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第二章 函数
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
函数的奇偶性
２０２１新高考 １３ ５ 填空题 中 利用奇偶性求解参数的值 直接法 数学运算
Ⅰ， 与周期性
函数的单调性、奇偶性 判断函数的单调性、 数学运算
２０２１新高考 １４ ５ 填空题 中 直接法
Ⅱ， 与周期性的综合运用 判断导函数的奇偶性 逻辑推理
定义法
２０２１全国乙理 ４ ５ 单项选择题 易 函数的奇偶性与周期性 判断函数的奇偶性 逻辑推理
， 图象法
函数的奇偶性
２０２０新高考 ８ ５ 单项选择题 难 解不等式 数形结合 逻辑推理
Ⅰ， 与周期性
已知单调性求
２０２０新高考 ７ ５ 单项选择题 中 函数的单调性与最值 定义法 逻辑推理
Ⅱ， 参数取值范围
数学建模
２０２０新高考 ６ ５ 单项选择题 中 函数模型及应用 指数函数的应用 待定系数法
Ⅰ， 数学运算
命题规律与备考策略
考查内容 函数是高中数学的重要知识 本章考查主要内容有 结 复习建议 函数贯穿高中数学 是高考重点 热点 难点内容 需要系
， （１） ， 、 、 ，
合函数的定义综合考查函数的基本性质 结合一元一次不等式 一 统掌握函数知识 构建函数知识网络 以题目带知识点 可以将题目
；（２） 、 ：① ， ，
元二次不等式 指数与对数不等式考查函数的定义域 考查用待定 划分为若干个考点进行归类与整理 加强重点知识与热点知识的复
、 ；（３） ；②
系数法 换元法等方法求解函数解析式 考查指数函数 对数函数 习与巩固 例如函数的单调性 奇偶性 周期性的综合应用 注重知
、 ；（４） 、 、 ， 、 、 ；③
二次函数 幂函数的图象与性质 结合函数的图象考查函数的性 识的内在联系 例如复习指数函数 对数函数的图象与性质时 可以利
、 ；（５） ， 、 ，
质 函数的零点与方程的根 结合实际问题考查函数的应用． 用类比方法系统把握 重视本章易错知识点和易混知识点的积累．
、 ；（６） ；④
题型赋分 函数的基本性质与应用是高考的高频考点 以选择题或填 备考策略 针对本章的知识特点 备考时首先将学习重点放在以下几
， ，
空题为主 分值大约 分． 方面 函数的基本性质 二次函数与幂函数 指数函数与对数函数 函
， １０ ： 、 、 、
命题特点 本章内容一般不会出现单一知识点的考题 常综合函数的 数的零点与方程的根 函数模型及综合应用．其次对常见的结论或方法
， 、
单调性 奇偶性 周期性命制 或将函数的性质融入函数的图象进行考 要加强记忆与理解 例如 基本初等函数的解析式 常见函数定义
、 、 ， ， ：① ；②
查 函数的零点是考查的热点之一 需要结合导数 不等式等知识进行 域的求法 函数解析式的求法 函数值域的求法 函数图象的变
， ， 、 ；③ ；④ ；⑤
求解．试题情境主要为课程学习情境 主要考查的核心素养为数学运算 换 周期函数的常用结论 函数零点的常见求法等．最后 要注重函
， ；⑥ ；⑦ ，
和逻辑推理． 数知识与不等式 方程 导数知识的融合问题 对于函数模型及综合应
、 、 ，
用则需掌握解题思路与常见的几类函数模型．２ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§２．１ 函数概念及表示
函数的有关概念 学生用书Ｐ１１ Ａ．［－３，１］ Ｂ．（－３，１）
Ｃ．（－∞，－３］∪［１，＋∞） Ｄ．（－∞，－３）∪（１，＋∞）
１．（２０１８上海，１６，５分）设Ｄ是含数 的有限实数集 ｆ ｘ 是定 答案 Ｄ 由ｘ２ ｘ 解得ｘ 或ｘ 故选 ．
１ ， （ ） ＋２ －３＞０， ＜－３ ＞１， Ｄ
ｘ２ ｘ
义在Ｄ上的函数 若ｆ ｘ 的图象绕原点逆时针旋转π后与原 ５．（２０１５湖北文，６，５ 分）函数 ｆ ｘ ｘ －５ ＋６的定
， （ ） （ ）＝ ４－｜ ｜ ＋ｌｇ ｘ
６ －３
图象重合 则在以下各项中 ｆ 的可能取值只能是 义域为
， ， （１） （ ） （ ）
３ ３ Ａ．（２，３） Ｂ．（２，４］
Ａ． ３ Ｂ． Ｃ． Ｄ．０
１． 答案 Ｂ ２ ３ Ｃ．（２，３）∪（３，４］ Ｄ．（－１，３）∪（ { ３，６］ ｘ
４－｜ ｜≥０，
答案 Ｃ 要使函数ｆ ｘ 有意义 需满足 ｘ２ ｘ
２．（２０２０ 北京，１１，５ 分）函数 ｆ ｘ １ ｘ 的定义域 （ ） ， －５ ＋６
（ ）＝ ｘ ＋ｌｎ ｘ ＞０，
＋１ －３
是 ． { ｘ
｜ ｜≤４，
２． 答案 即 ｘ ｘ 解之得 ｘ 或 ｘ 故选 ．
（０，＋∞） （ －３）（ －２） ２＜ ＜３ ３＜ ≤４， Ｃ
ｘ ＞０，
３．（２０１８ 江苏， ５， ５ 分） 函数 ｆ ｘ ｘ 的定义 －３
（ ） ＝ ｌｏｇ２ －１
域为 ． ６．（２０１４山东理，３，５分）函数ｆ ｘ １ 的定义域为
（ ）＝
３． 答案 ［２，＋∞） （ｌｏｇ２ ｘ ） ２ －１
４．（２０１８课标
Ⅰ
文，１３，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇ２（
ｘ２
＋
ａ
）
．若ｆ
（３） ( ) （ ）
则ａ ．
＝１， ＝ １
４． 答案 －７ Ａ． ( ０， ２ ) Ｂ．（ ( ２，＋∞ ] ）
１ １
以下为教师用书专用（１—９） Ｃ． ０， ∪（２，＋∞） Ｄ． ０， ∪［２，＋∞）
２ ２
１．（２０１５ 湖北文，７，５ 分）设 ｘ Ｒ 定义符号函数 ｘ 答案 Ｃ 要使函数 ｆ ｘ 有意义 需使 ｘ ２ 即
{ ｘ
∈ ， ｓｇｎ ＝ （ ） ， （ｌｏｇ２ ） －１＞０，
１， ＞０， ｘ ２ ｘ 或 ｘ ．解之得ｘ 或 ｘ １ ．
ｘ 则 （ｌｏｇ２ ） ＞１，∴ ｌｏｇ２ ＞１ ｌｏｇ２ ＜－１ ＞２ ０＜ ＜
０， ＝０， （ ） ( ) ２
ｘ ．
－１， ＜０ 故ｆ ｘ 的定义域为 １ ．
Ａ．｜ ｘ ｜＝ ｘ ｜ｓｇｎ ｘ ｜ Ｂ．｜ ｘ ｜＝ ｘ ｓｇｎ｜ ｘ ｜ ７．（２０ （ １６ ） 课标 文，１０， ０ ５ ， 分 ２ ）下 ∪ 列 （２ 函 ，＋ 数 ∞ 中 ） 其定义域和值域分别
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ Ⅱ ，
Ｃ．｜ ｜＝｜ ｜ｓｇｎ Ｄ．｜ ｜＝ ｓｇｎ {ｘ ｘ 与函数ｙ ＝１０ ｌｇ ｘ的定义域和值域相同的是 （ ）
， ＞０，
答案 Ｄ 由已知可知 ｘ ｘ ｘ 而 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ １
ｓｇｎ ＝ ０， ＝０， ｜ ｜ ＝ Ａ． ＝ Ｂ． ＝ｌｇ Ｃ． ＝２ Ｄ． ＝ ｘ
ｘ ｘ
{ｘ ｘ － ， ＜０， 答案 Ｄ 函数ｙ ＝１０ ｌｇ ｘ的定义域 、 值域均为 （０，＋∞）， 而ｙ ＝
， ＞０， ｘ ｙ ｘ 的定义域均为Ｒ 排除 ｙ ｘ的值域为Ｒ 排除
ｘ 所以 ｘ ｘ ｘ 故选 ． ， ＝２ ， Ａ，Ｃ； ＝ｌｇ ，
０， ＝０， ｜ ｜＝ ｓｇｎ ， Ｄ 故选 ．
ｘ ｘ Ｂ， Ｄ
２．（２ － ０１ ， ４ ＜ 江 ０， 西理，３，５分）已知函数ｆ ｘ ｜ ｘ ｜ ｇ ｘ ａｘ２ ｘ ａ 易错警示 利用对数恒等式将函数ｙ ＝１０ ｌｇ ｘ变为ｙ ＝ ｘ，将其
（ ）＝５ ， （ ）＝ － （ ∈ 值域认为是Ｒ是失分的主要原因．
Ｒ ．若ｆ ｇ 则ａ
） ［ （１）］＝１， ＝ （ ） 评析 本题考查函数的定义域和值域，熟练掌握基本初等函
Ａ．１
答案 Ａ 由
Ｂ
已
．２
知条件可知
Ｃ．
ｆ
３
ｇ ｆ ａ
Ｄ．－１
｜ ａ －１｜
数的图象和性质是解题的关键．
ａ 得ａ ．故选 ．
： ［ （１）］＝ （ －１）＝５ ＝１， ８．（２０１５课标
Ⅱ
文，１３，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ３
－２
ｘ的图象过点
∴ ｜ －１｜＝０， ＝１ Ａ 则ａ ．
评析 本题主要考查函数的解析式，正确理解函数的定义是 （－１，４）， ＝
答案
解题关键． －２
解析 因为函数ｆ ｘ ａｘ３ ｘ的图象过点 所以
３．（２０１７山东理，１，５分）设函数ｙ ｘ２的定义域为Ａ 函数ｙ （ ）＝ －２ （－１，４）， ４＝
＝ ４－ ， ａ ３ 故ａ ．
ｘ 的定义域为Ｂ 则Ａ Ｂ ×（－１） －２×（－１）， ＝－２
＝ｌｎ（１－ ） ， ∩ ＝ （ ） ９．（２０１６江苏，５，５分）函数ｙ ｘ ｘ２的定义域是 ．
． ． ＝ ３－２ －
Ａ（１，２） Ｂ（１，２］ 答案
． ． ［－３，１］
Ｃ（－２，１） Ｄ［－２，１） 解析 若函数有意义 则 ｘ ｘ２ 即ｘ２ ｘ 解得
答案 Ｄ 由 ｘ２ 解得 ｘ 由 ｘ 解得ｘ ， ３－２ － ≥０， ＋２ －３≤０，
４－ ≥０， －２≤ ≤２， １－ ＞０， ＜１， ｘ ．
Ａ Ｂ ｘ ｘ ．故选 ． －３≤ ≤１
∴ ∩ ＝｛ ｜－２≤ ＜１｝ Ｄ
４．（２０１５重庆文，３，５分）函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ 的定义域是
（ ）＝ｌｏｇ２（ ＋２ －３） 分段函数 学生用书Ｐ１１
（ ）
第二章 函数 ２ ３
{ － ｘ ｘ ( ( ))
１．（２０１８课标 文，１２，５ 分）设函数 ｆ ｘ ２ ， ≤０，则满足 ｆ ｆ ５ 则ｂ
Ⅰ （ ）＝ ｘ ＝４， ＝ （ ）
１， ＞０， ６
ｆ ｘ ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是
（ ＋１）＜（２ ） （ ） ７ ３ １
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（０，＋∞） Ｃ．（－１，０） Ｄ．（－∞，０）
(
８
)
４ ２
１． 答案 Ｄ
答案 Ｄ ｆ ５ ５ ｂ ５ ｂ
{ ＝３× － ＝ － ，
ｘ ｘ ６ ６ ２
２．（２０１７山东文，９，５ 分）设 ｆ ｘ ，０＜ ＜１， 若 ｆ ａ ( )
（ ）＝
２（
ｘ
－１），
ｘ
≥１
． （ ）＝ 当 ５
－
ｂ
≥１，
即ｂ
≤
３ 时
，
ｆ ５
－
ｂ
＝２
５ ２－ ｂ
，
( ) ２ ２ ２
ｆ ａ 则ｆ １
（ ＋１）， ａ ＝ （ ） 即
２
５ ２－ ｂ
＝４＝２
２
，
得到 ５
－
ｂ
＝２，
即ｂ
＝
１
；
２ ２
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ( )
２． 答案 Ｃ 当 ５ ｂ 即ｂ ３ 时 ｆ ５ ｂ １５ ｂ ｂ １５ ｂ
－ ＜１， ＞ ， － ＝ －３ － ＝ －４ ，
３．（２０１９ 天津理，８，５ 分） 已知 ａ Ｒ． 设函数 ｆ ｘ ２ ２ ２ ２ ２
∈ （ ） ＝
{ｘ２
－２
ａｘ
＋２
ａ
，
ｘ
≤１，若关于ｘ 的不等式 ｆ ｘ 在 Ｒ 上恒成
即１５
－４
ｂ
＝４，
得到ｂ
＝
７
＜
３
，
舍去．
ｘ ａ ｘ ｘ ． （ ）≥０ ２ ８ ２
－ ｌｎ ， ＞１
立 则ａ的取值范围为 综上 ， ｂ ＝ １ ， 故选 Ｄ ．
， （ ）
２
{ａ ｘ ｘ
Ａ．［０，１］ Ｂ．［０，２］ Ｃ．［０，ｅ］ Ｄ．［１，ｅ］
３． 答案 Ｃ ３．（２０１４江西文，４，５分）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ · － ｘ ２ ， ｘ ≥０， （ ａ ∈ Ｒ ），
４．（２０２１ 浙 江， １２， ４ 分） 已 知 ａ Ｒ 函 数 ｆ ｘ ２ ， ＜０
∈ ， （ ） ＝ 若ｆ ｆ 则ａ
{ｘ２ ｘ ［ （－１）］＝１， ＝ （ ）
－４， ＞２， 若ｆ ｆ 则ａ ．
ｘ ａ ｘ ． （ （ ６））＝３， ＝ Ａ ． １ Ｂ ． １ Ｃ ． １ Ｄ ． ２
｜ －３｜＋ ， ≤２ ４ ２
４． 答案
２ 答案 Ａ 由ｆ ｆ ｆ ａ 得ａ １ 故选 ．
［ （－１）］＝ （２）＝４ ＝１， ＝ ， Ａ
以下为教师用书专用（１—４） ４
{ ｘ ｘ ４．（２０１４课标 文，１５，５分）设函数ｆ ｘ { ｅ ｘ －１ ， ｘ ＜１， 则使得
１．（２０１５陕西文，４，５分）设ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ － ， ｘ ≥０，则ｆ （ ｆ （－２））＝ Ⅰ （ ）＝ ｘ１ ３ ， ｘ ≥１，
２ ， ＜０， ｆ ｘ 成立的ｘ的取值范围是 ．
（ ）≤２
（ ） 答案
（－∞，８］
１ １ ３ {ｘ {ｘ {ｘ
Ａ．－１ Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析 ｆ ｘ ＜１， 或 ≥１， ＜１， 或
答案 Ｃ
∵
ｆ ４
（－２）＝ ２
－２
＝
１ ２
，∴
ｆ
（
ｆ
（－２））
２
＝
ｆ ( １ )
＝
{ｘ （ ） ≤２⇒ ｅ ｘ －１ ≤２ ｘ１ ３ ≤２ ⇒ ｘ ≤ｌｎ２＋１
４ ４ ≥１， ｘ 或 ｘ ｘ 故填 ．
ｘ ⇒ ＜１ １≤ ≤８⇒ ≤８， （－∞，８］
≤８
１ １ 选 ．
１－ ＝ ， Ｃ
４ ２
{ ｘ ｂ ｘ
２．（２０１５ 山东文，１０，５ 分）设函数 ｆ ｘ ３ － ， ＜１，若
（ ）＝ ｘ ｘ ．
２ ， ≥１
学生用书Ｐ１１
1 做函数的 定义域 与ｘ的值相对应的ｙ值叫做 函数值 所有
⑥ ； ⑦ ，
考点 函数的有关概念 函数值组成的集合 ｙ Ｂ ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ 叫做函数的 值域．函数
｛ ∈ ｜ ＝ （ ）， ∈ ｝ ⑧
的定义域 值域和对应关系 称为函数 三要素．
１．函数的概念 、 ， ⑨
函数相等
（２）
函数 如果两个函数的 定义域 和对应关系完全一致 那么这两
⑩ ，
两集合 个函数相等．
设Ａ Ｂ是两个非空 数集
Ａ、Ｂ 、 ① 函数的表示法
（３）
函数的常用表示法 解析法 图象法和 列表法 ．
对应关系 如果按照某种确定的对应关系 ｆ ， 使对于集合 Ａ 中的 ： 、
任意一个数ｘ 在集合 Ｂ 中都有 唯一确定 的数
ｆ：Ａ Ｂ ② ， ③
→ ｆ ｘ 和它对应 2
（ ） 考点 分段函数
名称 那么就称ｆ Ａ Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个 函数
： → ④
记法 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）， ｘ ∈ Ａ 若函数在其定义域的不同子集上 因对应关系不同而分别
，
２．函数的有关概念 用几个不同的式子来表示 这种函数称为 分段函数 ．分段函
，
函数的定义域 值域 数的定义域等于各段函数的定义域的并集 其值域等于各段函
（１） 、 ，
在函数ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ中 ｘ叫做 自变量 ｘ的取值集合Ａ叫 数的值域的 并集 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的
＝ （ ）， ∈ ， ⑤ ， ， ，
２ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
是一个函数．
学生用书Ｐ１２
一、函数定义域的求法 １．待定系数法 已知函数的类型 利用所给条件列出方程或
： ，
１．求给定解析式的函数定义域 方程组 用待定系数法确定系数．
，
以函数解析式中所含式子 运算 有意义为准则 列出不等 ２．配凑法或换元法 已知复合函数ｆ ｇ ｘ Ｆ ｘ 的解析
（ ） ， ： ［ （ ）］＝ （ ）
式或不等式组求解 对于实际问题 定义域应使实际问题有意义． 式 把Ｆ ｘ 配凑成关于ｇ ｘ 的表达式 再用ｘ代替ｇ ｘ 称为
； ， ， （ ） （ ） ， （ ），
２．求某些抽象函数的定义域 配凑法 或者 直接令ｇ ｘ ｔ 解方程把ｘ表示成关于ｔ的函数
； ， （ ）＝ ， ，
若函数ｆ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 则复合函数ｆ ｇ ｘ 的 再代回 称为换元法 此时要注意新元ｔ的取值范围．
（１） （ ） ［ ， ］， ［ （ ）］ ， ，
定义域由不等式ａ ｇ ｘ ｂ求出 ３．转化法 已知某区间上的解析式 求其他区间上的解析
≤ （ ）≤ ； ： ，
若函数ｆ ｇ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 则ｆ ｘ 的定义域为 式 将待定 求 变量转化到已知区间上 利用函数满足的等量关
（２） ［ （ ）］ ［ ， ］， （ ） ， （ ） ，
ｇ ｘ 在ｘ ａ ｂ 上的值域． 系间接获得解析式．
（ ） ∈［ ， ］
( )
例１
（１）
（２０１９江苏，４，５分）函数ｙ
＝ ７＋６
ｘ
－
ｘ２的定义域
４．解方程组法 或赋值法 已知关于 ｆ ｘ 与 ｆ １ 或
是 ． （ ）： （ ） ｘ
（２） （２０１９湖北黄冈元月调研，２）已知函数ｆ （ ｘ ＋１） 的定义 ｆ （－ ｘ ） 的表达式 ， 可通过对自变量赋值构造出不同的等式 ， 通过
域为 则ｆ ｘ 的定义域为 解方程组求出ｆ ｘ ．
（－２，０）， （２ －１） （ ） （ ）
( ) 例２ （２０２０湖北黄冈浠水实验高中月考，１０）已知ｆ ｘ
１ （１） （ ）
Ａ．（－１，０） Ｂ．（－２，０） Ｃ．（０，１） Ｄ． － ，０ 是一次函数 且 ｆ ｆ ｆ ｆ 则ｆ ｘ 的解
２ ， ２（２）－３（１）＝５，２ （０）－ （－１）＝１， （ ）
解题思路 析式为
（ ）
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
由给定解析式的函数求定义域 就是保证式子有意义． Ａ． （ ）＝２ ＋３ Ｂ． （ ）＝３ ＋２
（１） ，
开偶次方时 ， 被开方数非负 ， 解不等式 ７＋６ ｘ － ｘ２ ≥０ 即可． Ｃ． ｆ （ ｘ ）＝３ ｘ －２ Ｄ． ｆ （ ｘ ）＝２ ｘ －３
由ｙ ｆ ｘ 的定义域确定ｘ 的取值集合Ｍ ｆ ｘ 的 已知函数ｆ ｘ ｘ ２ｘ 则ｆ ｘ 的解析
（２） ＝ （ ＋１） ＋１ （ （ ） （２） （１＋ｃｏｓ ）＝ｃｏｓ ２ －３ｓｉｎ ＋１， （ ）
定义域 再由 ｘ Ｍ解出ｘ的范围 即得所求函数的定义域． 式为
）， ２ －１∈ ， （ ）
解析 要使函数ｙ ｘ ｘ２有意义 则 ｘ ｘ２ Ａ．
ｆ
（
ｘ
）＝５
ｘ２
－１０
ｘ
＋２，
ｘ
∈［０，２］
（１） ＝ ７＋６ － ， ７＋６ － ≥０， ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
即ｘ２ ｘ 解之得 ｘ 所以函数ｙ ｘ ｘ２的定 Ｂ． （ ）＝５ － ＋１， ∈［－１，２］
－６ －７≤０， －１≤ ≤７， ＝ ７＋６ － ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
义域为 ． Ｃ． （ ）＝２ ＋３ ＋２， ∈［－２，２］
［－１，７］ ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
函数ｆ ｘ 的定义域为 即函数ｙ ｆ ｘ 中 Ｄ． （ ）＝５ －１０ ＋２， ∈［－１，１］
（２） （ ＋１） （－２，０）， ＝ （ ＋１） 定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ
的ｘ满足 ｘ 此时 ｘ 记ｔ ｘ 则 ｔ 则ｆ ｔ （３） （ ） （ ＋１）＝３（ ）， ０≤ ≤
－２＜ ＜０， －１＜ ＋１＜１， ＝ ＋１， －１＜ ＜１， （ ） 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 则当 ｘ 时 ｆ ｘ ．
的定义域为 也就是 ｆ ｘ 的定义域是 ．要求 １ ， （ ）＝ （１－ ）， －１≤ ＜０ ， （ ）＝
（－１，１）， （ ） （－１，１） ( )
ｆ ｘ 的定义域 则 ｘ 解得 ｘ ｆ ｘ 的定 已知函数 ｆ ｘ 满足 ｆ １ １ ｆ ｘ ｘ ｘ 则
（２ －１） ， －１＜２ －１＜１， ０＜ ＜１，∴ （２ －１） （４） （ ） ｘ ＋ ｘ （－ ）＝ ２ （ ≠０），
义域为 ．故选 ．
（０，１） Ｃ ｆ ．
答案 Ｃ （－２）＝
（１）［－１，７］ （２） 解题思路
１－１ （２０１９湖南长沙一中调研，５）函数ｙ ｘ １ 已知ｆ ｘ 是一次函数 直接设ｆ ｘ ｋｘ ｂ ｋ 然后利用
＝ｌｏｇ２（２ －４）＋ｘ （１） （ ） ， （ ）＝ ＋ （ ≠０），
－３
所给条件 构建关于系数ｋ ｂ的方程组 解方程组求出ｋ ｂ即可．
的定义域是 ， ， ， ，
（ ）
先结合三角公式将 ｘ ２ｘ 用 ｘ表示 然后
Ａ．（２，３） Ｂ．（２，＋∞）
利用
（
换
２
元
）
法求解析式 注意结
ｃｏ
合
ｓ ２
三
－
角
３ｓ
函
ｉｎ
数
＋
的
１
值域
ｃｏ
确
ｓ
定新元
，
的取
Ｃ．（３，＋∞） Ｄ．（２，３）∪（３，＋∞） ，
１－１． 答案 Ｄ 值范围．
１－２ （２０２０四川成都一中期中，６）已知函数ｙ ｆ ｘ 的定义 利用转化法求解析式．
＝ （ ） （３） ( )
域为 则函数ｇ ｘ ｆ ｘ １ 的定义域为 已知条件式中 如果能消去ｆ １ 和ｆ ｘ 中的一个
［１，＋∞）， （ ）＝ （２ －３）＋ ｘ （４） ， ｘ （－ ） ，
４－ ( )
比如消去ｆ １ 留下ｆ ｘ 就可以令ｘ 代入解析式 求得
（ ） ｘ ， （－ ）， ＝２， ，
Ａ．［－１，４］ Ｂ．［－１，４） Ｃ．［２，４］ Ｄ．［２，４） ｆ 的值．
１－２． 答案 Ｄ （－２）
解析 ｆ ｘ 是一次函数 设ｆ ｘ ｋｘ ｂ ｋ
１－３ 若函数ｆ ｘ 的定义域为 ａ ｂ 其值域也为 ａ ｂ ａ （１）∵ （ ） ，∴ （ ）＝ ＋ ， ≠０，
（ ） ［ ， ］， ［ ， ］（ ＜ 则ｆ ｋ ｂ ｆ ｋ ｂ ｆ ｂ ｆ ｋ ｂ
ｂ 则称函数ｆ ｘ 是定义在 ａ ｂ 上的 四维光军 函数．已知 （２）＝２ ＋ ， （１）＝ ＋ ， （０）＝ ，（－１）＝－ ＋ ，
）， （ ） ［ ， ］ “ ” { ｆ ｆ { ｋ ｂ ｋ ｂ
ｇ ｘ ｘ２ ｘ 是 ｂ 上的 四维光军 函数 则常数ｂ的值为 ２（２）－３（１）＝５， （４ ＋２ ）－（３ ＋３ ）＝５，解得ｋ
（ ）＝ －２ ＋２ ［１， ］ “ ” ， ∵ ｆ ｆ ∴ ｂ ｋ ｂ ＝３，
． ２（０）－（－１）＝１， ２ －（－ ＋ ）＝１，
ｂ ｆ ｘ ｘ 故选
１－３． 答案 ＝－２，∴ （ ）＝３ －２， Ｃ．
２ 由题意知ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ ２ｘ
（２） （１＋ｃｏｓ ）＝２ｃｏｓ －１－３（１－ｃｏｓ ）＋１＝５ｃｏｓ
令 ｘ ｔ ｔ 则 ｘ ｔ 从而得ｆ ｔ ｔ ２
－３， １＋ｃｏｓ ＝ ，∈［０，２］， ｃｏｓ ＝ －１， （ ）＝５（ －１）
二、求函数解析式的常用方法 ｔ２ ｔ 故ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ 故选 ．
－３＝５ －１０ ＋２， （ ）＝５ －１０ ＋２， ∈［０，２］， Ａ
第二章 函数 ２ ５
例３ （２０１９ 广 东 梅 州 质 检） 设 函 数 ｆ ｘ
由 ｘ 得 ｘ 从而 ｆ ｘ １ ｆ ｘ （１） （ ） ＝
（３） －１≤ ＜０ ０≤ ＋１＜１， （ ）＝ （ ＋１）＝ { ｘ ｘ
３ １＋ｌｏｇ２（２－ ）， ＜１， 则ｆ ｆ ．
１ ｘ ｘ １ ｘ ｘ ｘ２ ｘ 故当 ｘ 时 ｘ －１ ｘ （－２）＋（ｌｏｇ２１２）＝
（ ＋１）［１－（ ＋１）］＝－ （ ＋１）＝－ － ， －１≤ ＜０ ， ２ ， ≥１，
３ ３ ３ ３ （２０１９ 山东师范大学附中二模，３）已知函数 ｆ ｘ
ｆ ｘ ｘ２ ｘ ． { （２ ａ ） ｘ ａ ｘ （ ）＝
（ ）＝－ － （１－２ ） ＋３ （ ＜１），的值域为Ｒ 则实数ａ的取值范围是
３ ３ ｘ ｘ ， （ ）
( ) ｌｎ （ ≥１）
ｆ １ １ ｆ ｘ ｘ 令 ｘ １ ｔ 则有 １ ｔ [ ]
（４） ｘ ＋ ｘ （－ ）＝２ ①， － ＝ ｔ （ ≠０）， ｘ ＝－ ， １
Ａ．（－∞，－１） Ｂ． ，１
( ) ( ) ２
代入 可得ｆ ｔ ｔｆ １ ２ 即ｆ ｘ ｘｆ １ ２ [ ) ( )
① （－）－ ｔ ＝－ ｔ ， （－ ）－ ｘ ＝－ ｘ ②， １ １
Ｃ． －１， Ｄ． ０，
２ ２
由 ｘ 得 ｆ ｘ ｘ２ ２ ｆ ｘ ｘ２ １ 解析 ｆ
①× ＋②， ２（－ ）＝２ － ｘ ⇒（－ ）＝ － ｘ ， （１）∵ －２＜１，ｌｏｇ２１２＞１，∴ （－２）＝１＋ｌｏｇ２［２－（－２）］＝
３，
ｆ
（ｌｏｇ２１２）＝２
ｌｏｇ２１２－１
＝２
ｌｏｇ２６
＝６
．
∴
ｆ
（－２）＋
ｆ
（ｌｏｇ２１２）＝９
．
ｆ ２ １ ７ ． { ａ ｘ ａ ｘ
∴ （－２）＝２ － ＝ 因为函数ｆ ｘ （１－２ ） ＋３ （ ＜１），的值域为Ｒ
２ ２ （２） （ ）＝ ｘ ｘ ，
ｘ２ ｘ ｌｎ （ ≥１）
答案 Ｃ Ａ ７ { ａ
（１） （２） （３）－ － （４） 所以 １－２ ＞０， 解得 ａ １ 故选 ．
２－１ （２０２１辽宁沈阳一模，８） ３ 已知 ３ 函数ｇ ２ ｘ ｈ ｘ 分别是 （１－２ ａ ）＋３ ａ ≥０， －１≤ ＜ ２ ， Ｃ
定义在Ｒ上的偶函数和奇函数 且 ｇ ｘ ｈ ｘ （ ）， ｘ （ ｘ ） 若函数 答案 （１）９ （２） Ｃ
ｆ ｘ ｜ ｘ －１｜ λｇ ｘ λ２ 有唯 ， 一零点 （ ） 则 ＋ 正 （ 实 ） 数 ＝ λ ｅ 的 ＋ 值 ， 为 ３－１ （２０２０ 广东汕头金山中学期中，４）已知 ｆ （ ｘ ）＝
（ ）＝２ ＋ （ －１）－６ ， { ｘ
ｘ
（ ） （ ≥０），则ｆ ｆ ｘ 的解集是
２ ［ （ ）］≥１ （ ）
１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．３ ｘ２ ｘ
２ ３ （ ＜０），
２－１． 答案 Ａ
Ａ．（－∞，－ ２］ Ｂ．［４ ２，＋∞）
三、分段函数的解题策略 Ｃ．（－∞，－１］∪［４ ２，＋∞） Ｄ．（－∞，－ ２］∪［４，＋∞）
３－１． 答案 Ｄ
高考中涉及分段函数的试题 通常有如下几种
， ： ３－２ （２０２１ 广 东 肇 庆 二 模， １４） 设 函 数 ｆ ｘ
１．求函数值或解不等式 由自变量所属区间 选定相应的解 （ ） ＝
： ， { ｘ ａ ｘ ( ( ))
析式求解． ２ － ， ＜１，若ｆ ｆ １ 则ａ ．
ｘ ｘ ＝４， ＝
２．求函数值域 分别求每一段的值域 再取并集． ２ ， ≥１， ４
： ，
３．求函数最值 分别求每一段的最值 然后比较大小 从而 ３－２． 答案 ３
： ， ， －
求得最值． ２
４．求参数的值 或参数范围 分段处理 分类讨论 综合作答．
（ ）： ， ，
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１３
函数的有关概念
１．（２０２１山东烟台一模，５）某工厂产生的废气经过滤后排放 过
，
滤过程中废气的污染物含量Ｐ 单位 与时间ｔ 单位
（ ：ｍｇ／Ｌ） （ ：ｈ）
间的关系式为Ｐ Ｐ － ｋｔ 其中Ｐ ｋ为正常数．如果一定量的废
＝ ０ｅ ， ０，
气在前 的过滤过程中污染物被消除了 ％ 那么污染物
１０ ｈ ２０ ， 函数ｖ ｆ ｕ 为减函数
Ａ． ＝ （ ）
减少到最初含量的 ％还需要经过多长时间 结果四舍五
５０ ？ （ Ｂ．１５ ｔ － ｕ －４ ｖ ＝３２
入取整数 参考数据 ． ． 当ｘ ． 时 此人从小岛到城镇花费的时间最少
， ：ｌｎ２≈０６９３，ｌｎ５≈１６０９） （ ） Ｃ． ＝１５ ，
当ｘ 时 此人从小岛到城镇花费的时间不超过
Ａ．１１ ｈ Ｂ．２１ ｈ Ｃ．３１ ｈ Ｄ．４１ ｈ Ｄ． ＝４ ， ３ ｈ
１． 答案 Ｂ ２． 答案 ＡＣ
２．（多选题）（２０２０山东枣庄、滕州期末）如图所示 一座小岛距 ３．（２０２１河北唐山二模，１５）有以下三个条件 定义域不是Ｒ
， ：① ；
离海岸线上最近的 Ｐ 点的距离是 从 Ｐ 点沿海岸正东 值域为Ｒ 奇函数．写出一个同时满足以上三个条件的函
２ ｋｍ， ② ；③
处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为 数 ｆ ｘ ．
１２ ｋｍ ：（ ）＝
步行的速度为 时间ｔ 单位 表示他从小岛 ３． 答案 ｘ 答案不唯一
３ ｋｍ／ｈ， ５ ｋｍ／ｈ， （ ：ｈ） ｔａｎ （ ）
到城镇的时间 ｘ 单位 表示此人将船停在海岸处距Ｐ点
， （ ：ｋｍ）
的距离．设ｕ ｘ２ ｘ ｖ ｘ２ ｘ 则 分段函数
＝ ＋４＋ ， ＝ ＋４－ ， （ ）
２ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
{ ｘ ＋ｌｎ２ ｘ ３．（２０２１ 辽 宁 百 校 联 盟 质 检， １３） 已 知 函 数 ｆ ｘ
１．（２０２１山东枣庄二模，３）已知函数 ｆ ｘ ｅ ， ≤０， 则 （ ） ＝
（ ）＝ ｆ ｘ ｘ { ｘ
（ －３）， ＞０， ２ ｘ
ｆ ｘ ， ＞０， 则ｆ ．
（２０２１）＝ （ ） ＋１ （－４）＝
ｆ ｘ ｘ
２ ２ ２ （ ＋２）， ≤０，
Ａ． ｅ Ｂ．２ｅ Ｃ． ｅ ２ Ｄ．２ｅ ３． 答案 ４
１． 答案 Ａ
３
{ ｘ ｘ ４． （ ２０２１ 江 苏 南 通 一 模， １３） 已 知 函 数 ｆ ｘ
２．（２０２１山东青岛一模，５）若ｆ （ ｘ ）＝ ｌｏ ｘ ｇ３ ｘ （ ＋１）， ≥０，则不等式 { ｓｉｎ ２ｘ －ｔａｎ ｘ ， ｘ ＜０，则ｆ ( ｆ ( ２５π )) ． （ ） ＝
２ ， ＜０， －２ ｘ ｘ － ＝
ｆ ｘ １ 的解集为 ｅ ， ≥０， ４
（ ）＞ （ ）
２ ４． 答案 １
３
ｅ
Ａ．（－１，０）∪（ ３－１，＋∞） { ｘ ｘ
３ ， ≤０，
Ｂ．（－∞，１－ ３）∪（１，＋∞） ５．（２０２０ 山东枣庄统考）若 ｆ ｘ 则 ｆ ｆ
（ ）＝ １ ｘ （ （－２））＝
Ｃ．（－１，０）∪（０， ３－１） ｘ ， ＞０，
．
Ｄ．（－∞，－１）∪（ ３－１，＋∞）
２． 答案 Ａ ５． 答案
９
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１４ ４０分钟 ４５分
一、单项选择题（每小题５分，共２０分） 二、多项选择题（共５分）
１．（２０２０湖南长沙一中第七次大联考）已知函数 ｆ ｘ ｘ ５．（２０２１福建三明期末，１２）设ｆ ｘ ［ｓｉｎ ｘ ］ ［ｃｏｓ ｘ ］ 其中 ｘ 表示
（ ）＝ ｌｎ － （ ）＝ｅ ＋ｅ ， ［ ］
不超过ｘ的最大整数 如 ． ． 以下结论正确
１ ａｘ２ ａ ｘ ａ ａ 的值域与函数ｆ ｆ ｘ 的值域相同 ， ［２６］＝２，［－３２］＝－４，
＋（ －１） ＋ （ ＞０） （ （ ）） ， 的是
２ （ ）
则ａ的取值范围为 ｆ ｘ 是偶函数 ｆ ｘ 是周期函数
（ ） Ａ． （ ） Ｂ． （ ）
( ] [ )
４ ４ ｆ ｘ 的最小值是 ２ ｆ ｘ 的最大值是
Ａ．（０，１］ Ｂ．（１，＋∞） Ｃ． ０， Ｄ． ，＋∞ Ｃ． （ ） Ｄ． （ ） ２ｅ
３ ３ ｅ
１． 答案 Ｄ ５． 答案 ＢＣ
２．（２０２１ 福 建 福 州 第 一 中 学 期 中，５） 设 函 数 ｆ ｘ
（ ） ＝ 三、填空题（每小题５分，共２０分）
{ ｘ ｘ
ｌｏｇ２ ， ＞０， 若ｆ ａ ｆ ａ 则实数ａ的取值范围是 ｘ
ｘ ｘ （ ）＞（－ ）， （ ） ６．（２０２０ 江苏仿真模拟）函数 ｆ ｘ １＋ｌｎ 的定义域为
ｌｏｇ１ ２（－ ）， ＜０， （ ）＝ ｘ
１－ｌｎ
Ａ．（－１，０）∪（０，１） Ｂ．（－∞，－１）∪（１，＋∞） ．
Ｃ．（－１，０）∪（１，＋∞） Ｄ．（－∞，－１）∪（０，１） [ )
２． 答案 Ｃ ６． 答案 １
，ｅ
３．（２０２１ 江苏苏锡常镇四市调研 （一），８） 若 ｆ ｘ ｅ
（ ） ＝
{
ｘ３ － １ ｘ ６ ， ｘ ≠０，则满足ｘｆ ｘ 的ｘ的取值范围是 ７．（２０２０江苏仿真模拟）已知Ｐ （ ｓ ， ｔ ） 在函数ｆ （ ｘ ）＝ １－ ｘ２的图象上
（ －１）≥０ （ ）
ｘ 运动 则 ｓ２ ｔ ２ ｓ ２ ｔ２的最小值为 ．
０， ＝０， ， ＋（ －２） ＋ （ －１） ＋
７． 答案
Ａ．［－１，１］∪［３，＋∞） ５
８．（２０２０江苏苏锡常镇四市调研（一），１３）若函数ｆ ｘ =ａｘ ａ
Ｂ．（－∞，－１］∪［０，１］∪［３，＋∞） （ ） （ ＞０
Ｃ．［－１，０］∪［１，＋∞）
且ａ
≠１）
在定义域
［
ｍ
，
ｎ
］
上的值域是
［
ｍ２
，
ｎ２
］（１＜
ｍ
＜
ｎ
），
则ａ
的取值范围是 ．
Ｄ．（－∞，－３］∪［－１，０］∪［１，＋∞）
３． 答案 Ｂ
４．（２０２１上 海 黄浦一模，１６）已知ｋ ∈ Ｒ ， 函数ｆ （ ｘ ）＝ ｜ ｘ２ －４｜＋ ｘ２ ＋
８． 答案
（１，ｅ
２
ｅ） { ｘ ａ ２ ｘ
ｋｘ的定义域为Ｒ 若函数ｆ ｘ 在区间 上有两个不同的零 （ － ） ， ≤０，
， （ ） （０，４） ９．（２０２０山东淄博实验中学模拟，１４）设ｆ ｘ
点 则ｋ的取值范围是 （ ）＝ ｘ １ ｘ ．
， （ ） ＋ ｘ ， ＞０
ｋ ｋ 或ｋ
Ａ．－７＜ ＜－２ Ｂ． ＜－７ ＞－２
Ｃ．－７＜ ｋ ＜０ Ｄ．－２＜ ｋ ＜０ （１） 当ａ ＝ １ 时 ， ｆ （ ｘ ） 的最小值是 ；
２
４． 答案 Ａ 若ｆ 是ｆ ｘ 的最小值 则ａ的取值范围是 ．
（２） （０） （ ） ，
９． 答案 １
（１） （２）［０， ２］
４
第二章 函数 ２ ７
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ａ
若ａ 则仅需５ ａ 解得ａ
１．（２０２１宁夏顶级名校高三第六次月考，３）已知ｆ
（２
ｘ
－１）＝ ４
ｘ２
，
≥０，
４
＝ ＋１， ＝４；
则ｆ
（－３）＝ （ ） 若ａ ＜０， 则仅需 － ２ ａ ＝ ａ ＋１， 解得ａ ＝－ ３ ．
３ ５
Ａ．３６ Ｂ．１６
综上 实数ａ的值为 或 ３ ．
Ｃ．４ Ｄ．－１６ ， ４ －
答案 Ｃ 令 ｘ 则ｘ ｘ２ ．故选 ５
２ －１＝－３， ＝－１，４ ＝４ Ｃ． ( )
６．（２０２１浙江杭州二中高三下开学考，３） ｍ １ 是 函数
２．（２０２１河南濮阳模拟，５）函数ｙ ｘ２ ｘ １ 的定义域为 “ ∈ ０， ” “
＝ － ＋ ＋６＋ｘ ３
－１ { ｍ ｘ ｍ ｘ
ｆ ｘ （３ －１） ＋４ ， ＜１，是定义在Ｒ上的减函数 的
（ ） （ ）＝ ｍｘ ｘ ” （ ）
－ ， ≥１
Ａ．［－２，３］ Ｂ．［－２，１）∪（１，３］ ．充分不必要条件 ．必要不充分条件
Ａ Ｂ
Ｃ．（－∞，－２］∪［３，＋∞）
{ ｘ２ ｘ
Ｄ．（－２，１）∪（１，３）
Ｃ
．充分必要条件
Ｄ
．既不充分也不必要条件
答案 Ｂ 由题意得 － ＋ ＋６≥０，解得 ｘ 或 ｘ { ｍ ｘ ｍ ｘ
ｘ －２≤ ＜１ １＜ ≤ 答案 Ｂ 因为 函数ｆ ｘ （３ －１） ＋４ ， ＜１，是定义在
－１≠０， “ （ ）＝ ｍｘ ｘ
故选 － ， ≥１
３， Ｂ． { ｘ ｘ { ３ ｍ －１＜０，
３．（２０２１北京东城一模，６）已知函数ｆ ｘ ２ －１，０＜ ＜２，则不 Ｒ上的减函数 的充要条件为 ｍ
（ ）＝ ｘ ｘ ” － ＜０，
６－ ， ≥２， ｍ ｍ ｍ
等式ｆ ｘ ｘ的解集为 （３ －１）＋４ ≥－ ，
（ ）≥ （ ）
解得 １ ｍ １ ．
Ａ．（０，１］ Ｂ．（０，２］ Ｃ．［１，４］ Ｄ．［１，６］ ≤ ＜
８ ３
答案 Ｃ 作出函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｘ的图象 [ ) ( ) ( )
＝ （ ） ＝ ， 因为 １ １ １ 所以 ｍ １ 是 函数ｆ ｘ
， ⫋ ０， ， “ ∈ ０， ” “ （ ）＝
８ ３ ３ ３
{ ｍ ｘ ｍ ｘ
（３ －１） ＋４ ， ＜１，是定义在Ｒ上的减函数 的必要不充分
ｍｘ ｘ ”
－ ， ≥１
条件 故选 ．
， Ｂ
７．（２０２１江西南昌六校第二次联考，７）已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ
ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 且当 ｘ 时 ｆ ｘ
（ ） （ ） ＝ （ － ６）， ０≤ ＜ ３ ， （ ） ＝
{ａ ｘ ｘ
由图可知 不等式ｆ ｘ ｘ的解集为 ．故选 ． ＋ｌｏｇ２（ ＋１），０≤ ≤１，则ｆ ｆ ｆ 的值为
， （ ）≥ ［１，４］ Ｃ ｘ ２ ｘ （２０１９）＋（２０２０）＋（２０２１）
４．（２０２１陕西榆林一模，４）下列四个函数 ｙ ｘ ｙ １ ２（ －２） ，１＜ ＜３，
：① ＝２ ＋３；② ＝ ｘ ；
（ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ１ ２ 其中定义域与值域相同的函数的个数为 １ １
③ ＝２ ；④ ＝ ， Ａ．２ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－２
２ ２
（ ） 答案 Ｄ 因为函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） （ ）＝ （ －６），
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 所以函数ｆ ｘ 的周期Ｔ ．
答案 Ｃ 函数ｙ ｘ 的定义域为Ｒ 值域也为Ｒ 即定 （ ） ＝６
① ＝２ ＋３ ， ， 因为函数ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的奇函数
义域和值域相同 （ ） ，
； 所以ｆ ａ 所以ａ
（０）＝ ＋ｌｏｇ２１＝０， ＝０，
函数ｙ １ 的定义域为 值域也为 则ｆ ｆ ｆ ｆ
② ＝ ｘ （－∞，０）∪（０，＋∞）， （－∞， （－１）＝ － （１）＝ －ｌｏｇ２（１＋１）＝ －２， （－２）＝ － （２）＝ －２×
即定义域和值域相同 （２－２） ２ ＝０，
０） 指 ∪ 数 （０ 函 ，＋ 数 ∞ ｙ ）， ｘ 的定义域为Ｒ 值域 ； 为 即定义域和 令ｘ ＝３， 可得ｆ （３）＝ ｆ （３－６）＝ ｆ （－３）＝－ ｆ （３）， 解得ｆ （３）＝０，
③ ＝２ ， （０，＋∞）， 所以ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
值域不同 （２０１９）＋（２０２０）＋（２０２１）＝ （３３６×６＋３）＋（６×３３７－２）
； ｆ ｆ ｆ ｆ ．故选 ．
幂函数ｙ ｘ１ ２的定义域为 值域也为 即定 ＋（３３７×６－１）＝ （３）＋（－２）＋（－１）＝０＋０－２＝－２ Ｄ
④ ＝ ［０，＋∞）， ［０，＋∞）， ８．（２０２１ 安徽皖江名校联盟 ４ 月联考，３） 函数 ｆ ｘ
义域和值域相同． （ ） ＝
{ ｘ ｘ
故选 ． ｌｎ（－ ），－１≤ ＜０， ａ Ｒ 是自然对数的底数 且ｆ
Ｃ ａｘ ｘ （ ∈ ，ｅ ） （１）＝ ２，
５．（２０２１ 浙江稽阳联谊 ４ 月模考，８）已知 ｆ
（
ｘ
）＝ （１２
ｘ２
－７
ａｘ
－
ｅ
(
，０≤
)
≤１
１０
ａ２
）ｌｎ（
ｘ
－
ａ
）
的值域为
［０，＋∞），
则实数ａ
＝ （ ）
则ｆ
－
１
－
ｆ
（ｌｏｇ４３）＝ （ ）
ｅ
． 或 ． 或 ３ ． 或 ３ ． 或 ３
Ａ４ ０ Ｂ４ － Ｃ０ － Ｄ２ － Ａ．－１－ ３ Ｂ．－１＋ ３
５ ５ ５
答案 Ｂ 函数零点的根轴法 化简得ｆ ｘ ｘ ａ ｘ
（ ） （ ）＝（３ ＋２ ）（４ Ｃ．１－ ３ Ｄ．１＋ ３
ａ ｘ ａ 答案 Ａ 由 ｆ 即 ａ 得 ａ 则 ｆ ｘ
－５ ）ｌｎ（ － ）， （１）＝ ２， ｅ ＝ ２， ＝ｌｎ ２， （ ）
ａ { ｘ ｘ
令ｆ ｘ 得ｘ ２ ａ或ｘ ５ 或ｘ ａ ． ｌｎ（－ ），－１≤ ＜０，
（ ）＝０， ＝－ ＝ ＝ ＋１ ＝ ｘ ｌｎ２ ｘ
３ ４ ｅ ，０≤ ≤１，
２ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
{ ｘ ｘ ( ) 此时ｆ ｘ ｘ２ ｘ２
即ｆ ｘ ｌｎ（－ ），－１≤ ＜０，于是ｆ １ ｆ １ （ ）＝ ｜ －１｜＝１－ ，
（ ）＝ ｘ ｘ － － （ｌｏｇ４３）＝ ｌｎ － 所以ｆ ｘ 在 ａ ｂ 内单调递减
２ ，０≤ ≤１， ｅ ｅ （ ） ［ ， ］ ，
２ ｌｏｇ４３ ＝－１－ ３ ．故选 Ａ． 则满足 {ｆ （ ａ ）＝１－ ａ２ ＝ ｂ ，化简可得 ａ２ ａ ｂ２ ｂ 即 ( ａ １ ) ２
９． { （ ２０２ ａ １ ｘ 贵 ａ 州 ｘ 毕 节 期 末， １１） 已 知 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ( ｆ ) （ ２ ｂ ）＝１－ ｂ２ ＝ ａ ， － ＝ － ， － ２
（４－ ） ＋３ ， ＜１，的值域为Ｒ 则实数ａ的取值范围是 ＝ ｂ － １ ，
ｘ ｘ ， ２
ｌｏｇ３ ， ≥１
所以ａ １ ｂ １ 或ａ １ １ ｂ
（ ） － ＝ － － ＝ － ，
２ ２ ２ ２
Ａ．（－２，４） Ｂ．［－２，４） 解得ａ ｂ 舍 或ａ ｂ
＝ （ ） ＋ ＝１，
Ｃ．（－∞，－２］ Ｄ．｛－２｝ {ａ ｂ
{ ａ ｘ ａ ｘ 由 ＋ ＝１， 解得ｂ 或ｂ 舍
答案 Ｂ 函数ｆ
（
ｘ
）＝
（４－
ｘ
）
ｘ
＋３ ， ＜１，的值域为Ｒ
，
ａ
＋
ｂ２
＝１，
＝１ ＝０（ ），
ｌｏｇ３ ， ≥１ 所以ａ ｂ 经检验 满足原方程组
由ｙ ｘ ｘ 是增函数 ＝１－ ＝０， ， ，
∴ ＝ｌｏｇ３ （ ≥１） ， 所以此时完美区间为
得ｙ ａ ｘ ａ ｘ 也是增函数 ａ 解得ａ ． ［０，１］，
＝（４－ ） ＋３ （ ＜１） ，∴４－ ＞０， ＜４ 则 复区间长度 为 ｂ ａ
函数ｆ ｘ 的值域为Ｒ ａ ａ 解得ａ “ ” ２（ － ）＝２；
∵ （ ） ，∴ （４－ ）×１＋３ ≥ｌｏｇ３１， ≥－２， 当ｂ 时 若 ａ
实数ａ的取值范围是 ．故选 ． ＞１ ，① ０≤ ＜１，
∴ ［－２，４） Ｂ 则 ａ ｂ 此时ｆ ｘ ｆ ．
{ ２－ ｘ ｘ １∈［ ， ］， （ ）ｍｉｎ＝ （１）＝０
１０．（２０２１安徽蚌埠三模，７）已知函数 ｆ ｘ ｅ ， ≤１， 则 若ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上的值域为 ａ ｂ
（ ）＝ ｘ ｘ （ ） ［ ， ］ ［ ， ］，
ｌｇ（ ＋２）， ＞１， 则ａ ｆ ｂ ｂ
不等式ｆ ｘ 的解集为 ＝０，（ ）＝ ，
（ ＋１）＜１ （ ） 因为ｂ 所以ｆ ｂ ｂ２ ｂ
＞１， （ ）＝ －１＝ ，
Ａ．（１，７） Ｂ．（０，７） Ｃ．（１，８） Ｄ．（－∞，７）
答案 Ｂ
①
当ｘ
＋１≤１，
即ｘ
≤０
时
，
ｆ
（
ｘ
＋１）＝ｅ
２－（ ｘ ＋１）
＜１，
即 即满足ｂ２
－
ｂ
－１＝０，
解得ｂ
＝
１＋ ５或ｂ
＝
１－ ５
（
舍
），
所以此时
ｘ 即ｘ 又 ｘ 不等式无解． ２ ２
２－（ ＋１）＜０， ＞１， ∵ ≤０，∴ é ù
当ｘ 即ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 完美区间为êê １＋ ５úú
② ＋１＞１， ＞０ ， （ ＋１）＝ｌｇ（ ＋１＋２）＜１， ë０， û，
即ｘ ｘ ． ２
＋３＜１０，∴０＜ ＜７
综上 ， 不等式ｆ （ ｘ ＋１）＜１ 的解集为 （０，７）， 故选 Ｂ ． 则 “ 复区间长度 ” 为 ２（ ｂ － ａ ）＝２× １＋ ５ ＝１＋ ５；
１１．（２０２１黑龙江顶级名校第一次模拟考试，１２）已知定义在 Ｒ ２
{ ｘ２ ｘ ② 若ａ ≥１， 则ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ －１， ｘ ∈［ ａ ， ｂ ］，
上的函数 ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ － ， ≤０， 则 此时ｆ ｘ 在 ａ ｂ 内单调递增
（ ） ： （ ） ＝ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ （ ） ［ ， ］ ，
ｆ ｆ 的值等于
（ －１）－（ －２）， ＞０，
若ｆ ｘ 的值域为 ａ ｂ 则
{ｆ
（
ａ
）＝
ａ２
－１＝
ａ
，
（２０２０）＋（２０２１） （ ） （ ） ［ ， ］， ｆ ｂ ｂ２ ｂ
（ ）＝ －１＝ ，
Ａ．－
答
５
案 Ｄ 当
Ｂ．－
ｘ ＞
４
０ 时 ， ｆ （ ｘ ）
Ｃ
＝
．－
ｆ （
３
ｘ －１）－ ｆ （ ｘ －
Ｄ
２
．－
）
２
＝［ ｆ （ ｘ －２）－
则ａ
，
ｂ 为方程 ｘ２
－
ｘ
－１＝０
的两个不等实数根
，
解得 ｘ
１ ＝
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即周期 Ｔ 故
（ －３）］－ （ －２）＝ － （ －３）＝ （ －６）， ＝６， １－ ５ ｘ １＋ ５
ｆ （２０２０）＋ ｆ （２０２１）＝ ｆ （４）＋ ｆ （５）＝－ ｆ （１）－ ｆ （２）＝－ ｆ （１）－［ ｆ （１） ２
， ２＝
２
，
ì
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ï
－（０）］＝ ．故 －２ 选 （１）＋（０）＝－２［ （０）－ （－１）］＋ （０）＝ ２（－１）－ ï ａ ＝ １－ ５ ，
（０）＝－２ Ｄ． 所以í ２ 与ａ 矛盾
ï ≥１ ，
二、多项选择题 ïｂ １＋ ５
î ＝ ，
１２．（２０２１届江苏高邮第一中学检测，１２）定义 若函数Ｆ ｘ 在区 ２
： （ ） 所以此时不存在完美区间．
间 ａ ｂ 上的值域为 ａ ｂ 则称区间 ａ ｂ 是函数Ｆ ｘ 的
［ ， ］ ［ ， ］， ［ ， ］ （ ） 综上可知 函数ｆ ｘ ｘ２ 的 复区间长度 的和为
完美区间 另外 定义区间Ｆ ｘ 的 复区间长度 为 ｂ ， （ ）＝ ｜ －１｜ “ ” ２＋１＋
“ ”， ， （ ） “ ” ２（ － 所以 正确 错误．故选 ．
ａ 已知函数ｆ ｘ ｘ２ 则 ５＝３＋ ５， Ｃ ，Ｄ ＡＣ
）， （ ）＝ ｜ －１｜， （ ） １３．（２０２１届山东师范大学附中检测，１２） ｘ Ｒ ｘ 表示不超
是ｆ ｘ 的一个 完美区间 ∀ ∈ ，［ ］
Ａ．［０，１］ （ ） “ ” 过ｘ的最大整数． 世纪 ｙ ｘ 被 数学王子 高斯采用 因
é ù １８ ， ＝［ ］ “ ” ，
êê１－ ５ １＋ ５úú是ｆ ｘ 的一个 完美区间 此得名高斯函数 人们更习惯称之为 取整函数 ．则下列命
Ｂ．ë ， û （ ） “ ” ， “ ”
２ ２ 题中正确的是
ｆ ｘ 的所有 完美区间 的 复区间长度 的和为 （ ）
Ｃ． （ ） “ ” “ ” ３＋ ５ ｘ ｘ
Ａ．∀ ∈［－１，０］，［ ］＝－１
ｆ ｘ 的所有 完美区间 的 复区间长度 的和为 ｘ Ｒ ｘ ｘ
Ｄ． （ ） “ ” “ ” ３＋２ ５ Ｂ．∃ ∈ ， ≥［ ］＋１
答案 ＡＣ 对于 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ２ ｘ ｙ Ｒ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ， ∈［０，１］ ，（ ）＝ ｜ －１｜＝１－ ， Ｃ．∀ ， ∈ ，［ ］＋［ ］≤［ ＋ ］
则其值域为 满足定义域与值域相同 因而满足 完美 函数ｙ ｘ ｘ ｘ Ｒ 的值域为
［０，１］， ， “ Ｄ． ＝ －［ ］（ ∈ ） ［０，１）
区间 定义 所以 正确． 答案 ＣＤ 对于 而 故 错
” ， Ａ Ａ，０∈［－１，０］， ［０］＝０≠－１， Ａ
对于 因为函数ｆ ｘ ｘ２ 所以其值域为 误．对于 因为ｘ ｘ 所以ｘ ｘ 恒成立 故 错误．
Ｂ， （ ）＝ ｜ －１｜≥０， ［０，＋∞）， Ｂ， －［ ］＜１， ＜［ ］＋１ ， Ｂ
对于 ｘ ｙ Ｒ ｘ ｘ ｙ ｙ 所以 ｘ
而１－ ５ 所以不存在定义域与值域相同的情况 所以 Ｃ，∀ ， ∈ ，０≤ －［ ］＜１，０≤ －［ ］＜１， ０≤ －
＜０， ， Ｂ ｘ ｙ ｙ
２ ［ ］＋ －［ ］＜２，
错误． 当 ｘ ｘ ｙ ｙ 时 ｘ ｙ ｘ ｙ 此时 ｘ
１≤ －［ ］＋ －［ ］＜２ ，［ ］＋［ ］＋１＝［ ＋ ］， ［ ］＋
对于 由定义域为 ａ ｂ 可知 ａ ｂ ｙ ｘ ｙ
Ｃ， ［ ， ］， ０≤ ＜ ， ［ ］＜［ ＋ ］；
当ｂ 时 ａ ｂ 当 ｘ ｘ ｙ ｙ 时 ｘ ｙ ｘ ｙ 所以 ｘ ｙ
≤１ ，［ ， ］⊂［０，１］， ０≤ －［ ］＋ －［ ］＜１ ，［ ］＋［ ］＝［ ＋ ］， ∀ ， ∈
第二章 函数 ２ ９
Ｒ ｘ ｙ ｘ ｙ 故 正确．对于 根据定义可知 ｘ
，［ ］＋［ ］≤［ ＋ ］， Ｃ Ｄ， ，０≤ 答案 １
ｘ －
－［ ］＜１， ３
所以函数ｙ ｘ ｘ ｘ Ｒ 的值域为 故 正确．故 解析 由题意知ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
＝ －［ ］（ ∈ ） ［０，１）， Ｄ （２－ ）＝－（ ）＝ （－ ），
选 ． 故ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 的周期Ｔ
ＣＤ （２＋ ）＝ （ ）， （ ） ＝２，
当ｘ 时 ｆ ｘ Ｒ ｘ
三、填空题 ∵ ∈［０，１］ ， （ ）＝ （ ），
( ) æ ö ( ) ( )
１４．（
的
２
定
０２
义
１北
域
京
为
怀柔高三适
．
应性练习，１１）函数ｙ ＝ ｘ１ ２ ＋ｌｏｇ２（１－ ｘ ） ∴ ｆ １
３
０ ＋ ｆ è ç
３
３ ø ÷ ＝ ｆ －
３
２ ＋０＝－ ｆ ２
３
＝－
３
１ ．
１７．（２０２１ 浙江金华十校 ４ 月模拟，１４） 设函数 ｆ ｘ
答案 （ ） ＝
［０，１） {ｘ３ ｘ ｘ ａ
－３ ， ＜ ，已知不等式ｆ ｘ 的解集为 则
解析 因为函数ｙ ＝ ｘ１ ２＋ｌｏｇ２（１－ ｘ ）， ｘ ， ｘ ≥ ａ ， （ ）≥０ ［－ ３，＋∞），
{ｘ ａ 若方程ｆ ｘ ｍ有 个不同的解 则ｍ的取值
所以 ≥０， 解得 ｘ ＝ ， （ ）＝ ３ ，
ｘ ０≤ ＜１， 范围是 ．
１－ ＞０，
所以函数ｆ ｘ 的定义域为 ． 答案
（ ） ［０，１） ０；（０，２）
１５．（２０２１吉林重点高中五校 ２ 月联考，１３）已知函数 ｆ ｘ {ｘ ａ {ｘ ａ
（ ）＝ 解析 由题知不等式组 ＜ ， 和 ≥ ，的
{
５
ｘ
＋４，
ｘ
≤０，则ｆ
(
ｆ
(
３
))
．
ｘ３
－３
ｘ
＝
ｘ
（
ｘ２
－３）≥０
ｘ
≥０
ｘ ｘ － ＝
ｌｎ ， ＞０， ５ 解集的并集为 ．
答案
［－ ３，＋∞）
０
解析 因为 ３
－ ≤０，
５
( ) ( )
所以ｆ ３ ３
－ ＝５× － ＋４＝１，
５ ５
( ( ))
所以ｆ ｆ ３ ｆ ． 因为ｘ３ ｘ ｘ ｘ２ 的解集为
－ ＝ （１）＝ｌｎ１＝０ －３ ＝ （ －３）≥０ ［－ ３，０］∪［ ３，＋∞），
５ {ｘ ａ
１６．（２０２１山西怀仁期末，１４）黎曼函数是一个特殊函数 由德国 所以 为不等式组 ≥ ，的解集的子集 从而ａ ．
， （０， ３） ｘ ， ≤０
数学家黎曼发现并提出 黎曼函数定义在 上 其定义为 ≥０
， ［０，１］ ， {ｘ ａ
Ｒ ｘ 此时仅需 为不等式组 ＜ ， 的解集
{ （ ）＝ ｑ ( ｑ ) ［－ ３，０） ｘ３ －３ ｘ ＝ ｘ （ ｘ２ －３）≥０
１ 当ｘ ｐ ｑ都是正整数 是不可以再约分的真分数 的子集 从而ａ ．综上 ａ ．
ｐ ， ＝ ｐ ， ，ｐ ， ， ≥０ ， ＝０
０， 当ｘ ＝０，１ 或者 ［０，１］ 上的无理数 ， 由题可知ａ ＝０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ {ｘ ｘ ３ － ｘ ３ ｘ ， ｘ ＜０，作出函数 ｆ （ ｘ ） 的图
若函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ， ≥０，
（ ） ， （ ）＋ （２－ ）＝０，
( ) æ ö 象 ， 如图所示 ，
ｘ ∈［０，１］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ Ｒ （ ｘ ）， 则ｆ １０ ＋ ｆ è ç ３ ø ÷ ＝ ． 由图可知 ， 当ｍ ∈（０，２） 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｍ有 ３ 个不同的解．
３ ３
学生用书Ｐ１４
ｘ { ｘ ｘ ( )
１．（２０２１ ５·３原创题）已知函数 ｆ ｘ ４ ｙ ｘ 为高斯函 若ｆ ｘ ２（１－ ），０≤ ＜１，则ｆ ８ ５
（ ）＝ ｘ ， ＝［ ］ Ｂ． （ ）＝ ｘ ｘ ２０２１ ＝
４ ＋２ －１，１≤ ＜２， ９ ９
数 表示不超过实数ｘ的最大整数 例如 ． ． ｘ
， ， ［－０ ５］＝－１，［１ ３］＝ 若ｆ ｘ 的不动点为ｘ 则ｘ 也是函数ｆ ｘ 的不动点
． 记 Ａ Ｂ Ｃ． （ ）＝ ｘ ０， ０ ２（ ）
１ ＝ ｛ － ２， － １， ０， １ ｝， ＝ １＋２
{ [ ] [ ] } 若ｆ ｘ ｘ２ ｂｘ ｃ 方程ｆ ｘ ｘ无实数根 则方程ｆ ｘ ｘ
ｙ ｙ ｆ ｘ １ ｆ ｘ １ ｘ Ｒ 则集合Ａ Ｂ的关 Ｄ． （ ）＝２ ＋ ＋ ， （ ）＝ ， ２（ ）＝
＝ （ ）－ ＋ （１－ ）－ ， ∈ ， ， 至多只有一个实数根
２ ２
系是 ２． 答案 ＡＣ
（ ）
Ａ Ｂ Ａ Ｂ { ｘ ｘ
Ａ． ∩ ＝｛－２｝ Ｂ． ∩ ＝｛－１，０，１｝ ３．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ２ ， ≤０， 若
Ｃ．
Ａ
∩
Ｂ
＝｛－１，０｝ Ｄ．
Ａ
∩
Ｂ
＝｛０，１｝
（ ）＝ ｘ２
－２
ａｘ
＋
ａ２
＋
ａ
－１，
ｘ
＞０
．
１． 答案 Ｃ 函数ｆ ｘ 在 上单调递增 则实数ａ的取值范围是
（ ） （－∞，＋∞） ，
２．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）若方程ｆ ｘ ｘ的根称为函数 若对任意的ｘ 均存在ｘ 使
（ ）＝ ； １∈（－∞，０］， ２∈（０，＋∞）
ｆ ｘ 的不动点 定义函数ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ 则实数ａ的取值范围是 ．
（ ） ， ｎ（ ）：１（ ）＝ （ ）， ２（ ）＝ （ １（ ））， （ ２）＝ （ １），
ｆ ｘ ｆ ｆ ｘ 则下列说法正确的是 é ù
……，ｎ（ ）＝ （ ｎ －１（ ））， （ ） ３． 答案 êê－１－ ５ úú
若ｆ ｘ ｘ ａ 则ｆ ｘ ｘ ａ （－∞，－２］；ë ，１û
Ａ． （ ）＝２ ＋ ， ３（ ）＝８ ＋７ ２
