文档文本内容
2.8 函数的图象
目录
03 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数图像问题................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：作函数的图象........................................................................................................................5
题型二：函数图象的识别....................................................................................................................9
题型三：利用图象研究函数的性质..................................................................................................12
题型四：利用图象解不等式..............................................................................................................16
题型五：利用图象求参数的取值范围..............................................................................................19
题型六：根据实际问题作函数图像..................................................................................................23
题型七：对函数图像进行变换..........................................................................................................26
题型八：根据函数图像选择解析式..................................................................................................29
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................34
05 数学思想方法.................................................................................................................................36
①数形结合..........................................................................................................................................36
②转化与化归......................................................................................................................................38
③分类讨论..........................................................................................................................................40
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................43
基础过关篇..........................................................................................................................................43
能力拓展篇..........................................................................................................................................57
1、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2、会画简单的函数图象.
3、会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、函数图像问题
1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2、利用图象变换法作函数的图象
平移变换：①
；
注意：
；
②
；
翻折变换：③
；④
（偶函数）；
伸缩变换：⑤
；⑥
.
对称变换：①
关于直线
（即
轴）对称
②
关于直线
（即
轴）对称：
③
关于原点对称
④
关于直线
对称
⑤
关于直线
对称
⑥
关于点
对称
常用二级结论
1、对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
2、反比例型函数：
对称中心为点
.该函数定
义域为
，值域为
，
，
.
3、对勾函数：
4、某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断.
5、
在区间
上的图形是（向上）凹的
（即切线的斜率递增）.
在区间
上的图形是（向上）凸的
（即切线的斜率递减）.
题型一：作函数的图象
【例1】作出下列各函数的图象．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【解析】（1）将函数
的图象向左平移1 个单位长度，
再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数
的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为
，
故函数图象可由函数
的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为
，且函数为偶函数，
先用描点法作出
上的图象，再根据对称性作出
上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
【解题总结】
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,
则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
【变式1-1】分别作出下列函数的图象．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【解析】（1）（1）设
其图象如图．
（2）当
，
，
；
当
，即
时，
．
所以
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．
（3）设
，则其图象可由
的图象向左平移1 个单位，再保留x 轴上方部分不变，
将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，如图．
【变式1-2】已知函数
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)画出函数
的大致图像并求出方程
的解的个数．
【解析】（1）由题意可知，
的定义域为
，
则
，
令
，则
，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增.
所以故
;
（2）由（1）可知作出函数图像，
由图，当
时，方程
的解个数为
个；
当
或
时，方程
的解个数为个；
当
时，方程
的解个数为
个.
【变式1-3】（2025·甘肃兰州·一模）已知函数
.
（1）当
时，画出函数
的图象：
（2）当
时，
恒成立，求
的范围.
【解析】（1）当
时，函数的解析式可化为：
，故函数图象如图
（2）①当
时，
在
时显然成立；
②当
时，由于
，
，故
，
，令
，对称轴
，开口向下，
，即在
时，
成立；
③当
时，当
时，
，
，令
，对称
轴
，开口向上，当
时函数减，当
时函数增，
，
，解得：
；
当
时，
，
，令
，对称轴
，开
口向上，此时函数在
为增函数，需
，解得：
；
综上可知，当
或
时，满足条件.
题型二：函数图象的识别
【例2】（2025·江西·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当
时，
，所以
，排除B.
故选：A.
【解题总结】
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数
图像的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知，
定义域为
，
，
所以
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除B,C；
又
，故D 错误，A 正确．
故选：A．
【变式2-2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，知
的定义域为
，排除A，C；
，当
增大时，
减小，
也减小，即
在
上单调递减，排除D.
故选：B.
【变式2-3】（2025·广西河池·二模）已知函数
，则以下最不可能是其图像的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知函数
，
当
时，
，则
，令
得
，
所以当
时，
，函数
单调递减，当
时，
，函数
单调递增，
且
则选项B 是函数
的部分图像；
当
时，
，则
，令
得
，
所以当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
且
则选项C 是函数
的部分图像；
当
时，
，则
在
上单调递增，且
，选项D 是
的部分图像，
对于A 选项，显然
，
，令
得
，所以一定有极值点，故A 选
项不符合.
故选：A.
【变式2-4】（2025·山西朔州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的定义域是
，关于原点对称，排除选项D，
因为
，
所以
是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，
当
时，
，
（等号条件为
即
，故等号不成立），
当
时，
，
（等号条件为
即
，故等号不成立），排除C，只有选项B 符合题意.
故选：B.
题型三：利用图象研究函数的性质
【例3】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．不等式
的解集为
D．若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为
【答案】CD
【解析】
的大致图象如图所示：
由图象可知：
的图象不关于原点对称，所以
不是奇函数，故A 错误；
在定义域内不单调，故B 错误；
若
，则
或
，即不等式
的解集为
，故C 正确；
令
，则
，
原题意等价于
与
有2 个交点，则
，
所以
的取值范围为
，故D 正确；
故选：CD.
【解题总结】
利用函数图像求函数最值时，需先绘制出相关函数图像。依据题目对函数提出的条件与
要求，在图像上精准定位取得最值的位置，进而通过计算得出答案。这一过程巧妙地将抽象
的数学问题转化为直观的图形分析，充分体现了数形结合的数学思想。
【变式3-1】（多选题）如图放置的边长为1 的正方形
沿
轴滚动．设顶点
的纵坐标与横坐
标的函数关系式是
，则下列说法正确的有（ ）
A．
是周期函数，且最小正周期为4
B．
的最大值为
C．
时，
的图象与
轴围成的封闭图形的面积为
D．
时，点
经过的路程为
【答案】ABD
【解析】假设
落在
轴上时开始计时，下一次
落在
轴上，过程中四个顶点依次落在了
轴上，而相
邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4．考查正方形向右滚动时，
点运动情况：
首先以
为圆心，正方形边长为半径运动
个圆，
然后以
为圆心，正方形对角线长为半径运动
个圆，
最后以
为圆心，正方形边长为半径运动
个圆，最终运动轨迹如下曲线：
由图知：图像与
轴围成的封闭图形的面积为
，C 错误，
故选:ABD
【变式3-2】（多选题）（2025·湖北武汉·一模）已知函数
，若函数
为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】A 选项，令
，则
，满足
为偶函数，
但
的图象如下，不关于直线
对称，A 错误；
BD 选项，
为偶函数，故
为奇函数，
即
，即
，
故
，故点
为曲线
的对称中心，
故
，则
，故B，D 正确；
C 选项，由题意得
，令
，则
，
由于曲线
的对称中心为
，结合三次函数的图象特征可知，
，则
，又
，故
，故C 正确.
故选：BCD.
【变式3-3】（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意
，则
在I 上单调递增
B．函数
的递减区间是
C．函数
的单调递增区间为
D．
在R 上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于A，若对任意
，显然
，
当
时，则有
；当
时，则有
；
由函数单调性的定义可知
在I 上是单调递增，故A 正确．
对于B，作出函数
的图象，如图所示，
由图象可知：函数
的递减区间是
，故B 正确；
对于C，函数
，在
上单调递增，在
上单调递减；
又函数
在
上单调递增，
∴由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得，
的单调递增区间为
，故C 错误；
对于D，因为
，
，则
，
所以
是R 上的增函数，故D 正确．
故选：ABD.
【变式3-4】（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．函数
的零点从小到大依次记为
，若
，则
的取值范围为
D．若函数
在
上恰有4 个零点，则
的取值范围为
【答案】AC
【解析】由题可知，
，A 正确.
由
，
可作出
的部分图象，可知
在
上单调递增，在
上单调递
减，B 不正确.
由
，得
，根据函数的对称性可知，当
时，可知
，
是方程
的两个不
同的根，且
，
，根据
的图象可知，a 的取值范围为
，C 正确.
当函数
在
上恰有4 个零点时，根据
的图象可知，a 的取值范围为
，D 不
正确.
故选：
题型四：利用图象解不等式
【例4】（2025·河南·三模）若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
结合题意作出
的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式
的解集为
.
故选：B.
【解题总结】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
【变式4-1】（2025·高三·山西晋城·期末）已知
为定义在
上的奇函数，
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为定义在
上的奇函数，所以
．又
，所以
．
根据题意作出
的大致图象如图所示，
等价于
或
由图可得
．
故选：D
【变式4-2】已知函数
满足：
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，可知函数
的图象关于点
对称．
又因为当
时，
，所以函数
的大致图象如图．
结合图象可知，当
时，要使
，需
，则
；
当
时，要使
，需
，此时
不存在．
故不等式
的解集为
．
故选：D．
【变式4-3】（2025·河南商丘·三模）已知定义在
上的奇函数
在
上的图象如图所示，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据奇函数的图象特征，作出
在
上的图象如图所示，
由
，得
，
等价于
或
解得
或
，或
．
故不等式解集为
．
故选：C.
题型五：利用图象求参数的取值范围
【例5】（2025·贵州毕节·二模）已知函数
若方程
有3 个互不相等的实数
根
，
，
，则
的范围为 ．
【答案】
【解析】由题可得
，又因方程
有3 个互不相等的实数根，则
.
由
，可得
，
，则
.
则问题等价于当方程
在
时有唯一实根
时，实根
的范围.
即求直线
与函数
有唯一交点时，横坐标的范围.
如下图可知，当
时满足题意，则
.
故答案为：
.
【解题总结】
首先绘制出函数的图像，细致观察参数变化时函数形态与位置关系的动态演变。通过深
入分析，精准定位参数的临界状态，以此为关键节点，进一步推导并确定参数的合理取值范
围，为后续研究或应用提供明确依据。
【变式5-1】（2025·吉林长春·一模）已知函数
满足
，且当
时
.若在区间
内，函数
有两个不同零点，则
的范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，
∴
，又当
时
，
当
时，
，
，
故函数
，
因为函数
有两个不同零点，
所以函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
作函数
与
的图象，
当直线
过点
时，
，即
，
设直线
与
相切与点
，
由
，可知
，
所以
，
解得
，
，
所以当
时，函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
即函数
有两个不同零点，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式5-2】（2025·辽宁·三模）已知函数
，关于x 的不等式
只有1 个整数解，
则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
的递增区间为
，递减区间为
，故
的最大值是
；
时，
时，
，
故在
时，
，在
时，
，函数
的图象如下：
①
时，不等式化为
，无整数解，不合题意；
②
时，由不等式
得
，无整数解；
③
时，由不等式
，得
或
，
而
时，没有整数解，进而
的解集整数解只有一个，
且
在
递增，在
递减，
而
，这一个正整数只能为3，
所以
，即
；
综上，a 的取值范围是
．
故答案为：
.
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数的图象，设
，依题意，
，
且
，
，解得
，
，
故
，因函数
在
上单调递减，故
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式5-4】（2025·云南曲靖·一模）已知
，函数
，若
，
使得关于
的不等式
成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，则定义域为
，
所以
的图象是取
与
图象位于下方的部分，
作出
的图象如下所示（实线部分）：
当
时
，显然
在
上单调递减，且
；
因为
，使得关于
的不等式
成立，
所以
，令
，解得
，
结合图象可得
的解集为
或
，
即实数的取值范围是
.
故答案为：
题型六：根据实际问题作函数图像
【例6】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上
匀速跑步，他从点
处出发，沿箭头方向经过点
、
、
返回到点
，共用时
秒，他的同桌小陈在固
定点
位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为
（单
位：米），若
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点
到点
的过程中，
的值先增后减，
从点
到点
的过程中，
的值先减后增，
从点
到点
的过程中，
的值先增后减，从点
到点
的过程中，
的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即
的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D 选
项合乎题意，
故选：D.
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式6-1】直角梯形
如图，直线
左边截得面积
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】直线
的方程为
，
当
，
.
当
时，
.
所以
，
对应的图象为C 选项.
故选：C
【变式6-2】青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花
瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度
与时间
的函数图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时
水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合
选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C 选项符合.
故选：C
【变式6-3】如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC，CB 运动到点B，记
∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2
|
﹣PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2
|
﹣PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，
）上，P 在边AC 上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（
，π）上，P 在边BC 上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π 时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（
，0）对称，排除D，
故选：A
题型七：对函数图像进行变换
【例7】（2025·安徽·三模）已知函数
，
，若下图是函数
图象的一部分，则
可能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知，
，所以
不合题意，排除C；
定义域内没有
，不合题意，排除D；
当
时，
，故B 错误；
故选:A.
【解题总结】
（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式7-1】若函数
的图象如图1 所示，则如图2 对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
的定义域为
知，
中
，不符合图2，故排除B，
D；
对于C，当
时，
，不满足图2，故C 错误；
将函数
的图关于
轴对称，得到
的图，向右平移1 个单位得到
的图，
最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数
的图可能为图2.
故选:A.
【变式7-2】已知函数
的图象如图所示，则函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一，因为
，
所以函数
的图象是先将函数
的图象关于y 轴对称，
得到
的图象，再向右平移一个单位长度得到的.
故选：D.
法二，由图象知函数
的定义域为
，
由
，得
，所以函数
的定义域为
，故排除A，C；
又当
时，
，排除B.
故选：D.
【变式7-3】若把函数
的图象平移，可以使图象上的点
变换成点
，则函数
的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知图象上的点
变换成点
，
意味着函数
的图象向右平移一个单位且向下平移2 个单位，
此时对应的函数解析式为
，
若
，则
时，
且单调递减，
时，
且单调递增，
对比选项可知D 选项符合题意.
故选：D.
【变式7-4】（2025·四川成都·一模）函数
的图象经过变换
后得到函数
的图
象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得
，代入
可得
，则
，
即
，因此，
.
故选：B.
【变式7-5】若函数
是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
是奇函数，
所以函数
的图象关于原点对称，
又函数
的图象是
的图象向左平移1 个单位，
向上平移2 个单位得到的，
所以函数
图象对称中心的是
，
故选：B
题型八：根据函数图像选择解析式
【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象可知
的图象关于
轴对称，即
为偶函数，
选项中函数
的定义域都是
，
对于A 项，
，为偶函数，
对于B 项，
，为奇函数，
对于C 项，
，为偶函数，
对于D 项，
，为偶函数，
排除B 项；
由图可知
，对于A 项，
，不符合题意；
对于C 项，
，符合题意；
对于D 项，
，不符合题意．
故选：C．
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数
的部分图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的图象关于
轴对称，所以
为偶函数，排除B，
又
，排除A，当
时，
，排除D.
故选：C．
【变式8-2】（2025·四川南充·三模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故A 错误；
对于C：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
恒成立，不符合题意，故D 错误；
故利用排除法可知选项B 符合题意.
故选：B
【变式8-3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂
分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究
函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，
函数
与
的定义域均为
.
由图知
的定义域为
，排除选项A、D，
对于
，当
时，
，不符合图象
，所以排除选项C.
故选：B.
【变式8-4】已知函数
的图象如图所示，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A,
，其定义域为
，有
，
则函数
为奇函数，不符合题意，故A 错误；
对于B，
，其定义域为
，
有
，则函数
为奇函数，不符合题意，故B 错误；
对于C，
，在区间
上，
，不符合题意，故C 错误.
对于D，
，则
为偶函数，
且在区间
上，
，符合题意，故D 正确.
故选：D.
1．函数
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解法一 当
时，
，故B ，
不正确．当
时，
，且
单调递增，所以
单调递减，故 A 不正确，故选C．
解法二 函数
的定义域为
，且
．
，所以当
或
时，
，函数
在
和
上均单调递增；当
或
时，
，函数
在
和
上均单调递减．故选C．
解
法
三
记
，
则
，
排
除
，
；
当
时
，
，排除
选C．
2．已知函数
的图象如图所示，则函数
的图象为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】方法一：由
的图象可知，定义域为
，
则
的定义域也为
，关于坐标原点对称．
因为
，
所以
为偶函数，其图象关于
轴对称，排除
与
．
又
，所以
排除
．
故选B．
方法二：将
的图象先沿着
轴作对称，可得
的图象，即为
项的图象；
再将
在
轴左侧图象删去，将
轴右侧图象对称到左侧，即为
的图象，即为
项的图象，
即为所求．
故选B．
①数形结合
1．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示收支差额=车票收入-支出费用，由于
目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议
不改变车票价格，减少支出费用；建议
不
改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，
则
A．①反映建议
，③反映建议
B．①反映建议
，③反映建议
C．②反映建议
，④反映建议
D．④反映建议
，②反映建议
【答案】B 对于建议
，因为不改变车票价格，减少支出费用，
故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议
；
对于建议
，因为不改变支出费用，提高车票价格，
故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议
故选：
2．已知函数
，
，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为
为偶函数，
为奇函数，
函数
为非奇非偶函数，故选项A 错误；
函数
为非奇非偶函数，故选项B 错误；
函数
为奇函数，
对
恒成立，
则函数
在
上单调递增，故选项C 错误．
故选
3．在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
易知a 与
必有1 个大于1，1 个小于1，
则
与
在各自定义域内单调性相反，排除A；
由
可排除C，
故选：
②转化与化归
4 ．已知函数
在
上只有一个零点，则正实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分别作出函数
与函数
的大致图象．
分两种情形：
当
时，
，如图，当
时，
与
的图象有一个交点，符合题意
当
时，
，如图
，当
时，要使得
与
的图象只有一个交点，
只需
，即
，解得
，
综上，正实数
的取值范围为：
故选
．
5．设
，若
时均有
，则
．
【答案】
【解析】①
时，当
时，不等式为
不恒成立，所以不符合题意；
②
时，构造函数
，
，它们都过定点
对于函数
，令
，得
，故
；
时，均有
过点
，即
，如图所示
解得：
或
舍去
故答案为
6．如图所示，函数
的图象由两条射线和三条线段组成．若
，
，则正实
数
的取值范围是
．
【答案】
【解析】由题意得
且
，
若
，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
③分类讨论
7．已知
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】令
，
当
时，
，解得
当
时，
，解得
，
则
或
，即
作出函数
的图象如下：
在R 上递增，且
，
所以不等式
的解集为
，
故答案为
8 ．已知函数
，若
有
个零点，则实数
的取值范围
为
．
【答案】
【解析】
函数
恰有
个不同的零点，
有
个解，即
与
有
个交点，
当
时，
，则
，
令
，则
，
当
，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
当
时，
，则
，
令
，则
，
当
，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
画出函数
的图象如图所示：
故若有
个根，则
，
故答案为
．
9．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程
关于时间
的函数解析式分别为
，
，
，
，有以下结论：
当
时，甲走在最前面；
当
时，乙走在最前面；
当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面；
如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为
．
【答案】③④
【解析】甲、乙、丙、丁的路程
关于时间
的函数解析式分别为
，
，
，
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当
时，
，
，所以①不正确．
当
时，
，
，所以②不正确．
根据四种函数的变化特点，如图所示，对数型函数的增长速度是先快后慢，
又当
时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，均为1，从而可知．
当
时，丁走在最前面，当
时，丁走在最后面，所以③正确．
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运
动的物体，即一定是甲物体，所以④正确．
故答案为③④．
基础过关篇
1．（2025·山东枣庄·二模）将函数
的图象上所有点向左平移2 个单位长度后，再向下平移1 个
单位长度，得到函数
的图象，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】由题意可得
，
因为
，
所以
，
所以
，
即
，且
.
因为
，当且仅当
时，取到最小值.
故选：B
2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的根的
个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】由
得
，解得
或
，
画出
的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10 个交点．（图中只显示了6 个交点，当
或
时，
和
与图象还有4 个交点，）
故选：D.
3．（2025·天津·一模）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图象可知
的图象关于原点对称，所以
为奇函数，且
，
对于A,
，故不符合，A 错误，
对于B,
，
则
为奇函数，且满足
，故B 正确，
对于C,
，则
为偶函数，不符合，
C 错误，
对于D,
，
为偶函数，不符合，D 错误，
故选：B
4．已知
是
的极大值点，若直线
与曲线
至少有
一个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，对其求导得
.
因为
是
的极大值点，所以
，解得
，
所以
，
结合二次函数的图像可知，
是
的极大值点，
当
时，
，它表示一段圆弧
.
直线
可化为
，它恒过定点
.
由图像可以看出，当直线经过点
时，斜率最大，因为
，
所以此时
.
当该直线顺时针从点
绕到
的过程中，该直线与曲线
有一个交点，
该情况下
的取值范围为
.
当
时，曲线方程为
.图像如图所示：
由图像可以看出，当直线与曲线
相切时，
由
，化简得：
，
由
结合图形解得
.
通过图像可以看出，当直线顺时针旋转过程中，交点至少有1 个，合题意，此时
.
综上，当
或
时，即
直线
至少有一个交点.
故选：C.
5．（2025·山西忻州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，排除选项D；
，
故函数
为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当
时，
；
当
时，
，排除选项C；
综上所得，选项B 符合题意．
故选：B．
6．（2025·安徽淮北·二模）函数
的图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】观察图象知，
，函数
有3 个零点，设3 个零点为
，
于是
，当
时，
，
而此时
，因此
，
又
，
函数
有两个极值点
，且
，即
有两个不等实根，
，因此
，
所以
.
故选：B.
7．如图为函数
在
上的大致图象，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图像可知函数为奇函数，
选项A，
，故
为偶函数，其图象关于
轴对称，A
错误；
选项D，
，故
为偶函数，其图象关于
轴对称，D
错误；
选项B，因为
，所以B 错误.
对于C：
，奇函数，且
，符合，
故选：C.
8．（2025·北京东城·二模）已知
下列选项中能使
既是奇函数又是增函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 选项：如图，不符，
对于B 选项：如图，符合，
对于C 选项：如图，不符，
对于D 选项：如图，不符，
故选：B.
9．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形
是上底为
，下底为
，高为
的等腰梯形，记
梯形
位于直线
左侧的阴影部分的面积为
，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可知在梯形
中，
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为
；
当
时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即
；
所以可得
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A
10．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数
的部分图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知，函数图象关于
轴对称，因此
为偶函数，
对于B，
的定义域为
，且
，奇函数；
对于D，
的定义域为
，
，奇函数；
因此排除选项B，D 这两个奇函数；
由图象知，若
取一个很小的正数，比如
，
对于A：
，函数值为正数，因此排除A.
对于C:
的定义域为
，
，
，综上只有C 符合，
故选：C.
11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
12．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
13．（2022·天津·高考真题）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
且
，
函数
为奇函数，CD 选项错误；
又当
时，
，B 选项错误.
故选：A.
14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
故选：A.
15．（2022·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
故选：A.
16．（2025·天津·高考真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
17．（多选题）（2025·广东广州·三模）函数
的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下
图象可能为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】令
，得
，
，令
，得
，
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
，
，
递减，
，
，
递增，故D 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
时，
，
递减，故B 正确；
若
，
，则
，且
时，
恒成立，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
时，
，
递增，故C 错误；
若
，
，
，且
时，
恒成立，
时，
，
递增，
，
，
递增，
，
，
递减，故A 错误；
综上，A,C 错误，B,D 正确．
故选：BD．
18．（多选题）已知函数
，
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】CD
【解析】当
，
，则
，
，
所以
是以4 为周期的函数，
又
时，
，作出
的图象如图所示，
对于A，
，故A 错误；
对于B，由图象可得
是奇函数，故B 错误；
对于C，由图象可得
关于直线
对称，所以
，故C 正确；
对于D，由C 选项可得
，又
，则
，故D 正确.
故选：CD.
19．（多选题）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数
的图象的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，函数
的图象向右平移1 个单位长度可得到函数
的图象，故A 正确；
对于B，函数
的图象向上平移2 个单位长度可得到函数
的图象，故B 正确；
对于C，函数
的图象上点的横坐标伸长为原来的2 倍可得到函数
的图象，故C 错误；
对于D，函数
，其图象向左平移
个单位长度可得到函数
的图象，故D 正确．
故选：ABD
20．将函数
的图象向下平移1 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到函数
的图
象，则
．
【答案】
【解析】将函数
的图象向下平移1 个单位长度，
可得函数
的图象，
再向右平移1 个单位长度，可得函数
的图象，
所以
．
故答案为：
21．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若函数
至少有2 个零点，
则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】作出
的大致图象如图所示，
由
的零点，即为
观察可知
．
当
时，令
，可得
，当
时，令
，可得
，所以
，
故
．
故答案为：
．
22．已知函数
的定义域为
，值域为
，则下列函数的值域也为
的是 .
①
②
③
④
【答案】①③
【解析】对于①，
的图象可看作由
的图象向左平移一个单位得到的，
值域不变，①正确；
对于②，由
，得
，
即
的值域为
，②错误；
对于③，函数
与函数
的图象关于
轴对称，
则函数
的值域与函数
的值域相同，为
，③正确；
对于④，由
，得
，
即
的值域为
，④错误.
故答案为：①③.
能力拓展篇
23．已知对任意的
，不等式
恒成立，则a，b 的可能取值为 .（写出一
组即可）
【答案】
或
或
【解析】当
时，由
，可得
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，此时
不存在；
当
时，由
对任意的
恒成立，
作出
的大致图象，如图所示：
由题意可知
，又
是整数，
所以
或
或
.
故答案为：
或
或
24．已知函数
．若方程
（其中
为实数）有3 个不
同解，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令
，解得
或
，
则
，
其图象如图所示：
直线
过定点
，
且定点
在抛物线弧与
轴围成区域的内部，
解法一：因此方程
，即
在
内有2 个不同解．
令
，
利用二次函数图象分析法，其充要条件为
，解得
，
当
时，
有且只有2 个不同解，
故
不满足条件，所以
的取值范围为
；
解法二：直线过点
，抛物线弧的两个端点为
和
，
要使方程有3 个不同解，必须有
，
而
，且当
时，
有且只有2 个不同解，故
．
所以
的取值范围为
；
故答案为：
．
25．（24-25 高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数
，若
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意画出图象，得到
，
，则
，
即
，则
，则
，则
.
故答案为：
.
26．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】依题意，
，
当
时，
，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图像是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图像（即半
圆）；
当
时，
，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图像如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
当
时，
；
当
时，
显然取得最大值
；
当
时，
，
综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，易知当
时，在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，
当
时，
且接近于
处，
的距离最小，
此时
；故③正确；
对于④，取
，则
的图像如下，
因为
，
结合图像可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅是
，故④错误.
故答案为：②③.
27．（多选题）（2025·山东济南·模拟预测）已知函数
的定义域为R，
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，曲线
与x 轴围成的面积小于1
C．若函数
（
，且
）恰有6 个零点，则
D．若
，且
，则
的最大值为2
【答案】AC
【解析】由
，则
，所以函数
的周期为
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
，即
，则
，
由
，则
，
由
，则函数
在
上的图象与在
上的图象相同，如下图：
由图易知左侧曲线关于
轴对称，向右平移个单位，向左平移个单位，可与右侧曲线重合，
则当
时，曲线
与
轴围成的图形的面积为，故B 错误；
对于C，当
时，由题意可作图如下：
由图可知
，解得
，
当
时，只有一个解，不符合题意，故C 正确；
对于D，由题意可知
，整理可得
，
当且仅当
，等号成立，可得不等式
，解得
，
由
，解得
，符合题意，故D 错误.
故选：AC.
28．（多选题）函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】函数的定义域为
，
由图可知
，则
，
由图可知
，所以
，
由
，得
，
由图可知
，得
，所以
，
综上，
．
故选：AB.
29．（多选题）下列可能是函数
（其中
）的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】A 选项中的图象关于y 轴对称，是常函数但是
不能是常函数，A 选项错误；
B 选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为
，可得
，函数
满
足题意，B 选项正确；
C 选项中的图象，由定义域得
，由图象在y 轴截距为正得
，当
时，
符合条件，
C 选项正确；
D 选项中的图象，由定义域得
，由图象在y 轴截距为零得
，当
时，
符合条件，
D 选项正确；
故选：BCD
30．（多选题）（2025·山西·二模）若
，则函数
的函数图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】①当
时，
，其图象为指数函数的一部分；
②当
为正的奇数时，定义域为
，
，
可知当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
函数
在
处取得极小值，此时
是负数；
4 个选项中没有与以上两种情况对应的图象.
③当
为正的偶数时，定义域为
，
，
可知当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
且
时，
，则
，且
，故B 选项正确；
④当
为负的奇数时，定义域为
，
，
可知当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
且
时，
，则
，
时，
，则
，故C 选项正确；
⑤当
为负的偶数时，定义域为
，
，
可知当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
且
时，
，则
，故D 选项正确.
故选：BCD
