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1.1 集合（精讲）
考向一 元素的互异性
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【例1-2】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）已知集合
，
，若
，则a 的值是
（ ）
A．1 或2
B．
或0
C．1
D．
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·山东青岛·开学考试）已知
，则
的取值为（ ）
A．1
B．1 或2
C．0 或2
D．0 或1 或2
2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合
，
，若
，则
.
3.（2025 高三·全国·专题练习）已知
，若
，则
．
考向二 无参集合间的关系
【例2-1】（2024·福建福州）已知集合
，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
⫋
D．
⫋
【一隅三反】
1.（2024·广东·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2（浙江省金华市十校2025 届高三下学期4 月模拟考试数学试题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（23-24 黑龙江大庆·开学考试）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考向三 无参集合间的运算
【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2025 高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2024·辽宁·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合
，且
，则集合B 可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025 海南）（多选）已知集合
，集合
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向四 （真）子集的个数
【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合
，
，则
的子集个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合
的真子集个数为（ ）
A．15
B．16
C．31
D．32
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足
的集合A 的个数为（ ）
A．3
B．7
C．8
D．15
【一隅三反】
1.（24-25 贵州黔西·阶段练习）已知集合
，集合
，则集合
子
集个数是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
2（24-25 高三下·安徽·阶段练习）已知集合
，则集合A 的子集个数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合
，集合
，若集合
满足
⫋
，则
这样的集合
共有 个.
考向五 集合中求参数
【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．0 或1
【例5-2】（2025·河南·三模）设集合
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合
，若
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·一模）集合
，
，且
，实数
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
2.（2025·江西赣州·一模）已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3（24-25 高三上·河北承德·阶段练习）已知集合
，
．若
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合
，
，则下
列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
考向六 韦恩图及其应用
【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集
，则图中阴影部分表示的集合是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（24-25 重庆·期末）如图，
为全集，
为
的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一
个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在
楼下食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学
生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
【一隅三反】
1.（2025 北京）已知全集
，集合
或
，
，那么阴影部分表示的集合为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120 名同学，已知参加跑步拔河篮球比赛的人
､
､
数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参
加跑步拔河篮球三项比赛的人数为
､
､
12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
考向七 函数集合
【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则下列关系中，正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1（24-25 高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集
，集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，集合
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3.．（24-25 重庆）（多选）已知集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向八 点集合
【例8-1】（2025 甘肃兰州·开学考试）已知集合
，则集合
的元素个数为 .
【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知
，集合
，
，
，
，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（23-24 海南·阶段练习）已知集合
，
且
，则
中元素的个数
为 个.
2.（24-25 高三上·上海浦东新·期中）已知集合
，
，则
中
有 个元素.
3.（24-25 高三下·上海·开学考试）若集合
，若集合
恰有两个
元素，则所有满足要求的实数
组成的集合为 .
考向九 新定义
【例9】（2025 高三·全国·专题练习）若平面点集
满足：任意点
，存在
，都有
，则称该点集
是阶聚合点集．
①若
，则
是3 阶聚合点集
②存在
对任意正数，使
不是阶聚合点集
③若
，则
不是
阶聚合点集
④ “
”是“
是阶聚合点集”的充要条件
其中所有正确结论的序号是 .
【一隅三反】
1.（2025 海南·阶段练习）（多选）集合
，
是实数集
的子集，定义
，
叫做集合的对称差．若集合
，
，
则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知
，记
为集合
中元素的个数，
为集合
中的最小元素．
若非空数集
，且满足
，则称集合
为“
阶完美集”．记
为全部
阶完美集的个
数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将
阶完美集
的元素全部加1，得到的新集合，是
阶完美集
C．若
为
阶完美集，
且
，满足条件的集合
的个数为
D．若
为
阶完美集，
且
，满足条件的集合
的个数为
3.（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定
，若集合
，且存在
，满足
，则称P 为“广义等差集合”．记P 的元素个数为
，则（ ）
A．
是“广义等差集合”
B．
是“广义等差集合”
C．若P 不是“广义等差集合”，当
时，
的最大值为4
D．若P 不是“广义等差集合”，若
的最大值为4，则n 可以是13
