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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练题组版）
题组一 函数的对称性
1.（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知函数
，则函数
的图象的对称中心
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数
，
，
则有
，
故函数
的图象的对称中心的坐标为
故选：D .
2．（24-25 山东）已知函数
，则下列函数的图象关于原点对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以当函数图象向左平移2 个单位，再向下平移一个单位，
可得函数
的图象，
由反比例函数图象知，关于原点对称.
故选：C
3.（23-24 湖南长沙）函数
与函数
图象关于直线
对称，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】设
，
因为函数
与函数
图象关于直线
对称，
所以
.
故选：A
4．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知函数
，则函数
的图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以函数
的图象关于点
对称.
故选：C
5.（2024·河北·二模）已知函数
为奇函数，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
【答案】C
【解析】函数
为奇函数，图象关于
对称，
将函数
向左平移一个单位可得函数
，
则函数
关于
对称，
所以函数
的图象关于
对称.
故选：C.
6．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意：
，
可由偶函数
的图像向右平移1 个单位得到，所以函数
的对称轴为
,
故选：A.
7．（24-25 高三下·河南·阶段练习）若函数
的图象关于直线
对称，则下列函数一定为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的图象关于直线
对称，将
向右平移1 个单位长度，
所得图象关于y 轴对称，即
为偶函数，B 选项错误；
因为
的图象关于直线
对称，将
向左平移1 个单位长度，
关于直线
对称，不能得出
的奇偶性，A，C 选项错误；
对于D：
，
可得函数为奇函数，D 选项正确；
故选：D.
8．（2024·甘肃张掖·模拟预测）（多选）已知直线
是函数
图象的对称轴，则函数
的解析式可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】A：函数图象由
图象沿
轴向右平移1 个单位，
再把
轴下方的图象关于
轴对称翻折到
轴上方，故关于直线
对称，故A 正确；
B：函数
的图象是由
图象沿
轴向右平移1 个单位得到的，
而函数
是偶函数，关于
轴对称，
其图象沿
轴向右平移1 个单位后的图象刚好关于直线
对称，故B 正确；
C：令
，则该函数的对称轴为直线
，故
符合题意，故C 正确；
D：
，显然
，
故此函数不是关于直线
对称的，故D 错误.
故选：ABC.
9（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，其图象关于直线
对称，
则
，
所以
，所以
，解得
，
所以
，此时
，满足题意；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故选：B．
10．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函
数
为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．
图象的对称中心是
B．
图象的对称中心是
C．类比可得函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是
为偶函数
D．类比可得函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是
为偶函数
【答案】AC
【解析】
是奇函数，其图象的对称中心为
，将
的图象向右平移2 个单位长度，
再向上平移1 个单位长度得
的图象，
因此
图象的对称中心是
，A 正确，B 错误；
若函数
的图象关于直线
成轴对称图形，则将其图象向左平移
个单位长度得
的图象，
的图象关于直线
，即
轴对称，则
为偶函数，反之也成立，C 正确，D 错误．
故选：AC
11．（24-25 高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称
B．函数
的图象关于某直线对称
C．函数
的图象关于某点对称
D．函数
的图象关于某点对称
【答案】BCD
【解析】对A，令
，则
，
所以函数
的图象关于点
对称，故A 不正确；
对B，令
，所以
，
所以函数
的图象关于直线
对称，故B 正确；
对C，因为
，
所以
的图象可由函数
的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到，
而函数
是奇函数，图象关于原点对称，
因此函数
的图象关于点
对称，故C 正确；
对D，因为
，
所以函数
的图象可由函数
的图象向右平移2 个单位再向上平移3
个单位得到，
设
，则
，即
是奇函
数，图象关于原点对称，
因此函数
的图象关于点
对称，故D 正确．
故选：BCD．
12．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的图象关于点
对称，则
．
【答案】
【解析】设
是
图象上任意一点，且点
关于点
的对称点为
，
可得
，解得
，
将其代入函数
，可得
，所以
，
即
.
故答案为：
.
题组二 函数的周期性
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知奇函数
的图象关于直线
对称且
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．3
【答案】B
【解析】
的图象关于直线
对称，
，
又
为奇函数，
，
，
，
是以4 为一个周期的周期函数，
．
故选：B.
2.（2026 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数
，对任意实数x 都有
，若函数
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】将函数
的图象向左平移个单位即可得到函数
的图象，
由函数
的图象关于直线
对称，
可知函数
的图象关于y 轴对称，故
为偶函数，
又由
，得
，则
，
所以
是周期为8 的偶函数，则
．
故选：B.
3．（2026 高三·全国·专题练习）已知奇函数
满足
，且
的图象关于
对称，则
等于（ ）
A．
B．1
C．0
D．3
【答案】B
【解析】
的函数图象向左平移
个单位得到
的图象，
因函数
的图象关于直线
对称，则
的图象关于直线
对称，
则
因
为奇函数，则
，则
，
则
，得
，
所以
是周期为4 的周期函数，
则
．
故选：B
4．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，可得
，
又因为函数
的图象关于点
对称，可得
，
所以
，可得
，
所以函数
的周期为4，
因为当
时，
，所以
．
故选：D.
5．（2025·山西·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，且
的一个周期为4，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题
故
．又
，
，故
．
结合周期性可知
，
故
．
故选：C
6．（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
满足
对任意
恒成立，又函数
的图象关于点
对称，且
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
【答案】D
【解析】因为对任意
，都有
，
令
，得
，解得
，则
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称．
又函数
的图象关于点
对称，则函数
的图象关于点
对称，
即函数
为奇函数，所以
，
所以
，所以8 是函数
的一个周期，
所以
．
故选：D
7．（24-25 高三上·安徽阜阳·期末）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】由
可得：
，
所以函数
的周期为
，由
可得函数
关于
对称，
所以
，又
，
，
所以
，又
，
，
，
，
所以
故选：B.
8．（2025·重庆·二模）已知
是定义在
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】C
【解析】因为
，可得
，
可知函数
的一个周期为4，
又因为
是定义在
的奇函数，则
，
则
，即
，
令
，可得
；
令
，可得
，即
，
则
，
所以
.
故选：C.
9．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由
，所以
，所以
，
所以
，由
有
，
所以
，即
，所以函数
的周期为6，
所以
，
由
，
，
，
令
有
，
，
所以
，所以
，
令
有
，
，即
，
令
有
，即
，
，
所以
，
所以
，
故选：D.
10．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为R，
为偶函数，
为
奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．2025
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，所以
，
①
因为
，所以
，
，
结合
有
①
，
②
因为
为奇函数，所以
，所以
，
结合
有
②
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
所以
，
同理，由
，得
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
则
，则
，
所以
，所以
，所以
的周期为8，
所以
，
由
．得
，所以
．即
，
所以
．
故选：A．
题组三 函数性质的综合应用---解不等式
1．（2025 广西）已知定义域为R 的函数
满足
，且当
时，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得：
且
关于
成中心对称．
当
时，
，当且仅当
时等号成立，
所以
在
上单调递增，由中心对称可得：
在R 上单调递增．
由
得：
或
，解得
.
故选：A．
2．（24-25 安徽·阶段练习）已知定义域为
的函数
满足
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，所以
在
上单调递减，
因为
，所以不等式
可变为
，即
，
所以
，即
，所以不等式
的解集为
．
故选：D．
3．（2025·湖南·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
即函数
关于
对称，
当
时，
单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
因为
，所以
，解得
，
即
的取值范围是
，
故选：B.
4．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，又因为定义域为
关于原点对称，
所以
是奇函数，
由于
，
可知函数
在定义域
上单调递减，
所以
即
，即
，
则
，该不等式组无解，所以解集为
.
故选：D.
5．（2025·江苏南京·一模）已知函数
，则关于
的不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
则
，
由
，则函数
在
上单调递增，易知函数
在
上单调递减，
由
，则
，即
，
可得
，分解因式可得
，解得
.
故选：A.
6．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
因为
，
所以函数
为奇函数，
因为
，
所以函数
为增函数，
所以不等式
可化为
，
则
，
，
所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
故选：C.
7．（2025·山西吕梁·一模）设函数
，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令函数
，其定义域为R，
，函数
是奇函数，
求导得
，当且仅当
时取等号，因此函数
在R 上单调递增，
不等式
，
则
，解得
，所以所求
取值范围是
.
故选：A
8．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
在
上单调递增，
的导函数
，当且仅当
时，等号成立，
所以
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，
又
，所以
的图象关于点
中心对称，
若
，则
，即
，解得
，
故选：C
9．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，当
时，
；且满足
，则关于的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
时，代入
，有
，可得
，即
，
所以
.
设
，因为
，又已知
时，
，
那么
，所以函数
在
上单调递增.
对不等式进行转化求解：
已知
，由
可得
，所以
.
因为函数
单调递增，所以
，移项得
，解得
.
考虑定义域限制条件：
由
，解
得
；解
得
.
综合以上结果，不等式
的解集为
.
故选：B.
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，由于
，
故
为偶函数，
当
时，
则
在
单调递增，因此
在
单调递增，
因此
在
单调递减，
由
可得
，解得
，
故选：A
11．（2025·江西·一模）若定义在
上的增函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，即
的图象关于点
对称，
所以
，而
，即
，
则
，又
在
上为增函数，
故
，即
，
，
因
在
上单调递增，且
，
由
，可得
，
即不等式
的解集为
.
故选：C.
12．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，且
为偶函数，则满足不等式
的实数m 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，令
，
由于
为偶函数，故只需
为奇函数，
由
，得
，
因为
，定义域关于原点对称，
，
由此可以验证
为奇函数．所以
满足题意，
又由
为偶函数，得
，
故
的图象关于直线
对称．
，
当
时，
，
可知，当
时，
单调递增，则
时，
单调递减．
原不等式
即为
，
等价于
，即
，解得
．
故选：C.
13．（2025 山东济宁·期中）已知函数
，且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，函数
，
设
（
），
由
，得
从而：
，
又因为
，
所以
是
上的奇函数，即
，
又有
，
因为
是
上的增函数，
是
上的增函数，
所以
是
上的增函数；
则
可得：
，即
，
整理得：
，解得：
或
，
所以实数
的取值范围为
，
故选：C.
题组四 函数性质的综合应用---比较大小
1.．（2025·广西桂林·二模）函数
.若
，则
的大小
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
关于
对称.
当
时：
为增函数，
也为增函数，所以
在
上为增函数，
关于
对称
在
为减函数，
，
，
.
故选：A.
2．（2025 河北邢台·阶段练习）已知函数
是偶函数，当
时，
恒成
立，设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当
时，
恒成立，
当
时，
，即
，
函数
在
上为增函数，
函数
是偶函数，即
，
函数
的图象关于直线
对称，
，
又函数
在
上为增函数，
，
即
，
.
故选：B.
3．（2025·天津）已知函数
是
上的偶函数，对任意
，且
都有
成立．若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数
是
上的偶函数，则函数
的图象关于直线
对称，
又由对任意
，且
，都有
成立，则函数
在
上为增函数，
又
，
，
，
又
，所以
，由函数
的图象关于直线
对称，知
，
又
，所以
，故
，
故选：A．
4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在
上的函数
满足
，且
在
上单调递增，
设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为定义在
上的函数
满足
，
所以
即
图象关于直线
对称，
所以
，
，
又
在
上单调递增，所以
.
故选：A
5．（23-24 宁夏银川·期中）定义在
上的函数
满足以下条件：①
，
对任意
②
，当
时都有
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为定义在
上的函数
满足条件
，
所以函数
是偶函数，
对任意
，当
时都有
，
所以不妨设
，则有
，
因此
时，函数
是增函数，
因为函数
是偶函数，
所以
，
，
因为
时，函数
是增函数，
所以
，即
，
故选：A
6．（2025 吉林松原·阶段练习）设
定义域为
，对任意的
都有
，且当
时，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
定义域为
，对任意的
都有
，知对称轴是
，当
时，
，
即函数在
上单调递增，由对称性知其在
上是减函数，其图象的特征是自变量离1 的距离越远，其
函数值越大，
故选：
．
7．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，且
，
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题，
，设
，
，
则
，
，
，
，
，
所以函数
的周期为6，
故
，
，
，
．
由
，则
，即
，
由
，则
，即
，
所以
，可得
无法确定．
所以
，
无法判断．
综上所述，
．
故选：B.
8．（2025 湖南）已知函数
．若
为偶函数，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若函数
是偶函数，所以
，所以函数
关于直线
对称，
函数
关于直线
对称，所以
，即
，
，函数
和
在区间
单调递减，在区间
单调递增，
所以函数
在区间
单调递减，在区间
单调递增，
因为
，所以
，即
.
故选：A
题组五 函数4 大性质的综合应用
1．（24-25 河南 ）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
无零点
D．
在
上单调递增
【答案】AB
【解析】由
，且定义域为
，
所以
的图象关于直线
对称，A 对；
当
时，
在
上单调递减，D 错；
当
时，
在
上单调递增，
又
，B 对；
显然
，C 错；
故选：AB
2．（2025 高三·全国·专题练习）（）哦度设定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，
若
，且
为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
为奇函数，所以
，
取
可得
，A 正确．
对于B，因为
，所以
，
所以
．又
，
故
，所以函数
的图象关于点
对称，B 错误．
对于D，因为
，所以
，
所以
为常数．因为
，
所以
，
所以
，取
可得
，所以
．
又
，所以
，所以
，
所以
，故函数
为周期为4 的函数．
因为
，所以
，
所以
，
所以
，D 正确．
对于C，因为
，所以
，所以
，
故函数
为周期为4 的函数，
，
所以函数
为周期为4 的函数，
又
，
所以
，
所以
，C
正确．
故选：ACD
3．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在
上的偶函数
满足
，设
在
上的导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题得
，所以
即
，
所以
是奇函数，故
，
又由
得函数
关于点
对称，
，
所以
，故
，
所以
，即函数
是周期为6 的函数，
所以
也是周期为6 的函数，即
，
由
求导得
即
，
所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
无法确定
的值，故B 错误；
对于C，由上
也是周期为6 的函数，即
，C 正确；
对于D，由
得
，
且
即
，且
即
，
且
即
，
所以
，
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
4．（2025·江西）（多选）设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】由
为奇函数，
得
关于
对称，且满足
；
由
为偶函数，
得
关于直线
对称，且满足
.
故
，
所以
是周期函数，且周期
.
对选项A，由
，
令
，解得
，故A 错误；
对选项B，已知当
时，
，
则
，
故当
时，
.
则
，故B 错误；
对选项C，
，
，
，
，且
周期
.
则
，故C 正确．
对选项D，
，故D 正确．
故选：CD．
5．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，
当
时，
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的图象关于点
对称
【答案】AC
【解析】由
为奇函数，得
，即
，
则
，由
为偶函数，得
，则
，
于是
，函数
是周期函数，一个周期为4，
由
，得
，由
，得
，
由
，得
，于是
，解得
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，由
，得
，
为偶函数，C 正确；
对于D，
，
的图象关于点
对称，D 错误.
故选：AC
6．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
，
，且
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是周期函数，且其中一个周期为8
D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数
与
的定义域均为
.
由
求导可得
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，故B 正确；
由
求导可得
，
，
，则
（为常数），
令
，则有
，所以
，即
，
所以
，即函数
的图象关于直线
对称.
又由
可得
，
则有
，
，
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称.
所以函数
是周期函数，周期
.证明如下：
由
可得
，
由上述结论可知
，所以
.
则
，即
，
又由
可得
，所以
.
所以
是周期函数，且其中一个周期为8，故C 正确；
对于A，因为
，
，
若
，则
，与
矛盾.
故A 错误；
对于D，由
求导可得
，
则有
，因为
，所以
则
（是常数），令
，可得
，
所以
，即函数
的图象关于直线
对称.
所以，函数
也是周期函数，周期
.
，令
，可得
，
根据对称性可知，
，
所以
.
所以
，
不确定是否为0，故D 错误.
故选：BC.
题组六 函数图像
1．（2025·天津河北·二模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，且定义域为R，所以
为奇函数，排除A、
B；
，排除D.故选：C
2．（2025·辽宁·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
的定义域为
，
且
，所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除B 项；
，排除C 项；
当
时，
，排除A 项.
故选：D.
3．（24-25 甘肃）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】记
，函数的定义域是
，
，所以函数
为偶函数，其图像关于
轴对称，故D 错误；
当
且
时，
，
，即
，图像在
轴下方，故A，C 错误．
故选：B.
4．（2025·广东广州·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
恒成立，故
的定义域为R，
，
故
为奇函数，BD 错误；
当
趋向于
时，
的增长速度远大于
的速度，
故
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A
5．（2025·青海海南·模拟预测）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，排除C，D 选项．
由
，排除B 选项．
故选：A.
6．（2025·安徽合肥·一模）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
知，
，即
，所以函数定义域为
，关于原点对称，
又
，所以函数为奇函数，故排除A；
当
时，
，
时，
，
所以当
，
时，
，排除C；
当
时，
符号可正可负，所以
可正可负，故可排除D；
故选：B
7．（2025·江西新余·模拟预测）
是平面直角坐标系
内一点，我们以
轴正半轴为始边，射线
为终边
构成角
，
的长度作为
的函数，若其解析式为：
，则
的轨迹可能为：
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
可以得到是以
为周期的函数，所以
的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.
由于A、B 项均关于
对称，所以仅研究
，此时，令
，
，令
，
则
，
解得
(负数根
舍去)，则
在
单调递减，
单调递增，即
在
单调递增，在
有且仅有一个极值点，所以
不会一直增大，B 正确.
（注：本题在A、B 当中选择亦可使用特殊值法，
，选B）
故选：B
8．（2025·江西·一模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
是定义域为
函数
，
是奇函数，所以排除B，C，
又函数
在原点附近的零点为
和1，可取大于0 且接近于0 的一个数，
如0.1，得
，所以排除D．
故选：A.
9．（2025 江西抚州·阶段练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，有
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
，即函数
为偶函数，排除AB 选项，
当
时，
，
，则
，排除C 选项.
故选：D.
10（23-24 河南）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
定义域为
，定义域关于原点对称，
因为
，
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，当
时，
，
，故
，
选项ABD 都不同时符合以上所有特征，选项C 符合以上特征，
故函数
的部分图象大致为选项C 的图象.故选：C.
题组七 抽象函数
1．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在
上的函数
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
【答案】ABD
【解析】令
，得
，所以
或
，
若
，令
，
，得
，即
，与
矛盾，所以
，所以A 正确；
令
，得
即
，所以
，所以B
正确；
令
，得
，所以
，所以
，当
时，
，所以C 错误；
因为
，所以6 是
的一个周期，所以
，所以
D 正确．
故选：ABD．
2．（2024·河南新乡·二模）已知函数
满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】B
【解析】因为
，
令
，可得
，则
；
令
，则
，
故
的图象关于点
对称，
则
的图象关于点
对称，即
是奇函数，故B 正确；
对于C，令
，可得
，则
，
当
时，
，此时
不可能是奇函数，
由于无法确定
的值，故
不一定是奇函数，故C 错误；
对于AD，取
，满足题意，但易知D 错误；
故选：B.
3．（2025 黑龙江）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数
的定义域为
，且
，
，
令
，则
，即
，故
为偶函数；
又
，令
，则
，
又由
，得
，
即
的图象关于点
成中心对称，则
；
，即
，又结合
为偶函数，
则
，故
，即4 为
的周期，
故
，
故
，故选：
D
4．（2025 北京）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是
（ ）
A．
B．函数
关于直线
对称
C．
D．
的周期为3
【答案】D
【解析】解法一：
令
，
，则
，解得
，A 正确；
令
，则
，
所以
，即
是偶函数，
所以
，所以函数
关于直线
对称，B 正确；
令
，则
，
令
，则
，所以
，C 正确；
令
，则
，
①
所以
，
②
联立得
①②
，
所以
，
，即
的周期为，D 错误；
解法二：
构造函数
，
满足
，且
，
，A 正确；
，
因为
表示
的图象向右平移
个单位，且
的图象关于
轴对称，
所以
关于直线
对称，B 正确；由余弦函数的图象和性质可知
，C 正
确；
的周期
，D 错误；故选：D
5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数
的定义域为
，设
为
的导函数，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【答案】ABD
【解析】函数
，对任意
，
，
对于A，令
，得
，而
，则
，A 正确；
对于B，令
，得
，
则
，两边求导得，
，即
，
因此
关于
对称，
，B 正确；
对于C，由
，得
，
令
，得
，两边求导得
，
即
，因此
，函数
是偶函数，C 错误；
对于D，由
，得
，则
，
因此函数
的周期为4，
，D 正确.
故选：ABD
6.（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的图象关于点
对称
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令
，则
，
因为
，所以
，则
，故A 错误；
对于B，令
，则
，则
，故B 正确；
对于C，令
得，
，所以
，
令
得，
，则
的图象关于点
对称，故C 正确；
对于D，由
得
，
又
，所以
，则
，
，
所以
，则函数
的周期为
，
又
，
，则
，
，则
，
所以
，故D 正确，故选：BCD.
题组八 函数新定义
1．（2025·河北衡水·模拟预测）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号
来衡量某个
操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数
与
，若存在正常数，同时存在常数
，使任意
时，
，则称
是
的复杂函数，则下列函数中，满足
是
的复杂函数
有（ ）（设
均为非零实数）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ABD
【解析】对于A，存在正常数
，取
，对任意
，
，
因此
是
的复杂函数，A 是；
对于B，存在正常数
，取
，对任意
，令
，
求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上递增，
，函数
在
上递增，
，则
，
因此
，
是
的复杂函数，B 是；
对于C，
，函数
在R 上单调递增，值域为
，
因此不存在正常数，使得
成立，而
，即不存在正常数，使得
成立，
不是
的复杂函数，C 不是；
对于D，存在常数
，取常数
，对任意
，
，
因此
是
的复杂函数，D 是.
故选：ABD
2．（2025·上海奉贤·二模）函数
的导函数为
，若存在实数
，使得
成立，
则称函数
具有
性质，下列函数
具有
性质的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于选项A：因为函数
的导函数为
，所以
，故
选项A 错误；
对于选项B：因为函数
的导函数为
，
所以
，
而
，
所以
，
，故选项B 错误；
对于选项C：因为函数
的导函数为
，
所以
.
令
，解得：
，
，
即存在实数
，使得
成立，
所以函数
具有
性质，故选项C 正确；
对于选项D：因为函数
的导函数为
，
所以
.
令
，显然
，化简得：
.
下面证明方程
（*）无解.
当
时
，
，方程（*）无解
当
时，
，而
：
令
，
，
则
，所以
单调递减.
又因为
，所以
，即
，所以
.
综上，方程(*)无解.
所以不存在实数
，使得
成立，故选项D 错误.
故选：C.
3．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数
．则
”
旋
转函数（填：
是
或者
不是
）；若
“
”
“
”
是
旋转函数，则
的取值范围是 ．
【答案】 是
【解析】在旋转后所曲线上任取一点
，旋转前点
对应的点为
，
不妨设
，设点
，即
，
，
将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，
可得
，即点
，
即
，
，
因为
，可得
变形可得
，曲线
为函数，
所以，
是
旋转函数；
若函数
是
旋转函数，将函数
的图象绕着原点逆时针旋转
后，
不存在与
轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象个以上的交点．
故不存在直线
与函数
的图象有两个交点，
即对任意的
，方程
至多一解，即
至多一解，
令
为单调函数，则
，
因为
，故
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
当
时，则
对任意的
恒成立，合乎题意；
当
时，则
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，
，且函数
无最大值，所以此时不合乎题意；
当
时，则
，此时，
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
