文档文本内容
1.2 常用逻辑用语
目录
01 课表要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、充分条件与必要条件....................................................................................................................3
二、全称量词和存在量词....................................................................................................................3
三、常用二级结论................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：充分、必要条件的判定........................................................................................................5
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参....................................................................................5
题型三：含量词的命题的否定............................................................................................................6
题型四：含量词的命题的真假判断....................................................................................................7
题型五：利用命题的真假求参............................................................................................................7
04 好题赏析（一题多解）...................................................................................................................8
05 数学思想方法...................................................................................................................................9
①数形结合............................................................................................................................................9
②转化与化归........................................................................................................................................9
③分类讨论..........................................................................................................................................10
06 课时精练（真题、模拟题）......................................................................................................... 11
基础过关篇.......................................................................................................................................... 11
能力拓展篇..........................................................................................................................................13
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、
数学定义与充要条件的关系.
2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
一、充分条件与必要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作
），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
p 是q 的充分条件
p⇒q
p 是q 的必要条件
q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q的必要不充分条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q的既不充分也不必
要条件
p⇒q 且q⇒p
3、大小关系（设
包含的对象分别组成集合
）
①若
，则
是的充分条件
②若
，则
是的必要条件
③若
，则
是的充分不必要条件
④若
，则
是的必要不充分条件
⑤若
，则
是的充要条件
二、全称量词和存在量词
1、全称量词与存在量词的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“
∃
”表示.
量词名称
常见量词
表示符
号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些
等
2、全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x ，有p(x)
成立
存在M 中一个
，有
成立
简记
，
，
否定
，
，
三、常用二级结论
1、从集合与集合之间的关系上看
设
．
（1）若
，则是的充分条件（
），是的必要条件；若
，则是的充分不必要
条件，是的必要不充分条件，即
且
；
简记：“小
大”．
（2）若
，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若
，则与互为充要条件．
题型一：充分、必要条件的判定
【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形
中，若
，则“
”是“四边形
是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题总结】
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据
，
是否成立进行判断.
(2)集合法：根据
，成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否
成立为止.
【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设
，则
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二：
用
利
充分条件与必要条件关系求参
【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之
间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
“
”是：“
”成
立的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，则使得“
且
”成立的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“
”的充分不必要条件是“
”，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：含量词的命题的否定
【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题
，
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：含量词的命题的真假判断
【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题
，
，命题
，
，则（ ）
A．和都是真命题
B．
和都是真命题
C．和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【解题总结】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题
，
，命题
，
，则
（ ）
A．和都是真命题
B．
和都是真命题
C．和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题
；命题
．则（ ）
A．和都是真命题
B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题
D．和都是假命题
【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．p 和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．p 和q 都是真命题
D．
和q 都是真命题
题型五：
用
利
命题的真假求参
【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“
”为假命题，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“
”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“
”是假命题，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题
，若
是假命题，则的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
①数形结合
1．“
”是“圆
不经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知命题
，
为假命题，则a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
3．在
中，
，点P 在边BC 上，则“
”是“P 为BC 中点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
②转化与化归
4．若“
，使
成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知x，y 是实数，则“
”是“
”是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：
，
，
，然后他们三人各用一句话来正确描述“
”表示的数字，并让丁
同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5 的正整数；乙：
是
的
必要不充分条件；丙：
是
的充分不必要条件．则“
”表示的数字是（ ）
A．3 或4
B．2 或3
C．1 或2
D．1 或3
③分类讨论
7．设甲：“函数
在
单调递增”，乙：“
”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．“
R，使
”的一个充分不必要条件是
A．
B．
C．
D．
或
基础过关篇
1．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
3．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2025·北京昌平·二模）设数列
是公比不为1 的无穷等比数列，则“数列
为递减数列”是“对
任意的正整数，
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，
，则“
与
共线”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知
，且：关于的不等式
无解；：直线
的斜率非负，则是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024 年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2024 年天津高考数学真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（2023 年天津高考数学真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
10．（2025·全国·模拟预测）“
”是“圆
截直线
所得弦长为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
11．（2025·辽宁·三模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列
的公比为，甲：数列
是递增数列，乙：
，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：
，设
，命题
，则（ ）
A．
，且
为假
B．
，且
为假
C．
，且
为真
D．
，且
为真
14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在
中，
，
，
，则“
有唯一
解”的充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（多选题）（2025·河南·三模）若
，则“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）下列四个结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
且
，则
C．命题“任意
，则
”的否定是“存在
，则
”．
D．“
”是“
”的必要不充分条件
17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合
，若“
”是“
”的充分条件，则实数的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“
，
”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：
，
，则命题p 的否定为 ．
20．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
21．已知
，则
是的条件 .（在充分不必要､必要不充分､充
要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）
能力拓展篇
22．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
为数列
的前项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
23．（2025·北京东城·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
24．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设
，则使得“
”成立的一个充分不必
要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
