 有理数乘法法则：
( 1 )同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘.
( 2 )任何有理数和0相乘都得0.
8. 有理数除法法则：
法则( 一 )：
( 1 )同号两数相除得正，异号两数相除得负，并把绝对值相除.
( 2 ) 0不能做除数，0除以任何不为零的数都得0.
法则 ( 二 )：
某数除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数 .
这样，除法可以转化为乘法，把乘除的混合运算统一为乘法，
再做乘法运算.
9. 有理数的乘方：a n表示n个a相乘，a n叫做a的n次幂.
10. 为使有理数的运算简捷、合理，要注意适时使用运算律
和运算性质，主要的运算律如下.
加法和乘法的交换律：
a + b = b + a， ab = ba；
加法和乘法的结合律：
( a + b ) + c = a + ( b + c )， ( ab ) c = a ( bc )；
乘法对加法的分配律：
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc.
63
(cid:19088)(cid:7524)(cid:19012) (cid:13933)(cid:17258)数x+3
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OO △△AABBCC
2
11. 做有理数的混合运算，应按以下的顺序进行：
知 识
要 点 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；
如有括号，先做括号内的运算；如果有多重括号，那么由里到
外依次进行 .
12. 用科学计算器可以迅速准确地进行有理数的运算.
13. 在生活、工作中，常需要运用近似值 . 要按照指定的精
确度取近似值，对较大的近似值常采用科学记数法.
学 习
指 导
1. 要在和生活广泛联系的基础上理解负数的引入和有理数的
意义，了解相反数和绝对值的意义.
2. 初步建立“数形结合”的思想，掌握画数轴的方法，会运
用数轴研究和处理有关有理数的问题 . 有条件的要掌握用计算机
软件画出数轴来研究问题.
3. 能够运用生活实践经验归纳，并结合主动探究的学习方法
探索有理数运算法则，在理解算理的基础上掌握基本的有理数的
运算技能，会运用运算律，使运算准确、合理、迅速；掌握有关
近似计算的初步知识.
4. 能熟练使用科学计算器进行较复杂的有理数的混合运算，
会熟练使用科学计算器解决学习生活中的计算问题.
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复 习 题
基础
1. 填空：
( 1 )如果一个数的相反数是- 5，那么这个数的倒数是 .
2
( 2 )绝对值等于 的数是 .
3
( 3 )绝对值小于3的所有整数是 .
( 4 )绝对值最小的整数是 ；绝对值最小的负整数是 .
( 5 )互为相反数的两数之和是 ；互为倒数的两数之积是 .
( 6 )如果m为整数，那么以m为第二个数的三个连续整数可表示为 .
( 7 )如果m为任意偶数，那么以m为第二个数的三个连续偶数可表示为 .
( 8 )相反数与它本身相等的数有 个，它们是 ；
绝对值与它本身相等的数有 个，它们是 ；
倒数与它本身相等的数有 个，它们是 .
( 9 )平方数与它本身相等的数有 个，它们是 ；
立方数与它本身相等的数有 个，它们是 .
( 10 ) 与它的绝对值互为相反数， 与它的绝对值的差为零.
( 11 ) 的平方与它的立方互为相反数， 的倒数与它的平方相等.
( 12 )将下列各数分别填在相应的大括号中：
- 5，+ 3，- 0. 2， 1 ，0，- 3 ，- 11，2. 4，72.
2 5
正数：{ }；
负分数：{ }；
非负整数：{ }.
2. 判断题：
( 1 )有理数包括整数和分数； ( )
( 2 )有理数包括正数和负数； ( )
( 3 )如果两个有理数相等，那么它们的绝对值也相等； ( )
( 4 )如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等； ( )
1
( 5 ) a - 3是有理数，它的倒数是- ； ( )
a-3
6 7
( 6 ) - < - ； ( )
7 9
65
第一章 有理数
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OO △△AABBCC
2
2 3
( 7 ) - < - ； ( )
3 4
5 10
( 8 ) - < - ； ( )
6 11
( 9 )零是绝对值最小的有理数； ( )
( 10 )零是最小的正整数. ( )
3. 在数轴上表示下列各数及它们的相反数，并用“ < ”把它们从小到大排列起来：
1
- 3， | - 2 | ， ，- | - 5 | ，0.
5
4. 填表：
2 4
原 数 -
3 3
相反数 0 -0.3
1
倒 数 -1
2
绝对值 0.3
平方数 4
立方数 -125
30 29
5. 比较- 和- 的大小.
31 30
6. 计算：
( 1 ) - 23 + 45； ( 2 ) - 41 + ( - 24 )；
( 3 ) - 15 - 27； ( 4 ) - 58- ( - 18 )；
( 5 ) - 7 × 23； ( 6 ) ( - 12 ) × ( - 11 )；
( 7 ) - 320 ÷ 8； ( 8 ) ( - 64 ) ÷ ( - 14 )；
( )3
2
( 9 ) - ； ( 10 ) ( -2 × 3 ) 2.
3
7. 化简：
−18 -196 -11
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) .
−6 14 121
8. 计算：
( 1 ) - 32 + ( - 47 ) - ( - 25 ) - 24 + 52；
( ) ( )
1 4 7
( 2 ) - + + - + ( - 3 )；
2 3 4
( 3 ) ( - 18. 25 ) + 6. 45 - ( - 3. 75 ) - 4. 35；
66
数学 七年级 上册
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≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( )
13 11
( 4 )- 0.5 +
4
- 2.75 - -
2
- 0.15 .
9. 计算：
( )3
( 1 ) - 2 2 - ( - 3 ) 2 ； ( 2 ) 6 - 5 × -
1
；
2
( 3 ) - 3 - 5 2 ÷ ( - 5 )； ( 4 ) 29 + ( - 5 - 5 2 ÷ 5 )；
( 5 ) - 16 - ( - 3 - 4 2 ÷ 4 )； ( 6 ) - 2 4 - 3 × ( - 1 ) - 3 - ( - 1 ) 4；
( 7 ) - 2 3 × ( - 6 ) - ( - 0. 16 ) ÷ ( - 2 ) 3.
10. 判断下列各式是否成立.
( 1 ) 3 4 = 3 × 4； ( 2 ) 3 4 = 4 3；
( 3 ) - 5 2 = ( - 5 ) 2； ( 4 ) - ( - 7 ) 3 = 7 3；
22 4
( 5 ) = ； ( 6 ) ( - 0. 2 ) 4 = 0. 2 4.
3 9
11. 按要求对下列各数取近似值：
( 1 ) 3. 141 5 ( 精确到0. 01 )；
( 2 ) 0. 004 83 ( 精确到0. 001 )；
( 3 ) 539. 625 ( 精确到个位 ).
12. 用科学记数法表示下列各数：
( 1 ) 610 000； ( 2 ) 811 470 000； ( 3 ) 2 740 000 000.
13. 存折中有650元，取出70元，又存入190元以后，存折中还应有多少元钱？
14. 鹫峰峰顶某日凌晨的气温是- 6 ℃，到中午上升了13 ℃，到午夜又下降了18 ℃，午
夜的气温是多少？
15. 部队组织野营拉练，某班12名战士的个人装备以每人18千克为标准，对装备称重时
超过标准的数量记为正数，不足的数量记为负数，记录如下：
2， 3， - 2.5， 1， - 0.5， - 2，
2.5， - 2， 0.5， - 1， - 1， - 0.5.
问这个班12名战士的个人装备总重多少千克.
提升
1. 计算：
( 1 ) - 3 4 ÷ ( - 27 ) - (- 2)× ( - 4 ) +(- 2) 3 ；
 3 
( ) ( )
5 2 7
( 2 )- × 0.5- ÷ - ；
3 3 6
67
第一章 有理数x+3
y=kx+b m
≥-1
AB⊥CD ⊙
O △ABC
2
( 3 )- 3
2
× 

 - 32 × ( - 2
3
)3 - 2 

；
( 4 )- 28 -
(
- 47
)
×(- 1)8 -
(
- 2
)
÷
(
+ 3
)
；
15  20 5 7 
{ }
( 5 ) - 3 × ( - 0. 1 ) + 4× 1 -  3× 1 -(- 0.1) .
5  5 
2. ( 1 )分别求( - 1 ) 2，( - 1 ) 3，( - 1 ) 4，…，( - 1 ) 10，( - 1 ) 20的值.
( 2 )请归纳一下，当n为 数时，( - 1 ) n = 1；当n为 数时，( - 1 ) n = - 1.
3. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别是x，y，z.
( 1 )表示这个三位数的式子是什么？
( 2 )这个三位数和它的各数位上的数字之和的比怎样表示？
( 3 )这个比的比值最大时是多少？
68
数学 七年级 上册第二章
一元一次方程
本章将在小学学习有关方程知识的基础上，
进一步学习如何用字母表示未知数，如何通过
相等关系列方程，如何解相对比较复杂的方程
等知识，在解决问题的过程中认识并体会方程
的作用，学会运用一元一次方程解决实际问题
的方法．
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2
一 等式和方程
2.1
字母表示数
1. 字母表示数
我们会用字母表示有理数的加法交换律和结合律.
加法交换律：a + b = b + a；
加法结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ).
交 流
请你用字母表示有理数的乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配
律.想一想用字母表示有理数的运算律有什么意义.
由于字母可以表示任意的有理数，所以用含有字母的式子表示运算律就比
较简单明了，可以表示运算律的普遍性.
在数学中，字母和含有字母的式子是主要的研究对象之一，这使我们对数
的研究更具有一般性.
例1 用字母a，b表示下面的数量关系：
( 1 ) a比b小5；
( 2 ) a，b互为相反数；
( 3 ) a与b的2倍相等.
解：( 1 ) a = b - 5；
( 2 ) a = - b或a + b = 0；
( 3 ) a = 2b.
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实 践
1. 某种练习册每本 5. 6 元，请你根据购买练习册的数量计算应付的
金额，填写下表，并进行概括：
购买的数量/本 1 2 3 … n
应付的金额/ 元
2. 观察下面的一列数，找出其中的规律并填空：
0，3，8，15，24，…，那么它的第 10 个数是 ，第 n 个数
是 .
仔细观察可以发现，第2题中这一列数的每一个数都是比它的序号的平方
小1的数. 所以它的第10个数是10 2 - 1 = 99，第n个数是n 2 - 1.
例2 填空：
( 1 ) 每瓶酸奶 3. 5 元，小红买 4 瓶酸奶用了 元；小红买 x 瓶酸奶
用了 元.
( 2 ) 在“手拉手”活动中，甲班捐献图书 m 本，乙班捐献图书 n 本，那么
甲、乙两班一共捐献图书 本.
( 3 ) 据报道，要治理祖国大西北的 1 亩①沙地所需的费用大约是 500 元，
主要用于购买适宜沙地种植的草种以及后期人工护养 . 某中学七年级 ( 1 ) 班有
a 名学生，七年级 ( 2 ) 班有 b 名学生，他们每人都有一个心愿，就是要为祖国
大西北的治沙贡献自己的力量 . 于是他们决定将过年时得到的压岁钱中的一部
分捐献出来用于治沙. 如果平均每人捐献的钱可以治理 1亩沙地，那么他们的
捐款一共可以治理 亩沙地；如果( 1 )班比( 2 )班的人数多，那么( 1 )
班比( 2 )班多捐献了 元.
( 4 ) 如果甲、乙两地相距 100 千米，汽车每小时行驶 v 千米，那么从甲地
到乙地需要 小时.
解：( 1 )小红买4瓶酸奶用了14元，买x瓶酸奶用了3. 5x元；
( 2 )两班共捐献图书( m + n )本；
①1亩 ≈ 666. 7平方米.
71
第二章 一元一次方程
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2
( 3 ) 两班的捐款可以治理沙地 ( a + b ) 亩，七年级 ( 1 ) 班比 ( 2 ) 班多捐献
了500 ( a - b )元；
100
( 4 )从甲地到乙地需要 小时.
v
100
上面问题中得到的5. 6n，n 2 - 1，3. 5x，m + n，a + b，500 ( a - b )， ，…
v
这样的式子，我们称它们为代数式. 单独的一个数或字母也是代数式.
a可以表示哪些数？
交 流
当a表示有理数时， - a一定是负数吗？为什么？
练 习
1. 在跳绳比赛中，李华每分钟跳x个，张明每分钟比李华
多跳12个，那么李华3分钟跳了多少个？张明5分钟
跳了多少个？
2. 如图，圆的直径为d，正方形的边长为a，用字母表示
图中黄色部分的面积.
3. a是有理数，那么3 + a一定大于3 - a吗？为什么？
( 第2题)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
1. 观察下列各式：
?
2 2 3 3
×2 = + 2， ×3 = +3，
1 1 2 2
4 4 5 5
? ×4 = + 4， ×5 = +5，
3 3 4 4
……
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?
想一想：什么样的两个数的积等于这两个数的和？设 n
表示正整数，请你用关于n的等式表示这个规律.
2. 观察下面给出的图形：在有公共边的三角形和正方形
?
的边上有规律地排列一些点 . 请你填空并和同学交流寻找这
些规律的体会.
?
?
每边有2个点， 每边有3个点， 每边有4个点，
图中共有 个点 图中共有 个点 图中共有 个点
?
如果每边有 n 个点，那么共有 个点 ( 用含有
n的式子表示 ).
2. 列代数式
在上面讨论的问题中，我们可以用字母来表示数，并且把问题中涉及的数
量关系用代数式来表示，这就是列代数式.
例3 用代数式表示：
( 1 ) a 的3倍与b的和； ( 2 ) a的一半与b的相反数的和；
( 3 ) a与b两数的平方差； ( 4 ) a与b两数和的平方.
1
解：( 1 ) 3a + b； ( 2 ) a + ( - b )；
2
( 3 ) a 2 - b 2； ( 4 ) ( a + b ) 2.
例4 用语言表述下列代数式的意义：
( 1 )某型号计算器每台x元，那么15x表示 ；
( 2 ) 某校合唱队男生和女生共 45 人，其中男生有 y 人，那么 45 - y 表
示 .
解：( 1 ) 15台计算器的价格；
( 2 )合唱队中女生的人数.
73
第二章 一元一次方程x+3
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2
思 考
代数式3a + b能表示什么意义？
如果 a ( 元 )，b ( 元 ) 分别表示签字笔和圆珠笔的单价，那么 3a + b
表示 3 支签字笔和 1 支圆珠笔的价格；如果 a ( 千克 )，b ( 千克 ) 分别表
示1袋大米和1袋面粉的质量，那么3a + b表示3袋大米和1袋面粉的
总质量……
例5 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：
( 1 )甲数与乙数的和的三分之一；
( 2 )甲数的3倍与乙数的倒数的差；
( 3 )甲、乙两数积的2倍；
( 4 )甲、乙两数的平方和.
解：( 1 ) 1( x + y ) ； ( 2 )3x − 1 ；
3 y
( 3 ) 2xy； ( 4 ) x 2 + y 2.
交 流
列代数式时，在表示方法上要注意什么？
例6 某学校有退休教师 x 人，比在职教师少 21 人 . 教师节前学校组织
慰问活动，请他们参加音乐会 . 学校为退休教师购买 A 级票，为在职教
师购买 B 级票 . 已知音乐会门票的价格是：A 级票每张 100 元，B 级票
每张 80 元 .
( 1 )学校购买音乐会门票的总费用是多少？ ( 用含 x 的代数式表示 )
( 2 ) 如果这所学校有退休教师 11 人，那么学校购买音乐会门票的总费用
是多少？
解：( 1 ) 设该校有退休教师 x 人，那么有在职教师 ( x + 21 ) 人，因此学校
购买音乐会门票的总费用应为[100x + 80 ( x + 21 )] 元；
74
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( 2 )当x = 11时，100x + 80 ( x + 21 ) = 100 × 11 + 80 × ( 11 + 21 ) = 3 660.
因此，学校购买音乐会门票的总费用为3 660元.
在上面的问题中，“学校购买音乐会门票的费用”
是怎样计算出来的？它给你什么启示？
思 考
由于“学校有退休教师 11 人”，就是代数式 [100x + 80 ( x + 21 )] 中的
x = 11，所以只要把 x = 11 代替代数式中的 x 进行计算，就可以得到购票需要
的总费用. 它告诉我们，用具体的数值代替代数式中的字母时，可以求出对应
的代数式的值.
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得
出的结果，叫做代数式的值.
例7 求下列代数式的值：
( 1 ) - 2x - 5，其中x = - 2；
7 5
( 2 )3y + ，其中y = - .
3 2
解：( 1 )当x = - 2时， - 2x - 5 = - 2 × ( - 2 ) - 5 = 4 - 5 = - 1；
( )
5 7 5 7 15 7 31
( 2 )当y = - 时，3y + = 3× - + = - + = - .
2 3 2 3 2 3 6
例8 已知：x = - 2，y = -
5
，求下列代数式的值：
2
( 1 ) ( x + y ) 2；
( 2 ) x 2 + 2xy + y 2.
5
解：当x = - 2，y = - 时：
2
( 1 ) ( x + y )2 =  -2 +
(
- 5
)

2
=
(
- 9
)2
= 81 ；
 2  2 4
( ) ( )2
5 5 81
( 2 ) x 2 + 2xy + y 2 = ( - 2 ) 2 + 2 × ( - 2) × - + - = .
2 2 4
75
第二章 一元一次方程x+3
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练 习
1. 小红和小刚相距2 500米，小红每分钟走x米，小刚比小红每分钟多走4米.如
果他们同时相向而行，那么5分钟后小红、小刚相距多少米？当x = 70时，5
分钟后他们相距多少米？
2. 代数式4x - 3y可以表示什么意义？
3. 求下列代数式的值：
( 1 ) - 3 + 7x，其中x = - 11 ； ( 2 ) 6 x-1，其中x = 11 .
3 5 4
4. 用计算器计算下列代数式的值：
( 1 ) - 2. 78x + 3. 54，其中x = 1. 23；
( 2 ) 1. 33 ( 2. 1x - 7. 15 )，其中x = - 5. 19.
5. 按照给定的计算程序，确定使代数式n ( n + 3 )大于1 500的n的最小正整数
值. 想一想，怎样迅速找到这个n值，请与同学们交流你的体会.
输入n的值
计算n (n + 3)的值
No
>1 500
Yes
输出结果
2.2
同类项与合并同类项
实 践
用代数式表示下面的数量关系：
( 1 ) 长方体的钢坯底面是边长为 a 米的正方形，钢坯的高是 b 米，
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数学 七年级 上册
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9根这样的钢坯的体积是 立方米；
( 2 ) 某生活小区需要圆形污水井盖 17 个，如果每个井盖的价格是 x
元，那么购买这些井盖需要 元；
( 3 ) 张明家的小轿车每百公里耗油 x 升 . 他父亲开车外出前把油箱
的油加到了 60 升，开车行驶了 450 千米后，又在路旁的加油站加了 y
升油，此时轿车的油箱中有 升油 . ( 注：每百公里耗油量是汽
车技术指标的专用名词，即汽车每行驶100千米消耗的汽油的数量 )
思 考
观察上面得到的代数式，它们在结构上有什么特点？其中
9a 2b，17x与60 - 4. 5x + y在式子的结构上有什么区别？
它们各自含有
哪些运算？
9a 2b，17x 都是由数与字母的积组成的代数式 . 像这样，由数与
字母的积组成的代数式叫做单项式 . 单独的一个数或一个字母也是单
项式 .
单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
一个单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数.
60 - 4. 5x + y 是由单项式 60， - 4. 5 x，y 的和组成的代数式 . 像
这样，由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式 . 每个单项式叫做
多项式的项. 其中不含有字母的项叫做常数项. 一个多项式含有几项，
就叫几项式，多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
单项式和多项式统称为整式.
例1 判断下列代数式是单项式还是多项式 . 如果是单项式，请指出它
的系数和次数；如果是多项式，请指出它是几次几项式.
( 1 ) 3x； ( 2 ) - 4x 2 + 2x - 5；
77
第二章 一元一次方程x+3
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2
7
( 3 ) - a3b； ( 4 ) - 3a + y 3.
4
解：( 1 ) 3x是单项式，它的系数是3，次数是1；
( 2 ) - 4x 2 + 2x - 5是多项式，是二次三项式；
( 3 ) - 7 a3b是单项式，它的系数是- 7 ，次数是4；
4 4
单项式中含有哪
( 4 ) - 3a + y 3是多项式，是三次二项式. 些字母，它们的指数
各是什么？
思 考
请你观察下面各组单项式，说出它们的特点：
8 11 3
( 1 ) - 2ab， ab，4ba； ( 2 ) - 7x 2y，- yx2，- yx2，- 7yx 2.
3 3 2
不难看出，第 ( 1 ) 组中的单项式都只含有字母 a 和 b，并且 a 的指
数都是1，b的指数都是1；它们的系数不相同.
第 ( 2 ) 组中的单项式都只含有字母 x 和 y，并且 x 的指数都是 2，y
的指数都是1；它们的系数有的相同，有的不同.
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式
叫做同类项. 几个常数项也是同类项.
如图2 - 1，形状为长方体的钢锭，一面是边长为a米的
正方形，钢锭的长是 b 米 . 如果第一垛有 6 根，第二垛有 10
根，第三垛有15根，那么怎样表示这批钢锭的总体积？
图2 - 1
思 考
78
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我们可以得到两种不同的表示方法：
6a 2b + 10a 2b + 15a 2b或( 6 + 10 + 15 ) a 2b = 31a 2b.
显然，6a 2b + 10a 2b + 15a 2b = ( 6 + 10 + 15 ) a 2b = 31a 2b .
正像生活中同一类的物品可以放在一起一样，几个同类项也可以合并
在一起 . 实际上，把几个同类项合并在一起时，可以逆用乘法对加法的分
配律：
6a 2b + 10a 2b + 15a 2b = ( 6 + 10 + 15 ) a 2b = 31a 2b，
这样我们就把6a 2b + 10a 2b + 15a 2b合并为31a 2b了.
像这样，把几个同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项时，把同类项的系数相加，
所得的结果作为系数，字母和字母的指
数不变.
例2 合并下列各式的同类项：
2 1
( 1 ) 5y - y - 2y； ( 2 ) - x + 4x - x.
3 2
2
解：( 1 ) 5y - y- 2y
3
( 2 ) 7 合并同类项实际上是做什么运算？
= 5- - 2 y = y
3 3
( )
2 7
5- - 2 y == y；
3 3
1
( 2 ) - x + 4x - x
2
( )
1 5
= -1+ 4- x = x
2 2
( )
1 5
-1+ 4- x == x.
2 2
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第二章 一元一次方程x+3
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2
练 习
1. 指出下列各题中的两项是不是同类项. 如果是，请合并同类项；如果不是，
请说明理由.
1
( 1 ) 3a与 - a； ( 2 ) - 2b与 - b；
2
( 3 ) 5xy与 - 2yx； ( 4 ) 4x 2y与 - xy 2.
2. 先合并同类项，再求代数式的值：
2
( 1 ) - x + 3x - 5x，其中x = - ；
3
( 2 ) 3 - 2x + y 2 - x，其中x = - 3，y = 2.
2.3
等式与方程
思 考
我们看到过下面的式子：
5 + ( - 2 ) = 3，m ( a + b ) = ma + mb，
1
S = ( a + b ) h，4 + x = 7，x + 5 = y - 4.
2
请你观察这五个式子.它们有什么共同点和不同点？
这五个式子都是用等号连接的式子 . 像这样用“ = ”来表示相等关
系的式子，叫做等式 . 在等式中，等号的左、右两边的式子，分别叫做
这个等式的左边、右边.
其中，4 + x = 7，x + 5 = y - 4是含有未知数的等式. 我们把含有未知
数的等式叫做方程. 5 + ( - 2 ) = 3是一个算式，m ( a + b ) = ma + mb表示
的是分配律，S = 1( a +b ) h表示的是梯形的面积公式. 当我们把m ( a +
2
b ) = ma + mb，S = 1( a +b ) h中的某些字母看做未知数时，它们也叫做方程.
2
80
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
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练 习
1. 口答 ：下列各式是不是等式？如果是等式，请你指出它的左边和右边各是什么.
2
( 1 ) 5 - 7 = - 2； ( 2 ) x-5= 6+ x； ( 3 ) a + b - c；
3
7
( 4 ) - 3x + 2y - 5； ( 5 )- = 2a - 5； ( 6 ) 2x 2 + x = 1.
4
2. 下列各式中哪些是方程？如果是方程，请你指出未知数是什么.
2
( 1 ) 5 - 12 = - 7； ( 2 )- x+7 = x-3；
13
( 3 ) - 3x + y = 4 - 6x； ( 4 ) 7y - 2( y - 3 ) = 5.
你先估算一下，哪个
探 索 数符合要求.
1 3
这里有 - 3，1，- ，2，0，- 共六个数，其中哪个数能使方程
2 4
4x + 5 = 3的左边和右边的值相等？
( )
1 1
经过检验发现，只有把x = - 代入方程的左边时，4x + 5 = 4 × - + 5 = 3，
2 2
1
方程的右边也等于3，所以可以知道，当x = - 时，方程4x + 5 = 3两边的值
2
1
相等，我们就说- 是方程4x + 5 = 3的解.
2
一般地说，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.只
含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.
求得方程的解的过程，叫做解方程.
思 考
怎样检验一个数是不是给定的方程的解？
81
第二章 一元一次方程x+3
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2
例1 检验下列各数是不是方程2x - 7 = 5x + 1的解：
8
( 1 ) x = - 2； ( 2 ) x = - .
3
解：( 1 )把x = - 2分别代入方程的左、右两边，得
左边 = 2 × ( - 2 ) - 7 = - 4 - 7 = - 11，
右边 = 5 × ( - 2 ) + 1 = - 10 + 1 = - 9. 注意检验过程
的表述方法.
∵ 左边≠右边，
∴ x = - 2不是方程2x - 7 = 5x + 1的解.
8
( 2 )把x = - 分别代入方程的左、右两边，得
3
( )
8 16 37
左边= 2× - -7 = - -7 = - ，
3 3 3
( )
8 40 37
右边= 5× - +1= - +1= - .
3 3 3
∵ 左边=右边，
8
∴ x = - 是方程2x - 7 = 5x + 1的解.
3
例2 用计算器检验下列各数是不是方程5. 4 ( 2x + 8. 56 ) = 5. 94的解：
( 1 ) x = - 4. 16； ( 2 ) x = - 3. 73.
解：( 1 )把x = - 4. 16分别代入方程的左、右两边，得
左边 = 5. 4 × [2 × ( - 4. 16 ) + 8. 56 ] = 1. 296，
右边 = 5. 94.
∵ 左边≠右边，
∴ x = - 4. 16不是方程5. 4 ( 2x + 8. 56 ) = 5. 94的解.
( 2 )把x = - 3. 73分别代入方程的左、右两边，得
左边 = 5. 4 × [2 × ( - 3. 73 ) + 8. 56 ] = 5. 94，
右边 = 5. 94.
∵ 左边 = 右边，
∴ x = - 3. 73是方程5. 4 ( 2x + 8. 56 ) = 5. 94的解.
82
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
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练 习
1. 填空：
4
( 1 )在x = - 2，x = 中， 是方程3x - 5 = - 4x - 1的解；
7
1 3
( 2 )在y = - 1，y = - 中， 是方程5y+3= - y的解.
4 2
2. 检验括号内的数是不是它前面的方程的解：
( 1 ) - 2x + 5 = x - 7 ( x = 4，x = - 4 )；
( 2 ) 2t - ( 1 - t ) = t + 5 ( t = 3，t = - 3 )；
( 3 ) 2. 4 ( 3x - 1. 58 ) = x - 7. 14 ( x = - 0. 54，x = - 0. 48 ) ( 利用计算器检验 ).
2.4
等式的基本性质
实 践
我们在测量物体质量的天平两边放入质量
相同的砝码，并把这种状态想象成一个等式成
立的形式，利用它来研究等式具有什么性质.
( 1 ) 在天平的一边再放入 ( 或取出 ) 一些砝
码，会发生什么现象？怎样做就能使天平恢复
平衡？这说明等式应具有什么性质？
( 2 ) 使天平的一边的砝码的数量扩大到原来
的几倍 ( 或缩小到原来的几分之一 )，会发生什
么现象？怎样做就能使天平恢复平衡？这又说明等式应具有什么性质？
通过上面的实验研究，我们可以归纳出等式具有以下两个基本性质：
等式的基本性质
1. 等式两边都加上( 或减去 )同一个数或整式，所得的等式仍然成立.
2. 等式两边都乘( 或除以 )同一个数( 除数不能是0 )，所得的等式仍然成立.
83
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
我们可以用数学式子表示等式的基本性质：
1. 如果 a = b，c 表示任意的数或整式，那么 a + c = b + c.
2. 如果 a = b，c 表示任意的数，那么 ac = bc ；或如果 a = b，c ≠ 0，
a b
那么 = .
c c
例 用适当的数或式子填空，使得到的结果仍是等式，并说明是根据
等式的哪条基本性质及怎样变形( 改变式子的形状 )的.
( 1 )如果3x = 7 - 5x，那么3x + = 7；
( 2 )如果- 2 x =1，那么x = . 观察等式发生
3
了怎样的变化.
解：( 1 ) 3x + 5x = 7.
根据等式的基本性质1，在等式的两边都加上5x.
33
( 2 ) xx == -- .
22
3
根据等式的基本性质2，在等式的两边同时乘- .
2
练 习
1. 根据等式的基本性质填空：
( 1 )如果a = 3，那么a + 5 = 3 ；
( 2 )如果a = 3，那么a + ( - 6 ) = 3 ；
( 3 )如果x = - 2，那么6x = - 2 ；
( 4 )如果3x = 6，那么x = 6 .
2. 请指出下面各题中的等式是怎样变形的，其变形的根据是什么.
( 1 )如果a - 5 = b - 5，那么a = b；
( 2 )如果x + 5 = 0，那么x = - 5；
1
( 3 )如果 - 8x = 4，那么x = - ；
2
1
( 4 )如果 x = -2，那么x = - 6.
3
84
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
习 题 2 - 1
基础
1. 填空，用代数式表示下面的数量关系：
( 1 )正方形的边长为a，那么它的周长是 ，面积是 ；
( 2 )圆的半径是r，那么它的周长是 ，面积是 ；
( 3 )飞机每小时飞行x千米，飞行了t小时，飞机共飞行了 千米；
( 4 )南刚中学现有学生n人，平均每10人拥有1台计算机，向希望小学捐赠了m台计
算机后，学校还有 台计算机.
2. 右图是工地料场堆放的水泥杆的横截面图，一共有四层，数
一数码放了多少根水泥杆. 这种码放的方式有规律吗？按这
种码放形式，如果有五层时，一共有多少根水泥杆？如果码
放了n层时，一共有多少根水泥杆？
3. 图书馆原有现代文学书a本，古典文学书2a本，科技书x
( 第2题 )
本. 学校举办读书节时，同学们向图书馆捐献了以上三类图
书共5x本，那么图书馆现有这三类图书共多少本？
4. 合并下列各式中的同类项：
4
( 1 ) x+3x-9x+ x； ( 2 ) - ab + 2ba - 5ab；
5
5 1
( 3 ) 4 - x + 4x - 7； ( 4 )x-5x+ x- .
3 2
5. 求下列代数式的值：
4 1
( 1 )2x-5x+ x，其中x = - ；
7 3
2 1
( 2 ) 3ab - 5ba，其中a = ，b = - ；
3 4
( 3 )当x = - 1时，求代数式x 2 - 2x + 1与( x - 1 ) 2的值，并进行比较. 再换几个数试
一试，从中可以得到什么猜想？
6. 设某数为x，根据下列条件列出方程：
7
( 1 )某数的 比5小 - 2；
3
( 2 )某数的3倍与7的差等于5；
( 3 )某数的相反数比2大8；
( 4 )某数的24﹪与36的和等于 - 12.
85
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
7. a + b一定比a - b大吗？为什么？
8. 求下列各代数式的值：
( 1 ) 5a - 7 ( 其中a = - 1 )；
3
( 2 ) - 9 - 3b ( 其中b = - ).
2
9. 如图，正方形的边长为1. 2厘米，计算图中黄色部分的面积.
10. 根据下列条件，列出代数式：
( 1 )七年级( 1 )班有45人，七年级( 2 )班有42人. 在“手拉手”
活动中，他们平均每人捐献图书x本，那么两班各捐献了多
少本图书？
( 第9题 )
( 2 )老王每小时可以加工10个零件，小李每小时比他少加工4个
零件. 工作x小时，他们两人各加工了多少个零件？老王比小李多加工了多少个
零件？
11. 某公司2月份的营业额是m元，如果3月份的营业额比2月份营业额的3倍少400元，
那么该公司3月份的营业额是多少？
12. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，如果个位上的数字是x，那么这个
两位数是多少？
13. 检验下列各题，括号内的哪个数是它前面的方程的解.
( 1 ) - 3x - 5 = 4x + 9 ( x = 4，x = - 2 )；
( 2 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) = 5 ( x = 4，x = - 2 )；
3x+4
( 3 ) = x - 1( x = - 5，x = - 6 )；
2
( 4 ) - 6. 74 + 2. 43x = x - 4. 223 2 ( x = 2. 23，x = 1. 76 ) (利用计算器检验).
提升
1. 如果x - 2y = 3，那么代数式3( x - 2y ) 2 - 4( x - 2y ) - 14的值是多少？
2. 观察下列各式：
1 2 + 1 = 1 × 2，
2 2 + 2 = 2 × 3，
3 2 + 3 = 3 × 4，
……
请你把问题中的规律用关于n ( n 1的整数 )的等式表示出来.
3. 把边长为1的正方形对折n次后，所得的图形面积是多少？
4. 在下面的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数. 如果设中间的一个数为a，那么
这三个数的和是多少( 用含有a的代数式表示 )？
86
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
5. 如果3x my 3与 - 2y nx 2是同类项，那么代数式m - 2n的值是多少？
6. 如果a - b = 3，ab = - 1，求代数式3ab - a + b - 2的值.
7. 请你任意写出根为x = - 2的两个方程来.
*8. 下面的说法正确吗？请你判断并说明理由：
( 1 ) x = 2是方程x 2 - 4 = 0的解；
( 2 )方程( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0的解是x = 2.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
问题1 n边形有多少条对角线？
? 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
请你动手画一画，并填写下表：
多边形 图 形 对角线的条数
?
三边形
四边形
? 五边形
六边形
… …
n边形
通过填表，想一想，多边形对角线的条数与多边形的边数
有什么关系，怎样用含有n的代数式表示多边形对角线的条数.
十五边形有多少条对角线？二十五边形呢？
问题 2 已知一个正方形，它的边长为 a. 试用割补的方法
得到一个新的图形，使它的面积保持不变，但周长增加 . 请你
用代数式表示图形变化n次后得到的新图形的周长.
87
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
实 践
请你按下面的方法进行剪拼，并
剪拼的次数 新长方形的周长
填表：
1
先沿正方形的对边中点连线剪开，
然后对接为一个长方形 ( 如图 2 - 2 )； 2
再沿长方形的对边中点连线剪开，对接
3
为一个新的长方形……如此继续下去 .
4
… …
n
图2 - 2
你能用计算机画出上面图形连续变化的过程来吗？你还能用其他方法得到
满足要求的图形吗？
二 一元一次方程和它的解法
2.5
一元一次方程
前面我们学习了方程的概念，请你观察下面的方程：
1 7
- 4x = ，3- 2y = 6，- +3x =1，2 t +9 =11 t -1，…
2 4
这些方程有什么共同点？
思 考
88
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
我们不难发现，这些方程都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1.
像这样的方程，我们把它们叫做一元一次方程.
在一元一次方程中，mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中 x 是未知数 ) 的方程是一类最简
单的一元一次方程，我们把形如mx = n ( m ≠ 0 )的方程称为最简方程.
思 考
怎样求最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x是未知数 )的解？
我们知道，方程的解可以表示为形如 x = a ( a 为已知数 ) 的形式，
对于最简方程mx = n ( m ≠ 0 )，只需根据等式的基本性质2，在方程的两
n
边同除以m，就可以求出它的解 x = .
m
例1 解下列方程：
( 1 ) 3x = - 5 ； ( 2 ) - 6x = 21；
2 3
( 3 ) x = - 3； ( 4 ) - x = - 6 .
5 2
解：( 1 ) 根据等式的基本性质 2，在方程两边同除以 3，使未知数 x 的系数
化为1，得
5
x = - .
3
5
所以方程3x = - 5的解是x = - .
3
( 2 )根据等式的基本性质2，在方程两边同除以 - 6，使未知数x的系数化
为1，得
7
x = - .
2
7
所以方程 - 6x = 21的解是x = - .
2
2
( 3 ) 根据等式的基本性质 2，在方程两边同除以 ，使未知数 x 的系数化
5
为1，得
89
第二章 一元一次方程
数学2章最终.indd 89 2023-3-22 15:57:37x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
15
x = - .
2
2 15
所以方程 x = -3的解是x = - .
5 2
3
( 4 ) 根据等式的基本性质 2，在方程两边同除以 - ，使未知数 x 的系数
2
化为1，得
x = 4.
3
所以方程- x = - 6的解是x = 4.
2
思 考
解最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x是未知数 )时的主要思
路是什么？解题的关键步骤是什么？
解方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( 其中x是未知数 )时的主要思路是：把未知
数的系数化为 1，把它变形为 x = a 的形式 . 解题的关键步骤是：根据
等式的基本性质 2，在方程的两边都除以未知数的系数 ( 或两边都乘未
知数的系数的倒数 )，使未知数的系数化为 1，得到方程 mx = n ( m ≠ 0 )
n
的解 x = . 条件“m ≠ 0”的存在使得“方程两边都除以未知数的系数”
m
的步骤总可以进行，最简方程mx = n ( m ≠ 0 )一定有唯一的一个解.
练 习
1. 口答：下列方程中，哪些是一元一次方程？
( 1 ) 6 - x 2 = 5x； ( 2 ) - 7x = 3；
( 3 )- 1 x = - 3 - y； ( 4 ) 3 x3 = 2x- 2 .
4 2 7
2. 解下列方程：
( 1 ) 8x = - 6； ( 2 ) - 2x = - 4；
90
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( 3 )- 1 x =3； ( 4 ) 3 x = - 2 ；
4 2 7
( 5 ) - 5x = 0； ( 6 ) 3. 5x = - 14.
现在我们来研究一般的一元一次方程的解法.
例如，怎样求出方程6x + 2 = 4x - 5的解.
思 考
方程6x + 2 = 4x - 5与最简方程mx = n ( m ≠ 0 ) ( x是未知
数 ) 的形式有什么不同？怎样利用等式的基本性质，把方程
6x + 2 = 4x - 5化归为最简方程mx = n ( m ≠ 0 )的形式？
我们只需要利用等式的基本性质，在方程 6x + 2 = 4x - 5 的左、右
两边都加上- 2，化简，得6x = 4x - 7；再在方程6x = 4x - 7的左、右
两边都加上- 4x，化简，得2x = - 7. 这样就把方程6x + 2 = 4x - 5化归
为最简方程2x = - 7了.
思 考
在将方程6x + 2 = 4x - 5化归为最简方程2x = - 7的过程
中，能否得到解方程的一个重要变形？
把方程 6x = 4x - 7 和方程 6x + 2 = 4x - 5进行比较，应用等式的基
本性质1对方程进行变形的过程可以用下面的图示表示：
+ 2从方程左
边移到方程右边发
6x + 2 = 4x - 5，
生了什么变化？
6x = 4x - 5 - 2 .
91
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
这个变形可以看做是把方程左边的 + 2 改变符号后，从方程的左边移到方
4 4 4 4
程的右边.
同样，把方程6x - 4x = - 7和方程6x = 4x - 7进行比较，方程变形的过程
可以用下面的图示表示：
6x = 4x - 7，
4x从方程右边移
6x - 4x = - 7.
到方程左边发生了什
么变化？
这个变形可以看做是把方程右边的 4x 改变符号后，从方程的右边移到方
4 4 4 4
程的左边.
我们把这种变形叫做移项.
移项是解方程时经常用到的一种重要变形.
这样，求方程6x + 2 = 4x - 5的解的过程可以这样写：
解：移项，得
6x - 4x = - 5 - 2.
合并同类项，得
2x = - 7.
把未知数x的系数化为1，得
7
x = - .
2
7
所以，方程6x + 2 = 4x - 5的解是x = - .
2
练 习
1. 口答解下列方程：
( 1 ) x - 5 = 2； ( 2 ) - 2x = 1 - 3x；
( 3 ) 3x = 2x - 7； ( 4 ) - x + 3 = 1.
2. 下列的移项变形是否正确？如果不正确，请你指出错在哪里，并写出正确的变
形过程和结果.
( 1 )由2x - 5 = 7x，得2x - 7x = - 5；
92
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( 2 )由3 - 8x = 5，得8x = 5 - 3；
( 3 )由4x - 1 = 2x + 6，得4x - 2x = 6 - 1；
1 4 1 4
( 4 )由 x-9 = x+3，得 x+ x =9+3.
3 3 3 3
3. 解下列方程：
( 1 ) 9 - 2x = 7 - 5x； ( 2 ) 5y + 1 = 3y - 8；
( 3 ) 5 - 3m = m - 14； ( 4 ) 15t + 9 = 8t - 5.
思 考
观察例 2 给出的方程与我们已经会解的方程在形式上有什
么不同. 怎样把它们转化为已经会解的方程进行求解？
例2 解下列方程：
( 1 ) 5x - ( 3x - 7 ) = 2 + ( 3 - 2x )；
( 2 ) 7y + ( 3y - 5 ) = y - 2( 7 - 3y ).
分析：方程中含有括号，利用运算性质和分配律可以去掉括号，转
化为已经会解的方程.
解：( 1 )去括号，得
5x - 3x + 7 = 2 + 3 - 2x.
移项，得
5x - 3x + 2x = 2 + 3 - 7.
合并同类项，得
4x = - 2.
把未知数x的系数化为1，得
1
x = - .
2
1
所以x = - 是原方程的解.
2
93
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
( 2 )去括号，得
7y + 3y - 5 = y - 14 + 6y.
移项，合并同类项，得
3y = - 9.
把未知数y的系数化为1，得
y = - 3.
所以y = - 3是原方程的解.
上面的解法中用到了去括号法则 . 想一想，去括号
时应注意哪些问题.
思 考
练 习
1. 把下列各式中的括号去掉：
( 1 ) a + ( b + c )； ( 2 ) a - ( b + c )；
( 3 ) m + ( p - q )； ( 4 ) k - ( m - n ).
2. 把下列各式中的括号去掉，并化简：
( 1 ) 2x + ( 4x + 7 )； ( 2 ) 3y - ( 2y + 5 )；
1
( 3 ) m + ( 3 - 2m ) ； ( 4 ) 5x - ( 8x - 3 ).
2
3. 把下列各式中的括号去掉，并化简：
( 1 ) x + 2( 2x + 3 )； ( 2 ) 2y - 4( 2y + 1 )；
2
( 3 )2m+ ( 5 - 3m ) ； ( 4 ) 5x - 3( 2x - 9 ).
3
4. 解方程：
( 1 ) 3( 1 + x ) - 2x = 4； ( 2 ) 2( 1 - x ) + 1 = 4( x + 2 )；
( 3 ) 1 - ( y + 3 ) = 3( y - 2 )； ( 4 ) 3m - 2( m - 1 ) = 2 - 3( 4 - m )．
94
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观察例3给出的方程与前面我们学习过的方程有什么不同. 怎样把它们转
化为我们已经会解的方程？
例3 解方程： 怎样去掉分母？
方程中各分母的最小
3x -5 1- 2x
( 1 ) = ； 公倍数是多少？
2 4
x + 2 2x -1
( 2 ) - =1 .
3 4
分析：给出的方程含有分母，利用等式的基本性质 2，在方程两边同时乘
各分母的最小公倍数，就可以去掉分母，转化为我们已经会解的方程.
解：( 1 )方程两边都乘4，得
3x -5 1- 2x
×4 = ×4 .
2 4
去分母，整理，得
2( 3x - 5 ) = 1 - 2x.
去括号，得
6x - 10 = 1 - 2x.
移项，合并同类项，得
8x = 11.
把未知数x的系数化为1，得
11
x = .
8
11
所以x = 是原方程的解.
8
( 2 )方程两边都乘12，去分母，得
( )
x + 2 2x -1
- ×12 =1×12 .
3 4
4( x + 2 ) - 3( 2x - 1 ) = 12.
去括号，得
4x + 8 - 6x + 3 = 12.
移项，合并同类项，得
- 2x = 1.
把未知数x的系数化为1，得
95
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
1
x = - .
2
1
所以x = - 是原方程的解.
2
1. 去分母的主要依据是什么？方程两边所乘的数是怎样确定的？
2. 去分母时，应该注意哪些问题？
思 考
一般地，对于给出的一元一次方程，我们可以通过去分母、去括号、移项、
合并同类项等变形，化为ax + b = 0 ( a ≠ 0 )的形式，我们把它叫做一元一次方
程的一般形式.
练 习
1. 下面是李阳同学解方程的过程.他的解答是否正确？如果不正确，请你指出错
误的原因，并加以改正.
2-3x x-5
解方程： - =1 .
3 2
解：去分母、去括号，得
4 - 6x - 3x - 5 = 1.
- 9x = 2.
2
∴ x = - .
9
2. 解下列方程：
2x+5 x-7 x-6 2x-3
( 1 ) + = 0； ( 2 ) = ；
2 3 4 3
( 3 )
3x−7
+
x+1
=1； ( 4 )
x+2
-2 =
2x+1
.
2 3 5 3
96
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≥≥--11
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思 考
解一元一次方程的主要思路和主要步骤是什么？
解一元一次方程的主要思路是：利用等式的基本性质对方程进
行变形，逐步把方程化归为最简方程，然后求解.
解一元一次方程的主要步骤
去分母，去括号；
移项、合并同类项，化为最简方程；
把未知数的系数化为1，得到方程的解.
怎样把分母化为整数？
例4 解方程：
2x -0.3
-
x + 0.4
=1 ．
0.5 0.3
分析：我们可以先运用分数的基本性质，把分母化为整数，然后再求解.
20x -3 10x + 4
解：原方程化为 - =1 .
5 3
方程两边都乘15，去分母，得
( 20x -3 10x + 4 )
15× - =15×1 .
5 3
3( 20x - 3 ) - 5( 10x + 4 ) = 15.
去括号，得
60x - 9 - 50x - 20 = 15.
移项，合并同类项，得
10x = 44.
把未知数x的系数化为1，得
x = 4. 4.
所以x = 4. 4是原方程的解.
97
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
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2
例5 在梯形面积公式 S =
1
( a + b ) h中，已知 S = 221 ， a = 15，h = 17，
2
求b的值.
怎样转化为解
解：把S = 221，a = 15，h = 17代入公式中，得 关于b的方程？
1
221= × ( 15 + b ) × 17.
2
解这个关于b的方程，得
b = 11.
∴ b = 11.
在实际问题中，我们可能遇到数值比较复杂的方程，可以借助计算器进行
运算．
例6 利用计算器解方程： 27. 5( 35. 6 - 31. 4x ) = 201. 85.
解：两边同除以27. 5，得
35. 6 - 31. 4x = 7. 34.
移项，得
- 31. 4x = 7. 34 - 35. 6.
化简，得
- 31. 4x = - 28. 26.
把未知数x的系数化为1，得
x = 0. 9．
所以 x = 0. 9是原方程的解．
练 习
x+3 x-0.7 3x 12
1. 解方程： + = + .
0.3 0.2 2 5
2. 在等式y = kx + b中，已知x = - 3，b = 2时，y = - 10，求k的值 .
3. 利用计算器解下列方程：
( 1 ) 45. 9 - 22 ( 36. 7x - 25. 6 ) = 43. 92；
( 2 ) 25. 378 + 41. 5 ( 12. 58x + 55. 1 ) = 2 103. 2.
98
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
探 究 学 习
绝对值方程
我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方
程.如：| x | = 3，| 4x - 5 | = 1，| 2a - 1 | = | 5 + 7a | ，…都是含有绝对值
的方程.
怎样才能求出含有绝对值的方程的解？
以方程| x | = 3和| 4x - 5 | = 1为例来探求解法.
探究思路：
根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，这样就可以将含有
绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解.
探究结论：
1. 解方程| x | = 3.
解：根据绝对值的意义，得x = 3或x = - 3.
2. 解方程| 4x - 5 | = 1.
分析：把4x - 5看做一个整体.
解：根据绝对值的意义，得
4x - 5 = 1或4x - 5 = - 1.
分别解这两个方程，得
3
x = 或x = 1.
2
练 习
*解下列关于x的方程：
( 1 ) | x | - 2 = 0 ； ( 2 ) | 2 x + 5 | = 1；
x-4 1 3x-2
( 3 ) = ； ( 4 ) =3 .
3 2 5
99
第二章 一元一次方程x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
习 题 2 - 2
基础
1. 下面的变形正确吗？如果不正确，请你改正.
( 1 )如果a + b = 3，那么a = 3 - b ；
( 2 )如果3a + 1 = 3，那么3a = 3 + 1 ；
3
( 3 )如果2a = - 3，那么a = ；
2
1
( 4 )如果- a = 4，那么a = - 2.
2
2. 解下列方程：
( 1 ) 2x - 1 = 3； ( 2 ) 4 - 3x = 1 + 5x；
( 3 ) 3x - 1 = 5x + 2； ( 4 ) 3x - 5 = x - 2.
3. 设某数为x，根据下列条件列出方程并求出这个数.
5
( 1 )某数的 比9小 - 2；
4
( 2 )某数的2倍与- 5的差等于6与某数的和；
( 3 )某数的相反数与7的和等于- 3；
( 4 )某数的54﹪与72的差等于- 18.
4. 解下列方程：
( 1 ) 3( 2x - 1 ) = 5x + 2； ( 2 ) 4 - 3x = 1 + 5( x - 3 )；
( 3 ) 3( 2x + 5 ) - 2( x - 2 ) = 7； ( 4 ) 2( x - 1 ) - 3( x + 2 ) = x.
5. 解下列方程：
2x-7 x+1 x-2 x+3
( 1 ) + =1； ( 2 ) = -1；
3 2 5 2
2x-1 3x-5 4x-3 2x-1
( 3 ) - = 2； ( 4 ) - = x .
3 4 5 4
6. 下面解方程的过程是否正确？如果不正确，请你指出错误的原因，并加以改正.
5-x 2x-3
解方程： - =1 .
3 2
解：去分母，得
10 - 2x - 6x - 3 = 1.
- 8x = 8.
x = - 1.
100
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
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7. 解下列方程：
( ) ( )
2 1 3 3 2 3
( 1 ) x- x- =1； ( 2 ) ( x + 2 ) - 2- x = x .
3 2 2 4 3 4
8. 利用计算器解下列方程：
( 1 ) 103. 5 + 47. 5( 25. 3x - 46. 11 ) = - 21. 99 - 12. 8x；
( 2 ) 159. 478 - 11. 3( 12x - 25. 14 ) = 17. 2x - 549. 64.
提升
3x-1
1. ( 1 )当x等于什么数时，代数式2- 的值与2x - 3的值相等？
5
2(2x-3)
( 2 )当x等于什么数时，代数式 +2的值与3x - 1的值相等？
5
2. 已知x，y为有理数，且满足| 2x + 3 | + ( y - 4 ) 2 = 0，试求x，y的值.
*3. 解下列方程：
2x-3 1 x-1
( 1 ) = x-1； ( 2 ) -x =1 .
5 2 3
三 一元一次方程的应用
2.6
列方程解应用问题
问题：为了促进经济的发展，铁
思 考 路运输实施提速 . 如果客车的行驶速
度每小时增加 40 千米，提速后由北京
在行程问题中常
到某地 1 620 千米的路程只需要行驶
常涉及几种量？这些
13小时30分. 那么，提速前客车每小
量之间具有怎样的相
时行驶多少千米？提速前从北京到某
等关系？
地需要多少时间？
101
第二章 一元一次方程x+3
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2
如果设提速前火车每小时行驶 x 千米，那么，提速后火车每小时行驶
( x + 40 ) 千米 . 火车行驶的路程是 1 620 千米，速度是每小时 ( x + 40 ) 千米，
所需时间是13. 5小时.
根据问题的意义，我们可以列出下面的方程：
1 620
13.5 × ( x + 40 ) = 1 620，x + 40 = ，…
13.5
解其中任何一个方程，可以得到
x = 80.
1 620 ÷ 80 = 20. 25( 小时 ) = 20小时15分.
因此提速前火车的速度是每小时 80 千米，从北京到某地需要 20 小时
15 分 .
运用列一元一次方程的方法，可以解决一些生活中的实际问题.
例1 甲班有 45 人，乙班有 39 人 . 现在需要从甲、乙两班各抽调一些
同学去参加歌咏比赛 . 如果从甲班抽调的人数比乙班多 1 人，那么甲班剩余
人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍 . 请问从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌
咏比赛？
分析：在问题中有这样的相等关系：
( 1 ) 甲班抽调的人数比乙班抽调的人数多1人；
( 2 ) 抽调后甲班剩余人数是乙班剩余人数的2倍.
如果设从甲班抽调的人数为 x 人，那么从乙班抽调的人数为 ( x - 1 ) 人，
我们列表来分析问题中的数量关系：
抽调后剩余的 甲、乙两班剩余人数
抽调的人数/人
人数/人 之间的关系
甲 班 x 45 - x
抽调后甲班剩余人数是
乙班剩余人数的2倍
乙 班 x - 1 39 - ( x - 1 )
解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了 ( x - 1 ) 人 . 根据题意列
方程，得
45 - x = 2[39 - ( x - 1 )].
102
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解这个方程，得
x = 35.
x - 1 = 35 - 1 = 34.
答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人.
例2 为了美化校园，实验中学和远大中学的同学积极参加绿化工程的
劳动 . 两校共绿化了 4 415 平方米的土地，远大中学绿化面积比实验中学绿化
面积的2倍少13平方米. 这两所中学分别绿化了多少平方米的土地？
解：设实验中学绿化了x平方米，那么远大中学绿化了( 2x - 13 )平方米.
根据题意列方程，得
x + ( 2x - 13 ) = 4 415.
解这个方程，得
x = 1 476.
4 415 - 1 476 = 2 939.
答：实验中学绿化了1 476平方米，远大中学绿化了2 939平方米.
例3 出租汽车4千米起价10元，行驶4千米以后，每千米收费1. 2元( 不
足 1 千米按 1 千米计算 ). 王明和李红要到离学校 15 千米的博物馆为同学们联
系参观事宜. 为了尽快到达博物馆，他们想乘坐出租汽车. 如果他们只有22元，
那么，他们乘坐出租汽车能直接到达博物馆吗( 不计等候时间 )？
分析：出租汽车的收费是分段进行的，在开始的 4 千米内，收费 10 元，
以后每千米收费 1. 2 元 . 我们可以先求用 22 元能乘坐出租汽车行驶多少千米，
然后与15千米进行比较 .
解：设用22元能乘坐x千米. 根据题意列方程，得
10 + 1. 2( x - 4 ) = 22.
解这个方程，得 还有其他的思路来
解决这个问题吗？
x = 14.
由于14 < 15，所以王明和李红不能直接到达博物馆.
练 习
1. 3月12日是植树节，七年级170名学生去参加义务植树活动. 如果男生平均每
103
(cid:19088)(cid:7664)(cid:19012) 一(cid:8359)一(cid:14981)(cid:13597)(cid:18799)x+3
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2
人一天能挖树坑3个，女生平均每人一天能种树7棵，这样正好使每个树坑都
能种上一棵树. 请问该年级的男、女学生各有多少人？
2. 某地的出租车收费标准是：起步价10元( 即行驶距离不超过4千米都需付10
元 )，超过4千米以后，每增加1千米加收1. 2元( 不足1千米按1千米计算 ).
某人乘这种出租车下车时交付了16元车费，那么他搭乘出租车最多走了多少
千米( 不计等候时间 )？
3. 某河流的上游有一片土地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场.改变后，
林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20﹪. 请问退牧还林后林场
的面积是多少公顷？
4. 光明中学现有校舍面积20 000平方米. 为改善办学条件，计划拆除部分旧校舍，
建造新校舍，使新校舍面积是拆除旧校舍面积的3倍还多1 000 平方米. 这样，
计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20﹪. 已知拆除旧校舍每平方
米需费用80元，建造新校舍每平方米需费用700元，请问完成该计划需要多
少费用？
我们常到商场购买东西，在那里我们可
以发现一些能利用方程来解决的问题.
为了搞活经济，许多商场都在搞促销
活动，部分商品在打折销售 . 小明和同学一
起来到一家商场进行社会调查，对有关商
品的销售情况进行了解，他们收集了下面
的问题 .
例4 某商场把一个双肩背的书包按
进价提高 50﹪ 标价，然后再按 8 折 ( 标价的 80﹪ ) 出售，这样商场每卖出一个
书包就可盈利8元. 请问这种书包的进价是多少元？如果按6折出售，商场还
盈利吗？为什么？
分析：这个问题中涉及了哪些数量关系？请你按下面的思路进行分析.
如果每个书包进价为 x 元，那么每个书包标价应为 元；打 8 折
后每个书包的实际售价为 元.
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数学 七年级 上册
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在这个问题中的相等关系是：
实际售价 - 进价 = 利润.
解：根据题意列方程，得
( 1 + 50﹪ ) x × 80﹪ - x = 8.
解这个方程，得
x = 40.
如果按6折出售，那么40( 1 + 50﹪ ) × 60﹪ = 36 < 40，所以按6折出售时
商场不盈利.
答：这种书包的进价是40元，按6折出售时，商场不盈利.
思 考
通过以上的研究，思考一下利用一元一次方程解决实际问
题的一般步骤是什么.
分析问题所涉及
实际问题 数学问题
的相等关系
验证解的合理性，
求出方程的解 列出方程
并对解作出解释
列方程解应用题的主要步骤
认真读题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的相等关系；
设出未知数，用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系；
根据相等关系列出方程；
求出所列方程的解；
检验方程的解是否符合问题的实际意义；
写出答案.
105
第二章 一元一次方程
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2
练 习
1. 某商场搞促销活动，把一种标价33元的商品打9折出售( 即优惠10﹪ )，仍可
获取利润10﹪，那么这种商品的进价是多少？
2. 为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划经过28年改
造420平方千米的土地. 在实际施工中，如果平均每年比原计划多开发6平方
千米，那么预计可提前多少年完成开发任务？
“整存整取”是“定期存款”这种储蓄方式中常见的储蓄方法，它主要涉
及本金、存期、年利率、利息总额、本利和等几个有关的数量. 这些数量之间
的基本关系式是：
利息总额 = 本金 × 存期 × 年利率，
本利和 = 本金 + 利息总额.
例如，银行“整存整取”的 5 年期定期储蓄的年利率是 5. 50﹪. 如果小明
存入 5 年期储蓄定期的本金是 1 000 元，那么可以直接进行计算得到小明应得
的本利和为：
1 000 + 1 000 × 5 × 5. 50﹪ = 1 275 ( 元 ).
例5 银行规定：人民币“整存整取”1年期定期储蓄的年利率为3. 50﹪，
3 年期定期储蓄的年利率为 5. 00﹪．某储户到银行存入“整存整取”1 年期定
期储蓄和 3 年期定期储蓄共 10 万元人民币，两种储蓄各自到期后，他共得利
息8 100元人民币．求该储户办理的1年期定期储蓄存入的人民币为多少万元．
分析：( 1 ) 在储蓄中本金、存期、年利率、利息总额之间具有下面的相等
关系：
利息总额=本金 × 存期 × 年利率；
( 2 ) 利用“1 年期定期储蓄存款利息 + 3 年期定期储蓄存款利息 = 应得利
息”，列方程求解．
解：设该储户办理的 1 年期定期储蓄存入的人民币为 x 万元，那么他办理
的3年期定期储蓄存入的人民币为( 10 - x )万元．
根据题意列方程，得
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数学 七年级 上册
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3. 50﹪·x + 3 × 5. 00﹪ ( 10 - x ) = 0. 81.
解这个方程，得
x = 6．
答：该储户办理的1年期定期储蓄存入的人民币为6万元．
练 习
某储户将一笔人民币若干元存入银行，先办理“整存整取”的3年期定期储蓄，
到期后，将本金和利息全部取出，然后将它们再存入银行，又办理“整存整取”
的3年期定期储蓄．已知该储户第二个3年期定期储蓄到期后所得的利息为1 725
元，又银行规定的人民币“整存整取”3年期定期储蓄的年利率为5. 00﹪．现在
假定在这段时间里银行利率保持不变，求该储户在办理第一个3年期定期储蓄时
存入的这笔人民币有多少元．
例6 一项工程，甲队单独施工 15 天完成，乙队单独施工 9 天完成 . 现
在由甲队先工作3天，剩下的由甲、乙两队合作，还需几天才能完成任务？
分析： 本题涉及工作总量、工作效率、工作时间三个量之间的关系.
它们之间的相等关系是：
工作总量
工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 工作效率= .
工作时间
一般情况下，当工作总量没有明确给出时，常常把工作总量设为1.
本题中的相等关系是：
甲队3天的工作量 + 甲、乙两队合作若干天的工作量 = 工作总量.
解：设还需x天才能完成任务. 根据题意列方程，得
( )
3 1 1
+ + x =1 .
15 15 9
解这个方程，得
x = 4. 5.
答：甲、乙两队合作还需要4. 5天才能完成任务.
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第二章 一元一次方程x+3
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2
练 习
1. 甲、乙两人共同加工840个零件，预计8天完成. 如果甲每天比乙多加工5个
零件，那么，甲、乙两人每天各加工多少个零件？
2. 打印一份文件，甲单独完成要4小时，乙单独完成要6小时.如果甲、乙两人
合作完成，需要多少小时？
例7 某中学的学生以 4 千米 / 时的速度步行去某地参加社会公益活
动 . 出发 30 分钟后，学校派一名通信员骑自行车以 12 千米 / 时的速度去追赶
队伍.请问通信员用多少时间可以追上队伍.
分析：根据题意，画出示意图：
通信员出发后队伍
学生步行30分钟所走的路程 行走的路程
通信员追赶队伍所走的路程
学校 追及地点
并有如下的相等关系：学生步行 30 分钟所走的路程 + 通信员出发后队伍
行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程.
解：设通信员用x小时可以追上队伍，据题意列方程，得
1
4x + 4× =12x .
2
列方程时要注意
解这个方程，得
统一单位.
1
x = .
4
1
小时= 15分.
4
答：通信员用15分钟可以追上队伍.
108
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练 习
1. 要铺设一条650米长的地下管道，由甲、乙两个工程队从两头相向施工.甲队
每天铺设48米，乙队每天比甲队多铺设22米，而乙队比甲队晚开工1天.问
乙队开工多少天后，两队完成铺路任务的80﹪.
2. A，B两地相距15千米，甲每小时行走5千米，乙每小时行走4千米.甲、乙
两人分别从A，B两地出发，背向而行，请问几小时后，两人相距60千米？
3. 甲、乙两个车站相距240千米，一列货车从甲站开出，每小时行驶48千米，
一列客车从乙站开出，每小时行驶72千米.
( 1 )两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？
( 2 )货车从甲站开出1小时后，客车从乙站开出，两车同向行驶，几小时后客
车可以追上货车？
有趣的古代数学问题举例.
例8 鸡兔同笼，共有头26，足72，问鸡、兔各几何.
解法1：设笼中有x只鸡，那么兔子有( 26 - x )只.
根据题意列方程，得
2x + 4( 26 - x ) = 72.
解这个方程，得
x = 16.
26 - x = 26 - 16 = 10.
答：笼中有16只鸡，10只兔子.
解法2：根据题意，得
26 × 4 - 72 = 32.
32 ÷ ( 4 - 2 ) = 16.
26 - 16 = 10.
答：笼中有16只鸡，10只兔子.
请你比较一下这两种解法有什么不同，并与同学们交流你的看法.
我们还可以用计算机来解决这类问题. 计算程序如下：
109
第二章 一元一次方程
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2
输入整数x
Yes
如果2x + 4( 26 - x ) = 72 停止
No 怎样选择初始
如果2x + 4( 26 - x ) > 72，那么输入x + 1；
时输入的x的值？
如果2x + 4( 26 - x ) < 72，那么输入x - 1
思 考
练 习
1. 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数、物价各几何. ( 几个人
一起去购买物品，如果每人出 8 钱 ①，那么剩余 3 钱；如果每人出 7 钱，那
么差4钱.问有多少人，物品的价格是多少 )
2. 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷 ②，价钱一万. 问善田、
恶田各几何. ( 用300钱可以买1亩良田，用500钱可以买7亩薄田. 现在用
10 000钱买了1顷土地，问良田、薄田各买了多少亩 ) ③
习 题 2 - 3
基础
1. 如图，小区规划在一个长56米、宽26米 A D
的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，
使其中两条与AB平行，另一条与BC平行，
场地的其余部分种草，并使每一块草坪的
面积相等. 如果甬道的宽度为2米，求每
一块草坪的面积是多少平方米.
B C
(第1题)
①“ 钱”为古代货币单位.
②1顷= 100亩.
③以上两题摘自《九章算术》.
110
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2. 为保护环境，某校环保小组成员小明积极收集废电池.第一天收集1号电池4节，5号
电池5节，总质量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量为240克.
( 1 )求1号和5号电池每节分别重多少克.
( 2 )学校环保小组为估算4月份收集废电池的总质量，他们随意抽取了该月某5天每
天收集废电池的数量，如下表：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
1号废电池的数量/节 29 30 32 28 31
5号废电池的数量/节 51 53 47 49 50
根据此表请你估算一下这个月 ( 按 30 天计算 ) 环保小组收集废电池的总质量是
多少千克.
1
3. 某新华书店原有图书若干本，第一天售出总数的 ，第二天运进900本图书，第三天
2
1
售出现有图书的 还多40本，结果书店还有800本图书. 请问书店原有图书多少本？
3
3
4. 一桶油连桶重11千克，把油倒出 后，剩余的油和桶共重3. 5千克，请问这桶油重多
4
少千克，桶重多少千克？
5. 如果两个角的度数之和为146°，它们的差为82°，求这两个角的度数.
6. 学校购买了若干台计算机，如果每个计算机教室安装40台，还缺15台；如果每个计
算机教室安装35台，还多20台.问：学校购买了多少台计算机？学校有多少个计算
机教室？请你为学校设计一个方案，使购买的计算机都安装上.
7. 一块长方形菜地，长40米，宽35米，种植黄瓜和西红柿. 如果种植黄瓜的面积比种
植西红柿的面积大80%，那么种植黄瓜、西红柿各占多少平方米？
5
8. 印刷厂把装订一批图书的任务，平均分给甲、乙两个小组.当甲组完成自己任务的 时，
6
3
乙组刚完成 ，这时甲组比乙组多装订126本. 这批图书一共有多少本？
4
9. 工厂计划交给王刚和李明生产一批零件的任务，王刚单独做要用9小时，李明单独做
要用12小时. 两人合作了8小时，结果比计划多生产200个. 请问计划生产多少个
零件？
10. 一列和谐号列车和一列复兴号列车同时从相距1 200千米的两城市相对开出，2小时
3
后两列车还相距100千米，已知复兴号列车的速度比和谐号列车的速度快 ，求和谐
4
号列车、复兴号列车的速度各是多少.
111
第二章 一元一次方程
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2
11. 某地要进行一项工程的改造，甲工程队单独施工需要8个月完成，乙工程队单独施工
需要12个月完成. 现在由于工程的原因，由甲工程队先单独施工1个月，乙工程队
接着单独施工3个月后，剩下的部分由甲、乙两个工程队合作完成，这样完成这项工
程一共用了多长时间？
提升
1. 某人从甲地到乙地，如果每小时走15千米，就能比预计时间早24分钟，如果每小时
走12千米，就要晚24分钟，问甲、乙两地相距多少千米？
2. 某商品的进价为800元，出售时标价为1 200元. 后来由于该商品积压，商店准备打
折出售，但要保持利润率不低于5﹪，最多打几折？
3. 某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为520元，本季度销售了m件. 为
进一步扩大市场，该企业决定在降价销售的同时降低生产的成本. 经过市场调研，预
测下季度如果这种产品每件销售价降低5﹪，销售量将提高20﹪. 要使销售利润( 销售
利润 = 销售价 - 成本价 )保持不变，该产品每件的成本价应该降低多少元？
112
数学 七年级 上册
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≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
文数
阅 读 理 解
化学
“方程”名称的来源
“方程”名称出自中国古代数学中最重要的数学著作《九章算
术》. 《 九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了 246 个问题，
分为九章，其中的第八章叫“方程”章，“方程”一词就源于这里. 不
过，古今“方程”一词的含义很不相同 . 现在，我们把含有未知数
的等式叫方程 .古时候，“方程”是一些由数字排列成的长方形方阵，
大体上相当于现在的一次方程组.
“方程”章的第 1 题是一个被许多数学家经常引用的题目 . 用现
代语言叙述就是：
今有上等禾 3 捆，中等禾 2 捆，下等禾 1 捆，打下来的粮食共
39斗①；上等禾2捆，中等禾3捆，下等禾1捆，打下来的粮食共34斗；
上等禾1捆，中等禾2捆，下等禾3捆，打下来的粮食共26斗. 问上、
中、下三等禾每捆各打多少斗粮食？
如果用现代的数学方法来解决，就是设上、中、下三等禾每捆
打下来的粮食分别可以是x，y，z斗，根据题意列方程组，得
3x + 2y + z = 39，

2x + 3y + z = 34，

x + 2y + 3z = 26.
古时候，未知数不是用字母表示的，是用“算筹”来代替的.“算
筹”是用竹子或动物骨骼等制成的同样长短的小棍 . 可以把它们排
成各种形状用来代表数，如图2 - 3 .
① 古代容积单位，1斗= 10升.
113
第二章 一元一次方程
数学2章最终.indd 113 2023-3-22 15:58:03x+3
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≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
纵式
横式
1 2 3 4 5 6 7 8 9
图2 - 3
解决上面的问题时，首先用算筹把各个未知数的系数和常数项
排列成方阵，如图2 - 4 .
上等禾
中等禾
下等禾
打下来
的粮食
图2 - 4
从上往下看，右列相当于方程组中的第一个方程，中列相当于
第二个方程，左列相当于第三个方程 . 把算筹这样摆好后，就叫做
列了一个“方程”.
在《九章算术》中已将上面用算筹数码布列
1 2 3
的方程换作用阿拉伯数码布列（如图 2 - 5），这
2 3 2
就是“方程”这一名称的来源 . 特别需要指出的
3 1 1
是，针对这个问题《九章算术》还给出了一种相
26 34 39
当规范的解法，从而非常完美地解决了这个问
题 . 这种解法在《九章算术》中称之为方程术，《九 图2 - 5
章算术》方程术是世界数学史上的一颗明珠.
114
数学 七年级 上册
数学2章最终.indd 114 2023-3-22 15:58:03yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
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回 顾 与 整 理
知 识 本章学习的知识主要有：用字母表示数、代数式和代数式的
要 点 值、同类项、等式的基本性质、方程的有关概念、一元一次方程
的解法和一元一次方程的应用等.
1. 主要的基本概念和性质.
( 1 )代数式的值.
用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计
算得出的结果，叫做代数式的值.
( 2 )方程.
含有未知数的等式叫做方程.
任何一个一元一次方程，经过整理都可以化为 ax + b = 0 ( 其
中 a ≠ 0 ) 的形式 . 我们把只含有一个未知数，未知数的次数是 1，
系数不等于0的方程，叫做一元一次方程.
使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
求方程的解的过程叫做解方程.
解方程的主要依据是等式的基本性质和运算律.
( 3 )等式的基本性质.
① 在等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个数或整式，所得的
等式仍然成立.
② 在等式的两边都乘 ( 或除以 ) 同一个数 ( 除数不能是 0 )，
所得的等式仍然成立.
2. 最简方程 mx = n ( m ≠ 0 ) 是最简单的一元一次方程，应
用等式的基本性质 2，可以把它的系数化为 1，从而得到方程的
n
解 x = .
m
3. 解一元一次方程的过程就是通过去分母、去括号、移项、
合并同类项等变形，把一个一元一次方程转化为mx = n ( m ≠ 0 )的
形式再求解的过程.
4. 列方程解应用题的过程是把实际问题转化为数学问题的
过程 .
115
第二章 一元一次方程x+3
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2
1. 用字母表示数体现了特殊与一般的辩证关系.
学 习 特殊与一般是一个重要的辩证关系，在学习数学中有广泛的
指 导
应用 . 当用字母表示数时，代数式体现了问题的广泛性和一般性；
当代数式中的字母代表特定的数值时，它反映了问题的特殊性.代
数式与代数式的值恰是这样的辩证关系的一种体现.
2. 在学习一元一次方程的概念时，运用了对比、归纳、概括
的学习方法.
对问题进行分类，进行对比、归纳、概括是认识问题的基本
方法，学习这种方法有助于发展我们的思维，提高我们解决问题
的能力.
3. 等式的基本性质是通过实验的方法得到的.
数学的发现往往离不开数学实验. 在数学实验中，观察、发现、
猜想是研究问题的重要过程 . 因此要注意在数学实验中培养自己
的观察能力，要学会比较，要善于发现问题，进行合理的猜想. 数
学猜想需要经过论证才能确定猜想的正确性，但是有时由于我们
的知识基础、生活经验的局限，论证要在适当的时候进行.
4. 学习一元一次方程的解法是运用了化归的方法.
我们首先研究了最简方程——mx = n ( m ≠ 0 )的解法. 对于比
较复杂的一元一次方程，可以运用去分母、去括号、移项、合并
同类项等变形，逐步将复杂的一元一次方程化归为最简方程求解.
研究数学问题常常是由简单到复杂、由特殊到一般、由具体
到抽象去分析解决的，这种研究问题的方法符合人们的认识规律，
在今后的学习中我们还会继续运用这种方法来解决问题.
5. 学习数学重在应用.
本章学习的一元一次方程是解决实际问题的一种工具，通过
列方程解决某些问题也是数学的一种基本方法.
建立方程的过程，实际是学习用数学的语言——符号语言、
图形语言等来表示相等关系的过程，要在学习中学会选择恰当合
理的方式去分析问题和解决问题 . 在学习中要注意理论联系实际，
努力培养应用数学的意识，提高分析问题、解决问题的能力.
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复 习 题
基础
1. 解下列方程：
( 1 ) 3x - 2 = 3( 4x - 5 )； ( 2 ) 2. 4y - 3. 12 = 1. 2( y + 4. 1 )；
2x-5 3x+1 2x+3 x-7
( 3 ) - =1； ( 4 ) - =5 .
6 2 0.2 0.5
2. 当k为何值时，关于x的方程( k - 2 )x - 8 = x - 1的解是- 2？
3. 已知代数式8x - 7的值与代数式6 - 2x的值互为相反数，求x的值.
4. 某工地有两个工程队施工，甲队60人，乙队80人. 现在从两个队各调若干人到第二
个工地协助施工，其余的人仍在原工地继续施工. 如果乙队调出人数是甲队调出人数
的3倍，甲队所剩人数是乙队所剩人数的2倍，问两队共调到第二个工地多少人？
5. 黄豆发成豆芽后，质量可以增加7. 5倍. 要得到3 400千克这样的豆芽，需要多少千克
黄豆？
6. 某人从甲地去乙地，第一天走了全程的一半还少20千米，第二天走了剩下的一半多
20千米，这时还剩50千米的路程. 问甲、乙两地相距多少千米？
7. 一个人骑车从甲地到乙地原计划3小时到达，但因身体不适，只得放慢速度，平均每
小时比原计划少走3千米，结果4小时到达，问原计划的速度是多少？
8. 一客车从甲站开往乙站，1小时30分后，一快车也从甲站开出，当客车开出15小时后，
快车不仅追上客车，而且超过客车15千米. 已知客车每小时比快车少行10千米，求
两车的速度.
9. 要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成任
务. 已知甲每小时比乙多加工2个零件，问甲、乙每小时各加工多少个零件？
提升
3
1. 已知x = 是关于x的方程4( x - 3a ) + 3 = 1 - 7a的解，求a的值.
2
2. 在一条公路上有相距650千米的甲、乙两个车站. 吉普车从甲站
开出，每小时行驶52千米；小轿车从乙站开出，每小时行驶78
k
千米. 两车同时开出，经过多少小时两车的距离为130千米？( 提
示：要讨论行驶方向及两车的位置 )
3. 将九个正整数分别填入右图中的九个小方格中，使每行、每列、
(第3题)
117
第二章 一元一次方程
数学2章最终.indd 117 2023-3-22 15:58:06x+3
y=kx+b m
≥-1
AB⊥CD ⊙
O △ABC
2
两条对角线上的三个数之和均相等. 设这九个正整数之和为S，中间方格中所填的数
是k，那么S是k的几倍？
4. 某学校七年级( 1 )班学生用班费向某出版社邮购50本数学课外读物，每本书定价为7. 50
元.出版社规定：邮购10本以下( 包括10本 )需另加邮购费3元；邮购10本以上( 不
包括10本 )需加书价15﹪的邮购费. 在邮局汇款时，每100元汇款需付汇费1元；汇
款不足100元时，按100元汇款付汇费.
班委会讨论了两种不同的邮购方案：方案一是每次邮购10本，分5次邮购；方案二是
一次性邮购50本. 请你考虑采用哪种方案邮购更省钱，为什么？
118
数学 七年级 上册
数学2章最终.indd 118 2023-3-22 15:58:06第三章
简单的几何图形
北京市于 2008 年成功举办了奥运会，极大
地振奋了我国的民族精神，首都人民在中华世
纪坛燃放礼花进行庆祝 .你仔细观察过礼花运动
形成的美丽曲线吗？
在科研、生产及日常生活中，我们会遇到
各种各样的图形 . 千姿百态的图形装点着我们
的生活空间 . 在这一章里，我们将学习几种简
单的图形.x+3
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2
一 对图形的认识
3.1
平面图形与立体图形
立式空调 “长征”二号F遥十五 卢浮宫入口处建筑 民族团结柱
运载火箭
图3 - 1
请看图3 - 1，我们可以从中抽象出图3 - 2中的哪些图形？
长方体 四棱锥 圆柱 圆锥
图3 - 2
长方体、四棱锥的侧面，圆柱、圆锥的底面分别是图3 - 3中的哪种图形？
长方形 圆 三角形
图3 - 3
图3 - 2中的图形都是立体图形，而图3 - 3中的图形都是平面图形.
120
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
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练 习
1. 举一个立体图形的实例.
2. 举一个平面图形的实例.
3.2
某些立体图形的展开图
某些特殊形状的立体图形是由若干个平面图形围成的，我们可以把它展开
成平面图形.
图 3 - 4 是一个装药的纸盒，它是一个立体图形，共有六个面，每个面都
是长方形. 我们可以将它展开成图3 - 5的形状.
顶面
左面 正面 右面
底面
背面
图3 - 4 图3 - 5
图 3 - 6 是一个圆柱形的饮料筒，将它的侧面及上、下两个底面展开后，
可以得到图3 - 7的形状.
(cid:7047)(cid:7015)
(cid:927)(cid:7015)
(cid:2309)(cid:7015)
图3 - 6 图3 - 7
121
(cid:19088)(cid:7533)(cid:19012) (cid:19172)(cid:8889)(cid:17896)(cid:8516)(cid:7865)图(cid:11974)
数学3章.indd 121 2023-3-22 15:53:39x+3
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2
图 3 - 8 是一个蛋筒冰淇淋，蛋筒部分可以看做是一个圆锥，它的侧面展
开后可以得到图3 - 9的形状.
侧面
图3 - 8 图3 - 9
探 索
1. 在图3 - 10的三个图形中，哪些是正方体纸盒展开后得到的图形？
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
图3 - 10
2. 在图 3 - 11 的三个图形中，哪些是由三棱柱纸盒展开后得到的
图形？
三棱柱纸盒 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
图3 - 11
3.3
从不同方向观察立体图形
如果我们从不同的方向去观察一个立体图形，得到的平面图形可能是不一
样的 . 如果我们从正面、上面、左面三个方向去观察某种玻璃容器，得到三个
122
数学 七年级 上册
数学3章.indd 122 2013-4-18 9:19:06yy==kkxx++bb mm
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平面图形( 图3 - 12 ) . 你能想象出实物是什么样的吗？
从正面看 从上面看 从左面看
图3 - 12
探 索
1. 图 3 - 13 是一个长方体，如果从正面、上面、左面三个不同的
方向去观察它，分别得到什么样的平面图形？
图3 - 13 图3 - 14
2. 图 3 - 14 是一个圆柱体，如果从正面、上面、左面三个不同的
方向去观察它，分别得到什么样的平面图形？
3. 有一个乒乓球，如果从正面、上面、左面三个不同的方向去观
察它，分别得到什么样的平面图形？
实 践
图 3 - 15 是一个带槽的长方体，如果从
正面、上面、左面三个不同的方向去观察它，
试画出你观察到的平面图形的示意图.
图3 - 15
123
第三章 简单的几何图形x+3
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2
习 题 3 - 1
基础
1. 三角形是平面图形，还是立体图形？
2. 如图所示的是一个药瓶的示意图，它是由两个什么几何体组成的？
3. 如图是一个长方体纸盒的示意图，它的上、下底面是正方形，四个侧面是长方形，你
能想象出它的展开图是什么样吗？
( 第2题 ) ( 第3题 ) ( 第4题 )
4. 如图是一个正方体，从正面、上面、左面观察，它们分别是什么样的图形？你能试着
画出来吗？
提升
1. 三根火柴首尾相接，组成的图形是平面图形，还是立体图形？四根火柴呢？仔细想想看，
再动手试一试.
2. 你能用六根火柴拼出边长相等的四个三角形吗？
3. 一个立体图形的展开图，如图
所示，你能想象出它是一个什
么立体图形吗？
4. 由两个正方体组成的图形，如
图所示，从正面、上面、左面
观察它，分别得到什么样的图
形？你能试着画出来吗？
( 第3题 ) ( 第4题 )
124
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二 直线、射线、线段
3.4
点、线、面、体
我们用削尖的铅笔在纸上轻轻一点，于是纸上便出现一个小小的黑点，这
给我们留下了点的形象( 图3 - 16 ).
· A
图3 - 16
点可以用来表示位置，如图 3 - 17，在北京地铁路线图 ( 部分 ) 上用点来
表示一个车站的位置；在星图上用点来表示某一个星体的位置.
(cid:2323)(cid:3748)(cid:3850) (cid:2078)(cid:2893)(cid:1655)(cid:2472) (cid:1214)(cid:1768)(cid:3019) (cid:4512)(cid:2181)(cid:2054)
(cid:4103)(cid:4785)(cid:3019) (cid:1771)(cid:4785)(cid:3019)
(cid:1499)(cid:2053)(cid:4877) (cid:1771)(cid:3770)(cid:3654)(cid:3913)
(cid:1493)(cid:4382)(cid:3019)
(cid:1971)(cid:1519)(cid:3019)
(cid:1968)(cid:4247)(cid:3019)
(cid:2426)(cid:2132)(cid:3019)
(cid:1482)(cid:1599)(cid:2472) (cid:1307)(cid:2521)(cid:4704)
(cid:4295)(cid:4084)(cid:3019) (cid:2181)(cid:3293)(cid:3019) (cid:3374)(cid:3019) (cid:1549)(cid:4052)(cid:3019)
图3 - 17
我们常用一个大写字母来表示点，比如，在图3 - 16中的点记为“点A”.
探 索
1. 如图 3 - 18，用一支削尖的铅笔，
使笔尖沿着一根直尺的边在纸上移动，会
出现一个什么图形？
图3 - 18
125
第三章 简单的几何图形
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2
2. 如图 3 - 19，使圆规装有铅笔的一只脚在
纸上绕着它的另一只装有铁尖的脚旋转一周，铅
笔会画出一个什么图形？
图3 - 19
我们看到，如果把笔尖看成一个点，当这个点运动时，便得到了一条线，
这条线可能是直线，也可能是曲线，这给我们以“点动成线”的形象.
思 考
燃放烟花时形成的美丽曲线，给我
们以“点动成线”的形象 . 你还能举出
类似的例子吗？
在图形计算器的“几何”功能界面上画一个点，然后选中这个点，
在“菜单”的“跟踪”中选中“几何跟踪”，然后拖动这个点，你能
看到如图 3 - 20 那样的图形 . 用图形计算器还可以画出美丽的五环图
( 图 3 - 21 ).
A
图3 - 20 图3 - 21
126
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思 考
汽车前面挡风玻璃上的雨
刷器在摆动时，为什么可以刮
去雨水？
雨刷器的摆动给我们以“线动成面”的形象 . 当“线动成面”时，
所成的面可能是平面，也可能是曲面.
如图3 - 22，在图形计算器的“几何”功
能界面上，使长方形ABO′ O以O′ O 为轴旋转，
边BA留下的痕迹即为一个曲面.
下面我们来做一个实验：
把一枚硬币立在桌面上，用左手的食指
指尖轻轻按在硬币的顶部，然后用右手的手
指对硬币的边缘用力一弹，这枚硬币便旋转
起来 . 当它旋转时，我们好像看到了一个
球. 这给我们以“面动成体”的形象. 图3 - 22
3.5
直线、射线、线段
1. 直线
一根拉紧的线绳，给我们以直线的形象.
直线是向相反的两方无限延伸着的. 我们可以利用直尺或三角尺的边画直
线，但画出的只是直线的一部分.
直线可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示. 图3 - 23中
的直线可以表示成“直线AB”或“直线l”.
图3 - 23
127
第三章 简单的几何图形x+3
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2
探 索
用三角尺或直尺等按要求画出以下的线：
( 1 )在纸上画一个点A，过点A的直线能画多少条？画画看.
( 2 )在纸上画一个点B，过点B的曲线能画多少条？画画看.
( 3 )在纸上画A，B两个点，过点A和点B的直线能画多少条？画画看.
( 4 )在纸上画C，D两个点，过点C和点D的曲线能画多少条？画画看.
通过画图我们发现，过一点可以画无数条直线，也可以画无数条曲线
( 图3 - 24 )；过两点只能画一条直线，但可以画出无数条曲线( 图3 - 25 ).
图3 - 24 图3 - 25
在“探索”的几种情况中，其中第( 3 )种情况应用最广泛，我们把它总结
出来，作为直线的一个事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简述为：两点确定一条直线.
要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉几枚钉子？为什么？
思 考
练 习
用直尺画出过图中两点的所有直线，
A
并把它们表示出来. B C
128
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
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2. 射线
在黑暗的地方我们用手电筒射出一道光柱，这条光柱给我们以射线的形象
( 图3 - 26 ).
直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点.
射线可以用表示端点的一个点和射线上另一个点的两个大写字母表示，但
表示端点的字母要写在前边；也可以用一个小写字母来表示. 图3 - 27中的射
线可以表示为“射线OA”，也可以表示为“射线l”.
图3 - 26 图3 - 27
练 习
1. 用直尺在下图中任意画出射线AB和射线CD.
B
A
D
C
( 第1题 ) ( 第2题 )
2. A，B是直线上的两个点，问图中分别以A，B为端点的射线共有多少条，写
出其中的两条射线.
3. 射线OA和射线AO表示的是同一条射线吗？为什么？画画看.
3. 线段
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
请你观察教室中的物体，其中哪些可以看做线段？
129
第三章 简单的几何图形x+3
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2
线段可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.图3 - 28
中的线段可以表示为“线段AB”，也可以表示为“线段a”.
a
A B
图3 - 28
我们常用刻度尺来度量线段的长. 长度单位换算如下：
1 km = 1 000 m ( 即1千米 = 1 000米 )；
1 m = 10 dm ( 即1米 = 10分米 )；
1 dm = 10 cm ( 即1分米 = 10厘米 )；
1 cm = 10 mm ( 即1厘米 = 10毫米 ).
图3 - 29中C，D是线段AB上的两个点. 图中共有
多少条分别以 A，B，C，D 中的两点为端点的线段？分
别用字母把它们表示出来 . 任选其中的两条线段，比较
一下它们的长短.
A C D B
图3 - 29
思 考
交 流
在一块长方形的图板上 ( 如图 3 - 30 )，一 C B
只蚂蚁从点 A 出发，沿着几条不同的路线向点
B 爬行 . 哪条路线最近？你也可以动手画一画，
找出其他的路线，量一量，再得出结论. A D
图3 - 30
在实践的基础上，人们总结出有关线段的一个事实：
在所有连接两点的线中，线段最短.
130
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
数学3章.indd 130 2023-3-22 15:53:52yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
简述为：两点之间线段最短.
连接两点的线段的长，叫做这两点间的距离.
练 习
如图，从小华家去学校共有4条路，第 条路最近.理由：
.
(cid:320)
(cid:321)
(cid:2101)(cid:1256)(cid:2066) (cid:322) (cid:2022)(cid:3235)
(cid:323)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
1. 如图3 - 31，从A到C有两条路线可走： A D
?
一条是A→B→C； F
E
另一条是A→D→E→F→G→H→C. H
G
? 先估计一下哪条路线近，再量量看，与
B C
估计的结果作比较( 精确到1 mm ).
图3 - 31
2. 寻求最短的路线.
B
? 如图 3 - 32，用长方形纸片卷成一个圆
柱形的纸筒，如果一只蜘蛛在点 A 处，一只
小昆虫在点 B 处 . 请你想一想，蜘蛛沿什么
A
?
路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫.
图3 - 32
131
(cid:19088)(cid:7533)(cid:19012) (cid:19172)(cid:8889)(cid:17896)(cid:8516)(cid:7865)图(cid:11974)
数学3章.indd 131 2023-3-22 15:53:53x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
思 考
如图 3 - 33，请你先量一量线段 AB 的长度，然后在线段
AB上画一点C，使线段AC = BC. 怎样确定点C的位置呢？
A B
图3 - 33
如果点 C 是线段 AB 上的一点，并且满足 AC = BC，那么点 C 叫做
线段AB的中点.
在图 3 - 34 中，C 是线段 AB 的中点，那么可以用以下三种方法来
表示：
( 1 ) AC = BC；
A C B
1 1
( 2 ) AC = AB( 或BC = AB )；
2 2 图3 - 34
( 3 ) AB = 2AC ( 或AB = 2BC ).
例 已知：如图 3 - 35，线段 AB = 10，点 C 为线段 AD 的中点，
线段AC = 4. 5，求线段DB的长.
A C D B
图3 - 35
解：∵ 点C为线段AD的中点，AC = 4. 5，
∴ AD = 2AC = 2 × 4. 5 = 9.
注意数形结合.
∴ DB = AB - AD = 10 - 9 = 1.
利用直尺可以把一条线段向两方任意延长.
A B A B
图3 - 36 图3 - 37
如图3 - 36，称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；
如图3 - 37，称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB.
图中延长的部分叫做原线段的延长线.
132
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
数学3章.indd 132 2023-3-22 15:53:56yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
习 题 3 - 2
基础
1. 让铅笔尖在纸面上运动，画出一个美丽的图案.
2. 你能举一个“点动成线”的例子吗？
3. 你能举一个“线动成面”的例子吗？
4. 你能举一个“面动成体”的例子吗？
5. 画一条直线和一条射线，使它们没有公共点.
6. 画一条射线和一条线段，使它们没有公共点.
7. 已知：如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，试写
出图中相等的线段.
A
A D C E B
B C
D
( 第7题 ) ( 第8题 )
8. 已知：如图，D是BC上的一点.图中共有多少条线段？分别把它们写出来.
9. 如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB = 10，AC = 6，求线段CD
的长.
A C D B
( 第9题 )
提升
1. 在公园里用喷灌浇花草时，水珠运动时出现什么现象？
2. 用刀切豆腐时，会出现什么现象？
3. 如图，想一想，以AB为轴旋转这个图形可以得到怎样的图形，试着画出来.
4. 谜语“千条线，万条线，落在水里都不见”中说的是什么自然现象？
5. 如图，在以点A为端点的射线上任意取B，C，D三个点，图中共有多少条射线？写出
其中的3条.
133
第三章 简单的几何图形x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
A
D
C
B
A
B
( 第3题 ) ( 第5题 )
6. 在直线l上取m个点，使图中一共出现8条射线，m应等于多少？
7. 刘力在纸上画了一条直线、一条射线和一条线段，结果它们之间只出现了两个公共
点. 你能画出满足这个条件的一个图形吗？
8. 量出图中线段AB，BC，AC的长，再比较AB + AC与
A
BC的大小关系.
9. 用一根直尺能画出一条曲线，你认为可以做到吗？照下
面的方法试一试：
B C
( 1 ) 先画射线OA，OB；
( 2 ) 在OA上用刻度尺或圆规取9条相等的线段，分别在
( 第8题 )
端点标上A，A ，A ，A ，A ，…，A ；
1 2 3 4 5 9
( 3 ) 在OB上也取同样长度的9条线段，分别在端点标上A′ ，A′ ，A′ ，A′ ，A′ ，…，A′ ；
9 8 7 6 5 1
( 4 ) 连接A A′ ，A A′ ，A A′ ，…，A A′ ，观察图中出现了什么曲线.
1 1 2 2 3 3 9 9
A
A 9
A 8
A 7
A 6
A 5
A 4
A 3
A 2
1
A′
9
A′
8A′
7
A′
6A′
5
A′
4A′
3
A′
2
A′
1
( 第9题 )
134
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
三 角
3.6
角及其分类
1. 角及其表示
探 索
请用三角尺、直尺或量角器画一个角.
我们知道，在图3 - 38中，剪刀张开的两个刃、钟表的时针和分针都给我
们以角的形象.
从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两
条射线叫做角的边.
角又可以看做一条射线绕着它的端点旋转时，旋转终止位置与旋转开始
位置形成的图形 . 旋转开始位置叫做角的始边，旋转终止位置叫做角的终边
( 图 3 - 39 ).
(cid:4924)(cid:6392)
(cid:7047)(cid:3906) (cid:1917)(cid:6392)
图3 - 38 图3 - 39
角通常用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间 . 图 3 - 40( 1 ) 中
的角可以表示成∠AOB，在角的顶点处只有一个角的情况下，∠AOB 也可以
写成∠O；角也可以用阿拉伯数字表示，如图3 - 40( 2 )中的∠1，∠2；角还
可以用小写希腊字母表示，如图3 - 40( 3 )中的∠α，∠β.
A
1 2
O α β
B
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
图3 - 40
135
第三章 简单的几何图形x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
练 习
1. 下列图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是( ).
C B
B B
C
1 B 1
1 1
O O A O O
A A A
A B C D
( 第1题 )
2. 图中共有几个角？分别把它们写出来.
D C
A
C
O
D
A B
B
( 第2题 ) ( 第3题 )
3. 图中的∠O还可以怎样表示？
思 考
观察图 3 - 41 中用同一块三角尺画出的两
个角. 你觉得哪一个角大？用三角尺比比看.
图3 - 41
一个角的大小和它的
边的长短有关吗？
136
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2. 角的分类
我们观察钟表指针的转动：
分针从指向“12”的位置开始旋转，当它旋转到指向“6”的位置时，分
针的终止位置和它的开始位置恰在一条直线上，这样形成的角叫做平角.
当分针继续旋转，回到指向“12”的位置时，它整整旋转了一圈，这样形
成的角叫做周角.
平角的一半叫做直角. 图3 - 42( 1 )中时针与分针所成的角就是直角.
我们得到：
1周角 = 2平角 = 4直角.
小于直角的角叫做锐角. 图3 - 42( 2 )中时针与分针所成的角就是锐角.
大于直角而小于平角的角叫做钝角 . 图 3 - 42( 3 ) 中时针与分针所成的角
就是钝角.
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
图3 - 42
你能否举出一个时刻，使钟表
的时针和分针形成的角是一个锐角、
一个直角、一个钝角、一个平角、
一个周角吗？
思 考
137
第三章 简单的几何图形x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
3.7
角的度量与角的换算
度量一个角的大小的基本单位是“度”. 把周角分成 360 等份，每 1 份叫
做 1 度的角；把 1 度的角再分成 60 等份，每 1 份叫做 1 分的角；把 1 分的角
再分成60等份，每1份叫做1秒的角.
度、分、秒分别用“°”、“ ′ ”、“ ″”来表示 . 例如，25 度 42 分 57 秒记作
25°42′57″.
例1 计算：
( 1 )把8. 32°换算成度、分、秒；
( 2 )把26°48′换算成度.
解：( 1 )∵ 60′ × 0. 32 = 19. 2′，
60″ × 0. 2 = 12″，
注意进制！
∴ 8. 32° = 8°19′12″.
(
48
)°
( 2 )∵ 48′ = = 0. 8°，
60
∴ 26°48′ = 26. 8°.
例2 计算：
( 1 ) 15°30′46″ + 38°45′25″； ( 2 ) 100° - 60°52′10″；
( 3 ) 20°30′40″ × 2； ( 4 ) 125° ÷ 4.
解：( 1 ) 15°30′46″ + 38°45′25″
= 53°75′71″
= 53°76′11″
= 54°16′11″；
( 2 ) 100° - 60°52′10″
= 99°59′60″ - 60°52′10″
= 39°7′50″；
( 3 ) 20°30′40″ × 2
= 40°60′80″
= 41°1′20″；
138
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
( 4 ) 125° ÷ 4 = 31. 25°，
∵ 60′ × 0. 25 = 15′，
∴ 125° ÷ 4 = 31°15′.
周角等于多少度？平角等于多少度？直角等于多少度？
锐角的度数在什么范围内？钝角的度数在什么范围内？
思 考
在本章中，我们所说的角，如果没有特别说明，通常不包括平角和零度的角.
练 习
已知∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.5°，那么( ).
A.∠A >∠B >∠C B.∠A >∠C >∠B
C.∠B >∠A >∠C D.∠C >∠A >∠B
利用科学计算器进行角的换算快捷、准确.
例3 将2. 36°换算成度、分、秒.
解：
具体操作 结 果
2. 36 6
A型计算器
139
(cid:19088)(cid:7533)(cid:19012) (cid:19172)(cid:8889)(cid:17896)(cid:8516)(cid:7865)图(cid:11974)
▲ D M S
2°21′36″
B型计算器 2. 36 2°21′36″
∴ 2. 36° = 2°21′36″.
数学3章.indd 139 2023-3-22 15:54:04x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
练 习
1. 把下列以度为单位的角用度、分、秒表示. 先用笔算，再用计算器进行检验.
( 1 ) 18.25°； ( 2 ) 125.36°.
2. 100°42′等于多少度？
3.8
角平分线
探 索
先用量角器量一量图 3 - 43 所示的∠AOB A
的度数，再试一试，能否利用它作出射线 OC，
使∠AOC = ∠BOC？ O
B
图3 - 43
如果经过角的顶点的一条射线把一个角分成相等的两个角，那么这条射线
叫做这个角的角平分线.
图 3 - 44 中的射线 OC 是∠AOB 的角平分线，那么可以用下面的三种方
法来表示：
( 1 )∠AOC = ∠BOC；
1 1
( 2 )∠AOC = ∠AOB( 或∠BOC = ∠AOB )； A C
2 2
( 3 )∠AOB = 2∠AOC( 或∠AOB = 2∠BOC ).
B
O
图3 - 44
140
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
数学3章.indd 140 2023-3-22 15:54:06yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
练 习
E C
已知：如图，OE 平分∠BOC，OD 平 B
分∠AOC，∠BOE = 20°，∠AOD = 40°. D
求∠DOE的度数.
A
O
习 题 3 - 3
基础
1. 图中共有多少个角？分别把它们写出来.
O
D
A
E
B
C A D
C
B
( 第1题 ) ( 第2题 )
2. 图中共有多少个角？分别把它们写出来.
3. 画一个图形，使图中只有4个角.
4. 两个锐角的和一定是锐角吗？试举例加以说明.
5. 一个钝角与一个直角的差是什么样的角？举出一例.
6. 较大的锐角与较小的锐角的差是什么样的角？
7. 计算：
( 1 ) 18°20′32″ + 30°15′22″；
( 2 ) 90° - 70°35′；
( 3 ) 180° - 60°30′45″；
( 4 ) 12°12′ × 5；
( 5 )将平角分成8等份，求每一份的角的度数.
141
(cid:19088)(cid:7533)(cid:19012) (cid:19172)(cid:8889)(cid:17896)(cid:8516)(cid:7865)图(cid:11974)
数学3章.indd 141 2023-3-22 15:54:07x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
8. 用计算器计算：
( 1 )将70.28°换算成度、分、秒； ( 2 )将15.75°换算成度、分、秒；
( 3 )将120°30′换算成度； ( 4 )将52°48′换算成度.
A
提升
B
1. 画一个图形，使图中共有8个角. A 1
A 2 C
2. 如图，∠1 = ∠2 = ∠3，写出图中所有相等的角. O
3
B
3. 已知：OC是∠AOB的角平分线，OD是∠AOC的角平分线， 1 B D
OE是∠BOC的角平分线，如果∠DOE = 30°，计算∠AOB的 2 1 C
O
3 2 C
度数. O
3 D
4. 已知：如图，G是AB延长线上一点，且∠1 = 60°.求∠ABC D
E D
的度数. ( 第2题 )
F C
E D
β
E D α
1 γ
G
F C A B
β
F C α
1 γ α β
G
A B 1 γ
G
A B
( 第4题 ) ( 第5题 )
5. 如图，∠α 等于 120°，∠β 等于 90°.
求∠γ的度数. γ
α
6. 如图，已知∠α，∠β都等于120°. 求
β
∠γ的度数.
γ
α γ
βα
β
( 第6题 )
142
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
数学3章.indd 142 2023-3-22 15:54:08yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
四 两条直线的位置关系
3.9
两条直线的位置关系
改革开放以来，北京市的交通设施发展日新月异，一座座立交桥拔地而起，
展示了一个现代化都市的雄伟风姿.
如果把笔直的路上画出的分道线看做直线，我们看到，它们有的相交，有
的不相交；有的在同一个平面上，有的不在同一个平面上 . 下面我们将讨论两
条直线的位置关系.
交 流
图3 - 45是一个长方体的图形. 它的每条棱都是一条线段. 试从这
些线段所在的直线中找出： H G
( 1 )两条不相交的直线；
D
( 2 )两条相交的直线. C
F
想一想，两条不相交的直线一定在同 E
一平面内吗？ A B
图3 - 45
143
第三章 简单的几何图形x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
由此可以总结出，两条直线有以下的位置关系：
( 1 )相交( 如图3 - 45中的直线AB和AD )；
在同一平面内( 如图3 - 45中的直线AB和CD )；
( 2 )不相交 
不在同一平面内( 如图3 - 45中的直线AB和CG ).
互相重合的直线通常看做一条直线.
思 考
观察图 3 - 46，如果
可以把墙壁的棱、灯线、
黑板的边框、灯管、窗
框、门框等看做直线的一
部分，那么请找出相交的
直线与不相交的直线.
图3 - 46
图 3 - 47( 1 ) 中的直线 a 和 b，图 3 - 47( 2 ) 中的直线 c 和 d 分别是
在同一平面内的直线，其中直线a，b相交，直线c，d不相交.
a
c
b
d
( 1 ) ( 2 )
图3 - 47
3.10
相交线与平行线
1. 相交直线
只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. 两条直
线相交只有一个交点.
144
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
在图 3 - 48 中，如果把每条线都看成直线的一 A
部分，指出其中的相交直线.
D G
我们看到，两条相交直线所成的角中，∠A 是 B C
钝角，∠ADG是锐角，∠E是直角.
E F
2. 垂线
图3 - 48
实 践
用三角尺量一量，《新华字典》
封面的每一个角等于多少度.
思 考
图 3 - 49 中两直线 a，b 相交，形成四个角 . 如
果∠1 = 90°，那么∠2，∠3，∠4分别等于多少度？
b
b 利用平角等于
180°计算.
4 3 3
4
a 1 2 2
a 1
图3 - 49
两条直线相交所成的四个角中，如果其中一个角等于 90°，那么就
称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线 . 垂直
用符号“⊥”表示，这两条直线的交点叫做垂足 . 图 3 - 49 中直线 a 与
b垂直，记作“a ⊥ b”.
145
第三章 简单的几何图形x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
实 践
请用三角尺或直尺画图：
( 1 )经过直线l上一点A画l的垂线， 这样的垂线能画出几条？
( 2 )经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
通过实践活动，我们发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3. 点到直线的距离
在体育比赛中，如何测量运动员的跳远成绩？
探 索
如图 3 - 50，P 是直线 l 外一点， P
从点 P 向直线 l 引 PA，PB，PC，PD
几条线段，其中只有 PA 与 l 垂直 . 量
一量，这几条线段中，哪一条最短. l
B C A D
图3 - 50
从直线外一点向这条直线引垂线，该点到垂足之间的线段叫做垂线段. 在
实践中发现，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 . 从直
线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
146
(cid:13524)(cid:10954) (cid:7527)(cid:11736)(cid:19979) (cid:7534)(cid:8432)
数学3章.indd 146 2023-3-22 15:54:14yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
实 践
如图3 - 51，点A在直线a上，点B在直线b上.
a
( 1 )怎样量出A，B两点间的距离？
A
( 2 )怎样量出点A到直线b的距离？
( 3 )怎样量出点B到直线a的距离？ b
B
图3 - 51
4. 平行线
在日常生活中经常见到同一平面内两条不相交的直线 . 如图 3 - 52 中，
两根笔直的铁轨、马路上的斑马线等，都给我们平行的形象.
图3 - 52
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 . 平行用符号“∥”表示 . 图
3 - 53中AB 平行于CD，a平行于b，分别记为“AB∥CD”，“a∥b”.
a
b
A B
C D
图3 - 53
147
(cid:19088)(cid:7533)(cid:19012) (cid:19172)(cid:8889)(cid:17896)(cid:8516)(cid:7865)图(cid:11974)
数学3章.indd 147 2023-3-22 15:54:18x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
*3.11
用计算机绘图
( 1 )利用计算机的基本绘图功能画出下面的图形( 图3 - 54 ).
B V
D
N
U
W O
C T E F
Q
H
G
N
A B D
O P
M
C
E F
图3 - 54
( 2 ) 计算机或图形计算器具有画点、线、角平分线、垂线、平行线的功能
以及度量的功能. 发挥你的聪明才智，创作几幅图画，然后和同学交流你画图
的步骤和体会.
图3 - 55就是由点、线、面构成的图形，请你欣赏.
图3 - 55
148
数学 七年级 上册yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
习 题 3 - 4
基础
1. 已知：如图是一个立方体的图形，它的每条棱都是一条线段. 试从这些线段所在的直
线中找出： H G
( 1 )两对相交的直线；
D
( 2 )两对在同一平面内不相交的直线； C
( 3 )两对不在同一平面内的直线. E F
2. 举例说明两条直线在空间中有几种位置关系. A B
3. 通过测量求出图中三角形ABC的面积( 精确到1 mm 2 ). ( 第1题 )
A
B C
( 第3题 )
4. 如图，量出点A到BC边所在直线的距离.
A
B C
( 第4题 )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 问题解决
圆是我们最常见的图形之一，利用圆规可以画出一个
?
圆. 如果手中只有一根直尺，你能用它画出一个圆吗？
149
第三章 简单的几何图形x+3
yy==kkxx++bb mm
≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
2
回 顾 与 整 理
知 识
要 点 1. 点、线、面、体是构成几何图形的基本要素，我们用运动
的观点可以找到它们之间的联系.
2. 直线、射线和线段是构成几何图形的三种重要的图形，应
切实掌握好.
3. 角是构成许多几何图形的基本元素，要掌握好它的分类、
度量等.
4. 在同一平面内，垂直与平行是两条直线十分重要的位置关
系，它在几何图形的研究中有重要作用，在后面的章节里还要继
续学习它.
5. 理解两点间的距离、点到直线的距离等概念，理解有关直
线和线段的事实.
学 习
指 导
1. 要善于用运动的观点认识图形.
我们学习几何图形，除了用静止的观点认识它们外，还可以
用运动的观点去认识，如点动成线、线动成面、面动成体、角的
生成等，这样才能更深刻地理解它们.
2. 要注意挖掘所学几何知识的实际背景.
几何图形来源于实际，又反过来应用于实际 . 因此，在初学
阶段要努力挖掘它们在现实生活中的实际背景，结合这些实例去
理解和认识有关的概念和性质.
3. 要注意能力的培养.
人们对事物的认识，是由感性认识上升到理性认识的发展过
程 . 在学习中要善于动脑筋思考问题，不断提高自己的能力，如
抓住概念本质的能力、分类讨论的能力、画图的能力、归纳的能力、
理论联系实际的能力等.
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≥≥--11
AABB⊥⊥CCDD ⊙⊙
OO △△AABBCC
复 习 题
基础
1. 削水果皮时，随着刀刃的运动，你能想象出“线动成面”的现象吗？
2. 理发时，随着推子的运动，你发现了什么数学现象？
3. 已知：如图，OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD
D
的角平分线，∠COD = 70° . 分别求∠AOD和∠BOC的
C
度数.
4. 已知：线段AB = 2 cm，点D是线段AB的中点，延长
O B
线段AB到点C，BC = 2AD . 求线段DC的长.
5. 计算： A
( 1 ) 30° + 52°25′ + 25°34′36″； ( 第3题 )
( 2 ) 100° - 42°10′ - 10°30″；
( 3 ) 25°25′25″ × 4；
( 4 ) 180°42′ ÷ 6.
6. 画两条直线及一条线段，使它们之间没有公共点.
7. 画三条射线，使它们之间没有公共点.
提升
1. 画两个角，使它们之间只有一个公共点.
2. 画两个角，使它们之间只有两个公共点.
3. 画两个角，使它们之间没有公共点.
4. 用计算器将85.38°换算成度、分、秒.
5. 将150°54′换算成度.
6. 两个锐角的和是什么样的角？举例说明.
7. 一个锐角和一个直角的和是什么样的角？举例说明.
151
第三章 简单的几何图形x+3
y=kx+b m
≥-1
AB⊥CD ⊙
O △ABC
2
附 录
部分中英文词汇索引
中 文 英 文 页 码
正 数 positive number 3
负 数 negative number 3
有理数 rational number 4
数 轴 number axis 6
相反数 opposite number 9
绝对值 absolute value 11
倒 数 reciprocal 43
乘 方 power 46
科学记数法 scientific notation 56
代数式 algebraic expression 72
整 式 integral expression 77
同类项 like term 78
等 式 equality 80
方 程 equation 80
立体图形 solid figure 120
平面图形 plane figure 120
点 point 125
直 线 straight line 127
角 angle 135
平行线 parallel lines 147
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