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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 14 练 导数的概念及其意义、导数的运算（精
练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.二、解答题
2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最
大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
【详解】（1） 的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
4．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）求出 可求切线方程；
【详解】（1） ，故 ，而 ，曲线 在点 处的切线方程为 即 .
三、填空题
5．（2021·全国·统考高考真题）曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,故答案为：
7．（2020·全国·统考高考真题）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
______________.
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到
切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
四、双空题
8．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜
率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知 是函数 的导函数，若
，则 （ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解
【详解】
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出 、 、 、 选项中正确的结果即可．
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的
导数即可．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点 ，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出 ，即可求解.
【详解】设切点坐标为 ，
因为 ，所以 ，
所以切线的斜率 ，解得 ，
又 ，即 ，
所以 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 （e是自然对数的底数）图象在点 处的切线的倾
斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 ，从而可得在点 处的切线的倾斜角.
【详解】 ，所以 .
所以在点 处的切线的倾斜角是 .
故选:C.
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】 ，则切线的斜率是 ， ，
则切线方程是 ，即 ．
故选：D
6．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求得曲线 在 时的解析式，再利用导数几何意义即可求得曲线 在点
处的切线方程.
【详解】设 ，则 ，由 为偶函数，且当 时， ，
可得 ，则 ，则 ，
则曲线 在点 处的切线方程是 ，即
故选：C
7．（2023·四川达州·统考一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【分析】利用导数运算求得 .
【详解】 ，
令 得 .
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出导函数 ，从而可得 ，然后根据导数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，
故选：C.
9．（2023·全国·高三专题练习）过原点引 的切线，若切线斜率为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】先求导数 ，由 ，故原点不可能是切点，再设出切点坐标，根据曲线在切点处的导数
值等于切线斜率，求出 .
【详解】 ，又 ，故原点不可能是切点，设切点坐标为 ，
则 ， ，
又 .
故选：D.
【点睛】本题考查了过某点处的切线问题，利用导数的几何意义：曲线在切点处的导数值等于切线斜率解
决问题，属于基础题.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线方程为 , 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义,求出导函数 ,令 结合切线的斜率求出 ,再将点坐标代入
切线方程求出 即可得到结果.
【详解】根据导数的运算公式
,
当 时, ,
,即 .
满足方程 ,
即 ,
.
故选:A.
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知点P是曲线 上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，过点 的切线与直线 平行，由此可求出点 的坐标，然后利用点到直
线的距离公式求解即可
【详解】令 ，则 ，即 ，
所以 ，
故选：D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处的切线为l，第一象限内的点
在切线l上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出x=1处的导数值，根据点斜式直线方程写出l的方程，从而得出a，b之间的关系，运用基本
不等式即可求解.
【详解】函数 ，
，
， ，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为 ， ，
由于点P在直线l上，则 且 ，即 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号；
故选：C.
二、多选题
13．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的极大值为 B． 的极大值为
C．曲线 在 处的切线方程为 D．曲线 在 处的切线方程为
【答案】BD
【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值，再求出 、
，再利用点斜式求出切线方程；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以当 或
时 ，当 时 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 的极大值为 ，故A
错误，B正确；因为 .所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，故C错误，D正确；
故选：BD
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A．曲线 的切线斜率可以是1
B．曲线 的切线斜率可以是
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【分析】由函数 ，求导得到 ，再逐项判断.
【详解】因为函数 ，所以
A.令 ，得 ，所以曲线 的切线斜率可以是1，故正确；
B.令 无解，所以曲线 的切线斜率不可以是 ，故错误；
C. 因为 在曲线上，所以点 是切点，则 ，
所以切线方程为 ，即 ，所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点 ，则切线方程为 ，因为点 在切线上，所以 ，解得 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
15．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设点P是曲线 上的任意一点，P点处的切线的倾
斜角为 ，则角 的取值范围包含（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】切线倾斜角的正切就是曲线的导数，只要判断导函数的取值范围即可.【详解】 ， ，
依题意： ， ，
∵倾斜角 的取值范围是 ，∴ ，
故选：CD.
16．（2023·全国·高三专题练习）（多选）曲线 在点 处的切线与其平行直线 的距离为
，则直线 的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由题设求得y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，根据导数的几何意义求切线斜率并写出切线方程，由直线
间的距离公式求参数，即可知直线 的方程.
【详解】由题设，y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
∴y′|x=0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l的方程为y＝2x＋b，则 ，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
故选：AB
三、填空题
17．（2023·广西玉林·统考三模）函数 在 处的切线与直线 平行，则a＝______．
【答案】1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数 在 处的切线斜率为 ，因为该切线与直线 平行，故 ，解得
故答案为：1
18．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）请写出与曲线 在 处具有相同切线的另一个函
数：______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用导数的几何意义可求得在 处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相
同切线，只需满足过点 且在 处的导数值 即可，由此可得曲线方程.
【详解】 的导函数为 ，又 过原点，
在原点 处的切线斜率 ，
在原点 处的切线方程为 ；
所求曲线只需满足过点 且在 处的导数值 即可，如 ，
，又 过原点，
在原点处的切线斜率 ，
在原点 处的切线方程为 .
故答案为: （答案不唯一）.
19．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）若曲线 在点 处的切线方程是
，则 ______．
【答案】
【分析】求导，然后求出 和 ，再结合切线方程可求出 ，则 可求.
【详解】由已知 ，则 ，
由 ，
又曲线 在点 处的切线方程是 ，
，
，
故答案为： .
20．（2023·全国·高三专题练习）过点 且与曲线 相切的直线方程为______.
【答案】
【解析】设切点为 ，然后可表示出切线方程为 ，代入点 求出
即可得答案.
【详解】设切点为 ，因为 ，所以 ，
所以过切点 的切线方程为 .
因为切线过点 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以所求切线方程为 ，即切线方程为
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为
______.
【答案】
【分析】先设切点为 ，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将
坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解.【详解】设切点坐标为： ， ，
所以切线斜率为 ，
即切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，
整理得 ，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，
所以 ，解得
故答案为：
22．（2023秋·广东·高三统考期末）已知函数 在点 处的切线经过点 ，
则 的最小值为___________.
【答案】6
【分析】根据导函数几何意义求出切线方程，得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】 ，则切点为 ，又 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，又点 在切线上， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为：6.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·江西赣州·统考二模）已知曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为 ，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而求切线与坐标轴的交点，根据题意列式求解即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，
即切点坐标为 ，斜率 ，
切线方程为 ，
令 ，解得 ，即切线与y轴交点坐标为 ；
令 ，解得 ，即切线与x轴交点坐标为 ；
可得与坐标轴围成的面积 ，解得 .
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）若过点 可作曲线 的两条切线，则点 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为 ，利用导数写出切线方程，将点 的坐标代入切线方程，可得出关于
的二次方程有两个不等的实根，可得出 ，可得出 ，然后逐项检验可得出合适的选项.
【详解】设切点坐标为 ，对函数 求导可得 ，
所以，切线斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
将点 的坐标代入切线方程可得 ，即 ，因为过点 可作曲线 的两条切线，则关于 的方程 有两个不等的实数解，
所以， ，即 ，即 ，
对于点 ， ，A不满足；
对于点 ， ，B不满足；
对于点 ， ，C满足；
对于点 ， ，D不满足.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求出过点 的切线方程为 ，利用方程的解个数与函数图象交点个数
的关系将问题转化为 图象与直线 在R上有3个交点，结合导数求出函数 的极值，根据
数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ，整理得 .
要使过点 的切线有3条，需方程 有3个不同的解，
即函数 图象与直线 在R上有3个交点，
设 ，则 ，令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且极小值、极大值分别为 ，如图，
由图可知，当 时，函数 图象与直线 在R上有3个交点，
即过点 的切线有3条.
所以实数a的取值范围为 .
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 ， ．若存在正数 ，使得
成立，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】动点 在函数 的图像上， 在直线 的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线
的最小距离，利用导数的几何意义，求曲线上斜率为2的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小
值．
【详解】解：函数 可以看作是动点 与动点 之间距离的平方，
动点 在函数 的图像上， 在直线 的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 得，当 时，解得 ，即曲线上斜率为2的切线，切点为 ，曲线上点 到直线 的距离 ，则 ，
根据题意，要使 ，则 ，此时 恰好为垂足，
由 ，解得 ．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上
任意一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由圆的对称性可得，只需考虑圆心 到函数 图象上一点的距离的最小值.设 图
象上一点 ，利用导数几何意义可得 ，利用导数解得 ，从而可求解.
【详解】
由圆的对称性可得只需考虑圆心 到函数 图象上一点的距离的最小值．
设 图象上一点 ，令 图象上一点 的切线为由 的导数为 ，即切线 的斜率为 ，
当 时，圆心 到函数 图象上一点的距离最小，
此时 ，即有 ，
由 ，可得 ， 递增，又 ，
所以 ， ，
所以点 到点 的距离最小，且为 ，
则线段 的长度的最小值为 ，
故选：A．
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 的直线 与曲线 相切，现有
如下三条直线：① ；② ；③ .则上述直线中与直线 垂直的直线条数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】设出切点坐标，得出过点 切线的方程，解出切点坐标的横坐标，求出直线 的斜率，即可得
到与直线 垂直的直线有几条.
【详解】由题意， ，
在 中，
，则 ，
设切点坐标为 ，
则所求切线的方程为 ，
将 代入，可得 ，即 ，故 ，
解得 或 ，
故直线 的斜率为 或2，
观察可知，仅有直线 与直线 垂直，
故选：B.
7．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义可得 ，求解即可.
【详解】由 且x不为0，得
设切点为 ，则 ，即 ，
所以 ，可得 .
故选：C
8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数 ，都有 的最小值为0，则 的最小值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】转化为直线 与 相切，设切点坐标为 ，根据导数的几何意义可得 ，
构造 ，利用导数可求其最小值.
【详解】由题意知 ，都有 的最小值为0，可转化为直线 与 相切.
设切点坐标为 ，则可得 ，可得 .
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 ，即 的最小值为 .
故选:A.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数 的图象在点 处的切线的斜率为
B．当m＝l时，函数 在 上单调递减
C．当m＝l时，函数 的最小值为1
D．若 对 恒成立，则【答案】ABD
【分析】A. 由m＞0直接求导求解判断；B. 由m＝l，利用导数法求解判断；C. 由m＝l，利用导数法求
解判断；D. 将 对 恒成立，转化为 对
恒成立，利用 的单调性转化为 对 恒成立求解判断.
【详解】解： ，
当 时， ，则 ，故A正确；
当m＝l时， ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ，即 在 上成立，
所以 在 上递减，故B正确；
当m＝l时， ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ， ，
所以存在 ，有 ，即 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，故C错误；
若 对 恒成立，
则 对 恒成立，
设 ，则 ，所以 在 上递增，
则 对 恒成立，即 对 恒成立，设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD
10．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）若直线 与曲线 相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由导数的几何意义已知条件可判断AB；由基本不等式可判断C；由 可得 ，设
，利用导数法研究最值可判断D
【详解】由 得 ，
设直线 与曲线 相切于点 ，
则 且 ，消去 得 ，
所以A正确，B错误；
取等号，C错误；
，设 ，由 得 ，
所以函数在 上递增，在 上递减，
所以 ，即 ，D正确，
故选：AD.
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 与函数 存在一条过原点的公共切线，则__________.
【答案】
【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出 .
【详解】设该公切线过函数 、函数 的切点分别为 ， .
因为 ，所以该公切线的方程为
同理可得，该公切线的方程也可以表示为
因为该公切线过原点，所以 ，解得 .
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）已知 的图象在 处的切线与与函数 的图象
也相切，则该切线的斜率 __________.
【答案】
【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值.
【详解】函数 的图象在 处的切线的切点为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ，
设 的图象的切线的切点为 ，因为 ，所以切线斜率为 ，
切线方程为 ，即 ，
由题 ，解得 ， ，斜率为 .
故答案为： .
13．（2023·全国·模拟预测）若在平面直角坐标系xOy中，曲线 与 轴交于点 ，且在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则 的值为______.
【答案】2e
【分析】根据题意，结合零点存在性定理得点 的横坐标为 ， ， ，再求得切线方程，
计算面积得 的面积 ，最后根据函数 ， 的性质得答案.
【详解】解：由题意知 ， ， ，
所以曲线 与 轴有唯一交点 ，记点 的横坐标为 ，
所以， ， ，
所以曲线 在点 处的切线的方程为 .
设切线与 轴交于点 ，则 ，易得 ，
所以 的面积 .
设 ， ，则 在 恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ， .
故答案为：
14．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足
，若 ，则曲线 在 处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】由 结合 为奇函数，可得 ，进而可得 ，对两边同时求导可得 ，求出 ，结合导数的几何意义求解即可.
【详解】由 ，
令 ，则 ，即 ，
又 为奇函数，则 ，
故 是以4为周期的周期函数，则 ，
对 ，求导得 ，
故 是以4为周期的周期函数，则 ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
故切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数 在 和 的切线互相垂直，则 ，即 ①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以 ，
即 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 ， ，
所以方程①变为 ，所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
2．（2023·福建泉州·统考三模）定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，
，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的对称性和周期性即可.
【详解】 可以得 关于 中心对称
且 偶函数，所以 的周期为4.
即 关于 对称；
所以切线方程：即：
故选：A.
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 有两条与直线 平行的切线，且
切点坐标分别为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出 在 两点处的切线斜率，即可得出 是
的两根，利用韦达定理即可得出 的取值范围.
【详解】根据题意可知 的定义域为 ，所以 ，
易得 ，
由导数的几何意义可得切点为 时，切线斜率为 ,
同理可得， 点处切线斜率为 ；
又因为两条切线与直线 平行，可得 ，即
所以 是关于方程 的两根，
所以 ，即 ，又
可得 ；所以 ，由 可得
即 ，所以 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于 的等量
关系，再根据函数定义域和韦达定理即可求得表达式的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的最大值为
（ ）
A． B． C．2e D．
【答案】C
【分析】根据题意转化为函数 与直线 的位置关系，以相切为临界，利用导数求过点
的切线斜率，结合图象即可得结果.
【详解】由题意可得： ，则 ，
当 时，则 ；当 时，则 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
若 与直线 相切时，设切点为 ，则切线斜率 ，
所以该切线方程为 ，
注意到切线过点 ，则 ，
整理得 ，解得 或 ，当 时， ；当 时， ；
结合图象可得实数a的取值范围为 ，即实数a的最大值为2e．
故选：C．
【点睛】方法定睛：根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的
几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
二、多选题
5．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若 ，则（ ）
A． B． 的取值范围是
C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D． 的取值范围是
【答案】ABD
【分析】由题意分别表示出 ， ，两直线相互垂直可得 ，由 带入
中化简即可判断A正误；求得 及 的直线方程，由与y轴相交可求得 点坐标，由两点间距离公式可求得 ，再根据 的取值范围，即可求得 的范围；求得 及 的直
线方程后联立求得横坐标，化简即可比较横坐标与 的大小关系；由距离公式表示出
展开后由基本不等式即可求得取值范围.
【详解】不妨设 ， ，则 ， ，
当 时 ，
当 时
由导数的几何意义知 ， ．
因为 的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以 ，即 ．
对于A，因为 ，所以A正确．
对于B，因为 ： ， ： ，
则 ， ，所以 ，所以B正确．
对于C，当 时， ，
即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误．
对于D， ，所以D正确．
故选：ABD．
6．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知 ， 是函数 与 的图像的
两条公切线，记 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，且 ， 的夹角为 （ ），则下列说法正确的
有（ ）A． B．
C．若 ，则 D． 与 的交点可能在第三象限
【答案】ABC
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于 对称，即可得到 ，利用诱导公式证明A，利用
诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为 与 互为反函数，
故两函数的图象关于直线 对称，则 ， 关于 对称，
故 ， ，故A正确；
由题意， ， 均为锐角， ， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故B正确；
设 与两个函数图象分别切于 ， 两点， ，则 ，
即 ，解得 或 （舍去），
故 ，
对于 ，则 ，令 ，解得 ，所以切点为 ，
所以曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
同理可得 的斜率为 的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为 的切线方程为 ，所以 ，则 ，则 ，故C正确；
由图可知点 必在第一象限，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的不等式 在
上恒成立，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】关于 的不等式 在 上恒成立的两个临界状态是：直线 与
相切和与 相切时，故求两种状态下a的值，即可求得 的取值范围.
【详解】画出函数 的图像，如图所示：关于 的不等式 在 上恒成立，等价于函数 的图像恒在直线 的图像
的下方，
又直线 恒过定点
当直线与 相切时，设切点 ，
求导 ，可得 ，
解得： ，则直线斜率为 ，即
当直线与 相切时，此时由
整理得： ，
令 ，解得 或 （舍去）
所以由图像可知，实数 的取值范围是
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）过点 可以作两条直线与曲线 相切，则实数a的取值范
围是______．
【答案】
【分析】设出切点的坐标，利用导数研究切点和斜率，根据切线有 条，通过构造函数法，结合导数求得
的取值范围.
【详解】设切点坐标为 ，
，故斜率为 ，
切线方程为 ，代入 得 ，整理得 ，
构造函数 ， ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以 在 时取得极小值也即是最小值 ，
当 时， ，当 时， ，
要使过点 可以作两条直线与曲线 相切，
则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】利用导数研究曲线的切线，关键点有两个，一个是切点的坐标，另一个是切线的斜率.切线的斜率
可以利用导数求得，然后利用点斜式 来求得切线方程.
