文档文本内容
2.1 函数的概念及其表示
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数的概念....................................................................................................................................3
二、分段函数的应用............................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：函数基本概念辨析................................................................................................................5
题型二：函数同一性判定....................................................................................................................6
题型三：具体函数的定义域................................................................................................................7
题型四：抽象函数定义域的求解........................................................................................................7
题型五：定义域在函数应用中的拓展................................................................................................8
题型六：函数解析式的求法................................................................................................................8
考向1：待定系数法（函数类型确定）.....................................................................................................................8
考向2：换元法或配凑法..............................................................................................................................................8
考向3：方程组法..........................................................................................................................................................9
考向4：求分段函数的解析式......................................................................................................................................9
考向5：抽象函数解析式............................................................................................................................................10
题型七：函数的值域..........................................................................................................................10
考向1：观察法............................................................................................................................................................10
考向2：配方法............................................................................................................................................................10
考向3：图像法（数形结合）....................................................................................................................................11
考向4：基本不等式法................................................................................................................................................11
考向5：代数换元法与三角换元法............................................................................................................................11
考向6：分离常数法....................................................................................................................................................11
考向7：判别式法........................................................................................................................................................12
考向8：单调性法........................................................................................................................................................12
考向9：有界性法........................................................................................................................................................12
考向10：导数法..........................................................................................................................................................12
题型八：分段函数的应用..................................................................................................................13
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................14
05 数学思想方法.................................................................................................................................15
①数形结合..........................................................................................................................................15
②转化与化归......................................................................................................................................15
③分类讨论..........................................................................................................................................15
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................17
基础过关篇..........................................................................................................................................17
能力拓展篇..........................................................................................................................................18
1、了解函数的含义.
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3、了解简单的分段函数，并会简单的应用.
一、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的
y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：x→y=f ( x)，
x∈A .集合A 叫做函数的定义域，记为D ，集合¿ ¿，x∈A¿¿叫做值域，记为C .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为y=f ( x)，x∈D
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
二、分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，
即分段函数问题，分段解决．
常用二级结论
一、抽象函数定义域
原则：(1)定义域一定是
的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样.
①已知
的定义域是
，求
的定义域
解不等式
，其解集就是
的定义域.
②已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
求
的值域，该值域就是
的定义域.
③已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
先求出
的值域
，然后解不等式
，其解集就是
的定义域.
二、求值域、最值的方法
1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.
2、配方法(对称轴法)：对于形如
，
形式的二次函数，利用配方法或直接利
用对称轴
完成.可以结合图象完成求值域或最值.
3、换元法：代数换元法，三角换元法.
常见的模型
①
，令
，则
.
②
，令
，则
；
③
，令
，则
；
④
，令
，则
；
⑤
，令
，则
；
⑥令
，则
；
⑦令
，则
.
⑧
，令
，
(或令
，
).
⑨
时，令
，
；
⑩令
，则
.
4、图象法(数形结合法)：
①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.
②求
或
的值域
③根据函数表达式的几何意义.
5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.
6、基本（均值）不等式法
7、有界性法：含
，
，
，
，
，
，
的函数，若可用
表示它们，则常利
用其有界性来求值域。
8、判别式法
9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.
题型一：函数基本概念辨析
【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合
，
是
的函数，且满足
，则这样的函数
的个数为（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
【解题总结】
利用函数概念判断：（1）A，B 是非空的实数集；（2）数集A 中的任何一个元素在数集B 中只有一
个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B 中有可能存在与数集A 中元素不对应的元
素.
【变式1-1】存在函数
满足：对任意
都有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】设
是含数2 的有限实数集，
是定义在
上的函数，若
的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【变式1-3】若函数
的定义域为
，值域为
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-4】下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：函数同一性判定
【例2】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【解题总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式2-1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【变式2-2】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因
是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选
项中是同一个函数的是（）
A．
B．
C．
D．
和
【变式2-3】下列函数属于同一函数的是：（ ）.
A．
B．
C．
D．以上均不正确
题型三：具体函数的定义域
【例3】函数
的定义域为 ．
【解题总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子
有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式3-1】（2025·上海·三模）函数
的定义域为 .
【变式3-2】（2025·北京·二模）函数
的定义域为 ．
【变式3-3】（2025·北京朝阳·一模）函数
的定义域为 ．
题型四：抽象函数定义域的求解
【例4】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【解题总结】
1、抽象函数的定义域求法：（1）若f ( x)的定义域为(a ，b)，求f [ g(x)]中a<g( x)<b 的解x 的范围，
即为f [ g(x)]的定义域．（2）已知f [ g(x)]的定义域，求f ( x)的定义域，则用换元法求解.
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先
求出各个函数的定义域，再取交集．
【变式4-1】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ，函数
的定义域为 ．
【变式4-2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是 .
【变式4-3】已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
题型五：定义域在函数应用中的拓展
【例5】已知函数
的定义域是
，则实数
的取值范围是 ．
【解题总结】
对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
【变式5-1】已知函数
的定义域为R，则函数
的值域为
【变式5-2】若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围是 .
【变式5-3】若函数
的定义域和值域都为
，则
的值是 ．
题型六：函数解析式的求法
考向1：待定系数法（函数类型确定）
【例6】已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值
为
，则
的解析式为 .
【变式6-1】已知函数
的定义域为
，且
的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条
件的一个
的解析式为
.
①
，
；②
在
上单调递减.
【变式6-2】一次函数
在
上单调递增，且
，则
.
【变式6-3】已知函数
对任意
满足：
，二次函数
满足：
且
．则
，
.
考向2：换元法或配凑法
【例7】若函数
，则
．
【变式7-1】若
，则
的解析式为 .
【变式7-2】已知函数
在
上具有单调性，且
，则
.
【变式7-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）已知函数
满足
，且
，则
．
【变式7-4】若函数
，且
，则实数a 的值为 .
考向3：方程组法
【例8】已知函数
满足
，则
.
【变式8-1】（2025·高三·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
【变式8-2】若函数
满足
，则
．
【变式8-3】已知
，则
.
考向4：求分段函数的解析式
【例9】（2025·安徽池州·二模）定义在
上的函数
满足
.若
，对
，
，则
，并写出
的一个函数解析式 .
【变式9-1】函数
的函数值表示不超过
的最大整数，例如，
．当
时，写出函数
的解析式
【变式9-2】（2025·高三·黑龙江七台河·期中）设函数
，且
，
，
则
的解析式为 ．
【变式9-3】设函数
，若
，
，则
的解析式为
，
关于
的方程
的解的个数为 ．
考向5：抽象函数解析式
【例10】函数
满足
，
，且
，则
.
【变式10-1】已知函数
的定义域为
，且满足
，
，若
，则
函数
的解析式为 .
【变式10-2】函数
满足：对任意
、
，都有
，
则所有满足条件的函数
的解析式为 或 ．
【变式10-3】写出一个同时具有性质①对任意
，都有
；②
的函数
.
【变式10-4】设
是定义在
上的函数，且满足对任意
，
，等式
恒成立，则
的解析式为 ．
题型七：函数的值域
考向1：观察法
【例11】下列函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】函数
的值域为
【变式11-2】函数
的值域为 ．
考向2：配方法
【例12】函数
的最大值为 .
【变式12-1】函数
的值域是 .
【变式12-2】函数
的值域 .
【变式12-3】若函数
的定义域为
，则其值域为 ．
考向3：图像法（数形结合）
【例13】给定函数
，用
表示函数
中的较大者，即
，则
的最小值为 .
【变式13-1】定义
为
中的最小值，则
的最大值为 .
【变式13-2】函数
的最大值为 .
【变式13-3】函数
的值域为 ．
考向4：基本不等式法
【例14】函数
的最大值为 .
【变式14-1】函数
的值域为 ．
【变式14-2】已知
满足
，且
，则
的值域为
考向5：代数换元法与三角换元法
【例15】若
，则
的取值范围是________
【变式15-1】（2025·高三·河南·开学考试）已知
且
，则
的最小值为 ．
【变式15-2】已知函数
，则函数
的值域为
【变式15-3】函数
的值域为 ．
考向6：分离常数法
【例16】
，
，则
的值域为 ．
【变式16-1】函数
在
上的最大值为 ；最小值为 ．
【变式16-2】函数
的值域是 .
考向7：判别式法
【例17】已知
，且
，则
的取值范围是 .
【变式17-1】函数
的最大值为 ．
【变式17-2】设实数x，y，z 满足
，则
的最大值是 ，最小值是 ．
考向8：单调性法
【例18】函数
的最小值为 .
【变式18-1】函数
的最小值为 ．
【变式18-2】函数
的值域为 ．
【变式18-3】（2025·安徽·一模）函数
的值域为 .
考向9：有界性法
【例19】（2025·甘肃·二模）已知实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【变式19-1】设
均为非负数，且满足关系式
，则
的最大值为
.
【变式19-2】函数
的值域是________________.
考向10：导数法
【例20】函数
的最小值为 ．
【变式20-1】已知
的最小值为 ．
【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若实数
满足
，则
的最小值为 .
【变式20-3】函数
在
上的最小值为 ．
题型八：分段函数的应用
【例21】（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，不等式
的解集为
B．若函数
为
上的增函数，则实数
的取值范围是
C．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
D．若函数
恰有两个零点，则实数
的取值范围是
【解题总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式21-1】（多选题）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在
上的函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
【变式21-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是
．
【变式21-3】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则
.
1．求函数
的最小值.
2．已知函数
满足
，若
，则
A．25
B．125
C．625
D．15625
①数形结合
1．已知函数
，若
的值域是R，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，那么不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
3．已知
对于任意
，都有
，且
，则
A．4
B．8
C．64
D．256
4．已知定义在R 上的函数
满足对任意的a，
R，
，
，则
A．
B．0
C．2
D．1
5．已知函数
满足：对
，都有
，
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
6．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，若
，则a 的值为
A．0 或
B．0 或
C．
D．
基础过关篇
1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东威海·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·重庆·三模）已知定义在
上的函数
满足对任意的
. 则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．1
4．（2025·重庆·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·山西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
7．（2025·河北·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，都有
，
且
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．对于函数
，若存在两个常数a，b，使得
，则称
是“平方差关联函数”．
已知函数
是“平方差关联函数”，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
9．（多选题）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数
，若
，
则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．
11．（多选题）（2025·福建·模拟预测）设
是非空的实数集，若
，则（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
值域为
D．函数
无极值
12．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数
，则
的值等于 ．
13．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
，则
.
14．（2025·福建厦门·三模）已知函数
若
，则
．
15．（2025·贵州黔东南·一模）若函数
满足
，则
．
16．（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，若
，则
．
17．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R 上的函数
满足
且
，则
．
能力拓展篇
18．（2025·上海金山·二模）已知函数
的图象是折线段
，且
，则函数
的图象与
轴围成的图形面积为 .
19．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转
后得到的曲线仍为一个函数
的图象的有 （写出对应编号）．
①
； ②
；
③
； ④
．
20．（2025·湖南常德·一模）若函数
有最小值，则实数
的取值范围是 .
21．已知函数
，则
．
22．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R 的函数
满足：
，
都有
且
（a 为常数），则函数
．
23．（2025·浙江温州·二模）函数
满足：①
②
，
．则
的最大值等于 ．
24．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，则
；若
，对任意的
，都有
，则当
时，
不等式
的解集为
25．（2025·河北沧州·一模）已知函数
满足：
，
，
，
若
，则
.
