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专题 03 方程与不等式（五大考点 60 题）
一、填空题
1．（2025·江西·中考真题）不等式 的解集为
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为 ，即可求解．
【详解】解：移项，得 ，
系数化为 ，得 ．
故答案为： ．
2．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路
程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每
百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为
元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式
方程即可．
【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为 元，
根据题意得， ，
故答案为： ．
3．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样
160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，
则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时
间相等列出方程即可．
【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．
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4．（2022·江西·中考真题）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
5．（2021·江西·中考真题）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 ．
【答案】1
【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若 是方程 ( )的两根，则
， ．
二、解答题
6．（2025·江西·中考真题）系文物考古研究院用 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜
蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（ ）如下表：
出酒
类别 原材料
率
粮食 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏
30%
酒 水
芋头
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
酒
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如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，
且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为
，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
(2)需要准备 公斤大米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和
方程是解题的关键．
（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的
质量分别是 公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为 ，再根据题意列
一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅
和芋头糟醅的质量分别是 公斤，
由题意可得： ，解得： ．
答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为 公斤，
设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为 ，
由题意可得： ，解得： 千克．
答：需要准备 公斤大米．
7．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽 ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本
数学书厚 ，每本语文书厚 ．
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(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本．
(2)数学书最多还可以摆90本
【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，设出未知数，列出方程．
（1）首先设这层书架上数学书有 本，则语文书有 本，根据题意可得等量关系： 本数学书的厚
度 本语文书的厚度 ，根据等量关系列出方程求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设书架上数学书有 本，由题意得：
，
解得： ，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得： ，
解得： ，
∴数学书最多还可以摆90本．
8．（2023·江西·中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；
如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过
5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】(1)该班的学生人数为45人
(2)至少购买了甲树苗80棵
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗 棵树苗，
再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得， ，
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解得 ，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了 棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗 棵树苗，
由题意得， ，
解得 ，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量
关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
9．（2022·江西·中考真题）（1）计算： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）1＜x＜3
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】（1）原式=2+2-1，
=3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（2021·江西·中考真题）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量
比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙
购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平
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均单价是______元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结
果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）．
【答案】（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48,50；（3）金额
【分析】（1）根据题意设这种商品的单价为 元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式
方程进行求解即可；
（2）利用两次购买总价÷两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可；
（3）对比（2）中的计算数据总结即可得解．
【详解】（1）设这种商品的单价为 元/件，
，解得 ，经检验 是原分式方程的解，
则这种商品的单价为60元/件；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为 元/件，
∵甲两次购买总价为 元，购买总数量为 件，
∴甲两次购买这种商品的平均单价是 元/件；
∵乙两次购买总价为 元，购买总数量为 件，
∴乙两次购买这种商品的平均单价是 元/件；
故答案为：48,50；
（3）∵ ，
∴按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算，
∴建议按相同金额加油更合算，
故答案为：金额．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，通过题目找准数量关系，利用总价÷数量=单价的基本等量
关系式进行求解是解决本题的关键．
11．（2021·江西·中考真题）解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可．
【详解】根据题意，令 为①式， 为②式
解：由①式得 ，由②式得
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则原不等式组的解集为： ．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，熟练掌握不等式组的解法并将其解集在数轴上进行表示是解决
本题的关键．
考点 0 1 ：一元一次方程
12．（2025·江西九江·二模）小亮利用杠杆原理（动力 动力臂=阻力 阻力臂）制作了如图所示的天平
（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为 的物品，
右盘中放置 砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置 砝码，才可使天平再次
平衡，则该物品的质量是 g．
【答案】40
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”得 ，根据题意列出方程 ，
即可求解．
【详解】解：设该药品质量为x克，
由题意可得：
解得 ．
故答案为： ．
13．（2025·江西抚州·二模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨召开．吉祥物“滨滨”和“妮妮”玩
偶热销．某商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮妮”20元，
共花去6750元．求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？若设购进“滨滨”x个，则可列方程为 ．
【答案】
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【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设购进
“滨滨”x个，根据“商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮
妮”20元，共花去6750元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设购进“滨滨”x个，
根据题意得： ，
故答案为： ．
14．（2025·江西吉安·一模）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根
绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长
为x尺，则绳子长 尺，则可以列出方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据“长木长 绳长的一半 尺”列方程即可．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
考点 0 2 ：二元一次方程组
15．（2025·江西·二模）小亮妈妈逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用3个
碗叠放时，总高度为 ；用5个碗叠放时，总高度为 ．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这
个消毒柜的内置高度至少有 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设一个碗的高度为 ，增加一个碗高度增加 ，根据题意
列方程组求出 ，进而求解即可．
【详解】解：设一个碗的高度为 ，增加一个碗高度增加 ，
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根据题意得： ，
解得： ．
则10个碗放在一起时，它的高度为 ．
故答案为： ．
16．（2025·江西赣州·二模）某港口码头使用A， 两种型号的机器人搬运货物．在 内，3台A型机器
人和2台 型机器人共搬运货物 ，且每台 型机器人比 型机器人多搬运货物 ，每台A型机器人
和每台 型机器人24h的搬运量分别是多少？
【答案】每台A型机器人 的搬运量是 ，每台 型机器人 的搬运量是
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，申请题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键．
设每台A型机器人 的搬运量是 ，每台 型机器人 的搬运量是 ，然后根据题意列二元一次方程
组求解即可．
【详解】解：设每台A型机器人 的搬运量是 ，每台 型机器人 的搬运量是 ，
根据题意得 ，解得： ，
答：每台A型机器人 的搬运量是 ，每台 型机器人 的搬运量是 ．
17．（2025·江西新余·三模）江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家
在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电
费1946元．
分档 年电量水平（千瓦时/户）
第一档
第二档 （含4200）
第三档
(1)求第一档与第二档用电收费标准；
(2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额．
【答案】(1)第一档用电收费标准为 元/千瓦时，第二档用电收费标准为 元/千瓦时
(2)小华家2024年应交纳的电费总额为2557元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）设第一档用电收费标准为 元/千瓦时，第二档用电收费标准为 元 千瓦时，由此列二元一次方程组
求解即可；
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（2）根据阶段收费的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：设第一档用电收费标准为 元/千瓦时，第二档用电收费标准为 元 千瓦时，
则 ，
解得 ，
答：第一档用电收费标准为0.6元/千瓦时，第二档用电收费标准为0.65元/千瓦时；
（2）解： （元），
答：小华家2024年应交纳的电费总额为2557元．
18．（2025·江西宜春·二模）（1）计算： ．
（2）解方程组： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查零次幂，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方，零次幂，绝对值的性质计算即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2） ，
由②得 ③，
将③代入①，得出： ，
解得 ，
将 代入③，得： ，
∴方程组的解为： ．
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19．（2025·江西上饶·一模）清明果是上饶的特色美食之一．某美食商铺推出了萝卜馅清明果和肉馅清明
果．下表列出了小李、小艺在该美食商铺的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）．
肉馅清明果／
萝卜馅清明果／个 付款金额／元
个
小李 40 10 85
小艺 20 20 80
根据上表，求萝卜馅清明果和肉馅清明果的单价．
【答案】萝卜馅清明果的单价是1.5元，肉馅清明果的单价是2.5元．
【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是找准等量正确列出方程组．
设萝卜馅清明果的单价是 元，肉馅清明果的单价是 元，根据表格信息可列出关于 ， 的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
【详解】（1）解：设萝卜馅清明果的单价是 元，肉馅清明果的单价是 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：萝卜馅清明果的单价是1.5元，肉馅清明果的单价是2.5元．
20．（2025·江西新余·一模）（1）计算： ；
（2）解方程组： ．
【答案】（1）2；（2）
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及绝对值和零指数幂．
（1）原式先计算绝对值和零指数幂，再算减法即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ；
（2） ，
①+②得： ，
解得： ，
把 2代入②得： ，
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则方程组的解为 ．
考点 0 3 ：一元二次方程
21．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程 的两个实数根，则
（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果 是方程 的两根，那么
， ．直接根据根与系数的关系求出 ，再整体代入计算求解即可．
【详解】解： 是一元二次方程 的两个实数根，
，
∴ ．
故选：C．
22．（2025·江西吉安·一模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则满足条
件的最小整数 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．首先根据根的
判别式求出 的取值范围，然后从中找到最小整数即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∴满足条件的最小整数 的值是 ，
故选：D．
23．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根之积为正数，则实
数m的取值范围是 ．
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【答案】
【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出 ，
再代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：记关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，
∵关于x的一元二次方程 的两个实数根之积为正数，
∴ ，
即 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
24．（2025·江西吉安·一模）已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握关于x的一元二次方程
有两根为 和 ，则 ， ．
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，
∴
故答案为：5．
25．（2025·江西上饶·一模）若a，b是一元二次方程 的两根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得出 ，然后对 进行变形后整
体代入即可解答．掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
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26．（2025·江西宜春·一模）已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则另外一个根的
值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴由根与系数的关系可得方程的另一个根的值为 ，
故答案为： ．
27．（2025·江西景德镇·一模）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．由 ， 是一元二次方程 的两个实数根，可得 ， ，然后代入求值
即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
28．（2025·江西九江·三模）解下列方程：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
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(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
29．（2025·江西上饶·三模）（1）计算： ；
（2）解方程 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】（1）根据 计算即可；
（2）利用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：
；
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（2）解：
，
解得 ， ．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，二次根式的化简，绝对值的化简，解方程，熟练掌握二次根式的化简，
解方程是解题的关键．
30．（2025·江西抚州·一模）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场
以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查
发现，价格每涨1元，就少卖10个
(1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个；
(2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
【答案】(1)
(2)售价应定为每个50元
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
（1）每个利润为售价减进价元，根据“价格每涨 元，就少卖 个”求销量即可；
（2）利用总利润为每件商品的利润乘以销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设每件商品售价为 元时，则每件商品的利润为 元，
∵价格每涨 元，就少卖 个，
∴每周可以卖出个数为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得： ，
∵更大优惠让利消费者，
，
答：售价应定为每个 元．
考点 0 4 ：分式方程
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31．（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度 等于物体的质量m与它的体积V之比，即 ．
已知 两个物体的密度之比为 ，当物体A的质量是 ，物体B的质量是 时，物体B的体积
比物体A的体积小 ．如果设物体A的体积是 ，那么根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解
【详解】解：设物体A的体积是 ，则物体B的体积是 ，根据题意，得 ．
故选D．
32．（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程 的过程，请认真阅读并完成相应的
任务．
解：
．第一步
．第二步
．第三步
经检验， 是原方程的根．第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
【答案】任务一：一；任务二：无解
【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可；
任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以 ，因此第一步开始出现错误；
任务二：解： ，
方程两边同乘以 ，得
解得 ，
检验，当 时， ，
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∴ 不是原方程的根，
∴原方程无解．
33．（2025·江西新余·三模）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答
相应的问题．
题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图
书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设……，等量关系：甲图书数量 乙图书数量
解法二 设……，等量关系：甲图书单价 乙图书单价 20
(1)解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______．（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量．
(2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
(3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的数量．
【答案】(1)①；③
(2)50元，30元
(3)甲种图书最多能购买35本．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用．
（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）分别选择两个方程求解即可得到答案；
（3）设甲种图书购买的数量为 本，则乙种图书购买的数量为 本，该校用不超过2500元钱的资
金购进甲、乙两种图书，求解 的范围，可得答案．
【详解】（1）解：由甲商品数量 乙商品数量，可得： 中的x表示甲种商品每件进价x元，
由甲商品进价 乙商品进价 可得： 中的x表示甲种商品购进x件；
故答案为：①，③；
（2）解：解法一： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；
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解法二： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为 本，则乙种图书购买的数量为 本，
根据题意得 ，
解得
答：甲种图书最多能购买35本．
34．（2025·江西南昌·二模）为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，若
用1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，且乙种水果每千克的进价是甲种水果
进价的2倍．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少；
(2)若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，
要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多购进多少千克?
【答案】(1)甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20元/千克
(2)300千克
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是总价与单价和数量的关系
列出相应的分式方程，利用总利润与每千克利润和千克数的关系列不等式，是解题的关键．
（1）设甲种水果的进价为x元/千克，根据1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千
克，列出分式方程，即可求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；
（2）设甲种水果购进a千克，根据甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家
购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，列不等式即可解答．
【详解】（1）解：设甲种水果的进价为x元/千克．
解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．则 ．
答：甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20元/千克．
（2）设甲种水果购进a千克．
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解得： ．
答：甲种水果最多购进300千克．
35．（2025·江西萍乡·二模）如图，书架宽 ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本
语文书的厚度是每本数学书厚度的1.5倍，且厚度和为 的数学书比厚度和为 的语文书多30本．
(1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度；
(2)若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？
【答案】(1)每本数学书的厚度为 ，每本语文书的厚度为
(2)75本数学书
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次
不等式是解此题的关键．
（1）设每本数学书的厚度为 ，则每本语文书的厚度为 ，根据题意列出分式方程，解分式方程
即可得解；
（2）设还可以摆 本数学书，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为 ，则每本语文书的厚度为 ，
由题意得： ．
解得： ，
经检验， 是方程的解且符合题意，
则 ，
答：每本数学书的厚度为 ，每本语文书的厚度为 ．
（2）解：设还可以摆 本数学书，
由题意得， ，
解得：
答：最多还可以摆75本数学书．
考点 0 5 ：不等式与不等式组
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36．（2025·江西吉安·一模）若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式②，
结合三个整数解直接求解即可得到答案．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为： ，
∵整数解共有 个，
∴
故选：B．
37．（2025·江西抚州·二模）在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组．根据第二象限内的点的横坐标为负数，
纵坐标为正数即可列出不等式组，求解即可．
【详解】解： 点 在第二象限，
，
解得 ．
故答案为： ．
38．（2025·江西九江·二模）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
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故答案为： ．
39．（2025·江西抚州·一模）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，
大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案．熟记一元一次不等式组的解法是解决
问题的关键．
【详解】解： ，
由①得 ；
由②得 ；
原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
40．（2025·江西景德镇·一模）古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其
一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面
积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地
的最小面积为 ．
【答案】 亩
【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为 亩，
根据从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，列出不等式，求解即可．
【详解】解：设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为 亩，
根据题意： ，
解得： ，
则最初第一块土地的最小面积为 亩，
故答案为： 亩．
41．（2025·江西宜春·一模）若代数式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不能为零．
利用分式的分母不能为零即可解答此题．
【详解】解：根据代数式 在实数范围内有意义得 ，
解得， ，
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故答案为： ．
42．（2025·江西上饶·一模）不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再合并同类项，系数化1，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
43．（2025·江西南昌·一模）不等式组 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到
不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得， ；
解不等式②得， ；
所以，不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
44．（2025·江西抚州·二模）“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打
造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划
采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3
个B型头盔需要245元．
(1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？
(2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？
【答案】(1)购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元
(2)至少购进A型头盔41个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型头盔a个，则购进B型头盔 个，由题意可得出关于a的一元一次不等式，解之即
可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
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【详解】（1）解：设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元，
由题意得
解得
答：购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元．
（2）解：设购进A型头盔a个，则购进B型头盔 个，由题意得 ，
解得 ，
∴a的最小值为41．
答：至少购进A型头盔41个．
45．（2025·江西南昌·三模）南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点．已
知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，若能完整背诵王勃的《滕王阁序》则可免门
票．某学校组织1000名师生前往参观，其中有200人凭借流利背诵《滕王阁序》享受免票优惠，最终此次
参观累计花费20250元门票费用．
(1)问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？
(2)已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的 ，为控制实际购票费用不超过
18000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？
【答案】(1)学生790人，老师10人
(2)70名
【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设在需要购票的师生中，学生人数有x，则老师有 人，根据“此次参观累计花费20250元门
票费用”列方程求解即可；
（2）设还需要y名学生，“控制实际购票费用不超过18000元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设在需要购票的师生中，学生人数有x人，则老师有 人，
根据题意，得 ，
解得: ，
则 ，
∴在需要购票的师生中，学生790人，老师10人；
（2）解：设还需要y名学生，
根据题意，得 ，
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解得
答：至少还需70名学生背出《滕王阁序》．
46．（2025·江西抚州·二模）某校举行了“诵读红色家书讲述英烈故事”的演讲比赛，并计划购买A，B两
种奖品共30个．已知 种奖品的单价是20元， 种奖品的单价是15元．
(1)若该校购买奖品共花费510元，求购买 种奖品的个数；
(2)如果学校购买 种奖品的数量不少于 种奖品数量的 ．求至少购买 种奖品多少个？
【答案】(1)购买 种奖品12个
(2)至少购买 种奖品9个
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出相应的方程或不等式；
（1）设购买 种奖品 个，则购买 种奖品 个，然后列出方程进行求解即可；
（2）设购买 种奖品 个，则购买 种奖品 个．根据题意得列出 ，进行求解，再根
据整数的概念进行取值．
【详解】（1）解：设购买 种奖品 个，则购买 种奖品 个．
根据题意得， ，
解得 ．
答：购买 种奖品12个；
（2）解：设购买 种奖品 个，则购买 种奖品 个．
根据题意得， ，
解得 ．
又 为正整数，
的最小值为9，
答：至少购买 种奖品9个．
47．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃
馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元．
(1)求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
(2)若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省
钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)每枝康乃馨5元，每枝百合10元
(2)购买康乃馨240枝，百合120枝，理由见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用．
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（1）根据购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相应的
二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，先设出购买康乃馨m支，费用为w元，即可得到w关于m的函数式，再根据康乃馨的数
量不多于百合花数量的2倍，可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案．
【详解】（1）解：设每枝康乃馨x元，每枝百合y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：每枝康乃馨5元，每枝百合10元；
（2）解：最省钱的购买方案是购买康乃馨240枝，百合120枝，理由如下：
设购买康乃馨m枝，则购买百合 枝，费用为W元，
，
，
，
∵ ，
∴当 时，W取得最小值，此时 ，
即最省钱的购买方案是购买购买康乃馨240枝，百合120枝．
48．（2025·江西新余·二模）某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案
具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节
能家电的总补贴金额不超过2000元．
(1)小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调
多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？
(2)如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最
多可以购买多少台节能空调？
【答案】(1)小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调
(2)小明家最多可以购买1台节能空调
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组以及不等
式为解题关键．
（1）设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调，根据小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获
得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，列出方程组求解即可；
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（2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了 台节能冰箱，根据总补贴金额不超过2000元，列出
不等式求解即可．
【详解】（1）解：设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调，
根据题意，得
解得 ，
答：小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调．
（2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了 台节能冰箱，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：小明家最多可以购买1台节能空调．
49．（2025·江西抚州·一模）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，掌握相应的运算法则是解本题的关键．
（1）先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，再计算加减即可；
（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：（1） ；
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集是 ．
50．（2025·江西吉安·一模）小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组
，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答：
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第一步：由 ，得 ；
第二步：化简，得 ；
第三步：原不等式组的解集为 ．
(1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的；
(2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)一
(2)见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题的关键；
（1）按照解一元一次不等式组的步骤，即可判断；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出公共解，进而可表示在数轴上；
【详解】（1）解：小宇的解法是从第一步开始出现错误的，
故答案为：一；
（2）解： ，
解①得 ，
解②得 ，
故该不等式组的解集为 ．
51．（2025·江西九江·一模）某工厂生产 型号和 型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂
件．如果生产2天 型号挂件和3天 型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天 型号挂件和2天
型号挂件，一共可以生产1300个．
(1)每天能生产 型号挂件或 型号挂件多少个？
(2)工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问
至少要安排生产 型号挂件多少天？
【答案】(1)每天能生产 型号挂件300个，或 型号挂件500个
(2)4天
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设该工厂每天能生产 型号挂件 个，或 型号挂件 个．根据如果生产2天 型号挂件和3天 型
号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天 型号挂件和2天 型号挂件，一共可以生产1300个，再
建立方程组解题即可；
（2）设应安排生产 型号挂件 天，则生产 型号挂件 天．根据用10天时间至少交付3800个挂
件，再建立不等式解题即可.
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【详解】（1）解：设该工厂每天能生产 型号挂件 个，或 型号挂件 个．
根据题意，得 ，
解得 ，
答：该工厂每天能生产 型号挂件300个，或 型号挂件500个．
（2）解：设应安排生产 型号挂件 天，则生产 型号挂件 天．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：至少要安排生产 型号挂件4天．
52．（2025·江西九江·一模）（1）计算： ．
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集．
（1）先代入特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求出
不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式 ．
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
不等式组的解集为 ．
53．（2025·江西新余·二模）学校组织部分师生到某红色教育基地进行研学活动，此次研学活动中，在该
基地购买门票的信息如下：
信息一
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门票类
单价/元 购票总额/元
别
学生票 2500
成人票 2000
信息二：购买学生票的数量是购买成人票数量的2倍．
(1)求学生票和成人票的单价分别是多少？
(2)该学校决定再次组织50名师生到该基地研学，若购买门票的费用不超过2800元，求此次研学活动最多
能安排多少位老师参加?
【答案】(1)学生票单价为50元，则成人票单价为80元；
(2)此次研学活动最多能安排 位老师．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识．
（1）由题意得学生票、成人票单价分别为 元、 元，根据题意找到等量关系构造出分式方程即可
解决问题．
（2）设此次研学活动安排了 位老师，根据题意找到不等量关系构造出不等式即可解决最值问题．
【详解】（1）解：由题意得学生票、成人票单价分别为 元、 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的根且符合题意，
∴
答：学生票单价为50元，则成人票单价为80元；
（2）解：此次研学活动安排了 位老师，则安排了 个学生，
依题意得：
，
解得： ，
答：此次研学活动最多能安排 位老师．
54．（2025·江西吉安·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航
天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、 两种航空模型进行销售，已知购进 种航空模型和
种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和 种航空模型1个共需90元．
(1)求A、 两种航空模型进价分别多少元；
(2)某商店计划购买 、 两种航空模型共80个，若 、 两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使
获得的利润不低于1100元，请问至少购买 种航空模型多少个？
【答案】(1) 种航空模型进价为25元， 种航空模型进价为40元
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(2)至少购买 种航空模型60个
【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题
的关键．
（1）设A种航天飞船模型每件的进价为x元，B种航天飞船模型每件的进价为y元，根据购进 种航空模
型和 种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和 种航空模型1个共需90元，列出二元一次方
程组，解方程组即可；
（2）设购买 种航模 个，根据利润不低于1100元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种航空模型进价为 元/个， 种航空模型进价为 元/个．
依题意可得 ，
解得 ，
答：A种航空模型进价为25元， 种航空模型进价为40元．
（2）解：设购买A种航模 个，由题意可得：
解得 ，
答：至少购买A种航空模型60个．
55．（2025·江西·二模）某商家销售 两款盲盒．已知购进4个 款盲盒的费用与购进5个 款盲盒的花
费相同，每个 款盲盒的进价比每个 款盲盒的进价多20元．
(1)每个 款盲盒和每个 款盲盒的进价分别是多少元？
(2)根据网上预定的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两款盲盒共200个，求最多可以
购进 款盲盒的个数．
【答案】(1)每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元；
(2)最多购买A款盲盒50个．
【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．
（1）根据题意，设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是 元，根据题意列出一元
一次方程即可得到答案；
（2）设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒 个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是 元．
由题意可得 ，
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解得 ，
则 ．
即每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元；
（2）解：设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒 个．
，
解得 ，
因为m为整数，所以m最大为50，
即最多购买A款盲盒50个．
56．（2025·江西抚州·一模）骑电动车时佩戴安全头盔至关重要，可以减少意外伤害，某商店销售进价分
别为45元/个、36元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时 甲头盔销量 乙头盔销量 销售金额
间 （个） （个） （元）
周
10 10 1150
一
周
8 12 1120
二
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)甲、乙两种头盔共售出60个，为实现利润达到950元的目标，求至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】(1)甲头盔的销售单价为65元，乙头盔的销售单价为50元
(2)至少需要卖19个甲头盔
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，由题意可得方程组 ，进而
求解即可；
（2）设卖出m个甲头盔，则卖出了 个乙头盔，由题意可得 ，进
而求解即可
【详解】（1）解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元．
根据题意得 ，
解得 ．
答：甲头盔的销售单价为65元，乙头盔的销售单价为50元；
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（2）解：设卖出m个甲头盔，则卖出了 个乙头盔．
根据题意得， ，
解得 ．
是正整数，
的最小值为19．
答：至少需要卖19个甲头盔．
57．（2025·江西南昌·一模）解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
【答案】 ，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键. 首先分别解出两个不
等式的解集，然后找出它们的公共部分，即为不等式组的解集.最后，在数轴上表示出解集.
【详解】解：
解不等式①得 .
解不等式②得 .
故原不等式组的解集为 .
将解集在数轴上表示为：
．
58．（2025·江西宜春·一模）某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，
改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器
共需资金18万元．
(1)改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？
(2)已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、
乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？
哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？
【答案】(1)改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元
(2)
共有3种改造方案：方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；方案2：改造9个甲种型号机器
和7个乙种型号机器；方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．其中方案1：改造8个甲种
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型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立
方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，根据改造2个甲种型号机
器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元建立
方程组求解即可；
（2）设改造m个甲种型号机器，则改造 个乙种型号机器，根据改造资金最多能投入68万元，要
求改造时间不少于40天建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，
由题意得
解得 ，
答：改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元．
（2）解：设改造m个甲种型号机器，则改造 个乙种型号机器，
由题意得
解得 ．
∵m为正整数，
∴ ，
∴共有3种改造方案：
方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；
方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器；
方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．
方案1所需费用为 （万元）；
方案2所需费用为 （万元）；
方案3所需费用为 （万元）．
∵ ，
∴方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元．
59．（2025·江西·二模）（1）计算： ；
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（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】此题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识法则是解题的关键．
（1）根据乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的意义计算各项，再算加减法即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上或者根据口诀确定其公共部分即可．
【详解】解：（1）
．
（2）解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集为 ．
60．（2025·江西新余·模拟预测）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛
的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人
机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比
一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时．
(1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积．
(2)王伯伯种植了 亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若
每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？
【答案】(1)一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩．
(2)王伯伯至少还需要47个人同时打药．
【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为 亩，由题意易得
，然后进行求解即可；
（2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得 ，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为 亩，
由题意得： ，
解得： ，
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经检验： 是原方程的解，
∴ ，
答：一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩．
（2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得：
，
解得： ；
答：王伯伯至少还需要47个人同时打药．
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