文档内容
1.1 集合（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 集合的基本运算
【例1-1】（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝ ，
则A∩B＝（ ）
A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2] D．(0，＋∞)
【答案】A
【解析】∵由 ，即 ，解得 ，所以集合 ，
由当 时， ，得 ，所以 ．故选：A.
【例1-2】（2022·河北保定·高三期末）设集合 均为非空集合.（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】对于A,， ，当 时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当 时，结论不成立，，则B错误；
对于C,因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，则 ,则C
正确;
对于D， ，当 时，结论不成立,则D错误;故选:C.【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，
则 的元素个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【解析】 时， 与圆相交有两个交点
时， ∴直线与圆相交，有两个交点故选：A
【一隅三反】
1．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，即 ，则
由 ，可得 或 ，则 或
则 ，故 故选：D
2．（2022·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则图中
阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 ，得 ，则 ，所以 .\
由 ，得 ，则 ，则图中阴影部分表示的集合为 .故选:B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
对于集合 ，当 时， ， ；
当 时， ， ． ，故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则 中元素的
个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成
的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，又圆 与直线 相交于两点 ，
，则 中有2个元素.故选B.
考点二 集合中的参数问题
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）集合 或 ， 若 ，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
①当 时，即 无解，此时 ，满足题意．
②当 时，即 有解，当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得 ．
当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得 ，综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A．
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，
.若 ，则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或1
【答案】A
【解析】因为 ，所以直线 与直线 没有交点，
所以直线 与直线 互相平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线重合，不满足，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线平行，满足，
所以 的值为 ，故选：A.
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习（理））设集合 ，集合
若 中恰含有一个整数 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A={x|x＜﹣3或x＞1}， 函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，
而f（﹣3）=6a+8>0，f（﹣1）=2a>0，f（0）<0，故其中较小的零点为（-1，0）之间，另一个零点大于
1，f（1）<0，要使A∩B恰有一个整数，即这个整数解为2，∴f（2）≤0且f（3）＞0，
即 ，解得： ，即 ≤a＜ ，则a的取值范围为 ．故答案为：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合 ， ，若 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，由 得 ，所以 .故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，因为 ，所以 ，
当 时，集合 ，满足 ；
当 时，集合 ，
由 ， 得 或 ，解得 或 ，综上，实数 的取值集合为 .故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， .若 ，
则实数 （ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以直线 与直线 平行，
所以 所以 . 经检验，当 时，两直线平行.故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知A={-1，2}，B={x|mx+1=0}，若A∪B=A，则实数m的取值所
成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵A∪B=A,∴B⊆A,∴B=∅,{−1}或{2}.m=0时，B=∅，满足条件．m≠0时，−m+1=0，或2m+1=0，
解得m=1或− .综上可得：实数m的取值所成的集合是 .本题选择D选项.
考点三 集合中的新定义
【例3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）对任意A， ，记 ，
则称 为集合A，B的对称差．例如，若 ， ，则 ，下列命题中，为真
命题的是（ ）
A．若A， 且 ，则
B．若A， 且 ，则
C．若A， 且 ，则
D．存在A， ，使得【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为 ，所以 ，所以 ，且B中的元素不能
出现在 中，因此 ，即选项A正确；
对于B选项，因为 ，所以 ，即 与 是相同的，所以 ，
即选项B正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，所以 ，即选项C错误；
对于D选项， 时， ， ，D正确；故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2022·贵州）定义集合 且 .己知集合 ， ，
，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 .故选：B.
2．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合 ，
，定义集合 ，则 中元
素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】因为集合 ，所以集合 中有5个元素（即5个点），即图中圆
中的整点，集合 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形
中的整点，集合 的元素可看作正方形 中的整点（除去四个顶点），即 个．
3．（2022·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两
个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合 ，
，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
【答案】
【解析】当 时， ，此时满足 ，
当 时， ，此时 集合只能是“蚕食”关系，
所以当 集合有公共元素 时，解得 ，
当 集合有公共元素 时，解得 ，
故 的取值集合为 .
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
【答案】
【解析】因为 ， ； ， ； ， ； ， ；
这样所求集合即由 ， ，“ 和 ” ，“ 和 ”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为 ，故答案为： .
考点四 集合与其他知识的综合运用
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 是虚数单位，集合 （整数集）和
的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以集合 ，
因为阴影部分所示的集合为 ， ，
所以 ，阴影部分所示的集合的元素共有 个，故选B．
【例4-2】（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 的部分图象如图
所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若集合，集合 ，则 ______．
【答案】
【解析】由图可知 周期 ，∴ ．
由 得 ，∴ ， ，
∵ ，∴k取0， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ﹒
【一隅三反】1．（2022·上海·高三专题练习）已知互异的复数 满足 ，集合 ={ , },则 = （
）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】由题意 或 ，因为 ， ， ，因此 ．
选D.
2．（2022·福建福州·模拟预测）从集合 的非空子集中任取两个不同的集合 和 ，若 ，
则不同的取法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】若集合 仅有 个元素，则集合 有 种取法；集合 有 种取法；此时共有
种取法；
若集合 中有 个元素，则集合 有 种取法；集合 有 种取法；此时共有 种
取法；
若集合 中有 个元素，则集合 为 的非空真子集，有 种取法；此时共有 种取法；
综上所述：不同的取法共有 种.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，则集合 元素的个数有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【解析】当 时， ，解得 ，
当 时，若 ，解得 ，当 时，若 ，解得 ，
当 时，若 ，则 ，解得 或 .
又∵
∴ 或
∴ 或 或 或 或 .
∴集合 元素的个数有5个.
故选：D．
