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3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 函数的周期性
【例1-1】（2022·黑龙江）己知 是定义在R上的周期为4的奇函数，当 时， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得， 为定义在R上的周期为4的奇函数，故 ，
故 ，所以
故 即 ，
即 ，而当 时， ，
故 ，则当 时， ，
故 ，故选：D【例1-2】（2022·湖南衡阳·三模）定义在 上的奇函数 满足 为偶函数，且当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 为偶函数,所以满足 ,又因为 是奇函数,所以
故
因此 即 是以4为周期的周期函数.
，
当 时， ， 在 单调递增， 在 单调递减，故 在
单调递增.所以 故选：A
【一隅三反】
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 的图象关于原点对称，且 ，当
时， ，则 （ ）
A．-11 B．-8 C． D．【答案】A
【解析】因为函数 图象关于原点对称，所以 ，
由 知，函数 是以4为周期的函数，
又当 时， ，
则
.故选：A.
2．（2022·江西鹰潭·二模）已知 是定义在R上的奇函数，若 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，又 为偶函数，
所以 、 且 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，
所以 ，
，
，
所以 ；故选：C3．（2022·新疆·三模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时，
，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 时， 单调递增；
， ， 单调递增；
， ，综上所述，
.
故选：A.
考点二 函数的对称性
【例2-1】（2022·安徽合肥）函数 （ 是自然对数的底数）的图象关于
（ ）
A．直线 对称 B．点 对称
C．直线 对称 D．点 对称
【答案】D
【解析】由题意 ，它与 之间没有恒等关系，相加也不为
0，AB均错，而 ，所以 的图象关于点 对称．故选：
D．【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为R， 对任意
的 恒成立，且函数 的图像关于点 对称， ，则
（ ）
A．2021 B．－2021 C．2022 D．－2022
【答案】A
【解析】对任意的 都有 ，令x＝0，则 ，即
，即有 ，即 ，所以函数 的图像关于直线x＝2对称．又
函数 的图像关于点 对称，则函数 的图像关于点 对称，即函数 为奇函数．
所以 ，所以 ，
所以8是函数 的最小正周期．
，所以 ，故选：A．
【例2-3】．（2022·山西吕梁）已知定义在 上的函数 满足 ，且在区间 上
单调递增，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 满足 ，所以 的图象关于直线 对称，
又 在区间 上单调递增，所以在 上单调递减，因为 ， ，
即 ，平方后解得 .所以 的取值范围为 .故选：B.
【例2-4】（2022·河南河南·三模（理））函数 的所有零点之和为
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】令 ，得 ，
图象关于 对称，在 上递减.
，令 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称，
， 在 上递增，
所以 与 有两个交点，
两个交点关于 对称，所以函数 的所有零点之和为 .
故选：B
【一隅三反】1．（2022·北京四中高三阶段练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
2．（2022·河北保定·一模）已知函数 的图象关于点 对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 图象关于点 对称， ，
又 ，
，
，解得： ， .故选：C.
3．（2022·吉林·长春外国语学校高三开学考试（文））已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 对称C． 关于点 对称 D． 关于直线 对称
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ， ，
∴ ，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
4．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当
时， ，则函数 与函数 的图象在 上所有交点的横坐标
之和为（ ）
A．2020 B．1010 C．1012 D．2022
【答案】A
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即当 时，
由已知 ，
，
，故 是 周期函数，且对称轴为 ，
又 ，即 ，所以函数 关于 对称
如图函数 和函数 在 上的图像
在区间 上，包含了函数 中的 个周期再加上 个周期，
在区间 上，包含了函数 中的 个周期再加上 个周期，
所以函数 和函数 在 和 上都有 个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为 .故选：A.
考点三 Mm函数
【例3】（2022.广东）已知 ， ， ，若 的最大值为 ， 的最小值
为 ，则 等于
A．0 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】令 ， ， ，函数 的定义域关于原点对称，且
， 函数 为奇函数，
，即 ， ，即 ．故选： ．
【一隅三反】
1．（20022•椒江区）已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值等于A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 是奇函数，
的最大值和最小值互为相反数，且 的最大值为 ，最小值为 ，
．故选： ．
2．（2022•沙河）函数 在 ， ， 上的最大值为 ，最小值为 ，
则
A．4038 B．4 C．2 D．0
【答案】B
，
【解析】
设 ，则 是奇函数， 在 ， ， 上的最大值和最小值互为相
反数，又 在 ， ， 上的最大值为 ，最小值为 ，
．故选： ．
3．（2021•河北）已知 ，则 在区间 ， 上的最大值最小值之和为
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】A
【解析】由
令 ，
可得 是奇函数，
可得 区间 ， 上的最大值最小值之和为0．那么 在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 ；
在区间 ， 上的最大值最小值之和为2．
故选： ．
4．（2022•广东月考）已知函数 在 ， 上的最大值为 ，最小值为 ，
则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由
令 ，
， 上，
可得 ， ；
那么 转化为
由于 是奇函数
可得 ， ， 的最大值与最小值之和为0，
那么 的最大值与最小值之和为2．
故选： ．
考点四 函数性质的综合运用
【例4】（2022·辽宁·模拟预测）（多选）已知定义在R上的偶函数 的图像是连续的，
， 在区间 上是增函数，则下列结论正确的是（ ）A． 的一个周期为6 B． 在区间 上单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 在区间 上共有100个零点
【答案】BC
【解析】因为 ，取 ，得 ，故 ，又 是偶函数，
所以 ，所以 ，
故 ，即 的一个周期为12，故A项错误；
又 在区间 上是增函数，所以 在区间 上为减函数，由周期性可知， 在区间
上单调递减，故B项正确；
因为 是偶函数，所以 的图像关于y轴对称，由周期性可知 的图像关于直线 对称，故
C项正确；
因为 在区间 上是增函数，所以 在区间 上为减函数， ，由周期性可知，
在区间 上， ，而区间 上有168个周期，故 在区间 上有336个
零点，又 ，所以 在区间 上有337个零点，由 为偶函数，可知
在区间 上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
【一隅三反】
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）（多选）已知 是 上的奇函数， 是 上的偶
函数，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 最小正周期为4 B．C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 是偶函数， 所以 ，
又因为 是奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ，故A错误；
又当 时， ，
所以 ，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
2．（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知定义在 上的单调递增的函数 满足：任意 ，有
， ，则（ ）
A．当 时，
B．任意 ，
C．存在非零实数 ，使得任意 ，
D．存在非零实数 ，使得任意 ，
【答案】ABD
【解析】对于A，令 ，则 ，即 ，又 ， ；
令 得： ， ， ， ，
则由 可知：当 时， ，A正确；
对于B，令 ，则 ，即 ，
，
由A的推导过程知： ， ，B正确；
对于C， 为 上的增函数，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
不存在非零实数 ，使得任意 ， ，C错误；
对于D，当 时， ；
由 ， 知： 关于 ， 成中心对称，则当 时，
为 的对称中心；
当 时， 为 上的增函数， ， ， ，
；
由图象对称性可知：此时对任意 ， ，D正确.
故选：ABD.
3．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时，
，则方程 在区间 上所有解的和为（ ）A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，
又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
所以方程 在区间 上所有解的和为 ，
故选：A.
4．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有
成立，当 ， ，且 时，都有 ，有下列命题：
① ；
②点 是函数 图象的一个对称中心；
③函数 在 上有2023个零点；④函数 在 上为减函数；
则正确结论的序号为______．
【答案】①②③
【解析】 ，令 得 ， ，令 得 ，
，
所以 ，又 是奇函数，
， ， 是周期函数，4是它的周期，
当 ， ，且 时，都有 ，即 时， ， 在 是增函数，
由奇函数性质知 在 上也是增函数，所以 在 上递增，
所以 ，从而
，
，
，①正确；
，则函数图象关于直线 对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点 对称，②
正确；
由上讨论知 在 上有2个零点， ，
注意 ，
因此 在 上零点个数为 ，③正确；
由周期性知函数在 与 时的图象相同，函数同为增函数，④错误．
故答案为：①②③．
