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1.3 复数（精讲）
考向一 复数的实部与虚部
【例1-1】（24-25 高三上·山东济南·期中）已知复数
满足
，则
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
可得
，所以
的虚部是
，故选:A.
【例1-2】（2025·天津和平·一模）为虚数单位，复数
的实部为 .
【答案】2
【解析】
,所以复数
的实部为2.故答案为：2.
【一隅三反】
1.（2025 高三·全国·专题练习）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】由
，解得
，所以
．所以
的虚部为1．故选：C．
2.（2025·河南·三模）若复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，所以
，其
的虚部为
.故选：A.
3.（2024·湖南·模拟预测）已知复数
，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为
，所以复数的实部与虚部之和
，故选:B.
考向二 复数的分类
【例2-1】（2025·贵州铜仁·三模）若复数
为纯虚数，则实数
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
是纯虚数，
则实部
，解得
，且虚部
，经检验
满足，故选：D
【例2-2】（24-25 高三上·江苏南通·期末）（多选）已知
，
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
为实数，则z 是实数
B．若
为虚数，则z 是虚数
C．若
，则
是实数
D．若
，则
【答案】BC
【解析】对于A，B，设
，则
，
若
为实数，则
，但这不一定能得到
，比如
，
这个时候满足
为实数，但
不是实数，故A 错误；
若
为虚数，则
，这一定能得到
，此时
是虚数，故B 正确；
对于C，D，设
，
若
，这表明
，
所以
是实数，故C 正确；
若
，
这表明
，
但
不一定等于0，
比如
，这个时候有
，
但
，故D 错误.
故选：BC.
【一隅三反】
1.（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数
（
）是纯虚数，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为复数
（
）是纯虚数，所以
，
由
，得
或
，由
，得
，
.故选：D.
2.（2024·山西运城）已知为虚数单位，若
为实数，则实数
（ ）
A．
B．4
C．2
D．
【答案】B
【解析】
，
要使
为实数，需满足
，所以
.故选：B.
3.（2025·陕西渭南·二模）（多选）已知
是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
是实数 B．若
为虚数，则
是虚数
C．对于任意的复数
都是实数 D．
【答案】BCD
【解析】设
，
选项A，若
，则
，
不一定是实数，A 错；
选项B，
是虚数，则
，
，但
，
是虚数，B 正确；
选项C，
是实数，C 正确；
选项D，设
，则
，D 正确；
故选：BCD．
考向三 复数对应的象限
【例3-1】（2025·河北沧州·模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】因为
，
所以该复数在复平面内对应的点为
，位于第一象限，
故选：A.
【例3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“
是
复数
”
“
在复平面内对应的点在第一象限
的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若复数
在复平面内对应的点在第一象限，则
，所以
，
故“
是
复数
”
“
在复平面内对应的点在第一象限
的充分不必要条件
”
.
故选：A.
【一隅三反】
1.（2025·湖北武汉·一模）
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】
，其在复平面内所对应的点的坐标为
，位于第四象限.
故选：D.
2.（2025·四川·模拟预测）复数z 满足
，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
，复数z 在复平面内对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
3（2025·河南·二模）已知
，则在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线
上
D．直线
上
【答案】C
【解析】因为
，所以
所以复数
所对应的点坐标为
，位于直线
上.故选：C.
考向四 复数的模长
【例4-1】（2025·安徽黄山·二模）设复数
满足
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】A
【解析】由题设
，则
.故选：A
【例4-2】（2025·江苏南通·二模）已知复数
满足
，其中为虚数单位，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】C
【解析】由
，所以
，又
，故选：C
【一隅三反】
1.（2025·江西南昌·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．2
C．5
D．7
【答案】C
【解析】已知
，即
．则
．可得
．故选：C．
2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，则
，
所以
.故选：A
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
，
则
，所以
，故A 正确.故选：A
考向五 复数范围内解方程
【例5-1】（2025·重庆·二模）若
是关于
的方程
的虚数根，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】将
代入
可得
，
化简可得
，
故
且
，解得
，
，
故选：C
【例5-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）在复数范围内，方程
的两个根分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对A，根据韦达定理知
，故A 错误；
对B，根据韦达定理知
，故B 正确；
对C，解出两根分别为
，显然两根互为共轭复数，则
，故C 正确；
对D，因为
，则
，故D 正确.
故选：BCD.
【一隅三反】
1.（2025·河北·模拟预测）若复数
是方程
的两个不同的根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】A
【解析】设
.则
，
因为
，所以
解得
或
不妨设
，
则
.
故选：A.
2.（24-25 云南）（多选）已知
，关于
的方程
的一个根是
，另一个根是
，其
中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
A．复数
对应的点在第四项象限
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】复数
，复数
对应的点为
，所以，复数
对应的点在第四象限，故A 正确；
已知
，关于
的方程
的一个根是
，
则
，整理得
，
所以，
；解得：
，所以，
，故B 正确；
由
得方程
，又知道一个根是
，
所以，结合韦达定理，可得另一个根是
，所以，
，故C 正确；
两个虚数不能比较大小，故D 错误；
故选：ABC．
3．（2025·广东湛江·一模）（多选）复数
，
满足
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】依题意得，复数
，
是方程
的两个根，
可得
，
解得
，则
，
，
所以
，故选项A 正确；
，故选项B 正确；
，故选项C 错误；
，故选项D 正确．
故选：ABD．
考向六 复数相关的轨迹问题
【例6-1】（2025·江西赣州·一模）已知复数z 满足
，且z 在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】z 在复平面内对应的点为
，则
，
由
，得
，
化简得
.
故选：A.
【例6-2】（2025·河南安阳·一模）若复数
满足
，则在复平面内，复数
所对应的点组成的图形的周
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，由
，则
，
则在复平面内，复数
所对应的点组成的图形为以
为圆心，
为半径的圆，
故复数
所对应的点组成的图形的周长为
.故选：D.
【例6-3】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选）设复数z 在复平面内对应的点为
（a，
），则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则点Z 的轨迹的长度为
D．若
，则点Z 的轨迹为椭圆
【答案】ABD
【解析】依题意，
，
对于A，
，则
，A 正确；
对于B，
，B 正确；
对于C，
表示点
与点
的距离为1，其轨迹是以点
为圆心1 为半径的圆，
则点Z 的轨迹的长度为
，C 错误；
对于D，
表示点
与定点
的距离和为4（大于两定点间距离）
则点Z 的轨迹为椭圆，D 正确.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·一模）已知复数z 在复平面内满足
，则复数
对应的点Z 的集合所形成图形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
所以复数
对应的点表示的是以为半径的圆，
所以面积为
.
故选：B.
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【解析】设
，则复数
在复平面内对应点
，设
，
则
，同理
，
∴
，即点
的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴
，焦半径
，
短半轴
∴
，点
∴
的轨迹方程为：
，
A 选项：
，A 选项正确；
B 选项：
，B 选项正确；
C 选项：若
，即
，令
，则
，∴
，C 选项正确；
D 选项：
，若
，则
或
，当
时，
，此时
；当
时，
，此时
，D 选项错误.
故选：ABC.
3．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设复数
在复平面内对应的点为
，则下列选项正确的有（ ）
A．若
，则
的最大值为6
B．若
，则点
的轨迹为椭圆
C．若
，则点
的轨迹为椭圆
D．若
，则点
轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】在复平面内，设点
，复数
所对应点
，
对于A，
两点的距离
表示
两点的距离，又
，
则点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
表示
两点的距离，
则
的最大值为
，A 正确；
对于B，
表示
两点的距离，
表示
两点的距离，
由
，则点
的轨迹为线段
，B 错误；
对于C，
，则点
的轨迹是以
为左，右焦点，长轴长为4 的椭圆，C 正确；
对于D，
，即
或
，由
表示以
为圆心，1 为半径的圆，
同理
表示以
为圆心，2 为半径的圆，点
轨迹的长度为
，D 正确.
故选：ACD
考向七 复数模长轨迹相关的最值问题
【例7-1】（2025·河南·一模）设复数
在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】设
，因此
，
，
当且仅当
时取“
，所以
”
的最大值为
.
故选：B．
【例7-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】设
，若
满足
，即
，
所以
，即
，
则点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，易知原点在圆外，
又圆心到坐标原点的距离为
，所以
的最大值为
，
故选： C．
【例7-3】（24-25 高三下·河南信阳·开学考试）已知复数
满足
，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，整理得
，
故复数
在复平面内的点的轨迹是以
为圆心，半径为1 的圆．
又
可以看成单位圆上的点
与
两点连线的斜率，
如图，直线与单位圆分别切于点
，
，
因为
和
都为锐角，
所以
，
所以
，即
的最大值为
．
故选：B
【一隅三反】
1．（2025·湖南·模拟预测）若
是复数，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则复数
在复平面上的对应点为
，
因为
，所以
，故
，
所以点
的轨迹为以点
为圆心，为半径的圆，所以点
到原点的最大距离为
，
所以
的最大值为.故选：B．
2（2025·上海杨浦·二模）已知复数
满足
，其中为虚数单位，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】在复平面内，
表示复数
对应的点
与复数
对应点
的距离为1，
因此点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
表示点
到原点
的距离，所以
的最小值为
.
故答案为：
3.（2025·吉林·三模）已知复数
满足
，复数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】设
，由
得
，
∴
，整理得
，
复数
∴
在复平面内对应的点
的轨迹为直线
.
设
，则
，
由
得，
，即
，
复数
∴
在复平面内对应的点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
∵
表示复平面内
与
所对应的点之间的距离，圆心
到直线
的距离为
，
∴
的最小值为
.
故答案为：
.
考向八 复数的运算及性质
【例8-1】（2025·陕西咸阳·一模）（多选）已知复数
，
，则（ ）．
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】对于A、D：当
时，
，但
，故A 错误；
又
，故D 错误；
对于B：由
，可得
，故B 正确；
对于C：设
，且
，
由
，可得
，则
，
若
，则
或
；若
，则
，
当
，则
，
当
，则
，
当
，
，则
，
综上，
，故D 正确.
故选：BC.
【一隅三反】
1．（2025·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知复数
，
，
为
的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（
）
A．
为实数
B．
C．若
，则
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，设复数
，则
，
则
，为实数，故A 正确；
对于B，
，
，则
，故B 正确；
对于C，若
，不妨取
，则
不成立，故C 错误；
对于D，
，则
，
，则
，
则
，故D 正确.
故选：ABD.
2（2025·河南·一模）（多选）已知
为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．
【答案】AD
【解析】对于A，设
，当
时，
，
得
，得
，即
，故A 正确；
对于B，令
，可知
，故B 错误；
对于C，令
，
可知
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：AD
3．（2025·浙江金华·二模）（多选）已知复数
，
互为共轭复数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】设
，则
，
A 选项，
，所以A 选项正确.
B 选项，
，所以B 选项正确.
C 选项，
，
，
所以C 选项正确.
D 选项，设
，则
，
则
，所以D 选项错误.
故选：ABC
