文档内容
第 14 节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础知识要夯实
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
[来源:Z*xx*k.Com]
2kπ＋
角 π＋α －α π－α
α(k∈Z)
－α ＋α
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
函数名改变，符号看象
口诀 函数名不变，符号看象限
限
3.常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指
函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
核心素养要做实
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)(2022·兰州测试) 若 ，则 （ ）
A． B．2
C． D．－2(2)(2022·平顶山联考) 如果 ，那么 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 ＝
tan α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这
三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【跟踪训练】
1.若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2.已知 是第二象限的角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点二 诱导公式的应用
【例2】 (1)(2022·衡水中学调研) 已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
(2) 若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的
整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (1)(2020·北京卷)在已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）化简 ．
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用
【例3】 (1)(2020·菏泽联考) 已知 ，且 是第四象限角，则
．
(2)(2020·福州调研) 若 ，求 的值．
【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、
结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
【跟踪训练】
1.(2022湖北七州市联考) 已知 是方程 的根，
求 的值．2.化简 ．
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知 是第二象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，且 ，则
A． B． C． D．
3．已知角 、 、 为 的三个内角，若 ，则 一定是
（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
4．已知 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
5．已知锐角 终边上一点A的坐标为 ，则角 的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 （ ）A． B．
C． D．
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．化简 的值为
A． B． C． D．2
11．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
12．下列三角比的值中 ，与 的值相同的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题13．已知角 的终边经过点 ，若 ，则 ___________.
14．若 ，则 ______．
15．已知 ，若 ，则 ___________.
16．在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称.若 ,
则 _____.
【答案】
【解析】因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，所以
.
三、解答题
17．已知 ，且 ，求：
（1） ；
（2） .
18．已知 .
（1）化简 ；
（2）若角 是 的内角，且 ，求 的值.
19．已知角 的终边经过点
（1）求 的值；（2）求 的值
20．已知 ，且 ， 为方程 的两根．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
21．在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点 ，
点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)若将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到角 ，求 的值.
22．若角 的终边上有一点 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
