文档文本内容
2.1 函数的概念及其表示
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................3
02 落实主干知识...................................................................................................................................4
一、函数的概念....................................................................................................................................4
二、分段函数的应用............................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：函数基本概念辨析................................................................................................................6
题型二：函数同一性判定....................................................................................................................8
题型三：具体函数的定义域..............................................................................................................10
题型四：抽象函数定义域的求解...................................................................................................... 11
题型五：定义域在函数应用中的拓展..............................................................................................13
题型六：函数解析式的求法..............................................................................................................14
考向1：待定系数法（函数类型确定）...................................................................................................................14
考向2：换元法或配凑法............................................................................................................................................15
考向3：方程组法........................................................................................................................................................17
考向4：求分段函数的解析式....................................................................................................................................19
考向5：抽象函数解析式............................................................................................................................................21
题型七：函数的值域..........................................................................................................................23
考向1：观察法............................................................................................................................................................23
考向2：配方法............................................................................................................................................................24
考向3：图像法（数形结合）....................................................................................................................................25
考向4：基本不等式法................................................................................................................................................27
考向5：代数换元法与三角换元法...........................................................................................................................28
考向6：分离常数法....................................................................................................................................................30
考向7：判别式法........................................................................................................................................................32
考向8：单调性法........................................................................................................................................................33
考向9：有界性法........................................................................................................................................................34
考向10：导数法..........................................................................................................................................................36
题型八：分段函数的应用..................................................................................................................38
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................41
05 数学思想方法.................................................................................................................................43
①数形结合..........................................................................................................................................43
②转化与化归......................................................................................................................................44
③分类讨论..........................................................................................................................................45
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................47
基础过关篇..........................................................................................................................................47
能力拓展篇..........................................................................................................................................53
1、了解函数的含义.
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3、了解简单的分段函数，并会简单的应用.
一、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的
y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：x→y=f ( x)，
x∈A .集合A 叫做函数的定义域，记为D ，集合¿ ¿，x∈A¿¿叫做值域，记为C .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为y=f ( x)，x∈D
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
二、分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，
即分段函数问题，分段解决．
常用二级结论
一、抽象函数定义域
原则：(1)定义域一定是
的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样.
①已知
的定义域是
，求
的定义域
解不等式
，其解集就是
的定义域.
②已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
求
的值域，该值域就是
的定义域.
③已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
先求出
的值域
，然后解不等式
，其解集就是
的定义域.
二、求值域、最值的方法
1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.
2、配方法(对称轴法)：对于形如
，
形式的二次函数，利用配方法或直接利
用对称轴
完成.可以结合图象完成求值域或最值.
3、换元法：代数换元法，三角换元法.
常见的模型
①
，令
，则
.
②
，令
，则
；
③
，令
，则
；
④
，令
，则
；
⑤
，令
，则
；
⑥令
，则
；
⑦令
，则
.
⑧
，令
，
(或令
，
).
⑨
时，令
，
；
⑩令
，则
.
4、图象法(数形结合法)：
①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.
②求
或
的值域
③根据函数表达式的几何意义.
5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.
6、基本（均值）不等式法
7、有界性法：含
，
，
，
，
，
，
的函数，若可用
表示它们，则常利
用其有界性来求值域。
8、判别式法
9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.
题型一：函数基本概念辨析
【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合
，
是
的函数，且满足
，则这样的函数
的个数为（ ）
A．31
B．33
C．41
D．133
【答案】C
【解析】因为
，若
，则
，所以
，
若仅
，设
，则
，
所以函数不能仅有
，在
中至少还要有1 个函数值等于1，具体分类如下：
1、若5 个函数值都为1，此时共有1 种情况；
2、若仅有4 个函数值为1,又
，4 个中取3 个函数值为1 有
种，另一个的取值有3 种情况，此
时共有
种；
3、若仅有3 个函数值为1，4 个中取2 个函数值为1 有
种，另外2 个的取值有
种，此时共有
6×4=24种；
4、若仅有2 个函数值为1，4 个中取1 个函数值为1 有
种，另3 个的取值有1 种，此时有
种情况；
综上共有
，
故选：C.
【解题总结】
利用函数概念判断：（1）A，B 是非空的实数集；（2）数集A 中的任何一个元素在数集B 中只有一
个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B 中有可能存在与数集A 中元素不对应的元
素.
【变式1-1】存在函数
满足：对任意
都有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，取
得
，取
得
，矛盾，即不存在函数
满足，A 不是；
对于B，取
得
，取
得
，矛盾，即不存在函数
满足，B 不是；
对于C，取
得
，取
得
，矛盾，即不存在函数
满足，C 不是；
对于D，
为R 上的增函数，对任意
都有唯一的
满足，则存在函数
满足，
D 是.
故选：D
【变式1-2】设
是含数2 的有限实数集，
是定义在
上的函数，若
的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】问题相当于圆上由12 个均匀分布的点为一组，
每次绕原点逆时针旋转
个单位后会与下一个点重合，
我们可以通过代入和赋值的方法当
时，
这12 个点对应的圆心角分别为
，
然而此时有5 组关于
轴对称的点，即一个
对应2 个
，
因为函数的定义要求一个
只能对应一个
，排除选项
，
因此只有当
时，旋转
后得到的12 个点，没有任何两个点关于
轴对称，
此时每个
都满足一个
只会对应一个
.
故选：A.
【变式1-3】若函数
的定义域为
，值域为
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，值域为
，
可知A 图象定义域不满足条件；
B 图象不满足函数的值域；
C 图象满足题目要求；
D 图象，不是函数的图象；
故选：C．
【变式1-4】下列可以作为集合A 到集合B 的一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项：当x 为负数时，B 中没有元素与之对应，故A 选项不正确；
B 选项：当x 为零时，B 中没有元素与之对应，故B 选项不正确；
C 选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C 选项不正确；
D 选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D 选项正确．
故选：D
题型二：函数同一性判定
【例2】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【解析】对于A，易知
的定义域为
，而
的定义域为
，
两函数定义域不同，可知A 错误；
对于B，显然
的定义域为
，
而函数
的定义域为
，两函数定义域不同，可知B 错误；
对于C，两函数定义域均为
，但
的值域为
，
而
的值域为
，两函数值域不同，即C 错误；
对于D，易知
与
的定义域、值域、对应关系均相同，即D 正确.
故选：D
【解题总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式2-1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】B
【解析】A 中，
的定义域为
，
的定义域为
，故A 错误；
B 中，
，B 正确；
C 中，
的定义域为
，
的定义域为
，故C 错误；
D 中，
的定义域为
，由
可得
的定义域为
，D 错
误．
故选：B.
【变式2-2】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因
是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选
项中是同一个函数的是（）
A．
B．
C．
D．
和
【答案】B
【解析】对于A，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系不同，
和
不是同一个函数，故A 错误；
对于B，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系相同，
和
是同一个函数，故B 正确；
对于C，
定义域为
定义域为
，
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故C 错误；
对于D，
定义域为
定义域为
,
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故D 错误；
故选：B.
【变式2-3】下列函数属于同一函数的是：（ ）.
A．
B．
C．
D．以上均不正确
【答案】C
【解析】A 选项，
无意义，
，故两函数定义域不同，错误；
B 选项，
的定义域为
，
的定义域为
，错误；
C 选项，由解析式可知两函数定义域都是
相同，
约分后与
相同，C 正确.
故选：C
题型三：具体函数的定义域
【例3】函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题意可得
，即
，解得
，
所以函数的定义域为
.
故答案为：
.
【解题总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子
有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式3-1】（2025·上海·三模）函数
的定义域为 .
【答案】
【解析】
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
【变式3-2】（2025·北京·二模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】由函数
有意义，则满足
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【变式3-3】（2025·北京朝阳·一模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】对于函数
，有
，解得
，
故函数
的定义域为
.
故答案为：
.
题型四：抽象函数定义域的求解
【例4】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，
则
，即
，
所以
的定义域为
，
又
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
【解题总结】
1、抽象函数的定义域求法：（1）若f ( x)的定义域为(a ，b)，求f [ g(x)]中a<g( x)<b 的解x 的范围，
即为f [ g(x)]的定义域．（2）已知f [ g(x)]的定义域，求f ( x)的定义域，则用换元法求解.
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先
求出各个函数的定义域，再取交集．
【变式4-1】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ，函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为
由
，得
，所以
的定义域为
．
由
，得
，所以函数
的定义域为
．
故答案为：
．
【变式4-2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】由题设
，可得
，则
.
故答案为：
【变式4-3】已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以要使函数
有意义，
则
，所以
，
所以函数定义域为
.
故答案为：
.
题型五：定义域在函数应用中的拓展
【例5】已知函数
的定义域是
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得
对任意实数
都成立，
当
时，
，符合题意；
当
时，满足
，解得
；
综上所述，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
【解题总结】
对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
【变式5-1】已知函数
的定义域为R，则函数
的值域为
【答案】
【解析】由题设知，在R 上
恒成立，
所以
，则
，故
，
所以
在
上单调递增，故
.
故答案为：
【变式5-2】若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知，
对任意
成立，且
在
上单调递减.
∴实数
应满足
解得
，故实数
的取值范围为
.
故答案为：
【变式5-3】若函数
的定义域和值域都为
，则
的值是 ．
【答案】
【解析】由题意知
为一次函数，则
所以
.
故答案为：
.
题型六：函数解析式的求法
考向1：待定系数法（函数类型确定）
【例6】已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值
为
，则
的解析式为 .
【答案】
【解析】因为
的对称轴为
，函数
在
上最小值为
，
所以可设
，
将
代入
，得
，解得
，
故
.
故答案为：
.
【变式6-1】已知函数
的定义域为
，且
的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条
件的一个
的解析式为
.
①
，
；②
在
上单调递减.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由题意
为指数型函数，且
在R 上单调递减，可以为
，如
．
故答案为：
．（答案不唯一）．
【变式6-2】一次函数
在
上单调递增，且
，则
.
【答案】
【解析】设
，则
，
，
则
.又
在
上单调递增，即
，
所以
，
，则
.
故答案为：
【变式6-3】已知函数
对任意
满足：
，二次函数
满足：
且
．则
，
.
【答案】
【解析】（1）
①，用
代替上式中的
，得
②，联立
①②，可得
；设
，所以
，即
，
所以
，解得
，
，又
，得
，所以
.
故答案为：
，
考向2：换元法或配凑法
【例7】若函数
，则
．
【答案】
【解析】利用换元法即可得到答案．
令
，则
，
，
∴函数
的解析式为
．
故答案为：
．
【变式7-1】若
，则
的解析式为 .
【答案】
【解析】令
，则
，代入
得:
，即
.
故答案为：
【变式7-2】已知函数
在
上具有单调性，且
，则
.
【答案】
【解析】令
，则
，
中，令
得
，故
，
显然
单调递增，且
，故
，
所以
，
.
故答案为：
.
【变式7-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）已知函数
满足
，且
，则
．
【答案】
或2021.
【解析】令
，则
，
令
，则
，解得
或
.
而
，故
.因此
.
则
，
即
，
因此
或
当
时，，时
，此时
；
当
时，
.
故答案为：
或2021.
【变式7-4】若函数
，且
，则实数a 的值为 .
【答案】
【解析】
函数
，又
的值域为
，
，
，可得
，解得
.
故答案为：
.
考向3：方程组法
【例8】已知函数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由
①，
得
②，
由①②得
，则
，
令
，则
，
所以
，
故
.
故答案为：
.
【变式8-1】（2025·高三·辽宁·期末）已知函数
满足
，则
.
【答案】
【解析】由
，①
将
替换成
，可得：
，②
再将①中
替换成：
，可得：
，③
①②相减可得：
，④
③④相加可得：
，
所以
，
故答案为：
【变式8-2】若函数
满足
，则
．
【答案】
【解析】由
，可得
，
联立两式消去
，可得
．
故答案为：
.
【变式8-3】已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，①
所以
，
所以
，②
②-①可得，
．
故答案为：
．
考向4：求分段函数的解析式
【例9】（2025·安徽池州·二模）定义在
上的函数
满足
.若
，对
，
，则
，并写出
的一个函数解析式 .
【答案】 4
【解析】由
得：当
时，
；当
时，
.
假设
，使得
，则题意得
，即
，
取
时，有
，即
这与
矛盾.所以不
，使得
.
综上，当
时，
；当
时，
①.
当
时，
；当
时，
②.
对于①而言：
当
时，即
，则
，所以
，所以
，
注意到
的任意性，所以
当
时，即
，则
，所以
，所以
，注意到
的任意性，所以
所以
，即
，解得
或
即
或
，舍.所以
，则
对于②而言：同理得
，则
.
故答案为：4；
.
【变式9-1】函数
的函数值表示不超过
的最大整数，例如，
．当
时，写出函数
的解析式
【答案】
【解析】当
时，
，当
时，
，
当
时，
.
故答案为：
【变式9-2】（2025·高三·黑龙江七台河·期中）设函数
，且
，
，
则
的解析式为 ．
【答案】
【解析】因为函数解析式为
，则
，则
，
由
可得，
，解得
，所以
.
【变式9-3】设函数
，若
，
，则
的解析式为
，
关于
的方程
的解的个数为 ．
【答案】
3
【解析】
时的解析式
，
则有：
得：
函数
的解析式为
．
关于
的方程：
解的个数，就是函数
，
交点的个数，画出两个函数的图象如图：
由函数的图象可知，两个函数的图象有3 个交点，所以方程有3 个解；
故答案为：
；3．
考向5：抽象函数解析式
【例10】函数
满足
，
，且
，则
.
【答案】
【解析】令
，则
，所以
．
令
，则
，所以
．
令
，
，则
，所以
．
令
，
，则
，
所以
．
当
时，
，
则
．
当
时，上式也成立，所以
，
所以
．
【变式10-1】已知函数
的定义域为
，且满足
，
，若
，则
函数
的解析式为 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，且满足
，
取
，得
，所以
，
，
，
，
以上各式相加得
．
故答案为：
.
【变式10-2】函数
满足：对任意
、
，都有
，
则所有满足条件的函数
的解析式为 或 ．
【答案】
【解析】令
可得
，
再令
，可得
，
解得
或
，
若
，可得
，可得
，
若
，可得
，可得
.
经检验，
、
均满足题意.
故答案为：
；
.
【变式10-3】写出一个同时具有性质①对任意
，都有
；②
的函数
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为对任意
，都有
，即函数
在
内单调递减，
由于
，即可取
，
故答案为：
（答案不唯一）.
【变式10-4】设
是定义在
上的函数，且满足对任意
，
，等式
恒成立，则
的解析式为 ．
【答案】
【解析】
是定义在
上的函数，且对任意
恒成立，
令
，得
，即
．
故答案为：
题型七：函数的值域
考向1：观察法
【例11】下列函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
的值域为
，
，故排除
；
函数
的值域为
，故排除
；
函数
的值域为
，故
满足条件；
函数
的值域为
，
，故排除
，
故选：
．
【变式11-1】函数
的值域为
【答案】
【解析】当
在第一象限时，
，
当
在第二象限时，
，
当
在第三象限时，
，
当
在第四象限时，
，
当
在坐标轴上时，函数无意义，
综上，函数的值域为
.
故答案为：
.
【变式11-2】函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
，
所以
，即
的值域为
．
故答案为：
.
考向2：配方法
【例12】函数
的最大值为 .
【答案】1
【解析】函数
，定义域为
，
令
，所以
，
所以
，
函数
的图象为开口向下，对称轴方程为
的抛物线，
所以
时，函数
取最大值，最大值为
，
即函数
的最大值为1．
故答案为：1．
【变式12-1】函数
的值域是 .
【答案】
【解析】因为
的图象对称轴为直线
，开口向下，
所以
，
，
故函数
的值域是
.
故答案为：
【变式12-2】函数
的值域 .
【答案】
【解析】将函数化为顶点式：
,
抛物线的二次项系数为
，所以开口向下.对称轴为
.
因为
，所以当
时，
，取得最大值
.
当
时，
，取得最小值
.
函数的值域为
.
故答案为：
.
【变式12-3】若函数
的定义域为
，则其值域为 ．
【答案】
【解析】当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
．所以值域为
．
考向3：图像法（数形结合）
【例13】给定函数
，用
表示函数
中的较大者，即
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【解析】令
，解得
或
，
作出函数
的图象如图所示：
由图象可知，当
时，
取得最小值为
．
故答案为：
．
【变式13-1】定义
为
中的最小值，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】令
，在同一坐标系内作出函数
，如图，
函数
的图象如图中实线部分，由
解得
，
由
解得
，于是
，
函数
的图象的最高点为
，而点
，
所以当
时，
取得最大值
.
故答案为：
【变式13-2】函数
的最大值为 .
【答案】3
【解析】当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
故函数
的最大值为3.
故答案为：3.
【变式13-3】函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】令
，则
，
则半圆
与直线
存在交点，
半圆方程为：
，
画出图象如图：
当直线
过点
，即图中直线
时，
；
当直线与半圆相切时，即图中直线时，
，得
（
舍），
故
，即值域为
.
故答案为：
考向4：基本不等式法
【例14】函数
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】因为
，
令
，则
，
令
，
，因为函数
在
上单调递增，所以
，
即
，则
，
即函数
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
【变式14-1】函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】对于函数
，有
，可得
，
所以函数
的定义域为
，
所以
，
当且仅当
即当
时等号成立，
故函数
的值域为
.
故答案为：
.
【变式14-2】已知
满足
，且
，则
的值域为
【答案】
【解析】由函数
满足
，且
，
令
，可得
，因为
，可得
，
再令
，可得
，所以
，
令
，可得
，即
，
再令
，可得
，所以
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
考向5：代数换元法与三角换元法
【例15】若
，则
的取值范围是________
【答案】
【解析】
解：因为
所以
解得
，令
，
则
所以
，
因为
，所以
，所以
所以
故答案为：
【变式15-1】（2025·高三·河南·开学考试）已知
且
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】
，则
，
，
令
，
则
，
由
，
，
知
，即
恒成立，
又由
，即当且仅当
时等号成立，
由
，故当
时等号取到，
所以
，
当
，即
时，
取最小值，且最小值为
.
故答案为：
.
【变式15-2】已知函数
，则函数
的值域为
【答案】
【解析】易得
是减函数，所以
．
令
，则
，因为函数
在
上单调递增，
所以
，即
的值域为
．
故答案为：
.
【变式15-3】函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】令
，
，则
，
则
，即为
，
其图象对称轴为
，则该函数在
上单调递减，
故
，
故函数
的值域为
，
故答案为：
考向6：分离常数法
【例16】
，
，则
的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
．
令
，则
，则
可化为
．
∵函数
，
在
上均为增函数，
∴
在
上为增函数，
∵
时，
，
时，
，
∴
的值域为
．
故答案为：
.
【变式16-1】函数
在
上的最大值为 ；最小值为 ．
【答案】
/
【解析】令
，则
，∵
，∴
，
∴
，
令
，
，
由对勾函数的性质可知，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
∵
，
，
∴
，
，
∴函数
在
上的最大值和最小值分别为
和
．
故答案为：
；
.
【变式16-2】函数
的值域是 .
【答案】
且
【解析】函数
中，
，则
且
，
于是
，由
，得
；由
，得
，
所以原函数的值域为
且
.
故答案为：
且
考向7：判别式法
【例17】已知
，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
，所以
.
又因为
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
【变式17-1】函数
的最大值为 ．
【答案】
/0.25
【解析】原函数可以化简为
在
时有解，
当
时，
，
当
不等于0 时，
，
解得
且
不等于0，
故所求最大值为
.
故答案为：
.
【变式17-2】设实数x，y，z 满足
，则
的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 8
【解析】将
，整理得
，
故
，
是
的两个根，
由
，解得
，
所以
，
当
时，
的最大值为8，当
时，
的最小值为
．
故答案为：8；
考向8：单调性法
【例18】函数
的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意可得函数的定义域为
，
，
由复合函数的单调性可得函数为增函数，
所以当
时，取得最小值，最小值为
，
故答案为：
.
【变式18-1】函数
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】
的定义域满足
，即
.则函数定义域为
.
在
内单调递减，
在
也是单调递减，
则
在定义域
内单调递减，则
.
故答案为：
．
【变式18-2】函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】
，
令
，则
时，
，
，函数在
上单调递减，
若
，则
，
若
，则
，
故函数值域为
．
故答案为：
.
【变式18-3】（2025·安徽·一模）函数
的值域为 .
【答案】
【解析】因为
与
在
上均为减函数，
且当
时，
，所以
，
故
的值域为
.
故答案为：
考向9：有界性法
【例19】（2025·甘肃·二模）已知实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
#
【解析】因为
，所以
，所以
，所以
，
因为
，所以
， 当
时取等号，
所以
，则
的最小值为
.
故答案为：
【变式19-1】设
均为非负数，且满足关系式
，则
的最大值为
.
【答案】
/
【解析】设
结合原条件，有整体
，
解得：
.
代入
可得
.
由于
均为非负数，则
，解得：
.
当
，即
时，
;
当
，即
时，
.
故答案为：
.
【变式19-2】函数
的值域是________________.
【答案】
【解析】
由题意
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
故答案为：
.
考向10：导数法
【例20】函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，
当
时，
.
，
故
在
上单调递减；
当
时，
.
，
在
上单调递减；
当
时，
.
，
令
，解得
，令
，解得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
为连续函数，
因此函数的最小值为
.
故答案为：
.
【变式20-1】已知
的最小值为 ．
【答案】
【解析】设
，对称轴为：
，
则
，
设
，则
．
当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
单调递增；
所以
，
即
的最小值为
．
故答案为：
【变式20-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若实数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
（或
）
【解析】由
，可得
，则
，
则
.令
，
则
.
当
时，
，当
时，
，
从而
的最小值为
，
即
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式20-3】函数
在
上的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】
得
，在
上，
，
所以当
时，
；
可得
的增区间为
，
当
时，
，
可得
的减区间为
，
又
，
所以
在
上的最小值为
.
故答案为：
.
题型八：分段函数的应用
【例21】（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，不等式
的解集为
B．若函数
为
上的增函数，则实数
的取值范围是
C．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
D．若函数
恰有两个零点，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A：当
时，
，
令
，解得
；
令
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
，故A 正确；
B：易知
在
上单调递增，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线
，
因为
在R 上单调递增，所以
，解得
，故B 错误；
C：易知二次函数
的最小值为
，
由
，解得
或
，
要使
的值域为R，需
，解得
，故C 正确；
D：令
，解得
；
令
，解得
或
.
当
时，
与
轴无交点，
与
轴有2 个交点；
当
时，
与
轴有1 个交点，
与
轴有2 个交点；
当
时，
与
轴有1 个交点，
与
轴有1 个交点；
当
时，
与
轴有1 个交点，
与
轴无交点.
综上，若
有两个零点，则
或
，故D 正确.
故选：ACD
【解题总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式21-1】（多选题）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在
上的函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数
的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，根据题意，由
，故A 正确；
对于B，根据题意，由
，故B 正确；
对于C，根据题意，由
，故C 错误；
对于D，由于当
时，函数
，
满足
，
所以
图象关于直线
对称，
当
时，
，
所以
，
，即
；
当
时，
，故
，
；
当
时，由于
，所以此时
；
当
时，由于
，所以此时
，
以此类推，根据定义域为
，所以可得函数
的值域为
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式21-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是
．
【答案】
【解析】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；当
时，
，
因此函数
为奇函数，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，则
，
于是
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
【变式21-3】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.
故答案为：
1．求函数
的最小值.
【解析】解法一：
函数
的定义域为一切实数.
.①
又
，即
，
对①式两边平方，得
.
整理，得
.②
对②式两边平方，得
，
再整理，得
.③
，x 为实数，
，
化简并整理，得
，
即
，
又
，
，
，
当
时，方程③为
，即
，
解得
，故函数的最小值为
.
解法二：
令
，
，
，则
点A 关于x 轴的对称点为
.
则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当
、P、B 三点共线时取“等号”）.
2．已知函数
满足
，若
，则
A．25
B．125
C．625
D．15625
【答案】C
【解析】
解法一：由题意取
，可得
即
则
故选
解法二：令
，
则
，
所以
，
即
，所以
，则
故选
解法三：由
可构造满足条件的函数
，
可以快速得到
故选
①数形结合
1．已知函数
，若
的值域是R，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
已知
与
均是增函数，且有两个交点
和
，
因为函数
的值域为R，由图像可知，a 的取值范围为
2．已知函数
，那么不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分别画出
与
的图象，如下图所示：
由图象知，不等式
的解集为
故选：
②转化与化归
3．已知
对于任意
，都有
，且
，则
A．4
B．8
C．64
D．256
【答案】D
【解析】
因为
，且
，
所以
，
，
所以
故选：
4．已知定义在R 上的函数
满足对任意的a，
R，
，
，则
A．
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【解析】令
，得
，
再令
，得
，
令
，得
，则
，
因为
，所以
，
当
时，
，解得
故选：
5．已知函数
满足：对
，都有
，
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
则
，
则
，
即
，
所以
，
即
故选
③分类讨论
6．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，函数
，因为对数函数
在
时单调递增，
，
所以
，即
的值域为
，
当
时，
，
，此时
，函数
的值域为
不满足值域为R，
当
时，函数
是二次函数，图象为抛物线，对称轴为
，
要使函数
的值域为R，则
的值域要包含
因为二次函数
开口向下才能有可能包含
所以
，
且
在
处的函数值
因为
已经满足这一条件，
同时判别式
，
解不等式
，即
，因式分解得
，解得
，
又因为
，所以
，
故选：
7．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
当
时，
，
，所以
在区间
单调递增，
故
当
时，
在
内单调递增，所以
，因为函数
的值域为
R，所以实数a 的取值范围是
，
故选：
8．已知函数
，若
，则a 的值为
A．0 或
B．0 或
C．
D．
【答案】A
【解析】若
，即
，可得
，
解得：
，符合；
若
，即
，可得
，解得：
，符合；
综上可知：a 的值为0 或
，
故选：
基础过关篇
1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，定义域为
，而
，∴该函数不是奇函数.故A 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是偶函
数，不是奇函数.故B 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为
，不是
.故C 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.当
趋
于正无穷时，
趋于正无穷；当
趋于负无穷时，
趋于负无穷；并且函数在定义域内是连
续的，
值域为
.故D 正确.
故选:D.
2．（2025·山东威海·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
在
单调递增，
在
单调递增，
所以当
时，
单调递增，则
，
又函数
的值域为
，
所以
时，函数
的值域要取到
的所有实数，
所以
，
当
时，即
时，函数
单调递增，
时，
，
当
时，
，即
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：C
3．（2025·重庆·三模）已知定义在
上的函数
满足对任意的
. 则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【解析】因为对任意的
，
令
，则
，即
；
令
，则
，即
；
可得
，
令
，则
，解得
.
故选：C.
4．（2025·重庆·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
.
故选：A.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，则
，
所以
.
故选：A
6．（2025·山西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
【答案】B
【解析】
，
故
，
所以
，
故
，解得
.
故选：B.
7．（2025·河北·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，都有
，
且
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，
又
，有
，
又由
，有
，故
，
．
故选：A．
8．对于函数
，若存在两个常数a，b，使得
，则称
是“平方差关联函数”．
已知函数
是“平方差关联函数”，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】因为
是“平方差关联函数”，所以
，
化简得
，则
解得
故
，
故选：B．
9．（多选题）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，由
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，由选项C 知
，且
，
，故D 正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数
，若
，
则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】CD
【解析】当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
（舍去）或
.
综上所述，
或
.
故选：CD.
11．（多选题）（2025·福建·模拟预测）设
是非空的实数集，若
，则（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
值域为
D．函数
无极值
【答案】AD
【解析】由函数的定义可知，集合
中的任意一个数
，
在集合
中都有唯一确定的数
和它对应，
所以函数
的定义域为
，值域为集合
的子集，故A 正确，B 错误；
对于C，当
，
时
，值域不为
，故C 错误；
对于D，
，所以
单调递增，无极值，故D 正确.
故选：AD.
12．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数
，则
的值等于 ．
【答案】
【解析】因为
，则
.
故答案为：
13．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
，则
.
【答案】2024
【解析】
，
，即
，
，
故答案为：2024.
14．（2025·福建厦门·三模）已知函数
若
，则
．
【答案】8
【解析】
，
所以
，
因为
时，
，
所以
，
，解得
，
故答案为：
15．（2025·贵州黔东南·一模）若函数
满足
，则
．
【答案】2
【解析】由
，
令
，得
，
令
，得
，
两式联立，解得
.
故答案为：2.
16．（2025·吉林·模拟预测）已知函数
，若
，则
．
【答案】
【解析】设
，
，
，
当
时，
，
，
无解，不符合题意；
当
时，
，
；
当
时，
，
，
无解，不符合题意；
当
时，
，
．
故答案为：
17．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R 上的函数
满足
且
，则
．
【答案】
【解析】令
，所以
，
所以
，
即
，
，……，
所以
，以上
式子相加可得：
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
能力拓展篇
18．（2025·上海金山·二模）已知函数
的图象是折线段
，且
，则函数
的图象与
轴围成的图形面积为 .
【答案】
【解析】由题可得，
，
，
设函数
的图象与
轴围成的图形面积为，
如图，由二次函数
和
可知，曲边三角形
的面积等于曲边三角形
的面积，
所以
.
故答案为：
.
19．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转
后得到的曲线仍为一个函数
的图象的有 （写出对应编号）．
①
； ②
；
③
； ④
．
【答案】①③④
【解析】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针
方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量
，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转
后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于
轴的直线最多只有一个交点，所以
函数的图象与任一斜率为1 的直线都最多只有一个交点，
结合函数图象可知，
对于①，
的图象与直线
都只有一个交点，故①正确；
对于②，
的图象与直线
有两个交点
，
，故②错误；
对于③，
，
，
，所以
的图象在点
处的切线方程
为
，
的图象与直线
都最多只有一个交点，故③正确；
对于④，
的图象与直线
都只有一个交点，故④正确．
故答案为：①③④.
20．（2025·湖南常德·一模）若函数
有最小值，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
在
时的取值集合为
，
当
时，
，没有最小值，
由函数
在R 上有最小值，得
在
上单调递减，且
，
因此
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
21．已知函数
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，且
，
所以
，
所以
.
故答案为：
22．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R 的函数
满足：
，
都有
且
（a 为常数），则函数
．
【答案】
【解析】由
①，
在①中，令
可得
②，
在②中，令
，则
③，
由②可得，
④，
由①可得，
⑤，
由②可得，
⑥，
则由③④⑤⑥可得，
，即
，
因
，则
.
故答案为：
23．（2025·浙江温州·二模）函数
满足：①
②
，
．则
的最大值等于 ．
【答案】
/0.5
【解析】设
且
，
令
，
则有
，
即
，
设
，则
，
即
，
所以
有解，
，
所以
的最大值等于
．
故答案为：
24．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，则
；若
，对任意的
，都有
，则当
时，
不等式
的解集为
【答案】
【解析】由
，令
，得
，解得
；
设
，则
，由
，得
，即
，
设
，则
在
上单调递减．由
，得
，即
．
所以
解得
，即不等式
的解集为
．
故答案为：2；
.
25．（2025·河北沧州·一模）已知函数
满足：
，
，
，
若
，则
.
【答案】2024
【解析】依题意，因为
，则
，
令
，则
，因为
，所以
，
又因为
，则
，即
，
令
，则
，即
，
令
，则
，所以
，故得
，
又
；
又
，
所以
，即
.
故答案为：2024.
