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1.1 集合（精讲）
考向一 元素的互异性
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】B
【解析】因为
所以
或
，
当
时，
，此时，
，故舍去：
当
时，解得
或
（舍去），
综上
．故选：B
【例1-2】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）已知集合
，
，若
，则a 的值是
（ ）
A．1 或2
B．
或0
C．1
D．
【答案】C
【解析】由题设
，可得
或
，
当
时，
，满足题设；
当
时，
，不符合集合元素的互异性；
所以
.故选：C
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·山东青岛·开学考试）已知
，则
的取值为（ ）
A．1
B．1 或2
C．0 或2
D．0 或1 或2
【答案】C
【解析】由元素和集合关系可知：
或
或
，解的
或或
，
由集合的性质可知，当
时，
不满足互异性，所以
的取值为
或
.故选：C.
2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合
，
，若
，则
.
【答案】
【解析】在
中，
，则
且
，
而
，
，显然
，因此
，解得
，所以
.故答案为：
3.（2025 高三·全国·专题练习）已知
，若
，则
．
【答案】1
【解析】由已知得
，则
，所以
，于是
，即
或
，
又由集合中元素的互异性知
应舍去，故
，所以
．故答案为：1.
考向二 无参集合间的关系
【例2-1】（2024·福建福州）已知集合
，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
，
对于A，因为
，故选项A 错误；
对于B，
是一个集合，且
，故选项B 错误；
对于C，因为集合
，所以集合
与集合
不存在包含关系，故选项C 错误；
对于D，因为集合
，任何集合都是它本身的子集，所以
，故选项D 正确，
故选：D.
【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
⫋
D．
⫋
【答案】C
【解析】由
，显然
为奇数，
而
，所以
⫋
.故选：C
【一隅三反】
1.（2024·广东·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由集合
，
，得
.故选：D
2（浙江省金华市十校2025 届高三下学期4 月模拟考试数学试题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
.故选：D.
3.（23-24 黑龙江大庆·开学考试）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
解得
，由
解得
，
所以
，
，
所以
，
，
，
又
，所以
，故选：B
考向三 无参集合间的运算
【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设
，
，则
.
故选：A
【例3-2】（2025 高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：由
，得
4，所以
，则
，故
A 错误；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：由于
，故
，故C 正确；
对于选项D：由于
，故
，故D 错误
故选：BC
【一隅三反】
1.（2024·辽宁·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以
，故选：B
2（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合
，且
，则集合B 可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，显然A 中集合不合题意；
B 中集合为
或
，也不合题意，
C 中集合为
，满足题意，
D 中集合为
，不合题意.
故选：C
3.（24-25 高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由题易知
，
，所以
，
，
所以
，
，
，故选项A 错误，选项B，C，D 正确.
故选：BCD.
4.（2025 海南）（多选）已知集合
，集合
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为
，
所以
，故A 错误；
，故B 正确；
因为
，
所以
，故C 错误；
，故D 正确.故选：BD.
考向四 （真）子集的个数
【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合
，
，则
的子集个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知
，
，则
，则
子集的个数为
个，故选：B.
【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合
的真子集个数为（ ）
A．15
B．16
C．31
D．32
【答案】A
【解析】不等式
的解为
，因为
，所以
，
所以集合
的真子集个数为
.故选：A.
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足
的集合A 的个数为（ ）
A．3
B．7
C．8
D．15
【答案】B
【解析】由
，整理可得
，解得
或，
则
，设
，所以
，可得
.
故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25 贵州黔西·阶段练习）已知集合
，集合
，则集合
子
集个数是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解析】∵集合
，集合
，
∴
.∴集合
子集个数是
.故选：B.
2（24-25 高三下·安徽·阶段练习）已知集合
，则集合A 的子集个数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【解析】由
，得
或
，解得
或空集，
又
，所以
，则集合A 的子集个数为
.故选：C
3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合
，集合
，若集合
满足
⫋
，则
这样的集合
共有 个.
【答案】7
【解析】由
⫋
，则集合
中一定有元素
，且至少含有
其中一个元素，
则这样的集合
共有
个.故答案为：7.
考向五 集合中求参数
【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．0 或1
【答案】C
【解析】因为集合
，
，
，
所以
，所以
或
，
若
，则
，此时
，满足题意；
若
，则
，此时集合
不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，
．
故选：C．
【例5-2】（2025·河南·三模）设集合
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，又
，
所以当
时，可得
.故选：C.
【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】有
或
，所以
，
，
由
有
，所以
，即
.故选：A.
【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合
，若
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，又
，所以
，得
.故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·一模）集合
，
，且
，实数
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
【答案】D
【解析】由集合
，且
，又由
，可得
，
当
时，此时集合
，满足
；
当
时，可得
，要使得
，则满足
或
，解得
或
，
综上可得，实数
的值为或或
.故选：D.
2.（2025·江西赣州·一模）已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解集合
，解集合
，
因为
，所以
，故选：B.
3（24-25 高三上·河北承德·阶段练习）已知集合
，
．若
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
因为
，且满足
，
，所以当
时满足
，
此时
，解得
，当
时，则有
，解得
,综上，
，
即实数
的取值范围为
．故选：A．
4．（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，
所以是方程
的根，则
，解得
，
故
，合乎题意，故
.
故选：C
5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合
，
，则下
列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
或
D．若
，则
【答案】ABC
【解析】由已知得：
，令
A：若
，即
是方程
的两个根，则
，得
，正确；
B：若
，则
，解得
，正确；
C：当
时，
，解得
或
，正确；
D：当
时，有
，所以
，错误；
故选：ABC.
考向六 韦恩图及其应用
【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集
，则图中阴影部分表示的集合是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
，
而阴影部分表示的集合是
，
则图中阴影部分表示的集合是
，故B 正确.
故选：B
【例6-2】（24-25 重庆·期末）如图，
为全集，
为
的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由韦恩图知，阴影部分不在集合
中，在集合
中，其集合表示为
.
故选：C
【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一
个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在
楼下食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学
生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
【答案】C
【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为
，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比
，即
，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的
，即
，
所以
，解得
.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
.
故选：C
【一隅三反】
1.（2025 北京）已知全集
，集合
或
，
，那么阴影部分表示的集合为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】由
图可知，阴影部分的元素为属于
但不属于
的元素构成，
所以集合表示为
.
故选：A.
2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素
，则
或
，所以阴影部分所表示的集合为
，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为
，
所以选项AD 正确，选项BC 不正确.
故选：AD.
3.（2025 辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120 名同学，已知参加跑步拔河篮球比赛的人
､
､
数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参
加跑步拔河篮球三项比赛的人数为
､
､
12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
【答案】BCD
【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为
，由Venn 图可得，
，得
，则只参加跑步比赛的人数为
，只参加拔河比赛的人数为
，只参
加篮球比赛的人数为
.
故选：BCD．
考向七 函数集合
【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则下列关系中，正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，可得
，解得
，所以
，
又由
，解得
或
，所以
或
，
则
，
，且
，
，故选：D.
【一隅三反】
1（24-25 高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集
，集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
有意义，即有
，解得
，
故
，则
或
}.
∵
，
∴
.
故选：B
2.（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，集合
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
得
，
，所以
．
故选：C．
3.．（24-25 重庆）（多选）已知集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由
可得
得
，
故
,A 错误，
,B 正确，
，C 正确，
，D 正确，故选：BCD
考向八 点集合
【例8-1】（2025 甘肃兰州·开学考试）已知集合
，则集合
的元素个数为 .
【答案】1
【解析】
集合
，
把
代入
，得
，
，
集合
中元素的个数为1.故答案为：1
【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知
，集合
，
，
，
，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
表示过定点
,且斜率为
的直线的点构成的集合，
表示过定点
且斜率为
的直线的点构成的集合，
表示圆心为
，半径为
的圆上的点构成的集合，
表示圆心为
，半径为
的圆上的点构成的集合，
对于A，集合
中的直线平行，故
，故A 正确，
对于B，由于
，故
在圆
内，
故经过点
的直线与圆相交，
，故B 正确，
对于C，由于
，故
在圆
外，
故当经过点
的直线与圆相离时，此时
，故C 错误，
对于D，由于
，故两圆相交，
，D 错误，
故选：AB
【一隅三反】
1.（23-24 海南·阶段练习）已知集合
，
且
，则
中元素的个数
为 个.
【答案】
【解析】因为
，
且
，
所以
，
则
中元素的个数为个.
故答案为：
2.（24-25 高三上·上海浦东新·期中）已知集合
，
，则
中
有 个元素.
【答案】2
【解析】由
且
知，
为偶函数，
故函数图象关于y 轴对称，
当
时，作出
与圆的图象，如图，
由图象知，当
时，有一个交点，
再由偶函数图象的对称性可知，当
时，也有一个交点．
综上，
图象与圆有两个交点，
所以
中的元素个数为2 个．
故答案为：
.
3.（24-25 高三下·上海·开学考试）若集合
，若集合
恰有两个
元素，则所有满足要求的实数
组成的集合为 .
【答案】
【解析】联立
，得
，
由
，可知直线过点
，则有一个公共点
，
由
，得
，
当
时，有
，即
，则
有唯一解，
对
的情况进行讨论：
①
，此时有
，
，符合题意；
②
，
，符合题意；
③当
是方程
的一个解时，有
，此时
，
此时另外一个解为
，符合题意，
综上，所有满足要求的实数
组成的集合为
.
故答案为：
考向九 新定义
【例9】（2025 高三·全国·专题练习）若平面点集
满足：任意点
，存在
，都有
，则称该点集
是阶聚合点集．
①若
，则
是3 阶聚合点集
②存在
对任意正数，使
不是阶聚合点集
③若
，则
不是
阶聚合点集
④ “
”是“
是阶聚合点集”的充要条件
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，由
可得
，故
是3 阶聚合点集，即①正确；
对于②，对任意的点集
，总存在
，使得
是1 阶聚合点集，故②错误；
对于③，因
，而
，
故
不是
阶聚合点集，即③正确；
对于④，因
是阶聚合点集等价于
，
因
，可得
，又因
，依题意可得
，反之也成立，
故“
是阶聚合点集”是“
”的充要条件，即④正确.
故答案为：①③④
【一隅三反】
1.（2025 海南·阶段练习）（多选）集合
，
是实数集
的子集，定义
，
叫做集合的对称差．若集合
，
，
则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
，A 错误；
，
，B 正确；
，C 正确；
，D 错误.
故选：BC.
2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知
，记
为集合
中元素的个数，
为集合
中的最小元素．
若非空数集
，且满足
，则称集合
为“
阶完美集”．记
为全部
阶完美集的个
数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将
阶完美集
的元素全部加1，得到的新集合，是
阶完美集
C．若
为
阶完美集，
且
，满足条件的集合
的个数为
D．若
为
阶完美集，
且
，满足条件的集合
的个数为
【答案】ABD
【解析】当非空数集
是
子集中含个元素的子集时，
.根据“n 阶完美集”的定义，
中
大于等于的数有、
、、
共
个，所以此时
可以是
、
、
、
.
当非空数集
是
子集中含
个元素的子集时，
.
中大于等于
的数有
、、
共个，
所以此时
可以是
、
、
.
当非空数集
是
子集中含个元素的子集时，
.
中大于等于的数有、
共
个，不满
足“n 阶完美集”的定义，所以
中个元素的子集不满足.
同理，
中含
个元素的子集也不满足.
综上，4 阶完美集有
、
、
、
、
、
、
，所以
，故A 正确.
若将“n 阶完美集”
中元素全部加，
中元素个数不变，但
加变大，均不违背“
阶完美集”的
定义，所以得到的新集合是一个“
阶完美集”，故B 正确.
若
，满足条件的集合
的个数为7，而
,C 错误；
对于满足“
阶完美集”的所有
，
不属于所有
，可视为退化为“
阶完美集”的情况，总个数
为
.
又因为
，所以满足条件的集合
要排除掉“
阶完美集”中只含有个元素的情形（排除
个单元
素集合），因此满足条件的集合
的个数均为
，D 正确.
故选：ABD.
3.（2025·浙江温州·模拟预测）（多选）给定
，若集合
，且存在
，满足
，则称P 为“广义等差集合”．记P 的元素个数为
，则（ ）
A．
是“广义等差集合”
B．
是“广义等差集合”
C．若P 不是“广义等差集合”，当
时，
的最大值为4
D．若P 不是“广义等差集合”，若
的最大值为4，则n 可以是13
【答案】ABC
【解析】对于A, 取
，则符合“广义等差集合”的定义，故A 正确，
对于B，取
故B 正确，
对于C，当
时，
，如
时，设
，
由题意可知
两两不相同，则
矛盾，故
，当
时，取
,满足P 不是“广义等差集合”，故
的最大值为4，故C 正确，
对于D,当
时，取
，这与
矛盾，故D 错误，
故选：ABC
